Ativos de Risco. Universidade Federal de Santa Catarina. From the SelectedWorks of Sergio Da Silva

Transcrição

1 Unversdade Federal de anta Catarna Fro the electedworks o ergo Da lva 009 Atvos de Rsco ergo Da lva, Federal Unversty o anta Catarna Avalable at:

2 Atvos de Rsco Hal R. Varan Interedate Mcroeconocs, 8th edton Capítulo 3 Modelo éda-varânca Coo o ercado de seguro, o ercado de ações tabé serve para alocar o rsco. O odelo de utldade esperada pode ser adaptado para o ercado de ações através do odelo édavarânca. E vez de consderar as preerêncas do consudor dependendo de toda a dstrbução de probabldade da rqueza e cada resultado, agora consderaos apenas sua éda e varânca. A varável aleatóra pode apresentar valores ( s =,..., ) co probabldades π s. A éda é dada por: s µ = π. () s s A varânca é: = s( s ) π µ. () O desvo padrão é: =. (3) A éda da dstrbução ede o valor e torno do qual a dstrbução está centrada e a varânca ede coo a dstrbução se dspersa ao redor da éda. O desvo-padrão ornece, então, ua edda de rsco (Fgura ). e as preerêncas pudere ser caracterzadas por édas e varâncas, então a unção utldade éda-varânca representará as preerêncas da esa ora que o odelo de utldade esperada. No caso, u µ (4) (, ) ou u ( µ, ). (5) Para o consudor avesso ao rsco, µ será bo e será ru. Eeplo : Investento e ua cartera de atvos (portólo). O problea para o consudor é dvdr sua rqueza entre: () u atvo se rsco (letras do Tesouro), que rende a taa de retorno a r ndependenteente do que ocorra e () u atvo de rsco (undo útuo de ações), que rende a taa éda de retorno aleatóra r :

3 r = π (6) s s s caso ocorra o estado s co probabldade π s. Representaos por O retorno será desvo-padrão do retorno. Alé dsso, supoos que, o r > r, (7) porque u consudor avesso ao rsco não escolherá o atvo de rsco se este apresentar ua taa de retorno as baa do que a do atvo se rsco. Investndo a parcela do total de sua rqueza no atvo de rsco ( 0 ) e no atvo se rsco, o retorno esperado r da cartera do consudor será: r = ( + ( ) r ) π s s r = π + ( ) r s s s π Consderando (6) e o ato π s = (8) então

4 r = r + ( ) r. (9) Ass, o retorno esperado da cartera é a éda ponderada dos retornos r e r. Já a varânca do retorno esperado da cartera é: = π s s + ( ) r r. (0) Consderando (9): = π s s + r r + r ( ) ( ( ) ) = πs s ( r ) = πs s ( ( r) ) = πs ( s r) = πs( s r). () A denção () para os retornos é dada por: = πs( s r). ubsttundo esta epressão e (): = () = =. (3) Por (9), se r e, por (3), se. Portanto, auentando a parcela da rqueza nvestda no atvo de rsco, o consudor auentará o retorno esperado da cartera, as tabé auentará o rsco esperado. No caso etreo e que =, por (9) r = r e, por (3), =. Quando o consudor nveste toda sua rqueza no atvo de rsco, sua cartera terá retorno esperado e rsco dados por ( r, ) = ( r, ). No outro etreo e que = 0, por (9) r = r e, por (3),

5 = 0. Quando o consudor nveste toda sua rqueza no atvo se rsco, sua cartera terá retorno esperado e rsco dados por ( r, ) = ( r,0). Estes pontos etreos dene a reta orçaentára da Fgura. Ao longo dela, o retorno pode ser auentado de r até r, co o custo do auento do rsco de 0 até. Na Fgura, a r r r r nclnação = = 0. (4) Para 0< <, a cartera de atvos conterá u pouco de cada atvo. Coo o consudor é avesso ao rsco, u retorno aor é preerível, enquanto u rsco aor, não. Portanto, rsco é u al e as curvas de nderença possue nclnação postva. O portólo se os etreos = 0 e = garante a convedade das curvas de nderença. A nclnação da curva de nderença ornece a TM, ostrando coo rsco pode ser substtuído por retorno entre carteras nderentes entre s: U U r TM =. (5) No equlíbro, a TM se guala à nclnação da reta orçaentára: TM r r =. (6)

6 e utos consudores pudere negocar seus rscos, a TM de cada consudor acabará se gualando ao preço do rsco do ercado p. (Note que a quantdade do rsco é dada por ). No equlíbro, então, p TM r r = =. (7) Eeplo. Consdere outra cartera y de aor retorno esperado édo e aor rsco. No caso e que, por eeplo, r e enos, a reta orçaentára gra para a esquerda e torno do valor o de r. Ua curva de nderença as alta sera agora actível e a escolha do consudor será pela nova cartera y, e detrento da cartera. Avalação do rsco Para utos atvos, o desvo-padrão é ncapaz de edr a quantdade de rsco quando a utldade do consudor depende da éda e da varânca da rqueza de todos os atvos. O valor do atvo dependerá as de coo ele se relacona co os outros do que da sua própra varação. U atvo que se relacona negatvaente co os outros contrburá para reduzr o rsco total. Eeplo 3. O consudor pensa e coprar dos atvos A e B e espera que A valerá $0 $5 stuação B valerá $5 $0 stuação

7 No caso, A e B são negatvaente correlaconados. upondo que cada resultado seja gualente provável, o valor édo de cada atvo será gual a $.50: EA= ( ) 0 + ( 5) = 5.5 = $.50 EB ( ) = ( 5) + 0 = = $.50. e o consudor tver que optar por apenas u atvo, e não se portar co o rsco, ele será nderente entre qualquer u dos dos desde que pague u preço de até $.50. e ele or avesso ao rsco, va querer pagar u preço abao de $.50. e puder dverscar, na stuação e que A = $0 e B = $5, ele ganhará $5. Na stuação e que A = $5 e B = $0, ele ganhará $5. Portanto, se o consudor puder ter os dos atvos, a quanta áa que desejará pagar por abos será aor: $5. Portanto, pagando o eso retorno édo do caso se dverscação ($.50), o consudor terá enor rsco. A dverscação reduz o rsco. O rsco da ação e relação ao rsco do ercado de ações coo u todo é chaado de beta da ação: quantdade de rsco da ação β =. (8) quantdade de rsco do ercado de ações E partcular, β é dado pela covarânca do retorno da ação r co o retorno do ercado r dvdda pela varânca do retorno do ercado r : cov( r, r) β =. (9) var( r) Co β = a ação apresenta o eso grau de rsco do ercado. Neste caso, se o ercado subr e 0%, a ação subrá, e éda, e 0%. Mas se a ação tver u β <, quando o ercado subr e 0%, ela subrá e enos de 0%. Custo do rsco Depos de se ajustar para se levar e conta o rsco, todos os atvos ornecerão a esa taa de retorno (Capítulo ). e a cartera do consudor nclur todos os atvos de rsco do ercado, r passa a ser o retorno édo esperado do ercado e passa a ser o rsco do ercado. Coo β é a quantdade de rsco do atvo e relação à quantdade de rsco do ercado, a quantdade total de rsco do atvo te que ser ultplcada pelo rsco do ercado. Então, quantdade total de rsco do atvo = β. (0)

8 Ajustar para levar e conta o rsco sgnca ultplcar a quantdade total do rsco do atvo pelo preço do rsco (equação (7)) para encontrar o custo do rsco: custo do rsco = β p. Consderando (7): r r custo do rsco = β. custo do rsco = β ( r r ). () Já que, depos de se ajustar para se levar e conta o rsco, todos os atvos possurão, e equlíbro, a esa taa de retorno, para dos atvos e j : r β ( r r ) = r β ( r r ). () j j upondo que o atvo j seja o atvo se rsco, rj = r e () ca sendo r β ( r r ) = r β ( r r ). (3) Mas, por denção, (4) e (3): ou β = 0. (4) r β ( r r ) = r r = r + β ( r r ). (5) Portanto, o retorno esperado de qualquer atvo se guala à taa de retorno se rsco as o custo do rsco. O custo do rsco é, então, o retorno adconal que o consudor ege para correr o rsco contdo no atvo de rsco. A equação (5) é o prncpal resultado do odelo CAPM (Captal Asset Prcng Model), e é chaada de reta do ercado. A equação (5) pode ser usada para plotaros r e β e u gráco (Fgura 4). Note que r é o ntercepto vertcal e r r é a nclnação da reta do ercado. Coo, por denção, r p p 0 =, (6) p0

9 p p0 o valor esperado de r será dado pelo valor esperado de. p 0 No equlíbro, todos os atvos se encontrarão sobre a reta do ercado. Poré, ora do equlíbro, por (5), se o retorno esperado ajustado para consderar o rsco or aor do que o retorno se rsco, sto é, r β ( r r ) > r, p p0 os consudores desejarão coprar o atvo p0 r p até encontrar a reta do 0 ercado. Eeplo 4: Value at Rsk. e u banco que possu ua cartera de ações desejar estar a probabldade de 5% de a cartera perder valor e as de u lhão e deternado da, dzeos que a cartera possu u valor no rsco co 5% de chance de perder u lhão e u da. O VaR costua ser coputado para u da ou duas seanas usando probabldades de % ou 5%. Calcular o VaR é útl por por ua etodologa de estar o rsco que dea as nsttuções que o coputa e estado de alerta. O cálculo do VaR depende da dstrbução de probabldade do valor da cartera, que depende da correlação dos atvos da cartera. O valor dos atvos costua subr ou car e conjunto: são postvaente correlaconados. A dstrbução dos preços dos atvos tabé costua ter caudas grossas, de odo que pode ocorrer oventos etreos dos preços. Isso sgnca que, para coputar o VaR, é necessára ua sére longa de preços, o que não é actível para atvos novos e eótcos. E retrospecto, não surpreende que, no nal de 008, utas nsttuções nanceras tenha descoberto que suas estatvas do VaR, baseadas e séres hstórcas e que os preços era estáves, estava undaentalente ncorretas: os preços dos atvos caíra uto as do que o estado.

10 Eeplo 5: Fundos útuos. ão organzações que capta dnhero de nvestdores ndvduas para coprar e vender ações, retornando os lucros para os nvestdores. Dados hstórcos de r e β de undos útuos ostra que undos co alto r tabé apresenta alto rsco (Fgura 5). Os retornos são elevados para copensar o alto rsco. Os undos-útuos pode ser coparados co u undo-índce, coposto das ações consttuntes de algu índce coo, por eeplo, o índce &P500. Este índce basea-se no desepenho édo de 500 ações negocadas na bolsa de Nova Iorque e seu β é, por denção, gual a. Na Fgura 5, e ca da reta do ercado que lga ( r,0) do atvo se rsco a ( r,) do undo-índce, o consudor pode escolher qualquer undo-útuo, escolhendo quanto de rsco quer correr ( β ) acetando o correspondente retorno ( r ). Os undos co pontos aca da reta do ercado na Fgura 5 ostra undos que apresenta desepenho superor à éda do ercado, o que é uto dícl de ocorrer. O típco é o desepenho do undo-útuo car abao da reta. ergo Da lva 00 sergodaslva.co