NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076

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1 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 6. ANÁLISE FATORIAL 6.. Introdução A Análse Fatoral teve níco odernaente no prncípo do século XX co K. Pearson e C. Spearan, que estudara as eddas de ntelgnca. A dfculdade nos cálculos pedu u desenvolvento aor da técnca. O advento dos coputadores altaente velozes trouxe de novo o nteresse nos aspectos teórcos e coputaconas da Análse Fatoral. O obetvo da Análse Fatoral. é explcar as correlações entre u conunto grande de varáves e teros de u conunto de poucas varáves aleatóras nãoobserváves chaadas fatores. Suponha que varáves possa ser agrupadas por suas correlações, sto é, todas as varáves dentro de u grupo partcular são altaente correlaconadas entre s, as t correlações relatvaente baxas co varáves de u grupo dferente. É adssível que cada grupo de varáves represente u FATOR, que é responsável pelas correlações observadas. Exeplo: E ua pesqusa sobre prefernca do consudor, ua a.a de consudores fo toada e perguntou-se sobre os dversos atrbutos de u novo produto (sanduíche). Especfcaente perguntou-se sobre a avalação dos consudores para as varáves: sabor, preço, aroa, refeção rápda e o grau de nutrção. As respostas, e notas nua escala até 7 pontos, fora tabuladas e a atrz de correlação R construída adante, R = Voc dstngura, levando e conta as correlações, alguns grupos nessa atrz? 6. Modelo Fatoral Ortogonal Sea o v.a. observável X, co p coponentes, X ~. (µ,σ). O odelo fatoral postula que X é lnearente dependente sobre alguas varáves aleatóras não observáves F, F,,F, chaadas fatores couns e p fontes de varação adtvas ε, ε,..,ε p, chaadas erros ou, alguas vezes, fatores específcos, Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna

2 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 ou e notação atrcal : X - µ = l F + l F + + l F + ε X - µ = l F + l F + + l F + ε X - µ = l F + l F + + l F + ε X p - µ p = l p F +l p F + +l p F + ε p X µ = L F + ε px px x px O coefcente l é chaado peso ou carregaento na -ésa varável do -éso fator, tal que a atrz L é a atrz de carregaento dos fatores. px Note que o fator específco ou erro ε, é assocado soente co a -ésa resposta X. Os desvos X - µ, X - µ,, X p - µ p são expressos e teros de p+ varáves aleatóras: F, F,, F, ε, ε,, ε p que não são observáves. Isto dstngue o odelo fatoral do odelo de regressão ultvarada, cuas varáves ndependentes (cuas posções são ocupadas por F ) pode ser observadas. Agora vaos assur que : E(F) =, x Cov(F) = E(FF ) = I E(ε) =, px Ψ Ψ Cov(ε) = E(εε ) = Ψ = Ψ3 pxp Ψ p e que F e ε são ndependentes, ass cov (ε,f) = E(ε,F ) = co = p pxp Co estas suposções o relaconaento construído e X µ = L F + ε chaado odelo fatoral ortogonal e pode ser escrto por: px px x px é X = µ + L F + ε px px px x px Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna

3 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 MATRIZ DE COVARIÂNCIA DO VETOR X: Consderando a atrz : (X - µ) (X - µ) = (LF + ε) (LF + ε) = (LF + ε) ((LF) + ε ) = LF(LF) + ε(lf) + LFε + εε a atrz de covarânca de X é : Σ = cov (X) = E(X - µ) (X - µ) = E[LF(LF) + ε(lf) + LFε + εε ] Σ = LE(FF )L + E(εF ) L + LE(Fε ) + E(εε ) = LL Ψ pxp pxp pxp pxp Σ = LL + ψ e cov(x,f) = E(X - µ)(f - ) = E(X - µ)f = E(µ + LF + ε - µ)f = E(LF + ε)f = LE(FF ) + E(εF ) = LI + = L Consequenteente teos: V(X ) = l + l + + l + ψ cov(x, X k ) = l l k + l l k + + l l k cov(x, F ) = l COMUNALIDADES E VARIÂNCIAS ESPECÍFICAS A porção da varânca da -ésa varável aleatóra X advnda coo contrbução dos fatores couns é chaada COMUNALIDADE e a porção da V(X ) = σ orunda do fator específco é a varânca específca, ass V(X ) = V[µ + l F +l F ++l F +ε ] = =V(µ )+ l V F l V F l V F V ( ) + ( ) + + ( ) + ( ε ) = + l + l + + l + ψ V(X ) = ll l l Ψ { counaldade var anca especfca V(X ) = h + Ψ =,,, p co h = l + l + + l, a -ésa counaldade é a soa de quadrados dos carregaentos na -ésa varável dos fatores couns. Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 3

4 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE Estação Dadas as observações x, x,,x n de p varáves geralente correlaconadas a Análse Fatoral procura responder a pergunta : Representará o odelo fatoral os dados adequadaente co u núero baxo de fatores?. A atrz de covarânca aostral S é u estador da atrz de covarâncas populaconal desconhecda Σ. Se os eleentos fora da dagonal de S são baxos ou equvalenteente na atrz de correlação aostral R são pratcaente nulos, as varáves não são relaconadas e a Análse Fatoral não é útl. Por outro lado quando Σ é sgnfcatvaente dferente de ua atrz dagonal, então o odelo fatoral pode ser usado e o problea ncal é o de estar os carregaentos l e as varâncas específcasψ. Vaos consderar no nosso estudo a estação pelo Método das Coponentes Prncpas. Sea Σ a atrz de covarâncas de X, então, dado que Σ é postva defnda, podeos decopô-la na fora abaxo, segundo a decoposção espectral: ' ' ' p p p Σ = λ e e + λ e e +. + λ e e = [ λ e λ e λ p e p] ' λ e ' λ e ' λp e p = LL pxp se = p e ψ = Ass, se Σ = LL + ψ te-se p ψ p = p p no auste do odelo fatoral. Exceto pelo escalar λ, os carregaentos no -éso fator são os coefcentes populaconas na - ésa coponente prncpal. Ebora a representação de Σ = LL + = LL sea exata, ela não é partcularente útl (te utos fatores couns). É preferível u odelo que explque a estrutura de covarânca e teros de poucos fatores couns. Ua aproxação, quando p - autovalores são baxos, é neglgencar a contrbução de λ + e + e + + λ + e + e λ p e p e p para Σ na decoposção espectral. Ass, te-se, λ e λ e Σ λ e λ e λ e ] = LL de orde pxp λ e Esta representação aproxada assue que os fatores específcos ε são de enor portânca e pode tabé ser gnorados na fatorzação de Σ. Se os fatores específcos ε são ncluídos no odelo, suas varâncas são os eleentos da dagonal da atrz dferença Σ - LL e consequenteente ψ = σ - l para =,,.,p. Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 4 =

5 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Pode-se, tabé, trabalhar co as varáves padronzadas, x x s x x z = s x p x p s pp =,,.., n cua atrz de covarânca aostral é a atrz de correlação R das observações orgnas x, x,,x n. A representação Σ LL + ψ, quando se usa a atrz de covarânca S, ou então, a atrz de correlação R é conhecda coo Solução por Coponentes Prncpas. RESUMO DA SOLUÇÃO POR COMPONENTES PRINCIPAIS PARA O MODELO FATORIAL A Análse Fatoral por Coponentes Prncpas da atrz de covarânca S é especfcada e teros de seus pares de autovalor/autovetor (, ), (, ),.. ( p, p ) onde p. Sea < p o núero de fatores couns. A atrz dos carregaentos estados l $ é dada por: Lˆ = [ ˆ λ e ˆ ˆ λ e ˆ ˆλ ] As varâncas específcas estadas são dadas pelos eleentos da dagonal prncpal da atrz Ψˆ = Ŝ - Lˆ Lˆ, ψˆ ψˆ Ψˆ = co ψˆ = s - ˆl = ψˆ p As counaldades das varáves orgnas são estadas pela segunte expressão: ĥ ˆ ˆ ˆ = l + l + + l e, para deternar o núero de fatores couns, o ndcado é basear-se na proporção da varânca aostral devdo a cada fator, que é: s + s + + s ˆ λ p ˆ λ pp para a análse feta a partr de S para análse feta a partr de R Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 5

6 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Consderando a solução por coponentes prncpas partndo-se da atrz S ou R que fornece os pares de autovalores/autovetores ( ˆλ, ), ( ˆλ, ),,( p, p ) onde ˆλ ˆλ p teos a atrz de carregaentos (pesos, loads) Lˆ = px λ λ ˆ ˆ = e a atrz de varâncas específcas é: Ψˆ = pxp p ψˆ ψˆ p ˆ e onde as counaldades estadas são ˆ h = l ˆ lˆ + + ˆl nterpretar estes resultados coo: ψ p + = = - a contrbução do o. fator p/ a varânca s da v.a é ˆl p co ψˆ = s - ˆl = ˆl e podeos - a contrbução do o. fator p/ a varânca total s +s + +s pp = tr(s) é ˆl 6.4 Seleção de Fatores: ] - Expernca no assunto pesqusado (étodo subetvo) - Crtéro de Kaser: tantos fatores quanto for o núero de autovalores aores que. - Escolher o núero de fatores que explca ua proporção especfcada da varânca total. = 6.5 Rotação de Fatores: Os carregaentos obtdos a partr dos carregaentos ncas, edante ua transforação ortogonal t a esa habldade para reproduzr a atrz de covarânca ou de correlação. Da álgebra atrcal, nós sabeos que ua transforação ortogonal corresponde a ua rotação rígda dos exos coordenados. Se $ L é a atrz estada dos carregaentos dos fatores, então: $L * = $ L T, onde TT = T T = I, T ortogonal, é a atrz dos carregaentos rotaconados, alé dsso a atrz de covarânca (ou de correlação) peranece ntacta, pos Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 6

7 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 $L $ L + $ Ψ = $ L TT $ L + $ Ψ = $ L * $ L * + $ Ψ e tabé a atrz dos resíduos S - $ L $ L - $ Ψ = S - $ L * $ L * - $ Ψ peranece ntacta, e anda as varâncas específcas ψ e as counaldades h não se altera. Portanto, do ponto de vsta ateátco, não é portante se L $ ou L $ * é defnda. As vezes não é fácl nterpretar os carregaentos orgnas, e então é usual fazer ua rotação dos carregaentos até que ua estrutura sples sea alcançada. Idealente, nós gostaríaos de ver ua estrutura de cargas tal que cada varável tvesse u alto peso, e u únco fator deternado, e baxos ou oderados pesos nos deas fatores. Não é sepre possível obter essa estrutura sples, ebora a rotação dos fatores forneça ua estrutura próxa da deal. Ua edda analítca da estrutura sples é o conhecdo crtéro VARIMAX, que defne ~ * * e = e$ / h $ coo sendo os coefcentes escalonados pela raz quadrada das counaldades. O crtéro selecona a transforação ortogonal T que faz V = p p e~ ( e~ p p *4 * ) / tão grande quanto = = = possível. Escalonar os coefcentes rotaconados e$ * te o efeto de dar às varáves co pequenas counaldades aor peso na deternação da estrutura sples. Após a transforação T ser deternada, os pesos e$ * são ultplcados por h $ tal que as counaldades orgnas sea preservadas. Quando =, ou se consderaros dos fatores couns de ua vez, a transforação para ua estrutura sples pode freqüenteente ser deternada grafcaente. U gráfco dos pares de carregaentos ( e$,$ e ) =,,,n produze p pontos, u para cada varável. Então os exos pode ser rotaconados de u ângulo, e os novos carregaentos obtdos e$ * são deternados: p L $ *p = p L $ T. cosϕ senϕ A atrz T é neste caso, T = senϕ cosϕ co rotação no sentdo horáro. 6.6 Escores Fatoras: Na Análse Fatoral, o nteresse usual está nos parâetros do odelo fatoral. Contudo, os valores estados dos fatores couns, tabé chaados escores fatoras, pode ser necessáros. Estas quantdades são frequenteente usadas para dagnostcar propostas da esa fora que a análse anteror. Escores fatoras não são estatvas de parâetros desconhecdos no sentdo usual, as na verdade eles são estatvas de valores não observados dos vetores de fatores aleatóros F, =,,,. Isto é, escore fatoral $ f é a estatva do valor f assudo por F. A estação é coplcada pelo fato de que as quantdades f e ε supera e núero os valores observados x. Para superar esta dfculdade são usadas aproxações para estar os valores fatoras. Exste, bascaente, dos étodos que t dos eleentos e cou: Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 7

8 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76. Eles trata os carregaentos estados $ l e as varâncas específcas ψ, coo se eles fosse os verdaderos valores ;. 3. Eles envolve transforações dos dados orgnas, padronzados. Tpcaente, os carregaentos rotaconados são elhores do que os carregaentos obtdos dos dados orgnas para se calcular os escores fatoras. Método dos Mínos Quadrados Supondo, de níco, que o vetor édo µ, a atrz de carregaentos L e a atrz de varâncas específcas ψ sea conhecdos para o odelo X - µ = LF + ε, então a soa dos quadrados dos erros, ponderados pelos recíprocos das suas varâncas é: p ε = ε ψ - ε = (X - µ - LF) ψ - ((X - µ - LF), ψ = Bartlett propôs escolher os estadores $ f de f que nza a expressão anteror, resultando co as estatvas dos parâetros populaconas, pelo Método da Máxa Verosslhança, no estador: fˆ = ( L $ L Lˆ ' ψˆ ˆ) ψˆ ( x x ) =,,..,n ou se a análse é feta a partr da atrz de correlação R fˆ = ( L ' ˆ z ˆ ˆ ' ψ z z ) zψ z z =,,.,n Lˆ Lˆ Mas, quando usaos Coponentes Prncpas para estaros os carregaentos é costue estaros os escores fatoras usando os Mínos Quadrados Ordnáros. Desta fora, ψ são consderadas coo guas ou coo aproxadaente guas e os escores são: fˆ = ( L $ L $ ) - $ L (x - x ) =,,3,.,n ou se a análse é feta a partr da atrz de correlação R fˆ = ( L ' ˆ z Lˆ ) z =,,.,n z Lˆ' z Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 8

9 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 EXERCÍCIOS:. E ua pesqusa sobre prefernca do consudor, ua a.a de consudores fo toada e perguntou-se sobre os dversos atrbutos de u novo produto. As respostas, e notas nua escala até 7 pontos, fora tabuladas e a atrz de correlação R construída abaxo, R = a) Especfque o núero de fatores couns na Análse Fatoral; b) Este a atrz dos carregaentos L; c) Este as counaldades; d) Este as varâncas específcas; e) Monte ua tabela co os carregaentos estados dos fatores, counaldades e varâncas específcas. Interprete os fatores.. Dados sobre valores de ações consste de n = taxas seanas de p = 5 ações (cnco epresas). Construída a atrz R de correlação obteve-se a partr daí os autovalores e autovetores. Sabeos especfcaente que os carregaentos (pesos) estados são os coefcentes das coponentes prncpas aostras ultplcados pela raz quadrada dos autovalores correspondentes. Calcule os carregaentos estados dos fatores e as varâncas específcas. Monte ua tabela co os resultados, nclusve proporção da varânca aostral (padronzada) explcada por cada fator para as soluções co = e = fatores. Procure nterpretar os resultados da Análse Fatoral R = Faça ua rotação nos fatores do problea 5 e construa o quadro copleto da Análse Fatoral co os pesos antes e depos da rotação. Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna 9

10 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 4. E ua Análse Fatoral obteve-se a atrz de carregaentos rotaconados obtdos por Máxa Verosslhança e a atrz das varâncas específcas correspondente. Te-se tabé a atrz de carregaentos e atrz de varâncas específcas correspondente obtdos por Coponentes Prncpas. Te-se, anda, u vetor de dados (que corresponde a taxas seanas de retorno de nvestentos e 5 copanhas do setor quíco (trs preras varáves) e setor petrolífero (duas últas varáves)) e o vetor édo para seanas observadas. Obtenha os escores fatoras correspondentes aos fatores e para a 5 a. seana (vetor de dados apresentado). Repta o processo co os dados padronzados e para a observação ndcada por z abaxo Lˆ = ˆ* L z = Ψ ˆ =.5 Ψˆ z = x = [ ] ' x = [ ] z = [ ] Materal Retrado das Apostlas dos Profs. Jar Mendes Marques e Anselo Chaves Neto Págna