CÁLCULO DO RETORNO ESPERADO DA CARTEIRA DE MERCADO E DO RETORNO DO ATIVO LIVRE DE RISCO PARA O BRASIL

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1 ESCOLA FEDERAL DE ENGENHARIA DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE PRODUÇÃO CÁLCULO DO RETORNO ESPERADO DA CARTEIRA DE MERCADO E DO RETORNO DO ATIVO LIVRE DE RISCO PARA O BRASIL Dego Marque Barbosa Gustavo Mendes Borges Orentador: Edson de Olvera Pamplona, Dr. Escola Federal de Engenhara de Itajubá, Departamento de Produção Cx. P Itajubá, MG, Brasl Resumo. Para aplcação do Modelo CAPM, utlzado na determnação de taxas de descontos em avalação de nvestmentos, há a necessdade de utlzar parâmetros como retorno de atvo lvre de rsco e retorno esperado da cartera de mercado. Estes parâmetros não são encontrados com facldade na lteratura braslera. Fo calculado o retorno esperado da cartera de mercado e o retorno do atvo lvre de rsco para o Brasl. Mostrou-se a mportânca da escolha correta do índce de mercado para o cálculo de meddas estatístcas para avalação de performance de ações de empresas, pos uma escolha errada pode gerar dferentes classfcações na avalação e seleção de ações. Palavras-chave: CAPM, Parâmetros de Rsco, Beta, Sharpe, Treynor 1. INTRODUÇÃO O objetvo deste trabalho é calcular o retorno esperado da cartera de mercado, R m, e o retorno do atvo lvre de rsco, R f, para o Brasl. Com a ntenção de utlzar estes parâmetros no cálculo de ndcadores como: Sharpe, Treynor, Retorno Esperado - E(r) - de ações de empresas tradconas de grande porte, com grande lqudez e procura no mercado de ações, ou seja, Blue Chps. Para estes cálculos é necessáro a utlzação de ndcadores como β, σ e de modelos como o CAPM, que postula certa relação entre rsco e retorno (Varga, 2000). Uma questão mportante no cálculo desses ndcadores é a escolha correta do índce de mercado, e a pergunta, conhecda como crítca de Roll (Varga, 2000), é qual a cartera de mercado a ser utlzada? Pos dependendo do índce de mercado utlzado, podemos gerar dferentes classfcações, na hora de avalar ações de empresas. Perante este problema será tomada como cartera de mercado as ações que compõem o índce Bovespa, pos este contém as ações de empresas com maor lqudez no mercado naconal. Apesar de publcações específcas que calculam o retorno hstórco médo do índce Bovespa não serem comuns, este trabalho realzará os cálculos a partr do banco de dados Economátca Pro (software da empresa Economatca).

2 A prncpal adção dos modelos de fnanças à avalação de atvos de empresas vem da ncorporação do rsco, que ncou com o modelo de méda varânca de Markowtz, na década de 50. De acordo com Varga (2000): Se o retorno esperado de um atvo é tanto maor quanto seu rsco, então a nclusão de alguma medda de rsco na avalação deste permte verfcar quanto do retorno proporconado por um nvestdor vem de seu talento, quanto vem da sorte e quanto do rsco assumdo. Outro aspecto mportante na nclusão do rsco é a sua contrbução para a determnação da cartera ótma de um nvestdor (para nvestdores que se mportem com rsco, pos, no caso de nvestdores neutros ao rsco, basta conhecer o retorno esperado). Com sso, determnamos a contrbução do nvestdor para o retorno da cartera de ações seleconadas por ele. Entre as estatístcas de avalação de performance mas conhecdas está o índce de Sharpe (IS), apresentado em Sharpe (1996). Apesar de sua mportânca prátca, sua utlzação depende da valdade das hpóteses do CAPM, da estmação dos seus parâmetros e da aplcação que se pretende. Nas etapas seguntes será descrto o que é rsco, bem como o cálculo, a concetuação, a mportânca e as falhas que estão sujetos os índces de Sharpe, Treynor e o modelo CAPM. Conseqüentemente serão apresentados os ndcadores que compõem cada um desses cálculos, como β e σ. 2. RISCO E RETORNO Sempre que falamos de rsco e retorno, é mportante que tenhamos o conhecmento que atvos com rsco, em méda, proporconam um prêmo, ou seja, exste uma recompensa por correr este rsco. Quanto maor a recompensa em potencal de um nvestmento com rsco, maor é seu rsco. Através da moderna Teora de Portfolos proposta por Harry Markowtz (1952), a avalação do rsco e retorno esperado de uma ação, passou a ser calculada através de recursos estatístcos. Analsando a méda, desvo padrão e correlações com outros papés, tornou-se mas smples relaconar rsco e retorno. É mportante ressaltar que as condções macroeconômcas naconas e globas também são váldas para a análse de qualquer ação. O modelo CAPM e os ndcadores de performance baseados nele, devem-se preocupar com o retorno e rsco esperado e não com o que já aconteceu. Devdo a enorme dfculdade em se obterem estes valores esperados, uma estmatva muto comum para rsco e retorno esperado vem da avalação da méda e volatldade do seu retorno hstórco, supondo que o passado va se repetr de alguma forma. O retorno de qualquer ação é formado por dos componentes. Em prmero lugar, o retorno normal ou esperado da ação é aquela parte da taxa de retorno que é esperada, de acordo com as nformações que os nvestdores possuem a respeto da ação. A segunda parte é o retorno ncerto, provenente de nformações nesperadas, como planos governamentas, varações nas taxas de juros, etc. Quando examnamos os rscos assocados a atvos ndvduas, de acordo com Ross et all (1998), descobrmos que há dos tpos de rscos: RISCO SISTEMÁTICO: É aquele que nfluenca um grande número de atvos, em grau maor ou menor. Como os rscos sstemátcos são efetos que possuem ampltude gual á do mercado como um todo, são as vezes chamados de rsco de mercado.outro nome que pode ser encontrado é rsco não dversfcável. Mudanças no sstema polítco, socal e econômco e taxa de juros são fontes de rsco sstemátco. RISCO NÃO SISTEMÁTICO: É o que afeta um únco atvo ou um grupo pequeno de atvos. Como estes rscos são específcos a empresas ou atvos ndvduas, são às vezes chamados de rsco específco. As prncpas fontes do rsco não sstemátco são o rsco fnancero, o rsco da admnstração e os rscos do setor.

3 3. CAPM O Captal Asset Prcng Model (CAPM), desenvolvdo na década de 60, nos mostra que o retorno esperado de um dado atvo depende de três tens: 1) O valor puro do dnhero no tempo. Meddo pela taxa lvre de rsco, R f, esta é a recompensa por smplesmente esperar pela devolução de seu dnhero aplcado, sem rsco. 2) A recompensa por assumr rsco sstemátco [E(R M ) R f ], meddo pelo prêmo por rsco da cartera de mercado. Este componente é a recompensa que o mercado oferece por se assumr um nível médo de rsco sstemátco, além da espera pelo resultado da aplcação 3) O nível de rsco sstemátco. Meddo por β, essa é a quantdade de rsco sstemátco presente em um dado atvo, relatvamente a um atvo médo Logo, a equação do CAPM é representada da segunte forma: [ E(R M ) Rf ] x β E(R ) = R + (1) f O CAPM mostra que o rsco de um título ndvdual é bem representado pelo seu coefcente beta. Em termos estatístcos se o beta de uma ação é gual a 1, esta tende a subr e descer nas mesmas proporções do mercado. Ações com beta menor que 1 tendem a varar menos que o mercado, e ações com beta maor que 1, tendem a varar mas do que o mercado. O quocente recompensa /rsco do atvo é o quocente entre seu prêmo por rsco: [ E(R ) M R f ] (2) e seu beta, β,ou seja: E(R ) β R f (3) Num mercado bem organzado, esse quocente é dêntco para todos os atvos.em conseqüênca, quando fazemos um gráfco de retorno esperado contra beta, todos os atvos se posconam na mesma lnha reta, denomnada lnha de mercado de títulos (SML). R A SML RM B R F 1,0 β Fgura 1 - Lnha de mercado de títulos.

4 3.1. Beta (b ) Como o rsco sstemátco é o fator determnante do retorno esperado de um atvo, precsamos dspor de algum modo de medr o nível de rsco sstemátco de nvestmentos dferentes. A medda específca a ser utlzada é denomnada coefcente beta (b) O beta nos dz quanto rsco sstemátco um atvo possu, em relação a um atvo médo. Por defnção, um atvo médo possu beta gual a 1,0 em relação a s mesmo. O índce beta é calculado pela segunte manera: σ,c β = 2 (4) σ c onde: σ é a covarânca entre o retorno do atvo com o retorno da cartera de mercado -, c 2 - σ c é a varânca do retorno da cartera de mercado Para β >1, uma pequena varação no retorno da cartera refletra em uma maor varação no retorno do atvo, ou seja, este tpo de papel apresenta maor sensbldade. Para β < 1, uma pequena varação no retorno da cartera, representa uma menor varação no retorno do atvo, ou seja, este tpo de papel apresenta menor sensbldade 4. ÍNDICE DE SHARPE Tendo avalado as alternatvas para se calcular retorno e rsco, podemos tratar mas faclmente de um ndcador de performance que ajusta retorno ao rsco, como é o IS. Formulado por Wllan Sharpe (1966) o IS se encaxa na teora de seleção de cartera, mas especfcamente no modelo CAPM, apontando pontos na lnha do mercado de captas que correspondem a carteras ótmas. O IS costuma ser defndo como : E (R ) R f IS = (5) σc onde: - E (R ) é o retorno esperado da cartera de mercado - R f é o retorno do atvo lvre de rsco - σ C é a volatldade da cartera de mercado O IS é uma estatístca que depende do período sobre o qual fo calculada, e uma vez calculada para um certo prazo, pode ser transformada para um prazo dferente, de acordo com a segunte aproxmação: IS ANUAL = 252IS DIÁRIO (6) A teora de fnanças chega a cartera ótma, em um espaço rsco retorno, com carteras com máxmo retorno esperado para dado rsco. É fácl mostrar que as carteras com maor IS são exatamente as carteras ótmas.tendo determnado quas as carteras ótmas, o nvestdor

5 deve apenas seleconar aquela que proporcona a relação retorno rsco que mas adequar as suas demandas pessoas. Dversos cudados devem ser tomados ao se aplcar o IS na seleção na seleção ou classfcação de nvestmentos. O prmero deles é que o IS não ncorpora nformação sobre a correlação entre atvos, logo, perde a mportânca quando se quer utlzar este ndcador para adconar um atvo ou cartera com rsco a uma cartera que já tenha atvos arrscados. Um segundo cudado com o IS vem de este ser baseado em retorno e rsco esperados e retorno não realzado. Dada as dfculdades em se obterem valores esperados, mutos pratcantes utlzam estatístcas passadas para avalar o IS. O uso do IS anda apresenta alguns problemas como o tamanho da sére a ser utlzada para o cálculo do retorno e rsco esperado e utlzar a melhor taxa de retorno sem rsco Também encontramos problemas para a sua aplcação em atvos que apresentam baxa volatldade, como os fundos de renda fxa. O IS fca enorme devdo ao baxo valor do denomnador da fórmula. 5. MEDIDAS DE COMPARAÇÃO Anda com base no modelo CAPM, que relacona o excesso de retorno de uma cartera com o excesso de retorno de mercado, város outros ndcadores mportantes agregam nformação para a avalação de um nvestdor sobre uma cartera. Dferentes ndcadores podem gerar classfcações dferentes para as carteras e, conseqüentemente, levar a decsões dferentes sobre a aqusção de carteras. Cada um destes ndcadores é aproprado para um cenáro específco de nvestmento. Por exemplo, o IS é adequado para seleconar uma cartera de mercado quando o nvestdor não tem nenhum nvestmento arrscado e esta cartera será seu únco nvestmento com rsco Város ndcadores de performance são construídos, tomando-se a Eq. (5), que explca o excesso de retorno de um nvestmento arrscado, pela quantdade de rsco sstemátco e não sstemátco assumdo. (E(R ) R f ) = α + β (E(R M ) R f ) + ε (7) onde: - E(R ) é o retorno esperado da cartera de mercado - R f é o retorno do atvo lvre de rsco - β é o beta da cartera de mercado - E(R M ) é o retorno do mercado - ε é um erro aleatóro normal padrão O α desta equação mede o excesso de retorno obtdo pelo fundo após ajuste pelo rsco sstemátco, (dado pelo beta vezes o excesso de retorno do mercado). Este é um ndcador conhecdo como alfa ou índce de Jensen.

6 6. TREYNOR Extraído da Eq. (7), trata-se de outro ndcador que mede o excesso de retorno por undade de rsco sstemátco em vez de rsco total como no IS. IT E (R ) = β R F (8) Um nvestdor atvo (que não segue exatamente o índce de mercado), que é bem suceddo, deve mostrar excesso de retorno ajustado pelo beta, que é o alfa postvo. Ao adqurr uma cartera dferente da cartera do índce, na tentatva de superá-lo, ele tem um custo em termos de volatldade, que deve estar contda no termo do erro da Eq. (5). Esse erro é o preço pago para proporconar o retorno excedente dado pelo α. 7. CÁLCULOS De acordo com Ross et all (1995), um célebre conjunto de estudos ldando com taxa de retorno de ações ordnáras, obrgações e letras do tesouro fo realzado por Roger Ibbotson e Rex Snquefeld. Esses autores apresentam taxas hstórcas de retorno, ano a ano, para os seguntes cnco tpos mportantes de nstrumentos fnanceros nos Estados Undos: Ações ordnáras, Ações de Empresas de Menor Captalzação, Obrgações de Longo Prazo Emtdas por Empresas, Obrgações de Longo Prazo do Governo dos Estados Undos e Letras do Tesouro dos Estados Undos. Nenhum dos retornos é ajustado por mpostos ou custos de transação. Além dos retornos dos nstrumentos fnanceros ano a ano, a varação anual do índce de preços ao consumdor também é calculada. Essa é uma medda básca de nflação. Os retornos reas anuas podem ser calculados subtrando-se a nflação anual. = ( 1+ ) /(1 + θ) 1 (9) r a onde: - r é a taxa real; - a é a taxa aparente; - θ é a taxa de nflação. Os cálculos que serão apresentados nesse trabalho, serão um pouco dferentes do que foram apresentados no estudo de Ibbotson e Snquefeld. Essa dferença está na escolha da taxa lvre de rsco e a taxa de retorno da cartera de mercado, pos eles consderaram a prmera como sendo a taxa meda anual das letras do tesouro dos Estados Undos e a segunda como sendo a taxa méda anual das ações ordnáras. Enquanto que para o Brasl serão consderadas as taxas meda anual da poupança e a varação do índce Bovespa como sendo a taxa lvre de rsco e a taxa de retorno da cartera de mercado respectvamente. Tabela 1. Retornos totas anuas no Brasl, Sére Méda Artmétca Prêmo por Rsco Desvo Padrão Ações Ibovespa 28,78% 27,37% 81,70% Poupança 1,41% - 10,19%

7 Encontram-se no anexo os retornos hstórcos do índce Bovespa, nflação (calculada pelo índce IGPDI) e poupança. Agora que fo calculado o retorno médo no mercado de ações, parece sensato compara-lo aos retornos de outros títulos. A comparação mas óbva sera com os retornos de varabldade reduzda da poupança. Tal atvo está lvre da maor parte da volatldade observada no mercado de ações (Ross, 1995). Um ponto a ser dscutdo é o porque da escolha da poupança como taxa de juros sem rsco para o Brasl. Os pratcantes se dvdem entre taxa de juros da poupança e a do CDI. Claramente a do CDI é maor do que a da poupança, embora não seja tão claro que a poupança seja mas próxma de um verdadero atvo sem rsco, vde congelamento de atvos durante o plano Collor. Porém levando-se em conta que o Governo Federal garante a devolução de até cnco ml reas aplcados na poupança e que este atnge a maora dos nvestdores, será tomada a poupança como taxa lvre de rsco. Uma comparação nteressante será feta, envolvendo o retorno vrtualmente lvre de rsco, da poupança, e o muto arrscado retorno em ações contdas na cartera do Ibovespa. Esta dferença entre retornos com rsco e com retornos lvres de rsco é conhecda como retorno excessvo do atvo com rsco. É chamada como excedente porque é o retorno adconal resultante do maor rsco nas ações Ibovespa, e é nterpretada como um prêmo por rsco. A tabela 1 apresenta os retornos médos de ações Ibovespa e poupança anuas no período de 1969 a A partr da, podemos calcular os retornos excedentes. Pode-se ver que o retorno excedente médo de ações Ibovespa, no período ntero, fo de 27,37% (28,78%-1,41) Cálculo do retorno esperado da cartera de mercado (R m ) e o retorno do atvo lvre de rsco (R f ) para o Brasl Após o calculo do retorno esperado da cartera de mercado (R m = 28.78%) e o retorno do atvo lvre de rsco (R f =1,41%), os utlzaremos para o cálculo dos ndcadores como: Sharpe, Treynor, E(R ) e do modelo CAPM para as Blue chps do mês de Dezembro de Estes cálculos são apresentados na tabela abaxo Tabela 2. Algumas meddas de performance para as dez ações mas negocadas na bolsa de São Paulo. Amostra de março de 1999 a setembro de Blue chps Beta Desvo Padrão E(R) Sharpe Treynor Petrobrás PN 1 0,40 28,78% 0,68 0,27 Telemar PN 1,1 0,50 31,52% 0,60 0,25 Petrobrás ON 2,2 0,90 61,62% 0,67 0,12 Globo Cabo PN 1,2 0,80 34,25% 0,41 0,23 Embratel Par PN 1,3 0,70 36,99% 0,51 0,21 Vale do Ro Doce PNA 0,3 0,40 9,62% 0,21 0,91 Brasl T Par PN 0,6 0,50 17,83% 0,33 0,46 Eletrobrás ON 0,7 0,40 20,57% 0,48 0,39 Eletrobrás PNB 0,8 0,50 23,31% 0,44 0,34 Telesp Celular PN 1,1 0,80 31,52% 0,38 0,25

8 8. CONCLUSÃO Após os cálculos apresentados na tabela 2, podemos conclur que a ação que apresenta o maor retorno esperado não é necessaramente o melhor nvestmento. Para poder avalá-las de manera objetva, o nvestdor tem a sua dsposção alguns ndcadores fnanceros. Como apresentado anterormente, utlzamos os índces de Sharpe e Treynor, como meddas de desempenho, ou seja, levaremos em consderação a relação entre retorno e rsco. Se levássemos em consderação somente o retorno esperado da ação, teríamos a falsa mpressão de que a ação Petrobrás ON sera a melhor opção de nvestmento. Agora, levando em consderação o índce Sharpe (IS), o melhor nvestmento sera a ação Petrobrás PN, pos esta possu o maor IS, posto que, de acordo com a revsta Conjuntura Econômca 2000, esta alternatva pode ser combnada, em uma cartera, com o atvo de renda fxa, gerando retornos superores aos de outros nvestmentos, para um nível de rsco desejado. De manera semelhante também podemos ordenar as aplcações fnanceras pelo índce de Treynor (IT) para comparar alternatvas de nvestmentos, de forma a escolher aquela que possua o maor IT, posto que, de acordo com Conjuntura Econômca 2000, esta alternatva pode ser combnada, em uma cartera, com o atvo de renda fxa, gerando retornos superores aos de outros nvestmentos, para um nível de rsco não dversfcável (beta) desejado. Neste caso nossa melhor opção de nvestmento sera a ação Vale do Ro Doce PNA. A obtenção de parâmetros de rsco para o Brasl é fundamental, pos são completamente dferentes dos amercanos, que são encontrados com maor freqüêncas, mas não representam a nossa realdade. Fazendo uma comparação entre o retorno da cartera de mercado encontrado neste trabalho com a encontrada em alguns trabalhos da lteratura braslera, percebemos uma dferença relevante de uma taxa para a outra. O valor encontrado gra em torno de 23%, e o apresentado é de 28,78%. Essa dferença pode ser explcada pela utlzação de fatores dferencados como, por exemplo, a taxa da nflação adotada, o período consderado, a freqüênca dos dados e a forma de cálculo da méda. Neste trabalho fo adotado o índce IGPDI, que reflete a realdade naconal, enquanto que outros autores costumam dolarzar o índce bovespa e utlzam a nflação Norte Amercana. É mportante ressaltar que toda a análse fo feta em relação ao Ibovespa, que é o índce comumente utlzado nos cálculos no Brasl. Se fossem adotados outros índces de mercado como o FGV 100, IBV ou IBX, seram obtdos dferentes resultados na avalação realzada anterormente. Para efeto de comparação, sugere-se o desenvolvmento de trabalhos que utlzem outros parâmetros. REFERÊNCIAS Markowtz, Harry (1952). Portfolo Selecton. New York: John Wley & Sons. Revsta Conjuntura Econômca. Número 4, volume 54, Abrl, Ross, S. et all (1995). Admnstração Fnancera. São Paulo: Atlas. Ross, S. et all (1998). Prncípos de Admnstração Fnancera. São Paulo: Atlas. Sharp, Wllam (1966). Mutual Fund Performance, Journal of Busness, January, Vargas, Gyorg (2000). Capturado na nternet em 01/11/2000.

9 ANEXO Tabela e Gráfco dos Retornos reas da Poupança e Ibovespa. Data Ibovespa Poupança Inflação Retorno Real Ibovespa Retorno Real Poupança ,52% 24,89% 20,35% 119,79% 3,77% ,73% 26,41% 19,26% 29,74% 6,00% ,01% 30,49% 19,47% 78,30% 9,22% ,42% 24,48% 15,72% -51,97% 7,57% ,81% 19,71% 15,54% -9,29% 3,61% ,63% 38,71% 34,55% 1,55% 3,09% ,81% 30,75% 29,35% 4,22% 1,08% ,03% 41,95% 46,25% -15,19% -2,95% ,95% 43,03% 38,80% 1,55% 3,05% ,47% 41,53% 40,83% -25,81% 0,49% ,61% 49,86% 77,21% -11,62% -15,43% ,19% 64,03% 110,25% -31,42% -21,98% ,81% 97,97% 95,18% 9,55% 1,43% ,90% 105,13% 99,72% -17,94% 2,70% ,50% 213,14% 178,09% 208,71% 12,60% ,02% 234,72% 223,72% 67,43% 3,40% ,53% 239,06% 235,10% 49,67% 1,18% ,29% 81,26% 65,03% -14,39% 9,83% ,88% 395,43% 415,87% -73,85% -3,96% ,68% 872,54% 1037,52% 132,85% -14,50% ,49% 1492,00% 1783,01% -1,09% -15,45% ,28% 1616,61% 1476,71% -74,11% 8,87% ,96% 375,86% 480,17% 316,42% -17,98% ,65% 1212,72% 1157,84% -11,30% 4,36% ,20% 2575,46% 2708,17% 97,18% -4,73% ,65% 1087,11% 909,94% 14,82% 17,54% ,26% 41,11% 14,78% -13,97% 22,94% ,76% 16,07% 9,37% 49,73% 6,13% ,83% 16,01% 7,49% 34,74% 7,93% ,46% 14,79% 1,72% -34,59% 12,85% ,93% 12,30% 19,99% 109,96% -6,41% ,72% 8,47% 9,81% -18,70% -1,22% Méda 28,78% 1,41% Desv.Pad. 81,70% 10,19%

10 350,00% 300,00% 250,00% Poupança Ibovespa 200,00% 150,00% 100,00% 50,00% 0,00% -50,00% -100,00% Fgura 2 Gráfco do Retorno Real da Poupança e do Ibovespa de 1969 a 2000.

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