ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS

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1 DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS ORIENTADOR: Pro. Dr. João Carlos Cordero Barbrato CO-ORIENTADOR: Pro. Dr. Francsco Patrck Arao Almeda Programa de Pós-Gradação em Engenhara Cvl PPGEC Centro de Tecnologa CTEC Unversdade Federal de Alagoas UFAL Maceó/AL, Jnho de 6.

2 DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS Dssertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Gradação em Engenhara Cvl PPGEC da Unversdade Federal de Alagoas UFAL, como reqsto parcal para obtenção do títlo de Mestre em Engenhara Cvl. ORIENTADOR: Pro. Dr. João Carlos Cordero Barbrato CO-ORIENTADOR: Pro. Dr. Francsco Patrck Arao Almeda Maceó/AL, Jnho de 6.

3 Dedco este trabalho aos mes pas Aleandre e Elana qe lmnados pelo Espírto Santo me deram todo o apoo e estímlo necessáro para a sa conclsão.

4 AGRADECIMENTOS Ao proessor e amgo Dr. João Carlos Cordero Barbrato, pela orentação, serendade e eqlbro drante a preparação deste trabalho. Ao proessor e amgo Dr. Francsco Patrck Arao Almeda, pela orentação e dedcação. Aos mes rmãos Dogo Jatobá e Líva Jatobá pelo apoo e estímlo dspensados drante a preparação deste trabalho. Aos amgos do PPGEC/UFAL, em especal a Antôno Carlos, Edvaldo Lsboa, Aleandre Machado, Edson Pessoa, Fábo Martns, João Glberto, Lcana Correa e Rodrgo Mero pela convvênca agradável, apoo e amzade. À Renata, pela pacênca drante este período de mta lta e dedcação. Ao proessor Dr. Severno Perera Cavalcante Marqes, pela sa competênca e compreensão no desenvolvmento de sas atvdades. A todo corpo docente do Programa de Pós Gradação em Engenhara Cvl - PPGEC da Unversdade Federal de Alagoas pelos ensnamentos transmtdos ao longo do crso de Mestrado. A DEUS qe em todos os momentos, de alegras e trs tezas, sempre está ao lado do ser hmano bscando adá-lo e ncentvá-lo a sperar todas as dcltades e problemas, lmnando-o da melhor orma possível. À Coordenação de Apereçoamento de Pessoal de Nível Speror CAPES, pelo nancamento da pesqsa.

5 RESUMO CAVALCANTI, D.J.H. (6). Análse da nteração solo-estrtra através do emprego connto dos Métodos dos Elementos de Contorno (MEC) e Elementos Fntos (MEF). 7p. Dssertação (mestrado) Programa de Pós-Gradação em Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Alagoas. Maceó. 6. Neste trabalho, propõe-se a análse do comportamento mecânco da nteração solo -estrtra a partr do desenvolvmento de m códgo comptaconal tlzando-se ma ormlação estátca connta do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e do Método dos Elementos Fntos (MEF) para o cálclo de deslocamentos e tensões em estrtras em contato com o meo semnnto. Assm sendo, pretende-se modelar a estrtra a partr de elementos ntos de placa DKT (dscrete Krchho trangle) e tlzar o conceto da ormlação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para modelar o solo, consderando-o como m espaço sem-nnto e/o nnto e tlzando a solção ndamental de Kelvn. O acoplamento entre os meos é eto aplcando-se a técnca de sb-regões. A partr do desenvolvmento de m códgo comptaconal são processados algns eemplos de engenhara tas como: análse da nteração solo-estrtra em ndações de placa spercas e enterradas e otras estrtras de engenhara, estdo do comportamento de m espaço sem-nnto a partr da aplcação de m carregamento dstrbído e carga concentrada, análse de corpos sbmetdos à leão e à tração, entre otras aplcações. Palavras chave: Interação Solo -Estrtra; Método dos Elementos de Contorno; Método dos Elementos Fntos; Acoplamento MEC/MEF.

6 ABSTRACT CAVALCANTI, D.J.H. (6). Sol-strctre nteracton analyss by the coplng o Bondary Element Method (BEM) and Fnte Element Method (FEM). 7p. M.Sc. Thess Programa de Pós-Gradação em Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Alagoas. Maceó. 6. In ths work, t s proposed a mechancal behavor analyss o the sol-strctre nteracton rom the development o a comptatonal code sng a coplng statc ormlaton o Bondary Element Method (BEM) and Fnte Element Method (FEM) or the dsplacements and stress calclaton n strctres n contact to the hal space. Ths, t s ntended to model the strctre sng the bendng plate nte element DKT (dscrete Krchho trangle) and applyng the concepts o the Bondary Element Method (BEM) ormlaton to model the sol, consdered as a hal-nnte and/or nnte space and sng Kelvn s ndamental solton. The coplng between the meda s done sng the sb-regons technqe. From the comptatonal code development some practcal eamples o engneerng are mplemented, sch as: sol-strctre nteracton analyss n spercal and bred plate ondatons and others engneerng strctres, stdy on the behavor o a hal-nnte space rom the applcaton o a dstrbted and concentrated load, analyss o bodes sbmtted to bend and tracton, among others applcatons. Keywords: Sol-Strctre Interacton; Bo ndary Element Method; Fnte Element Method; BEM/FEM Coplng.

7 SUMÁRIO Lsta de Símbolos... Lsta de Fgras... v Lsta de Tabelas... Consderações Incas.... Introdção..... Estado da Arte... 4 Fndamentos Matemátcos.... Notação Indcal.... Delta de Krönecker.... Delta de Drac....4 Teorema da Recprocdade de Bett Teoremas de Green... 5 Formlação do Método dos Elementos de Contorno Introdção Eqações Báscas da Elastostátca Lnear Solção Fndamental..... Solção Fndamental de Kelvn Eqações Integras de Contorno Eqação Integral para Pontos do Domíno Eqação Integral para Pontos do Contorno Método dos Elementos de Contorno Dscretzações Elementos de Contorno Elemento de Interpolação Lnear Integrações Nmércas Integração Snglar o Sem-Analítca Integração Nmérca... 46

8 .5.4 Deslocamentos e Tensões em Pontos do Domíno Tensões em Pontos do Contorno Eemplos Eemplo Eemplo Eemplo Formlação do Elemento Fnto DKT Introdção Estdo da Teora de Placas e Denção do Elemento DKT Consderações Incas Teora de Placas Consderando Peqenos Deslo camentos Matrz de Rgdez do Elemento DKT Vetor de Forças Nodas Eqvalentes do Elemento DKT Denção dos Esorços Internos no Elemento Eemplos Eemplo O Acoplamento Entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos Fntos (MEF) Introdção Representação Algébrca do MEC e do MEF Apromação para o Acoplamento entre o MEC e o MEF Implementações Comptaconas Introdção Algortmo do MEC a partr da Formlação Elastostátca Algortmo do MEF a partr do Elemento DKT Algortmo do Acoplamento entre os Métodos... 7 Aplcações Eemplo Eemplo Eemplo Consderações sobre os resltados... 8 Consderações nas Reerêncas... 7

9 Aneo A... 4 Aneo B... 6

10 LISTA DE SÍMBOLOS Componentes do vetor de deslocamentos. p Componentes do vetor de orças de speríce. b Componentes do vetor de orças volmétrcas. σ Componentes do tensor de tensões. ε Componentes do tensor de deormações. δ Delta de Krönecker. δ (-d) Dstrbção Delta de Drac Ω Domíno de m corpo qalqer em estado de eqlíbro. Γ Contorno de m corpo qalqer em estado de eqlíbro. Operador gradente. Operador Laplacano. λ e µ Constantes elástcas de Lamé. E Módlo de elastcdade longtdnal. ν Coecente de Posson. G Módlo de elastcdade transversal o módlo de elastcdade ao csalhamento. s Ponto onte. q Ponto campo. (s,q) Componentes de deslocamentos para o problema ndamental de Kelvn (D). ε k (s,q) Tensor de deormações para o problema ndamental de Kelvn (D). σ k (s,q) Tensor de tensões para o problema ndamental de Kelvn (D). p (s,q) Forças de speríce para o problema de Kelvn trdmensonal. r Dstânca entre o ponto onte s e o ponto de campo q. S k Tensor de ª ordem dendo através da dervação dos tensores de deslocamentos e orças de speríce do problema ndamental.

11 D k Tensor de ª ordem dendo através da dervação dos tensores de deslocamentos e orças de speríce do problema ndamental. ε Rao da speríce esérca de domíno Ω ε. c ρ Matrz dos coecentes em nção da localzação do ponto a ser estdado (ora do domíno do sóldo, no contorno do sóldo o nterno ao domíno do mesmo). Rao da esera qe az analoga à regão qe representa m espaço sem- nnto o nnto (espaço de Kelvn), stação do problema a ser estdado. n r Vetor normal ao contorno da speríce do elemento. φ Fnções nterpoladoras U e P Deslocamentos e orças de speríce apromadas por ses valores nodas para cada elemento a ser dscretzado. B Valores nodas das orças volmétrcas aplcadas nos nós nconas. p Matrz com as orças de speríce p (s, q). Matrz com os deslocamentos (s, q). X X c Coordenadas cartesanas dos pontos nodas da célla trdmensonal para dscretzação do domíno. Coordenadas cartesanas dos pontos geométrcos da célla trdmensonal para dscretzação do domíno. U Vetor com os valores nodas dos deslocamentos. P Vetor com os valores nodas das orças de speríce. H G A X Matrz denda pelo somatóro das ntegras qe ormam m prodto com o vetor dos valores nodas de deslocamentos. Matrz denda pelo somatóro da ntegral qe orma m prodto com o vetor dos valores nodas das orças de speríce. Matrz chea e não smétrca qe contém os elementos das matrzes H e G após aplcação das condções de contorno. Vetor msto qe contém as ncógntas (deslocamentos e orças de speríce).

12 F Vetor obtdo da mltplcação da matrz G modcada pelo vetor de valores prescrtos. Coordenadas de área para o elemento tranglar lnear descontíno. n e n Vetores normas nas dreções cartesanas e. X η Eos cartesanos. Co-senos dretores da normal em relação aos eos cartesanos. m Co-senos dretores no ponto em análse em relação ao eo. J Jacobano de transormação de coordenadas. w k Peso de Gass no ponto k. N PG Número de pontos de Gass a ser tlzado no elemento. β e β Rotações da normal ao plano médo ndeormado do elemento DKT. y w, θ eθ Gras de lberdade do elemento DKT. y y σ, σ e σ Tensões normas atantes no elemento nto DKT. τ y, τ z e τ yz z Tensões de csalhamento atantes no elemento nto DKT. M e M y Momentos letores atantes em torno dos eos e y. M y Momento de torção. Q e Q y Esorços cortantes segndo os eos e y. ε b κ D D k UK Matrz com o campo de deormações. Vetor de crvatras Rgdez a leão da placa. Matrz qe relacona esorços solctantes e crvatras. Energa nterna de deormação. e η Coordenadas admensonas de área para o elemento DKT. B K DKT E n Matrz de transormação deormação deslocamento. Matrz de rgdez do elemento DKT Erro resdal.

13 LISTA DE FIGURAS v Fgra.. Plso retanglar ntáro (dos eemplos)... Fgra.4. Corpo em eqlíbro: Ω (Domíno) e Γ (Contorno)... 4 Fgra.4. Denção de e Γ Ω do corpo vrtal (Fndamental)... 4 Fgra.. Sóldo trdmensonal de domíno Ω e contorno Γ... 8 Fgra.. Elemento nntesmal de volme... 9 Fgra.. Elemento nntesmal de speríce (Tetraedro de Cachy)... Fgra..4 Valores prescrtos de contorno... Fgra.. Denção do problema ndamental... Fgra..a Fgra..b Fgra..c Denção geométrca do problema ndamental. (Fonte: BREBBIA & DOMINGUEZ, 989)... Componentes dos deslocamentos da solção ndamental da speríce... Componentes de orças de speríce da solção ndamental da speríce... Fgra.. Denção do vetor r para cálclo de sas dervadas... 6 Fgra..4 Denção do problema ndamental de Kelvn... 6 Fgra.4. Corte do contorno epanddo no ponto save... 9 Fgra.4. Corte do contorno epanddo no ponto S ( não save )... Fgra.4. Regão nnta espaço de Kelvn... Fgra.5. Fgra.5. (a) elementos de contorno constantes, (b) elementos de contorno lneares e (c) elementos de contorno qadrátcos (Fonte: Brebba & Domngez, 989)... Tpos de elemento lnear: (a) contíno; (b) e (c) de transção; e (d) descontíno

14 v Fgra.5. Elemento tranglar lnear descontíno... 7 Fgra.5.4 Denção da ntegração snglar... 4 Fgra.5.5 Representação do elemento ndmensonal lnear e ntegração no contorno ctíco do elemento tranglar (Fonte: Barbrato, 999) Fgra.6. Vga engastada com carregamento transversal na etremdade lvre... 5 Fgra.6. Dscretzações do contorno por elementos tranglares planos descontínos: (a) M4, 4 elementos, (b)m7, 7 elementos e 5 (c)m76, 76 elementos... Fgra.6. Representação gráca da geometra da vga mostrando as dscretzações tlzadas: M4, M7 e M Fgra.6.4 Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M Fgra.6.5 Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M Fgra.6.6 Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M Fgra.6.7 Lnha elástca da vga: comparatvo de resltados Fgra.6.8 Denção do sóldo e sas condções de contorno Fgra.6.9a Malhas de dscretzação: (a) e (b) M com elementos e (c) e (d) M44 com 44 elementos Fgra.6.9b Malhas de dscretzação: (e) e () M76 com 76 elementos... 6 Fgra.6. Área retanglar (solo) na speríce lvre do sem-nnto, carregamento normemente dstrbído... 6 Fgra.6.a Dscretzações tlzadas: (a) 6 elementos e (b) 64 elementos... 6 Fgra.6.b Dscretzações tlzadas: (c) 56 elementos Fgra.6. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e as sol. nd. de Mndln 65 e Kelvn tlzadas em BARBIRATO (999)... Fgra.6. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e as sol. nd. de Mndln e Kelvn tlzadas em BARBIRATO (999)... 65

15 Fgra.6.4 Vsalzação gráca do meo sem-nnto malha com6 elementos. 66 Fgra.6.5 Fgra.6.6 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e a sol. nd. de Mndln tlzada em BARBIRATO (999)... Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e a sol. nd. de Mndln tlzada em BARBIRATO (999)... Fgra.6.7 Vsalzação gráca do meo sem-nnto - malha com 64 elementos 67 Fgra 4.. Denção do elemento nto DKT... 7 Fgra 4.. Tensões qe agem em m elemento derencal de ma placa Fgra 4.. Dreções postvas de β e βy... 7 Fgra 4.. Coordenadas admensonas de área,η e r Fgra 4..4 Geometra do elemento nto DKT (Fonte: Batoz et al., 98) Fgra 4..5 Fgra 4.. Fgra 4.. Carregamento normemente dstrbído no elemento mostrando a transormação para carregamento nodal eqvalente... Eemplo 4.: dscretzação da placa tlzando as malhas M, M, M4 e M5... Eemplo 4.: dscretzação da placa tlzando as malhas: M (lado da dscretzação dvdda em partes gas e M (lado da dscretzação dvdda em partes gas)... Fgra 4.. Comparação de resltados para dversos tpos de carregamento 85 aplcado... Fgra 4..4a Comparatvo de resltados para o eemplo Fgra 4..4b Comparatvo de resltados para o eemplo Fgra 5.. Fgra 5.. Fgra 5.. Representação das sb-regões ( Ω e Ω ) modeladas por Elementos de Contorno e Elementos Fntos (Fonte: Brebba & Domngez, 989)... Esqema de ma vga para tlzação da técnca de sb-regões: das sb-regões Ω e Ω... Sb-regão de domíno Ω dscretzada pelo MEF e sb-regão de domíno Ω c dscretzada pelo MEC, no acoplamento... Fgra 6.. Rotero do algortmo comptaconal para problemas estátcos v

16 v Fgra 6..a Letra de dados para processamento do programa (Eemplo.: 98 Malha com 6 elementos)... Fgra 6..b Fgra 6..a Fgra 6..b Fgra 6..c Fgra 7.. Letra de dados para processamento do programa (Eemplo.: 99 Malha com 6 elementos)... ª parte do arqvo com a entrada de dados reerente as coordenadas dos nós (lnhas 7 a 9) e condções de contorno (lnhas a ): Eemplo 4. Malha M com 9 nós e 8 elementos... ª parte do arqvo com a entrada de dados reerente as propredades do materal (lnhas a 46) e conectvdade dos elementos (lnhas 48 a 6): Eemplo 4. Malha M com 9 nós e 8 elementos... ª parte do arqvo com a entrada de dados reerente ao carregamento prescrto: carga concentrada e carregamento dstrbído (lnhas 6 a 8): Eemplo 4. Malha M com 9 nós e 8 elementos... Eemplo 7.: Dscretzação da nterace placa-solo por 49 nós e 7 5 elementos... Fgra 7.. Eemplo 7.: Dscretzação estendda com 9 nós e 6 elementos.. 6 Fgra 7.. Vsalzação gráca dos valores da tabela 7. para a dscretzação estendda... 7 Fgra 7..4 Vsalzação gráca dos valores da tabela 7. para dscretzação com 49 nós e 7 elementos... 7 Fgra 7..5 Resltados para a solção ndamental de Kelvn: comparatvo entre as das dscretzações tlzadas... 8 Fgra 7..6 Comparatvo de Resltados... 9 Fgra 7..7 Fgra 7..8 Fgra 7..9 Fgra 7.. Comportamento da placa hcm para a dscretzação estendda, (valores em mm)... Comportamento da placa hcm para a dscretzação estendda em escala cnemátca, (valores em mm)... Comportamento da placa h5cm para a dscretzação estendda, (valores em mm)... Comportamento da placa h5cm para a dscretzação estendda em escala cnemátca, (valores em mm)...

17 v Fgra 7.. Carga concentrada P no centro da placa... Fgra 7.. Dscretzação estendda... 4 Fgra 7.. Dscretzação da nterace de contato placa-solo... 4 Fgra 7..4 Varação do deslocamento em nção da espessra da placa... 5 Fgra 7..5 Comportamento da placa (hcm): Dscretzação estendda... 5 Fgra 7..6 Comportamento da placa (hcm): Dscretzação estendda... 6 Fgra 7..7 Comportamento da placa (h5cm): Dscretzação estend da... 7 Fgra 7..8 Comportamento da placa (h5cm): Dscretzação estendda... 7 Fgra 7.. Carregamento dstrbído parcalmente aplcado em 8 elementos da dscretzação... 8 Fgra 7.. Comparatvo de resltados: Elemento de Placa DKT... 9 Fgra 7.. Carregamento dstrbído parcalmente aplcado em elementos da dscretzação... Fgra 7..4 Comparatvo de resltados: Elemento de Placa DKT... Fgra 7..5 Comparatvo de resltados para a dscretzação estendda da análse seta a dversos tpos de carregamento... Fgra 7..6 Comparatvo de resltados para a dscretzação da nterace placasolo da análse seta a dversos tpos de carregamento...

18 LISTA DE TABELAS Tabela. Tabela. Tabela. Tabela.4a Tabela.4b Tabela.5 Tabela.6 Tabela.7 Tabela.8 Lnha elástca da vga analsada (valores em cm): Dscretzação M4... Lnha elástca da vga analsada (valores em cm): Dscretzação M7... Lnha elástca da vga analsada (valores em cm): Dscretzação M76... Valores do deslocamento da vga analsada à tração para a dscretzação M, (valores em cm)... Valores do deslocamento da vga analsada à tração para as dscretzações M4 e M76, (valores em cm)... Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra Tabela 4. Deslocamento transversal (U) para placa qadrada Tabela 7. Tabela 7. Tabela 7. Tabela 7.4 Valores de deslocamento no centro da placa em nção da espessra para a dscretzação estendda... 7 Valores de deslocamento no centro da placa em nção da espessra para a dscretzação com 49 nós e 7 elementos... Valores do deslocamento da placa hcm (em mm) para a dscretzação estendda... Valores do deslocamento da placa h5cm (em mm) para a dscretzação estendda... Tabela 7.5 Dscretzação estendda... Tabela 7.6 Dscretzação da nterace de contato placa-solo

19 Tabela 7.7 Tabela 7.8 Tabela 7.9 Tabela 7. Valores do deslocamento da placa (hcm) (em mm): Dscretzação estendda... 6 Valores do deslocamento da placa (h5cm) (em mm): Dscretzação estendda... 7 Resltados para as das modelagens: comparação entre o carregamento dstrbído ntermedáro q 8 e a carga concentrada eqvalente... Resltados para a das modelagens: comparação entre o carregamento dstrbído ntermedáro q e a carga concentrada eqvalente... Tabela A. Valores das coordenadas natras e dos pesos de Gass

20 . CONSIDERAÇÕES INICIAIS. - INTRODUÇÃO: O Método dos Elementos de Contorno (MEC) vem se destacando entre os pesqsadores de dversos centros de estdo como m mportante método de smlação nmérca, onde a solção dos problemas íscos é calclada em pontos dscretos (nós) qe são dendos sobre o contorno para os casos em qe a solção ndamental é conhecda. Nesse método as eqações derencas qe regem o domíno são transormadas em eqações ntegras aplcáves à speríce o contorno do mesmo, redzndo assm de ma ndade as dmensões de problemas lneares analsados e acltando a sa aplcação em etensões nntas o sem-nntas, á qe satsazem a condção de radação e regões com alta concentração de tensões. Por otro lado, a matrz do sstema é geralmente chea e não-smétrca. Para obter-se a eqação ntegral de contorno qe possblte a análse do problema, o MEC necessta de ma solção ndamental. Esta representa a resposta em m ponto do domíno nnto devdo à aplcação de orça ntára em otro ponto do mesmo domíno. A tlzação de ma solção ndamental, qe genercamente pode ser classcada como ma desvantagem, na verdade proporcona precsão ao método (BARBIRATO, 999). Em problemas de nteração solo-estrtra o MEC têm-se mostrado ecente e conável. O solo, consderado neste trabalho como m meo elástco e estátco passa a ser dscretzado pelo MEC á qe se trata de m domíno estenddo ao espaço nnto (o sem-nnto). Esse método poss modelagem própra para tal domíno, ma vez qe a solção ndamental tlzada no método á contempla a nlênca do nnto (o sem-nnto). O Método dos Elementos Fntos (MEF), por ser ma técnca de domíno, pode trazer algmas mplcações em análses qe envolvam domínos nntos, pos estes devem ser nterrompdos para qe se gere ma dscretzação nta, ocasonando a ormação de m contorno ctíco, podendo casar erros na mplementação nmérca. O MEF teve m crescmento etremamente rápdo com os avanços tecnológcos no campo da comptação atngndo pratcamente todos os problemas de engenhara. O MEF tem a característca de apromar a solção da eqação derencal qe rege o problema ísco, tlzando valores do domíno de valdade do problema, o sea, valores das varáves báscas do problema assocados a pontos nternos e de contorno do espaço em análse. Esse método é caracterzado por dvdr scamente o contíno em ma sére de elementos, eqaconando-os como sb-regões contínas de orma ndvdal e ntando-os para a solção do problema como m todo. A

21 ormlação do MEF é, na maora das vezes, baseada na técnca dos resídos ponderados qe permte ma generalzação maor do método. Porém se eqaconamento pode anda ser apresentado a partr dos prncípos varaconas através da mnmzação de m nconal (COOK et al., 989 e SHAMES & DYM, 985). Para a dscretzação da estrtra em contato com o solo pode-se tlzar a ormlação do elemento nto DKT (dscrete Krchho trangle) qe tlza dscretamente a teora das placas de Krchho, também conhecda como teora de peqenos deslocamentos de placas delgadas, onde as deormações por esorço cortante e a energa de deormação casada por esse esorço são desprezadas (BATHE, 98 e COOK et al., 989). O estdo com problemas de nteração solo-estrtra tlzando o emprego connto do MEC e MEF a ser desenvolvdo neste trabalho vsa à obtenção de resltados mas precsos (tensões e deslocamentos), como também aprovetar as vantagens e característcas dstntas de cada método, á qe dversas são as smplcações tlzadas até hoe para se azer tal tpo de análse. Os programas comptaconas com os qas se poderam tentar tas smlações estão elaborados em elementos ntos, o qe lmta mto o se emprego devdo ao volme de normações qe se precsa gerar e aos problemas relaconados à smlação de meos nntos o sem-nntos. O acoplamento dos dos métodos é bastante tlzado stamente por levar em conta as vantagens e desvantagens qe estem entre eles e obetvar o estdo mas compleo de casos de engenhara onde estem, por eemplo, materas com propredades compleas e não-homogêneas, altas concentrações de tensões e potencas (BREBBIA & DOMINGUEZ, 989). Sendo assm, a abordagem da nteração solo-estrtra através do acoplamento MEC e MEF, obeto deste trabalho, é de grande nteresse para solconar mtos problemas e está presente nas dscssões sobre o desenvolvmento tecnológco atal. O presente trabalho apresenta-se, portanto, no conteto da análse da nteração soloestrtra através do emprego connto do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e Método dos Elementos Fntos (MEF). O obetvo prncpal é o estdo da nteração solo-estrtra para problemas de engenhara tlzando-se ma ormlação connta do MEC e do MEF para analsar o comportamento mecânco dos meos envolvdos. A partr do obetvo prncpal srgem os obetvos especícos, qe sbsdam o prmero com sas ormlações. São eles: o desenvolvmento de m códgo comptaconal para o estdo de eemplos de engenhara; o desenvolvmento de estdos para o acoplamento de dos métodos nmércos MEC e MEF, onde o prmero tlzará a ormlação de Kelvn para o meo nnto (solo) e o segndo tlzará o elemento de placa DKT (dscrete Krchho trangle) para dscretzar

22 a estrtra da speríce; o estdo sobre comptação lgada à análse estrtral desenvolvmento de sotware a partr da plataorma Matlab; a contrbção para a ormação de recrsos hmanos especalzados para o desenvolvmento regonal. O trabalho nal apresentado como parte dos reqstos para obtenção do títlo de mestre em estrtras contempla as consderações ncas do presente capítlo, bem como os demas capítlos qe azem parte do escopo deste trabalho, organzados da segnte orma: No capítlo são apresentados e dendos os ndamentos matemátcos necessáros e tlzados para o desenvolvmento da ormlação do Método dos Elementos de Contorno. No capítlo é desenvolvda a ormlação trdmensonal elastostátca do Método dos Elementos de Contorno (MEC), tlzando os ndamentos matemátcos, representações ntegras, solções ndamentas, bem como as correspondentes eqações algébrcas para a dscretzação do solo em elementos de contorno. Neste capítlo também são apresentados e analsados eemplos de estrtras de engenhara dscretzadas através de elementos de contorno. Em segda, no capítlo 4, é apresentada a ormlação do MEF tlzando-se o elemento tranglar de placa DKT para a dscretzação da estrtra. Neste capítlo é realzado m estdo sobre placas: concetos, hpóteses e eqações para a apresentação da matrz de rgdez do elemento nto DKT, tensões, deslocamentos, bem como do se vetor de cargas nodas eqvalentes para carregamento normemente dstrbído. São apresentados anda eemplos de estrtras de engenhara estdadas através do MEF. O acoplamento do MEC e MEF é o obeto de estdo do capítlo 5. São dendas as solções para a compatblzação das eqações governantes dos dos métodos, levando-se em consderação qe após o acoplamento dos dos métodos, a estrtra comptaconal de dados (tensões e deormações) será dsposta em MEC e MEF. Serão descrtas as das metodologas para o acoplamento dos métodos para problemas de análse da nteração solo-estrtra, bem como apresentadas e dsctdas algmas dcldades do processo. No capítlo 6 são apresentadas as mplementações comptaconas tlzadas, apresentando as rotnas de mplementação mas mportantes. O sétmo capítlo é reerente aos eemplos nas. Nas conclsões geras são apresentadas algmas consderações nas sobre os assntos abordados. Para nalzar são apresentadas as reerêncas tlzadas em todo o desenvolvmento do trabalho, bem como os aneos com o desenvolvmento e apresentação de eqações mportantes para o completo entendmento dos dversos assntos abordados.

23 . - ESTADO DA ARTE: 4 Na últma metade do séclo passado com o desenvolvmento da tecnologa da comptação, dversas técncas nmércas de resolção de eqações o de sstemas de eqações derencas deram orgem a ecentes erramentas de cálclo possbltando a análse dos mas varados problemas de engenhara através dos métodos nmércos. As técncas de resolção de eqações ntegras de contorno srgem, neste conteto, com procedmentos nmércos alternatvos promssores para a resolção dos dversos problemas íscos sas das engenharas. Mas partclarmente, o Método dos Elementos de Contorno (MEC ) vêm ganhando espaço entre os pesqsadores dos mas concetados centros de pesqsa. O método teve se níco e evolção baseados nos esqemas de resolção de eqações ntegras, até então vstos como m tpo de método analítco, embora apromações das varáves sobre o contorno ossem salmente adotadas. A déa básca do MEC consste em transormar as eqações derencas qe regem o domíno de m determnado problema em eqações ntegras aplcáves à speríce o contorno do mesmo. Em segda, é possível dscretzar o contorno da regão consderada, dvdndo-o em elementos daí o nome elementos de contorno como também relaconar as varáves em pontos do contorno através da solção ndamental. Segndo ELLIOT apd VENTURINI (988), o Abel, em 8, qem prmero dedz ma eqação ntegral para o tratamento de m problema ísco, o pêndlo sócrono. A obtenção matemátca das eqações ntegras para problemas de elastostátca srg no séclo XIX, notadamente no trabalho de SOMIGLIANA (886) apd BARBIRATO (999) denomnada como Identdade Somglana. Dversos trabalhos deram contndade a esse conteto, tlzando eqações ntegras, prncpalmente no campo da mecânca dos ldos e potencal; podese relaconar: FREDHOLM (9), MUSKHELISHVILI (95), VOLTERRA (956) e MIKHLIN (957) apd BARBIRATO (999). ANDERSEN, R. S. et al. (98). The applcaton and nmercal solton o ntegral eqatons. Alphen aan den Rn, The Netherlands, Stho & Noordho. SOMIGLIANA, C. (886). Sopra eqlbro d m corpo elástco sótropo. I Novo cmento. Ser., v. 7-. MIKHLIN, S.G. (957). Integral eqatons. London. Pergamon Press (Internatonal seres o monographs n pre and appled mathematcs).

24 5 A ormlação do método em ma prmera ase de sa hstóra era mostrada a partr de apromações de eqações ntegras obtdas com o emprego de algm prncípo clássco, como o teorema de Bett. A tlzação de eqações ntegras no contorno torno-se ma alternatva para também representar apromadamente as eqações governantes de problemas de valor de contorno. O trabalho de RIZZO (967) o o prmero em qe o tratamento das eqações ntegras toma ma orma de técnca nmérca smlar à dos demas métodos Método das Derenças Fntas e Método dos Elementos Fntos. O método proposto por Rzzo o chamado de método das eqações ntegras de contorno, á qe era ma técnca alternatva das eqações ntegras em problemas de elastcdade b-dmensonal, qe so elementos retlíneos para dscretzar o contorno onde as nções (deslocamentos e orças de speríce) assmam valores constantes em cada elemento. Segndo BECKER (99), este trabalho é também o prmero a propor a abordagem dreta para o tratamento das eqações ntegras, onde as ncógntas qe aparecem nos ntegrandos são as varáves íscas do problema. Vsando m maor entendmento e apereçoamento do método proposto e ma maor dvlgação do Método das Eqações Integras de Contorno, dversos trabalhos oram pblcados após o trabalho de RIZZO (967). Pode-se ctar os trabalhos de CRUSE (969; 97) qe mostraram o so do método em problemas geras de elastcdade tr-dmensonal, RIZZO & SHIPY (968) onde o sgerdo o so de sb-regões para o tratamento de domínos nãohomogêneos, além de CRUSE & RIZZO (968) e CRUSE & VAN BUREN (97) qe zeram ma análse para problemas não-lneares. O grande avanço nos chamados métodos de contorno tem sa orgem na tese de LACHAT (975), onde mostra-se bem mas abrangente qe os trabalhos ctados anterormente. Neste trabalho o dada ma generaldade maor ao método, ntrodzndo em sa ormlação as representações paramétrcas para a representação dos elementos de speríce e das nções apromadoras de deslocamentos e de orças de speríce. A técnca das sb-regões aparece nesse trabalho, não só para modelar corpos não homogêneos, mas como m recrso para acltar a resolção do sstema nal de eqações. Após a tese de Lachat, as técncas de resolção das eqações ntegras começaram a ser nterpretadas como m método nmérco. Essa nova nterpretação ca demonstrada no trabalho de BREBBIA (978) qe ormla as eqações ntegras a partr do método dos resídos ponderados, com ma convenente escolha da nção ponderadora. Esse novo enoqe dado à técnca permte ma generalzação anda maor ao método.

25 6 Os problemas prátcos de engenhara passaram a ser eqaconados agora de ma orma bastante consstente, tlzando-se para sso as respectvas ormlações em termos de resídos ponderados e nções de orma tão tlzadas no Método dos Elementos Fntos. Brebba o o prmero a denomnar a técnca de Método dos Elementos de Contorno, em 978. A partr de então, váras ormlações oram propostas para análse dos mas varados problemas de engenhara, podendo-se destacar aq os relatvos a não-lneardade ísca, plastcdade, vscoelastcdade, vscoplastcdade, não-lneardade geométrca, mecânca da ratra, contato, mecânca das rochas e dos solos, adensamento, percolação e eetos dnâmcos, vbrações, propagação de ondas, radação, acústca, placas, cascas, concentração de tensão, nterações soloestrtra, ldo-estrtra e acústca-estrtra, e otros. No campo das engenharas, ma solção aproprada ao estdo de problemas relatvos a escavações, nteração solo-estrtra e otros, o pblcada logo após o srgmento do Método dos Elementos de Contorno, de atora de NAKAGUMA (979) qe tlzo a solção ndamental de Mndln na ormlação do método para análse de tensões em sóldos trdmensonas. NAKAGUMA (979), SÁ & TELLES (986) e BARBIRATO (99) tlzaram ormlações do MEC para análse trdmensonal com as solções ndamentas de Kelvn e Mndln. A aplcação do MEC para o estdo de problemas trdmensonas tem como precrsores os trabalhos de CRUSE (969), LACHAT (975) e NAKAGUMA (979), á ctados. Este tema também é abordado em CUROTTO (98), SILVA (989), BARBIRATO (99), CODA (99), entre otros. KOCAK & MENGI () apresenta m estdo de m modelo smples para analsar a nteração solo e estrtras trdmensonas. Neste trabalho, a regão do solo, analsada em elementos de contorno, o dvdda em camadas e cada camada representada por m modelo paramétrco. Os parâmetros deste modelo oram determnados em termos da espessra e das propredades elástcas do sbleto. Além da possbldade de combnarem-se regões com qasqer propredades mecâncas, lneares o não, os problemas prátcos egem também a combnação entre partes estrtras de derentes natrezas, em mtos casos tratados por métodos nmércos derentes. Algns algortmos nmércos qe combnam o Método dos Elementos de Contorno com otras técncas, á oram propostos por dversos atores.

26 7 Os trabalhos de ZIENKIEWICZ et al. (977), SHAW & FALBY (977) e OSIAS et al. (977) 4 apd VENTURINI (988) oram os prmeros a tratar sóldos onde ma parte é analsada va Elementos de Contorno e o restante do domíno é dscretzado e analsado pelo Método dos Elementos Fntos. A solção encontrada na combnação de ambas as técncas nmércas é mto relevante em dversos problemas prátcos, tas como: domínos nntos o regões de altas concentrações de tensões são melhores representados por solções com ntegras no contorno e domínos com comportamento não lnear o ansotrópco por solções com ntegras no domíno. Um dos trabalhos a estdar as combnações de derentes natrezas o desenvolvdo por BANERJEE & BUTTERFIELD (977) qe estdo a nteração solo -estrtra para analsar o comportamento de grpos de estacas. WOOD & CREED (98) também tlzaram combnações do MEC e MEF para analsar nteração solo-estrtra. Nesse caso partclar, os atores mostraram resltados obtdos na análse de ma plataorma o-shore apoada em ndação composta por estacas. Atalmente estem dversos trabalhos na lteratra qe estdam a nteração solo-estrtra através do acoplamento entre o MEF e o MEC demonstrando desta orma a mportânca e o crescmento desta erramenta para o estdo dos problemas de engenhara. KOMATSU (995) desenvolve m estdo de problemas de escavação através da combnação Elementos de Contorno e Elementos Fntos. Fo apresentada ma combnação do MEF com o MEC no acoplamento de ma estrtra retclada em m domíno bdmensonal. Para o caso em análse, os elementos naas são tratados através do MEF, enqanto qe o MEC é tlzado na modelagem do meo contíno qe pode ser homogêneo o não-homogêneo. FERRO (999) em se trabalho, tlzo a combnação do MEC com o MEF para a análse da nteração entre estacas e o solo, consderado como m meo nnto trdmensonal e homogêneo. O meo contíno trdmensonal de domíno nnto é modelado pelo MEC, enqanto as estacas consderadas como elementos retclares são tratadas pelo MEF. Fnalmente, ma ormlação para a análse do comportamento não-lnear do solo na nterace com a estaca é desenvolvda, tornando o modelo mas abrangente. MESQUITA & CODA (999) ormlaram m novo estdo sobre escavações reorçadas através da combnação entre o MEC e o MEF. 4 OSIAS, J.R.; WILSON, R.B. & SEITELMAN, L.A. (977). Combned bondary ntegral eqaton nte element analyss o solds. In: Symposm on nnovatve nmercal analyss n appled engneerng scence, st, Versalles, CETIM.

27 8 No artgo pblcado por VON ESTORFF & FIRUZIAAN () é desenvolvda ma ormlação acoplada do MEF e MEC para a nvestgação da nteração dnâmca solo estrtra nclndo não lneardades, analsando ma resposta nelástca transente de estrtras acopladas com m meo sem-nnto. A estrtra e o solo crcnvznho no campo prómo são modelados com Elementos Fntos. Neste trabalho verca-se o so de materas elastoplástcos e nãohomogêneos e com eetos de endrecmento. A radação na regão do solo em meo elástco é dscretzada através de Elementos de Contorno. A análse da nteração solo-estrtra através do acoplamento da eqação de Somglana para dscretzar o meo elástco e o sstema qe vem dos elementos ntos para dscretzar a estrtra é desenvolvda no trabalho de GUARRACINO et al. (99). Neste trabalho, algmas característcas partclares do MEC aplcado para o meo elástco são analsadas, estas são dervadas da escolha de ma solção ndamental. É possível encontrar ma matrz denda postva e smétrca qe permtem com acldade o acoplamento smples do MEF e MEC. Como á o dto no tópco anteror, a dscretzação da estrtra em contato com o solo será desenvolvda através do MEF pela ormlação do elemento nto DKT (dscrete Krchho trangle) qe az parte do grpo de elementos dscretos de Krchho e é conhecdo como m elemento nto de placas à leão, COOK et al. (989). As estrtras a serem estdadas são dscretzadas como placas nas sbmetdas a carregamentos ortogonas ao plano médo, o speríce méda. A teora de Krchho é tlzada onde seções planas permanecem planas após a deormação da estrtra, o sea, qalqer reta perpendclar à speríce méda antes do carregamento, permanece perpendclar à speríce méda deormada após o carregamento. Toda a ormlação de dscretzação da estrtra através do MEF terá como ndamento básco os trabalhos de BATHE (98), COOK et al. (989), ZIENKIEWICZ & TAYLOR (989) e RAO (999). BATOZ et al. (98) az ma avalação dos elementos tranglares para dscretzação de placas à leão com o obetvo de dentcar o elemento nto mas ecente para a análse de placas nas. Baseado nma revsão dos elementos dsponíves na lteratra com 9 gras de lberdade o desenvolvdo m estdo com os elementos DKT (dscrete Krchho trangle), HSM (hybrd stress model) e SRI (selectve redced ntegraton). São dsctdas as novas e ecentes ormlações desses elementos e os resltados de dversos eemplos prátcos analsados são dsponíves. Fo conclído qe os mas ecentes são os elementos DKT e HSM.

28 9 BATOZ (98) desenvolve em m otro trabalho, ma nova epressão eplícta da matrz de rgdez do elemento DKT. Algns resltados nmércos nteressantes avalando o comportamento deste elemento são apresentados e dsctdos. No trabalho de JEYACHANDRABOSE et al. (985) a matrz de rgdez para o elemento DKT é ormlada eplctamente nm sstema de coordenadas globas. Esta apromação az com qe não sea necessára a transormação da rgdez e propredades dos elementos de coordenadas local para global na qal é solctada em dversos otros artgos e trabalhos. É adconado m códgo comptaconal em FORTRAN 77 para montagem da matrz de rgdez do elemento em coordenadas globas. Um otro trabalho bastante nteressante o desenvolvdo por BATOZ & LARDEUR (989), onde é desenvolvda a ormlação de m novo elemento tranglar de nós e 9 gras de lberdade váldo para a análse de placas nas. A ormlação é baseada na generalzação da técnca dscreta de Krchho nclndo os eetos cortantes transversas. O elemento é conhecdo como DST (dscrete shear trangle). OSHIMA (4) apresenta ma ormlação msta do MEC e do MEF. Nessa ormlação, as estacas são modeladas através do MEF como elementos de barra e o solo através do MEC, como m meo contíno, elástco lnear, sótropo e homogêneo, tlzando as solções ndamentas de Mndln. A segr, apresentam-se algns eemplos nmércos obtdos a partr da ormlação proposta e compara-se com modelos de otros atores. No trabalho de RIBEIRO (5), qe estda a nteração do solo com a estrtra, o solo é modelado pelo MEC trdmensonal, aplcando a solção ndamental de Kelvn. Neste trabalho, é possível analsar problemas onde o solo é composto por ca madas de derentes característcas íscas, apoadas em ma speríce de deslocamento nlo e enrecdas por elementos de ndação, também modelados pelo MEC trdmensonal. Podem-se ctar anda os trabalho s de PAIVA & BUTTERFIELD (997) qe apresenta ma ormlação do Método dos Elementos de Contorno para analsar problemas de nteração placa solo e MENDONÇA & PAIVA (), onde é desenvolvda ma análse elastostátca de raders estaqeados pelo método dos elementos de contorno. Otros trabalhos mportantes e tlzados para o desenvolvmento da pesqsa são: CODA (99), BERNAT & CAMBOU (998), CODA & VENTURINI (), KARINSKI et al. () e ALMEIDA ().

29 - FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Os ndamentos matemátcos tlzados no desenvolvmento do trabalho e qe servem de aílo para ma melhor compreensão das teoras apresentadas são descrtos neste tópco.. - NOTAÇÃO INDICIAL A notação ndcal é ma orma compacta de se representar e manplar sstemas de eqações, combnações lneares e somatóros através de índces, possndo ma grande tldade em dversas stações, como por eemplo, ao se trabalhar com as relações constttvas dos materas. Esta notação é eta através do emprego de índces repetdos e lvres combnada com operações empregando estes índces, obetvando ma orma scnta e elegante de escrta. Por eemplo, m connto de varáves,, será denotado por, representando desta orma, o sstema de coordenadas cartesanas, onde as dreções cartesanas são dendas pelos índces, e. Nesta notação, os índces podem ser denotados como m sbscrto o sobrescrto, o sea, o são ambos váldos. Algmas varáves encontradas no trabalho são: deslocamentos, ; orças de speríce, deormações, ε ; dentre otras. p ; orças de volme, b ; tensor de tensões, σ ; tensor de Drante o desenvolvmento deste trabalho são apresentadas epressões na orma de somatóro. A convenção é a segnte: a repetção de m índce em m termo representará m somatóro com respeto a esse índce no se ntervalo de varação. Em geral, é tlzada ma varação de a para problemas trdmensonas. Por eemplo, o sea, e b c b c b b c b b b c + b c b c c + b c c + b c c + b c + b c + b c + b c + a,,,. (..) para, para, para. (..)

30 a n w ( ) b c w b c (..) As operações de dervação também podem ser representadas va notação ndcal. Observe - se o segnte eemplo para a dervada parcal de e v, l, l (..4) v k v, k (..5) w l k w, lk (..6) Pode-se anda, aplcar a regra da cadea para encontrar a dervada de ma nção composta, como por eemplo (b ( )), o sea (..7),, b, Estem algns trabalhos onde se pode obter mas normações sobre a notação ndcal tas como MASE (97), BREBBIA & DOMINGUES (989), KANE, J.H. (994), entre otros.. DELTA DE KRÖNECKER O símbolo δ (,,,) é denomnado delta de Krönecker e dendo como:, se δ (..), se Como e são índces lvres no termo δ e ambos varam de a, tem-se m total de 9 valores dados segndo a denção de δ por δ δ δ (..) δ δ δ δ δ δ (..)

31 Em notação matrcal, tem-se δ δ δ δ δ δ δ δ δ, (..4) o sea, o delta de Krönecker se redz a matrz dentdade de ordem, podendo ser denotado como [ ] δ [ ] I. Utlzando-se anda, a notação ndcal, tem-se δ δ δ δ T m δ a δ m + δ + δ, a n T δ T δ, n. (..5a-d). DELTA DE DIRAC O conceto da dstrbção Delta de Drac é mto mportante para a ormlação do Método dos Elementos de Contorno (MEC). A dstrbção Delta de Drac é ma nção geral qe pode ser denda como o lmte de ma nção normal, a qal é zero para todos os pontos do domíno, eceto para o ponto em qe o argmento da nção é nlo. Neste ponto o lmte tende para m valor nnto, como dendo na nção abao: δ(s - q), se q s; δ(s - q), se q s; e ρ(q) δ(s - q)dω ρ(s). Ω onde p e q são pontos do domíno Ω, e ρ (q) ma nção qalqer. (..) Com o obetvo de elaborar ma descrção matemátca do ponto de ectação da onte, será denda a nção plso retanglar ntáro, denda por F(,d,a).

32 A nção F(,d,a), representada na gra.., tem como característca o valor ntáro de sa ntegral qalqer qe sea o domíno. É denda da segnte orma: F(,d,a) a, se < d - a, se d - d + a a, se > d + a (..) F F a a /a /a d d Fgra.. Plso retanglar ntáro (dos eemplos). Denomna-se de dstrbção Delta de Drac o lmte da nção plso ntáro qando a largra a do retânglo tende para a zero, o sea, tende ao nnto. δ( d) lm a F(, d, a) (..) A dstrbção Delta de Drac é mto tlzada em dversos problemas de engenhara onde as ectações são dealzadas como se acontecessem de orma pontal. Cargas concentradas em mecânca dos sóldos e ontes concentradas de energa nterna em análses térmcas são dos eemplos de aplcação. No MEC, esta nção será tlzada para o desenvolvmento das solções derencas.

33 .4 TEOREMA DA RECIPROCIDADE DE BETTI 4 Sea o corpo dendo por Ω + Γ qe está em estado de eqlíbro sob a ação de orças e deslocamentos prescrtos. Este estado de eqlíbro é representado por σ, ε, p e b. Agora, será consderada a estênca de m domíno Ω com contorno Γ qe contém o corpo Ω + Γ á dendo na gra.4.. A por σ, Fgra.4. Denção do corpo de nteresse: ( ) Esta nova regão denda na gra.4. também está em estado de eqlíbro representado ε, p e b. Ω Domíno e Γ (Contorno). Fgra.4. Denção de e Γ Ω do corpo vrtal (Fndamental).

34 Aplcando a denção da le de Hooke para m materal elástco sotrópco, para os dos estados de tensão anterormente dendos, tem-se: onde: C kl Gν ν σ Ckl σ Ckl ε kl ε kl 5 (.4.a-b) δ δ + ( δ δ + δ δ ) (.4.) kl G k l l k sendo G o módlo de elastcdade transversal o módlo de elastcdade ao csalhamento do materal e ν o coecente de Posson. logo: Então, pode-se escrever: Por smetra, tem-se qe: σ ε C ε ε ε (C ε ) (.4.) kl kl kl kl C kl C kl (.4.4) kl (Cklε ) εkl σkl σ ε ε (.4.5) Utlzando as propredades de notação ndcal e ntegrando os dos membros, pode-se escrever a epressão (.4.5) da segnte orma Ω σ ε dω σ ε dω (.4.6) Ω A epressão acma dene o teorema da recprocdade de Bett, o sea, o trabalho realzado pelas tensões no corpo Ω e Γ sobre as deormações no corpo Ω + Γ é gal ao trabalho realzado pelas tensões no corpo Ω + Γ sobre as deormações no corpo Ω e Γ..5 TEOREMAS DE GREEN Os operadores gradente e laplacano, no espaço trdmensonal, serão chamados de respectvamente e dendos por: e + + k (.5.a) y z

35 . + y + z (.5.b) 6 onde, e k representam os versores nas dreções, y e z respectvamente. Consdere-se, agora, m domíno consstndo de m volme Ω lmtado por m contorno Γ, save por partes, onde as nções F(,y), escalar, e G (,y), vetoral, têm prmera dervada contína em relação às coordenadas cartesanas. Neste caso, valem os segntes teoremas: Ω grad(f).dω conhecdo como o Teorema do Gradente, e Ω FdΩ dv( G)d Ω Ω.Gd Ω Ω Γ Γ nfdγ n.g dγ (.5.a) (.5.b) conhecdo como o Teorema da Dvergênca, onde o ponto, (.), representa o prodto escalar de vetores, n representa o versor normal eterno ao contorno Γ. Em três dmensões, as eqações acma são eqvalentes a e ( F F F + + k )dω ( n + n y + k n ) FdΓ y z z Ω Γ G ( Gy G + + z )dω (n G + nyg y + nzgz)dγ y z Ω Γ (.5.a) (.5.b) n. Respectvamente, e n, n y e n z (G, G y e G z ) são os componentes cartesanos de (G) A partr dos teoremas dendos anterormente, pode-se demonstrar algmas dentdades qe são tlzadas nas ormlações apresentadas no decorrer do trabalho, tas como: Ω ( F)HdΩ - Ω ( H)FdΩ +. G)dΩ - ( F). G dω + Ω Ω Γ Γ n FHdΓ (.5.4a) F( n.fgdγ (.5.4b)

36 ( F)HdΩ + F. HdΩ n( F)HdΓ F HdΓ n Ω Ω Γ Γ H(,y) representa ma nção escalar com as mesmas propredades de F(,y). 7 (.5.4c) O teorema da dvergênca pode ser tlzado para relaconar das varáves no volme Ω. Assmndo-se a estênca de das varáves, φ e λ, com prmeras e segndas dervadas contínas no volme Ω, e empregando-se as eqs. (.5.b) e (.5.), é possível demonstrar a qe a segnte dentdade, conhecda como o Teorema de Green, é válda: λ φ ( φ λ - λ φ)dω ( φ - λ ) dγ n n Ω Γ (.5.5).

37 - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 8.- INTRODUÇÃO A ormlação estátca do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para sóldos elástcos trdmensonas é apresentada neste capítlo. As representações ntegras mostradas são eqaconadas a partr do teorema de Bett, embora também sea comm a tlzação do método dos resídos ponderados para essa naldade. As característcas da ormlação para problemas elastostátcos são aplcadas no eqaconamento das representações ntegras, na dscretzação do sóldo e geração dos sstemas algébrcos. O capítlo nca-se com ma revsão das eqações báscas da elastostátca lnear qe são tlzadas para gerar as reerdas ntegras de contorno. Em m prómo tópco é apresentada a solção ndamental de Kelvn qe é tlzada para dedzr as representações ntegras para pontos do domíno e especcamente para o contorno. Em segda, é apresentada a dscretzação do contorno do corpo através do elemento de contorno tranglar lnear descontíno, determnando-se as eqações matrcas do MEC propramente dto, bem como os procedmentos tlzados para a ntegração nmérca. As epressões algébrcas para o cálclo de deslocamentos e tensões em pontos do contorno e do domíno também são mostradas.. - EQUAÇÕES BÁSICAS DA ELASTOSTÁTICA LINEAR Sea m sóldo trdmensonal elástco-lnear, sotrópco e homogêneo em eqlíbro estátco dendo por m domíno Ω e contorno Γ, sobre o qal atam orças de speríce p (atam apenas sobre a speríce do corpo) e orças volmétrcas corpo), de acordo com a gra... b (atam sobre o volme do Fgra.. Sóldo trdmensonal de domíno Ω e contorno Γ.

38 por A eqação derencal de eqlíbro estátco no nteror do domíno Ω de m corpo é dada 9 s, (s) + b(s),,,, (..) onde σ ( s) representa a dervada das componentes do tensor de tensão, b (s) é o vetor com as, componentes das orças volmétrcas e s representa o ponto materal analsado, conorme mostra a gra... Fgra.. - Elemento nntesmal de volme. escrever Levando-se em consderação qe o tensor de tensões σ ( s) é smétrco, pode-se anda σ (s) σ ( s) (..) Após a análse do eqlíbro estátco no domíno, precsa-se representar a eqação derencal qe rege o eqlíbro de orças atantes no contorno do corpo, logo, é tomado m elemento nntesmal stado no contorno do sóldo. As componentes das orças de speríce ( p ) atantes em m ponto s localzado em qalqer speríce Γ do corpo são epressas através das ses componentes do tensor de tensões. Essa epressão é conhecda como órmla de Cachy e é denda azendo-se eqlíbro nas três dreções cartesanas, conorme mostra a gra...

39 Fgra.. Elemento nntesmal de speríce (Tetraedro de Cachy). Consderando o eqlíbro nas três dreções encontra-se p (s) σ (s) n (..) onde n são os co-senos dretores dos ânglos entre a normal n e os eos, e. Além do tensor de tensões σ ( s), das orças de speríce ( s ) e das orças volmétrcas ( s) e consderando regme de peqenas deormações, pode-se denr anda o tensor b de deormações ε ( s) - qe depende do vetor deslocamento (s) - vetor este qe representa a mdança de posção de cada ponto do sóldo cnemátcas. ε (s) (,(s) +, (s)) (..4) A eq. (..4) dene as relações entre deormação e deslocamento, também chamadas de A partr das eqações até então mostradas, descreve-se a relação constttva conhecda como Le de Hooke da teora da elastcdade qe relacona os tensores de tensão e deormação de m corpo homogêneo, sotrópco e elástco-lnear, conorme mostrado abao onde σ ( + µε (..5) s) λδεkk δ é o delta de Kronecker á dendo no tópco.. A eqação nversa de (..5) pode ser escrta como p

40 - λδ ε σ kk + µ (λ + µ ) µ σ (..6) As constantes elástcas de Lamé ( λ e µ ), tlzadas em (..5) e (..6), podem ser epressas em termos do módlo de elastcdade longtdnal o módlo de Yong (E), do coecente de Posson ( ν ) e do módlo de elastcdade transversal o módlo de elastcdade ao csalhamento (G) E νe µ G e λ (..7a-b) (+ ν) (+ ν)( - ν ) Otros detalhes sobre a Le de Hooke podem ser encontrados em BREBBIA & DOMINGUEZ (989), SHAMES & COZZARELLI (99) e LOPES JR. (996). O valor do tensor de tensão encontrado em (..5) pode também ser epresso em termos de deslocamentos. Assm, sbsttndo-se a eq. (..4) na eq. (..5), obtém-se: µν σ ( s) δ k,k (s) + µ (, (s) +, (s)) (..8) - ν Pode-se obter anda o vetor de orças de speríce epresso em nção dos deslocamentos sbsttndo a eq. (..8) na eq. (..), como ndcado abao: µν p (s) k,k (s) η + µ (, (s) η +, (s) η ) - ν (..9) onde η é a dervada de ( s) em relação à dreção normal à speríce denda em s., ( s) Fazendo agora a sbsttção da eq. (..8) na eq. (..) encontra-se a eqação derencal do problema elástco em termos de deslocamentos conhecda como eqação de Naver-Cachy para a estátca denda como : b(s), (s) +,(s) + - ν µ (..) As eqações até aq analsadas contêm as relações necessáras para o estdo de m problema elástco qalqer trdmensonal, porém é necessáro qe se conheçam as condções de contorno do corpo. No estdo da mecânca dos sóldos, os valores prescrtos de contorno são os deslocame ntos e as orças de speríce p. Logo, as condções de contorno são apresentadas a partr dessas varáves dendas no contorno do corpo. Desde á, para proceder esse tpo de análse, é necessáro dvdr o contorno do sóldo Γ em dos contornos dstntos Γ e Γ, o sea Γ Γ + Γ. Os trechos

41 Γ e Γ são apenas lstratvos, á qe os mesmos podem ter tanto condções prescrtas de deslocamento como de orças de speríce. Como mostrado na gra (..4), no contorno Γ a varável deslocamento prescrta representa a condção de contorno, sto é Fgra..4 Valores prescrtos de contorno. (q) (s), para s m ponto de Γ p (s) p (s), para s m ponto de Γ (condções essencas ) (condções natras) (..a-b) Vale lembrar qe as condções de contorno não necessaramente são aplcadas em partes separadas do contorno e a barra sobre as varáves ndca valores prescrtos.. - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL A ormlação das eqações ntegras de contorno para problemas elastostátcos a ser descrta no tópco.4 reqer o conhecmento da solção ndamental para sóldos trdmensonas elástcos, homogêneos e sótropos qe pode ser escolhda de acordo com o problema a ser solconado. Nesse trabalho é tlzada a solção ndamental de Kelvn qe consdera a nlênca em m domíno nnto ocasonada pela aplcação de ma carga concentrada e ntára. Vsando m maor esclarecmento na denção do problema ndamental, pode-se consderar m domíno nnto Ω co contorno é denotado por estdar poss domíno Ω e contorno Γ e está contdo no domíno gra... Γ. O sóldo qe se pretende Ω, conorme mostrado na

42 Fgra.. Denção do problema ndamental. A solção ndamental do problema a ser analsado consste em estdar os eetos casados pela aplcação de ma orça ntára estátca em m ponto s do domíno (ponto onte), nas dreções cartesanas, em m otro ponto q no nnto (ponto de campo). Esses eetos casados no ponto de campo são dendos através dos deslocamentos e orças de speríce p, onde o prmero índce representa a dreção cartesana de aplcação da orça e o segndo a dreção do eeto meddo, conorme gras..a,..b e..c. Fgra..a Denção geométrca do problema ndamental. (Fonte: BREBBIA & DOMINGUEZ, 989)

43 4 Fgra..b Componentes dos deslocamentos da solção ndamental da speríce. Fgra..c Componentes de orças de speríce da solção ndamental da speríce.

44 Aplcando a dstrbção Delta de Drac e Delta de Krönecker, á denda nos ndamentos matemátcos, na orça ntára aplcada no ponto onte s, pode-se denr as orças volmétrcas no domíno do sóldo como sendo b (q) δ (s, q) δ k (..) Sbsttndo a epressão (..) nas eqs. (..) e (..), tem-se ν k, σ k, (s, q) + δ (s,q) δ (..a) (s, q) + k, k (s,q) + δ µ (s,q) δ k 5 (..b) qe representam as epressões analítcas da solção ndamental desenvolvda a partr dos deslocamentos e orças de speríce... SOLUÇÃO FUNDAMENTAL DE KELVIN Estem derentes solções das eqações acma qe podem ser galmente empregadas. Estas solções dependem da regão de contorno. Ω + Γ qe se está trabalhando e das respectvas condções A partr da resolção das eqs. (..a) e (..b) encontram-se as epressões de deslocamentos para o problema de Kelvn trdmensonal, qe consdera o domíno do sóldo estendendo-se ao nnto, + Ω (..) onde, r r r s - q r (q) - (s) r, r r Pode-se encontrar anda a epressão das deormações aplcando-se a eq. (..4) (..4a-c) ε - k ( s, q) [( ν )(r, δ k + r,δ k) - r,kδ + r,r, r, k ] 6πµ ( -ν )r (..5) e pela Le de Hooke, o respectvo tensor de tensões, σ (s,q) {( 4ν ) δ r,r, } 6π (-ν )rµ - [( ν )( r, δ k + r,δ k - r,kδ ) + r, r, r, k ] (..6) 8π (-ν )r k ( s, q)

45 As varáves envolvdas na eq. (..) podem ser vsalzadas na gra.., a segr: 6 Fgra.. Denção do vetor r para cálclo de sas dervadas. E nalmente, a partr da eq. (..6) e da eq. (..) encontra-se a epressão da orça de speríce para o problema ndamental, mostrada na eq. (..7): p - (s, q) {[( ν ) δ + r,r, ]r,n - (- ν )(r,n - r, n )} (..7) 8π (-ν )r Para acltar o entendmento da solção ndamental de Kelvn e vsalzar algns parâmetros das eqações mostradas, tem-se a gra..4., p Fgra..4 Denção do problema ndamental de Kelvn

46 .4- EQUAÇÕES INTEGRAIS DE CONTORNO 7 As eqações ntegras de contorno relaconam os deslocamentos de m ponto qalqer localzado no domíno com deslocamentos e esorços no contorno de m corpo trdmensonal tlzando ntegras qe envolvem a solção ndamental de Kelvn tlzada neste trabalho. Essas eqações são mto mportantes e alam no desenvolvmento da ormlação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e podem ser obtdas através da tlzação da técnca dos resídos ponderados o do teorema da recprocdade de Bett. A técnca dos resídos ponderados poss ma grande vantagem, pos, aclta a assocação do MEC a otros métodos nmércos, como por eemplo, o Método das Derenças Fntas (MDF) e o Método dos Elementos Fntos (MEF)..4. EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO DOMÍNIO As eqações ntegras para pontos do domíno mostradas neste tópco são baseadas na gra (..4) e eqs. (..a-b) á mostradas neste trabalho, onde são dendas as condções de contorno e o espaço nnto qe denem o problema. Utlzando o teorema da recprocdade de Bett, ver tópco.4, encontra-se a representação ntegral de deslocamento, conhecda como dentdade Somglana e apresentada da segnte orma: p (s,q) (Q)dΓ(Q) + (s,q)p (Q)dΓ(Q) + (s) - (s,q)b (q)dω(q) (.4.) Γ Γ Ω A eq. (.4.) ornece o deslocamento no ponto s do domíno na dreção cartesana, a partr dos valores de deslocamentos e orças de speríce no ponto Q do contorno e, na presença de orças de volme, das componentes b no ponto q do domíno. A eq. (.4.) é ma representação contína de deslocamentos em pontos do nteror do corpo. Sendo assm, as componentes das tensões nternas podem ser determnadas aplca ndo a relação cnemátca (..4) na eq. (.4.), azendo assm ma dervação da eq. (.4.) em relação às coordenadas de s, com sso obtém-se as deormações especícas e então sbsttndo o resltado na Le de Hooke, encontra-se: Γ σ ( s) - S (s,q) (Q)dΓ(Q) + D (s,q)p (Q)dΓ(Q) + D k k k k k (s,q)bk(q)dω(q) Γ Ω (.4.)

47 É mportante salentar qe as dervadas são aplcadas dretamente nos ntegrandos. A eq. (.4.) ornece os valores das tensões no ponto nterno s a partr dos valores de deslocamentos e orças de speríce do ponto Q do contorno, acrescdos da parcela relatva às orças de volme, ponto q do domíno, qando consderada. S k e k D são tensores de ª ordem para m problema trdmensonal dendos através da dervação dos tensores de deslocamentos e orças de speríce do problema ndamental, cas componentes para a solção ndamental de Kelvn, são S k ν (n r r ) + (- ν )(n r r µ 4π (-ν)r,,k + n r r,,k {r,n [( ν )r δ,k k, + ν (r δ,, + n δ k k + r δ, k + n δ ) - 5r r k ), - (-, r,k ] + 4ν )n δ k } 8 (.4.) D k {( ν )(r, δ k + r,δ k - r,kδ 8π ( -ν )r ) + r r r },,, k (.4.4).4. EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO CONTORNO A dentdade Somglana (.4.) ornece os deslocamentos em qalqer ponto contdo no nteror do sóldo em estdo desde qe os valores das orças de speríce e deslocamentos em todos os pontos do contorno seam conhecdos. No Método dos Elementos de Contorno é necessáro o conhecmento da epressão correspondente para pontos qe pertençam ao contorno Γ, contdo nesses pontos tas ntegras apresentam snglardade. Deve-se tlzar m artíco qe transorma esses pontos do contorno em pontos do domíno. O obetvo é amentar o domíno e o contorno do sóldo em estdo, acrescentando a este o contorno de ma speríce esérca de domíno Ω ε, com centro no ponto de contorno e de rao ε, conorme lstrado na gra (.4.). A partr de então, o domíno e o contorno do corpo passam a ser respectvamente Ω + Ωε e Γ + Γε - Γ. Desta orma, m ponto S do contorno passa a ser m ponto s do domíno e a dentdade Somglana passa a valer para o novo domíno e contorno do corpo.

48 9 lm e como mostrado a segr + A dentdade Somglana passa a ser denda para domíno e contorno derentes, (s) - Ω + Ω ε Γ - Γ + Γ p (s, Q) (Q)d Γ(Q) + ε (s, q)b (q)d Ω(q) Γ - Γ + Γ (s, Q)p (Q )d Γ(Q) ε (.4.5) Pode-se estdar separadamente o lmte de cada ntegral qando ε o qe az com qe o ponto volte a ser de contorno. Pode-se encontrar todos os detalhes de tas demonstrações em BREBBIA & DOMINGUEZ (989) e ROCHA (988). Logo, a epressão resltante da eqação ntegral (.4.5) para pontos do contorno é redzda a: c(s)(s) - + Ω Fgra.4. Corte do contorno epanddo no ponto save. Γ (S,q)b (q)dω(q) p (S,Q) (Q)dΓ(Q) + Γ (S,Q)p(Q)dΓ(Q) onde, para pontos de contorno saves ( sem anglosdades), tem-se o termo lvre (.4.6) c (S) δ,,, (.4.7) Nota-se, qe a eq. (.4.6) é semelhante à eq. (.4.) denda para pontos no domíno e de ma orma geral, pode-se armar qe tal epressão também é válda para pontos localzados ora do domíno do corpo. Vsando a denção de ma orma geral de representação desta eqação, dene-se os valores para o coecente c, como mostrado abao:

49 , para pontos ora do domíno Ω; c(s) δ., para pontos do contorno Γ; (.4.8), para pontos nternos ao domíno Ω. Para pontos do contorno não saves, conorme mostrado na gra (.4.), o lmte das orças de speríce da solção ndamental ornece m resltado derente, de orma qe c (S) δ (S) + I,,, (.4.9) pode-se encontrar mas detalhes sobre a matrz I em LOPES JR. (996). Fgra.4. Corte do contorno epanddo no ponto S (não save). A epressão resltante da eqação ntegral (.4.6) mostrada é denda para sóldos trdmensonas em qe o vetor normal ao se contorno tem sentdo para ora do domíno, ver gra (.4.), o sea, é tlzada para estdar regões nternas ao sóldo, co domíno é nto. Desta orma, precsa-se estender essa eqação para o caso de regões nntas qe são estdadas neste trabalho através da solção ndamental de Kelvn para modelar o solo, admtdo como m domíno nnto. Logo, sea ma esera de rao ρ, speríce Γ, domíno Ω com centro em m ponto S, ponto este qe envolve ma cavdade denda pelo contorno Γ (vde gra.4.). Esta nova regão entre Γ e Γ está contda em m espaço nnto Ω. Para representar a nova regão e chegar na stação do problema analsado, deve-se azer com qe o rao da esera tenda ao nnto ( ρ ), e nota-se qe a epressão resltante é a mesma (.4.6), a representação ntegral para problemas de domíno nto também é válda para problemas co domíno é nnto.

50 Fgra.4. Regão nnta espaço de Kelvn.5- MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO No capítlo anteror são dendas as eqações ntegras de contorno para a análse de sóldos elástcos, homogêneos, sotrópcos trdmensonas. Nesta seção, é dendo e mostrado a transormação dessas eqações em eqações algébrcas vsando a ormlação do Método dos Elementos de Contorno (MEC)..5. DISCRETIZAÇÕES A prncípo, precsa-se resolver as eqações ntegra s nmercamente, dscretzando o contorno em ma sére de elementos nos qas os deslocamentos e orça de speríce são escrtos em termos dos própros valores de ma sére de pontos nodas (valores dos nós nconas). A orma dscretzada da eq. (.4.6) para todos os pontos nodas mplca em m sstema de eqações algébrcas lneares. Aplcando-se as condções de contorno ao problema, o sstema pode ser resolvdo encontrando-se todos os valores desconhecdos e conseqüentemente ma solção apromada para os valores no contorno do problema. Para tal dscretzação, dvde-se o contorno do sóldo em m número nto de elementos, ca geometra pode ser plana o crva, tranglar o qadranglar, etc. (vde gra.5.). Neste

51 trabalho são tlzados os elementos tranglares lneares contíno e descontíno na dscretzação do sóldo pelo MEC. Agora pode-se denr as nções e p (deslocamentos e orças de speríce em algm ponto do contorno) aplcadas para cada elemento a ser dscretzado, como mostrado a segr T T P p U φ φ (.5.a-b) onde φ são as nções nterpoladoras e P e U são os deslocamentos e orças de speríce apromados por ses valores nodas de dmensões N para problemas trdmensonas, sendo N o número de nós do elemento. p p p p (.5.a-b) Fgra.5. (a) elementos de contorno constantes, (b) elementos de contorno lneares e (c) elementos de contorno qadrátcos (Fonte: Brebba & Domngez, 989).

52 A matrz nção de nterpolação φ com dmensões N é consttída de nções de orma φ φ... φ N [ φ φ... φn ] (.5.) φ φ... φ N N T φ φ φ... φ A dscretzação do domíno do corpo é eta, de ma orma mas dreta, dvdndo-o em céllas trdmensonas, geralmente na orma de heaedros e tetraedros. Esta dscretzação também podera ser eta através de otras técncas, onde seram tlzados apenas elementos de contorno, como, por eemplo, a técnca da Recprocdade Dal e a Integração Dreta. Porém, neste trabalho o domíno do sóldo não é modelado, o sea, as orças volmétrcas são desprezadas. Desta orma, pode-se também denr as orças de volme b em algm ponto do domíno Ω na orma de m vetor trdmensonal através de nções nterpoladoras φ e valores nodas (aplcada nos nós nconas) b b b (.5.4) b Os coecentes da solção ndamental de Kelvn podem ser epressos como p p p onde p é a matrz em qe os coecentes p p p p p p p B (.5.5a-b) p são as orças de speríce na dreção devdas a ma orça ntára em S agndo na dreção e é a matrz em qe os coecentes deslocamentos na dreção devdo a ma orça ntára em S agndo na dreção. são os A partr das notações mostradas, a eq. (.4.6) pode ser reescrta para cada ponto S como mostrado a segr : c(s)(s) - + Ω Γ (S, q)b(q)dω(q) p (S, Q)(Q)dΓ(Q) + Γ (S,Q)p(Q)dΓ(Q) (.5.6)

53 4 onde os coecentes c(s) á oram dendos neste trabalho. As coordenadas cartesanas do contorno e as coordenadas cartesanas da célla podem ser escrtas em termos das coordenadas nodas para a denção dos elementos, conorme mostrado abao X φ X c T φ X T c X c (.5.7a-b) onde φ são as mesmas nções de nterpolação soparamétrca tlzadas para os deslocamentos e orças de speríce, X são as coordenadas cartesanas de ses pontos nodas e X c as coordenadas cartesanas dos pontos geométrcos da célla trdmensonal para dscretzação do domíno. Consderando a mdança do sstema de coordenadas cartesanas, sbsttndo as eqs. (.5.a-b) e apromando o contorno do sóldo em L elementos, com J pontos nodas (nós nconas) e o se domíno em M céllas, a representação ntegral dscretzada para deslocamentos, a eq. (.5.6), passa a ser: L T c(s)(s) - [ p (S,Q) φ (Q)dΓ(Q)]U + l Γ M + [ (S,q) T (q)d (q)]b φ c Ω m Ω m l L T [ (S,Q) φ (Q)dΓ(Q)]P l Γ l (.5.8) Aplcando ntegração nmérca (ver tópco.5.) para as eqs. ntegras (.5.8) em todos os pontos S, tem-se a representação algébrca: onde as matrzes de nlênca ntegras mostrados na eq. (.5.8). c - HU ˆ + GP + DB (.5.9) Ĥ, G e D são dendas, respectvamente, pelos somatóros das Analsando-se a eq. (.5.9), nota-se qe é possível agrpar as matrzes qe ormam m prodto com a matrz dos valores nodas de deslocamentos U, o sea ( H c + Ĥ ) e a eqação passa a ser HU GP + DB (.5.) Note qe os elementos c(s) são encontrados como ma sére de sb-matrzes na dagonal de H e não são smplesmente calclados de orma analítca devdo, prncpalmente, a snglardade da solção ndamental em pontos de canto.

54 5 Os vetores U e P representam todos os valores de deslocamentos e orças de speríce após a aplcação das condções de contorno. Essas condções podem ser ntrodzdas azendo-se ma troca de colnas de H e G de modo qe todos os valores desconhecdos passam para a matrz X no lado esqerdo da galdade. Isto reslta nm sstema de eqações algébrcas, como mostrado abao: AX F (.5.) onde: A é ma matrz chea e não smétrca qe contém elementos das matrzes H e G devdamente trocados (troca de colnas) para agrpar todas as ncógntas do lado esqerdo da galdade, seam elas deslocamentos o orças de speríce, X é o vetor msto qe contém as ncógntas (deslocamentos e orças de speríce) e F é o vetor ndependente, obtdo da mltplcação dos coecentes das matrzes H e G relatvos às componentes prescrtas de deslocamentos e orças de speríce, note-se anda qe a matrz B passa a ser ncorporada em F. Em geral, tlza-se o Método de Elmnação de Gass para a resolção do sstema acma, desta orma encontra-se a solção elastostátca do problema. Após a resolção do sstema acma, as varáves contdas no vetor das ncógntas devem ser reorganzadas em deslocamentos e orças de speríce, antes de serem tlzadas comptaconalmente..5. ELEMENTOS DE CONTORNO Como dto anterormente, nesse trabalho é tlzado o elemento tranglar plano para a dscretzação do contorno do sóldo trdmensonal. Estem dversas reerêncas onde pode ser encontrado este tpo de elemento, qe a prncípo, o desenvolvdo para ser tlzado no Método dos Elementos Fntos (MEF), como por eemplo, em COOK et al. (989), ZIENKIEWICZ & TAYLOR (989) e BATHE (98). Precsa-se denr a geometra deste elemento e em segda aplcar as nções de nterpolação qe são tlzadas para as varáves da representação do Método dos Elementos de Contorno: orças de speríce e deslocamentos. As nções de nterpolação servem para apromar os campos das varáves envolvdas no problema. Essa apromação é aplcada nos pontos nodas do elemento e são dendas através de polnômos. Essas nções podem ser constantes, lneares, qadrátcas, cúbcas o de ordens mas elevadas, ver COOK et al. (989) pp. 5.

55 6 Nesse trabalho é tlzada apenas a nção de nterpolação lnear qe permte ma melhor apromação das varáves do problema do qe a nção constante, no caso do elemento plano tranglar, essa nterpolação consste em nterpolar lnearmente entre os três valores nodas do elemento..5.. ELEMENTO DE INTERPOLAÇÃO LINEAR Vsando ma apromação das varáves através das nções nterpoladoras de orma lnear, encontram-se na lteratra três tpos de elementos, elemento lnear contíno, descontíno e de transção, conorme mostrados a segr: Fgra.5. Tpos de elemento lnear: (a) contíno; (b) e (c) de transção; e (d) descontíno. O elemento lnear contíno, o soparamétrco lnear, poss os nós nconas concdentes com os nós geométrcos, o sea, não se podem modelar dretamente contornos descontínos através desse elemento. O elemento lnear descontíno, não conorme o de colocação não nodal, poss os três nós de colocação deslocados de ses nós geométrcos qe estão assocados a m únco elemento, esse elemento permte a modelagem de contornos onde estem descontndades de orças de speríce o de geometra. E, por m, o elemento lnear de transção poss algns de ses pontos de colocação concdentes com os ses nós geométrcos. Esse elemento é mto nteressante, pos permte ma

56 7 dscretzação mas lógca, á qe se podem denr os nós deslocados apenas em regões onde há descontndade. Sa ormlação é baseada nma combnação das ormlações dos elementos contínos e descontínos. A segr, mostra-se a caracterzação e denção do elemento tranglar lnear descontíno. Como á dendo, este elemento poss os três pontos de colocação deslocados de ses nós geométrcos, desta orma pode-se dscretzar contornos descontínos (com anglosdades). Nesse elemento é eta ma nterpolação nos valores das varáves (deslocamentos e orças de speríce) devdo a nova posção dos pontos de colocação (nternos ao elemento), ver gra.5.. Fgra.5. Elemento tranglar lnear descontíno ( As componentes de deslocamentos e orças de speríce na dreção para qalqer nó e p ) podem ser encontradas em nção das componentes nodas na mesma dreção, como :

57 8 P P P P P P P P P p p p U U U U U U U U U (.5.a-b) Sendo assm, a matrz c denda na eq. (.5.8) para o elemento tranglar lnear descontíno é encontrada c(s) (.5.) onde as coordenadas de área são dendas nos pontos de colocação S deslocado para o nteror do elemento sobre a medana do lado oposto ao vértce do trânglo relaconado ao ponto. Chamando de, a dstânca entre o vértce do trânglo e o se centróde, o deslocamento do ponto nodal qe é aq chamado de ω, ca dendo como o,65,55 ω (.5.4)

58 9 onde, estes percentas são meddos a partr do vértce do trânglo. Tomando como eemplo o percental reerente a,55, segndo BARBIRATO (999), e tlzando as técncas para determnação das coordenadas de área, encontram-se os segntes valores em m dado ponto de colocação S:,75 e,65. Após a realzação de dversos testes para dversos pontos de colocação encontram-se resltados mas precsos em pontos localzados no ntervalo em qe os etremos neror e speror são os valores dendos em (.5.4)..5. INTEGRAÇÕES NUMÉRICAS A partr das eqações á dendas, devem-se obter as solções analítcas das mesmas, porém, vale ressaltar qe as nções ntegradas são bastante compleas gerando ma grande dcldade na obtenção destas eqações. Desta orma, são aplcados métodos nmércos de ntegração para a resolção das eqações prevamente apresentadas. Fazendo ma smplcação da eq. (.5.8), sem consderar o termo qe se reere as orças de volme, verca-se a estênca de ma soma de ntegras aplcadas sobre cada elemento do contorno, onde essas ntegras são chamadas a partr de agora de g e h, conorme mostrado a segr h g Γ Γ l l p (S, Q) φ (S, Q) φ T T ( Q)d Γ (Q) (.5.5a-b) ( Q)d Γ (Q) No estdo dos Elementos de Contorno, como á o menconado, pode-se encontrar dos tpos de stações para sa ntegração dependendo da posção do ponto de colocação S. Neste trabalho, qando este ponto encontra-se no elemento a ser ntegrado, a ntegração nmérca a ser realzada chama-se ntegração snglar o sem-analítca; caso o mesmo estea stado ora do elemento chama-se de ntegração nmérca. A análse destas das ntegrações é mostrada a segr.

59 .5.. INTEGRAÇÃO SINGULAR OU SEMI-ANALÍTICA 4 Como menconado no parágrao anteror, a ntegração snglar é tlzada qando o ponto de colocação pertence ao elemento estdado L, neste caso aparecerá ma snglardade devdo à solção ndamental de Kelvn em qe as epressões coordenada esérca r apresentando snglardades nas vznhanças do ponto S. e p são escrtas em nção da Nesse trabalho é tlzado m procedmento qe consste em azer ma transormação no ) ) ) sstema de coordenadas qe passa a ser chamado de (, y e z ), onde o plano ) y ) contém o elemento L, conorme mostrado na gra (.5.4). Fgra.5.4 Denção da ntegração snglar. A partr desta análse, dene-se o contorno do elemento em nção das coordenadas polares r e θ e a ntegração snglar é eetada através de ntegração analítca em r e nmérca em θ. Fazendo a sbsttção das epressões (..) e (..7) nas eqs. (.5.5a-b), encontra-se:

60 h + Γ l Γ l B'( - ν) δ B'( - ν)r n r r, r,n T T φ dγ + φ dγ; e Γ l B'r r r r,,,n T φ dγ - Γ l B'( - ν)r n r, T φ dγ 4 (.5.6a) onde A'( - 4ν) δ T A'r,r, T g φ dγ + φ dγ r r (.5.6b) Γ l Γ l A' ; e 6π ( -ν ) µ (.5.7a) h B'( - ν) + B' Γ l r r, T Γ l r r, T η φ dγ; e - B' 8π (-ν) (.5.7b) Utlzando notação ndcal para a solção das ntegras e azendo m rearrano, pode-se encontrar a epressão nal para g e h φ dγ + B'( - ν)(- g A'( - 4ν) δ Γ l φ r T Γ l r r dγ + A', Γ l n φ r r r T,, dγ + T Γ φ dγ l r, r n φ T dγ) (.5.8a) (.5.8b) onde n e n são, respectvamente, os vetores normas nas dreções cartesanas e e η X, n o sea, são os co-senos dretores da normal em relação aos eos cartesanos Vsando dmnr o tamanho das epressões apresentadas, a ntegração analítca em r pode X. ser dvdda em três parcelas dstntas e geras para a solção ndamental de Kelvn, p() Γ p(,, ) p(,) l dγ r Γ l Γ r r l, r r,, r dγ dγ (.5.9a-c)

61 4 Observando a gra (.5.4), precsa-se denr a relação lnear estente entre as coordenadas cartesanas (,y) e as coordenadas de área ( ) epressa pelas segntes eqações [ ] A (.5.) onde y - y e y - e [ ] [ ]. y - y A det onde A, y y y - y y y y - y y y - y A A (.5.) Representando as epressões acma na orma de notação ndcal, tem-se y], [ A γ β α + + (.5.) onde p/ k, p/ k, p/ k, e ; - ; y - y ; y - y k k k k γ β α (.5.a-d) Fazendo-se a mdança para o novo sstema y ) ), tem-se e ; r sen y ; r cos θ θ ) ) (.5.4a-b). z y z y cos -sen sen cos z y o o o + ) ) ) ϕ ϕ ϕ ϕ (.5.5) Desta orma, y], C B [A A ) ) + + (.5.6) onde ϕ γ ϕ β ϕ γ ϕ β γ β α cos sen C ; sen - cos B ; y A o o (.5.7a-c)

62 A partr das coordenadas admensonas de área, as ntegras analítcas em r dendas em (.5.9a-c) podem ser aclmente determnadas. Consderando anda parcelas p() e p(,, ) p() A p(,, ) A θ (A θ B C + r cosθ + r r,, (A r senθ)rdθ B C + r cosθ + r senθ)rdθ d Γ rdrd θ 4, encontram-se as (.5.8a-b) Ao resolver a ntegral denda na parcela p(, ) verca-se qe a mesma é snglar qando r, desta orma a análse desta parcela precsa ser melhor detalhada. A ntegração pode ser denda por p(, ) A θ r, (Aln(r) + B r cosθ + Cr senθ)dθ - lm Aln( ε )r, dθ (.5.9) ε θ Analsando-se o ntegrando da parcela do lmte ndcado em (.5.9), pode-se ver qe a dervada da varável r em relação à dreção cartesana pode ser representada por: onde r m cos θ + m sen, (.5.), θ m são os co-senos dretores no ponto em análse em relação a. Levando-se em consderação qe o ânglo θ tem ma varação de a π, a ntegral denda no lmte tem valor nlo e o lmte tende a zero, o sea, lm ε π A ln( ε )(m cosθ + m senθ )dθ. (.5.) Desta orma, a parcela p(, ) é denda de orma resmda como p(, ) A r, (A ln(r) + B r cosθ + C r senθ )dθ (.5.) θ Vale ressaltar, qe para o elemento lnear descontíno, o ponto de colocação S é deslocado para dentro do elemento em estdo. Sendo assm, pode-se tlzar a epressão (.5.), pos, os etremos neror e speror para o ânglo θ são sempre e π. Após encontrar as epressões para as três parcelas, deve -se agora, tlzar m procedmento nmérco para a ntegração em θ. Neste trabalho é realzada ma transormação de cada elemento tranglar plano em m domíno co contorno Γ ) poss três elementos ndmensonas retos, conorme mostrado a segr

63 44 Fgra.5.5 Representação do elemento ndmensonal lnear e Integração no contorno ctíco do elemento tranglar (Fonte: Barbrato, 999). Fazendo-se ma smples análse trgonométrca do elemento tranglar dendo na gra (.5.5) vsando ma relação derencal entre dθ e dγ ) para representar o elemento de speríce através de três elementos lneares de contorno, tem-se r ) rdθ ) dγ (.5.) n Desta orma, as epressões (.5.8a-b) e (.5.) podem ser reescrtas e representadas da segnte orma B ) C r p() (A + r cosθ + r senθ) ) dγ A ) n Γ B ) + + ) r C p(,, ) r,r, (A r cosθ r senθ ) dγ A ) n Γ r ) p(, ) r, (A ln(r) + B r cosθ + C r senθ ) ) dγ A ) r n Γ (.5.4a-c)

64 anda A partr das relações anterormente dendas em (.5.a-d), (.5.4a-b) e (.5.5), tem-se p() p(, ) 4A A ) Γ (α p(,, ) 4A ) Γ ) Γ r, { α r + β r r (α,, ( + + β ln(r) + β o ) + γ ( + [ + ( + o o ) + γ r ) )) ) dγ n r ) ( + o )) ) dγ n o (ln(r) -)] + γ [y + y o r ) (ln(r) -)]} ) dγ n 45 (.5.5a-c) Após as denções das epressões (.5.5a-c) pode-se reescrever as epressões reerentes a g e h calcladas nmercamente através da qadratra Gassana, ver aneo A. A gra (.5.5) acma, dene o elemento tlzado no contorno ctíco do elemento tranglar, bem como os ses parâmetros mportantes. g J h J N PG k N PG k h ( )w h g h ( )w k k (.5.6a-b) onde J é o acobano de transormação de coordenadas para o elemento ndmensonal reto, ver COOK et al. (989), dendo como L, onde L é o comprmento do elemento; w k é o peso de Gass no ponto k, ver aneo A; h e h são os ntegrandos (.5.8a-b) tlzando as g h epressões (.5.5a-c), conorme mostrado nas epressões (.5.7a-b); e de pontos de Gass a ser tlzado no elemento. h g + A'( - 4ν ) δ 4A A' 4A r r (α,, ) Γ T r ) (α + β ( + o ) + γ ( + o )) φ ) dγ ) n Γ T r ) + β ( + o ) + γ ( + o )) φ ) dγ; e n N PG representa o número (.5.7a) h B' (- ν ) A + h B' ( - ν ) A B' A ) Γ ) Γ r, { α r ) Γ r, { α r r, { α r ln(r) + β ln(r) + β ln(r) + β [ + [ + o [ + o o (ln(r) -)] + γ (ln(r) -)] + γ (ln(r) -)] + γ [y + y [y + y o [y + y o (ln(r) -)]} η φ o (ln(r) -)]} φ (ln(r) -)]}n φ T T T r ) ) dγ n ) ) r dγ + n r ) ) dγ + n (.5.7b)

65 46 Vale lembrar qe as epressões (.5.5a-c) são váldas para a solção ndamental de Kelvn qe está sendo tlzada neste trabalho para a dscretzação do solo pela ormlação elastostátca do Método dos Elementos de Contorno (MEC)..5.. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA A ntegral nmérca ocorre qando o ponto de colocação não pertence ao elemento a ser ntegrado. Esta ntegração é a orma mas dreta de se calclar a ntegral sobre m elemento. No caso tlzado neste trabalho de apromações lneares, esta ntegração é eta através da qadratra de Hammer, podendo ser aclmente encontrada em dversas tabelas (ver BREBBIA et al., 984), onde é tlzado o Jacobano de transormação G em relação às coordenadas admensonas de área. As ntegras (.5.5a-b) são obtdas através da ntegração sobre cada elemento do contorno, á qe o ponto de colocação não pertence ao elemento a ser ntegrado, sendo realzada ma transormação de coordenadas globas para coordenadas de área, conorme mostrado abao: g G h G [ [ - - h h g h ( (,, )d )d ]d ]d, (.5.8a-b) Aplcando-se a ntegração nmérca de Hammer através da qadratra na orma de somatóro, tem-se: g G h G n k n k h ( h g h ( k k,, k k )w )w k k, (.5.9a-b) onde n representa o número de pontos de Hammer, G é o acobano de transormação e vale A, k k e são as coordenadas de área do ponto a ser consderado, k w é o valor do peso assocado ao ponto de ntegração k e h g e hh são os ntegrandos das ntegras dendas nas epressões (.5.5a-b). Sabe-se qe as nções envolvdas nas ntegrações são snglares, desta orma, a precsão da ntegração de Hammer é predcada pela dstânca r entre os pontos de colocação S e de

66 47 campo Q. Em casos onde essa dstânca é relatvamente grande comparada com o tamanho dos lados dos elementos tranglares o procedmento de Hammer ornece ótmos resltados, caso contráro, a alternatva tlzada consste em sbdvdr o elemento l qalqer em sb- elementos e aplca-se a ntegração de Hammer em cada elemento separadamente, ocasonando em m número maor de pontos de ntegração, obetvando a obtenção de resltados mas precsos. Neste trabalho, qando o ponto S está bem prómo do elemento a ser ntegrado, dvde-se esse elemento em 5 partes gas gerando 5 sb-elementos conorme pode ser observado no trabalho de KANE, DESLOCAMENTOS E TENSÕES EM PONTOS DO DOMÍNIO A dentdade de Somglana, eq. (.4.), ornece os deslocamentos em pontos nternos (pontos do domíno) em termos dos deslocamentos e orças de speríce p no contorno. Consderando novamente esta representação de ntegral como em (.5.8) tem-se (s) - [ p (s,q) φ M L + [ (s,q) φ c m Ω l Γ m l T T (Q)dΓ(Q)]U (q)dω(q)]b (Q)dΓ(Q)]P onde Γ l é a speríce correspondente ao elemento l e S é agora m ponto nterno. L T + [ (s, Q) φ l Γ l (.5.4) A orma matrcal da eq. (.5.4) é denda como - HU + GP + DB (.5.4) onde, o vetor com as componentes de deslocamentos é (s) (.5.4) Vale ressaltar qe as ntegras da eq. (.5.4) são calcladas através do procedmento de ntegração nmérca, adotando-se a dvsão do elemento tranglar em sb-elementos obetvando desta orma, a otmzação dos resltados encontrados para os deslocamentos em pontos nternos. Para m sóldo sotrópco, homogêneo e tr-dmensonal, as tensões em pontos do domíno podem ser calcladas da mesma orma qe os deslocamentos, o sea, a partr da eq. (.4.) temse:

67 σ(s) - [ S (s, Q) φ M + [ D (s,q) φ c m Ω L l Γ m l T T (Q)dΓ(Q)]U (q)dω(q)]b, + L T [ D (s,q) φ (Q)dΓ(Q)]P l Γ l 48 (.5.4) A orma matrcal da eq. (.5.4) é denda como σ - HU + GP + DB (.5.44) onde, o vetor com as componentes de deslocamentos é σ σ σ σ σ σ σ (s) o anda σ (s) σ σ σ (.5.45a-b) σ σ σ σ σ σ O traço tlzado sobre as matrzes H, G e D serve apenas para derencar das matrzes envolvdas na eq. (.5.4) e os tensores de tercera ordem S e D á oram dendos em (.4.) e (.4.4). As ntegras envolvdas na eq. (.5.4) são resolvdas tlzando-se a ntegração nmérca de Hammer..5.5 TENSÕES EM PONTOS DO CONTORNO A eq. (.5.4) pode ser tlzada para o cálclo das tensões em pontos do contorno, mas, vale ressaltar qe esta eqação pode gerar sn glardades nestes pontos. Para problemas trdmensonas, os termos dos tensores de tercera ordem D e S contêm snglardades do tpo, respectvamente, egndo consderações especas. r r Desta orma, de acordo com BREBBIA et al. (984), m camnho mas smples e ecente de se determnar tensões em pontos do contorno consste em tlzar ma apromação para as deormações a partr dos valores dos deslocamentos nos nós dos elementos. A partr de m ponto nodal dendo no elemento, pode-se representar as componentes do tensor de tensão através de m elemento nntesmal, onde as componentes de tensão na dreção são as própras orças de speríce neste nó, o sea, podemos denr prmeramente as epressões

68 das componentes do tensor de tensão. Utlzando a epressão qe dene orças de speríce e, anda, a Le de Hooke, pode-se escrever σ σ σ σ σ σ (µ + λ) ε µε P P P (µ + λ) ε + λ( ε + λ( ε + ε + ε ) ) 49 (.5.46a-) Conhecendo-se a epressão de σ através da Le de Hooke e galando ao valor da orça de speríce nesta dreção, é possível encontrar o valor da componente de deormação ε, como mostrado a segr σ (µ + λ) ε + λ( ε + ), (.5.47) P ε Colocando o valor de ε em nção da orça de speríce, tem-se ε [P -λ( ε ε )] (µ + λ) + (.5.48) Sbsttndo a eq. (.5.48) em (.5.46a-c), encontra-se σ σ σ σ σ σ (µ + λ) ε µε P P P (µ + λ) ε + λ( ε + λ( ε + [P - λ( ε (µ + λ) + [P - λ( ε (µ + λ) + ε + ε )]) )]) (.5.49a-) As componentes de deslocamento em coordenadas locas podem ser representadas como: o em termos de componentes, pode-se escrever: onde ( o anda, (,, ) φ ) φ T T U U k k U φ T U (.5.5) (U + - U U ) + ( - + (U - )U - U ) + U. k U são os valores nodas dos deslocamentos nodas nas coordenadas locas, (.5.5a-b) T φ as nções nterpoladoras á dendas anterormente qe podem ser polnomas. As dervadas dos deslocamentos em relação às coordenadas de área são

69 5 ) U - (U ) U - (U (.5.5a-b) Vale ressaltar qe, no caso de se conhecer os deslocamentos nas coordenadas globas, pode-se azer a transormação das coordenadas para o sstema local através de ma matrz de transormação de coordenadas. Assm como as componentes de deslocamentos, as coordenadas cartesanas também são epressas em nção de ses valores nodas, como:. ) - ( ) - ( ), ( o anda, ) - (- ), ( k T k T φ φ (.5.5a-b) Dervando a epressão (.5.5a-b) encontra-se - - (.5.54a-b) Vercando a epressão qe dene o tensor de deormações apresentado em (..4) verca-se qe os deslocamentos são dervados em relação às coordenadas cartesanas, desta orma aplcando-se a regra da cadea, encontra-se k k (.5.55) Por eemplo, tem-se (.5.56a-d) o, na orma matrcal, pode-se representar

70 5. (.5.57) Representando a orma matrcal (.5.57) na orma nversa, encontra-se. - A (.5.58) Sbsttndo a eqação matrcal (.5.58) em (.5.49a-) e azendo ) )(- ( E e ) ( E G ν ν ν λ ν µ + +, encontram-se as tensões em pontos do contorno de orma apromada, conorme mostrado a segr: P P P ] P ) ( [ - ) ( ] P ) ( [ σ σ σ ν ν µ ν σ ν µ σ ν ν µ ν σ (.5.59a-)

71 5.6 EXEMPLOS Nesta seção são apresentados algns eemplos tlzando a ormlação do Método dos Elementos de Contorno obetvando a aplcação do método em dversas análses em engenhara, bem como demonstrar a nconaldade do programa desenvolvdo no ambente MatLab para o cálclo de deslocamentos e tensões. No eemplo. é analsada a eqação da lnha elástca para ma vga engastada solctada à leão. Em segda, no eemplo., mostra-se m paralelepípedo sóldo elástco solctado por ma orça estátca de tração, onde são analsados os valores do deslocamento na dreção aal. Por m, aplca-se m carregamento normemente dstrbído sobre a speríce lvre do sem-nnto vsando à análse de deslocamentos a partr da solção ndamental de Kelvn..6. Eemplo. Nesse eemplo é eta ma análse de ma vga engastada em ma das etremdades e lvre na otra, solctada por ma orça perpendclar ao se eo aplcada na etremdade lvre, denndo o problema de ma vga à leão. A gra kn.6. apresenta a vga em qestão cos parâmetros elástcos são E e ν cm,. X X P,kN X P,kN E kn/cm ν, 8cm cm cm Fgra.6. Vga engastada com carregamento transversal na etremdade lvre.

72 5 Na dscretzação da speríce de contorno da vga através de elementos tranglares planos descontínos são tlzados três tpos de malhas denomnadas de M4, M7 e M76, conorme gras.6. e.6.. (a) M4 (b) M7 (c) M76 Fgra.6. Dscretzações do contorno por elementos tranglares planos descontínos: (a) M4, 4 elementos, (b)m7, 7 elementos e (c)m76, 76 elementos.

73 54 (a) M4 (b) M7 (c) M76 Fgra.6. Representação gráca da geometra da vga mostrando as dscretzações tlzadas: M4, M7 e M76.

74 55 Na ormlação mplementada nesta análse, o carregamento a ser aplcado no corpo passa a ser tratado por nó, desta orma, para o problema estdado neste eemplo, toma-se ma carga dstrbída P,kN/cm como sendo ma carga aplcada no nó central da speríce lvre de contorno, como á mostrado na gra.6.. Sabe-se qe o carregamento aplcado vara lnearmente ao longo dos lados do elemento de contorno, logo, a carga aplcada no nó central reslta em m carregamento de orma pramdal. Esse carregamento poss ntensdade de,kn/cm no nó central e é nlo nos demas nós da speríce de contorno. Sendo a área da seção transversal da vga em análse gal a A S 4 cm, o problema mplca em ma orça resltante perpendclar ao eo do corpo de módlo gal ao volme da prâmde ormada, o sea, 4kN. A malha M4 tlza 4 elementos tranglares planos com apromação lnear com pontos de colocação e 6 gras de lberdade. A malha M7 apresenta 6 pontos de colocação e 648 gras de lberdade e a malha M76 poss 58 pontos de colocação e 584 gras de lberdade. Conorme vercado na gra.6., a vga poss seção transversal de cm cm com 8cm de comprmento. Aplcando-se a eqação da lnha elástca a partr da teora de vgas, pode-se calclar o deslocamento transversal da mesma ao longo de se comprmento e comparar com os valores encontrados para as dscretzações postas no presente trabalho. Nas tabelas.,. e. são comparados os valores dos deslocamentos na dreção X ao longo do eo X da vga tlzando as dscretzações M4, M7 e M76 com a solção analítca da teora de vgas tlzando o códgo comptaconal obtdo tlzando-se a ormlação do MEC com a solção ndamental de Kelvn, apresentada nesse capítlo. Tabela. Lnha elástca da vga analsada (valores em cm): Dscretzação M4. coord. X (cm) Teora de Vgas Dscretzação M4 8,, 6,, 4,76,76,54,468,48,

75 56 Lnha elástca da vga - estdo comparatvo Eo X (cm) ,,5,5 Deslocamento em X (cm),75,,5,5,75,,5,5 Teora de vgas M4 Fgra.6.4 Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M4. Tabela. Lnha elástca da vga analsada (valores em cm): Dscretzação M7. coord. X (cm) Teora de vgas Dscretzação M7 8,, 7,55,59 6,, 5,45,5 4,76,78,,9,54,58,98,4,48,48 Lnha elástca da vga - estdo comparatvo Eo X (cm) ,,5,5,75,,5,5,75,,5,5 Teora de vgas M7 Fgra.6.5 Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M7.

76 57 Tabela. Lnha elástca da vga analsada (valores em cm): Dscretzação M76 coord. X (cm) Teora de Vgas Dscretzação M76 8,, 7,5,56 64,7,55 56,96,9 48,57,5 4,76,778,5,6 4,74,77 6,76,7 8,74,6,48,47 Lnha elástca da vga - estdo comparatvo Eo X (cm) , Deslocamento em X (cm),5,5,75,,5,5,75,,5,5 Teora de vgas 76 elementos Fgra.6.6 Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M76. Os resltados obtdos, representados gracamente nas gras.6.4 a.6.6, permtem dzer qe a ormlação do Método dos Elementos de Contorno apresentada é coerente com o problema analsado. Observa-se anda qe, à medda qe a dscretzação envolve mas elementos, os valores obtdos na análse se apromam daqeles tlzando-se a teora clássca de vgas. Vsando ma vercação anda melhor dos resltados obtdos nesse trabalho e a sa conabldade ez-se ma comparação gráca entre tas valores e os encontrados no trabalho de BARBIRATO (999), conorme vercado na gra.6.7. Verca-se qe este ma boa convergênca entre os grácos dos resltados encontrados nos dos trabalhos.

77 58 Lnha elástca da vga - estdo comparatvo Eo X (cm) ,,5,5 Deslocamento em X (cm),75,,5,5,75,,5,5 Teora de vgas 76 elementos 4 elementos, BARBIRATO (999) 7 elementos, BARBIRATO (999) 4 elementos Fgra.6.7 Lnha elástca da vga: comparatvo de resltados.6. Eemplo. O segndo caso a ser processado é m paralelepípedo sóldo elástco engastado na base, solctado por ma orça estátca de tração, conorme apresentado na gra.6.8, denndo o problema de m sóldo à tração. P P P P X P X X 4m P Pa E Pa ν,5 m m Fgra.6.8 Denção do sóldo e sas condções de contorno

78 59 A ormlação do Método dos Elementos de Contorno apresentada neste eemplo o mplementada tlzando-se três dscretzações, com elementos tranglares descontínos (6 pontos de colocação), com 44 elementos ( pontos de colocação) e com 76 elementos (8 pontos de colocação), denomnadas de malhas M, M44 e M76. Os nós de canto são avalados através do nó deslocado da denção do elemento tranglar plano descontíno. (a) M (b) M (c) M44 (d) M44 Fgra.6.9a Malhas de dscretzação: (a) e (b) M com elementos e (c) e (d) M44 com 44 elementos.

79 6 (e) M76 () M76 Fgra.6.9b Malhas de dscretzação: (e) e () M76 com 76 elementos. Os resltados obtdos são comparados com a eqação analítca qe dene o deslocamento aal de ma vga engastada, mostrada a segr: PL (.6.) EA onde P é a orça aal de tração, L é o comprmento do corpo analsado, E é o módlo de elastcdade longtdnal do materal e A é a área da seção transversal. Aplcando a eqação acma para o problema analsado nesse eemplo, encontrase o deslocamento aal de 4-5 m. A segr são apresentados os valores encontrados para o deslocamento aal tlzando-se as dscretzações dendas para esse eemplo: Tabela.4a Valores do deslocamento da vga analsada à tração para a dscretzação M, (valores em cm). Nós Valor do deslocamento em metros ( -5 ) Valor analítco em Erro (%) Dscretzação M metros ( -5 ) 5 4,4 4,,5 6,985 4, -,75 7,978 4, -,55 8 4,4 4,,5

80 6 Tabela.4b Valores do deslocamento da vga analsada à tração para as dscretzações M44 e M76, (valores em cm). Nós Valor do deslocamento em metros ( -5 ) Valor analítco em Erro (%) Dscretzação M44 metros ( -5 ) 5,95 4, -,6 6,97 4, -,74 7,98 4, -,487 8,95 4, -,6,999 4, -,8,957 4, -,8 4,99 4, -,5 5,99 4, -,5 6,957 4, -,8 Nós Valor do deslocamento em metros ( -5 ) Valor analítco em Erro (%) Dscretzação M76 metros ( -5 ) 6,98 4, -,44 7,99 4, -,5 8,98 4, -,44 9,998 4, -,48,88 4, -,94 9,97 4, -,7 4,895 4, -,68 4,895 4, -,68 4,97 4, -,7 Embora o eemplo processado sea bastante smples, os resltados obtdos mostram qe a ormlação apresentada é adeqada para sóldos elástcos trdmensonas solctados à tração. O elemento tranglar plano com apromação lnear, de ácl mplementação, possblta ma representação coerente do problema analsado. A apromação lnear descontína adotada elmna os problemas srgdos na análse de nós de canto. As ntegrações tlzadas, tanto a nmérca qanto a semanalítca mostram-se ecentes nto à ormlação. A análse desse eemplo o realzada tlzando-se m programa escrto no pacote MatLab, a partr de ma máqna Pentm(R) 4, CPU.8GHz, 496 MB de RAM, onde verco-se qe o tempo de processamento para a dscretzação com 76 elementos, por eemplo, o de 8 mntos e 46 segndos.

81 6.6. Eemplo. Neste eemplo, ma carga normemente dstrbída é aplcada sobre ma área retanglar localzada na speríce do sem-nnto. A área a ser estdada é m retânglo de lados 9,5m e 8,m, com ma carga dstrbída de compressão, módlo de elastcdade longtdnal (característca do materal, no caso o solo) e coecente de Posson descrtos abao: q,956 kpa E 44,4 kpa ν,. Fgra.6. Área retanglar (solo) na speríce lvre do sem-nnto, carregamento normemente dstrbído. O problema apresentado nesse eemplo o resolvdo no trabalho de BARBIRATO (999), tlzando-se as solções ndamentas de Kelvn e Mndln, porém, nesse trabalho é abordada apenas a solção ndamental de Kelvn para o estdo do sem-nnto. Os resltados encontrados no presente trabalho são comparados com os encontrados no trabalho spractado, conorme mostrado nas tabelas.5 a.8. Para estdar o problema proposto são tlzadas três dscretzações com 6, 64 e 56 elementos tranglares planos descontínos com apromação lnear. Para a aplcação da solção ndamental de Kelvn dene-se ma determnada regão eterna à área retanglar em análse, vsando a dscretzação da regão de orças de speríce nlas do espaço sem-nnto através de ma malha estendda. Desta

82 6 orma, o consderada ma nova regão com 8,m de largra para dscretzação caracterzando a tercera malha estendda com 56 elementos, conorme gra.6.b. O obetvo dessa análse é calclar os deslocamentos segndo o eo X no espaço sem-nnto ao longo dos eos X e X, devdo a aplcação do carregamento dstrbído vercando o comportamento do mesmo através de ma análse estátca. (a) Malha com 6 elementos (b) Malha com 64 elementos Fgra.6.a Dscretzações tlzadas: (a) 6 elementos e (b) 64 elementos.

83 64 (c) Malha com 56 elementos Fgra.6.b Dscretzações tlzadas: (c) 56 elementos. Na análse desse problema, az-se ma comparação entre os resltados encontrados tlzando-se as dscretzações mostradas na gra.6. para a solção ndamental de Kelvn com os resltados de BARBIRATO (999) qe tlzo as solções ndamentas de Mndln e Kelvn. É mportante salentar qe para problemas qe envolvem domínos semnntos com carregamentos e escavações prómos à speríce lvre, a solção ndamental de Mndln é bastante tlzada. Com esta ormlação, apenas as speríces escavadas e/o carregadas precsam ser dscretzadas, como é o caso do presente eemplo e das dscretzações apresentadas. Já para a solção ndamental de Kelvn, adeqada para o espaço nnto, é necessáro dscretzar, além das speríces escavadas e/o carregadas, a speríce lvre de trações do sem-nnto. Porém, ma grande acldade qe este na tlzação da solção ndamental de Kelvn é qe as eqações e as matrzes qe envolvem tal solção são peqenas, de rápda solção e em qantdades menores, qando comparadas com as eqações qe envolvem a solção ndamental de Mndln. Portanto, Kelvn é mas aclmente programável.

84 65 Tabela.5 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra.6.. Dscretzação: Malha com 6 elementos Kelvn: eo X (m) desl. X (cm) ponto a:,,757 ponto d: 4,575,98 Barbrato Kelvn (999): eo X (m) desl. X (cm) ponto a :,,74 ponto d :4,575,48 Barbrato Mndln (999): eo X (m) desl. X (cm) ponto a :,,89 ponto d :4,575,46,,,4,6,8, Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - comparação entre a solção ndamental de Kelvn tlzada no trabalho e as solções ndamentas de Mndln e Kelvn (BARBIRATO, 999). Eo X (m),,5,,5,,5,,5 4, 4,5 5, Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Kelvn. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Kelvn Barbrato (999). Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Mndln Barbrato (999) Fgra.6. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e as sol. nd. de Mndln e Kelvn tlzadas em BARBIRATO (999). Tabela.6 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra.6.. Dscretzação: Malha com 6 elementos Kelvn: eo X (m) desl. X (cm) ponto a:,,757 ponto b: 4,575,659 ponto c: 9,5,8 Barbrato Kelvn (999): desl. X eo X (m) (cm) ponto a:,,74 ponto b: 4,575,748 ponto c: 9,5,87 Barbrato Mndln (999): desl. X eo X (m) (cm) ponto a:,,89 ponto b: 4,575,78 ponto c: 9,5, Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - comparação entre a solção ndamental de Kelvn tlzada no trabalho e as solções ndamentas de Mndln e Kelvn (BARBIRATO, 999).,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,5,7,9,,,5,7,9 Eo X (m) Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Kelvn. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Kelvn Barbrato (999). Deslocamentos em X ao longo de X - S. F. de Mndln Barbrato (999). Fgra.6. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e as sol. nd. de Mndln e Kelvn tlzadas em BARBIRATO (999).

85 Fgra.6.4 Vsalzação gráca do meo sem-nnto malha com6 elementos. Tabela.7 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra.6.5. Dscretzação: M alha com 64 elementos Kelvn: eo X (m) desl. X (cm) ponto a:,,7 ponto :,875,545 ponto g: 4,575,998 Barbrato Mndln (999): eo X (m) desl. X (cm) ponto a:,,79 ponto g: 4,575, Desloc. em X (cm),5,7,9,,,5,7,9 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - comparação entre a solção ndamental de Kelvn tlzada no trabalho e a solção ndamental de Mndln (BARBIRATO, 999). Eo X (m),,5,,5,,5,,5 4, 4,5 5, Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Kelvn. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Mndln Barbrato (999). Fgra.6.5 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e a sol. nd. de Mndln tlzada em BARBIRATO (999).

86 67 Tabela.8 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm), representados gracamente na gra.6.6. Dscretzação: Malha com 64 elementos Kelvn: eo X (m) desl. X (cm) ponto a:,,7 ponto b:,875,6477 ponto c: 4,575,5567 ponto d: 6,865, ponto e: 9,5,766 Barbrato Mndln (999): eo X (m) desl. X (cm) ponto a:,,79 ponto c: 4,575,65 ponto e: 9,5,97 Desloc. em X (cm),5,7,9,,,5,7,9 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - comparação entre a solção ndamental de Kelvn tlzada no trabalho e a solção ndamental de Mndln (BARBIRATO, 999). Eo X (m),,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Kelvn. Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) - S. F. de Mndln Barbrato (999). Fgra.6.6 Deslocamentos em X ao longo de X (em cm) comparação entre a sol. nd. de Kelvn tlzada nesse trabalho e a sol. nd. de Mndln tlzada em BARBIRATO (999) Fgra.6.7 Vsalzação gráca do meo sem-nnto - malha com 64 elementos