Para duas variáveis aleatórias X e Y define-se Função Distribuição Cumulativa CDF F XY (x,y)

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1 Vaáves Aleatóas (contnuação) Po. Waldec Peella Dstbução Conunta: po: Paa duas vaáves aleatóas e dene-se Função Dstbução Cuulatva CDF F (,y) P ( e y ) = F (,y ) e a Função Densdade de Pobabldade de Pobabldade PDF (,y) po: y (,y ) = F (,y ) O evento de obseva no ntevalo esta no ntevalo (-, ) e esta no ntevalo (-, ) é o evento ceto e ass: (,y ) ddy = 3 A pobabldade de esta no ntevalo (, ) e esta no ntevalo (y,y ) é dada po: P y ( e y y ) (,y ) = y ddy 4 Quando se te duas VAs e, as PDFs ndvduas são chaadas de densdades agnas e são obtdas, espectvaente, po: ( ) (,y ) dy e ( y ) = (,y ) = d 5 O conceto de pobabldades condconas pode se aplcado paa o caso de VA contínuas. Ass, dene-se a PDF condconal ( y) coo a densdade de pobabldade condconal de dado o valo de y. Os devados paa o caso dsceto pode se aplcado paa PDF condconas: ( y ) ( y ) (,y ) = 6 ( y ) ( ) (, y ) = 7 ( y ) = ( y ) ( ) ( y ) 8

2 A equação (8) é ega de Bayes paa VAs contínuas. Quando se te VAs stas, sto é, dscetas e contínuas, a ega de Bayes é dada po: ( y ) ( y ) ( y ) P ( ) P = 9 onde é ua VA dsceta, é ua VA contínua, P ( ) é pobabldade de ocoe o evento e P ( y) é a pobabldade de ocoe o evento dado que ocoeu o valo de y. VAs contínuas e são ndependentes se Aplcando a ega de Bayes te-se: Valoes Espeados e Coelação ( y ) ( ) = 0 (,y ) ( ) ( y ) = Se Z=g(,) é ua unção das VAs e seu valo espeado é dado po: E [ g(, )] E( Z) = z ( z) dz = g(,y ) (,y ) = d dy Z quando e são contínuas e E [ g(, )] ( Z) = z P( z ) = g(,y )P(, y ) = = = 3 quando e são dscetas. Dene-se coelação das VAs e po: quando e são contínuas e [ ] = y (,y ) d dy 4 quando e são dscetas. [ ] = y P(, y ) = = 5 Dene-se covaânca das VAs e po: [( µ )( µ )] = ( µ )( y ) (,y ) E µ = d dy 6

3 quando e são contínuas e [( )( µ )] == ( µ )( y ) P(, y ) µ µ 7 = = quando e são dscetas. Epandndo a epessão de covaânca te-se: [( µ )( µ )] = µ µ 8 Se = 0 as VAs e são dtas não coelaconadas e neste caso, usando a elação aca, [] = µ µ. VAs estatstcaente ndependentes plca que E[] = µ µ e ass são sepe não coelaconadas, as o contáo ne sepe é coo é o caso de VAs gaussanas. Outo esultado potante é que a vaânca da soa de duas VAs e a soa das suas vaâncas, quando elas são não coelaconas. Dene-se tabé, coecente de coelação pela segunte epessão: = 9 Pode-se osta as seguntes desgualdades: [ E( )] E( ) E( ) e 0 Paa entende-se o sgncado da denção de coelação e covaânca, consdee u epeento cua saída é especcada po duas vaáves aleatóas e. Consdee anda que não se te nenhua noação sobe o epeento. estas condções, seá ostado que é possível obte-se noações sobe a dependênca ou ndependênca ente as vaáves e, obsevando-se as saídas de u gande núeo de ealzações do epeento. Ass, seá ostado que u teste de coelação onece algua noação sobe a depend6enca ente a dependênca ente vaáves. Ass, consdee o caso onde as vaáves e são dependentes ou elaconadas tal que elas vaa haoncaente., sto é, se auenta, y auenta e se decesce, y decesce. Coo u eeplo consdee a elação estente ente os núeos de publcações ealzados po ua pessoa e suas espectvas notas, duante o peíodo escola. É azoável espea que esta ua elação ente as duas quantdades. Paa obte-se essa dependênca é necessáo estuda-se u gande núeo de centstas e engenheos paa obte-se a nota e o núeo de publcações paa cada pessoa. Isto pode se consdeado u epeento aleatóo co as saídas (ota) e y (úeo de publcações), onde essas saídas coesponde a ua ealzação deste epeento. Ass, pode-se obte u gáco os pontos (,y) paa cada pessoa. Este gáco é conhecdo coo dagaa de dspesão ou espalhaento (scatte daga). a Fgua a te-se u eeplo destes gácos. esta gua obseva-se que paa u valo de alto te-se povavelente u valo de y tabé alto. Obseve o sgncado da palava povavelente. ão é sepe vedadeo que paa u y te-se u alto, as sto seá vedadeo na aoa das vezes. E outas palavas, este poucos casos onde 3

4 estudantes co notas baas que poduza u núeo elevado de publcações e tabé poucos estudantes co altas notas e poucas publcações. Fgua Dagaa de dspesão (a). = nota e = núeo de publcações (b). = nota e Z = pocentage de altas a Fgua, tabé, são ostados os valoes édos das vaáves aleatóas envolvdas no epeento. Os valoes édos oa estados pela segunte epessão: [ ] = s = E S = s onde S é a vaável aleatóa, o acento ccunleo sgnca estatva e é o núeo de pessoas obsevadas. A vaável aleatóa epesenta a deença ente a ota eal de cada pessoa e a ota éda do gupo obsevado e y epesenta o núeo eal de publcações e a éda de publcações do gupo obsevado. E geal, ua pessoa, co ua nota aca da éda, povavelente, apesenta ua podução ao que o núeo édo de publcações. Obvaente, se é postvo então é as povável que y sea postvo e se é negatvo (abao da nota éda), então é as povável que y sea negatvo (abao do núeo édo de publcações). Ass, a quantdade ( ) ( y ) seá postva na aoa das ealzações. ealzando-se este poduto paa cada pessoa e soando-se todos e então dvdndo pelo núeo total de pessoas, obtê-se ua estatva do valo édo desse poduto que é chaada de. A óula paa a estatva pode se epessa po: 4

5 [( )( y y )] = ( )( y y ) = Seelhanteente esta-se a coelação pela segunte epessão: [ y] = = y 3 Paa o eeplo da Fgua, obteve-se os seguntes valoes, ostados na Tabela Tabela Covaânca, coecente de coelação e coelação paa o eeplo da Fgua Z Z Z Z Z 7,66 5,4 9,4 3,0, 9,607 0,44 43,4-5,7-0,055 33,56 A segu consdea-se o caso onde as duas vaáves são elaconadas, as vaa e deção oposta. Coo u eeplo deste tpo de coelação consdee a elação ente as notas (vaável ) e a pecentage de altas (vaável Z) dos estudantes. este caso, as vaáves osta ua dependênca no sentdo negatvo, sto é, quanto ao o a nota eno é pocentage de altas. O dagaa de dspesão é ostado na Fgua b. Ass, se é postvo então é as povável que y sea negatvo (abao da éda de altas) e se é negatvo (abao da nota éda), então é as povável que sea postvo (aca da éda de altas). Ass, a quantdade ( ) ( ) y y seá negatva na aoa das ealzações e a éda desses podutos,, seá negatva. este caso te-se ua covaânca negatva ente e Z. Pode-se obseva que a covaânca negatva não sgnca que as vaáves não são elaconadas e s dependentes, as quando ua cesce e outa decesce e vce-vesa. A Fgua b lusta esse caso e na Tabela te-se os valoes estados. A segu, consdea-se o caso onde as vaáves e W são tas que o valo de não nluenca no valo de W. Coo u eeplo, consdee a elação ente as otas (Vaável ) e o núeo que lhos (Vaável W) de cada pessoa. É azoável espea que as vaações e e W não apesente nenhu padão de dependênca. O dagaa de dspesão deve apesenta u padão coo ostado na Fgua. Paa o eeplo da Fgua obteve-se os valoes ostados na Tabela Tabela Covaânca, coecente de coelação e coelação paa o eeplo da Fgua W W W W W 7,66,469 3,06,590-0,083-0,083 8,8 5

6 este caso, se Fgua. Dagaa de dspesão onde = nota e W = núeo de lhos. é postvo então é gualente povável que y postvo. Ass, o poduto ( ) ( ) desses podutos, sea negatvo ou y te a esa chance de se postvo e negatvo éda, seá zeo. este caso dz-se que as vaáves são não coelaconadas. 6