18 a 21 de novembro de 2014, Caldas Novas - Goiás

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1 8 a de novebro de 4, Caldas Novas - Goás SIMULAÇÃO NUMÉRICO-COMPUTACIONAL DE PLACAS FINAS EM GRANDES DESLOCAMENTOS Andressa Fernanda Rosa de La, andressaernanda@hotal.co.br Antôno Marcos Gonçalves de La, agla@ecanca..br Roes Antôno Borges, roes@g.br 3 Unversdade Federal de Uberlânda - Facldade de Engenhara Mecânca, Av. João Naves de Ávla, 3848-, Uberlânda, Mnas Geras, Brasl Unversdade Federal de Uberlânda - Facldade de Engenhara Mecânca, Av. João Naves de Ávla, 3848-, Uberlânda, Mnas Geras, Brasl 3 Unversdade Federal de Goás Caps Catalão - Departaento de Mateátca e Mateátca Indstral, Av. Dr. Laartne Pnto de Avelar, 7574-, Catalão, Goás, Brasl Reso:No eo ndstral, a bsca-se constanteente a conabldade, drabldade e segrança das áqnas e eqpaentos tlzados na atvdade prodtva. Neste contexto, nas ases de concepção de projeto e análse são geralente epregados procedentos nérco-coptaconas para prever o coportaento de ssteas ecâncos qando estes são sbetdos a pertrbações estátcas o dnâcas. Essas pertrbações tê se tornado cada vez as ntensas enqanto os ateras tlzados na realzação das estrtras são cada vez as nos, leves e extensos. Portanto, devdo a essas condções, ocorre nesses ssteas coportaentos não-lneares, qe pode resltar e alhas catastrócas qando esses enôenos não são devdaente reconhecdos e estdos para sere controlados. Nesse trabalho, pretende-se pleentar a odelage nérco-coptaconal para o estdo e prevsão do coportaento de a estrtra do tpo placa na de nteresse ndstral, coente tlzado e projetos da ndústra aeronátca e atooblístca, sbetdas a grandes deslocaentos, co o objetvo de obter as sas respostas devdo a derentes condções de operação. Palavras-chave: Ssteas não-lneares, eleentos ntos, odelage. INTRODUÇÃO Fenôenos não-lneares são to cons na engenhara prátca, sendo os enôenos lneares a exceção. Devdo ao coportaento prevsível de ssteas não-lneares pode ocorrer alhas catastrócas As não-lneardades de estrtras pode ser consderadas locas o globas; elas depende do coportaento do ateral, das condções lte o das condções de contorno. As não-lneardades geoétrcas são reqenteente encontradas e ssteas dnâcos estrtras e qe a espessra é consderada na. Nesses ssteas são etas as segntes consderações: a) As deorações são elástcas e nntesas; b) as rotações são oderadas. Tal coportaento é observado qando o deslocaento transversal é aor qe a espessra da estrtra. (Gerges,3). Nesse contexto, pode ser nclídas as placas nas, qe são extensaente tlzadas no eo ndstral, coo por exeplo: na ndústra aeronátca copõe a selage e as asas do avão; na ndústra atooblístca pode ser tlzadas na constrção da estrtra dos veíclos. Ua placa é consderada na, caso a relação entre o se coprento e a espessra seja speror a. Estas estrtras são to sensíves à vbração, e qando são sbetdas a grandes deslocaentos apresenta coportaento nãolnear. Para a odelage de a placa na e grandes deslocaentos, asse-se o odelo de Love-Krchho onde a partr dos capos de deslocaentos, obtê-se as deorações da placa através do tensor de Green-Lagrange. O qe dere essa odelage das convenconas, é o ato de qe qando as placas nas estão sbetdas à grandes deslocaentos, a odelage não pode ser consderados os eetos de lexão e deorações no plano da placa ndependentes. Deve-se tabé consderar os qe estes eetos são acoplados, de onde srge as não-lneardades do sstea. (Zenkewcz e Taylor, ). Devdo às característcas não-lneares da estrtra, a resolção da eqação do ovento qe rege o sstea tornase as coplexa, sendo ass, é tlzado o étodo de ntegração de Newark, qe perte a resolção de eqações derencas de segnda orde

2 Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO Nesse trabalho é realzada a odelage nérco-coptaconal de a estrtra do tpo placa na, aplcandose derentes condções coo por exeplo, apltde da reqênca de exctação e tpo de exctação, à estrtra e são realzadas análses das respostas vsando o entendento da nlênca desses parâetros e sstea não-lnear.. MODELAGEM DE PLACAS FINAS SUJEITAS A GRANDES DESLOCAMENTOS As estrtras do tpo placa na, são ensaente tlzadas no eo ndstral, e, devdo a deanda por objetos cada vez as leves e resstentes para sere operados e condções cada vez as crítcas, tos pesqsadores tê se dedcado ao estdo do coportaento desses ssteas qando operados e stações qe exge to da estrtra, coo por exeplo, placas nas qando sbetdas a grandes deslocaentos. Consdera-se coo grandes deslocaentos, qando o eso ltrapassa a espessra da placa (Mossao e Benaar, ). E neste caso, a teora de placas nas qe adota as relações lneares entre tensão e deoração já não é as scente para descrever o coportaento da estrtra e, nesse sentdo, bsca-se odelagens co o objetvo de se alcançar respostas qe ostra as respostas o as aproxado da realdade o possível. Neste trabalho, é tlzado o odelo de Love-Krchho qe é nsprado no odelo de Eler-Bernoll para placas, onde é tlzado o segnte tensor de deoração de Green-Lagrange para a orlação do prncípo varaconal: T T U U UU () Onde U é adtdo coo sendo a aproxação do capo de deslocaentos. Adtndo a hpótese de peqenas deorações e de rotações oderadas, pode-se reescrever o tensor de Green- Lagrange sob a segnte ora: xx yy xy x wxx vy z wyy y v x w xy K w x wy wxw y onde e zk representa, respectvaente, as deorações de ebrana e lexão, e é o vetor das deorações não-lneares qe tradz o acoplaento entre os eetos de ebrana e lexão no plano édo. Alé dsso, ele não aparece na odelage lnear de placas nas tal qe os eetos de lexão e ebrana pode ser resolvdos separadaente. Entretanto, para o caso não-lnear, sto não é as possível sendo necessáro consderar o acoplaento. Consderando qe os capos de deslocaentos são dscretzados e eleentos ntos por nções de nterpolação para eleento de placa plana retanglar, os coponentes de deoração de ebrana, lexão e acoplaento entre elas pode-se escrever as coponentes do tensor de Green-Lagrange, Eq., coo: B c nl t, B w w t, K B w t (3) onde t v T, w t w T, e as atrzes, e são oradas pelos operados derencas x y das relações deorações-deslocaentos para eleento de placa plana retanglar orada por qatro nós e cnco gras de lberdade por nós. A partr dessas relações, pode-se escrever o prncípo dos trabalhos vrtas, e qe são levadas e consderação a energa cnétca e a energa potencal de deoração, coo descrto abaxo: Sendo qe T t B nl B B c U Tdt (4) t é a energa cnétca do sstea, tlzada para a orlação da atrz de assa relaconada ao sstea e a energa potencal U é a soa das energas potencas das orças externas postas e a energa potencal de deoração, qe é dada por: Ude. E SdV (5) Onde S é o tensor de Polla-Krchho. A partr da orlação varaconal do tensor de Green-Lagrange, então, é possível obter a atrz de rgdez do sstea: ee e w l (6) nl c ()

3 Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO Nota-se qe a atrz de rgdez tê das coponentes, o prero tero correspondente á contrbção lnear e o segndo a contrbção não-lnear qe dz respeto ao acoplaento entre os eetos de lexão e ebrana, qe são calcladas por: n z yb xa T k e B C k l B T dxdydz (7) k zz y x k B C k B T n z nl k yb xa B C k B w e nl w dxdydz (8) T k nl T nl nl zzk y x B w C k B B w C k B w Após a obtenção das atrzes de assa e rgdez, é possível escrever as eqações do ovento global do sstea, no doíno do tepo, da ora atrcal: O anda: M M w t t K K K T K K w t t w t t (9) t Kt t M () nl Na Eq.(), nota-se a presença de a orça não lnear qe pode ser entendda coo a pertrbação no coportaento do sstea qando ele é sbetdo a grande deslocaento.. Resolção da eqação do ovento pelo étodo de Newark O étodo de Newark, tlzado para a resolção de eqações derencas de segnda orde, o epregado neste trabalho para a resolção da eqação do ovento da placa (Eq.). Sendo w t ] expandndo as varáves de estado (deslocaento), (velocdade) e sére de Taylor e = [ t trncando no tero de 3ª orde teos: 3 t t t () 6 t t () Sendo t t t o passo de tepo. Inserndo os parâetros γ e β gas a ½ e /6, as relações das varáves de estado passa a corresponder ao étodo de aceleração lnear. (BATHE,996). Sendo ass pode-se escrever, tal qe: t (3) Sbsttndo esta relação nas Eq.. e Eq.., chegaos às expressões: t t t (4) t t (5)

4 Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO Isolando o tero na eq..4 e nção de e sbsttndo na eq..5 obtê-se as eqações relaconadas à aceleração ( ) e à velocdade ( ) e nção dos deslocaentos desconhecdos ( ). Estas eqações, qando sbsttídas na Eq.(6) reslta e problea qase-estátco, coo é ostrado na Eq. (7). M C K F (6) K( ) U (7) Onde, M representa a assa do sstea, C o aortecento, K a rgdez, e, F a orça externa aplcada. K é a atrz de rgdez eetva, qe é dada por: t K K C M t t U é a varação do deslocaento no ntervalo entre t e t -, o seja, U U U. (8) E, é a orça dnâca nstantânea aplcada, dada por: F F M C M tc t (9) A Eq. (7) pode ser obtda pela aproxação da orça não-lnear para o ponto t pela expansão e sére de Taylor e torno do deslocaento no tepo t -. O seja nl nl ( ) K( ) nl ( ) ( ) () Onde nl representa a dervada da orça não-lnear e nção do deslocaento. E, para cada nstante de tepo é representada pela atrz de rgdez tangente.. Desenvolvento da atrz tangente Coo já o exposto anterorente, a atrz de rgdez tangente (K t ), é a ora dscreta da dervada da orça nãolnear e relação ao deslocaento no tepo t. Essa atrz, o gradente espacal da orça não-lnear, é necessára para a ntegração da eqação do ovento da placa pelo étodo de Newark. A orça não-lnear pode ser escrta coo sendo coposta por coponentes da orça na speríce da placa e as orças qe ata na lexão. Sendo ass, pode-se escrever: nl w E, então, escreve-se o gradente espacal da orça não-lnear, o seja: () Escrevendo a dervada da orça não-lnear coo: K t w w w w () w dnl () d () d () (3) E, então, desenvolvendo as dervadas das rgdezes ltplcadas pelos gras de lberdade, coo ostrado na Eq.9, chega-se aos coponentes da atrz de rgdez tangente: t l nl t K K K K (4) Sendo o prero tero a contrbção lnear e o segndo a contrbção não-lnear, já ostradas nas Eq. (7) e Eq.(8). E o últo tero é dado por:

5 h Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO T nl n zk yb xa B C k B w t K dxdydz (5) T k zzk y x nl nl T B wc B w G T G k Onde G é a atrz de dervadas das relações de deoração-deslocaento relaconadas à lexão e T é dado pela relação : D E. 3. SIMULAÇÕES NUMÈRICAS Co o objetvo de valdar o odelo e observar o coportaento da placa qe é sbetda a grandes deslocaentos, o posta a orça harônca pontal da ora F e (t) = F sen(ωt), e qe F representa a apltde da orça posta e a reqênca de exctação é gal à prera reqênca natral da placa, é aplcada no centro da densão oposta ao engaste. A Fg. ostra a placa engastada-lvre dscretzada e eleentos ao longo do se coprento e ao longo de sa largra, cjas característcas íscas e geoétrcas são ostradas na Tab.. Fgra. Representação esqeátca de a placa dscretzada e eleentos ntos Tabela 4. Propredades Físcas e Geoétrcas da placa Propredades Geoétrcas PLACA Coprento []. Largra [].5 Espessra []. Propredades Físcas Densdade Volétrca [Kg/ 3 ] 78 Módlo de Elastcdade de Yong.e5 [MPa] Coecente de Posson.3 Para a resolção das eqações do ovento o tlzado o étodo de ntegração de Newark jntaente co o étodo de Newton-Raphson, co o objetvo de realzar correções na resolção eta pelo étodo ntegrador devdo às característcas não-lneares do sstea. O ntervalo de tepo analsado é de a 4 segndos co passo de tepo gal a.5s.

6 Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO A Fgra, exbe a respostas teporal e o plano de ase do sstea para a orça senodal co apltde de 8N. A resposta no doíno do tepo, apresenta pocas característcas não-lneares e sas apltdes o qe tabé pode ser observado no se plano de ase..à edda e qe aentaos a apltde da orça, para 4N (Fg. 3) e conseqenteente o deslocaento da placa, observa-se a dscreta dança nos pcos das apltdes das respostas o qe sgere o srgento do coportaento não-lnear do sstea. As respostas obtdas para 8 N e N, as não-lneardades torna-se as evdentes tanto no doíno do tepo, qanto no plano de ase alé de sere deonstrados pontos de nstabldade qe srge no sstea devdo às não lneardades. tepo [s] Velocdade [/s] deslocaento/espessra(h) Deslocaento [] Fgra. Resposta teporal e plano de ase da placa para a orça de 8N

7 Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO tepo [s] Velocdade [/s] deslocaento/espessra(h) Deslocaento [] Fgra 3. Resposta teporal e plano de ase da placa para a orça de 4N tepo [s] Velocdade [/s] deslocaento/espessra(h) Deslocaento [] Fgra 4. Resposta teporal e plano de ase da placa para a orça de 8N

8 Con gr ess o Nacon a l de Mat eátca Ap lcada à In d ú stra, 8 a d e nov eb ro d e 4, Cald as Novas - GO tepo [s] Velocdade [/s] deslocaento/espessra(h) 4. Conclsões Fgra 5. Resposta teporal e plano de ase da placa para a orça de N Neste trabalho o realzada a slação nérco-coptaconal de placas e grandes deslocaentos e rotações oderadas, o qe nos leva à a orlação não-lnear. Fora desenvolvdas e ostradas o eqaconaento tlzado para a obtenção das respostas de sstea a partr desta orlação. Co os resltados obtdos a partr das slações nota-se a portânca de estdo e qe são levadas e consderação o eeto de acoplaento entre os eetos de ebrana e lexão da vga, qe são as ontes de não-lneardades levadas e consderação neste estdo, sendo qe, à edda e qe a apltde da orça aplcada ao sstea as nãolneardades torna-se cada vez as evdentes. BIBLIOGRAFIA Bathe, K.-J. Fnte Eleent Procedres..ed. Prentce Hall, p Gerges, Y. 3.Méthodes de rédcton de odèles e vbroacostqe non-lnéare.6. Tese de Dotorado - Unversté de Franche Coté. Mossao, F.;Benaar, R..Non-Lnear Vbratons o Shell-Type Strctres: A Rvew wth Bblography. Jornal o Sond and Vbraton. v. 55, n, p Zenkewcz, O.C.; Taylor, R.L.. The Fnte Eleent Method: Sold Mechancs, Vole. 5. Ed. Btterworth-Heneann. 459 p. RESPONSABILIDADE AUTORAL Deslocaento [] O(s) ator(es) é(são) o(s) únco(s) responsável(s) pelo conteúdo deste trabalho