O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL COM LIMITAÇÃO NO NÚMERO DE TIPO DE ITENS

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novebro de 2003, atal-r O PROBLEMA DE CORTE BIDIMESIOAL COM LIMITAÇÃO O ÚMERO DE TIPO DE ITES Andréa Carla Gonçalves Vanna UESP - Departaento de Coputação Av. Luz Edundo Carrjo Coube, s/n, , Bauru, SP, Brasl vanna@fc.unesp.br Resuo. Este trabalho trata do problea de corte bdensonal onde ua placa retangular é cortada e tens enores retangulares, de odo que a perda seja nzada. Entretanto, o núero de dferentes tpos de tens é ltado. Propoos ua abordage e grafo E/OU para representar as soluções váves e u étodo de enueração plícta para fazer ua busca no grafo. Heurístcas fora desenvolvdas baseadas nos ltantes superores e nferores Resultados coputaconas deonstra a efetvdade da abordage. Palavras-chave: Probleas de corte e epacotaento, busca e grafo E/OU, otzação cobnatóra. Abstract. Ths paper addresses to the two-densonal cuttng proble where a rectangular plate s to be cut nto saller rectangular peces, n such a way as to nzng the waste. However, the nuber of dfferent types of peces s lted. We propose an AD/OR-graph approach to represent the feasble solutons and a branch and bound ethod n order to search the graph. Heurstcs were devsed based on upper and lower bounds. Coputatonal experents show that the approach s effectve. Keywords: Cuttng and packng probles, AD/OR-graph search, cobnatoral optzaton. Introdução O Problea de Corte, genercaente, consste e cortar undades aores (objetos) e undades enores (tens), otzando ua deternada função (por exeplo, nzação da perda). Esse tpo de problea aparece e dversos processos ndustras, tas coo no corte de bobnas de papel e aluíno, barras de aço, chapas etálcas e de adera, placas de crcuto presso, caxas de papelão, rolos de tecdo, entre outros. Consdere que, nestes processos de corte, por otvo de restrção do equpaento, seja necessáro ltar o núero áxo de tpos de tens presentes no padrão de corte. Este problea é denonado problea de corte bdensonal co ltação no núero de tpo de tens e, ebora este problea surja na prátca co serras autoátcas de grande porte (por exeplo, certas serras encontradas nas fábrcas de chapas duras), é uto pouco estudado na lteratura. E partcular, Morabto e Garca (998) estudara este problea (co alguas restrções adconas, devdo à característca do equpaento) e propusera u étodo de prograação dnâca. este trabalho apresentaos a resolução do problea de corte bdensonal co ltação no núero de tpo de tens utlzando ua abordage de solução baseada nua busca e grafo E/OU, proposta ncalente por Morabto (989, 992) e generalzada por Arenales (993). Vanna (2000) estendeu a abordage e grafo E/OU para tratar outros casos não analsados por trabalhos anterores, envolvendo dferentes processos de corte. Esta abordage utlza ua técnca de busca híbrda (senforada), onde se cobna a busca e profunddade co lte e a busca hll-clbng, utlzando tabé, heurístcas baseadas nos ltantes superores e nferores.

2 2 Problea de Corte Bdensonal co Ltação no úero de Tpo de Itens Consdere ua placa retangular (objeto) de densões (L,W), onde L é o coprento e W é a largura, e u conjunto de peças retangulares (tens) de densão (l,w ), onde l é coprento e w a largura da peça, e valor de utldade v, =,..., (Fgura ). () w (2) w2 W l l 2 (3) w 3 (4) w 4 L l 3 l 4 Fgura. Problea de Corte Bdensonal U problea de corte bdensonal consste e cortar a placa retangular e peças enores, de fora a otzar u deternado objetvo, ou seja, axzar v. a = 2 a sujeto a: (,a,..., ) a corresponde a u padrão de corte a 0, ntero, =,...,, onde a corresponde ao núero de peças alocadas na placa (L,W). O odo coo as peças estão arranjadas na placa é chaado de padrão de corte (Fgura 2). (2) () (2) W (3) (4) Fgura 2. Padrão de corte bdensonal L Consdere que, por otvo de restrção do equpaento, seja necessáro ltar o núero áxo de tpos de tens presentes no padrão de corte. Este problea surge devdo à restrção do núero de saídas do equpaento de corte. Ebora ele ocorra, na prátca, co serras autoátcas de grande porte, não é uto explorado na lteratura. o exeplo da Fgura 3, é possível produzr no áxo 3 tpos de tens por padrão, pos o equpaento de corte (serra autoátca) possu apenas 3 saídas para os tens cortados. U padrão de corte é representado na Fgura

3 Placa peças do tpo k peças do tpo j peças do tpo l Fgura 3. Produção co o áxo de 3 tpos de tens (k) (j) (j) (j) (k) (k) ( l) ( l) (j) Fgura 4. Padrão de corte co ltação no núero tpo de tens este caso, é necessáro nclur no odelo ncal varáves bnáras relaconadas co cada tpo de peça e novas restrções: y = y B { } 0,, =,..., onde B é o núero áxo pertdo de tpos de peças no padrão; e y =, se o te for produzdo; y = 0, caso contráro. 3 Representação e Grafo E/OU A abordage e Grafo E/OU para a resolução de Probleas de Corte fo ncalente proposta por Morabto (989), para probleas de corte gulhotnado bdensonal rrestrto e não-estagado. Morabto (992) estendeu esta abordage para probleas de corte gulhotnado rrestrto e restrto, consderando as densões undensonal, bdensonal e trdensonal. Arenales (993) generalzou a abordage. E Arenales e Morabto (995) a abordage fo aplcada para u problea não-gulhotnado. Anda, para probleas gulhotnados, Morabto e Arenales (996) apresentara a abordage e grafo E/OU para a resolução de probleas estagados e restrtos. Vanna (2000) estendeu a abordage para dferentes processos de corte. U grafo E/OU pode ser defndo para representar todos os possíves padrões do problea de corte, onde os nós representa retângulos (no caso do problea de corte bdensonal gulhotnado, co objeto e peças retangulares) e os arcos representa cortes. Observe que u arco (corte) estabelece ua relação entre u nó do grafo (retângulo), co dos outros nós e 2, portanto, u arco-e. Os nós e 2 são chaados sucessores de e, predecessor de e 2. Os padrões são gerados exanando-se todas as possbldades de corte (daí, arcos-ou) e ua delas é reproduzr o própro retângulo (corte-0, lê-se corte zero), ao qual nenhu outro corte será feto, ndcando o fnal do processo de corte. U corte-0 é representado por u arco cou. O nó ncal é representado pela placa (L,W) e os nós fnas são aqueles orgnados de u corte-0 (se perda de generaldade, assoca-se aos retângulos fnas u ou as tens dêntcos. Veja Fgura 5). Os cortes (vertcas ou horzontas) pode ser restrtos, se perda de generaldade, a u conjunto fnto forado pelas cobnações lneares não-negatvas dos taanhos dos tens, de odo que o grafo que representa todos os possíves padrões de corte é fnto. 755

4 Fgura 5. Grafo E/OU representando padrões de corte Confore apresentado na seção 2, no padrão de corte do problea de corte bdensonal co ltação no núero de tpo de tens deve-se controlar o núero de tpo de peças produzdas no decorrer dos cortes, evtando a geração de padrões nváves. Consdere u nó, e seja B o núero áxo de tpos adssível no padrão e a defnção do conjunto Y() = { y = }, onde y =, se o te já estver sdo utlzado no canho até o nó (nclusve o nó ), e zero, caso contráro. ote que no nó ncal, no níco do processo, este conjunto é vazo. Seja e 2 os sucessores de. Incalente, resolve-se o nó, co Y( ) = Y() e = y B, sto é, herda todas as nforações de seu predecessor. Quando estver resolvdo, Y tal que Y( ) Y( ) + { y } redefne-se ( ), = =. Deve-se, então, resolver o nó 2 co os dados herdados de, ou seja, Y( 2 ) = Y() e y 2 B (Fgura 6). Tão logo 2 esteja resolvdo, redefne-se Y( 2 ) de odo análogo. ote que Y() não fo alterado, então, após e 2 sere resolvdos, retorna-se ao nó para nvestgação de novos canhos. Tão logo o nó esteja resolvdo (sto é, quando todos os sucessores tvere sdo nvestgados), atualza-se Y() = Y( 2 ), onde 2 é o sucessor (juntaente co ) que fornece o elhor canho a partr de. = = () (3) Y( ) = ( ) ( ) ( ) Y Y 2 = 2 y B y 2 B (2) ( ) = Y( ) + { y = } Y = Fgura 6. Corte co ltação no núero de tpo de tens Y 756

5 4 Método de Enueração Iplícta Para a resolução do problea de corte co ltação no núero de tpo de tens é utlzado u étodo de enueração plícta, baseado nua busca no grafo E/OU que descreve o espaço de soluções possíves. A estratéga de busca cobna busca e profunddade co busca nforada (hllclbng). Durante o processo de busca é possível reduzr o núero de nós explctaente gerados a u conjunto fnto forado pelas cobnações lneares não-negatvas das densões das peças. Enuerar explctaente todos os canhos do grafo, durante o processo de busca, é, na aora das vezes, nvável. As soluções pode ser enueradas plctaente, ou seja, é possível descartar a expansão de u nó se perder a solução óta, usando ltantes. 4. Ltante Inferor É usual e probleas de otzação (axzação), a deternação de ltantes nferores através da obtenção de soluções váves. os probleas de corte, soluções váves são faclente deternadas. Ua solução trval para o subproblea do nó (x, é preenchê-lo soente co peças guas, confore o padrão da Fgura 7. U padrão de corte que conté peças todas guas é denonado padrão de corte hoogêneo. Fgura 7. Padrão de corte hoogêneo Escolhendo-se o elhor dentre estes padrões, te-se o ltante nferor dado por: LI(x, x y = ax v.. l w 4.2 Ltante Superor x = v j.. l j y w j Coo é usual e probleas de otzação (axzação), u ltante superor é obtdo pela relaxação do problea. U ltante superor para o nó (x, é defndo relaxando-se o problea de corte, consderando-se apenas que a área dos tens alocados não exceda a área do retângulo, ou seja, LS( x, = axzar sujeto a : a ( l v. a A( x, A( x, onde A x, { x e w y}. w ). a ( x. 0, A( x, = l, co a segunte solução trval ( 757

6 x ax v.. LS( x, = A( x, l 0, se A(x, = φ y w Este ltante fo ncalente utlzado por Herz (972) e as tarde por Morabto et al. (992). 4.3 Estratéga de busca Ua estratéga de busca utlzada por Morabto (989, 992) para resolver probleas de corte e epacotaento, consstu na cobnação de duas estratégas báscas: backtrackng (BT) e hllclbng (HC). Backtrackng é ua varação da estratéga de busca e profunddade (depth-frst), que consste e rafcar prero os nós gerados as recenteente, de odo que todos os canhos do grafo seja percorrdos. Hll-clbng, por outro lado, é ua estratéga de busca íope, baseada e otzação local, que escolhe a elhor solução (u nó ou, no caso da abordage e grafo E/OU, u canho copleto) encontrada até então, e descarta as deas soluções. Esta escolha é baseada nua avalação dos ltantes nferor e superor da solução. Estas duas estratégas báscas pode ser cobnadas, buscando ua solução as prossora dentre descendentes de u nó, u pouco alé de seus sucessores edatos. Para sto, é necessára a noção de profunddade de u nó no grafo. A profunddade de u nó no grafo é defnda tal que, o nó raz te profunddade zero e, a profunddade de qualquer outro nó é gual à profunddade de seu predecessor edato, acrescdo de. As estratégas pode, então, ser cobnadas, de odo que BT nvestga todos os possíves canhos até ua profunddade áxa e, HC escolhe o as prossor, descartando-se os deas (se a profunddade áxa for gual a, então te-se HC pura, se nfnto, te-se BT puro). Cada nó no canho as prossor co profunddade áxa é novaente nvestgado por BT até a profunddade áxa, e ass por dante. Consdere u nó, seus nós sucessores e 2. Seja v() o valor do nó dado por ua solução vável (por exeplo, a solução hoogênea, ou outra elhor quando dsponível) e, LI() e LS() o ltante nferor e superor do nó, respectvaente. Durante a expansão deste nó, utlzase os ltantes nferores e superores para evtar a geração de nós desnecessáros, descartando canhos não prossores. Ass, - se v()=ls(), então a solução que fornece v() é solução óta para o nó. - se v()<li( )+LI( 2 ), então o valor do nó é atualzado por v()=li( )+LI( 2 ) (ua nova solução vável é fornecda pela coposção das soluções de nós sucessores). - se v() LS( )+LS( 2 ), ou seja, se o valor de ua solução vável no nó é elhor que a soa dos ltantes superores de seus sucessores, então não é necessáro nvestgar os nós e 2. Observe que o valor de u canho copleto é a soa dos valores dos nós fnas e, o elhor canho a partr do nó é deternado por aquele que apresenta o elhor valor v(). ote que, co o ltante na profunddade do grafo e a estratéga hll-clbng, a otaldade do problea de corte pode ser perdda. A segur, é apresentado o algorto para esta estratéga de busca híbrda. 4.4 Algorto BT-HC Passo 0 Consdere a placa (L,W), as peças (l,w ), =,...,, e MP, a profunddade áxa pertda na estratéga de busca. Consdere o nó raz coo o nó que conté as nforações da placa ncal. 758

7 Passo - Backtrackng Aplque a estratéga de busca backtrackng co profunddade MP a partr do nó raz, arazenando o canho que apresenta o elhor valor para este nó. Passo 2 - Hll-Clbng Para cada nó fnal (profunddade MP) do canho gerado pela estratéga backtrackng, verfque se é possível expand-lo. Se for, retorne ao Passo, consderando-o coo nó raz. 4.5 Heurístcas Para reduzr o espaço de busca, recorre-se a alguas heurístcas que pode ser aplcadas no algorto, de fora a dnur o espaço de busca (Morabto et al., 992; Arenales e Morabto, 995; Morabto e Arenales, 996, Vanna, 2000). A segur são apresentadas duas heurístcas utlzadas no algorto do problea de corte bdensonal co ltação no núero de tpo de tens. Consdere u nó qualquer e seus sucessores e 2. H (Morabto et al., 992) Se ( + λ ).v( ) LS( ) + LS( 2 ) co λ > 0, os nós e 2 são descartados coo nãoprossores. Esta heurístca faz ua aposta de que se os ltantes superores para os nós sucessores (que não é necessaraente u ltante superor para o nó ) não for uto elhor que o valor da solução vável já dsponível no nó, então sto é ua ndcação de que este não é u bo canho a ser nvestgado. H2 (Morabto et al., 992) Se λ2.li ( ) LI ( ) + LI ( 2 ) co 0 < λ2 <, os nós e 2 são descartados. Esta heurístca faz ua aposta de que se a solução coposta pelas soluções hoogêneas nos nós sucessores não fore razoavelente elhor que a solução hoogênea do nó, então este canho não é prossor. 5 Ipleentação Coputaconal A pleentação coputaconal fo desenvolvda na lnguage Pascal, utlzando o coplador Borland Pascal versão 7.0, e u crocoputador Pentu,.70 GHz co Gbyte de RAM. A estrutura de dados utlzada nesta pleentação encontra-se e Vanna et al. (2000). a pleentação deste problea consderaos ua qutc xa de cada tpo de peças, ou seja, trabalhaos co o problea restrto. A segur, são apresentados alguns resultados ob os ltando o núero de tpo de peças nos exeplos de Wang (983) e Olvera e Ferrera (990). Utlzando os parâetros X < 00, Y < 00, profund áxa gual a 3, λ = 0.%, λ2 = 95% e ltando o núero de tpos de peças e 2 e 3, nos exeplos W2 e W3 (Wang, 983), ob veos os resultados da Tabela. A Fgura 8 apresenta os padrões de corte ob os destes exeplos se ltação no núero de tpo de tens. As Fguras 9 e 0 apresenta os padrões ob os co as ltações. Tabela Exeplos de Wang (983) co ltação no núero de tpo de peças exeplo no de tpos Solução no nós t(s) W W

8 Fgura 8. Solução dos exeplos W2 e W3 se ltação no núero de tpo de peças Fgura 9. Exeplo W2 co ltação de 2 e 3 tpos de peças Fgura 0. Exeplo W3 co ltação de 2 e 3 tpos de peças O eso procedento fo repetdo co os exeplos de Olvera e Ferrera (990). A Fgura apresenta os padrões de corte obtdos se ltação no núero de tpo de tens. Os resultados co a ltação de 3 e 4 núeros de tpos de tens são apresentados na Tabela 2 e, os padrões de corte nas Fguras 2 e 3. A profunddade utlzada na estratéga backtrackng fo 5 e 3 para OF e OF2, respectvaente. 760

9 Tabela 2 Exeplos de Olvera e Ferrera (990) co ltação no núero de tpo de peças exeplo n o de tpos Solução n o nós t(s) OF OF Fgura. Solução dos exeplos OF e OF2 se ltação no núero de tpo de peças Fgura 2. Exeplo OF co ltação de 3 e 4 tpos de peças Fgura 3. Exeplo OF2 co ltação de 3 e 4 tpos de peças 76

10 A Tabela 3 ostra os resultados obtdos co 0 exeplos gerados aleatoraente co L=00, W=00 e =0. Os valores l e w, =,...,, fora gerados aleatoraente e, e seguda, arredondados, dentro dos ntervalos [0.2L,0.5L] e [0.2W,0.5W], respectvaente. Os valores v, l.w =,...,, fora obtdos por v = e, os valores de b, =,...,, fora gerados aleatoraente e, L.W e seguda, arredondados, dentro dos ntervalos que vara de 0% a 30% de L. l W w. Os valores fora obtdos co os parâetros X < 00, Y < 00, profunddade áxa gual a 3, λ 0.% e λ 2 = 95%. 6 Conclusões Tabela 3 Exeplos gerados aleatoraente exeplo n o de tpos solução t(s) = Apresentaos neste trabalho u étodo de resolução para o Problea de Corte Bdensonal co Ltação no úero de Tpo de Itens, problea pouco estudado na lteratura, estendendo a abordage e grafo E/OU, a qual fo anterorente desenvolvda para probleas retangulares, se a ltação de núero de tpo de tens. 762

11 Mostraos que a extensão é obtda se utas odfcações e os experentos coputaconas deonstra ser esta ua ferraenta adequada de resolução de probleas de corte, be flexível, pertndo que restrções adconas (neste trabalho, ltação no núero de tpo de tens) possa ser ncluídas no processo de busca. Extensões do uso desta abordage a outros probleas de corte (co dferentes foras, por exeplo) te sdo objeto de estudo da autora. Reconhecento Este trabalho teve apoo da FAPESP e, apoo parcal da Fundunesp. Referêncas bblográfcas Arenales, M. Ua Teora para o Problea de Corte. São Carlos: USP, 993. Tese (Lvre-docênca) Insttuto de Cêncas Mateátcas de São Carlos, Unversdade de São Paulo, 993. Arenales, M., Morabto, R. An AD/OR-graph approach to the soluton of two-densonal nongullotne cuttng probles. European Journal of Operatonal Research. 84, , 995. Herz, J. Recursve Coputatonal Procedure for Two Densonal Stock Cuttng. IBM Journal of Research and Developent. 6, , 972. Morabto, R. Corte de Estoque Bdensonal. São Carlos: USP, 989. Dssertação (Mestrado) - Insttuto de Cêncas Mateátcas de São Carlos, Unversdade de São Paulo, 989. Morabto, R. Ua Abordage e Grafo E/OU para o Problea do Epacotaento: Aplcação ao Carregaento de Paletes e Contêneres. São Carlos: USP, 992. Tese (Doutorado) - Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, 992. Morabto, R., Arenales, M., Arcaro, V. F. An AD-OR-graph approach for two-densonal cuttng probles. European Journal of Operatonal Research. 58, , 992. Morabto, R., Arenales, M. Staged and constraned two-densonal gullotne cuttng probles: An AD/OR-graph approach. European Journal of Operatonal Research. 94, , 996. Morabto, R., Garca, V. The cuttng stock proble n a hardboard ndustry: a case study. Coputers & Operatons Research. 25, , 998. Olvera, J., Ferrera, J. An proved verson of Wang s algorth for two-densonal cuttng probles. European Journal of Operatonal Research. 44, , 990. Vanna, A. C. G. Problea de Corte e Epacotaento: ua Abordage e Grafo E/OU. São Carlos: USP, Tese (Doutorado) - Insttuto de Cêncas Mateátcas e de Coputação, Unversdade de São Paulo, Vanna, A. C. G., Arenales, M.., Morabto, R. Estrutura de Dados utlzada na Abordage e Grafo E/OU para a Resolução de Probleas de Corte. Relatóros Técncos n o 26, ICMC-USP, Wang, P. Two algorths for constraned two-densonal cuttng stock probles. Operatons Research. 3, ,