AS CARTEIRAS DE INVESTIMENTO E A SEMIVARIÂNCIA

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1 AS CARTEIRAS DE INVESTIMENTO E A SEMIVARIÂNCIA chrstóvão thago de brto neto Professor Adjunto II do Programa de Engenhara de Produção da Unversdade Federal do Ro Grande do Norte (UFRN) - E-mal: brto@ufrnet.br joão felpe volkmer Graduando em Admnstração da Unversdade Federal do Ro Grande do Norte (UFRN) Abstract: Ths paper examnes the concept of semvarance and ts utlzaton as a rsk estmaton n the mnmum varance portfolo applyng the Markowtz theory. Consderng a fve per cent level of sgnfcance, the Wlcoxon nonparametrc test results suggest that ts utlzaton n the perod of analyss along wth the suppostons adopted do not produce sgnfcatve modfcatons n the expected returns n comparson to the portfolo usng the varance as a rsk measurement. There are sgnfcant alteratons n the portfolo composton, proved by usng the Wlcoxon nonparametrc test consderng a fve per cent level of sgnfcance. However, there are no sgnfcatves alteratons n the expected returns. Yet, tests through the nonparametrc Ch-Square statctc test f the seres presented are normal consderng a fve percent sgnfcance level. Thus, the artcle came to the concluson that the seres do not obey the Gauss curve. Key words: semvarance ; expected return ; portfolo analyss Introdução. Os nvestdores assocam rsco à varabldade das taxas de retorno dos atvos, sendo o desvo padrão e a varânca as meddas tradconas de rsco. Um nconvenente potencal sobre o uso dessas meddas na análse do rsco é que elas nterpretam tanto os desvos postvos como os negatvos em relação ao retorno esperado como ndesejáves. Na prátca, no entanto, sabe-se que os nvestdores acolhem com prazer as surpresas postvas, ou seja, aquelas desvos que ultrapassam o retorno pretenddo. Uma medda natural de rsco devera focalzar apenas os resultados runs. Com efeto, os retornos acma da méda ou de um referencal qualquer não deveram ser computados e, por consegunte, adconados ao rsco da cartera. Os nvestdores tratam dferentemente os rscos de perda e os rscos de ganho. Nas decsões que envolvem perdas, o nvestdor está dsposto a correr rscos. Entretanto, ao tomarem uma decsão envolvendo ganhos, o nvestdor mostra-se avesso ao rsco. Se os retornos dos atvos não estverem normalmente dstrbuídos em uma curva de Gauss (ou normal), a varânca poderá não refletr as ncertezas reas da cartera (Bernstren, 997, p. 59). No entanto, pesqusas recentes têm evdencado que os retornos de mutos atvos estão dstrbuídos de forma assmétrca. Quando uma curva é postvamente nclnada, há mas retornos abaxo da méda do que acma. Contraramente, se a curva tem uma

2 nclnação negatva, há mas retornos acma da méda do que abaxo (Levne, 999, p ). Dadas as defcênca do desvo padrão e da varânca como meddas de rsco, temse observado o uso de novas forma de mensuração do rsco, como o downsde rsk (Elton & Gruber, 995, p. 50). Esta nova abordagem vsa dscernr os bons retornos dos retornos runs. Bons retornos são aqueles acma de um referencal prevamente estabelecdo. Retornos runs são aqueles observados abaxo do referencal. De acordo com essa teora, apenas os retornos runs são consderados como rsco. Uma das formas de se medr o rsco pela abordagem downsde rsk é utlzando-se uma medda chamada semvarânca. A semvarânca relatva, termo proposto por Harry Markowtz em seus estudos que craram a moderna teora de carteras e objeto de estudo desse artgo, é uma medda alternatva de rsco que utlza somente as dferenças negatvas em relação a uma méda dos retornos ou um referencal qualquer. O uso da semvarânca como medda de rsco alternatva pode ser fundamentada em algumas premssas, dentre as quas podemos destacar as seguntes: A semvarânca consdera os objetvos do nvestdor como um referencal ao passo que a varânca não o faz; A semvarânca defne rsco em anuênca com o nvestdor, ou seja, de acordo com sua percepção de rsco. Já o desvo padrão e a varânca tradconal não procura um objetvo ou referencal, apenas mede a dspersão dos retornos ao redor da méda; e A semvarânca reconhece que as dstrbuções de uma cartera podem ser smétrcas ou assmétrcas. Já o desvo padrão convenconal assume que todas dstrbuções são smétrcas, podendo ocasonar mopas na análse do rsco. Este trabalho responderá as seguntes perguntas, ambas com nível de sgnfcânca de 5%: o pressuposto da curva normal é obedecdo pelas séres de rentabldades dos atvos em análse? exste uma mudança sgnfcatva na composção da cartera de mínma varânca ao utlzarmos o conceto de semvarânca? 3 as rentabldades das carteras de mínma varânca compostas com os concetos varânca (PLENA) e semvarânca (SEMI) são sgnfcatvamente dferentes? - O Problema da Cartera. Freqüentemente, os nvestdores não estão nteressados em nvestr todo seu dnhero em um únco atvo. Há maor nteresse em alocar o dnhero entre uma cartera de valores mobláros composta por um número varado de atvos. A adoção de város atvos em uma cartera tem o propósto de proteger o nvestdor através da dversfcação. O retorno esperado de uma cartera é exatamente a méda ponderada dos retornos esperados sobre os valores mobláros de cada componente, nos quas os pesos são guas

3 à proporção que cada valor mobláro representa na cartera, de acordo com a fórmula N abaxo R C = X E, onde C é o retorno esperado da cartera, X é o valor percentual = nvestdo no atvo e E é o retorno esperado no atvo. R O rsco da cartera por sua vez exge um pouco mas de atenção. O cálculo é efetuado utlzando-se a abordagem crada pelo economsta Harry Markowtz, em 95, quando publcou o artgo nttulado portfolo selecton, sendo usualmente medda pela varânca. A varânca mede as varabldades postvas e negatvas dos retornos ao redor de uma méda, consderando-as sempre como não desejáves. O rsco da cartera não é a méda ponderada dos rscos dos atvos que a compõe. Depende, também, do comportamento conjunto dos mesmos. Este nos mostra como os retornos dos atvos são correlaconados, sto é, a tendênca de andarem juntos. Duas meddas são utlzadas para medr este comportamento: covarânca e a correlação. A covarânca, que é afetada pela escala usada para medr as varáves, é dada por j. Um valor postvo sugere a tendênca de andarem juntos, negatvo em dreções opostas e próxmo a zero pouca ou nenhuma relação. Juntando as varâncas e as covarâncas e supondo apenas dos atvos na cartera podemos estmar a varânca da cartera c que é dada por: c = E R c = E X c = E ( c Rc ) = E( XRt + XRt ( XR + XR ) ( ( Rt R) + X( Rt R ) X ( R R ) + X X ( R R )( R R ) + X ( R R ) t ( R ) + X X E( R R )( R R ) + X E( R R ) c = X E Rt c = X + XX + X t t t t t t Generalzando para N atvos obtemos: c = N X = + N N XXjj = j= j Mutas pessoas, no entanto, avalam que o rsco pode ser defndo como a obtenção de um resultado nferor ao da méda ou qualquer outro referencal. Isto posto, os resultados postvos, ou seja, aqueles cujos valores excedem a méda ou o referencal devem ser desconsderados. De fato, os retornos acma da méda ou do referencal não representam preocupação para os nvestdores. A semvarânca relatva é uma medda assmétrca centrada sobre o lado nferor da dstrbução de probabldade e evta penalzar bons desempenhos. 3

4 ( ) Rt T = A semvarânca pode ser calculada pela fórmula ς =, sendo (R t N T) = 0 quando R T, onde ς é a semvarânca do atvo, Rt é o retorno do atvo no tempo t, T é o valor alvo e N é o número de observações. 3 A Cartera de Mínma Varânca. A cartera de mínma varânca otmza as possbldades de retorno frente a outras carteras de atvos ou mnmza as possbldades de perda. Para o caso mas comum de dos atvos, a varânca é dada por: N C = ( X + ( X ) + X ( X ) ) Tomando a prmera dervada em relação a X e fazendo a prmera dervada gual a zero para mnmzar a função e resolvendo para X temos: ( ) X = (Eq.) ( + ) Para ser um ponto de mínmo, a dervada segunda deve ter um valor postvo. 4 Um Caso Prátco. O caso prátco consderará os dos atvos fnanceros de renda varável exstentes no mercado: o IBOVESPA e o DÓLAR. O IBOVESPA é dvulgado pela Bolsa de Valores de São Paulo sendo o melhor representante do mercado aconáro. Utlzaremos a sua cotação de fechamento. O DÓLAR é dvulgado pelo Banco Central do Brasl sendo o representante do mercado cambal. Utlzaremos a cotação de venda do dólar pronto (ptax). A prncpal vantagem de usarmos este dos atvos é que os mesmos avalam desempenhos de mercados dferentes, sugerndo uma covaração próxma de zero. Os valores utlzados e o período da análse encontram-se no anexo. O prmero ponto é verfcar se as duas séres são normas. Para tanto utlzaremos a estatístca não-paramétrca QUI-QUADRADO ( Χ ) (Segel, 975, p.46). Esta técnca testa se as freqüêncas observadas estão sufcentemente próxmas das esperadas para justfcar a hpótese nula de não exstr dferença entre as freqüêncas, sugerndo ser a sére normal. A hpótese nula pode ser testada pela fórmula Χ = k = ( O E ) E, onde O são os casos observados, E são os casos esperados e Σ ndca o somatóro para todas as k categoras, sendo k- os graus de lberdade. Os esperados serão baseados na dstrbução normal. 4

5 Para a prmera sére de 60 observações do IBOVESPA, temos uma méda gual a 0,0033 e desvo padrão, como população, de 0,08. Somando todas as dstâncas achamos o valor de 8,63 que resulta num valor p = 0,07, calculado com 8 grau de lberdade, utlzando-se a função DIST.QUI do EXCEL. Tal probabldade é menor do que 0,05, nos levando a rejetar a hpótese nula. Os cálculos sugerem que a sére do IBOVESPA não é normal. Para a prmera sére de 60 observações do DÓLAR realzamos o mesmo procedmento. Os momentos méda e desvo padrão, como população, são respectvamente, 0,00069 e 0,0039. Somando todas as dstâncas achamos o valor 6,0 que gera um valor p de 0,04, menor do que 0,05, nos levando a rejetar a hpótese nula. Os cálculos sugerem que a sére do DÓLAR não é normal. O trabalho supõe que as conclusões tradas acma, de não-normaldade, são váldas para os demas conjuntos de 60 observações dos atvos. Então o pressuposto básco das séres obedecerem uma dstrbução normal parece ser volado, possbltando um exame da composção das cartera com a utlzação do conceto de semvarânca. O segundo ponto consste em estmar os valores das varâncas e covarâncas com pesos guas, consderando os valores de dados como a população de nteresse. Para tanto utlzamos a planlha EXCEL. As carteras serão compostas com a utlzação de 60 observações, acrescentando a rentabldade mas recente e retrando a mas antga. Para a cartera de 0 de março a matrz conterá rentabldades de 30 de novembro a 0 de março. Para a cartera de 05 de março as rentabldades serão de 0 de dezembro a 0 de março e assm sucessvamente, gerando 6 carteras. O mesmo procedmento é usado para o conceto de semvarânca. De posse destes valores podemos calcular para cada data a cartera de mínmo rsco com a utlzação da equação, X =, onde e são as estmatvas de rsco + dos atvos, é a estmatva da covarânca, X é o valor nvestdo no atvo e -X é o valor nvestdo no atvo. Consderando a covarânca com valor zero e utlzando a mesma fórmula acma para as duas estmatvas de rsco, compomos as carteras de mínmo rsco para as respectvas datas, que estão na tabela abaxo. Os valores das dervadas segunda são para plena e sem, respectvamente, de 0,09 e 0,5. Tas valores nos mostra que são pontos de mínmo. O trabalho supõe que tal conclusão é válda para os demas das. Plena Sem Data Dólar Ibovespa Dólar Ibovespa 0/03/0 0,98 0,088 0,9804 0,096 05/03/0 0,980 0,098 0,978 0,08 06/03/0 0,978 0,09 0,9760 0,040 07/03/0 0,9755 0,045 0,9685 0,035 08/03/0 0,9750 0,050 0,976 0,038 09/03/0 0,9748 0,05 0,9759 0,04 /03/0 0,97 0,089 0,9759 0,04 5

6 3/03/0 0,97 0,089 0,9779 0,0 4/03/0 0,970 0,090 0,9783 0,07 5/03/0 0,970 0,098 0,9786 0,04 6/03/0 0,9696 0,0304 0,9793 0,007 9/03/0 0,963 0,0377 0,9793 0,007 0/03/0 0,967 0,0373 0,9798 0,00 /03/0 0,9557 0,0443 0,9655 0,0345 /03/0 0,955 0,0448 0,9655 0,0345 3/03/0 0,9467 0,0533 0,9674 0,036 Tabela : As composções das carteras, consderando as varâncas e semvarâncas com 4 casas decmas. O tercero ponto consste em examnar se a medana das dferenças das composções das carteras é gual a zero. Utlzaremos apenas um atvo para esta verfcação, o DÓLAR. Se houver dferença para um atvo, há dferença para a cartera. Para tanto utlzaremos a estatístca não-paramétrca prova de WILCOXON (Segel, 975, p. 84). Esta prova consdera o sentdo e o valor das dferenças, atrbundo maor peso ao par que apresenta maor dferença do que a um no qual esta é pequena. Devemos calcular a dferença entre os pares (PLENA SEMI), elmnar o snal menos, atrbur ao menor o posto e ao maor o posto N, o tamanho da amostra, e no fnal retornar os snas menos aos postos correspondentes. Se somarmos os postos com snal mas e os com snal menos, essas duas somas devem ser aproxmadamente guas, a hpótese nula. A soma de todos os postos tem N ( N + ) N ( N + )( N + ) dstrbução quase normal com µ = e desvo padrão =. Então 4 4 z = T µ possu dstrbução aproxmadamente normal com méda zero e desvo padrão untáro, onde o valor T é a menor soma dos postos de mesmo snal e N é o número de postos. Se z z C rejetamos a hpótese nula, caso contráro a acetamos. Utlzaremos a prova unlateral já que prognostcaremos o sentdo das dferenças. Sejam as hpóteses: H 0 : a utlzação do conceto de semvarânca não altera o valor nvestdo no atvo DÓLAR; 6

7 H : a utlzação do conceto de semvarânca altera o valor nvestdo no atvo DÓLAR para menos. A prmera, chamada de hpótese nula, nos dz que somando-se os postos com snas mas e os com snal menos teremos valores aproxmadamente guas. A medana é aproxmadamente gual a zero. A segunda, chamada de hpótese alternatva, nos dz se exste alteração na composção das carteras, prevendo sua dreção. O nível de sgnfcânca de um teste ( α ) é o erro do tpo I, ou é a probabldade de rejetarmos a hpótese nula quando ela é correta. Neste estudo utlzaremos um α de 0,05,ou temos 5% de chance de rejetar a hpótese nula sendo ela correta. O z C para o nível de sgnfcânca unlateral de 5% é de -,645. O z calculado é de,59. Com z é maor do que z C, rejetamos a hpótese nula. Os cálculos sugerem que exste uma alteração no valor nvestdo em DÓLAR para menos, havendo alteração na composção da cartera. O últmo ponto consste em examnar se a medana das dferenças de rentabldades das carteras é gual a zero. Para tanto devemos fazer estmatvas dos retornos esperados para os atvos consderados. Faremos a suposção da prevsão perfeta, sto é, qualquer modelo de prevsão escolhdo nos dara exatamente a rentabldade observada para o da em análse. Multplcando os valores da tabela pelos retornos esperados obteremos as rentabldades das carteras. As hpóteses consderadas são: H 0 : não exste dferenças nas medanas das rentabldades; H : a medana das rentabldades do conceto varânca são menores. O z C para o nível de sgnfcânca unlateral de 5% é de -,645. O z calculado é de,396. Com z é menor do que z C, acetamos a hpótese nula. Os cálculos sugerem que não exste uma alteração nas rentabldades utlzando um ou outro conceto de rsco. 5 Conclusões. Os resultados sugerem que a utlzação do conceto de semvarânca no período em análse não gera mudanças sgnfcatvas nas rentabldades das carteras, sugerndo ser ndferente o seu uso ou não. Embora tenhamos mudanças sgnfcatvas na composção das carteras, estas não se refletem em rentabldade, mas apenas no rsco ncorrdo, a menor sempre com o conceto de semvarânca. Também mostramos que as séres IBOVESPA e DÓLAR no período em análse são assmétrcas com 5% de sgnfcânca. A sére do DÓLAR é quase normal. Isto nos leva a consderar a possbldade de usar o conceto de semvarânca no lugar da varânca para que não seja volado o prncípo da normaldade embutdo na teora moderna da cartera. 7

8 6 Bblografa.. BRITO, Ney Roberto Otton de (Org.). Gestão de Investmentos. São Paulo: Edtora Atlas, ELTON, Edwn, GRUBER, Martn. Modern Portfolo Theory and Investment Analyss. 5. ed. New York: John Wley & Sons, Inc., SÀ, Geraldo Tosta de. Admnstração de nvestmentos: Teora de carteras e gerencamento do rsco. Ro de Janero: Edtora Qualtymark, SANVICENTE, Antôno Zoratto, MELLAGI FILHO, Armando. Mercado de captas e estratégas de nvestmento. São Paulo: Edtora Atlas, SHARPE, Wllam. Investments. 3. ed. Englewood Clffs: Prentce-Hall, Inc., SIEGEL, Sdney. Estatístca Nâo-Paramétrca Para as Cêncas do Comportamento. Tradução por Alfredo Alves de Faras. São Paulo: McGraw-Hll, 975. Tradução de: Nonparametrc Statstcs for the Behavoral Scences.. BERNSTEIN, Peter L. Desafo aos Deuses: A fascnante hstóra do rsco. Tradução por Ivo Korytowsk. Ro de Janero: Edtora Campus, 997. Tradução de Aganst the gods.. LEVINE, Davd, BERENSON, Mark, STEPHAN, Davd. Statstcs for managers usng Mcrosof Excel. Upped Saddle Rver: Prentce-Hall, Anexo. Data Ações Dólar Data Ações Dólar Data Ações Dólar Data Ações Dólar 9// ,960 3//0 6599,94 6//0 7006,9980 3/3/0 5584,06 30//00 387,9596 4//0 6675,9357 7//0 68,0045 4/3/0 54,0763 // ,9795 5//0 6409,9484 8//0 743,9959 5/3/0 5060,0864 4//00 350,9847 8//0 656,954 9//0 738,9884 6/3/0 537,7 5//00 48,9648 9//0 6975,944 //0 607,983 9/3/0 4835,77 6// ,9657 0//0 698,949 3//0 7095,9803 0/3/0 4903,099 7// ,9698 //0 703,9463 4//0 70,9894 /3/0 485,000 8//00 498,9695 //0 6850,9508 5//0 6937,98 /3/0 4067,49 //00 587,9648 5//0 696,9475 6//0 659,9940 3/3/0 4435,586 // ,9676 6//0 670,956 9//0 6060,007 3//00 590,963 7//0 79,950 0//0 590,0063 4//00 559,9635 8//0 75,957 //0 5593,040 5// ,9678 9//0 590,0368 8//00 508,9539 //0 739,957 3//0 657,0436 9// ,9556 3//0 783,9586 8//0 589,045 0//00 466,9559 4//0 777,9595 /3/0 646,048 // ,9578 6//0 7889,9740 /3/0 658,0355 //00 465,954 9//0 7883,9753 5/3/0 6537,03 6// , //0 77,974 6/3/0 634,008 7//00 586,9608 3//0 767,97 7/3/0 6395,039 8//00 559,9550 //0 7038,9739 8/3/0 66,0385 //0 545,9384 //0 694,9934 9/3/0 63,0599 3//0 6599,94 5//0 673,9945 /3/0 557,055 8