UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM MERCADO DE CAPITAIS

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1 UNIVESIDADE FEDEAL DO IO GANDE DO SUL ESCOLA DE ADMINISTAÇÃO OGAMA DE ÓS-GADUAÇÃO EM ADMINISTAÇÃO ESECIALIZAÇÃO EM MECADO DE CAITAIS MODENA TEOIA DE CATEIAS: DESENVOLVIMENTO E ANÁLISE DE UM MODELO DE SELEÇÃO DE CATEIAS EFICIENTES Orentador: rof. Glberto de Olvera Kloeckner Aluno: Gulherme Lma orto Alegre, Janero de 007

2 ESUMO Este estudo tem como tema o desenvolvmento e a aplcação de um modelo de seleção de carteras efcentes baseado nos estudos de Markowtz (95) através de três nformações báscas: taxa de retorno de cada título ntegrante da cartera; varações destas taxas de retorno (varânca ou desvo padrão das taxas de retorno); e das relações entre as taxas de retorno de cada título com a de todos os outros títulos (a covarânca entre as taxas de retorno). ara tanto, seleconaram-se cnqüenta atvos negocados na Bovespa e, com estes, estruturaram-se cnqüenta e duas carteras, mnmzando-se a varânca para cada nível de retorno. Consderou-se que a proporção aplcada em cada atvo devera ser maor ou gual a zero e, que a soma destas proporções devera ser gual a 00%. ortanto, encontrou-se a frontera efcente baseando-se nas premssas de que vendas à descoberto, empréstmos e aplcações à taxa lvre de rsco não são permtdos. Além dsso, foram estruturadas outras cnqüenta e duas carteras dversfcadas de forma aleatóra, com 0 atvos cada, para serem comparadas com as carteras dversfcadas com a utlzação do modelo de seleção de carteras efcentes proposto. ara a estmação dos retornos, volatldades e covarâncas utlzou-se o Modelo de Alsamento Exponencal (EWMA), supondo, assm, que os retornos hstórcos não possuem a mesma probabldade de ocorrênca.

3 3 O modelo de seleção de carteras efcentes proposto neste estudo apresentou boas estmatvas de retornos e volatldades futuras, para o período estudado. As carteras dversfcadas com a utlzação deste tveram desempenho superor às carteras dversfcadas de forma aleatóra. ortanto, o modelo para a seleção de carteras efcentes proposto aparenta ser uma ferramenta útl e objetva.

4 4 LISTA DE FIGUAS Fgura sco da Cartera e Dversfcação... 8 Fgura Dversfcação (sco do atvo F)... 9 Fgura 3 Dversfcação (sco do atvo G)... 9 Fgura 4 Dversfcação (sco da Cartera F e G)... 0 Fgura 5 Utldade Margnal Decrescente... Fgura 6 Tpos de referênca ao sco... Fgura 7 Alta Aversão ao sco... 3 Fgura 8 Méda Aversão ao sco... 3 Fgura 9 Baxa Aversão ao sco... 4 Fgura 0 rncípo da Domnânca... 5 Fgura Correlação ostva erfeta Fgura Correlação Negatva erfeta Fgura 3 Correlação ostva erfeta Correlação Negatva erfeta Fgura 4 Correlação Nula... 4 Fgura 5 Frontera Efcente para Város Coefcentes de Correlação Fgura 6 Atvo Lvre de sco Combnado com a Cartera I Fgura 7 Atvo Lvre de sco Combnado com Dferentes Carteras com sco... 48

5 5 Fgura 8 Frontera Efcente com Aplcação e sem Empréstmo a F Fgura 9 Frontera Efcente com Aplcação e Empréstmos a Taxas Dstntas Fgura 0 Combnações entre Atvo sem sco e Carteras com sco... 5 Fgura Correlação entre as Séres M e N Fgura Correlação entre as Séres M e N Fgura 3 etornos e Volatldades Esperadas Fgura 4 etorno revsto etorno Ocorrdo... 7 Fgura 5 Volatldade revsta Volatldade Ocorrda... 7 Fgura 6 revsto Ocorrdo Fgura 7 Dversfcação Aleatóra Dversfcação Efcente... 75

6 6 LISTA DE TABELAS Tabela Matrz de Varâncas e Covarâncas... 3 Tabela etornos e Volatldades... 7 Tabela 3 Desempenho das Carteras... 74

7 7 LISTA DE QUADOS Quadro referênca em elação ao sco... Quadro Atvos seleconados para a Amostra... 57

8 8 SUMÁIO INTODUÇÃO... SITUAÇÃO OBLEMÁTICA JUSTIFICATIVA DO TEMA OBJETIVOS OBJETIVO GEAL OBJETIVOS ESECÍFICOS EVISÃO DE LITEATUA DIVESIFICAÇÃO TEOIA DA UTILIDADE INCÍIO DA DOMINÂNCIA A ESSÊNCIA DA TEOIA DE CATEIAS FONTEIA EFICIENTE Carteras Efcentes... 34

9 ossbldades da Frontera Efcente Cálculo da Frontera Efcente MÉTODO OCESSO DE AMOSTAGEM OCESSO DE COLETA DE DADOS ANÁLISE DOS DADOS sco e etorno de Atvos Indvduas etorno de um Atvo etorno Esperado de um Atvo Varânca de um Atvo Desvo-adrão de um Atvo sco e etorno em Carteras etorno de Carteras etorno Esperado de Carteras Covarânca Correlação Varânca e Desvo-adrão em Carteras Modelo de Alsamento Exponencal (EWMA) Modelo de Seleção de Carteras Efcentes ESULTADOS ESTIMATIVAS DESEMENHO DAS CATEIAS... 73

10 0 8 CONCLUSÃO EFEÊNCIAS... 77

11 . INTODUÇÃO A análse de nvestmentos requer, prmordalmente, uma estmatva dos rendmentos futuros que o emprego do captal pode propcar. Ela compreende o estudo detalhado de característcas, das qualdades, das perspectvas e do valor de um nvestmento a ser escolhdo. Compreende também um estudo comparatvo para que se possa decdr com maor segurança o melhor nvestmento. ortanto, uma boa análse de nvestmento é uma tarefa de estmatva e comparação, envolvendo o exame das dversas hpóteses. Um nvestmento guarda três atrbutos essencas: retorno, prazo e rsco. Avalar um nvestmento consste em estmar sua rentabldade, lqudez e o grau de rsco envolvdo. Há aproxmadamente 40 anos, a área de Fnanças sofreu um grande mpacto em seus prncípos báscos ao adconar o conceto de rsco à análse de nvestmentos, permtndo mensurar matematcamente algo que não passava de abstração teórca. Markowtz (95) propôs a teora de carteras, sugerndo, ncalmente, a unão de dos atvos fnanceros correlaconados negatvamente, obtendo como resultado a redução no rsco da cartera. Alguns anos depos, Sharpe (964) agregou aos concetos de Markowtz os prncípos de cartera de mercado e nvestmento sem rsco. Sharpe ncou a cração de um modelo magnando uma realdade na qual todos os nvestdores utlzam a teora da seleção de carteras de Markowtz através da méda e varânca e, supôs, também, que os nvestdores compartlham

12 dos mesmos retornos esperados, varâncas e covarâncas. orém ele não assume que todo nvestdor possu o mesmo grau de aversão ao rsco. Assm os nvestdores sempre vão poder reduzr o grau de rsco de suas aplcações à medda que sejam tomadores de parcelas maores de atvos lvres de rsco em conjunto com de carteras compostas de atvos com rsco. Anda hoje estas predções do modelo CAM - são as mas adequadas, apesar de todas as suas lmtações. O CAM mplca que a dstrbução dos retornos esperados de todos os atvos de rsco é uma função lnear do rsco dos títulos, sto é, de sua covarânca com a cartera de mercado coefcente beta. O CAM não só ofereceu novos e poderosos argumentos na natureza do rsco, mas permtu a nvestgação empírca necessára para o atual desenvolvmento de Fnanças. O modelo da méda e varânca de Markowtz, assm como o CAM de Sharpe, entre outros, foram contrbuções que tveram seu valor centífco reconhecdo pelo Comtê do rêmo Nobel de 990. ortanto, as teoras voltadas para a determnação de preços de atvos em mercados perfetos utlzam a varânca dos retornos como a medda relevante do rsco de um título, dado que seu preço, em qualquer momento, deverá estar refletndo todas as nformações exstentes que lhe afetam.

13 3. SITUAÇÃO OBLEMÁTICA A Moderna Teora de Carteras fornece subsído para que possamos utlzá-la na seleção de carteras efcentes através da redução do seu rsco total. orém, o retorno esperado, a volatldade e a covarânca entre os retornos dos atvos podem ser estmados de númeras formas. Estas estmatvas podem ser fornecdas por economstas, analstas de mercado, pela própra empresa, consultoras e, também, através da análse estatístca de séres hstórcas. No últmo caso, o tratamento conferdo aos dados será fundamental para se extrar nformações nerentes aos atvos analsados. ortanto, a efcênca na aplcação da Moderna Teora da Seleção de Carteras para encontrarmos carteras efcentes está fundamentalmente nas estmatvas de rsco e retorno utlzadas. A proposta deste estudo é construr e analsar a efcênca de um modelo que gere tas estmatvas e que estme as carteras stuadas na frontera efcente, ou seja, aquelas que para um determnado nível de retorno apresentem menor rsco.

14 4 3. JUSTIFICATIVA DO TEMA A aplcação de modelos para a seleção de carteras efcentes está fundada em dados que refletem a expectatva futura de ganhos e da varabldade em torno destes. orém, estas expectatvas podem varar de acordo com o nvestdor. Como conseqüênca, aqueles que possuírem estmatvas mas próxmas da realdade futura tenderão a alocar seus recursos de forma mas efcente. O tema se justfca, pos exstem númeras formas de se estmar os dados dos atvos a serem seleconados. O enfoque deste estudo é encontrar um modelo que forneça estmatvas razoáves de rsco e retorno em carteras de ações e que estme as carteras stuadas na frontera efcente.

15 5 4. OBJETIVOS A segur serão apresentados os objetvos geral e específcos do trabalho. 4. OBJETIVO GEAL efcente. Desenvolver e analsar um modelo para estmação das carteras stuadas na frontera 4. OBJETIVOS ESECÍCICOS Aplcar um modelo de geração de retornos e volatldade esperados; Verfcar a efcênca modelo de geração de retornos e volatldade esperados aplcado, quanto à prevsão/aproxmação com os retornos e volatldade efetvamente ocorrdos; Construr a frontera efcente a partr dos retornos e volatldades esperados gerados pelo modelo aplcado; Comparar o desempenho das carteras dversfcadas com a utlzação do modelo de seleção de carteras efcentes proposto com carteras dversfcadas de forma aleatóra.

16 6 5. EVISÃO DE LITEATUA 5. DIVESIFICAÇÃO Através de um artgo, já consderado clássco para a Teora Fnancera, Markowtz (95) propôs um modelo de dversfcação por meo da combnação de atvos que não fossem perfetamente correlaconados. artndo da observação de que os nvestdores preferem dversfcar suas aplcações, ao nvés de concentrá-las em um únco tpo de nvestmento, Markowtz metodzou um modelo de escolha de cartera a partr de duas varáves: méda e varânca. Concluu que os nvestdores tendem a seleconar carteras efcentes, assm entenddas aquelas que, em função de um dado nível de retorno esperado, apresentem mínma varânca de retorno ou, vce-versa, que em função de um dado nível de varânca, apresentem máxmo retorno médo. O modelo esbarrou no trabalhoso sstema de cálculos que acarreta. Entretanto, Sharpe (964) agregou ao modelo de Markowtz, dos concetos que smplfcaram substancalmente o cálculo do rsco, consegundo obter ampla acetação pela operaconaldade permtda. São os concetos de nvestmento sem rsco e cartera de mercado. O nvestmento sem rsco, ou taxa de juros lvre de rsco, torna-se muto mportante

17 7 quando da análse de um nvestmento com rsco, já que o retorno do segundo deve ser superor ao oferecdo pelo prmero. Sharpe consderou a taxa de juros lvre de rsco como a base da estrutura das taxas de retorno, dentfcando os títulos do Governo Federal como componentes do prmero nível da estrutura das taxas de retorno. Outro conceto fundamental, também consderado por Sharpe, é a cartera de mercado, que representa todos os títulos com rsco de um determnado mercado, através da partcpação proporconal de cada título, ao seu valor no mercado. Trata-se da cartera com a maor dversfcação possível, onde se refletem apenas varações de retorno em função do rsco nãodversfcável. Sharpe, partndo de tas concetos, construu um novo modelo que, além de operaconalzável, mostra-se bastante efcente, o CAM. De níco assume-se meramente que um nvestdor só aplca em um atvo com rsco se seu retorno esperado for sufcentemente elevado para compensar o rsco. No equlíbro, com todos os nvestdores agndo dessa forma e esgotando as possbldades de arbtragem, tende a ocorrer relação lnear dreta entre o retorno médo do mercado e o desvo-padrão (rsco). odemos fazer uma analoga com a déa de seleção natural: os atvos de maor retorno acabam sendo os de maor rsco. Caso surja um atvo com rsco relatvamente baxo, naturalmente a sua procura pelos nvestdores aumenta, o que faz com que seu preço de mercado tenda a se elevar, e seu retorno, assm, dmnua até atngr um patamar de equlíbro. or outro lado, se aparecer um atvo de rsco relatvamente alto, esgotadas as possbldades de redução desse rsco, o preço desse atvo tende a car e seu retorno a aumentar até o equlíbro. Segundo Lamb (00), o rsco de uma cartera (rsco total) pode ser dvddo em rsco dversfcável e rsco não dversfcável. O rsco dversfcável corresponde ao efeto das varâncas ndvduas dos atvos, já o rsco não dversfcável corresponde ao efeto das covarâncas entre os atvos. O rsco total da cartera ca com o aumento do número de títulos (desde que estes não sejam perfetamente correlaconados) devdo à redução da

18 8 representatvdade das varâncas ndvduas para o rsco da cartera. O rsco não dversfcável efeto das covarâncas não é passível de dversfcação. ortanto, em uma cartera, com retornos não perfetamente correlaconados, o únco rsco relevante é o nãodversfcável. O CAM, segundo Gtman (00, p. 6), une rsco não dversfcável - coefcente beta (ß) é a medda de rsco não dversfcável utlzada pelo modelo e retorno para todos os atvos. O CAM, além da equação do modelo propramente dta, pode ser vsualzado grafcamente através da Lnha do Mercado de Títulos. Fgura sco da Cartera e Dversfcação O conceto de correlação é essencal para o desenvolvmento de carteras efcentes. A correlação, de acordo com Gtman (00, p. ), é uma medda estatístca da relação entre séres de dados. O ponto mportante é que atvos podem ser combnados de forma que a cartera resultante tenha menos rsco do que qualquer um dos atvos ndependentemente, e

19 9 sem qualquer perda no retorno. Quanto mas negatva a correlação entre os retornos dos atvos, maores serão os benefícos de redução de rsco da dversfcação. Fgura Dversfcação (sco do atvo F) Fgura 3 Dversfcação (sco do atvo G)

20 0 Fgura 4 Dversfcação (sco da Cartera F e G) 5. TEOIA DA UTILIDADE Uma das prncpas preocupações em Fnanças consste em estudar como um nvestdor podera melhor escolher sua composção de nvestmentos, analsados sob a ótca dos retornos esperados e rscos ncorrdos. Um nvestdor pode fazer escolhas, para compor seus nvestmentos, entre rsco e retorno da mesma forma como um consumdor pode optar entre dferentes conjuntos de uma ou mas mercadoras. or exemplo, o consumdor pode escolher entre ter 0 undades de almentação somado a 5 undades de vestuáro e ter 5 undades de almentação somado a 5 undades de vestuáro (IBEIO NETO e FAMA, 004). ode-se usar uma forma gráfca para expressar as preferêncas do consumdor: as curvas de ndferença, as quas representam todas as combnações de conjuntos de

21 mercadoras que geram mesmo nível de satsfação a uma pessoa. ara descrever a preferênca de um consumdor em relação a todas as combnações de conjuntos de mercadoras exstentes, pode-se traçar um conjunto de curvas de ndferença, denomnada mapa de ndferença. É razoável que o consumdor prefra a curva que tenha as combnações entre maor número de mercadoras (IBEIO NETO e FAMA, 004). Um outro método para medr preferênca envolve o uso de utldade. Assm, pode-se preferr uma cosa a outra por causa de sua maor utldade. Um objeto pode ter mesmo preço para todas as pessoas, porém a utldade atrbuída a ele dfere de ndvíduo para ndvíduo. À medda que temos mas de alguma cosa, menor será a utldade atrbuída a ela. Assm, a utldade margnal é decrescente (IBEIO NETO e FAMA, 004). Fgura 5 Utldade Margnal Decrescente Tratando-se de nvestdores, o processo de escolha envolve a busca de maor retorno e maor segurança (menor rsco). Antes de apresentar as curvas de ndferença dos dferentes tpos de nvestdores, vale lembrar que há 3 tpos de preferênca com relação ao rsco (IBEIO NETO e FAMA, 004):

22 AVESÃO AO ISCO INDIFEENÇA AO ISCO TENDÊNCIA AO ISCO Quando um ncremento de retorno sera exgdo em vsta de um aumento de rsco. Quando nenhuma mudança no retorno sera exgda em vsta de um aumento de rsco. Quando uma dmnução de retorno podera ser aceta em vsta de um aumento de rsco. Quadro - referênca em elação ao sco Fgura 6 Tpos de referênca ao sco Dentro da prmera categora (Aversão), pode-se dzer que há nvestdores que apresentam dferentes níves de aversão ao rsco. Assm, temos (IBEIO NETO e FAMA, 004): Alta aversão ao rsco - nvestdores deste tpo dão muto valor à segurança. Querem um retorno bastante alto para um aumento de rsco. Suas curvas de ndferença sobem bastante (alta nclnação). Exemplo desse tpo de nvestdor: uma vúva dosa, que não gosta de rsco (prefere um retorno mas modesto, desde que seguro);

23 3 Fgura 7 Alta Aversão ao sco Méda aversão ao rsco - nvestdores deste tpo querem um retorno entre médo e alto para um aumento de rsco. As curvas de ndferença já não sobem tanto. Aqu se encaxam a maora das pessoas; Fgura 8 Méda Aversão ao sco Baxa aversão ao rsco - nvestdores deste tpo dão mas valor ao retorno do que ao rsco. As curvas de ndferença sobem menos anda (menor nclnação). Exemplo desse tpo de nvestdor: um executvo jovem e sem flhos (é mas ambcoso e se expõe mas ao rsco).

24 4 Fgura 9 Baxa Aversão ao sco Se duas ações possuem o mesmo valor esperado de retorno e desvos-padrão dferentes, o nvestdor raconal va escolher aquela com menor desvo. Se em um outro caso, as ações possuem o mesmo desvo-padrão, porém retornos dferentes, o nvestdor raconal escolhe aquela com maor retorno esperado (IBEIO NETO e FAMA, 004). 5.3 INCÍIO DA DOMINÂNCIA Segundo Haley e Schall (apud BALAINE, 990) A premssa básca que rege as decsões ndvduas de nvestmentos é que os ndvíduos gostam de retorno esperado e não gostam de varânca ou desvo padrão de retornos, supondo que estas são as úncas característcas do fluxo de rendmentos que preocupam os ndvíduos. ara melhor compreensão do assunto, observa-se no gráfco abaxo que o atvo II domna o atvo III, pos representando ambos no mesmo nível de rsco (desvo-padrão = 7), o atvo II apresenta uma esperança matemátca de retorno maor (8%). Comparando-se, agora, o atvo I e II, observa-se que o atvo I domna o atvo II, pos ao apresentarem a mesma expectatva de retorno (8%), o atvo I apresenta nível de rsco nferor (desvo-padrão = 3). Obvamente, o atvo I também domna o atvo III, já que apresenta expectatva de retorno maor, com nível de rsco nferor.

25 5 Fgura 0 rncípo da Domnânca 5.4 ESSÊNCIA DA TEOIA DE CATEIAS Segundo Elton et al. (004, p. 67). O rsco de uma cartera é gual ao valor esperado dos quadrados dos desvos do retorno da cartera em relação ao retorno médo da cartera, ou seja: = E( ) (5.4.) onde é a varânca da cartera, é o retorno da cartera e é o retorno médo da cartera. O retorno de uma cartera e o retorno médo da cartera são dados respectvamente pelas expressões:

26 6 j = N = ( ) (5.4.) = j + j (5.4.3) j onde j é o retorno da cartera no momento j, j é o retorno do atvo no momento j e é a fração dos fundos do nvestdor aplcados no atvo. = N = ( ) (5.4.4) + = (5.4.5) onde é o retorno médo da cartera, é o retorno médo do atvo e é a fração dos fundos do nvestdor aplcados no atvo. Substtundo-se estas expressões na fórmula da varânca da cartera, no caso de dos títulos, teremos: = E[( j + j ) ( )] = E [ ( j ) + ( j )] 3 = E[ ( j ) + ( j )( j ) + ( j ) ] 4 = E[( j ) ] E[( j )( j )] E[( j ) ] VAIÂNCIA COVAIÂNCIA VAIÂNCIA etorno de uma cartera composta por dos atvos. etorno médo de uma cartera composta por dos atvos. 3 Lembrando que: ( + Y ) = + Y + Y + Y = + Y + Y

27 7 E = + [( j )( j )] + = (5.4.6) + + ou seja, a varânca de uma cartera se resume ao somatóro das varâncas dos atvos ndvduas ponderadas pelo quadrado de sua partcpação na cartera mas o somatóro das covarâncas das combnações de atvos multplcadas pela partcpação de cada atvo na cartera. A covarânca aparece multplcada por dos pos =. Generalzando a fórmula da varânca para N atvos, temos: N = ( ) + ( ) (5.4.7) j= j j N N j= K = K J J K JK Contnuando a análse da fórmula, podemos consderar uma stuação onde todos os atvos são ndependentes e, assm, a covarânca entre eles é gual a zero. ortanto no caso de todos os atvos ndependentes, a varânca da cartera é smplesmente o somatóro das varâncas de cada atvo multplcadas pelo quadrado da partcpação do atvo na cartera. Conseqüentemente: N = J J = ( ) (5.4.8) J 4 Lembrando que: O valor esperado da soma de uma sére de retornos é gual à soma dos valores esperados de cada retorno e, anda, que o valor esperado de uma constante multplcada por um retorno é gual a constante multplcada pelo retorno esperado.

28 8 Além dsso, suponhamos, anda, que seja aplcado o mesmo montante em cada atvo. Com N atvos, a proporção aplcada em cada um deles é / N ; portanto, teremos: N ( / ) J J = = N N J = N J N 4 = 43 MÉDIA O termo entre colchetes é uma méda da varânca. Então temos: J N = (5.4.9) onde J é a varânca méda das ações contdas na cartera. ode-se notar que a medda que N cresce a varânca da cartera va fcando cada vez menor. Quando N é extremamente alto, a varânca da cartera se aproxma de zero. or consegunte, se tvermos um numero grande de atvos com retornos ndependentes, a varânca da cartera formada por estes atvos tenderá a zero. Segundo Elton et al. (004, p. 7), na maora dos mercados a covarânca entre os atvos é postva, mas mesmo assm, o rsco da cartera pode ser muto nferor ao rsco de um únco atvo. Se consderarmos que os retornos dos atvos têm correlação entre s, mas que a aplcação é a mesma em cada atvo teremos: = N j= ( ) + j j N N j= K = K J ( J K JK )

29 9 N N N = J + J = N J = K = N N K J JK = N N N J + N J = N N J = K = K J N JK N ( N ) Os dos termos entre colchetes são médas. O segundo termo é uma méda porque há N valores de J e (N-) valores de K. Isto porque K deve ser dferente de J, sendo assm K possu um valor a menos que J. Note-se que, com sso, elmna-se a covarânca do atvo com ele mesmo que é gual à varânca do atvo, sendo contablzado na prmera expressão da fórmula referente à méda ponderada das varâncas dos atvos ndvduas. ortanto há N(N-) covarâncas envolvdas. Assm, o segundo termo da fórmula nada mas é do que o somatóro das covarâncas dvddo pelo número de covarâncas e, portanto, é uma méda. Então teremos: N = J + JK (5.4.0) n N Segundo Elton et al. (004, p. 7), esta é uma expressão muto mas realsta do que ocorre quando aplcamos em uma cartera de atvos. A contrbução da varânca dos atvos ndvduas à varânca da cartera tende a zero quando N é bastante elevado. Entretanto, a contrbução das covarâncas converge para covarânca méda quando N é elevado. O rsco ndvdual dos títulos pode ser elmnado por meo da dversfcação, mas a contrbução das covarâncas não pode ser elmnada desta manera. Esta relação fca anda mas clara reescrevendo a expressão acma da segunte forma:

30 30 = ( J KJ ) + N { JK (5.4.) O prmero termo é ( / N ) vezes a dferença entre a varânca do retorno de títulos ndvduas e a covarânca méda. O segundo termo é a covarânca méda. Observa-se de forma muto clara que a prmera parte da expressão, quando N é sufcentemente grande, tende a zero, enquanto a segunda parte da expressão tende à covarânca méda da cartera. A varânca mínma ocorre em carteras muto grandes, e é gual à méda das covarâncas entre os retornos de todas as ações exstentes na população. O efeto da dversfcação não é gual em todos os países, vsto que as covarâncas dferem de um país para o outro. ortanto, em cada país, é possível reduzr dferentes proporções do rsco total da cartera. A segunda parte da fórmula da varânca de uma cartera (covarâncas) não pode ser reduzda pela smples dversfcação aleatóra de uma cartera. A covarânca pode ser postva ou negatva. Será postva quando os movmentos dos retornos dos atvos ocorrerem na mesma dreção, ou seja, quando um atvo apresenta um retorno postvo, o outro tende a ter retorno postvo também e vce-versa. Será negatva quando os movmentos dos retornos dos atvos ocorrerem em dreções opostas, ou seja, quando um atvo apresenta um retorno postvo, o outro tende a ter retorno negatvo e vce-versa. ortanto a covarânca é uma medda de como os retornos dos atvos varam em conjunto, sto é, se os desvos postvos de um atvo estão assocados a desvos postvos (covarânca postva) ou negatvos (covarânca negatva). ara mutas fnaldades, de acordo com Elton et al. (004, p. 68), é útl padronzar a covarânca. Dvdndo-se a covarânca entre os retornos dos dos atvos pelo produto dos desvos padrão dos dos atvos, obtém-se uma varável com as mesmas propredades da

31 3 covarânca, mas dentro de um ntervalo entre - e +. Esta medda é chamada de coefcente de correlação. ortanto, tem-se: IK ρ IK = (5.4.) I K A dvsão pelo produto dos desvos-padrão não modfca as propredades da covarânca. Smplesmente a normalza para que assuma valores entre - e +. Conseqüentemente, pode-se reduzr o rsco causado pelo efeto das covarâncas com combnações de atvos em que as covarâncas se anulem, ou melhor, que o efeto destas seja mnmzado. Vsto sso, cabe salentar que uma cartera formada por dos atvos perfetamente correlaconados correlação postva perfeta - ou seja, quando ρ = +, o retorno e o rsco da cartera formada são obtdos como médas ponderadas dos retornos e dos rscos dos atvos ndvduas. Não há redução do rsco, pos o efeto de possur uma cartera de atvos perfetamente correlaconados é semelhante ao de possur um únco atvo. Já em uma cartera com dos atvos com correlação negatva perfeta os atvos movmentam-se juntos, porém, em dreções opostas. Quando sto acontece será possível construr uma cartera sem rsco, ou seja, é possível elmnar o rsco sstemátco e o rsco nãosstemátco. Uma cartera com dos atvos sem correlação entre s não possurá uma combnação dos atvos que resulte em rsco zero, pos o rsco não dversfcável desaparece efeto das correlações mas o rsco dversfcável permanece, pos a cartera possu somente dos atvos. Sendo assm, o rsco total da cartera será uma méda ponderada das varâncas ou desvospadrão dos atvos ndvduas.

32 3 ortanto, a essênca da teora de carteras é mnmzar o rsco total da cartera utlzando a dversfcação como forma de reduzr o rsco dversfcável não sstemátco - ( efeto causado pela varânca dos atvos ndvdualmente) e a combnação de atvos com coefcentes correlação nulos, postvos e negatvos de forma a mnmzar o efeto das covarâncas ( efeto causado pelas covarâncas dos atvos entre s) para reduzr o rsco não dversfcável, ou seja, o rsco sstemátco (fgura ). Como já vsto, o rsco de uma cartera resulta das contrbuções dos rscos ndvduas de cada título e das covarâncas ou correlações entre os retornos dos títulos. ara obter-se a varânca de uma cartera, de acordo com Lamb (006) será necessáro construr a matrz de varâncas e covarâncas dos retornos dos títulos. O exemplo abaxo pode ser reproduzdo para qualquer número de atvos. Seja uma cartera composta por três títulos, o título, o título e o título 3, com partcpações de %, % e 3 % e com desvos-padrão, e 3, respectvamente, teríamos uma matrz de varâncas e covarâncas com n=3. Tabela Matrz de Varâncas e Covarâncas

33 33 A varânca da cartera é dada por: = (5.4.3) 3 3 onde é a varânca do cartera e xy representa a covarânca entre dos atvos. Observa-se que a matrz possu N(N-) covarâncas. O efeto dversfcação em uma cartera de títulos é devdo à rápda redução relatva da representatvdade das varâncas para o rsco da cartera, com o aumento do número de títulos na cartera. Segundo Lamb (006) o rsco total da cartera ca com o aumento do número de títulos. Este efeto se deve a rápda redução da representatvdade das varâncas ndvduas para o rsco da cartera. Ao fm, resta o efeto das covarâncas (correlações) que não é dversfcável. ortanto, em uma cartera de títulos com retornos não perfetamente correlaconados, o únco rsco relevante é o rsco não-dversfcável FONTEIA EFICIENTE A frontera efcente, de acordo com Carvalho (004), é uma metodologa para a escolha de carteras proposta por Harry M. Markowtz em 95. A utlzação de concetos estatístcos fo de extrema mportânca para o desenvolvmento dessa metodologa e a complexdade dos cálculos para a época, tornou-a quase mpratcável. Apenas com o advento dos mcrocomputadores e sua posteror popularzação é que a utlzação da frontera efcente como método de escolha de carteras se tornou factível. Atualmente, a utlzação da técnca para o cálculo da frontera efcente é bastante smples, os cálculos não são mas um fator mpedtvo para que a metodologa seja seguda. As ferramentas hoje exstentes são capazes de fazer todos os cálculos com extrema agldade.

34 34 Apesar desta facldade, para compreender corretamente a técnca da frontera efcente é necessáro que se conheça como os cálculos são fetos Carteras Efcentes Como já vsto, o retorno esperado de uma cartera é dado por: = N = ( ) onde, é o retorno da cartera, é a proporção do atvo na cartera, é o retorno médo do atvo e N é o número de atvos na cartera. Vmos também que o retorno esperado de uma cartera de dos atvos pode ser dado por: = + onde é a fração da cartera aplcada no atvo, é a fração da cartera aplcada no atvo, é o retorno esperado da cartera, é o retorno esperado do atvo e é o retorno esperado do atvo. Supondo que todo o patrmôno do nvestdor deve ser aplcado temos: + = e =

35 35 Inserndo este termo na equação do retorno esperado de uma cartera equação mostrada acma teremos: = + = + ( ) (5.4.4) atvos temos: Substtundo-se o mesmo termo na fórmula da varânca de uma cartera com dos = + + = + ( ) + ( ) ] (5.4.5) [ Desenvolvendo anda mas a fórmula, ao se ter o desvo-padrão como resposta e, substtundo-se por ρ teremos: = [ (5.4.6) / + ( ) + ( ) ρ ] Com tas fórmulas é possível fazer uma análse gráfca mas faclmente. ara tanto serão apresentados quatro casos: dos atvos com correlação postva perfeta (+); dos atvos com correlação negatva perfeta; dos atvos com correlação nula; dos atvos com correlação ntermedára.

36 36. Correlação ostva erfeta Segundo Elton et al. (004, p. 80), substtundo-se a varável ρ por na equação acma teremos: = [ / + ( ) + ( ) ] Sabendo-se que ( a + b + b) = a + ab teremos: = ( (5.4.7) + ) Como já vsto, o retorno esperado de uma cartera com dos atvos pode ser dado por: = + ) ( Com o auxílo destas duas fórmulas e com os dados dos retornos e desvos-padrão dos atvos pode-se construr um gráfco da segunte forma.

37 37 Fgura Correlação ostva erfeta. Correlação Negatva erfeta Já na correlação negatva perfeta, de acordo com Elton et al. (004, 8) os atvos varam perfetamente em conjunto, porém em dreções opostas. Substtundo-se a varável ρ na fórmula do desvo-padrão da cartera por - teremos: = [ ρ / + ( ) + ( ) ] = [ / + ( ) ( ) ] = ( (5.4.8) + ) Como já vsto, o retorno esperado de uma cartera com dos atvos pode ser dado por:

38 38 = + ) ( or consegunte, com o auxílo destas duas fórmulas, e com os dados dos retornos e desvos-padrão dos atvos pode-se construr um gráfco da segunte forma: Fgura Correlação Negatva erfeta Analsando o gráfco acma observa-se que quando a correlação entre dos títulos for negatva perfeta sempre poderá achar-se uma combnação em que o rsco resultante seja gual a zero. Igualando-se a equação do desvo-padrão a zero poderemos achar a partcpação ótma de. = + ) (

39 39 ( ) + = (5.4.9) Como fo vsto utlzamos duas equações dstntas para chegarmos ao desvo-padrão da cartera: uma para correlação postva perfeta e outra para correlação negatva perfeta. São elas: ) ( + = e ) ( + = Exstem portanto duas equações que relaconam a.ara chegarmos a equação que defna para qualquer valor de podemos solar e substtur na expressão do retorno esperado da cartera: ) ( + = = + = + = (5.4.0)

40 40 Observando as duas relações vstas até agora no mesmo gráfco podemos perceber, com o auxílo da fórmula do desvo-padrão de uma cartera, que para qualquer valor de entre 0 e, quanto menor for a correlação, menor será o desvo-padrão da cartera.. O desvopadrão atnge o seu valor mínmo quando ρ = (curva) e atnge seu valor máxmo quando ρ = + (curva). ortanto, estas duas curvas devem representar os lmtes dentro dos quas devem estar todas as carteras formadas por esses dos títulos, para valores ntermedáros do coefcente de correlação. Fgura 3 Correlação ostva erfeta Correlação Negatva erfeta 3. Correlação Nula Neste caso, de acordo com Elton et al. (004, p. 83), a expressão do retorno contnua nalterada, porém na expressão do desvo-padrão da cartera o termo correspondente ao rsco causado pelas covarâncas desaparece e a expressão do desvo-padrão passa a ser:

41 4 = [ (5.4.) / + ( ) ] A representação gráfca do rsco e do retorno dessas carteras é demonstrada abaxo: Fgura 4 Correlação Nula Um ponto que merece detalhamento é o que representa a cartera de menor rsco cartera de menor varânca. Como já vsto, o rsco da cartera pode ser dado por: = [ ρ / + ( ) + ( ) ] ortanto, para acharmos a cartera com menor rsco, de acordo com Elton et al. (004, p. 84) é precso encontrar a dervada da função em relação a e gualarmos esta dervada a zero. or consegunte, o valor de que mnmza o rsco é dado por:

42 4 [ + + ρ 4 ρ ] = / [ + ( ) + ( ) ρ] Igualando-se sto a zero e resolvendo para teremos: ρ = (5.4.) + ρ Como no caso analsado ρ = 0 teremos: = (5.4.3) + 4. Correlação Intermedára A correlação entre duas ações quasquer, de acordo com Elton et al. (004, p. 84), é quase sempre maor do que zero e consderavelmente nferor a um. ara mostrar uma relação mas próxma do que ocorre na prátca vamos analsar uma stuação na qual ρ = 0, 5. Lembremos que: = [ / + ( ) + ( ) ρ ] 5 5 ara determnar o valor de que mnmza o rsco da cartera é necessáro calcular a dervada da função em relação a e gualar a zero.

43 43 [ + + ρ 4 ρ ] = / [ + ( ) + ( ) ρ ] ρ = + ρ Fgura 5 Frontera Efcente para Város Coefcentes de Correlação Através do gráfco acma é possível perceber que para dos atvos sempre haverá uma correlação na qual não exsta uma combnação entre os atvos que proporcone uma cartera com rsco menor do que o do atvo menos arrscado. É fácl determnar o coefcente de correlação no qual sto ocorre. Supondo que o atvo seja o menos arrscado e que aplcássemos 00% ( =) dos recursos nele, então = 0. Substtundo na fórmula por zero e calculando ρ teremos:

44 44 ρ = + ρ ρ 0 = + ρ ρ = (5.4.4) Segundo Elton et al. (004, p. 85), quando esta stuação ocorrer ( = 0 ), a cartera de mínma varânca envolverá aplcação de 00% dos recursos no atvo menos arrscado. Se ρ > então a combnação de mínmo rsco envolverá venda a descoberto. carteras: Até agora podemos observar três característcas que envolvem a composção de. Quanto menor o coefcente de correlação (mas próxmo de -) entre os atvos, mantdos os outros atrbutos constantes, maor será o benefíco proporconado pela dversfcação;. Combnações de dos atvos jamas podem ter mas rsco do que o encontrado em uma lnha reta lgando os dos atvos no espaço retorno esperado-desvo-padrão; 3. A composção de dos atvos que gerará a cartera de mínma varânca é dada por: ρ = + ρ

45 45 ortanto, podemos defnr Frontera Efcente como sendo uma função côncava no espaço retorno esperado-desvo-padrão que se estende da cartera de mínma varânca à cartera de retorno máxmo, ou anda como o subconjunto de carteras que serão preferdas por todos os nvestdores que têm aversão ao rsco e que têm preferênca por retornos mas altos ossbldades da Frontera Efcente. Frontera Efcente com a ossbldade de Captação e Aplcação Sem sco Segundo Elton et al. (004, p. 9), ntroduzndo na análse o conceto de um atvo lvre de rsco a frontera efcente fcará bastante smplfcada. odemos tratar uma aplcação sem rsco como o equvalente a um nvestmento em um atvo com retorno garantdo, como por exemplo, títulos públcos ou a caderneta de poupança. Já a captação de empréstmo pode ser consderada como equvalente à venda deste tpo de título a descoberto, permtndo, assm, que empréstmos sejam fetos à taxa lvre de rsco. Como o retorno é dado como garantdo ) podemos consderar que = 0, ou seja, o desvo-padrão do título tem desvo-padrão ( F F zero. Supõe-se que o nvestdor possa captar e emprestar dnhero à taxa lvre de rsco e que seja a proporção de fundos orgnas que o nvestdor aplca na cartera I. Deve ser lembrado que pode ser maor que, porque estamos supondo que o nvestdor pode tomar dnhero emprestado à taxa lvre de rsco e aplcar mas do que seus fundos orgnas na cartera I. Sendo a proporção de fundos aplcados na cartera I, (-) deve ser a proporção de fundos aplcados no atvo lvre de rsco. O etorno esperado da combnação entre o atvo lvre de rsco e a cartera com rsco é dado por:

46 46 I F C + = ) ( O rsco da combnação é dado por: / ] ) ( ) [( FI F I I F C ρ + + = Como 0 = F, então: / ) ( I C = C I = esolvendo esta expressão para obtermos o valor de, teremos: I C = Substtundo esta expressão na fórmula do retorno da combnação, teremos: I I C F I C C + = C I F I F C + = (5.4.5)

47 47 Esta é a equação de uma reta. Todas as aplcações ou empréstmos sem rsco com a cartera I stuam-se numa lnha reta no espaço retorno esperado-desvo-padrão. O ntercepto da reta é F, e a nclnação é dada por: I b = F I (5.4.6) e passa pelo ponto (, I I ), como apresentado na fgura abaxo: Fgura 6 Atvo Lvre de sco Combnado com a Cartera I A esquerda do ponto I encontramos combnações da cartera I com empréstmos à taxa lvre de rsco. Abaxo se encontra uma fgura com combnações do atvo lvre de rsco com outras carteras. Nota-se que é desejável a maor nclnação da reta possível, pos este será o conjunto de combnações com melhor relação rsco-retorno. ortanto, o ponto III é o

48 48 ponto de tangênca entre a frontera efcente (formada pelas dversas combnações de cada cartera com o atvo lvre de rsco) e um rao que parte da taxa lvre de rsco. Segundo Elton et al. (004, p. 9), todos os nvestdores que acredtassem estar dante da frontera efcente e das oportundades de compra e venda do atvo lvre de rsco às taxas da fgura abaxo escolheram a cartera III. Fgura 7 Atvo Lvre de sco Combnado com Dferentes Carteras com sco Alguns nvestdores, de acordo com Elton et al. (004, p. 9), se tvessem forte aversão ao rsco, escolheram uma cartera no segmento F III, aplcando parte dos seus recursos em um atvo sem rsco e parte na cartera com rsco III. Outros, com tolerânca ao rsco bem maor, escolheram carteras stuadas no segmento F IV, tomando recursos emprestados e aplcando seu captal orgnal, mas os fundos emprestados, na cartera III. E, anda, outros poram todos os seus fundos na cartera III. ortanto, no caso de haver possbldade de captação a aplcação de recursos sem rsco, a dentfcação da cartera III transforma-se numa solução do problema de carteras.

49 49 orém, como sabemos, a maora dos nvestdores tem a capacdade de aplcar à taxa lvre de rsco, porém não tem capacdade de tomar dnhero emprestado a essa taxa. Neste caso a frontera efcente passará a ser F III IV da fgura abaxo. Alguns nvestdores terão carteras com rsco stuadas entre III e IV. Entretanto, qualquer nvestdor que possuísse alguma aplcação no atvo sem rsco nvestra todos os seus fundos restantes na cartera III. Fgura 8 Frontera Efcente com Aplcação e sem Empréstmo a F Outra possbldade é a de que os nvestdores aplquem a uma taxa dferente mas alta quando tomam dnhero emprestado. Sendo a taxa de empréstmo representada por ' F, a frontera efcente passara a ser F III IV V, como mostra a fgura abaxo.

50 50 Fgura 9 Frontera Efcente com Aplcação e Empréstmos a Taxas Dstntas Neste caso, de acordo com Elton et al. (004, p. 93), exste uma pequena faxa de carteras com rsco representando uma alternatva para os nvestdores. Se F e ' F não forem muto dstantes uma da outra, a hpótese de aplcação e empréstmo a mesma taxa podera ser uma boa aproxmação da faxa ótma III IV de carteras com rsco para os nvestdores Cálculo da Frontera Efcente ara calcularmos a frontera efcente, de acordo com Elton et al. (004, p. 03), devemos prmeramente saber quas são as possbldades que o mercado fnancero dsponblza para cada nvestdor. ortanto, podemos calcular a frontera efcente supondo:. As vendas à descoberto são permtdas e é possível aplcar e tomar dnhero emprestado à taxa lvre de rsco;

51 5. As vendas à descoberto são permtdas mas não é possível aplcar e tomar dnhero emprestado à taxa lvre de rsco; 3. As vendas à descoberto não são permtdas mas é possível aplcar e tomar dnhero emprestado à taxa lvre de rsco; 4. Nem vendas à descoberto nem aplcações ou empréstmos à taxa lvre de rsco são permtdas..vendas à descoberto, aplcações e empréstmos à taxa lvre de rsco permtdos Segundo Elton et al. (004, p. 03), a exstênca de uma taxa lvre de rsco para empréstmos e aplcações acarreta em que haja somente uma cartera com rsco que seja preferível a todas as demas carteras. Além dsso, no espaço retorno esperado-desvo-padrão, esta cartera stua-se no rao que lga o atvo sem rsco a uma cartera com rsco e que está localzado o máxmo possível para a dreta na dreção ant-horára. or exemplo, na fgura abaxo, as cartera stuadas no rao F II são preferíves a todas as outras carteras de atvos com rsco. Fgura 0 Combnações entre Atvo sem rsco e Carteras com sco

52 5 A frontera efcente corresponde a todo o comprmento do rao que parte de F e passa por II. ontos dferentes desse rao representam proporções dstntas de empréstmo e ou aplcação com a cartera ótma de atvos com rsco. Uma forma equvalente de dentfcar o rao F II, de acordo com Elton et al. (004, p. 04), consste em reconhecer que ele é o rao com a maor nclnação. ecorde que a nclnação de uma lnha que lgue um atvo sem rsco a uma cartera de atvos com rsco é gual ao quocente entre o retorno esperado da cartera, menos a taxa lvre de rsco, e o desvopadrão do retorno da cartera. ortanto, o conjunto efcente é determnado pela dentfcação da cartera com maor quocente entre o retorno excedente (retorno esperado menos a taxa lvre de rsco) e desvo-padrão que satsfaz a restrção de que a soma das proporções nvestdas nos atvos seja gual a um. Teremos então: maxmzar a função objetvo θ = F sujeto à restrção N = =

53 53. Vendas à descoberto permtdas e aplcações e empréstmos à taxa lvre de rsco não permtdas Segundo Elton et al. (004, p. 06), quando o nvestdor não deseja fazer a suposção de que será capaz de tomar dnhero emprestado ou emprestar dnhero à taxa de juros lvre de rsco, pode-se supor que esta taxa exste e determnar a cartera ótma. Em seguda pode-se alterar a taxa lvre de rsco até traçar toda a frontera efcente. Também é possível construí-la por meo de combnações de quasquer duas carteras que estejam stuadas na frontera, ou seja, a dentfcação da cartera ótma para quasquer dos valores arbtráros de F é sufcente para traçar a frontera efcente. 3. É possível aplcações e empréstmos à taxa lvre de rsco, mas vendas à descoberto não são permtdas Segundo Elton et al. (004, p. 07), a cartera ótma é aquela que maxmza a nclnação da lnha que lga a taxa de juros lvre de rsco a uma cartera de atvos com rsco. Entretanto, os nvestdores não podem aplcar proporções negatvas de títulos. ortanto, teremos: maxmzar a função objetvo θ = F sujeto às restrções N = =

54 54 e >= 0 para todos os valores de. 4. Vendas à descoberto, aplcações e empréstmos à taxa lvre de rsco não permtdos ecorde que um conjunto de carteras efcentes é determnado mnmzando-se o rsco para qualquer nível de retorno esperado. Segundo Elton et al. (004, p. 04), se especfcarmos o retorno e mnmzarmos o rsco, obteremos um ponto da frontera efcente. Assm, para consegurmos um ponto da frontera efcente mnmzamos o rsco para certo nível de retorno, porém sujeto às restrções: mnmzar N = ( ) + N N = = j ( ) j j sujeto às restrções N = = N = ( ) = >= 0 para todos os valores de.

55 55 Varando-se entre o retorno da cartera de mínma varânca e o retorno da cartera de máxmo retorno, produz-se o conjunto de carteras efcentes.

56 56 6. MÉTODO 6. OCESSO DE AMOSTAGEM Segundo Malhotra (00, p. 30), a maora dos projetos de pesqusa tem como objetvo obter nformações sobre as característcas ou parâmetros de uma população. Uma população é o agregado, ou soma, de todos os elementos que compartlham algum conjunto de característcas comuns, conformando o unverso para o problema de pesqusa. Um censo é a enumeração completa dos elementos de uma população ou de objetos de estudo. Já uma amostra é um subgrupo dos elementos da população seleconado para a partcpação do estudo. A população alvo, de acordo com Malhotra (00, p. 30), é a coleção de elementos ou objetos que possuem a nformação procurada pelo pesqusador e sobre os quas devem ser fetas nferêncas. Já o arcabouço amostral é uma representação dos elementos da populaçãoalvo, ou seja, consste em uma lsta ou conjunto de nstruções para dentfcar a populaçãoalvo. Neste estudo, a população-alvo será o conjunto de ações transaconadas na Bolsa de Valores de São aulo (BOVESA) no mercado à vsta e o arcabouço amostral será a lsta destas. A amostra fo composta de 50 ações negocadas na Bolsa de Valores de São aulo,

57 57 negocadas no mercado à vsta, com cotações hstórcas dsponíves no período de setembro 997 a outubro de 006 e pertencentes ao índce IBr. Estas, foram seleconadas em ordem decrescente de partcpação no índce IBr, entretanto as ações que apresentavam períodos de um mês ou mas sem negocação foram excluídas da amostra. Atvos seleconados (códgo de negocação): AMBV3 AMBV4 ACE3 ACZ6 BBAS3 BBDC3 BBDC4 BKM5 CMIG4 CLE6 CSL3 CUZ3 CSNA3 ELET3 ELET6 GGB4 GOAU4 ITAU4 ITSA4 KLBN4 LAME4 NETC4 CA4 ET3 ET4 SBS3 SDIA4 TL4 UBB USIM5 VALE3 VALE5 VCA4 WEGE4 FFTL4 GA3 SUZB5 DUA4 BTO4 ACES4 TI4 SID3 TL3 CNFB4 CMIG3 CTNM4 CGAS5 OMO4 UNI6 AT4 Quadro Atvos seleconados para a Amostra 6. OCESSO DE COLETA DE DADOS Os dados necessáros para a realzação deste estudo foram extraídos com o auxílo do software Metastock rofessonal de um banco de dados fornecdo pelo ste As séres hstórcas obtdas não foram submetdas a 6 Metastock rofessonal 8.0 é um software utlzado para admnstração de base de dados e análse gráfca.

58 58 índces de correção de nflação, e não se adconou o dvdendo dstrbuído aos preços. 6.3 ANÁLISE DOS DADOS As meddas estatístcas utlzadas durante o desenvolvmento do modelo de estmação de rsco e retornos em carteras são descrtas abaxo sco e etorno de Atvos Indvduas etorno de Um Atvo por: Assumndo-se que a sére de dados seja dscreta, o retorno de um atvo pode ser dado t ( t ) ( t ) t = ( ) onde t é o retorno da ação no momento t, t é o preço da ação no momento t, e (t ) é o preço da ação no momento anteror a t. Quando se assume que a sére de dados é contínua, normalmente o retorno é defndo como a dferença dos logartmos neperanos dos preços das ações, onde t é o retorno da ação no momentot, t é o preço da ação no momento t, (t ) é o preço da ação em momento anteror a t, e ln sgnfca logartmos neperanos:

59 59 ln t ( t ) = ( ) t ln t ln ( t ) ( t ) = ( ) etorno Esperado de Um Atvo Ao se trabalhar com rscos, de acordo com Elton et al. (004, p. 60), a prmera alteração a ser feta é a utlzação da palavra esperança. Desta forma, os cálculos de retorno médo, por exemplo, passam a ter como resultado o retorno médo esperado. O valor médo, a méda ou retorno esperado 7, quando todos os retornos possuem a mesma probabldade de ocorrênca, é calculado pela méda artmétca smples dos retornos: = N j = N j (6.3...) onde é o retorno esperado do atvo, j é o retorno do atvo no momento j e N é o número de observações. Quando os retornos não possuem a mesma probabldade de ocorrênca o retorno esperado é dado por: N = (. ) (6.3...) j = j j onde é o retorno esperado do atvo, probabldade de ocorrênca. j é o retorno do atvo no momento j e j é a 7 As expressões valor médo, retorno esperado e méda serão utlzados como snônmos.

60 Varânca de um Atvo Segundo Elton et al. (004, p. 6), a varânca de um atvo é a méda artmétca do quadrado dos desvos centrados na méda. Os desvos são elevados ao quadrado e, portanto, postvos para corrgr o problema de a méda artmétca dos desvos ser gual a zero e, portanto, não ser útl como medda de dspersão. A varânca é dada por: N ( j ) = ( ) N j= para retornos com gual probabldade de ocorrênca e N = [ ( ) ] ( ) j= j j para retornos com probabldades de ocorrênca dferentes. Onde j é o retorno do atvo no momento j, é o retorno médo do atvo, N é o número de períodos e j é a probabldade de ocorrênca dos retornos. Entretanto, de acordo com Elton et al. (004, p. 60), tas fórmulas são para o cálculo da varânca supondo que o nvestdor esteja estmando os retornos e suas probabldades, porém é muto comum que os retornos e suas probabldades sejam obtdos a partr de dados hstórcos. Neste caso, mutos autores defendem a utlzação da varânca com denomnador ( N ). Desta forma obtém-se uma estmatva não vesada da varânca, mas que possu a desvantagem de ser nefcente, ou seja, produz uma estmatva mas pobre da verdadera varânca. O uso de N como denomnador dá a melhor estmatva do verdadero valor, ou seja, é a estmatva de máxma verossmlhança. Embora seja melhor

61 6 estmatva, à medda que cresce, ela não converge para o verdadero valor. A dvsão por ( N ) produz um dado que converge para o verdadero valor quando N cresce, ou seja, é tecncamente não vesada, mas não é a estmatva mas efcente para um N fnto. O uso de uma ou outra fórmula depende qual propredade se tenha como mas mportante Desvo-adrão de um Atvo O ndcador mas comum do rsco de um atvo é o desvo-padrão, que mensura a dspersão em torno do valor esperado. Segundo Elton et al. (004, p. 63), desvo padrão é dado pela raz quadrada da varânca (ELTON et al., 004): = ( ) 6.3. sco e etorno em Carteras O rsco de qualquer nvestmento proposto em um únco atvo, de acordo com Gtman (00, p. ), não deve ser vsto ndependentemente de outros atvos. Novos nvestmentos devem ser consderados sob o prsma de seu mpacto sobre o rsco e retorno da cartera de atvos. A meta de um admnstrador fnancero é crar uma cartera efcente que maxmze o retorno para um dado nível de rsco, e, ou, mnmze o rsco para um dado nível de retorno. Segundo (LAMB, 006), o rsco de uma cartera de atvos é medda pelo desvopadrão da cartera e o rsco com o qual o atvo rá contrbur ao ser adconado a uma cartera pelo coefcente beta. O rsco de uma cartera resulta das contrbuções dos rscos ndvduas de cada título e das covarâncas (ou das correlações) entre os rscos dos títulos. ortanto, o desvo-padrão de uma cartera de atvos não é mensurado apenas através de uma combnação

62 6 lnear dos desvos-padrão dos atvos que a compõe, a título do que é feto para o cálculo dos retornos de uma cartera etorno de Carteras Segundo Elton et al. (004, p. 67), o retorno de uma cartera é dado pela méda ponderada pela partcpação de cada atvo na cartera - dos retornos dos atvos ndvduas. ortanto, é dado por: j = N = ( j ) onde, j é o retorno do cartera no momento J, é a partcpação do atvo na cartera, j é o retorno do atvo no momento J e N é o número de atvos na cartera etorno Esperado de Carteras Segundo Elton et al. (004, p. 67), O retorno esperado de uma cartera é dado pela méda ponderada pela partcpação de cada atvo na cartera - dos retornos esperados dos atvos ndvduas. ortanto, é dado por: = N = ( ) onde, é o retorno esperado da cartera, é a partcpação do atvo, é o retorno esperado do atvo e N é o número de atvos na cartera.

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

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