Diversificação - exemplo

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1 INCETEZA E ISCO /4/009 Dversfcação - exemplo oss cap. 0 Cartera com N atvos Nova stuação: Cartera mas dversfcada Todos os títulos têm a mesma Varânca Todas as covarâncas são guas Todos os Títulos tem a mesma partcpação ou peso na cartera. esumo: σ = var cov(, ) = cov var > cov X = N j Demonstra - se que : [PPGE/UFGS]

2 INCETEZA E ISCO /4/009 Matrz de Varâncas e Covarâncas Ação 3... N (/N ) (/N ) (/N ) (/N ) var cov cov cov (/N ) cov (/N ) (/N ) (/N ) var cov cov (/N ) (/N ) (/N ) cov cov var... (/N ) cov N (/N ) cov (/N ) cov (/N ) cov... (/N ) var Todos os termos da Dagonal Prncpal são guas Todos os termos fora da Dagonal Prncpal são guas. Se N. Varânca da Cartera com N Atvos: Var (Cartera) = soma de todas as Células da Matrz N termos na DP e (N x N-) fora da DP Var( cartera) = Var( cartera) = : Peso da varânca : N ( N )var + N ( N ) ( N ) ( N ) var + [( N N ) N ] cov cov Var( cartera) = soma ponderada da varânca e covarânca médas. 0 N, então N ( cartera) = cov Peso da covarânca : Var N ( ) [PPGE/UFGS]

3 INCETEZA E ISCO /4/009 esultado mportante em (): Nessa Cartera especal a varânca dos Títulos desaparecem completamente à medda que o número de Títulos se eleva, entretanto, os termos com as covarâncas permanecem. Efeto Dversfcação: as varâncas de títulos ndvduas são elmnadas com a dversfcação da Cartera, ou seja, dmnu o rsco da cartera. Observe que não ocorre o mesmo com a Covarânca. Intução: devemos dversfcar nossos Investmentos, pos sso reduz o rsco da cartera. Parte do rsco pode ser elmnado com a dversfcação. Exemplo: Sr Smth quer apostar $ 000 numa roleta. Opções: a) Apostar tudo em um únco gro da roleta sco elevado. Stuação do jogo: Se vermelho: apostador ganha $ 000 Se preto: apostador ganha ZEO Observação: há 50% de chance de dá vermelho ou preto. b) Dvdr a aposta: 000 rodadas dferentes apostando $, 00 a cada rodada, no vermelho. esultado da Teora da Probabldade: ganhara em 50% das vezes e tera como ganho esperado receber os $ 000 de volta, claro se a mesa não é vcado. Então, tera elmnado completamente o rsco ao dversfcar as apostas. [PPGE/UFGS] 3

4 INCETEZA E ISCO /4/009 Varânca da cartera esultado mportante: Varânca da Cartera converge assntotcamente para a covarânca. Cada Título adconal ajuda a reduzr sco. sco de Dversfcação cov sco de cartera ou sco de Mercado ou sco Sstemátco N. de Títulos Veja: a dversfcação da cartera tende a elmnar o rsco provocado pela varânca, contudo, permanece o rsco provocado pela covarânca. Comentáros:. Se não houvesse despesas de corretagem e outros custos de transação a Dversfcação nunca devera termnar.. Contudo, na prátca, dversfcar tem custos e o prncpal deles é a despesa de corretagem por real aplcado que caem á medda que se realzam compras maores de uma únca ação 3. Segundo Mer Stutman é necessáro uma cartera de, no mínmo, 30 ações para otmzar uma dversfcação [PPGE/UFGS] 4

5 INCETEZA E ISCO /4/009 Varânca ou sco da taxa de etorno de um Título: sco de um Título ndvdual = sco da Cartera + sco não sstemátco ou Dversfcável. var = cov + var cov ou ( ) var = rsco total ou rsco que se assume qdo se aplca em apenas um título. sco na Cartera = é o rsco que se assume mesmo qdo se conseguu dversfcação ntegral cov. sco Sstemátco ou sco de Mercado. sco Dversfcável ou específco ou não Sstemátco que pode ser elmnado por dversfcação. = rsco Cartera Dversfcada: o rsco de um título solado não é mportante Investdor típco Avesso ao sco. Portanto, preferem carteras bem dversfcadas. Exemplo: Você dspõe de uma economa de $ 5000 que você está guardando para pagar a Unversdade. Você acetara usar esse dnhero na segunte aposta? Se cara você dobra o dnhero Se Coroa você perde tudo. esposta da maora: não aceta. [PPGE/UFGS] 5

6 INCETEZA E ISCO /4/009 Combnar nvestmento com rsco e Título sem rsco. Exemplo: Ações ordnáras da empresa Mervlle tem etorno Esperado de 4% com Desvo padrão de 0,%. Atvos sk-free: tem etorno Esperado de 0% e DP = 0. Aplcação total da senhora X: $ 000, assm dstrbuídos:. $ 350 em ações da empresa Mervlle. $ 650 em atvos rsk-free. Calcular: a) etorno esperado da Cartera b) Varânca da cartera Base de Cálculo: etorno Esperado da Cartera p p = ( 0,35) ( 0.4) + ( 0,65) ( 0,0) = 0,4 =,4% Varânca da Cartera : Observe que : σ = 0 e σ Var ( cartera ) = X Var ( cartera ) = rsk free σ = 0,0049 = 0,07 M Var ( cartera ) = 0,0049 p σ M ( 0,35) ( 0,0) M, F = 0 [PPGE/UFGS] 6

7 ) INCETEZA E ISCO /4/009 elação entre etorno Esperado e sco etornos (cartera e ttulos ,4 Conjunto de oportundades Seqüênca Desvo-padrão (%) Cartera composta de atvos com rsco e atvos sem rsco. etorno e sco com emprestmos lvre de rsco p Aplcação 0%: Mervlle 0% atvos rsk-free Captação de Fundos: $ 00 aqu a taxa de captacao é maor do que a taxa de aplcaçao. Conjunto de oportundades com menor retorno esperado. Seqüênca DP [PPGE/UFGS] 7

8 INCETEZA E ISCO /4/009 Nova stuação: Senhora X toma $ 00 emprestado à taxa Lvre de rsco e aplca $ 00 nas ações Mervlle: Ela está captando a 0% para aplcar num título que rende mas do que 0% ' p ' p = 4,8% DP ' =,0 (0,) ' > p =,0 0,4 + ( 0,) (0,0 ) p DP ' > DP esumo das carteras: DP etorno % Mervlle 0 4 sk-free 0 0 Cartera 7,4 Cartera 4 4,8 [PPGE/UFGS] 8

9 INCETEZA E ISCO /4/009 Cartera ótma: combna aplcação num atvo sem rsco com aplcação numa cartera com atvos com rsco. p Lnha de Mercado de Captas: oferece as melhores oportundades ao nvestdor = Conjunto efcente de todos atvos com e sem rsco. sk Free Q 3 Lnha I DP Indvíduos sk Averse: escolhem alguma cartera entre sk Free e o ponto de tangênca (A) Indvíduos sk lover ou com menor Aversão ao rsco: escolhem pontos além do ponto A Q 3 At & T GM IBM A rskfree Total $00 $00 $00 $00 Ponto Ponto Ponto 3 Q A rskfree (-)40 Total 00% 00% 40% [PPGE/UFGS] 9

10 INCETEZA E ISCO /4/009 Decsões do Investdor Decsões Separadas a) Ponto A: É determnado pelas estmatvas do retorno esperado, varânca e covarânca. Ponto de tangênca entre a taxa lvre de rsco e o conjunto efcente de atvos com rsco. Cartera de atvos com rsco que será escolhda. Não é necessáro nenhuma preferênca pelo sco ou característca pessoal. b) Como combnar o ponto A ao Atvo sk Free: % na cartera A + % nos Atvos sk Free c) Pode tomar emprestado e escolher pontos além de A depende de seu grau de Aversão ao rsco Cartera de equlíbro de mercado: Consdera todos os nvestdores formando Expectatvas a partr dos mesmo Dados Hpótese smplfcadora: os nvestdores desenvolvem as mesmas Crenças sobre etorno esperado e sobre a varânca ou volatldade dos atvos Investdores dferem apenas no comportamento em relação ao rsco Idêntcos para todos: Conjunto Efcente de atvos com rsco Taxa rsk-free Cartera A é a mas desejável Dferença: Escolha da composção (A + Arskfree ) o que depende da preferênca em relação ao rsco. [PPGE/UFGS] 0

11 INCETEZA E ISCO /4/009 Conclusão: Num mercado com expectatvas homogêneas, todos os nvestdores aplcaram na cartera de atvos representada por A. Se todos escolhem A, é possível determnar o que é essa cartera: t é uma cartera t formada por todos td os Títulos Títl exstentes ponderados por seus valores de Mercado. Na pratca: Índce Standard & Poor s 500. Medda de sco de um Título numa cartera ampla: β do Título [PPGE/UFGS]

12 INCETEZA E ISCO /4/009 etornos da Jelco e do Mercado Estado Comportament o do Mercado etorno da Cartera de Mercado etorno da Jelco I Alta 5 5 II Alta 5 5 III Baxa -5-5 IV Baxa -5-5 Suposção ncal: cada Estado tem a mesma probabldade de ocorrênca. etorno Esperado da Jelco: a) Mercado em Alta : Jelco = = 0% Jelco b) Mercado Jelco Jelco = - 5 = -0% em Baxa + 5 : jelco jelco = = 0% Comportamento do mercado etorno da cartera de mercado etorno da Jelco Alta 5% 0% Baxa -5% -0% [PPGE/UFGS]

13 INCETEZA E ISCO /4/009 Coefcente de Sensbldade da Jelco etorno do Título (%) 0 5 Beta do Título β =, Seqüênca etorno da Cartera de Mercado (%) β =,5 = os retornos dos Títulos da Jelco são amplados uma vez e mea em relação aos do mercado. Quando o mercado sobe a Jelco terá uma expansão maor, quando mercado desce a Jelco ca anda mas. esumo: a) β= é o beta do título médo no mercado b) β=,5 é mas sensível às osclacoes do mercado c) β<0 eduz o rsco da cartera. [PPGE/UFGS] 3

14 INCETEZA E ISCO /4/009 Fórmula do Beta : Cov (, β = σ Cov (, e o σ M M M ) = M ) é a retorno da cartera de mercado. = é a varânca covarânc a entre do Mercado. o retorno do atvo Propredade: O beta médo de todos os títulos quando ponderado pela proporção do valor de mercado de cada título em relação ao da cartera de mercado é gual a. N = X β =,0 X = é a proporção o valor do mercado do valor de mercado como um todo. do título e elacao entre sco e etorno Esperado Argumento comum: o retorno esperado de um atvo deve está postvamente correlaconado com o seu rsco, pos ndvíduos aplcam em um atvo de rsco apenas se o seu retorno esperado compensa o seu rsco. a) etorno da Cartera de Mercado M = skfree + Pr êmo por sco b) etorno de um Título solado = + β rskfree ( ) M rskfree O etorno esperado de um Título está dretamente relaconado ao seu Beta. John Lntner Wllam F. Sharpe CAPM (Captal Asset Prcng Model) [PPGE/UFGS] 4

15 INCETEZA E ISCO /4/009 Lnha de Mercado de Títulos: S M L M f *S M *T Beta Nnguém aplca em S ou T: s < na SML Inclnação: ( M F ) > 0 o retorno esperado da cartera é maor que a taxa rsk free. Observação: SML é dferente da Lnha de Mercado de captas(conjunto efcente de carteras formadas por atvos de rsco e rsk free) observe SML: Exo-horzontal é o beta Vale para títulos ndvduas quanto para todas as carteras possíves Lnha de mercado Exo-horzontal é o DP Cada ponto é uma cartera [PPGE/UFGS] 5

16 INCETEZA E ISCO /4/009 Casos especas: a) β = 0 = b) β = = rskfree M Proposção: Títulos com Beta-maores devem ter retornos esperados maores. O Beta é a medda de rsco numa cartera de mercado ampla. Empresa A e B : Exemplo: β Outros Entao A B F M A = 5;,5; β = = = 7% 7 5,% : Dados = 7 +,5 + 0, 7 B = 07 0,7 : ( 9, ) = 0, 8 % ( 9, ) = 3, 44 % Teora da Precfcação por Arbtragem oss cap. [PPGE/UFGS] 6

17 INCETEZA E ISCO /4/009 esultados do modelo anteror:. Dversfcação em ações dmnu o rsco do Investmento. Há nterdependênca entre retornos modelo CAPM(960) Modelo APT: Stephen oss (976) Novo tratamento para a relação entre os retornos dos atvos No modelo CAPM os retornos tem dstrbução normal e os nvestdores são sk Averse (Função Utldade quadrátca) No modelo APT os etornos são gerados por uma sére de fatores setoras e geras de mercado. Correlação entre atvos: são nfluencados pelos mesmos fatores M d l CAPM ã f d l ã t Modelo CAPM: não especfca as causas da correlação entre retornos dos atvos. [PPGE/UFGS] 7

18 INCETEZA E ISCO /4/009 Taxa de retorno de qualquer Ação: a) etorno normal ou esperado da Ação b) etorno Incerto da Ação. Comportamentos das nsttuções, surpresas tecnológcas, notcas, negocações, etc Portanto, temos: ISCO: = + U Verdadero rsco de qualquer nvestmento sco Sstemátco = qualquer rsco que afeta um grande número de atvos, cada um com menor ou maor ntensdade. sco Não-Sstemátco = é um rsco que afeta especfcamente um únco atvo ou um pequeno grupo de atvos Ex de rsco Sstemátco: ncerteza quanto à economa; febre aftosa, descoberta de petróleo, grpe avára. = + U = + m + E E = rsco nao sstemátco Influenca todos os atvos no mercado. m = rsco sstemátco ou rsco de mercado sco Sstemátco e Betas: Coefcente Beta = a nfluênca de um rsco sstemátco sobre o retorno de um título. Observe que no modelo CAPM o beta era uma medda da sensbldade do etorno de um título à taxa de retorno da cartera de Mercado Algumas empresas são sensíves à varação do dólar outras não são nfluencadas pelo comportamento do câmbo. [PPGE/UFGS] 8

19 INCETEZA E ISCO /4/009 Modelo Fatoral Fatores = fontes de rsco Sstemátco. F= surpresa. F = F efetvo F esperado. Modelo com k-fatores: ft = + β F + β F β F k k + E Não sabemos qual é o conjunto correto de fatores. Cada ação terá um beta assocado a cada rsco Na pratca usamos um índce de mercado, S & P(500), por exemplo. É especfco de cada título e não tem correlação com o E de outros títulos Exemplo: Surpresa e etorno Esperado defnem o etorno da Ação Prevsão Fatos Surpresa F Betas em to (%) durante o (%) (dados) ano (%) Inflação 5 7 Crescmento do PIB - Varação dos Juros ,8 [PPGE/UFGS] 9

20 INCETEZA E ISCO /4/009 etorno da Ação durante o Ano: = + U = + m + E m = β F = + β F Base m = de [ ] + [ ( ) ] + [(,8 ) ( )] m = 6,6 % m + I I + β I I PIB Cálculos F + β PIB PIB : + β F F PIB E = 6,6 + 5 =,6 % Dado = 4%, temos : = 4 + 6,6 + 5 = 5,6 % J J + β F J J + E Dados do problema: E = 5% = 4% Tabela de Surpresas (F) Comentáros: O Termo E é específco de uma Ação e não tem correlação com o termo E de outra Ação. Não é possível defnr o conjunto correto de Fatores No modelo Fatoral a fonte de rsco sstemátco são os Fatores [PPGE/UFGS] 0

21 INCETEZA E ISCO /4/009 Na prátca: modelo de fator únco (S & P (500) ) (S & P (500) ) funcona como o Índce de etornos do mercado de Ações. Modelo de Mercado = + β ( = S & P β S & P 500 ( - ) M β M M ou = α + β M + E α = + E ) + E Carteras e Modelos Fatoras Cada uma das ações na cartera obedece a um únco fator (F) que va ser usado para capturar o sco Sstemátco. Agora o F (que pode ser qualquer aspecto) é o mesmo para todas as ações. = + β F+ E ( ) β = epresenta fator nfluênca β = 0 = + E a manera a - ésma específca ação. pela qual o [PPGE/UFGS]

22 INCETEZA E ISCO /4/009 - F β=,5 β=,0 β=0,5 E = 0 etorno (%) do Fator F etorno da Cartera p = é a méda ponderada dos retornos dos atvos que compõem a cartera. = X + X X p N N () X + X X N =,0 Substtundo cada por () em( ), temos: p ( + β F + E ) + X ( + β F + E ) X ( + F E ) (3) = X β + N N N N etorno da ação [PPGE/UFGS]

23 INCETEZA E ISCO /4/009 Parâmetros que determnam o etorno da Cartera: I. O retorno esperado de cada título ndvdual II. III. O beta de cada título multplcado por F O rsco não-sstemátco de cada título ndvdual e-escrevendo ( 3 ): p = + X + X X ( X β + X β X β ) N N N + N F + Lnha I Lnha II + X E + X E X N E N Lnha III Incerteza: apenas nas lnhas I e II (F e E) [PPGE/UFGS] 3

24 INCETEZA E ISCO /4/009 Proposção Prop. A méda ponderada do sco não- sstemátco tende a zero quando o número de títulos com pesos guas tende para o nfnto. esultados: a) Lnha I permanece a mesma b) Lnha II permanece a mesma (F não é afetado por N, ou F afeta todos gualmente, não há efeto dversfcação na lnha II) c) Lnha III tende a desaparecer porque os rscos não sstemátcos são ndependentes um do outro, então, o efeto dversfcação aumenta com o aumento do numero de títulos na cartera. Composção do sco no Modelo Fatoral. sco Não Sstemátco sco Total Dversfcação: o rsco não sstemátco da lnha III desaparece o rsco sstemátco da lnha II permanece. sco Sstemátco É captado pela varação do F e não dmnu com a dversfcação N (títulos na cartera) Modelo CAPM: sco Sstemátco decorre das covarâncas postvas entre os títulos Modelo Fatoral: sco Sstemátco decorre de um Fator comum Observe que os argumentos são semelhantes pos um fator comum causa covarâncas postvas (títulos camnham juntos) [PPGE/UFGS] 4

25 INCETEZA E ISCO /4/009 Betas e etorno Esperado No Modelo CAPM:Beta é a medda aproprada de rsco sob as hpóteses de Expectatvas homogêneas e a possbldade de captação de fundos à taxa lvre de rscos. O retorno Esperado é uma recompensa pelo rsco, então, há uma relação postva entre retorno e beta. Modelo Fatoral: chega numa relação semelhante. esultados comuns aos dos modelos: sco relevante é o rsco sstemátco sco não-sstemátco é elmnado pela dversfcação O rsco não-sstemátco afeta apenas o retorno de uma Ação solada. Um nvestdor bem dversfcado pode gnorar rscos não-sstemátcos dos Títulos Somente o sco Sstemátco está assocado ao retorno esperado [PPGE/UFGS] 5

26 INCETEZA E ISCO /4/009 Exemplo: modelo fator únco Hpóteses específcas:. Todos os títulos têm o mesmo retorno esperado de 0 % (Lnha I gual a 0%). Todos Títulos têm β = (Lnha II gual a F). Atenção concentrada no comportamento de um ndvduo W que decde aplcar numa cartera na qual todos os títulos têm pesos guas. etorno da Cartera do sr. W. Lnha I Lnha II p = 0 + F + E + E N N N E N N Lnha III 0, p = 0 + F (4 ) Lnha III [PPGE/UFGS] 6

27 INCETEZA E ISCO /4/009 Beta ( % ) Ponto sk Free 0 0 Ponto L,8 35 Ponto A,0 8,5 Ponto P,0,5 Ponto B,0 8,3 Cartera (F + A),0,5 etorno Esperado (%) Observe: o rsco não sstemátco do ponto P é dferente do rsco não sstemátco da cartera ( F + A) etorno da cartera: ( A+ p F ) (0+ 35) = ( A+ p F ) =,5% Portanto, o Título P possu o mesmo retorno e o mesmo beta da cartera composta por uma combnação entre o atvo rsk free e o Título A, porém, o rsco não sstemátco do Título P é dferente do sco não sstemátco da cartera. [PPGE/UFGS] 7

28 INCETEZA E ISCO /4/009 etorno Esperado (%) 35 A L Lnha de Mercado de Títulos,5 0 P B = + β F ( ) p p = etorno esperadodo atvo P. F β Lnha Mercado: combnações entre o Atvo lvre de rsco e qualquer um dos outros atvos. etorno de P > etorno de B ( com o mesmo sco) Preço de B é excessvamente alto: uma redução do preço de B aumenta o seu retorno (retorna à lnha) Cartera de Mercado e Fator únco: O Beta do modelo CAPM: mede a sensbldade do título a flutuações da cartera de mercado. O Beta no modelo APT fator únco: mede a sensbldade de um Título ao fator. Quando a cartera tem uma correlação perfeta com o fator únco ela é uma versão amplada ou reduzda do Fator. [PPGE/UFGS] 8

29 INCETEZA E ISCO /4/009 Cartera de mercado é o Fator. etornos Lnha de Mercado de Títulos M Beta Nova Equação para etorno do Título: Mdl Modelo de ú únco Fator : = + β F + E Tomando -se a Cartera de Mercado com o Fator : = F + β ( ) M F = etorno esperado de qualquer atvo M = etorno esperado do mercado. [PPGE/UFGS] 9

30 INCETEZA E ISCO /4/009 Comparação entre os Modelos: Precfcação de Atvos Precfcação por (CAPM) Arbtragem (APT) a) Dscute conjuntos efcentes a) Adcona fatores até que o rsco não sstemátco de b) Pode haver correlação qualquer título perca entre os rscos não correlação com o rsco não sstemátcos de atvos sstemátco de todos os dferentes demas títulos. c) Ignora os fatores b) Capacdade de ldar com dversos fatores c) Mas realsta Versão Multfatoral do APT: ( ) β + ( ) β ( ) = + β F F F K β = Beta do Título em relação ao prmero fator. Comentáros:. O retorno esperado do Título depende dos Betas do Título em relação aos dversos fatores.. Cada fator representa rsco que não pode ser elmnado por meo de dversfcação. f 3. Quanto mas elevado o beta do título em relação a um dado fator, maor será o rsco possuído pelo título. 4. Oretornoesperadoéasomadataxalvrederscocomacompensação por tpo de rsco que o título possu. 5. Problema: a escolha dos fatores aproprados não está baseada na Teora. F K [PPGE/UFGS] 30

31 INCETEZA E ISCO /4/009 Exemplo Fatores:. Crescmento mensal da produção ndustral (PI). Varação da Inflação Esperada (DIE) 3. Inflação Esperada (II) 4. Varação nesperada do Prêmo por rsco de obrgações com rsco (P) 5. Varação nesperada da dferença entre taxa de obrgações governamentas a longo prazo e a taxa de obrgações a curto prazo (DP) etorno Esperado da Ação: Estudos empírcos : = 0, ,036 β - 0,000 β S + 0,007 β P - 0,005 β DI PI DIE - 0,0006 β + II Betas observados para uma Ação dada : β =,; β PI β = 3; β II =,6; β = 0,. = ; = 0,0095 = 0,95% S P DI Taxa Anual = S DIE = 0,95% Pode ser usado como S Taxa Mensal de Desconto [(,0095 ) ] = 0, 0 : [PPGE/UFGS] 3

32 INCETEZA E ISCO /4/009 Enfoques Alternatvos: Método paramétrco ou empírco: exame das regulardades observadas nos dados do passado. Não possuem uma teora de funconamento do mercado fnancero. Busca relação entre os atrbutos (tamanho da empresa, por exemplo) e os retornos esperados. Crítcas: Data mnng: os atrbutos escolhdos pelos pesqusadores são escolhdos exatamente porque já se possu evdênca de que estão correlaconados aos retornos. olhar nuvens, após algum tempo verá nuvens que se parecem com aqulo que você quser, palhaços, ursos, etc. Caracterzar estlo de gestão de recursos va atrbutos das ações: Cartera de Estratéga de crescmento: alto P/L (P = preço da ação; L = lucro). Cartera com estratéga de Valor: Baxo (P/L) Usar algum índce como Benchmark (S & P 500 ): comparar o desempenho dos admnstradores em relação ao índce. [PPGE/UFGS] 3

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