Decomposição Lagrangeana com Geração de Colunas para o Problema de Programação Quadrática Binária Irrestrita

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1 Decoposção Lagrageaa co Geração de Coluas para o Problea de Prograação Quadrátca Bára Irrestrta Geraldo Regs Maur,2, Luz Atoo Noguera Lorea 2 Cetro de Cêcas Agráras, Departaeto de Egehara Rural Uversdade Federal do Espírto Sato - UFES 2 Laboratóro Assocado de Coputação e Mateátca Aplcada Isttuto Nacoal de Pesqusas Espacas - INPE aur@cca.ufes.br, {aur,lorea}@lac.pe.br Abstract. The Ucostraed Bary Quadratc Prograg Proble (PQ) cossts of optzg a quadratc obectve by sutable choce of bary decsos varables. Ths paper proposes a e alteratve of lagragea decoposto based o colu geerato techque to solve PQ. The results sho the effcecy of the proposed ethod over tradtoal lagragea relaatos ad other ethods foud the lterature. Resuo. O Problea de Prograação Quadrátca Bára Irrestrta (PQ) cosste e otzar ua fução quadrátca por eo da escolha de valores báros aproprados para as varáves de decsão. Este trabalho propõe ua ova alteratva de decoposção lagrageaa baseada a técca de geração de coluas para resolução do PQ. Os resultados ostra a efcêca do étodo proposto e relação a étodos tradcoas de relaação lagrageaa e outros étodos ecotrados a lteratura.. Itrodução O Problea de Prograação Quadrátca Bára Irrestrta (PQ) é u dos probleas clásscos e otzação ão-lear que cosste e azar (ou zar) ua fução obetvo quadrátca por eo da escolha de valores aproprados para as varáves de decsão báras [Beasley 998]. O PQ é u problea NP-Hard [Blloet e Ellou 2007] e apreseta ua grade quatdade de aplcações e dversas áreas, coo por eeplo: bologa olecular; plaeaeto de vestetos e aálse facera; e algus probleas do tpo CAD (Coputer Aded Desg). Alé dsso, o PQ ada aborda úeros probleas odelados por eo de grafos, coo clque áo, áo couto depedete, e outros. Este trabalho propõe ua ova alteratva de decoposção lagrageaa que utlza a técca de geração de coluas para ecotrar soluções e ltates para o PQ. Esse étodo trata u odelo lear tero sto do PQ que te restrções represetadas por eo de u grafo que é partcoado co o uso de ua bbloteca de heurístcas deoada METIS [Karyps e Kuar 998]. O problea orgal é decoposto forado u problea coordeador (problea estre restrto) e u subproblea para cada cluster, que são utlzados para geração de ovas coluas para o problea coordeador. O restate do artgo está orgazado coo segue. A Seção 2 apreseta o étodo proposto, e algus étodos alteratvos para obteção de ltates para o PQ são descrtos a Seção 3. Os resultados coputacoas são apresetados a Seção 4, e as coclusões são resudas a Seção 5.

2 2. Decoposção lagrageaa co geração de coluas A decoposção lagrageaa é u caso especal de relaação lagrageaa que cosste e dvdr o problea orgal e város subprobleas e crar ua cópa das varáves de decsão e cada u dos subprobleas gerados. Essas cópas são utlzadas as restrções dos subprobleas, e restrções que garate a gualdade etre as varáves orgas e suas cópas são relaadas o setdo lagrageao [Chardare e Sutter 995]. Cosderado ua atrz de úeros reas Q = [q ], o PQ pode ser forulado pela epressão (). a PQ: v(pq) = () báro = = O PQ pode ser learzado por eo da substtução dos teros quadrátcos pela varável cotíua e por restrções que garata que =. Logo, te-se ua versão lear tera sta de PQ (2-7). Por coveção, esse odelo será chaado PQL. q = q PQL: v(pql) = Ma + q (2) Sueto a 0, q > 0 (3) 0, q > 0 (4) +, q < 0 (5) 0, q < 0 (6) {0,} =,..., (7) A partr da atrz Q, pode-se crar u grafo G=(V,E) co V = {,,} e ua atrz de adacêcas E = [e ], e = se q 0 e e = 0 se q = 0. Partcoado o grafo G e ( ) clusters depedetes, te-se V = V V 2... V, ode V V =,, G = (V,A ), =,...,, e X = V V, =,...,. Logo, te-se: PQL : v(pql ) = Ma q + q + q ' = V V ; V ; V ; X ; (8) Sueto a V, V q > 0, =,..., (9) V, V q > 0, =,..., (0) + V, V q < 0, =,..., () 0 V, V q < 0, =,..., (2) ' V, X q > 0, =,..., (3) ' ' V, X q > 0, =,..., (4) + ' ' V, X q < 0, =,..., (5) ' 0 V, X q < 0, =,..., (6) = X, =,..., (7) ' ' = ' V, X, >, =,..., (8) {0,} V, =,..., (9)

3 Nesse odelo, as varáves ' represeta as cópas do vértce (') o cluster, e as varáves ' represeta as arestas etre os vértces e ' (cópa de ). As restrções (9)-(2) trata apeas as arestas (,) cuos vértces são teros ao cluster (sub-grafo). Já as restrções (3)-(6) trata as arestas (,) cuos vértces estão e clusters dsttos. As restrções (7) e (8) são as restrções de cópa, que garate a gualdade etre as varáves orgas e suas cópas. Co tuto de facltar a copreesão do étodo proposto, esse odelo (9-9) pode ser represetado atrcalete da segute fora: ( ) ' PQL : v(pql ) = Ma q + 0' + q + q ' (20) q = A L A Sueto a T B O 0 [ ' ' ] L[ ' ' ] ] ~ b (2) 0 0 B é u vetor co os coefcetes das varáves presetes o cluster ; é u vetor co os coefcetes das varáves presetes o cluster ; é u vetor co os coefcetes das varáves ' presetes o cluster ; B é ua atrz co os coefcetes das varáves presetes as restrções (9) a (6); A é ua atrz co os coefcetes das varáves presetes restrções de cópa (7-8); é u vetor co os valores das varáves de decsão ; ' é u vetor co os valores das varáves de decsão '; é u vetor co os valores das varáves de decsão ; ' é u vetor co os valores das varáves de decsão ' ; Por f, ~ represeta os operadores relacoas (, ou =) e b os valores do lado dreto das restrções (0 ou ). Relaado as restrções (7) e (8) o setdo lagrageao por eo do vetor de ultplcadores µ, (µ rrestrto), o problea PQL (dretaete o PQ) pode ser dvddo e subprobleas depedetes. Cosderado R coo sedo as restrções assocadas ao subproblea, =,...,, e d o úero de restrções relaadas, cada subproblea pode ser represetado coo descrto e (22), e a solução da decoposção do problea PQL e clusters é dada pela epressão (23). DL µ PQL : v(dl µ PQL ) = a, ',, ' R q ' {( q µa ) + ( µa ) ' + ( q µa ) + ( q µa ) ' } ' q (22) DL µ PQL : v(dl µ PQL ) = DL PQL µ (23) A pleetação clássca da técca de geração de coluas utlza u problea coordeador, ou Problea Mestre Restrto (PMR), e subprobleas geradores de coluas para forá-lo. O PMR, por eo de suas varáves duas, drecoa os subprobleas a busca de ovas coluas. Ass, aplcado a decoposção Datzg-Wolfe para a relaação lear (PL) do problea PQL te-se: = s s s s s s s PMR PL : v(pmr PL ) = Ma λ q + 0' + q + q ' (24) Sueto à = s µ d p= ( ) s T λ s ( A y ) ~ b, ode y = [ ' ' ] = s S λ {,...,} s = s S λ s 0,..., }, s S ' p (25) (26) { (27)

4 O couto de potos etreos de R assocados co as coluas geradas o PMR é dado por S. β é a varável dual assocada co a -ésa restrção de covedade de (26). s, ' s, s e ' s são vetores que defe os potos etreos s S, ou sea, as soluções váves do subproblea defdo pelo cluster. λ s é a varável de decsão correspodete ao poto etreo s S. Para cada subproblea (22), pode-se substtur o vetor de ultplcadores lagrageaos µ pelo vetor de varáves duas α assocado co as restrções (25), e de ua fora alteratva, cada subproblea pode ser descrto pela epressão (28), e a relaação do PQL, e clusters, por (29). Z = a {( q αa ) + ( αa ) ' + ( q αa ) + ( q αa ) ' }, ',, ' R Z = ' (28) DL α PQL : v(dl α PQL ) = + α (29) A partr de etão, ua ova colua gerada pelo subproblea é serda o PMR se o seu custo reduzdo θ for postvo, sto é, θ = Z β > 0. Ass, o PMR coordea as soluções dos probleas por eo de suas varáves duas, buscado ua solução para o problea orgal. O PMR cal é gerado por eo de ua heurístca baseada a apresetada e Beasley (998). E seguda, ovas coluas são geradas até que u crtéro de parada sea satsfeto, e o PMR fal, forado por todas as coluas geradas, é resolvdo de fora tera (λ s {0,}), e cosequeteete, sua solução será equvalete a ua solução vável para o PQL, e dretaete para o PQ. Por coveção, esse problea será tratado coo PMR PLI, e o valor de sua solução coo v(pmr PLI ). Logo, a solução do PMR de fora tera - v(pmr PLI ) - apreseta ua solução vável para o PQ, e a solução do PMR por eo de sua relaação lear - v(pmr PL ) - e a solução da decoposção lagrageaa - v(dl α PQL ) - apreseta ltates para o PQ. 3. Outros ltates para o PQ O valor da solução da relaação lear do PQL (substtur a restrção 7 por 0 ) é u ltate trval para o PQ, e é cohecdo coo roof dual [Blloet e Calels 996]. Por otação, esse odelo será tratado coo PQL. Outro ltate para o PQ pode ser obtdo por eo da serção de ua restrção de corte de Chvatal-Goory (30) e PQL. Essa restrção é baseada e ua das restrções de corte apresetadas e Blloet et al. (999) para o Problea Quadrátco da Mochla - PQM. Por coveção, o odelo PQL co essa restrção será tratado coo PQLC. + <, q 0, q 0, q 0 (30) + d p= < A relaação lagrageaa das restrções (3), (4) e/ou (5) tabé pode ser utlzada para obteção de outros ltates para o PQ. Essas restrções pode ser cobadas de fora a gerar dferetes odelos para o problea, sedo que a zação de cada dual correspodete apreseta u ltate para o PQ. 4. Resultados coputacoas Os resultados apresetados a segur fora obtdos por eo de u couto de 45 stâcas dspoíves a OR-Lbrary. Essas stâcas são separadas e 6 classes (A, B, C, D, E e F) co dferetes característcas. Essas stâcas estão etre as as dfíces ecotradas a lteratura [Glover et al. 998]. Para resolver a relaação lear do problea ( PQL ) e a relaação lear co a restrção de corte (PQLC), fo utlzado o CPLEX 0.0. [Ilog 2006]. O dual lagrageao das relaações lagrageaas tradcoas ctadas a seção ateror fo otzado por eo p

5 do algorto de subgradete apresetado e Narcso e Lorea (999). O CPLEX tabé fo utlzado para resolver os probleas de fora eata a cada teração do algorto de subgradete. No étodo proposto (DecLagGC), a dvsão do grafo G fo realzada co o uso da bbloteca de heurístcas METIS [Karyps e Kuar, 998], que partcoa o grafo do problea zado o úero de arestas co terações e clusters dsttos. O PMR e os subprobleas tabé fora resolvdos pelo CPLEX. Todos esses étodos fora eecutados co o tepo lte de hora de processaeto para cada stâca. Tabela. Gaps (%) obtdos pelos ltates apresetados. Ist Dsde DecLagGC PQL PQLC Lag. (%) DL α PQL PMR PL A , ,99 6,6 2,98 2,22 0,7 B ,34 404,22 657,66 323,72 3,44 C ,3 5, 9,7 3,4 0,03 D ,37 85,35,40 09,87 0, E ,56 95,43 36,72 73,29 0,05 F ,28 26,2 24,66 02,40 0,38 Tepo édo (seg.) 73,96 37, ,84 282,8 A Tabela apreseta os gaps obtdos pelos étodos apresetados e relação às elhores soluções cohecdas [Glover et al. 998]. A colua Dsde apreseta as desdades da atrz Q das stâcas de cada classe, e a colua Lag apreseta os elhores gaps obtdos pelas relaações lagrageaas tradcoas. Os ltates (DL α PQL e PMR PL ) obtdos pelo étodo proposto apreseta eceletes gaps para pratcaete todas as stâcas. O úero de clusters () utlzado varou de 2 a 20, de acordo co a stâca. Tabela 2. Resultados obtdos para as stâcas das classes B e F. Ist. Dsde Melhores Glover et al. (2002) Perc (%) DecLagGC (%) soluções DDT A2 A2t V3 V3t v(pmr PLI ) Perc b , ,9 0,5 0, b ,0 75,2 86,8 5,0 5, b ,5 86,4 80,5 0,0 0, b ,7 78,3 78,3 0,0 0, b , ,0 0,7 0, b ,2 77,4 72,6 2,7 2, ,7 7b , ,6 0, b ,4 80,7 80,7 0,0 0, b , 92,7 75,9 0,0 0, , 0b ,6 78,6 78,6 0,0 0, ,5 f ,2 77,9 76,9 92,9 92, ,6 A Tabela 2 apreseta as soluções teras obtdas para as stâcas das classes B e F. Nessa tabela, a colua Perc apreseta o percetual da solução obtda e relação a elhor solução cohecda ((v(pmr PLI )/v(opt))*00). Os resultados obtdos pela DecLagGC são coparados aos resultados apresetados pelas dferetes heurístcas apresetadas e Glover et al. (2002). Coo pode ser observado, o étodo proposto apresetou elhores resultados para todas as stâcas da classe B (co tepo édo de 96,42 seg.) e para a stâca da classe F co desdade de 0% (e 5585,00 seg.). Para as deas, a DecLagGC ão fo capaz de ecotrar ua solução e u tepo aproado de hora. O étodo descrto e Blloet e Ellou (2007) ão fo capaz de resolver as stâcas da classe F, e segudo os autores, todas as soluções ótas fora ecotradas para as stâcas da classe B co u lte de tepo de 2 horas.

6 A DecLagGC obteve u gap édo de 0,% para as stâcas das classes D co tepo édo de processaeto fo de 4522,32 segudos, equato que o apresetado por Blloet e Ellou (2007) fo de 7,57% co tepo édo de 0 utos por stâca. Para as stâcas das classes A e C, o étodo proposto por Blloet e Ellou (2007) obteve as soluções ótas e u tepo lte de 2 horas por stâca, poré ão fo capaz de resolver os probleas da classe E. Já a DecLagGC obteve as soluções ótas para todas as stâcas das classes A, C e E, co o tepo édo de 96,40 e 64,3 segudos para as stâcas das classes A e C, e da classe E, respectvaete. Glover et al. (2002) ão apreseta resultados para essas stâcas. 5. Coclusões Este trabalho apresetou ua ova estratéga de decoposção lagrageaa baseada a técca de geração de coluas para resolver o problea de prograação quadrátca bára rrestrta. O étodo proposto, alé de ecotrar soluções váves, tabé apreseta duas alteratvas para obteção de ltates para o PQ. Istâcas de dfícl solução e co dferetes característcas fora utlzadas para avalar o étodo proposto. Os resultados apreseta dícos de que a decoposção proposta é superor à proposta por Chardare e Sutter (995), pos soluções de boa qualdade fora obtdas para probleas aores (co desdades varadas). Alé dsso, o étodo proposto fo coparado dretaete co outros étodos propostos receteete, e apresetou eceletes resultados para pratcaete todas as stâcas. Refereces Beasley, J.E. (998). Heurstc algorths for the ucostraed bary quadratc prograg proble. Techcal Report - Maageet School, Iperal College, Lodo, UK. Blloet, A.; Calels, F. (996). Lear prograg for the 0- quadratc apsac proble. Europea Joural of Operatoal Research, 92(2): Blloet, A.; Ellou, S. (2007). Usg a ed teger quadratc prograg solver for the ucostraed quadratc 0- proble. Matheatcal Prograg, 09: Blloet, A.; Faye, A.; Soutf, E. (999). A e upper boud for the 0- quadratc apsac proble. Europea Joural of Operatoal Research, 2: Chardare, P.; Sutter, A. (995). A decoposto ethod for quadratc zero-oe prograg. Maageet Scece, 4(4): Glover, F.; Aldaee, B.; Rego, C.; Kocheberger, G. (2002). Oe-pass heurstcs for largescale ucostraed bary quadratc probles. Europea Joural of Operatoal Research, 37(2): Glover, F.; Kocheberger, G.A.; Aldaee, B. (998). Adaptatve eory tabu search for bary quadratc progras. Maageet Scece, 44(3): Glover, F.; Woolsey, E. (974). Covertg a 0- polyoal prograg proble to a 0- lear progra. Operatos Research, 22: Ilog (2006). ILOG CPLEX 0.0: user s aual. Frace, 478 p. Karyps, G.; Kuar, V. (998). Multlevel -ay parttog schee for rregular graphs. Joural of Parallel ad Dstrbuted Coputg, 48: Narcso, M.G.; Lorea, L.A.N. (999). Lagragea/surrogate relaato for geeralzed assget probles. Europea Joural of Operatoal Research, 4: