BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 2011

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1 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares quadrmestre 0 Além destes eercícos, reveja os que foram fetos nas aulas. Para estudar mas, faça todos os eercícos relaconados aos assuntos vstos em aula dos Capítulos 6 e 7 do lvro do Hnes (referênca [] da págna da dscplna) ou do Capítulo 5 do lvro do Larson (referênca [4] da págna da dscplna). Ambos estão dsponíves em mutos volumes na bbloteca. Bons estudos!. (DEVORE, 006, p. 9) Seja o tempo que um lvro de uma reserva de duas horas, na bbloteca de uma faculdade, é eamnado por um estudante seleconado aleatoramente e suponha que tenha FDA: 0, < 0 F( ) =,0 < 4,. Use tas condções para calcular os tens a segur: (a) P( ) (b) P( 0.5 ) (c) P( > 0.5) (d) a medana da duração da retrada µɶ [resolva 0.5= F ( µ ɶ ) ] (e) F' ( ) para obter a função densdade f( ) (f) E (g) e. (h) se o aluno que retra o lvro tem uma taa a pagar h =, quando a duração da retrada é, calcule o valor esperado da taa E h Respostas: (a) 0,5; (b) 0,875; (c) 0,975; (d),44; (e) f( ) = para 0< < ; (f),; (g) 0,; 0,47; (h).

2 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0. (DEVORE, 006, p. 9) Tempo de avanço no fluo de tráfego é o tempo entre o nstante em que um carro termna de passar por um ponto fo e o nstante em que o prómo carro começa a passar por esse ponto. Seja = o tempo de avanço entre dos carros consecutvos seleconados aleatoramente (em segundos). Suponha que, em certo ambente de tráfego, a dstrbução do tempo de avanço tenha a forma k, 4 > f =. 0, (a) Determne o valor de k para o qual f( ) é uma FDP legítma. (b) Obtenha a função de dstrbução acumulada. (c) Use a FDA de (b) para determnar a probabldade de o tempo de avanço eceder segundos e também a probabldade de ele estar entre e segundos. (d) Obtenha o valor médo do tempo de avanço e seu desvo padrão. (e) Qual é a probabldade de o tempo de avanço estar dentro de um desvo padrão em relação à méda? Respostas: (a) ; (b) 0 para, para >, (c) 0,5; 0,088; (d),5; 0,866; (e) 0,94.. (DEVORE, 006, p. 9) Seja o espaço ocupado por um produto colocado em um recpente de pé cúbco. a FDP de é f 8 < < 90,0 = 0, caso contráro (a) Desenhe o gráfco da FDP. Determne então a FDA de e desenhe seu gráfco. (b) Qual é a P( 0,5) [sto é, ( 0,5) F ]? (c) Usando o tem (a), qual é P( 0,5< 0,5)? Qual é P( 0,5 0,5) (d) Qual é o 75o percentl da dstrbução? (e) Calcule E e.? (f) Qual é a probabldade de estar a mas de desvo padrão em relação ao valor da méda? Respostas: (a) F( ) = 0 para 0, 0,007;0,007; (d) 0,906; (e) 0,88; 0,; (f) 0, = 9 0, para 0< <, para ; (b) 0,007; (c) 4. (DEVORE, 006, p. 49) Seja Z uma VA normal padrão. Em cada caso, determne o valor da constante c que torna correta a declaração de probabldade.

3 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0 (a) Φ ( c) = 0,988. (b) ( c) P 0 Z = 0, 9 (c) P( c Z ) = 0, (d) P( c Z c) = 0,668 (e) P( c Z ) = 0,06 Respostas: (a),4; (b) 0,8; (c),7; (d) 0,97; (e),4. 5. (DEVORE, 006, p. 49) Determne z α para os tens a segur: (a) α= 0, 0055 (b) α= 0, 09 (c) α= 0, 66 Respostas: (a),54; (b),4; (c) -0,4. 6. (DEVORE, 006, p. 50) Suponha que a força que age sobre uma coluna que ajuda a suportar um edfíco tenha dstrbução normal com méda 5,0 kps e desvo padrão,5 kps. Qual é a probabldade de a força (a) ser no mámo 8 kps? (b) estar entre 0 e kps? (c) dferr de 5,0 kps por no mámo desvos padrão? Respostas: (a) 0,998; (b) 0,008; (c) 0, (DEVORE, 006, p. 57) Calcule os dados a segur: (a) Γ ( 6) ; (b) 5 Γ ; (c) F ( 4;5) (a função gama ncompleta) (d) F ( 5;4) (e) F ( 0;4) Respostas: (a) 0; (b),9; (c) 0,7; (d) 0,75; (e) (DEVORE, 006, p. 57) Suponha que o tempo gasto por um aluno seleconado aleatoramente que usa um termnal conectado a uma nstalação de um computador com tmesharng tem uma dstrbução gama com méda de 0 mnutos e varânca de 80 mn.

4 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0 (a) Quas são os valores de α e β? (b) Qual é a probabldade de um aluno usar o termnal por no mámo 4 mnutos? (c) Qual é a probabldade de um aluno passar entre 0 e 40 mnutos usando o termnal? Respostas: (a) 5, 4; (b) 0,75; (c) 0,4. 9. (DEVORE, 006, p. 57) Seja = tempo entre duas chegadas sucessvas no guchê de atendmento rápdo de um banco local. Se possu dstrbução eponencal com λ= (que é dêntca a uma dstrbução gama-padrão com α= ), calcule os tens a segur: (a) o tempo esperado entre duas chegadas sucessvas (b) o desvo padrão do tempo entre chegadas sucessvas (c) P( 4) (d) P( 5) Respostas: (a) ; (b) ; (c) 0,98; (d) 0,9. 0. (DEVORE, 006, p. 88) Um posto de gasolna tem lhas de autosservço e de servço completo. Em cada lha, há uma únca bomba de gasolna comum com duas mangueras. Sejam = número de mangueras em uso na lha de autosservço em um momento específco e Y = número de mangueras na lha de servço completo em uso naquele mesmo momento. A FMP de e Y é mostrada na tabela a segur: (a) Qual é a P( e Y ) = =? (b) Calcule P( e Y ). p y Y,, (c) Descreva o evento { 0 e Y 0} y 0 0 0,0 0,04 0,0 0,08 0,0 0,06 0,06 0,4 0,0 e calcule a sua probabldade. (d) Calcule a FMP margnal de e Y. Usando p( ), qual é a (e) e Y são VAs ndependentes? Eplque. P? Respostas: (a) 0,0; (b) 0,4; (c) Pelo menos uma manguera é utlzada em cada bomba: 0,70; (d) 0,6; 0,4; 0,50 p = para 0,, Y 0,4; 0,8; 0,8 p y = para 0,, p p p, 0,0 0 0, por eemplo. Y Y = respectvamente; y=, respectvamente; 0,50. (e) Não; 4

5 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0. (DEVORE, 006, p. 96) Um determnado mercado tem uma fla de caa epressa e uma fla de caa super-epressa. Represente por o número de clentes na fla da caa epressa em um determnado horáro do da e por o número de clentes na fla da caa super-epressa no mesmo horáro. Suponha que a FMP conjunta de e seja dada na tabela a segur ,08 0,07 0,04 0,00 0,06 0,5 0,05 0,04 0,05 0,04 0,0 0,06 0,00 0,0 0,04 0,07 4 0,00 0,0 0,05 0,06 A dferença entre o número de clentes na fla da caa epressa e o número de clentes na caa super-epressa é. Calcule a dferença esperada. Resposta: 0,5.. (DEVORE, 006, p. 05) Uma determnada marca de sabão para máquna de lavar louça é vendda em três tamanhos: 5 oz, 40 oz e 65 oz. Vnte por cento de todos os compradores escolhem a caa de 5 oz, 50% escolhem a caa de 40 oz e os 0% restantes escolhem a caa de 65 oz. Sejam e os tamanhos dos pacotes escolhdos por dos compradores seleconados ndependentemente. (a) Determne a dstrbução de, calcule E( ) e compare a µ. (b) Determne a dstrbução da amostragem da varânca da amostra compare com. Respostas: (a) 5, ,5 65 p 0,04 0,0 0,5 0, 0,0 0,09 E = µ = 44,5 (b) s p s s 0,5, ,8 0,0 0,0 0, E S =, 5= S, calcule E S e 5

6 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0. (DEVORE, 006, p. 05) Sabe-se que 80% de todos os zp drvers de marca A funconam de forma satsfatóra durante o período de garanta (são sucessos ). Suponha que n= 0 drvers sejam seleconados aleatoramente. Seja = número de sucessos na amostra. A estatístca n é a proporção da amostra (fração) de sucessos. Obtenha a dstrbução de amostragem desta estatístca. [Sugestão: um valor possível de n é 0,, correspondente a =. Qual é a probabldade desse valor (que tpo de varável aleatóra é )?] Resposta: Proporção 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Probabldade 0,000 0,000 0,000 0,00 0,005 0,07 0,088 0,0 0,0 0,69 0,07 4. (DEVORE, 006, p. ) O dâmetro nterno de um anel de pstão seleconado casualmente é uma VA com valor médo cm e desvo padrão 0,04 cm. Suponha que a dstrbução do dâmetro seja normal e que se tome uma amostra aleatóra de n anés. Seja o dâmetro médo para esta amostra. (a) Calcule (,99,0) P quando n= 6. (b) Qual é a probabldade de o dâmetro médo da amostra eceder,0 quando n= 5? Respostas: (a) 0,686; (b) 0, (DEVORE, 006, p. 6) Sejam, e os tempos necessáros para realzar três reparos sucessvos em determnada ofcna. Suponha que sejam VAs normas ndependentes com valores esperados µ, µ e µ e varâncas (a) Se µ = µ = µ = 60 e Qual é a ( 50 ) 00 5 P + +? (b) Usando os µ s e (c) Usando os µ s e, e, respectvamente. = = =, calcule P( ) s da parte (a), calcule P( 55 ) e P( 58 6) s da parte (a), calcule P( 0 0,5 0,5 5). (d) Se µ = 40, µ = 50, µ = 60, P ( + + ) e P( ) = 0, Respostas: (a) 0,9986; 0,9986; (b) 0,905; 0,970; (c) 0,857; (d) 0,955; 0,000. = e = 4, calcule 6