ANÁLISE DE RISCO E EFEITOS DA INCERTEZA NA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS

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1 ANÁLISE DE RISCO E EFEITOS DA INCERTEZA NA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS Dogo Raael de Arruda RESUMO Constam, neste trabalho, concetos relaconados aos rscos e as ncertezas exstentes nas carteras de nvestmento nancero, apoando-se em métodos estatístcos e prncípos báscos lgados a nvestmentos nanceros. Concetos estes que oram extraídos a partr de pesqusa bblográca, vsando sempre o melhor nvestmento a ser eto para acltar as tomadas de decsões dos nvestdores, ao longo do cclo de vda nancero. Palavras-chave: Rsco. Incerteza. 1. INTRODUÇÃO A mpossbldade de consegur prever com exatdão o uturo, é algo que ntrga a humandade. Os rscos e as ncertezas a que estamos nerentes, prncpalmente quando estamos tratando com undades monetáras, que é o combustível de movmentação do planeta. Por sso, o cudado natural que se tem ao analsar cada passo a ser tomado ao longo de um nvestmento, passou a ter a necessdade de um padrão, uma mensuração acltadora para as tomadas de decsões. Assm, matematcamente, o tal processo analítco nancero capaz de derencar a vablzação de um nvestmento, tem sua undamentação em procedmentos estatístcos tas como: desvo padrão, varânca, coecente de varação, covarânca e coecente de correlação. A maor parte dos rscos que possam aetar o desenvolvmento das nanças, tanto pessoas quanto empresaras, além da caracterzação estatístca, podem anda estar suscetíves a prncípos chamados undamentas para ormação de carteras, nos quas relaconam a exstênca do rsco com a rentabldade proposta pela cartera. Contudo, o prncpal objetvo do trabalho é dentcar, nanceramente, como se dene o rsco e suas relações com um certo captal dsponível, de modo a abrr um leque de opções para que o gestor possa ldar com stuações teórcas e reas, partndo do pressuposto que o maor retorno alcançado é o mas atratível.. TERMINOLOGIA BÁSICA Incalmente, alguns concetos devem ser abordados para acltar o desenvolvmento do trabalho. Assm, denremos captal como sendo tudo aqulo que se detém e seja passível de negocação. Atvo, é o captal própro exstente. Passvo, é o captal de terceros com que se pode contar. Cartera, é a coleção ou grupo de atvos. Retorno é total de ganhos ou prejuízos de um nvestmento durante um período de tempo. Por m, nvestmento como sendo a transação nancera vsando algum retorno. Assm, aremos um panorama sobre a admnstração do rsco relaconado a um nvestmento (ou a um conjunto de nvestmentos com seus processos analítcos de avalação e Lcencando do curso de matemátca da Unversdade Católca de Brasíla.

2 admnstração desse rsco. Assm, devemos começar com a dstnção prmtva entre duas palavras bastante relaconadas ao assunto: ncerteza e rsco. A ncerteza é o ato de não se poder prever um dado acontecmento uturo. O rsco é a ameaça a exstênca dos nteresses de uma pessoa provocado por alguma ncerteza, sendo que, normalmente, causa algum prejuízo ou dano. Fnanceramente, quando tratamos de uma stuação de rsco as conseqüêncas são vercadas por meo de perdas ou ganhos. Comumente, a possbldade descendente do rsco é chamado prejuízo e a ascendente como um ganho. Logo, dependendo da expectatva do nvestmento, desvos do valor esperado para o retorno podem ser bons ou runs. Devemos levar em consderação que as característcas de cada ndvduo estão relaconadas com a acetação ou aversão ao rsco. Portanto, uma pessoa ao avalar a relação custo beneíco (lgado ao rsco pode optar entre o menor rsco com menor retorno ou não, por exemplo. Esse processo de compensação e avalação das decsões nanceras tomadas é chamado admnstração do rsco.vale ressaltar que o retorno esperado não é o retorno que os nvestdores acredtam que necessaramente ganharão, e sm o resultado da preccação de todos os resultados possíves, reconhecendo que alguns resultados são mas prováves que outros. Com sso, o processo de admnstração do rsco, que é uma gestão (uma análse, é dvddo em: Identcação do rsco: tem como undamento descobrr quas são as exposções ao rsco mas peculares que estão lgados ao nvestmento em análse e que, eventualmente possam aetar a regulardade do nvestmento. Avalação do rsco: trata-se da quantcação dos rscos, avalando normações sobre a exposção nancera (estmatvas e probabldades de acontecmentos. Seleção de técncas para admnstração do rsco: ncalmente pode-se evtar o rsco não se expondo a ele. Pode-se reter o rsco absorvendo-o e cobrndo com recursos própros, ou por últmo, transerr os rscos repassando-os para terceros. Implementação: coloca-se em ação as técncas seleconadas reduzndo os custos. Revsão: como a cada momento sua expectatva pode mudar quanto ao nvestmento, então se deve reavalar todo o processo para evtar retratações tardas que possam ocasonar perdas. Há também um crtéro para transerênca do rsco, dvddo em três partes: Hedge: o ndvduo abre mão da possbldade de ganho para evtar uma perda. Seguro: é pagar um prêmo para evtar uma perda certa. Dverscação: assmlação de atvos evtando concentrar seu nvestmento num só (bastante usado na teora da cartera.

3 Quanto à dverscação ncalmente dremos que não se pode reduzr o rsco de exposção, mas cra-se um leque de possbldades para evtar a perda total do nvestmento. Trazendo para a lnguagem popular, poderíamos dzer: Deve-se pensar muto bem antes de se colocar todos os ovos numa únca cesta. 3. O RISCO DE UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS O rsco quando relaconado à cartera de nvestmentos é normalmente lgado às meddas de dspersão varânca e desvo padrão, relaconado com as possbldades de ocorrênca de resultados. 3.1 O desvo padrão como medda do rsco de uma cartera de nvestmentos O desvo padrão é o ndcador estatístco de rsco mas comum a ser usado, medndo a dspersão ou varabldade em torno do valor esperado de retorno. Então, é nteressante além de consderarmos os resultados, que com sua dspersão quem abaxo do valor esperado, também os que com sua dspersão quem acma, pos como sabemos, quanto maor a varabldade menor conança podemos deter sobre resultados assocados ao nvestmento. Assm, o valor esperado de um retorno (k é o mas provável do nvestmento eto, e usa-se sua órmula quando todos os resultados k são conhecdos e supondo que suas probabldades sejam também conhecdas: n (k k P( k 1 Sendo: k : retorno assocado com o -ésmo resultado. P ( k : probabldade de ocorrênca do -ésmo resultado. n: número de resultados consderados. Assm, para aplcação e valdação da órmula, se consderarmos um atvo A no qual o quadro 1 mostra os valores assocados a P ( k (probabldades e os valores assocados a k (retornos com três stuações de mercado, teremos 15% de retorno esperado para o atvo A. Quadro 1: Valores esperados de retornos para o atvo A. Stuações de mercado Probabldade: P k Retorno (%: ( k Retorno esperado: µ k Recessão 0, , 5 3,5 Estável 0, , 5 7,50 Expansão 0, , 5 4,5 Total 1,00-15,00 (

4 (k k P k + k P( k + k P( 3,5 + 7,5 + 4,5 15% 1 ( 1 3 k3 Contudo, ndcaremos para o desvo padrão de retornos a equação abaxo: σ (k [ k µ ( k] n 1 P( k Desenvolvendo o quadrado na expressão dada para o desvo padrão, temos: σ ( k µ ( k [ µ ( k ] De modo geral, quanto maor o desvo padrão, maor o rsco. Mas uma vez, para exemplcação, compara-se os dados do quadro 1 com os dados do quadro relatvos a um atvo B, sendo que, o retorno esperado também é de 15%. Quadro : Valores esperados de retornos para o atvo B. Stuações de Probabldade: Retorno (%: k mercado P k ( Retorno esperado: µ k Recessão 0, , 5 1,75 Estável 0, , 5 7,50 Expansão 0, , 5 5,75 Total 1,00 _ 15,00 (k k P k + k P( k + k P( 1,75 + 7,50 + 5,75 15% 1 ( 1 3 k3 Usando a órmula apresentada para o desvo padrão nos dos casos, e ndcando σ ( k A o valor assocado ao atvo A e σ k o assocado a B, teremos: ( B ( 3 σ ( k A [ k µ ( k ] P( k 4 0, , , 5 1,414 1,41% 1 σ ( k b 64 0, , , 5 5,6569 5,66% Donde B é o mas arrscado, pos tem o maor desvo padrão. 3. Coecente de varação como medda de rsco na cartera de nvestmentos O coecente de varação é uma medda de dspersão relatva usada na comparação do rsco de atvos que derem nos retornos esperados. Usa-se a expressão abaxo para determnar o coecente de varação (CV:

5 σ ( k CV µ ( k Sendo que, quanto maor o valor de CV, maor o rsco do nvestmento. Ilustremos uma stuação que aclte a vsualzação do uso de CV. Stuação: A empresa PKTA (nome ctíco tenta seleconar entre dos atvos, A e B, o menos arrscado. O retorno esperado, o desvo padrão e o coecente de varação de cada retorno dos atvos são dados na quadro 3 abaxo: Quadro 3: Expectatvas de valores apresentados pelas empresas A e B. Estatístcas A B Retorno esperado 1% 0% Desvo padrão 9% 10% Coecente de varação 0,75 0,50 Se a empresa tvesse que comparar os atvos com base somente nos desvos padrões, a escolha possvelmente sera por A, pos tem o menor índce de dspersão. Entretanto, comparando os coecentes de varação dos atvos, vemos que a admnstração cometera um erro relevante escolhendo A, vsto que a dspersão relatva, conorme nos mostra o coecente de varação, em B é o menor. Logo, o uso do coecente de varação para comparar o rsco do atvo é melhor porque também consdera o tamanho relatvo, ou o retorno esperado dos atvos. Retomando os dados obtdos nos quadros 1 e, veremos que: CV CV B A σ ( k µ ( k σ ( k σ ( k A A B B 1,41% 15% 5,66% 15% Vercando, mas uma vez, que B é o mas arrscado. 0,0904 ; 0, A varânca como medda do rsco de uma cartera de nvestmentos A varânca é uma medda estatístca usada para avalar a dspersão da rendbldade do mercado. O uso desta medda está assocado quando ao usarmos os desvos padrão, os valores negatvos contrabalançam com os postvos resultando que o valor do desvo esperado seja zero. Assm, os desvos ao quadrado são necessaramente postvos. Note que, elevando ao quadrado, teremos uma transormação não lnear que exagera os grandes desvos (postvos ou negatvos trando a ênase dos resultados dos pequenos desvos. Outro resultado é que a varânca terá

6 dmensão de undades de medda ao quadrado. Será usada para o cálculo da varânca a segunte órmula: Usando os dados dos quadros 1 e, temos: n (k [ k µ ( k] 1 P( k Quadro 4: Cálculo da varânca dos atvos A e B. Atvo Desvo padrão (%: σ (k Varânca (% : σ ( k A 1,41 1,99 B 5,66 3,04 Uma pequena observação, e um tanto nteressante, é responder qual medda (desvo padrão ou varânca devemos utlzar. Então, dado que o desvo padrão está expresso nas mesmas undades que a taxa de rendbldade, geralmente é mas convenente usar o desvo padrão. Porém, quando tratamos da proporção do rsco resultante de algum ator, normalmente é mas prátco usar a varânca. 3.4 Correlação como medda de rsco na cartera de nvestmentos Esta medda estatístca dene uma relação (se houver entre séres de números representando dados de qualquer tpo. Se duas séres movmentam-se em mesma dreção, então estão correlaconadas postvamente; se este movmento tem dreções opostas, então são negatvamente correlaconados. O grau de correlação vara de +1 (correlação postva pereta à 1 (correlação negatva pereta. Caso a correlação seja zero, dz-se que os atvos não são correlaconados. Ao combnar dos atvos de rsco, a correlação é determnante sobre o desvo-padrão, sendo que a estatístca usada para medr o grau de covaração entre duas taxas de retorno é o coecente de correlação. A covaração méda (probabldade ponderada da soma dos produtos dos desvos-padrão sobre todos os estados da economa, dando-nos assm uma tendênca méda de como os retornos varam (mesmo sentdo ou sentdos opostos, daí vem a covarânca. Matematcamente, a covarânca entre dos atvos, A e B, é dada por: COV AB µ ( k A, k B µ ( k A µ ( k B Sendo: µ k, k k k P( k, k. ( A B A B j A B j Assm, pode-se denr o grau de correlação entre os atvos A e B ( ρ como sendo: AB

7 ρ AB COVAB σ σ A B Então, para os atvos dos quadros 1 e, teremos: Quadro 5: Valores calculados para o atvo A. Stuações de mercado Probabldade: P ( k Retorno (%: k Retorno esperado: µ k ( µ ( k ( k [ µ ( k µ Recessão 0,5 13 3,5 4,5 31,688 Estável 0, ,50 11,50 56,50 Expansão 0,5 17 4,5 7,5 54,188 Dos valores assocados ao quadro 1, na seção 3.1, σ ( 1,41%. Quadro 6: Valores calculados para o atvo B. Stuações de Probabldade: Retorno mercado P ( k (%: k k A Retorno esperado: µ k ( µ ( k ] ( k [ µ ( k µ Recessão 0,5 7 1,75 1,50 9,188 Estável 0, ,50 11,50 56,50 Expansão 0,5 3 5,75 13,5 99,188 Dos valores assocados ao quadro, na seção 3.1, σ ( 5,66%. Cálculo do µ k A, k : ( B µ ( k A, k B , , ,5, , ,75 33,00% Cálculo da covarânca entre os atvos A e B: k B ] COV AB 33,00 ( % Cálculo de ρ AB : ρ AB ( 8 (5,66 0, DIVERSIFICAÇÃO Sgnca deter de quantdades de atvos de múltplo rsco, evtando concentrar todo o nvestmento em um únco somente. Isto elmnará sua exposção ao rsco de qualquer atvo ndvdual. Pode-se reduzr o nível de exposção ao rsco, mas não se reduz a ncerteza no

8 conjunto devdo à possbldade de varabldade do mercado (rsco únco ou nãodverscável. Neste processo, para reduzr o rsco total, é aconselhável combnar na cartera, atvos que tenham correlação negatva ou postva baxa, sendo que, quanto mas baxa or a correlação exstente, menor o rsco resultante. A dverscação reduz a varabldade dos dados, o que estatstcamente, está relaconado com a correlação mpereta. Dz-se que para cada par de atvos, deve haver uma combnação que resultará no menor rsco possível (desvo padrão. E também, que somente uma combnação de um número nnto de possbldades pode mnmzar o rsco 1. A déa prncpal do uso da dverscação na cartera de nvestmentos é combnar atvos de modo que esta combnação dmnua a varabldade dos dados. Assm, atvos que tenham a menor correlação possível, não ram varar da mesma orma em stuações econômcas guas, dmnundo a possbldade de perda de todo o captal nvestdo. A exemplcação desse processo é dada do segunte modo: Sabe-se que um nvestdor deseja ormar uma cartera com dos atvos, com a ntenção de nvestr metade de seu captal em um e o restante no outro, devendo escolher entre os atvos A (quadro1, B (quadro e C (quadro 7. Por motvo pessoal (o que é claramente possível neste trabalho, ele xou o atvo A como certo. Então, agora, basta achar o atvo que tenha, juntamente com A, a menor varabldade de dados. Usando os processos descrtos anterormente, teremos: Quadro 7: Valores esperados de retorno e cálculos relaconados ao atvo C. Stuações Probabldade: Retorno Retorno µ ( k µ ( k [ µ ( k ] de mercado P ( k (%: k esperado: µ k Recessão 0,5 17 4,5 7,5 54,188 Estável 0, ,50 11,50 56,50 Expansão 0,5 13 3,5 4,5 31,688 Total 1,00-15,00-14,16 ( σ ( k C (7,5 + 11,50 + 4,5 (4,5 + 7,50 + 3,5 1,41% Cálculo do µ k A, k : ( C µ ( k A, k C , , ,5 3,00% 1 Algumas pesqusas revelam que se pode ter uma boa dverscação com uma cartera contendo de 15 a 0 títulos. Neste exemplo, não está sendo consderado que o rsco de mercado aeta a cartera a ser ormada.

9 Cálculo da covarânca entre os atvos A e C: Cálculo de ρ AC : COV AC 3,00 (15 15 % ρ AC 1 (correlação negatva pereta. ( Da correlação encontrada, pode-se achar o desvo padrão de uma cartera que contenha os atvos e j, por meo de: σ j j j σ + σ + j ρ σ σ j j Sendo:, : proporção do captal nvestda no atvo e no j. j Então, temos: σ AC (50 (1,41 + (50 (1, ( 1 1,41 1, ,5 9940,5 0% Como o desvo padrão da cartera que contém os atvos A e C é 0 (zero, logo seu rsco é nulo. Assm, AC é a melhor combnação possível, vsto que, o grau de correlação entre A e B é +0,9994. Se todo o rsco da cartera pode ser elmnado (rco total por meo da dverscação, dz-se que esta cartera era aetada somente pelo rsco não-sstemátco ou dverscável. Mas há também o rsco sstemátco ou não dverscável que está relaconado com as varações de mercado que aetam o atvo ndvdual ou a cartera em s. Este rsco não pode ser mnmzado, mas prevsto. Assm, o rsco total exstente em uma cartera é a soma do rsco sstemátco com o não-sstemátco. 5. SELEÇÃO DE CARTEIRAS Este processo é o estudo de como e quando se deve nvestr compensando rsco e retorno esperado. Neste projeto, deve-se levar em consderação o cclo de vda do nvestmento, a melhor estratéga de negocação até a decsão nal. O objeto prncpal é encontrar a cartera que oereça aos nvestdores a mas alta taxa de retorno para um grau de rsco razoável. O processo de otmzação é eto encontrando a melhor combnação de atvos de rsco, e combnando os atvos arrscados ótmos com atvos sem rsco. O atvo lvre de rsco é um título que oerece uma taxa de retorno prevsível a qualquer tempo do nvestmento.

10 Suponhamos a exstênca de um atvo lvre de rsco com retorno esperado de 4% ao ano (a.a. e um atvo de rsco D com retorno esperado de 15% a.a. e desvo padrão %. O quadro 8 mostra as alternatvas para combnarmos os atvos. Note que à medda que procuramos o maor retorno enrentamos uma taxa de rsco crescente. Veja que os dados podem ser ordenados em orma lnear, portanto para qualquer composção da cartera podemos encontrar seu respectvo ponto nesta lnha. Quadro 8: Dados com proporções de nvestmentos. Cartera Proporção nvestda em D Proporção nvestda no (%: atvo sem rsco D (%: S Retorno esperado da cartera(%: µ ( k C Desvo padrão da cartera (%: σ K ,0 L ,5 0,015 M ,5 0,01 N ,75 0,005 O Gráco 1: Ilustração da relação retorno-desvo padrão do quadro 8. Relação retorno-desvo padrão ( k C Retorno(% Lnear (Retorno(% 0 0 0,01 0,0 0,03 Por exemplo, suponha a taxa de retorno de 10% a.a.. Prmero, relaconando o retorno esperado da cartera à proporção nvestda no atvo de rsco e sabendo que o retorno esperado em qualquer cartera, µ, é dado por: ( k C µ ( kc µ ( k + (1 r r + [ µ ( k r ] Sendo: r : a taxa de retorno do atvo lvre de rsco. Fazendo µ ( k 0,15 e r 0,04, temos:

11 µ ( k C 0,04 + 0, 11 D Então, para a cartera de retorno 10%a.a., temos: 0,10 0,04 + 0, 11 D 54,545% D Ou seja, 54,5455 do nvestmento é eto no atvo de rsco. O desvo padrão da cartera σ, é o desvo padrão do atvo vezes o peso desse atvo na cartera: ( k C σ ( k σ ( k 0, 0 C D D Para 54,545%, temos: D Note que D σ ( 0,0 0,545 0,0109 k C σ ( kc, então a equação que representa a lnha de compensação da cartera é: σ ( k [ µ ( k r ] µ ( kc r + D [ µ ( k r ] r + σ ( kc 0,04 + 5,5 σ ( kc σ ( k Analsando a equação, percebe-se que o retorno esperado da cartera pode ser expresso por uma unção que relacona o desvo padrão, sendo um lnha reta nterceptando o exo y em r e, tem um declve µ ( k r σ ( k que mede o retorno extra esperado. Assm, se um nvestdor está analsando um nvestmento que está abaxo da lnha de compensação, cabera uma analse à lnha, pos ela representa a mas alta taxa de retorno esperado para um dado rsco. Para utlzarmos somente atvos de rsco, suponha um atvo E de rsco cujo retorno esperado é de 9%a.a. e desvo padrão 0,03. Suponhamos, também, que o coecente de correlação entre D e E seja zero.

12 Quadro 9: Proporções nvestdas nos atvos A e E. Cartera Proporção nvestda em A Proporção nvestda no (%: atvo E (%: D E Retorno esperado da cartera(%: µ ( k C Desvo padrão da cartera (%: σ P ,0 Q ,5 0,168 R ,18 S ,5 0,030 T ,03 Gráco : Ilustração da relação retorno-desvo padrão do quadro 9. Relação retorno-desvo padrão ( k C Retorno esperado ,1 0, Retorno(% Desvo padrão Combnando os dados dos quadros 8 e 9, haverá um ponto I chamado ponto de tangênca entre os dados, correspondendo a combnação ótma de atvos de rsco, ou seja, é a cartera mas ecente. Gráco 3: Conronto de dados dos grácos 1 e. Retorno esperado Conronto de dados dos grácos 1 e. 0% 15% 10% 5% 0% 0 0,1 0, Desvo padrão retorno retorno Lnear (retorno Esse ponto terá uma proporção de nvestmento de D dado por:

13 Sendo: ψ [ µ ( k r ] σ ( k ; D τ µ ( k r ] ρ σ ( k σ ( k ; [ E DE D E E ξ [ µ ( k r ] σ ( k ; E D D ψ τ ( ψ + ξ δ 1 E D δ µ ( k r + µ ( k r ] ρ σ ( k σ ( k. [ D E DE D E Ou seja, 83,193% em D e 16,8067 em E. Também temos: Reajustando a lnha de compensação: µ ( 13,99% k I k I σ ( 0,0174 0,1399 0,04 µ ( kc 0,04 + σ ( kc 0,04 + 5,7414 σ ( kc 0,0174 Suponha que o nvestdor deseje nvestr 50% na cartera I e 50% em atvos sem rsco. Chamando de W este nvestmento, então: µ ( k σ ( k W W 0,04 + 0,5 (0,0999 0,09 9% 0,5 0,0174 0,0087 Sabendo que a cartera I tem 83,1933% de D e 16,8067% de E, a composção de W é: Quadro 9: Dstrbução de pesos para W. Peso em atvos sem rsco 0,5 Peso no atvo D 0,5 0, ,41160 Peso no atvo E 0,5 0, ,0840 Total 1,00 Interpretando os dados, se tvermos um nvestmento de R$ 10000,00 na cartera W, R$ 5000,00 serão em atvos sem rsco e R$ 4160,00 no atvo D e 840,00 no E.

14 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS Por m, após uma denção nancera do rsco e de suas relações matemátcas, verca-se que um nvestmento nancero pode ser prevsível a medda que já se tenha ormulado o nível de aversão ao rsco. O quanto se está dsposto para assumr um dado rsco com o ntuto de aumentar a rentabldade do retorno. Assm sendo, tanto o caráter pessoal quanto o matemátco, devem ressaltar-se no cclo de vda nancero pos, se de um lado os números podem mostrar possíves camnhos através da proporconaldade do nvestmento, por outro a tomada da decsão nal (que mesmo nal pode ser reavalada a qualquer tempo será sempre do nvestdor. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BODIE, Zv; KANE, Alex; MARCUS, Alan J. Fundamentos de nvestmentos. Tradução Robert Brand Taylor, 3ª edção. Porto Alegre: Bookman Edtora, 000. BODIE, Zv; MERTON, Robert C. Fnanças. Tradução James Sunderland Cook, 1ª edção revsta amplada. Porto Alegre: Bookman Edtora, 00. BREALEY, Rchard A.; MYERS, Stewart C. Prncípos de Fnanças Empresaras. Tradução Mara do Carmo Fguera. Portugal: The McGraw-Hll Companes, BRIGHAM, Eugene F.; HOUSTON, Joel F. Fundamentos da Moderna Admnstração Fnancera. Tradução Mara Imlda da Costa e Slva. Ro de Janero: Campus, FONSECA, Jaro Smon da; MARTINS, Glberto de Andrade. Curso de Estatístca, 6ª edção. São Paulo: Atlas, GITMAN, Lawrence J. Prncípos de Admnstração Fnancera, 7ª edção. São Paulo: Habra, 00.

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