ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO NÃO-HOMOGÊNEO/ESTRUTURA VIA ACOPLAMENTO MEC/MEF

Transcrição

1 ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO NÃO-OMOÊNEO/ESTRTRA VIA ACOLAMENTO MEC/MEF VALÉRIO SILVA ALMEIDA Tese apresentada à Escola de Engenhara de São Carlos da nversdade de São aulo, como parte dos requstos para a obtenção do título de Doutor em Engenhara de Estruturas. ORIENTADOR: rof. Assoc. João Bata de ava São Carlos 00

2 ARADECIMENTOS Sobretudo, a DES por ter me dado saúde e me feto forte para enfrentar os otáculos que surgram em toda a mnha vda. Ao meu compreensvo orentador rof. João Bata de ava pela atenção e dedcação. A Fundação de Amparo à esqusa do Estado de São aulo FAES pelo suporte técnco e fnancero conceddo a este proeto. Agradeço aos meus pontos de referênca de vda, mnha esposa Aradne S. Lechner e mnha flha Cecíla L. Almeda. Sou grato também aos professores que contrbuíram de manera sngular em alguns pontos do trabalho e, sobretudo, no meu amadurecmento humano e prosonal: rof. Carlos Armando M. Duarte, rofa. elena M.C.C. Antunes, rof. umberto B. Coda, rof. Nelson Aok, rof. Walter Savass e rof. Wlson Sérgo Venturn. A todos os companheros que mantve neste período, em especal a Jeselay.C. dos Res, Aleandre Botta, Ângelo Mendonça, Lucano S.. Lete e Luttgardes Neto, e também aos amgos do futebol. Agradeço a todos do Departamento de Estruturas da EESC/S, em especal à Nadr Mnatel e ao Masak. Enfm, felzmente, númeras são as pessoas que deveram ser ctadas que aqu não caberam. Fcam táctas neste teto e, sobretudo, concretas em mnhas demonstrações de agradecmentos.

3 RESMO ALMEIDA, V.S. (00. Análse da nteração solo não-homogêneo/estrutura va acoplamento MEC/MEF. São Carlos. 9p. Tese (Doutorado Escola de Engenhara de São Carlos, nversdade de São aulo. O estudo do comportamento mecânco do compleo sstema advndo da nteração entre solo/subestrutura/superestrutura é o tema do trabalho. Neste conteto, a representação do macço é feta usando-se o método dos elementos de contorno (MEC em abordagem D, de manera que se possa smular o macço com característcas mecâncas não-homogêneas, além de se consderar uma camada de apoo ndeslocável a dstâncas prescrtas a pror e condção de aderênca perfeta. A subestrutura também é representada va MEC trdmensonal, a qual está mersa dentro deste meo heterogêneo. A nfra e a superestrutura são modeladas empregando o método dos elementos fntos (MEF, com o uso de elementos estruturas retculares e elementos lamnares. São apresentados alguns eemplos em que se valda a formulação e outros que demonstram a potencaldade e a necessdade de se empregar a formulação para a melhor análse do compleo fenômeno em estudo. or fm, demonstra-se a obrgatoredade de se otmzar a formulação, empregando-se duas grandes ferramentas numércas: o paralelsmo e o emprego de um adequado método de resolução de sstemas esparsos. alavras-chave: nteração solo/estrutura; método dos elementos de contorno; solo não-homogêneo; acoplamento MEC/MEF; paralelsmo; resolução de sstemas lneares esparsos.

4 ABSTRACT ALMEIDA, V.S. (00. Analyss of nonhomogeneous sol-structure nteracton usng BEM-FEM couplng. São Carlos. 9p. Thess (Doctoral São Carlos School of Engneerng, nversty of São aulo. The analyss of the sol-structure system nteracton s a vast feld of nterest n the area of cvl engneerng. A realstc representaton of behavour s a comple numercal task due to etremely varable mechancal behavour. Thus, n the present research, the sol s consdered a non-homogeneous contnuum supported by a rgd and adhesve nterface and modelled by boundary element method va elvn soluton n D space. The foundaton s also modelled by ths above-mentoned modellng technque. The raft foundaton and the superstructure are represented by fnte shell and D frame elemen. In order to estmate the accuracy and the potentalty of the proposed numercal formulaton, some eamples are valdated when compared to smlar approaches, and others smulatons are presented to stress the necessty of couplng the non-homogeneous solfoundaton-rader-superstructure system as a whole. Fnally, to acqure numercal tme effcency, t s shown that t s mperatve to apply parallel processng and sparse technques for the soluton of the fnal system. eywords: sol-structure nteracton; boundary element method; nonhomogeneous sol; couplng BEM-FEM; parallel processng; soluton of sparse lnear equatons.

5 Sumáro Lsta de fguras v Lsta de tabelas Revsão bblográfca. Consderações ncas. Organzação do teto. Revsão bblográfca Capítulo : Método dos elementos de contorno 5. Introdução 5. Relações báscas do problema elástco lnear 5. Representação das equações de equlíbro no contorno 9. A solução fundamental trdmensonal de elvn.5 Método dos elementos de contorno 6

6 Sumáro.5. Elemento de superfíce 7.5. Representação algébrca das equações ntegras de 0 contorno.5. Integração numérca e subelementação.5. Integração analítca 6.6 Sub-regão 0.7 Eemplos numércos dos casos trdmensonas.7. Sóldo traconado.7. Vga elástca solctada à fleão 5.7. Ensao de érsel & Adam ( Ensao de Whtaker & Cooke 50 Capítulo : Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por 5 elemento de fundação. Introdução 5. Macço estratfcado pelo método da rgdez sucessva 55. Macço estratfcado com estacas 60.. Elmnação dos graus de lberdade do fuste 7.. Compatbldade e equlíbro entre camadas 7

7 Sumáro. Avalação do número de operações envolvdas a pror 8 Capítulo : Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 86. Introdução 86. Formulação do método dos elementos fntos 86. Superestrutura formada por elementos lamnares 9.. Efeto de membrana 9.. Efeto de fleão 95.. Matrz de rgdez do elemento lamnar no plano 95 trdmensonal. Superestrutura formada por edfícos D suetos às ações 99 vertcas e horzontas.5 Acoplamento MEC/MEF 00.6 Eemplos numércos 0.6. laca quadrada smplesmente apoada 0.6. Clndro com paredes rígdas 05 Capítulo 5: Eemplos numércos Introdução 09

8 Sumáro v 5. Lâmna quadrada apoada sobre meo sem-nfnto 0 5. Camada fnta com varação lnear do módulo de elastcdade 5 5. Lâmna fna sobre uma base não-deformável Lâmna quadrada sob um meo homogêneo de base rígda Edfíco sobre rader apoado em um macço não-homogêneo 5.7 ma estaca no meo fnto homogêneo 5.8 ma estaca no meo fnto não-homogêneo Lâmna quadrada apoada sobre nove estacas Cobertura apoada em rader com e sem estacas Capítulo 6: aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 7 6. Introdução 7 6. Computação dstrbuída Decomposção em domíno com abordagem eplícta Método da rgdez sucessva aplcada em 5 processamento dstrbuído 6.. Medda de desempenho Modelo mestre-escravo do VM 55

9 Sumáro v 6..5 Eemplos numércos Whtaker sem estaca Lâmna quadrada apoada sobre meo sem-nfnto ma estaca no meo fnto não-homogêneo Resolução de sstemas lneares esparsos Aplcações numércas Acoplamento edfíco/rader/solo roblema MEC/MEC para o caso bdmensonal roblema da membrana de Cook va MEF 67 Capítulo 7: Consderações fnas 7 Referêncas 77

10 Lsta de fguras Fgura. Representação de um sóldo com condções de contorno mstas. 9 Fgura. - Domíno acrescdo de complemento nfntesmal para o caso D. Fgura. - Valores dos termos da matrz C para três casos de cantos ortogonas. 5 Fgura. - a eometra do elemento e sstemas de coordenadas; b Coordenadas oblíquas. 8 Fgura.5 - Funções nterpoladoras adotadas. 8 Fgura.6 - Subelementação regular e coordenadas locas e globas. Fgura.7 - ráfcos das ntegras no elemento quas-sngular; ponto fora a /0L ponto fora a /0L; ponto fora a /L (L é maor lado. Fgura.8 - Subelementação progressva para a posção e parâmetros necessáros. 6 Fgura.9 - Defnção de parâmetros para a ntegração sngular. 8 Fgura.0 - Representação da ntegração do domíno do elemento pelo seu lados. 0 Fgura. - a Representação de um sóldo não-homogêneo. b Condções de nterface entre regões. 0

11 Lsta de fguras v Fgura. - Sóldo apoado em sua base (plano X X e X 0 e com valor de E e ν0,5. Rede adotada para o contorno e coordenadas de pontos de nteresse. Fgura. - Subelementações empregadas. Fgura. - eometra e valores elástcos da vga engastada no plano (X X e X 0, e confguração da rede. 6 Fgura.5 Estaca submetda à força vertcal e parâmetros físcos e geométrcos. 8 Fgura.6 Confgurações da rede adotada para o solo e a estaca. 9 Fgura.7 Deslocamentos horzontas ao longo do eo da estaca. 9 Fgura.8 Forças de contato horzontas ao longo do eo da estaca. 50 Fgura.9 Elemento de fundação submetdo à força vertcal, parâmetros físcos e geométrcos e vsta da rede empregada para smular a estaca ou o tubulão. 5 Fgura.0 Deslocamentos vertcas ao longo do eo da estaca e do tubulão. 5 Fgura. Forças de contato ao longo do eo da estaca. 5 Fgura. Forças de contato na regão da ponta do tubulão e da estaca. 5 Fgura. Macço estratfcado sob forças de superfíce e contornos de base, topo e lateral. 55 Fgura. Estrato genérco com duas estacas e seus parâmetros de topo, base e fuste. 6 Fgura. Esquema do macço estratfcado estaqueado. 7

12 Lsta de fguras v Fgura. Número de operações dvddo por N versus número de camadas, para dos procedmentos: Método da rgdez sucessva (MRS e Método da subregão (SR. 85 Fgura. - eometra e os 8 graus de lberdade do elemento lamnar da unção DT/FF no sstema local O. 95 Fgura. - Relação entre sstema local e global de um plano qualquer no espaço D. 96 Fgura. Vetores aulares para cálculo dos co-senos dretores de um elemento. 97 Fgura. - Forças de superfíce e cargas nodas equvalentes de um elemento. 0 Fgura.5 - Varação lnear do deslocamento transversal e da força de superfíce no nteror do elemento fnto. 0 Fgura.6 - Forças de superfíce e cargas nodas equvalentes. 0 Fgura.7 laca quadrada apoada e parâmetros geométrcos e físcos. 05 Fgura.8 eometra e redes adotadas, sendo E00, ν 0,, LR00, h,0 (espessura. 06 Fgura.9 Deslocamentos em X ao longo do contorno (A-B. 07 Fgura.0 Valores de momentos fletores na dreção y' ao longo do contorno (C-D. 07 Fgura 5. - a esquema estrutural do modelo; b rede usada para dscretzar a lâmna; c parâmetros físcos e geométrcos do conunto lâmna/solo. Fgura 5. Rede usada para dscretzar a superfíce lvre do solo. a Rede ;b Rede. Fgura 5. Deslocamentos vertcas da superfíce do macço sobre o eo S.

13 Lsta de fguras Fgura 5. Forças de superfíce do contato lâmna/solo sobre o eo S. Fgura 5.5 estrato fnto sob carregamento unforme crcular rede usada para o solo. 6 Fgura 5.6 a esquema da lâmna sobre meo ndeformável; b rede de um quarto da lâmna; c parâmetros físcos e geométrcos do solo e da lâmna ; d rede usada para o solo. 8 Fgura 5.7 a estrato fnto sob carregamento unforme; b rede usada para o solo e para a lâmna. 0 Fgura 5.8 a corte da estrutura e os casos consderados; b planta do modelo edfíco/rader; c planta baa do edfíco; d tabelas dos parâmetros dos elementos de barra do edfíco. Fgura 5.9 Deslocamentos vertcas ao longo do corte AA. Fgura 5.0 Deslocamentos vertcas no rader para o caso b. Fgura 5. Momentos fletores M sobre todo o rader para o caso b. Fgura 5. Momentos fletores M sobre todo o rader para o caso b. 5 Fgura 5. Tensões de contato (σ em toda regão comum ao rader e ao solo para o caso b. 6 Fgura 5. Dstrbução de tensões vertcas (σ no solo ao longo do corte BB para o caso c. 7 Fgura 5.5 Dstrbução de deslocamentos (u no solo ao longo do corte BB para o caso c. 7

14 Lsta de fguras Fgura 5.6 Curva deslocamentos horzontas (metros versus andares do nó mestre do edfíco para o caso b. 9 Fgura 5.7 Dstrbução de momentos fletores (kn m para um plar ao longo de dos andares e de uma vga em comum a eles. 0 Fgura 5.8 a estaca sobre força vertcal em meo ndeslocável; b perspectva da dscretzação empregada; c redes usadas para smular a superfíce lvre do solo; d redes usadas para representar a estaca; e uma perspectva da rede da estaca. Fgura 5.9 Forças de contato csalhante entre estaca/solo para dversos λ e /L, para a rede /v. Fgura 5.0 Deslocamentos vertcas das estacas para dversos λ e /L, para a rede /v. Fgura 5. Deslocamentos da estaca para os tpos de redes do solo, empregando a rede v, /L,5 e λ Fgura 5. Forças de contato csalhante entre estaca/solo para os tpos de redes, empregando a rede v, /L,5 e λ Fgura 5. Deslocamentos da estaca com os tpos de redes do solo, empregando as redes da estaca, para /L,5 e λ Fgura 5. Forças de contato csalhante entre estaca/solo para os tpos de redes, empregando as redes da estaca, para /L,5 e λ Fgura 5.5 Estaca sueta a força vertcal em meo não-homogêneo e confgurações do macço. 7 Fgura 5.6 Forças de contato vertcas entre estaca/solo para dferentes estratfcações. 9 Fgura 5.7 Deslocamentos vertcas na estaca para casos de rgdez do solo. 9

15 Lsta de fguras Fgura 5.8 Forças de contato csalhantes vertcas entre estaca/solo para casos de rgdez do solo. 0 Fgura 5.9 Representação da lâmna sobre macço homogêneo estaqueado apoado em meo ndeslocável, e seus parâmetros físcos e geométrcos. Fgura 5.0 Redes usadas para dscretzar a lâmna, as estacas e a superfíce do solo. Fgura 5. Deslocamentos da superfíce de contato lâmna/solo/estaca. Fgura 5. Deslocamentos das estacas ao longo do fuste sem lâmna. Fgura 5. Forças de contato csalhantes entre solo/estaca sem lâmna. Fgura 5. Representação da cobertura sobre macço homogêneo estaqueado. Rede empregada para o solo dem a fgura Fgura 5.5 Deslocamento vertcal na seção da cobertura paralelo ao eo X para dferentes fatores de espessura do solo, sem estacas. 6 Fgura 5.6 Deslocamentos da cobertura no corte CD consderando dversas espessuras do rader, com o solo estaqueado e estaca afunlada. 6 Fgura 6. Esquema smplfcado da técnca da decomposção em domíno. 5 Fgura 6. Modelo de cração e transferênca de dados em árvore entre processadores. 5 Fgura 6. Estrutura de dados para a matrz gerada no acoplamento edfíco/rader/solo. 6 Fgura 6. Estrutura de dados para a matrz gerada em um problema MEC/MEC D. 66 Fgura 6.5 Estrutura de dados para a matrz gerada em um problema MEC/MEC D. 67

16 Lsta de fguras Fgura 6.6 Estrutura plana com carga untára unformemente dstrbuída ao longo do contorno da dreta com E, υ. 69 Fgura 6.7 Tempo de resolução para os dferentes métodos de resolução. 69

17 Lsta de tabelas Tabela.: Deslocamentos u dos pontos A, B e C do sóldo, em undade de comprmento. Tabela.: Tensões σ do sóldo, em undade de tensão. Tabela.: Lnha elástca do sóldo analsado (cm. 6 Tabela.: Tensão vertcal (σ para stuações. 7 Tabela.: Deslocamentos, momentos e erros relatvos no centro da placa para tpos de redes. 05 Tabela 5.: Valores de deslocamentos e forças de contato vertcas para o centro da lâmna. Tabela 5.: Erro porcentual dos deslocamentos centras da superfíce. 6 Tabela 5.: Resultados de deslocamentos e momentos fletores para pontos da lâmna. 8 Tabela 5.: Deslocamento vertcal (m do ponto A. 0

18 Lsta de tabelas v Tabela 5.5: Forças normas (MN nos plares do andar térreo para os város casos de rgdez do solo. Snal postvo ndca compressão nos plares. 8 Tabela 5.6: orcentagem das forças normas dstrbuídas nos plares de estremdade, ntermedáro e de canto. 9 Tabela 6.: ara camadas do solo. 57 Tabela 6.: ara camadas do solo. 57 Tabela 6.: ara camadas do solo. 58 Tabela 6.5: ara camadas do macço. 58 Tabela 6.6: ara camadas do macço. 59 Tabela 6.7: Tempo (mnutos para resolução do sstema lnear com graus de lberdade e com 6% de coefcentes não-nulos. 6 Tabela 6.8: Tempo (segundos para resolução do sstema lnear com graus de lberdade e com % de coefcentes não-nulos. 66

19 Capítulo Consderações ncas e revsão bblográfca. Introdução Este trabalho apresenta os resultados obtdos pela análse numérca de um compleo problema da engenhara cvl: a nteração solo/estrutura. Neste sentdo, o segunte teto epõe as formulações dos dos métodos numércos aplcados na construção do problema como um todo. Apresentando as potencaldades que cada método possu para sua aplcação em seu determnado campo da análse estrutural. Deste modo, os capítulos posterores desenvolvem as formulações do método dos elementos de contorno (MEC e do método dos elementos fntos (MEF focados aos campos de aplcação do problema em estudo, e mostra-se a técnca empregada para acoplar as dferentes formulações.. Organzação do teto O prmero capítulo aborda os prncpas trabalhos apresentados na lteratura centífca a respeto das formulações estentes para se avalar numercamente o comportamento de um macço heterogêneo com espessura fnta, consderando-se a presença ou não de elementos de fundação. O segundo capítulo trata de manera sucnta a formulação do método dos elementos de contorno. Destaca-se que este desenvolvmento á está voltado

20 - Consderações ncas e revsão bblográfca para o campo de aplcação desse método no presente trabalho. No fnal do capítulo, quatro eemplos são avalados para se averguar a formulação desenvolvda. O tercero capítulo traz o desenvolvmento da formulação desenvolvda, va MEC, para smular a heterogenedade do macço de solos com a nclusão dos elementos de fundação nesse meo não-homogêneo. Compara-se, também, o número de operações em ponto flutuante necessáro para o método desenvolvdo com o convenconalmente empregado, que é a técnca da subregão. No capítulo, é apresentado o equaconamento do MEF, as hpóteses admtdas para o elemento de lâmna e para a formulação do edfíco, entretanto não se apresenta o equaconamento para a formação dos elementos de lâmna nem do edfíco, ctando-se as referêncas que detalham este epedente. Na segunda parte do capítulo, se desenvolve a técnca empregada para se realzar o acoplamento entre o MEC e MEF, e no fnal do capítulo apresenta-se dos eemplos para eemplfcar a formulação do MEF mplementada. O capítulo 5 traz os eemplos numércos avalados com o uso da formulação desenvolvda. Assm, város eemplos são apresentados, tentandose, na medda do possível, mostrar o potencal da ferramenta desenvolvda. O seto capítulo tem o ntuto de apresentar duas mportantes ferramentas empregadas para otmzar o tempo de resposta do códgo: o paralelsmo e o uso de uma técnca efcente para resolver sstemas esparsos. Assm, é apresentada uma pequena ntrodução sobre o uso da computação dstrbuída no campo dos métodos numércos e os procedmentos usados para paralelzar o códgo, e eemplos avalados no computador paralelo do centro de processamento da escola de Engenhara de São Carlos. or fm, faz-se um breve comentáro sobre as técncas de resolução de sstemas esparsos, avalando, para dferentes técncas, os resultados de tempo de processamento sequencal de alguns eemplos obtdos com o emprego do MEF, ou MEC ou do acoplamento MEC/MEF.

21 - Consderações ncas e revsão bblográfca. Revsão bblográfca A nteração solo/estrutura representa um sstema mecânco ntegrado. A análse, geralmente avalada entre os meos, ou mas especfcamente, entre a superestrutura, a nfra-estrutura, a subestrutura e o macço de solos, é tratada de forma ndependente. Esta smplfcação advém do alto grau de compledade para se avalar o fenômeno mecânco únco. os, cada um dos sstemas por s á representa um vasto campo de estudo, quer na varabldade de parâmetros físcos e geométrcos, quer nas correspondentes dealzações dos modelos mecâncos. Somando-se a sto, os dferentes ramos de nteresse e de conhecmento dos pesqusadores nesta área são voltados para referencas dferentes. or um lado, o engenhero geotécnco analsa a complea ntegração entre a subestrutura e o macço de solos, sem consderar as mudanças de confgurações que possam ocorrer na superestrutura e que venha a levar a um estado de tensões não prevsto no sstema subestrutura/macço. Em contrapartda, o engenhero estrutural está voltado para os fenômenos que ocorrem na superestrutura, sem levar em conta os efetos que o meo de apoo está sueto quando da aorção das ações, e nas posterores modfcações da superestrutura que possa acarretar. Além dsso, um fenômeno comum que ambos os pesqusadores não têm dado tanto ênfase é sobre o efeto de grupo que altera o estado de tensões do sstema envolvdo. Assm, além de se avalar o sstema superestrutura/ subestrutura/macço de solos de forma desacoplada, consdera-se este sstema lvre do efeto de vznhança, o que pode levar a estados de deformações e/ou tensões não prevstos nos proetos envolvdos. Sobre a avalação qualtatva e quanttatva da superestrutura de forma solada, os modelos usados para representar seus fenômenos têm sdo melhorados da-a-da. os, com o desenvolvmento das ferramentas computaconas e a utlzação dos métodos dscretos, as ncorporações de modelos mecâncos mas sotcados são realzadas comumente. Dentre os

22 - Consderações ncas e revsão bblográfca trabalhos que estão nserdos neste conteto, é mprescndível ctar: BARROS (00, BATE (98, BEZERRA (995, DARTE et al. (000, MENDONCA (00, MESQITA (998, OÑATE (995, ELETEIRO (996, RIOS (99. No que se refere à análse do macço de solos, em geral, o solo é assumdo como sendo homogêneo, sótropo e elástco lnear e sem-nfnto. Entretanto, na maora dos casos, a consderação da camada do solo apoada em uma camada ndeslocável a uma dstânca nfnta não representa a real confguração do macço, uma vez que a consderação da não-homogenedade e da base rígda a uma dstânca prescrta ndca as condções mas prómas da encontrada na natureza. or sso, na lteratura as técncas propostas para modelar o meo fnto do solo estão embasadas em quatro dferentes modelos. No prmero, o meo contínuo é suttuído por um sstema de molas equvalente e dscreto, também conhecdo como modelo de Wnkler. Caso haa estaca, ela é dealzada como um elemento de vga com ou sem efeto da deformação aal apoado por uma sére de molas dscretas que representam o solo. As maores vantagens na aplcação deste modelo são sua smplcdade e relatva facldade para mplementação computaconal. Como maor desvantagem, tem-se a dfculdade de se escolher os módulos de reação da mola para uma certa combnação de tamanho de estaca e tpo de solo. eralmente esses parâmetros são estmados por correlações empírcas e podem levar a soluções ncertas e mprecsas. Nessa lnha, desenvolvem-se os trabalhos de CEN & ZIENIEWICZ (965, RANDO & WROT (979, WITT (98, LEE (99 e MYLONAIS & AZETAS (998. Esses dos últmos autores apresentam um método smples para cálculo de recalques e tensões de uma estaca ou de grupos de estacas mersas em um meo nãohomogêneo. O solo ao redor da estaca é representado por um modelo generalzado de Wnkler onde a rgdez de cada cota do meo não-homogêneo é avalada emprcamente. A segunda técnca parte do manuseo das equações advndas da teora da elastcdade aplcada a um meo contínuo, homogêneo e elástco, e nas

23 - Consderações ncas e revsão bblográfca 5 superfíces de contato entre as camadas adacentes são aplcadas as condções de equlíbro e compatbldade para se obterem as epressões que confgurem o problema não - homogêneo. Esta técnca apresenta a desvantagem de que as soluções encontradas são aplcadas em alguns problemas, pos de forma geral as equações não são resolvdas. Assm, têm-se os trabalhos poneros de BRMISTER (9, 95, que aplca a técnca de transformação de ntegral para a obtenção das soluções sem-analítcas para os deslocamentos e as tensões de um meo não-homogêneo sem consderar elementos de fundação, para duas e três camadas, quando se aplca uma força concentrada na superfíce lvre do meo. Ele parte das equações de equlíbro e compatbldade do problema elástco trdmensonal e, va condções de contorno entre as camadas, reca em uma ntegral que envolve funções de Bessel e em uma epressão no denomnador cua resolução é mpratcável. Então, Burmster eprme esse denomnador como uma sére de termos eponencas que devem ser eplctados para os dversos casos de combnação entre os parâmetros físcos das respectvas camadas do solo. OLOS (967 aplca as soluções de BRMISTER, obtendo os fatores de nfluênca para os casos de carregamentos de lnha, de faa e setoral. CAN et al. (97 generalzam o procedmento de BRMISTER para o caso de se consderar força vertcal e/ou horzontal aplcada em um ponto no nteror de duas camadas. Assm como BRMISTER, a epressão que aparece no denomnador é apromada por uma sére de funções eponencas que deve ser obtda numercamente para as dversas relações entre os módulos de rgdez e os coefcentes de osson das camadas adacentes. DAVIES & BANERJEE (978 repetem a técnca utlzada por CAN et al. (97. Entretanto, calculam as ntegras de forma mas precsa va métodos de quadraturas e deam as funções de deslocamentos eplíctas para as dversas combnações dos parâmetros elástcos. Eles concluem que essas soluções fundamentas, obtdas sem-analtcamente, têm alta convergênca para casos smples. Contudo, para problemas mas compleos que envolvam

24 - Consderações ncas e revsão bblográfca 6 meos não-homogêneos, tal como para a análse de grupos de estacas localzadas em dferentes estratos, é necessáro utlzar as soluções numércas, que são obtdas com muto trabalho e que não são muto vantaosas para o caso em que se desea muta precsão, devdo à compledade das epressões ntegras. IBSON (967 apresenta a solução para o campo de deslocamento vertcal (w sueto uncamente a forças vertcas na superfíce lvre do meo sótropo, elástco, com varação lnear da rgdez crescente ao longo da profunddade, com o índce de osson constante, e com uma base ndeslocável de apoo. Mas tarde, IBSON (97 estende seu trabalho de 967 consderando o meo ansótropo, partcularzado para o caso em que os três módulos elástcos (E, E z e z são ndependentes e varam lnearmente com a profunddade. Outro trabalho também mportante nesta lnha é o de ESITA & MEYEROF (968. A tercera técnca é denomnada de método da camada fnta (MCF. O método pode ser empregado para se reduzr o problema trdmensonal a um outro que envolva duas dmensões medante a combnação da técnca da transformada de Fourer e o método dos elementos fntos. O MCF permte uma mplementação computaconal fácl e efcente para soluções elástcas do solo homogêneo ou não, sótropo ou ansótropo. ara o caso de se ncorporar elementos de estaca, ele pode ser empregado consderando-se as condções de compatbldade e equlíbro entre as superfíces dos dos meos. ma desvantagem do MCF é que ele apenas pode ser empregado em problemas elástcos. Como referênca, ctam-se os trabalhos poneros de SMALL & BOOER (98, BOOER et al. (989, LEE & SMALL (99, SOTCOTT & SMALL (996 e TA & SMALL (998. ma varante do MCF é o método da camada nfnta (MCI apresentado em CEN et al. (988. A quarta lnha de pesqusa tem se utlzado dos potentes métodos numércos, mas precsamente do emprego do método dos elementos fntos (MEF e o método dos elementos de contorno (MEC. O MEF é, em geral, a

25 - Consderações ncas e revsão bblográfca 7 mas versátl e poderosa ferramenta usada na resolução de problemas da mecânca computaconal. No entanto, para o caso de ser aplcada na análse de problemas de domíno nfnto - caso da análse de solos - ela é uma ferramenta dfícl na preparação dos dados, onerosa para o seu armazenamento e para a resolução do sstema fnal, prncpalmente para o caso de se usar uma formulação com elementos trdmensonas. Isto porque o método necessta de uma representação de todo o domíno. Assm, poucos pesqusadores têm empregado o MEF na análse de macços homogêneos e não-homogêneos, ctando-se o trabalho de OTTAVIANI (975 e COW & TE (99. O MEC tem-se mostrado a mas efcente e prátca ferramenta para a análse de problemas de domíno nfnto, devdo às característcas peculares das funções ponderadoras que á contemplam as condções de contorno atenddas a grandes dstâncas. m ramo de pesqusadores tem empregado a solução de MINDLIN (96 - a qual avala os campos de deslocamentos dentro de um meo sem-nfnto e homogêneo, quando se aplca uma força untára dentro do meo - para o caso da análse de um meo elástco apoado em um plano ndeslocável, a uma dstânca h da superfíce do solo. Assm, tem-se o modelo smplfcado e prátco de Stenbrenner (OLOS (967, que emprega a solução de Mndln calculando os deslocamentos de um determnado ponto e subtrando-se este do deslocamento surgdo na cota ndeslocável Stenbrenner Mndln Mndln ( ρ ρ ρ, onde h ρ é o deslocamento na cota e ρ h é o deslocamento na cota do plano ndeslocável. OLOS (968a estende o trabalho do ano anteror consderando uma estaca carregada aalmente, e em OLOS (968b ele aplca a formulação de Stenbrenner para grupos de estacas. OLOS (979 avala a nfluênca de uma estaca dentro de um meo utlzando a epressão ( ρ d Es I p, onde ρ é o deslocamento do solo do elemento devdo a um fator de nfluênca de tensão p do elemento, d é o dâmetro da estaca, I é o fator de nfluênca de deslocamento obtdo por Mndln, e E s é o módulo de elastcdade do meo. ara um solo não-homogêneo

26 - Consderações ncas e revsão bblográfca 8 ele, por convenênca, altera os valores do módulo de Young ao longo da profunddade do solo e conclu que os resultados estão de acordo com os obtdos va MEF. Entretanto, para casos em que as estacas estão mersas em meos onde as camadas nferores são mas compressíves que as superores, os resultados não são tão acetáves. Também neste sentdo, pode-se empregar o MEC va solução de Mndln, dscretzando-se a superfíce do ndeslocável e mpondo-se as restrções requerdas nestes pontos. Entretanto, a aplcação do MEC utlzando-se a solução fundamental de Mndln, mesmo com a ntrodução da cota do plano ndeslocável, só é válda na representação de um únco meo homogêneo, não sendo possível, dentro da teora da elastcdade, ntroduzr outros meos com característcas físcas dferentes, em função das condções de contorno á mpostas a pror por MINDLIN (96 em sua formulação. E, conforme OLOS (979, para certas condções de não homogenedade do meo com estaca, os resultados de deslocamentos não são adequados. Deste modo, é necessáro utlzar o MEC com as respostas de domíno nfnto. A solução de elvn (LOVE (9 fornece a base para as mas geras formulações sobre um corpo sótropo de forma arbtrára. Essa solução é a mas empregada para acoplar dversas regões com propredades dferentes, equlbrando-as e compatblzando-as nas superfíces de frontera, mantendo assm a contnudade do meo heterogêneo. BANERJEE (976, BANERJEE & DAVIES (977 e MAIER & NOVATI (987 aplcam o MEC utlzando a solução fundamental de elvn para smular o meo fnto heterogêneo. O prmero autor apresenta uma formulação dreconada para a análse de solo do tpo on e se consdera a nfluênca das estacas mersas nesse meo. Tanto o solo quanto as estacas são representados por sóldos trdmensonas e se consdera o rader rígdo acoplado à superfíce do solo. BANERJEE & DAVIES (977 aplcam o procedmento de BANERJEE (976, mas á possbltando a análse dos

27 - Consderações ncas e revsão bblográfca 9 macços com as camadas descrtas com quasquer valores de módulo de Young e coefcente de osson. Entretanto, a superestrutura acoplada ao macço é também defnda como um bloco rígdo. MAIER & NOVATI (987 desenvolveram um método alternatvo para a análse de solos estratfcados medante uma técnca denomnada de "método da rgdez sucessva" va MEC. Cada estrato é tratado como uma sub-regão, e, utlzando-se as condções de equlíbro e compatbldade estentes entre os estratos adacentes, é possível transferr a rgdez da camada nferor para sua adacente superor. Desta forma, chega-se à últma camada com uma matrz que á ncorporou as nfluêncas de todas as outras camadas nferores. Neste trabalho, avala-se este procedmento em eemplos bdmensonas. Como conclusão chega-se à matrz fnal gerada bem-condconada, cua resolução ege esforço computaconal menor que o empregado pela técnca convenconal de sub-regões no MEC. O método é aplcável na ntrodução de outras subregões, como na colocação de túnes e de elementos de fundação. Alguns outros trabalhos usam formulações que não foram classfcadas dentre as quatro apresentadas, em vrtude da escassa lteratura sobre os procedmentos empregados. Cta-se o modelo de CIN & COW (990, que emprega o MEC; entretanto a solução fundamental usada é a obtda no artgo de CAN et al. (97. FRASER & WARDLE (976 empregam uma técnca, que é uma varante do MEF, mas usando as funções ponderadoras de meo sem-nfnto, denomnada de apromação por elemento de superfíce, em que é possível consderar a não-homogenedade do solo, e somente a porção da sua regão onde este carregamento precsa ser dscretzada. Analsa-se, então, a nteração entre fundação formada por rader fleível e solo não-homogêneo sobre uma base rígda. SADECA (000 consdera um modelo para o solo, que é uma generalzação dreta da teora de Vlasov para dversas camadas, em que são ntroduzdas funções de peso não-lneares para os deslocamentos ao longo da profunddade dos estratos, e admte-se a nfluênca da placa apoada sobre a

28 - Consderações ncas e revsão bblográfca 0 superfíce lvre do solo usando o MEF e o método dos elementos nfntos para a regão fora de contato entre placa-solo. AN (997 aplca o MEC trdmensonal para a análse de meos semnfntos estratfcados, mas usa as funções de reen para não ter que empregar as técncas de sub-regões para os dversos meos com propredades físcas dferentes. A formulação é combnada com o método da matrz propagadora, e as suas soluções são epressas em termos de ntegras nfntas, que envolvem funções de Bessel. Entretanto esta formulação não permte a ncorporação de outros elementos enrecedores no macço, e as camadas do solo só podem ser estratfcadas horzontalmente. á também uma outra lnha de trabalhos em que alguns autores procuram ntegrar os procedmentos empregados no modelo de Wnkler e os modelos contínuos. Isto é feto ntroduzndo contnudade entre os elementos dscretos de mola por meo de elementos estruturas, ou aplcando nos modelos contínuos algumas smplfcações, mas calbradas com valores de deslocamentos ou tensões reas. Nessa lnha, têm-se os modelos de: fundação de eteny s, encontrado em ETENYI (950; fundação de asternak, vsto em ERR (96 e WAN et al. (00; fundação generalzada, encontrado em ERR (96; e fundação de err, vsto no trabalho de ERR (965. No Brasl, alguns pesqusadores também têm analsado o comportamento dos meos estratfcados com a camada do ndeslocável em uma posção fnta. Assm, acontece no trabalho de AOI & LOES (975 que avalam as tensões e deslocamentos para fundações profundas conforme apresentado em OLOS (968b; e de REIS (000, que utlza o procedmento de AOI & LOES (975 aplcado para fundações rasas. ROMANEL et al. (000 aplcam o MEF no domíno transformado de Fourer, o que faz com que o problema D sea analsado em D, e avalado o comportamento mecânco de fundações do tpo rader sobre um meo fnto. ROMANEL & ND (990 aplcam as funções de reen para a análse da

29 - Consderações ncas e revsão bblográfca nteração solo de multcamadas-estrutura em casos bdmensonas dnâmcos va MEF. MORA (995 desenvolveu uma metodologa para a análse da nteração solo-estrutura em que o edfíco D fo modelado empregando-se a formulação matrcal com elementos de barras para as vgas e os plares, e em que as laes são consderadas como dafragmas rígdos. Empregou-se a técnca da subestruturação para a smulação do edfíco. A fundação é composta por elementos de sapata e o solo homogêneo de camada fnta é modelado conforme procedmento de AOI & LOES (975. SMÃO (990 aplca os procedmentos de AOI & LOES (975 à análse de recalques de edfícos planos apoados sobre solo de espessura fnta e não-homogêneo. MESQITA & CODA (000 e LEITE et al. (00 analsam o solo apoado em uma camada fnta aplcando o MEC bdmensonal. Assm, o prmero trabalho ctado avala o comportamento de um pórtco plano apoado sobre duas sapatas, cada uma das quas colocada sobre um meo fnto com propredades físcas dferentes. No segundo trabalho, os autores nserem no meo fnto um elemento enrecedor que representa a estaca. ANTNES & IWAMOTO (000 aplcam os procedmentos de OLOS (968b para a modelagem do meo não-homogêneo apoado em uma camada fnta. Aplcam-se então ncrementos de carga, e a ponta da estaca será moblzada após toda a moblzação do fuste ocorrer. OLANDA JR. (998 faz análse da nteração solo-estrutura para edfícos de concreto armado sobre fundações dretas, em que o solo é suposto homogêneo e apoado a uma cota com plano ndeslocável, empregando o modelo proposto por OLOS (967. Como se pode perceber, mutas dferentes técncas foram e são empregadas para a modelagem do meo não homogêneo assocado ou não a elementos de fundação.

30 - Consderações ncas e revsão bblográfca Entretanto, a grande maora dos procedmentos descrtos apresentam certas restrções. Algumas formulações não permtem ou tornam complcada a nclusão de elementos de fundações; outras só são váldas para certas condções de smetra quer de ações, quer de forma. Têm-se também aquelas que apenas permtem análses elástcas ou alguma restrção cnemátca, por eemplo, a não-nclusão de deslzamento relatvo entre os dferentes meos em contato. É fato que a modelagem de meo fnto não-homogêneo representa um problema da mecânca dos sóldos altamente compleo, em vrtude de que não houve controle tecnológco para a formação de seu materal, como acontece, por eemplo, na confecção do aço ou mesmo do concreto armado. Mas, sm, sua formação se deu em função das dversas condções de ntempersmo sobre as rochas, o que tornou o meo altamente heterogêneo e ansótropo, de aparênca caótca e com descontnudades presentes ao longo de seu volume. Dessa forma, para uma representação mas próma das condções reas do solo, é necessáro empregar as les consttutvas adequadas, smular as confgurações de manera que se moldam ao longo do macço, procurando: a ntegrar os dferentes subespaços - cada qual com suas característcas sótropas ou ansotrópcas semelhantes - para formarem o meo como um todo; b permtr a nclusão dos dversos elementos de fundações estentes com suas les de contato estentes; c garantr o acoplamento das superestruturas; e d possbltar a modelagem de túnes. Neste conteto, o emprego dos métodos numércos é a ferramenta mas completa e prátca para a possível smulação destas condções. Como á fo salentado, o MEF representa uma técnca muto custosa para esta modelagem, em vrtude da obrgatoredade de dscretzação em elementos trdmensonas do solo, fnto na vertcal, mas nfnto nas dreções radas, até as regões consderadas moblzadas pelas ações aplcadas. or outro lado, o uso do MEC, além de dmnur a dscretzação do problema em uma dmensão, ou sea, dscretzação do problema D com elementos planos, ele emprega soluções

31 - Consderações ncas e revsão bblográfca ponderadoras que á são atenddas a dstâncas não perturbadas. E, também, é possível encontrar com facldade, na lteratura corrente, os procedmentos para se ncorporarem as dversas les reológcas e cnemátcas para se modelar com mas realsmo o compleo meo, que é o macço de solos. Assm, o emprego do MEC com a solução fundamental de elvn é um dos possíves camnhos para esta modelagem. O grande gargalo da representação numérca computaconal na smulação de problemas compleos quer va métodos de domíno (MEF, quer de contorno (MEC, é a enorme geração de dados que deverão ser armazenados e operaconalzados dentro do computador, e cua análse, dependendo do modelo empregado, pode levar das para a obtenção das respostas. Mas, hoe em da, o crescmento da tecnologa aplcada nos componentes mcroeletrôncos dos computadores causou a dmnução do custo, maor velocdade de operações de dados em ponto flutuante por segundo, sstemas mas efcentes de transferênca de dados entre memóras vrtuas e físcas (sstemas de barramentos, aumento dos espaços para armazenamento de dados nas dversas memóras estentes, e também, mas recentemente, maor facldade para o emprego de conunto de computadores, resolvendo um mesmo problema: computação paralela. Tudo sso tem levado os pesqusadores a aplcarem com mas ênfase os métodos numércos no campo da mecânca dos sóldos, á que eles egem um tratamento matemátco e de mplementação mas fácl, sem a perda de generaldade do modelo a ser smulado. Neste conteto, NOOR (997 apresenta um ecelente estudo sobre o mpacto que tas máqunas têm causado no campo da análse estrutural, enfatzando os avanços na mcroeletrônca e na tecnologa de redes, no paradgma da nteração homem-máquna e técncas, avanços em ambentes de programação, algortmos numércos e estratégas computaconas para os novos sstemas de computação.

32 - Consderações ncas e revsão bblográfca Assm, pelo que fo eposto ao longo desta revsão, fca claro o emprego do MEC no presente trabalho, método que emprega a solução trdmensonal de elvn, de modo que a representação do macço de solos não-homogêneo será tomada conforme o procedmento proposto por MAIER & NOVATI (987, mas estenddo à análse trdmensonal e novando esta técnca com a nclusão de sub-regões, também trdmensonas, que smulem os elementos de fundação estacas, sapatas, tubulões, buracos, túnes - e que venham a ultrapassar ou não as dferentes camadas. Entretanto, essa formulação não consdera o deslzamento relatvo entre estes meos. ara avalar o efeto do sstema superestrutura/subestrutura/macço de solos, é realzado o acoplamento do sstema solo/subestrutura com a superestrutura, smulada va MEF com elementos convenconas de lâmna, sendo todo o sstema consderado com a teora elastostátca lnear. Em face da grande quantdade de dados gerados para todo o modelo e do alto número de operações numércas envolvdas ao longo da montagem do sstema fnal, emprega-se a técnca de decomposção em domíno, de modo que os dferentes subdomínos (sub-regões são montados smultaneamente va uso de sstemas computaconas em paralelo, do tpo memóra dstrbuída. No acoplamento MEC/MEF, o sstema fnal - dependendo da lgação entre as estruturas pode gerar uma matrz esparsa, e neste caso é aplcada uma rotna específca para este tpo especal de matrz, uma vez que sto traz também uma maor rapdez para a resolução do sstema lnear.

33 Capítulo MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO. Introdução Este capítulo tem o ntuto de apresentar sucntamente a formulação do método dos elementos de contorno (MEC para a análse de problemas trdmensonas em teora estátca lnear. Salenta-se que o desenvolvmento fo dreconado para as consderações adotadas para a presente formulação empregada ao longo do trabalho. ara um entendmento mas completo e geral do método, ctam-se os trabalhos de BESOS (987, VENTRINI (988, BREBBIA & DOMINEZ (989, CODA (000 e MENDONÇA (00.. Relações báscas do problema elástco lnear O estado de tensões de um elemento nfntesmal dentro de um sóldo de domíno fnto e contorno Γ é representado por um tensor de segunda ordem composto por nove componentes. Mas quando se aplcam as equações de equlíbro de momento neste elemento nfntesmal, desde que não haa momento de corpo, verfca-se a smetra das tensões csalhantes, ou sea, em termos ndcas: σ ( s σ ( s,,, (.

34 - Método dos elementos de contorno 6 Empregando as três condções de equlíbro de forças neste elemento nfntesmal, pode-se epressar as equações dferencas que regem o problema da segunte forma: σ, ( s b ( s 0,,, (. onde s é um ponto do domíno do corpo e b representa as forças de massa (por undade de volume. É possível relaconar o estado de tensões de um elemento nfntesmal de faces ortogonas com suas componentes localzadas em uma faceta nclnada conhecendo-se apenas os co-senos dretores ( n da normal desta faceta com relação às faces ortogonas do elemento, onde n cos( n,, vara de a ndcando as três dreções cartesanas e n é o vetor normal da faceta nclnada. Assm, pode-se obter as componentes de forças de superfíce do contorno S (vde fgura.. Consderando-se o equlíbro do tetraedro - formado pelas faces ortogonas e a face nclnada - e admtndo-se que as forças de massa dão contrbução de ordem superor, as forças de superfíce são correlaconadas com as tensões de domíno medante a epressão: p ( S σ ( s η,,, (. Quando sobre o sóldo atuam ações eternas, este sofre mudança de posção e/ou de dmensões, representadas pelas componentes de deslocamentos u (s. Esses deslocamentos podem ser decompostos em duas parcelas. A prmera, denomnada de deslocamento de corpo rígdo, não ntroduzndo nenhuma varação de forma e de dmensão no corpo, e assm não moblzando o aparecmento de tensões no sóldo. A segunda parcela do deslocamento, assocada à mudança de forma e de dmensões, leva ao aparecmento das tensões dentro do sóldo. Esta parcela é epressa em termos da taa de varação de uma confguração deformada com a

35 - Método dos elementos de contorno 7 ndeformada, medndo-se, assm, a deformação lnear específca (ou alongamento lnear e/ou angular (ou dstorção do corpo. Esta taa de varação de deslocamento é epresso por um tensor gradente da deformação que, para o campo dos pequenos deslocamentos e seus gradentes sufcentemente pequenos, pode-se apenas consderar os termos de prmera ordem, e defnr assm as deformações lneares (homogêneas do corpo. Este tensor, denomnado de tensor de deformações específcas de Cauchy, é relaconado com as componentes do deslocamento por: ε s ( u, ( s u ( s,,, (, (. onde u são os deslocamentos ao longo da dreção, e ε são as deformações específcas assocadas ao elemento nfntesmal localzado no ponto s. O corpo sob efeto de ações eternas quer de forças de campo, quer de forças de superfíce ou deslocamentos mpostos, sofre deformações que rão se desenvolver ao longo do corpo conforme a natureza de seu materal. Assm, admtndo-se o campo de deslocamentos e de tensões contínuos e unívocos, é possível relaconar os dos estados medante as relações consttutvas. ara o caso mas smples da relação entre tensão e deformação, as hpóteses admtdas para a natureza do materal são de: homogenedade, que admte que todo o materal tenha as mesmas propredades físcas; sotropa, que garante que em qualquer ponto do corpo as propredades são as mesmas sem referênca à dreção; e lneardade elástca entre tensão e deformação. Com essas hpóteses, e admtndo que não haa mudanças de temperaturas, a fórmula ndcal a segur epressa as les consttutvas usadas para esse corpo: σ ( s λ δ ε ( s µ ε ( s,, k,, kk (.5 onde λ e µ são as constantes de Lamé, que podem ser epressas em função dos módulos de elastcdade longtudnal, transversal e o coefcente de osson, respectvamente, E, e ν.

36 - Método dos elementos de contorno 8 ν E λ, ( ν ( ν µ E ( ν (.6 E podendo-se também escrever a equação.5 da segunte manera: σ ( s c ε,, k, l,, kl kl (.7 onde c é o tensor consttutvo de quarta ordem. kl Com o uso das relações de equlíbro (., unto com as equações que relaconam deslocamento e deformações (., mas as relações consttutvas entre tensão e deformação (.5, podem ser epressas as equações de equlíbro em termos de deslocamento, relações conhecdas como equações de Naver: (, ( b s u s u, ( s 0,,, ν (.8 onde se é possível aplcar três dferentes tpos de condções de contorno nas equações de Naver: as condções de Frontera de Drchlet: u u onde Γ Γ,, u (.9 as condções de Frontera de Neumann: p p onde Γ Γ,, p (.0 as condções de Frontera msta: u u em Γ,, u (. p p em Γ,, p (. onde Γ Γ. u Γ p

37 - Método dos elementos de contorno 9 Γ p S s p,u p,u η Γ u p,u Fgura. Representação de um sóldo com condções de contorno mstas.. Representação das equações de equlíbro no contorno As representações das equações de Naver em forma de equações ntegras podem ser obtdas com a utlzação das técncas dos resíduos ponderados ou, como será aplcado neste teto, pelo o Teorema da Recprocdade de Bett (TRB. elo TRB, pode-se epressar a relação de gualdade entre dos campos dstntos de tensões medante a aplcação do prncípo dos trabalhos vrtuas. Sea então um campo representado pelo estado real de deslocamentos, deformações e tensões que se desenvolvem em um corpo elástco sótropo de domíno e contorno Γ, sob a ação de trabalho eterno. Consdere-se, também, um estado de forças fctícas atuando neste mesmo corpo em um ponto genérco p do domíno. Os campos vrtuas que se desenvolvem em função deste estado vrtual são os deslocamentos, as deformações e as tensões vrtuas que também devem atender as relações (. e (.7. Tem-se, desta forma, as varáves relatvas ao problema real, ou sea: σ ( s, u ( s, ε ( s para os campos desenvolvdos no ponto s ; e as forças atuantes b ( s, p ( S. E para um estado vrtual, ndcado com o sobrescrto *, os campos desenvolvdos devdos a uma força untára aplcada na dreção k são: * * * σ ( p, s, u ( p, s, ε ( p, s.

38 - Método dos elementos de contorno 0 Esses dos estados podem ser relaconados fazendo-se uso da relação (.7, que é reescrta abao: σ ( s c ε,, k, l,, kl kl (.7 e para o estado vrtual: σ * * ( s c ε kl,, k, l,, kl (. de modo que eles podem ser relaconados como: σ ( s ε * c kl ε ε kl * ε ( c kl kl ε *,, k, l,, (. e sabendo-se que o tensor consttutvo é smétrco, é possível se escrever: * σ ε * ε σ d,,, (.5 Integrando-se por partes ambos os lado da epressão (.5, e levando-se em conta as relações (., (. e (.6, chega-se ao o Teorema da Recprocdade de Bett, que relacona dos dferentes problemas elástcos estabelecdos dentro do mesmo domíno: b * k u k d p * k u k dγ b k u * k d p k u * k dγ k,, (.6 As forças de volume do estado vrtual podem ser assocadas a cargas untáras concentradas aplcadas no ponto p * em cada uma das três dreções ortogonas, e são defndas como uma função Delta de Drac de modo que se tem: b * k δ ( p, s δ k,,, k (.7 onde δ é a função Delta de ronecker, e δ(p,s é a função de Drac, que por defnção tem as seguntes propredades:

39 - Método dos elementos de contorno ( (, ( ;,, ( ; 0,, ( p f d s f s p e s p se s p s p se s p δ δ δ (.8 Aplcando a epressão (.7 na prmera ntegral de (.6, e defnndo e como os deslocamentos e forças de superfíce na dreção no ponto p, devdo à uma força untára aplcada na dreção no ponto s, chega-se a:, ( * s p u k, ( * s p p k,,, ( (, ( ( (, ( ( (, ( ( * * * Γ Γ Γ Γ k s d s b s p u S d S p S p u S d S u S p p p u k k k k (.9 Essa relação é conhecda como Identdade Somglana e é a representação ntegral de deslocamentos dos pontos nternos ao sóldo em termos de valores de contorno. A relação (.9 é a solução da equação de Naver (.7, onde se adotou aplcar a força untára em um ponto S no contorno do domíno ou fora deste. Entretanto, os valores do contorno não podem ser obtdos anda, uma vez que o prmero termo da equação (.9 está assocado a valores nternos ao domíno. Assm, a estratéga que se adota para representar as equações ntegras com valores apenas assocados ao contorno S, consste em levar p - que está no nteror do corpo - para uma regão no contorno. Isto é feto somando-se um domíno nfntesmal de modo que o ponto de contorno fque sendo um ponto de domíno (vde fgura.. Com a ntrodução deste novo domíno ( ε e deste novo contorno nfntesmal (Γ - Γ Γ ε a Identdade Somglana, equação (.9, é reescrta como: ( (, ( ( (, ( ( (, ( ( * * 0 * 0 s d s b s u S d S p S u m S d S u S p m p u k k k k Γ Γ ΓΓΓ ΓΓΓ ε ε ε ε ε l l (.0

40 - Método dos elementos de contorno s p ε ε Γ ε Γ Γ- Fgura. - Domíno acrescdo de complemento nfntesmal para o caso D. quando ε 0, a parcela abao tende a zero, ou sea: l m ε * k 0 u (, S p ( S dγ( S 0 k,,, Γε (. enquanto que l m ε * * 0 uk(, S p ( S Γ( S uk(, S p ( S Γ( S k,,, ΓΓ Γ (. e a parcela l m ε * k * k 0 p (, S u ( S dγ( S p (, S u ( S dγ( S k,,, ΓΓ Γ (. apresenta uma sngulardade que é nterpretada no sentdo de valor prncpal de Cauchy, e deve ser tratada cudadosamente para cada solução fundamental. O últmo termo da ntegral de contorno é dado por: Γε p * k (, S u ( S dγ( S C k ( u ( k,,, (. onde C são coefcentes de uma matrz, denomnados termos lvre de ntegração, k os quas dependem da geometra do contorno (vde ARTMANN (980.

41 - Método dos elementos de contorno Desse modo, chega-se a representação da equação de equlíbro no contorno que é escrta como: C k ( u k ( Γ p * k (, S u ( S dγ( S Γ u * k (, S p ( S dγ( S u * k (, s b ( s d( s (.5. A solução fundamental trdmensonal de elvn A solução de elvn (LOVE (9, corresponde à obtenção das soluções das equações de equlíbro (.7 para um corpo sóldo esférco de rao nfnto para a aplcação de um conugado de forças ortogonas e pontuas dentro do corpo, com a condção de que os deslocamentos tendam a zero em dstâncas nfntas da ordem de pelo menos r. As perturbações locas que aparecem na vznhança do ponto de aplcação levam a sngulardades nas soluções fundamentas, tendo-se que ser tratadas adequadamente. Entretanto, pelo prncípo de Sant-Venant, as dstâncas sufcentemente afastadas do ponto de aplcação da força causam os deslocamentos e as tensões ndependentemente da forma de sua aplcação. Assm, a solução fundamental de elvn é a formulação mas geral para um corpo homogêneo e sótropo de geometra arbtrára, sendo que os campos moblzados de deslocamentos e tensões que ocorrem em um ponto S ponto campo - devdo a uma força untára aplcada em ponto fonte - são dados, respectvamente, por: p * k u * k (, S ( ν k r, k r, 6π( ν r δ (, S { r, (,, ( ( n ν δ k r k r ν ηkr, ηr, 8π ( ν r k } (.6 (.7 onde k é a dreção de aplcação da força e é a dreção do campo moblzado, varando de a para o caso trdmensonal, e r X ( X ( S ; r r r, ;

42 - Método dos elementos de contorno r r, n η ; η r r e η k é o co-seno dretor da normal ao contorno S em relação à dreção k... Termo lvre e pontos no domíno O termo, representado na epressão (., corresponde a uma parcela obtda pelo cálculo de uma das ntegras de superfíce sobre uma regão esférca, e seus valores dependem da geometra do contorno do ponto em questão. Em ARTMANN (980, é apresentado o procedmento usado para se obter esta ntegral. Assm, reescrevendo-se a relação (.: Γε p * k (, S u ( S dγ( S C k ( u ( k,,, (. onde C k, para o caso trdmensonal, é uma matrz ( que depende da posção do ponto e de seu octante. Em relação à posção desse ponto, três stuações dstntas podem surgr: C k I ( C 0 k se ( se (.8 se Γ fora do corpo onde I é a matrz dentdade e 0 é a matrz nula. Os valores da matrz de termos lvres, quando o ponto está sobre o contorno, podem ser determnados pelo cálculo da ntegral da epressão apresentada em ARTMANN (980, pg. 7. No caso de os vértces serem ortogonas, os coefcentes da matrz C podem ser de três tpos: a Metade de uma esfera (contorno suave:

43 - Método dos elementos de contorno 5 π π π π ( C k b Quarto de esfera (borda: π υ υ π π π ( C k c Otavo de esfera (canto: π υ υ υ π υ υ υ π π 8 ( C k Fgura. Valores dos termos da matrz C para três casos de cantos ortogonas. Os valores apresentados da matrz C são váldos para uma posção do vértce no prmero octante da esfera, e para os outros octantes, os termos das matrzes apresentadas nos três casos anterores serão alterados em snas conforme as normas de seu octante. ma forma de se determnar os snas corretos dos termos é alterar na epressão de ARTMANN (980, pg. 7 os snas dos valores trgonométrcos conforme os ângulos esfércos determnados pela posção de seu octante.

44 - Método dos elementos de contorno 6 Após se conhecer os valores de contorno, os deslocamentos de domíno podem ser calculados aplcando-se dretamente a Identdade Somglana (.9, e, para o cálculo das tensões no domíno do corpo, é necessáro dferencar a equação (.9, e para um ponto s do domíno tem-se: σ ( s S k ( p, S uk ( S dγ Dk ( p, S pk ( S dγ,, k,, (.9 Γ Γ sendo os tensores D e S para o caso D, respectvamente dados por: k k D k {( ν δ,,,,,, },,,, kr δ kr δr k r krr k 8π ( ν r (.0 S k π ( ν r {r, n ( ν δ r, k ν ( δ r k, δ r k, 5r r r, k,, (. ν ( η r r,, k η r r,, k ( ν (η r r k,, η δ k η δ ( ν η δ } k k,, k,, A equação (.9 para obtenção das tensões no domíno não apresenta termos sngulares, entretanto para pontos mutos prómos do contorno - ou no caso de se querer calcular as tensões de contato entre dos meos dferentes em vrtude da grande promdade entre o ponto de domíno s e o de contorno S, os tensores ndcados nas relações (.0 e (. possuem núcleos da ordem de r e r, sendo necessáro empregar ntegrações numércas especas para se obter respostas precsas de tensões. E, para se obter os campos de deslocamentos do domíno emprega-se a relação (.9..5 Método dos elementos de contorno ara a determnação do campo de deslocamentos e de tensões em um corpo sob condções de contorno e forças aplcadas genércas, em geral, a solução analítca destas equações dferencas parcas não é possível. Consderase, então, campos dscretos no contorno assocados a parâmetros nodas que representem funções apromadas dos campos de deslocamentos e de forças de

45 - Método dos elementos de contorno 7 superfíce. Estes campos dscretos serão ndcados por elementos que devem moldar o contorno do corpo. Desta manera, com os campos apromados do contorno, é possível representar as equações ntegras de contorno em equações algébrcas escrtas em termos dos parâmetros dscretos de deslocamentos e de forças de superfíce. Assm, o Método dos Elementos de Contorno (MEC se basea na montagem de um sstema algébrco advndo da determnação das equações ntegras de contorno da relação (.5, escrtas em termos de parâmetros dscretos, tanto de deslocamentos como de forças de superfíce. Destaca-se que, para a montagem deste sstema algébrco, é necessáro aplcar o mesmo número de estados fundamentas (vrtuas que o necessáro para obter os estados reas apromados, sendo que todo o contorno é representado por elementos, assm para o caso D, os elementos têm que ser de geometra de superfíce (D..5. Elemento de superfíce Nesse trabalho fo adotado o elemento de superfíce trangular plano. Este elemento á é bem conhecdo na lteratura, prncpalmente aplcado à resolução de problemas planos pelo método dos elementos fntos (ver SAVASSI (996. As varáves nodas de contorno estão localzadas nos vértces do elemento e para se conhecer a posção e os co-senos dretores deste elemento, basta dentfcar as coordenadas cartesanas dos vértces no espaço D. Adotando-se ' um dos vértces como uma orgem cartesana local ( O e um lado deste elemento que passe por esta orgem como um eo local, é possível - medante produtos vetoras entre este vetor eo e seus eos perpendculares - calcular estes cosenos dreconas (ver detalhes em Onãte (995.

46 - Método dos elementos de contorno 8 X X X (0; ; 0 ξ X ξ (; 0; 0 X (0; 0; a b Fgura. - a eometra do elemento e sstemas de coordenadas; b Coordenadas oblíquas. Além das coordenadas cartesanas (fgura.a, costuma-se utlzar também um sstema homogêneo ou oblíquo que faclta o cálculo das ntegras, pos assm os lmtes de ntegração fcam os mesmos, alterando apenas o Jacobano de cada elemento. A localzação deste sstema oblíquo no plano do elemento pode ser vsualzado na fgura.b. Sendo assm, a posção (S sobre o elemento é correlaconada, pelas suas coordenadas nodas, à ponderação das funções nterpoladoras. Ou sea: Ψ X S X Ψ ( ξ, ξ X Ψ ( ξ, ξ X Ψ ( ξ, ξ (. ( ψ ψ ψ Fgura.5 - Funções nterpoladoras adotadas. Como a varação adotada para a função nterpoladora é lnear (fgura.5, pode-se calcular esta função em coordenadas homogêneas por: Ψ ( ξ, ξ αξ βξ γ (.

47 - Método dos elementos de contorno 9 mpondo as condções de contorno de modo que Ψ,0, Ψ (0, 0 e Ψ (0,0 0, ξ ( Ψ ( ξ ξ (. Ψ (,0 0, Ψ (0, e Ψ (0,0 0 Ψ (,0 0, Ψ (0, 0 e Ψ (0,0 Ψ ( ξ ξ (.5, ξ, ξ Ψ ( ξ ξ (.6 Assm, tendo-se em vsta (., (.5 e (.6, a função ponderadora é dada por: Ψ ( ξ, ξ ξ,, (.7 e a relação (. pode ser representada matrcalmente por: X X X ( S ξ ( S 0 ( S 0 ξ 0 0 ξ ξ 0 0 ξ 0 0 ξ ξ 0 0 ξ X X X 0 X 0 X ξ X X X X (.8 ou T n { X ( S } Ψ( { X }, n,, ξ n (.9 onde n é o vértce do elemento trangular. As apromações dos parâmetros de contorno para os deslocamentos e para as forças de superfíces são também apromadas nesse sstema homogêneo de referênca, ou sea:

48 - Método dos elementos de contorno 0 T n { ( S } Ψ( { }, n,, ξ n T n { ( S } Ψ( { }, n,, ξ n (.0 (..5. Representação algébrca das equações ntegras de contorno Os campos de deslocamentos e de forças de superfíce epressos pelas relações (.0 e (., respectvamente, são obtdos para cada elemento do contorno Γ, e podem ser escrtos da segunte forma: T n { ( S } Ψ( ξ { },, ; ne n,..., (. T n { ( S } Ψ( ξ { },, ; ne n,..., (. onde ne é o número de elementos do contorno. do contorno Γ e J o acobano da transformação de cada elemento. As equações ntegras de (.5 podem ser escrtas pela forma dscreta sem a consderação de força de domíno, levando-se em consderação as relações (. e (., da segunte manera: C ne k ( u J Γ k u ( * k ne J Γ * k (, S Ψ( S dξ ( S ( p (, S Ψ( S dξ ( S (, k,, (. onde J é o acobano da transformação de coordenadas do elemento. ode-se, então, montar um sstema matrcal, de forma que a epressão (. fque do tpo: (.5 onde (.6

49 - Método dos elementos de contorno sendo a matrz dagonal formada pela matrz dos termos lvres C - conferda nas respectvas posções de cada elemento. Se o ponto de orgem estver fora do contorno, então esta matrz ( é nula, em função das propredades da matrz C. As matrzes e são dadas por: ne J Γ p * k (, S Ψ( S dξ ( S (.7, k,, ne * J uk (, S Ψ( S dξ ( S Γ, k,, (.8 Lembrando-se que, para cada ponto de orgem no contorno, o elemento a ser ntegrado que contenha este ponto, na parcela da ntegral de, possu uma sngulardade forte que deve ser tratada como valor prncpal de Cauchy. As condções de contorno para cada problema devem contemplar, obrgatoramente, para cada ponto nodal, as condções de frontera ndcadas nas relações (.9, (.0, (. ou (.. Então, metade das ncógntas da epressão (. são conhecdas. ortanto, é possível reagrupá-las da segunte manera: A X B (.9 onde a matrz A contém valores referentes às nfluêncas tanto das forças de superfíce quanto às parcelas de deslocamentos, e essa matrz é densa e nãosmétrca. O vetor X contém os valores ncógntos de cada ponto nodal ou de deslocamento ou de força de superfíce, e o vetor B possu os valores prescrtos á multplcados pelas suas correspondentes parcelas ntegras. Fnalmente, com os valores de contorno conhecdos, pode se obter os valores nternos das tensões medante a utlzação das equações (.9 e ( Integração numérca e subelementação A ntegração numérca com o ponto eterno ao domíno é um procedmento alternatvo empregado para se evtar a realzação das ntegras analítcas. Além do

50 - Método dos elementos de contorno fato de não se ter que calcular a parcela do termo lvre, prncpalmente para o problema D, onde para o caso geral se requer um trabalho não tão medato. Assm sendo, as parcelas das ntegras de contorno, que são epressas pelas relações (.8 e (.9, fcam representadas pelas coordenadas dos pontos de ntegração: ξ e de fatores de peso w - assocados a esta posção, e em BREBBIA & DOMINEZ (989 são tabelados estes pontos para as coordenadas oblíquas. Ou sea, as parcelas da matrz h e g fcam para cada elemento: ne n m J w m * k m m m m p (, S Ψ( ξ, ξ, ξ, k,, (.50 ne n m J w m * k m m m m u (, S Ψ( ξ, ξ, ξ, k,, (.5 onde n é o número de pontos de ammer, é a posção do ponto de ntegração que representa o ponto campo para o cálculo da nfluênca da solução fundamental. m S Quando o ponto fonte está muto perto ao elemento a ser ntegrado, é comum utlzar nesta regão uma ntegração mas refnada. Assm, costuma-se empregar a técnca da subelementação convenconal que nada mas é do que dvdr estes elementos quase-sngulares em outros menores. Isso faz com que sea possível ntroduzr em cada novo subelemento mas pontos de ntegração. O método convenconal empregado é a dvsão de forma regular dentro do elemento (ver fgura.6. ara este caso, os novos elementos crados não apresentarão novos parâmetros, mas seus pontos de ntegração serão assocados às varáves nodas dos vértces. Ou sea, reescrevendo-se a relação (.9: T n { X ( S } Ψ( { X }, n,, ξ n (.9

51 - Método dos elementos de contorno ξ ξ { } ξ ξ Fgura.6 - Subelementação regular e coordenadas locas e globas. VALORES DE para a dstânca (/0L VALORES DE para a dstânca (/0L VALORES DE para a dstânca (/L Fgura.7 - ráfcos das ntegras no elemento quase-sngular; ponto fora a /0L ponto fora a /0L; ponto fora a /L (L é maor lado.

52 - Método dos elementos de contorno pode-se, então, escrever para uma mudança de sstema: T n { ( S } Ψ( { }, n ξ,, n (.5 o nde (S, n são - respectvamente - as coordenadas e os parâmetros dos vértces de cada subelemento, ξ n é o sstema homogêneo posconado em um sstema oblíquo local do subelemento (vde fgura.6. ode-se escrever, então: T { } Ψ { X n } n (, n,, (.5 ξ n Confrontando-se (.5 com (.5, chega-se a: Ψ ( ξ Ψ( ξ Ψ( ξ n,, n n n (.5 E, então { } n ( S Ψ( { X }, n,, ξ n (.55 sendo que a matrz que relacona as coordenadas homogêneas local com a global do subelemento k é dada por Ψ ( ξ n k ξ ξ ξ k ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ k ξ ξ ξ k (.56 Assm, fo desenvolvda uma rotna em que, medante o número de dvsões do elemento quase-sngular, é calculado o número de subelementos e as ntegras numércas são realzadas. ara este caso as pa rcelas de Ĥ e fcam: ne ns n J l m w ns m * k m m m m p (, S Ψ( ξ, ξ, ξ, k,, (.57

53 - Método dos elementos de contorno 5 ne ns n l m J ns w m * k m m m m u (, S Ψ( ξ, ξ, ξ, k,, (.58 onde ns é o número total de subelementos. Entretanto, este procedmento é muto dspendoso computaconalmente, e, conforme pode ser notado nas fguras (.7-, para os pontos muto prómos do elemento quase-sngular, o comportamento do termo (/r do ntegrando das equações (.7 e (.8 são muto domnantes. Assm, o que melhor representara a subdvsão deste elemento sera aumentar a densdade dos subelementos nesta regão dmnundo-a progressvamente ao se dstancar do ponto fonte. Sob este enfoque, alguns trabalhos á foram desenvolvdos para melhorar esta ntegração, ctando-se, por eemplos, os artgos de AN & CRSE (99, LACAT & WATSON (976, MSTOE (98, JN et al. (985, TELLES (987 e SOZA et al. (00. Onde SOZA et al. (00 aplcam a ntegração numérca undmensonal, va quadratura de auss, tanto para o ângulo como para o rao. Sendo que é realzada uma subelementação auto-adaptatva para a ntegração radal, assm quanto mas longe do ponto fonte, menos elementos e menos pontos de ntegração se utlzam. Quanto a esse aspecto, neste presente trabalho também se propõe uma técnca de subelementação progressva para os elementos trangulares. Entretanto, a técnca aqu proposta subdvde o elemento quase-sngular em trângulos menores de forma que se concentrem mas subelementos prómo ao ponto fonte, e, conforme se dstance deste, a densdade da malha va dmnundo tanto no aumento do tamanho do elemento como também no número de pontos de ntegração. Na fgura.8, mostra-se um eemplo de uma densdade adotada bem como dos parâmetros necessáros para sua montagem.

54 - Método dos elementos de contorno 6 N de camadas (NC N de subcamadas (NS: Camada : NS( 0 Camada : NS( Camada : NS( Fgura.8 - Subelementação progressva para a posção e parâmetros necessáros. A posção da subelementação mas refnada acompanha a localzação do ponto fonte. Desta forma, pode-se mostrar que as parcelas de Ĥ e são dadas por: ne NC NS ( l n l t ( NS( t NC m J w m p * k (, S m m m m Ψ( ξ, ξ, ξ, k,, (.59 ne NC NS ( l n l t ( NS( t NC m J w m u * k (, S m m m m Ψ( ξ, ξ, ξ, k,,. (.60 Onde NC é o número de camadas do elemento e NS(NC é o vetor que contém o número de subcamadas de cada camada NC..5. Integração analítca ara o caso em que o ponto de colocação estea stuado sobre o contorno (Γ, as ntegras epressas em (.7 e (.8 podem ser tratadas semanaltcamente.

55 - Método dos elementos de contorno 7 ma técnca bem utlzada para calcular estas ntegras (ver BARBIRATO (999 é medante uma transformação de coordenadas, passando de um sstema cartesano (,y,z para o sstema polar (r,θ, sendo que a varável r é ntegrada analtcamente enquanto a varável θ é feta numercamente. Assm, á escrevendo as relações (.7 e (.8 neste novo sstema de coordenadas, levando-se em conta que d Γ r dr dθ (.6 tem-se, para um elemento genérco k 8π ( ν r Γ ( ν ( ηk r, ηr, k ξl drdθ k,,, (.6 k ( ν δ 6π( ν Γ k r, k r, ξl drdθ k,,, (.6 As funções ponderadoras escrtas em coordenadas homogêneas podem ser assocadas às coordenadas cartesanas locas do elemento, conforme SAVASSI (996, por: (.6 ξ l α l β l γ l y A onde α l y k k y β l y y k γ ( l,,,, k,, l k E sabendo-se, como é esquematzado na fgura.9, que as coordenadas cartesanas podem ser representadas pelas relações polares: r cosθ (.65 y r senθ

56 - Método dos elementos de contorno 8 ξ X y θ r ( 0,y 0 (,y, ξ X X Fgura.9 - Defnção de parâmetros para a ntegração sngular. ortanto a epressão (.6 é escrta, á se consderando (.65 e se realzando as ntegras em r, assm: β l γ l k k( ν δ k r, k r, α l r cos( θ r sen( θ (.66 drdθ Onde k π ( ν A e A é área do elemento. O termo (.6 por apresentar a sngulardade (/r deve ser tratado como valor prncpal de Cauchy. ara a ntegração em relação à varável angular θ, realza-se um procedmento numérco em que se transforma o domíno do contorno Γ para o contorno do elemento trangular Γ (ver fgura.0. A transformação do contorno Γ para o contorno Γ é dada pelo acobano:

57 - Método dos elementos de contorno 9 dr dθ dγ r dn (.67 Assm, chega-se as relações: k Γ k ( υ δ dr dγ dn k r, k r, α l βl ( 0 γ l ( y y 0 (.68 ^ k k Γ ( υ ( ηk r, ηr, k α l l n( r β l k r γ k l dr dγ dn (.69 para: k 0 l n( r k y y0 l n( r e onde 0 e y 0 representam o ponto de colocação, e a epressão á está em coordenadas globas. Com as epressões apresentadas anterormente, pode-se realzar a ntegração numérca medante a quadratura de auss. Ressalta-se que para o caso do elemento com parâmetros nodas defndos nos vértces do elemento é o caso deste trabalho, a parcela dr / dn para os lados do elemento que estverem adacentes a este vértce é nula. ortanto, realza-se apenas a ntegração numérca no elemento oposto ao ponto de colocação. Fnalmente, são sufcentes poucos pontos de auss para a obtenção de resultados precsos desta ntegração numérca. Neste trabalho adotaram-se pontos de auss.

58 - Método dos elementos de contorno 0 elemento θ elemento r Γ r θ Γ r n n r r n ^ Γ r θ ξ0 Γ L ξ - elemento Fgura.0 - Representação da ntegração do domíno do elemento pelo seu lados..6 Sub-regão m sóldo não-homogêneo pode ser consderado como uma combnação de domínos homogêneos conectados pelos seus contornos em comum (fg... m Sea, então, a relação (.5 aplcada a uma regão genérca m de domíno e contorno Γm m m m m (.70 O sóldo não-homogêneo é formado por m subdomínos ( m nos quas a relação (.70 é válda dentro de seu respectvo domíno. Fgura. - a Representação de um sóldo não -homogêneo. b Condções de nterface entre regões.

59 - Método dos elementos de contorno A análse do sóldo não-homogêneo é realzada, smlarmente ao método dos elementos fntos, fazendo-se a montagem do sstema a partr das contrbuções de cada sub-regão. As ncógntas de deslocamentos e de forças de superfíce nas nterfaces em comum são elmnadas aplcando-se as equações de compatbldade e equlíbro do modelo cnemátco adotado. forma: Assm, gera-se um sstema fnal, á mpostas as condções de contorno da A X B (.7 onde a matrz A possu dmensão gual à soma de todas as dmensões dos subdomínos, subtrando-se uma equação comum em cada grau de lberdade da nterface. Esta matrz, em geral, se torna mas esparsa à medda que os dversos subdomínos esteam mas desacoplados um do outro. Os vetores B e X contêm, respectvamente, as ncógntas e os valores conhecdos do contorno do sóldo formado por váras sub-regões..7 Eemplos numércos dos casos trdmensonas ara avalar a performance do códgo computaconal desenvolvdo na análse de estruturas trdmensonas pelo MEC, são apresentados neste tem eemplos buscados na lteratura e comparados com os resultados analítcos ou com os consegudos em trabalhos usando o MEC ou o MEF. Assm, em cada tem é apresentada a geometra do problema, seus parâmetros físcos, a rede de elementos adotada para os eemplos e os resultados encontrados pelo códgo desenvolvdo e os encontrados por outros autores ou empregando o programa comercal Ansys. ma questão que deve ser ressaltada é em relação a calbração da densdade da subelementação utlzada que, para cada eemplo, fo feta epermentalmente medante o refno progressvo da densdade até se chegar ao ponto ótmo. Isto anda não representa o melhor procedmento a ser adotado e pretende-se mas para frente desenvolver um estudo em que se possa, medante

60 - Método dos elementos de contorno o cálculo do erro dado pela parcela sngular assocado a dstânca do ponto fonte, avalar a melhor densdade a ser adotada. Em todos os eemplos a segur foram empregues elementos de superfíce trangulares planos e com apromação lnear tanto para os deslocamentos como para as forças de superfíce. O valor L que aparece nos eemplos a segur se refere à méda entre os lados do elemento trangular..7. Sóldo traconado Neste eemplo se faz a análse de um sóldo paraleleppédco sendo traconado em uma dreção com força dstrbuída com valor untáro. A fgura. esquematza a geometra e as característcas elástcas do sóldo além da rede admtda para o contorno. Esse eemplo avala um estado puro de tração, e para este caso se conhece com eatdão a dstrbução dos deslocamentos e das tensões. Como a dstrbução de deformações é constante, ou sea, tem-se uma varação lnear dos deslocamentos e que o elemento adotado também apresenta esta varação, a resposta avalada pelo MEC tera que ser eata. A técnca convenconal utlzada para a subelementação é a de dvdr de forma regular os elementos prómos ao ponto de colocação (vde fgura.6, denomnada de SC. ma correlação bastante utlzada é avalar a dstânca (R que va do ponto fonte ao C do elemento, e comparar este valor com a méda dos comprmentos (L m do elemento a ser ntegrado. Esta correlação é dada por BARBIRATO (999 como: 0 R 5 subelementos L m L < R 6 subelementos m L m L < R 9 subelementos m L m R > L m subelementos Fo desenvolvdo um procedmento em que se pode especfcar um número qualquer de subelementos para a realzação da ntegração numérca, assm as

61 - Método dos elementos de contorno tabelas. e. apresentam respostas para casos onde se emprega o algortmo dado pela correlação acma. Entretanto, para o cálculo dos valores nternos foram empregadas as seguntes correlações: 0 R 5 subelementos L m L < R 96 subelementos m L m L < R 69 subelementos m L m R > L m subelementos Assm, avalam-se as respostas do contorno e de valores nternos no sóldo. Comparam-se as respostas eatas com as obtdas pelas dferentes técncas de ntegração do elemento sngular, onde para os elementos não-sngulares, emprego-se ou a correlação dada por BARBIRATO (999 ou a aplcada pela últma correlação apresentada. ara os elementos quase-sngulares, compararam-se as respostas obtdas com o uso das ntegrações numércas computadas va subelementação progressva (S e pela subelementação convenconal (SC, onde as densdades de subelementos usadas para as duas técncas são mostradas na fgura.. q,0 (; ; ontos: A (;; B(;; C(;;0,0 X (; ; 0 X Fgura. - Sóldo apoado em sua base (plano X X e X 0 e com valor de E e υ0,5. Rede adotada para o contorno e coordenadas de pontos de nteresse.

62 - Método dos elementos de contorno Tabela.: Deslocamentos u dos pontos A, B e C do sóldo. Eato Sem analítco 0,05L (S 0,0L (S 0,05L (SC 0,0L (SC A (,0,0000,0006,00,0590,868 B (,0,000,000,995,9985,0 Tabela.: Tensões σ do sóldo. Eato Sem analítco 0,05L (S 0,0L (S 0,05L (SC 0,0L (SC com SC B (,0,0000,000 0,9995 0,999,0 C (,0 0,787,05,086 0,789 0,88 Fgura. - Subelementações empregadas. Os resultados apresentados pelas tabelas. e. demonstram boa concordânca com os valores eatos do problema. A técnca sem-analítca mostrou resultados mas prómos dos eatos. Entretanto, para o caso de se calcular as tensões nternas prómas ao contorno, ponto C, a ntegração numérca usada quando se utlza a correlação apresentada em BARBIRATO (999, levou a um erro relatvo de,8%, mas ao se empregar a correlação apresentada por esse trabalho esse erro cau para,5%.

63 - Método dos elementos de contorno 5 Com respeto ao uso das técncas de ntegração numérca com subelementação, nota-se também muto boa concordânca com os resultados analítcos. Esse eemplo não mostrou dferenças sgnfcatvas quando se emprega ou a SC ou a S. Sendo preferível, nesse caso, usar a técnca de subelementação convenconal, uma vez que o custo computaconal é menor. Ressalta-se que para a dstânca de /00 da méda dos lados de cada elemento do problema entre o ponto fonte o elemento quase-sngular, o uso da SC não apresentou bons resultados. ara o caso de se empregar a técnca de ntegração convenconal, deve-se tomar o mesmo procedmento que cálculo de tensões nternas usada na técnca sem-analítca, onde nesse caso a tensão (σ para o ponto C o erro ca para,75%..7. Vga elástca solctada à fleão Apresenta-se neste tem uma vga elástca engastada em uma etremdade e na outra sendo aplcada uma força perpendcular. A fgura. apresenta os parâmetros elástcos/mecâncos e a geometra da vga. retende-se com esse eemplo avalar o desempenho da formulação aplcada a um problema que envolve o efeto de fleão na análse de um problema em que uma dmensão é superor as outras duas. Na fgura.5 é esquematzada a rede (malha aplcada para dscretzar o contorno, onde a rede possu 7 elementos e 6 nós. São apresentadas, também, as respostas obtdas quando se usa o programa comercal Ansys, onde o tpo de elemento escolhdo é o Sold5 que possu a geometra ou de um sóldo tetraedro ou de um heaedro, e ele contêm 8 nós por elemento, onde se empregou um total de 000 elementos. A tabela. apresenta as resultados obtdos pelas presentes técncas de ntegração sem-analítca e subelementação progressva, de manera que as ntegras quase-sngulares são obtdas usando-se a correlação apresentada por BARBIRATO (999. Essas respostas são confrontadas com as obtdas pelas técncas usadas por SOZA et al. (00, e pela técnca de subelementação

64 - Método dos elementos de contorno 6 regular usada por BARBIRATO (999, sendo que esses autores também usam para os elementos não-sngulares a correlação ctada acma. Destaca-se que BARBIRATO (999 emprega a mesma rede, mas usando nós descontínuos para todos os elementos, portanto, possundo um total de 6 nós. A subelementação empregada para a ntegração progressva é a mesma que se usou no eemplo anteror (vde fgura., apenas mudando o fator da dstânca do ponto fora para 0, vezes a méda dos lados de cada elemento. ( 0; 0; 80 E kn/cm F 000 kn ν 0, X (0; 0; 0 X Fgura. - eometra e valores elástcos da vga engastada no plano (X X e X 0, e confguração da rede. Tabela.: Lnha elástca do sóldo analsado (cm. Eo Numérca Sem SOZA SOZA Barbrato Ansys médo (0,*L analítco et al. (00 et al. (00 (999 Sold5 (0;0;X ISQ MEC 80 0,50 0,0 0,507 0,9 0,50 0,5 60 0,66 0, 0,60 0,55 0,90 0, ,089 0,0707 0,0808 0,077 0,070 0, ,0 0,0 0,06 0,07 0,00 0,0

65 - Método dos elementos de contorno 7 Tabela.: Tensão vertcal (σ para stuações. onto resente correlação para pontos nternos Correlação de Barbrato (999 para pontos nternos Ansys Sold5 A(0,5;0;5 8,8 876,90 76,7 B(5;0;5 0,8 0,8,9 As respostas obtdas na análse pelo Ansys devem ser muto prómas dos valores eatos, pos à medda que se aumentava o refnamento h da rede do sóldo, os valores convergam aos apresentados pelas tabelas. e.. Assm, na tabela. é possível notar que os deslocamentos obtdos quando se emprega a técnca da subelementação progressva se apromam bastante dos valores de comparação. Onde para os deslocamentos mámos do sóldo, as dferenças relatvas foram de 0,0%. ara o caso das tensões (σ, os valores apresentaram dferenças maores que as obtdas para os casos dos deslocamentos, sendo estas dferenças para o ponto A de 0,6% e de 9,0% para o ponto B, quando se emprega a correlação proposta nesse trabalho. É possível se verfcar na tabela. que a correlação empregada por BARBIRATO (999 demonstra que para os pontos nternos muto prómos do contorno ela é nadequada, enquanto que a correlação aqu utlzada mostra-se uma maor establdade nas repostas para estes pontos mas prómos do contorno..7. Ensao de érsel & Adam (967 Este eemplo utlza a técnca da sub-regão convenconal para smular a nteração entre o solo e a estaca. ara a ntegração quase-sngular é empregada a técnca da subelementação progressva, de modo que neste e no prómo eemplo o fator da dstânca do ponto fora é /00 vezes a méda dos lados de cada elemento, e a densdade da dstrbução de subelementos utlzada é a apresentada na fgura.. O eemplo é baseado no ensao de ÉRISEL & ADAM (967, os quas analsam uma estaca cravada em solo argloso, onde o comprmento da estaca é

66 - Método dos elementos de contorno 8 de,65m e seu dâmetro de 0,57m, e os demas dados do problema são apresentados na fgura.5. O solo é representado como um meo sem-nfnto, de modo que se empregou uma rede de elementos apenas na superfíce lvre do meo e ao longo da superfíce da estaca. Como a formulação de contorno, va elvn, não prescreve, a pror, as condções nulas de forças na regão não-carregada, é mperatvo dscretzar esta superfíce lvre até dstâncas consderadas não perturbadas. A fgura.6 apresenta esta rede adotada do solo e da estaca, e esta últma é representada como um elemento na forma de um prsma quadrangular, onde cada face lateral é dscretzada por dos elementos trangulares. Obtveram-se, assm, os resultados de deslocamentos horzontas e forças de contato vertcas entre solo/estaca, representados, respectvamente, nas fguras.7 e.8. Na fgura.7 nota-se uma boa concordânca entre os valores de deslocamentos na presente formulação e os obtdos pelo ensao à medda que se melhora a dscretzação da estaca. M 69 kn.m h 60 kn L,65 m D 0,57 m E estaca,00 7 kn/m E solo 9,0 kn/m ν estaca ν solo 0, L/D E estaca / E solo 66 Fgura.5 Estaca submetda à força horzontal e momento fletor, parâmetros físcos e geométrcos.

67 - Método dos elementos de contorno 9 Fgura.6 Confgurações da rede adotada para o solo e a estaca. 0 Deslocamento horzontal (m -, ,00-0,0 5,00 -,00 -,50 -,00 -,50 - Eo vertcal da Estaca 56 elementos 0 elementos 68 elementos Ensao de érsel & Adam (967 -, ,00-0,0 5,00 -,00 -,50 -,00 -,50 - Fgura.7 Deslocamentos horzontas ao longo do eo da estaca.

68 - Método dos elementos de contorno 50 Eo vertcal da estaca >0 56 elementos 0 elementos 68 elementos Fgura.8 Forças de contato horzontas (kn/m ao longo do eo da estaca..7. Ensao de Whtaker & Cooke Este eemplo é etraído de FERRO (99, o qual compara sua formulação com o ensao de WITAER & COOE, apresentado em OLOS & DAVIS (980. Os pesqusadores ensaaram uma estaca, os seus dados são mostrados na fgura.9, bem como uma perspectva do elemento de fundação adotado pelo presente trabalho. FERRO (99 avala este eemplo empregando uma combnação do MEC/MEF, de modo que o solo é representado va solução de Mndln e a estaca com elemento trdmensonal de barra.

69 - Método dos elementos de contorno 5 00 kn L, m D 0,6 m E estaca, kn/m E solo 7, 0 kn/m ν estaca ν solo 0,5 L/D 6 E estaca / E solo 85 D base,5m base,0 m Fgura.9 Elemento de fundação submetdo à força vertcal, parâmetros físcos e geométrcos e vsta da rede empregada para smular a estaca ou o tubulão. São comparadas com a presente formulação as respostas obtdas por FERRO (99 em termos de deslocamentos da estaca apresentada na fgura (.9. Além dsso, também são apresentadas as respostas obtdas com o alargamento da base da estaca, onde na fgura (.9 é verfcado a geometra deste tubulão. O deslocamento de topo obtdo no ensao fo de 0,8cm, e o obtdo com o uso de 8 elementos fo de 0,89, ou sea, uma dferença relatva de,76%, e FERRO (99 obtém o valor de 0,9cm. Quando se consdera o elemento de fundação com alargamento de base (tubulão, o deslocamento de topo encontrado fo 0,77cm. As fguras. e. mostram a dstrbução das forças de contato csalhante ao longo do fuste, e a dstrbução das forças de contato normal à superfíce da ponta da estaca e do tubulão.

70 - Método dos elementos de contorno 5,60 -,80 -,00 -,0 -,0 -,60 -,80 -,00-0 Deslocamento vertcal (m Eo vertcal da fundação elementos na estaca 68 elementos na estaca 8 elementos na estaca 68 elementos no tubulao FERRO (99 - com estaca,60 -,80 -,00 -,0 -,0 -,60 -,80 -,00 - Fgura.0 Deslocamentos vertcas ao longo do eo da estaca e do tubulão Eo vertcal da fundação >0 (sentdo adotado 56 elementos na estaca 68 elementos na estaca 68 elementos para o tubulao Fgura. Forças de contato csalhante (kn/m ao longo do eo da estaca.

71 - Método dos elementos de contorno 5 Fgura. Forças de contato csalhante e normal na regão do fuste e da ponta do tubulão e da estaca.

72 Capítulo FORMLAÇÃO DO SOLO NÃO-OMOÊNEO ENRIJECIDO OR ELEMENTO DE FNDAÇÃO. Introdução Este capítulo apresenta no tem. a formulação do solo nãohomogêneo sem a consderação dos elementos de fundação. Ela é baseada na técnca empregada por MAIER & NOVATI (987, denomnada de técnca da rgdez sucessva. Este nome advém da semelhança obtda pelo sstema fnal de equações com o que aparece no MEF, ou sea, uma relação que assoca as ações eternas dretamente com os deslocamentos. Entretanto, a matrz resultante do sstema lnear, ao contráro do MEF, não atende as egêncas requerdas para a correta defnção do termo matrz de rgdez. A denomnação sucessva confgura a representação de um sstema de equações que é gerado sucessvamente entre dos domínos adacentes, a partr das condções de equlíbro e compatbldade até se atngr a regão que está em contato com a superfíce eterna do solo, á ncorporadas nesta últma epressão todas as nfluêncas dos demas estratos. No tem., é formulada a técnca da rgdez sucessva ntroduzndose os domínos que representam os elementos de fundações dentro de cada estrato genérco. O desenvolvmento é partcularzado para caso de se consderar apenas elementos de estacas, mas não se perdendo a generaldade da formulação para os demas casos possíves, uma vez que o elemento de fundação é representado por elementos trdmensonas. O tem. vsa comparar os números de operações envolvdas quando se aplca o procedmento convenconal de sub-regão com a técnca

73 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 55 da rgdez sucessva para a montagem e a resolução do sstema fnal do problema solo não-homogêneo/fundação.. Macço estratfcado pelo método da rgdez sucessva Suponha-se um macço com η camadas adacentes (fgura., cada um com característcas físcas própras, mantendo-se dentro de seu domíno as mesmas propredades elástcas e sótropas. ara uma camada genérca "", é possível escrever a relação das matrzes de nfluênca advndas do MEC (equação.0, sem consderar forças volumétrcas, como: t t t b s b t b s b s s (. _ u b, p b Γ t Γ b u s, p s Γs u b, p b Γ t Γ b u b u u b, b t, t Fgura. Macço estratfcado sob forças de superfíce e contornos de base, topo e lateral. onde u e p são, respectvamente, os campos de deslocamentos e forças de superfíces, e e são as matrzes da equação (.0. E t, b e s são abrevações, respectvamente, de topo, base e superfíce lateral. Epandndo-se a epressão (. para:

74 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 56 s b t ss sb st bb bt tb tt s b t ss sb st bb bt tb tt (. odem-se mpor as condções de compatbldade de deslocamentos e equlíbro das forças de contato que surgem ao longo do contorno entre as camadas adacentes. Assm, para os deslocamentos tem-se a relação de gualdade cnemátca entre a camadas e : b t u u (. ara as condções de equlíbro, tem-se: b t p p (. Admtndo-se, para o contorno lateral, que este não sea perturbado, ou sea: 0 s u (.5 e a tercera equação de (. é escrta como: } { } { } { s ss b sb t st (.6 Ou solando-se as forças de superfíce da lateral não perturbada, chega-se a: } { } { } { b sb ss t st ss s (.7 Desta manera, após serem calculados os deslocamentos de base e de topo de cada camada, podem-se obter as forças de superfíce ao longo de sua lateral. As equações da relação (. podem ser escrtas solando-se as forças de superfíce, ou sea:

75 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 57 b t bb bt tb tt b t (.8 onde a matrz da epressão (.8 é dada por: bb bt tb tt bb bt tb tt bb bt tb tt (.9 Agora, á com as relações desenvolvdas para duas camadas sueqüentes: e. Após consderar o equlíbro, compatbldade e deslocamentos nulos da lateral das camadas, pode-se partr da últma camada, que será consderada com seus deslocamentos nulos, ou sea, base ndeslocável, e utlzar as epressões de (. a (.9 para r condensando as nfluêncas de cada camada em sua adacente superor, até se chegar à equação (.8 da últma camada que contempla forças de superfíce prescrtas, para o caso de carregamento dretamente sobre a superfíce, ou à qual poderá se acoplar com as forças de reações do rader ou da superestrutura. Ou sea, esquematcamente para o eemplo representado na fgura (., tem-se: ª camada: Consderando-se esta camada com deslocamento de base nulo, ou sea, meo ndeslocável, reescreve-se a relação (.8: } { } { t tt t (.0 } { } { t bt b (. ª camada: A relação (.8 pode ser escrta da segunte manera: } { } { } { b tb t tt t (. } { } { } { b bb t bt b (.

76 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 58 E como as camadas e são adacentes: { } { } (. t b e { } { } (.5 t b Assm, consderando-se as relações (. e (.5 em (., e solando-se os deslocamentos da base, tem-se: { b } ( tt bb { } (.6 bt t Suttundo-se esta epressão em (., chega-se a: { t } ( { } tt tb tt bb (.7 bt t Ou, de forma compacta: { } { } (.8 t t Esse procedmento é realzado sucessvamente até se chegar na últma camada (η, então se tem: ηª camada: a: Equlbrando-se e compatblzando-se as camadas η e η-, chega-se η t { η b { η η η η } { } { } (.9 tt t tb b η η η η } { } { } (.0 bt t bb b E, sabe-se que { η t b η } { } (. E também que

77 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 59 η η { } { } (. t b Essas relações (. e (., suttuídas em (.0, consderando-se (.8, tem-se: { η b } ( η η η η { } (. bb bt t Suttundo-se esta últma epressão em (.9, chega-se a: η t { } η η η η η η ( { } tt tb (. bb bt t Ou, smplfcadamente: { η η } { } (.5 η t t Conforme é apresentado na fgura., a últma camada está em contato com a superfíce lvre do solo, onde se deve prescrever forças, para o caso da solução fundamental de elvn, toda a sua superfíce havendo ou não carregamento aplcado. A epressão (.5 reca na resolução de um sstema lnear onde as ncógntas são os deslocamentos da superfíce, ou sea: η η { t } { } t (.6 onde t pode ndcar as forças prescrtas dretamente no solo, ou as reações que o solo eerce na estrutura em contato, por eemplo, as forças de reação entre solo/rader. Assm, ou resolve-se o sstema lnear, obtendo-se os deslocamentos de contato, ou acopla-se este sstema (.6 com outros elementos de contato: rader, blocos, caas d água, barragens, taludes, edfícos. Com os deslocamentos da superfíce do solo obtdos, retorna-se para as camadas nferores e calculam-se seus deslocamentos de base e topo, bem como as forças de contato entre camadas e na lateral. Ou sea:

78 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 60 ηª camada: Conhecendo-se }, obtêm-se { } com (.,{ } com (.0 e { η t η b η b { η s } com (.7. ª camada: Sabendo-se que { } { },obtêm-se } com (.6, { } com (. e { } com (.7. s t b { b b ª camada: Sabendo-se que { } { }, obtêm-se { } com (. e { } com t b (.7. Com os deslocamentos e as forças de superfíces conhecdos no contorno de todas as sub-regões, é possível calcular quasquer valores de tensão e de deslocamento dentro de cada subdomíno. b s. Macço estratfcado com estacas Neste tópco é apresentada a técnca da rgdez sucessva, mas á ncorporando as estacas dentro do macço. O modelo usado leva em conta a montagem da "matrz de rgdez" de cada estrato, sendo neste caso separadas as varáves do solo e das estacas de cada camada, tanto do topo, quanto da base e quanto do fuste. Desta forma, as condções de compatbldade e equlíbro são tomadas de manera a garantr a contnudade dos elementos de estaca e do solo. ara o fuste, os deslocamentos e as forças de contato da estaca são escrtos em função das varáves do solo. ara este procedmento utlzado, as varáves do fuste são condensadas na superfíce de cada topo e de cada base da respectva camada, para garantr que as úncas varáves estentes em cada estrato anda seam as relaconadas ao topo e base. ara maor entendmento da técnca utlzada, é desenvolvdo o procedmento da rgdez sucessva para o estrato com a ntrodução de duas

79 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 6 estacas (vde fgura.. Mostra-se o sstema fnal gerado para este conunto e, em seguda, uma generalzação do sstema para η estacas em cada sutrato. estaca estaca Estrato genérco Fgura. Estrato genérco com duas estacas e seus parâmetros de topo, base e fuste. Assm, conforme fgura., pode-se escrever para a estaca a relação (.0 como: (.7 onde o sucrto ndca fuste do elemento. ara a estaca : (.8 ara uma camada genérca do solo:

80 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 6 (.9 Epandndo (.9: s f s f (.0. a.0. Epandndo (.7: (.. a.. Isolando as forças de superfíce de (..: { } (. Epandndo (.8: (.. a.. Isolando as forças de superfíce de (..: { } (.

81 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 6 Aplcando as condções de equlíbro e compatbldade para o fuste: (.5. (.5. (.5. (.5. sando-se as relações de (.5. a (.5., á se levando em consderação (. e (. nas epressões de (.0. a (.0., tem-se então: { } { } { { } { } { } { } { } { } { } { } { } { { } { } { } { } { } { } { } } (.6 } (.7

82 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 6 { } { } { { } { } { } { } { } { } { } } (.8 { } { } { { } { } { } { } { } { } { } } (.9 sando-se as relações de (.5. a (.5. á se levando em consderação (., nas epressões da estaca (.. e (.., tem-se então: (.0 (. Da mesma forma para a estaca :

83 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 65 (. (. Nomeando as submatrzes da segunte forma: (.. a..

84 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação (.5. a.5. 7 (.6. a (.7. a.7.5

85 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação (.8. a (.9. a (.50. a.50.

86 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação (.5. a.5. Representando-se matrcalmente o acoplamento estrato-estaca, onde as epressões das submatrzes de e são dadas pelas relações de.. a.5., tem-se:

87 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação (.5 Agora, para um sstema com η estacas, as submatrzes fcam para uma estaca genérca em um estrato qualquer: ( ( ( ( ( η (.5. a.5.9

88 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 70 ( ( ( ( ( η (.5. a.5.9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( η (.55. a.55.5 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( η (.56. a.56.5

89 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 7 (η k (η k (η k ( (η k ( k (η k (η k k k k k k (η k (η k (η k( (η k( k k k k (.57. a.57.9 Ou, posconando-se esta estaca "" no sstema estrato-estaca, tem-se então esquematcamente: Solo (topo/base Estacas (topo/base E 0 ( ( ( ( (( (( (( (( (η (η ((η ((η 0 ( ( ( ( (( (( (( (( Estacas/solo (fuste E (ηk (ηk (ηk( (ηk( (ηk(ηk (ηk (ηk (ηk( (ηk( (.58.. Elmnação dos graus de lberdade do fuste O formato matrcal do sstema (.58 fo feto com o ntuto de elmnar os graus de lberdade do fuste, deando estas varáves alocadas no fnal da matrz. Desta forma transforma-se a epressão (.58 em um sstema equvalente, elmnando-se, contudo, as varáves do fuste. Esquematcamente, o sstema para uma camada genérca com η estacas fca:

90 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 7 η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η (.59 ara compatblzar e equlbrar os estratos sueqüentes /- e /, é melhor escrever o sstema (.59 da segunte forma: η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η (.60 Chega-se à "matrz de rgdez" do estrato "" que consdera ncorporadas "η" estacas. Desta forma, podem-se compatblzar e equlbrar as varáves de deslocamentos e forças de contato entre as camadas adacentes.

91 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 7.. Compatbldade e equlíbro entre camadas A epressão (.60 é a representação matrcal do MEC á se levando em consderação as estacas mersas em uma camada genérca do solo. ara cada estrato, obtém-se este sstema, e as compatblzações e os equlíbros são fetos para as varáves equvalentes. Este tem tem o ntuto de apresentar, de forma sstemátca, como as camadas dos solos sueqüentes são assocadas. ara sso, parte-se de um eemplo á com o número de estratos e de estacas determnados e mostra-se o procedmento realzado para obter os valores fnas de deslocamentos da superfíce lvre. ela fgura., tem-se: p p p p s p p p p s Fgura. Esquema do macço estratfcado estaqueado. ª camada: Como { } {0}, a epressão (.60 para esta camada sem estacas b fca:

92 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 7 (.6 onde o subíndce " " ndca os valores do solo, mas que serão compatblzados e equlbrados com a base da estaca. ª camada: A equação (.60 para esta camada fca: (.6 A segunda e a quarta epressão de (.6 fcam: (.6 (.6 Sabendo-se que: (.65. (.65. Suttundo-se a equação (.6, consderando-se as relações (.65. e (.65. nas relações (.6 e (.6, chega-se a:

93 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 75 ( ( ( ( (.66 Ou reescrevendo-se a equação (.66: (.67 Aplcando-se a relação (.67 na prmera e na tercera relação de (.6 tem-se: ( ( ( ( (.68 Ou (.69 A equação (.69 pode ser epandda á se consderando as posções da estaca e da tercera camada: (.70 ª camada: A equação obtda para esta tercera camada fca:

94 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 76 (.7 Escrevendo-se a segunda, a quarta, a seta e a otava epressão de (.7, tem-se: (.7 (.7 (.7 (.75 Sabendo-se que: (.76.

95 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 77 (.76. Suttundo-se a equação (.70, consderando-se as relações (.76. e (.76., nas relações (.7 a (.75, chega-se a: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (.77 Ou transformando-se a epressão (.77: (.78 Aplcando-se a relação (.78 na prmera, tercera, na qunta e na sétma relação de (.7, tem-se:

96 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 78 (.79 (.80 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (.8 (.8 (.8

97 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 79 ª camada: A equação obtda para esta quarta camada fca: (.8 Da mesma forma como fora feto para a ª camada, escrevendo-se a segunda, a quarta, a seta e a otava epressão de (.8, tem-se: (.85 (.86 (.87 (.88

98 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 80 sando-se as condções de compatbldade e equlíbro entre as camadas adacentes, ou sea: (.89. (.89. Suttundo-se a equação (.79, consderando-se as relações (.89. e (.89. nas relações (.85 a (.88, chega-se a: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (.90 Ou transformando-se a epressão (.90: (.9

99 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 8 Aplcando-se a relação (.9 na prmera, tercera, na qunta e na sétma relação de (.8, tem-se: (.9 (.9 (.9 (.95 (.96

100 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 8 Com a epressão (.96, conhecendo-se as forças de superfíce, é possível resolver o sstema e obter os deslocamentos de superfíce. Em seguda, calculam-se os deslocamentos e as forças de contato entre as camadas medante o uso das epressões adequadas. Ou sea, para este eemplo (fgura. tem-se: ª camada: Conhecendo-se { t }, obtêm-se { b } com (.9 e { b } com (.8. ª camada: Sabendo-se que { } { }, obtêm-se { } com (.78, { } e t b b t { b } com (.7. ª camada: Sabendo-se { } { }, obtêm-se { } com (.67, { } e t b b t { b } com (.6. ª camada: Sabendo-se que { } { }, obtêm-se { } e { } com (.6. t b t b. Avalação do número de operações envolvdas a pror Aparentemente, o procedmento empregado pela técnca da rgdez sucessva podera mostrar que é uma forma mas custosa em termos de operações envolvdas quando comparada pela técnca convenconal de subregão. Isto, pos a prmera técnca ege a nversão e a multplcação de mutas matrzes ao longo de cada estrato. E, para o caso de se ter elementos de fundação dentro de cada sutrato, tem-se também a condensação de seus respectvos valores de deslocamentos, conforme apresentado no tem...

101 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 8 Assm, este tem veo computar todas as etapas envolvdas em ambos os procedmentos. Sabendo-se que o número de operações em pontos flutuantes envolvdos nos seguntes procedmentos são: n produto entre duas matrzes quadradas de dmensões dêntcas n ; n m p produto entre duas matrzes retangulares de dmensões A(n,m e B(m,p; n nversão de uma matrz de dmensão n ; n resolução de sstema va Elmnação de auss com n muto grande; n B B resolução de sstema com matrz com comprmento de sembanda B. Dmensão total das varáves da superfíce n N, onde N é o número de nós de cada superfíce, e L é o número de camadas do macço. Método da rgdez sucessva (MRS: : O( n L 88 N L : O( n L (6N L Condensar varáves do fuste: O( f ( α 6N Nα L v Computar operações de equlíbro entre solo/fundação - equações de.. a.5.. Neste caso, consderam-se as operações de produto de matrzes retangulares e a nversão de uma matrz ( para cada elemento de fundação, adotando-se uma quantdade dêntca destes elementos dentro de cada estrato, num total de NE por camada: O( v 7 ( N α NE L 0N 9,N α Nα NE L v : O( v n ( L 6 N ( tb tt bb bt v ( : O( v n ( L (6N ( L

102 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação 8 v Resolver Sstema: Total de operações: O( v n 7 n Sem elementos de fundação ( α 0 : O( MRS N { 59 L 8} Com elementos de fundação ( α : O( MRS N { 797 L 59 L NE 8} Sub-regão convenconal (SR: B 9 N ( N α NE n N ( L N Total de operações: α ( L NE Sem elementos de fundação ( α 0 : O( SR N (86L 86 Com elementos de fundação ( α : O( SR N (9 NE ( NE L (9 NE Onde Nα α N, sendo N α o número de nós de cada elemento de fundação e α é adotado com valor de /.

103 Formulação do solo não-homogêneo enrecdo por elemento de fundação (Número de operações/n 0 0 MRS com α0 SR com α0 MRS com estacas SR com estacas MRS com estacas SR com estacas MRS com 8 estacas SR com 8 estacas Número de camadas Fgura. Número de operações dvddo por N versus número de camadas, por duas técncas (escala Log: Método da rgdez sucessva (MRS Método da sub-regão (SR. Na fgura (. são plotados os valores de operações envolvdas para a resolução de um meo estratfcado com ou sem elemento enrecedor. Nota-se que para o caso de se empregar o método da sub-regão convenconal sem a consderação dos elementos de fundação, o número de operações necessáro para a montagem do problema são menores quando se emprega o método da rgdez sucessva. Entretanto, a partr do nstante em que se consderam esses elementos, o método desenvolvdo nesse trabalho demonstra ser bem mas efcente. or fm, deve-se acrescentar que além da vantagem estente em relação ao parâmetro número de operações, uma outra grande vantagem desse método é a respeto do bao custo egdo para o armazenamento da matrz fnal do sstema. os, por um lado, para a técnca da sub-regão convenconal é necessáro armazenar a matrz fnal que trás nformação eplícta de todas as sub-regões estentes no problema, enquanto que para o método da rgdez sucessva, chega-se a uma matrz fnal que contempla todas as nfluêncas das sub-regões.

104 Capítulo MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ACOLAMENTO MEC/MEF. Introdução Este capítulo tem o ntuto de apresentar, de forma sucnta, o método dos elementos fntos (MEF, o qual será aplcado para a representação da superestrutura. Neste sentdo, nos prómos tens são desenvolvdas as formulações elementares do MEF, comentando-se os elementos fntos empregados para a composção dos modelos lamnares e das barras, e as referêncas bblográfcas que contêm a teora dos elementos e seus códgos computaconas mpressos. Na segunda parte do capítulo é apresentada a técnca empregada para se realzar o acoplamento MEC/MEF, e por fm, são apresentados alguns eemplos para valdar a formulação mplementada.. Formulação do método dos elementos fntos A superestrutura empregada neste trabalho é composta por um conunto de lâmnas (cascas e folhas polédrcas e/ou elementos de barras, sendo eles formulados com a utlzação do MEF na sua forma mas convenconal, ou sea, usando o Método dos Deslocamentos. Isso, pos a aplcação do Método dos Elementos de Contorno para a formulação deste tpo de problema só é possível para alguns casos em que a estrutura lamnar possua uma geometra partcular, em vrtude da compledade matemátca da obtenção das soluções fundamentas para casos genércos.

105 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 87 Em contrapartda, o MEF consste na mas prátca e poderosa ferramenta para a modelagem problemas de domíno fnto de geometra quasquer. O método consste em subdvdr o domíno do problema em subdomínos chamados de elementos fntos onde se aplcam as funções apromadas para o campo das varáves pertnentes às equações dferencas parcas (EDs de um dado problema de valor de contorno (VC. ara o caso de ele ser baseado no método dos deslocamentos, o campo apromado é o dos deslocamentos, sendo estes assocados a parâmetros nodas. As equações apromadoras são, então, ntegradas em cada elemento va aplcação das técncas varaconas ou dos resíduos ponderados, á se levando em consderação os campos apromados, as relações consttutvas e cnemátcas do modelo mecânco. Esse procedmento é feto, elemento-a-elemento, em um sstema de referênca local arbtráro de cada subdomíno, os quas são nterlgados pelos valores nodas á rotaconados para um sstema de referênca global. O MEF aplcado a problemas da elastcdade trdmensonal pode ser formulado usando-se, por eemplo, o prncípo dos trabalhos vrtuas (TV. artndo-se então das equações dferencas de equlíbro: σ, b 0,,, (. onde b são as forças volumétrcas por undade de volume e σ, as 6 componentes de tensões ndependentes obtdas de um elemento nfntesmal, uma vez que este smetra das tensões de csalhamento, obtda levando-se em consderação a ausênca de momentos concentrados neste elemento e para casos onde a tensão não sea produzda por campos magnétcos e elétrcos. As componentes de tensões são proetadas em um contorno nfntesmal dγ e produzem forças de superfíce - p - correlaconadas com as tensões medante a relação:

106 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 88 p n,,, σ (. onde n são os co-senos dretores normas ao contorno dγ. As forças eternas ( p p aplcadas no elemento, chamadas condções naturas de contorno ou condção de frontera de Neumann, agem numa regão denomnada de Γ e devem ser equlbradas pelas forças de superfíce de (. nesta regão, ou sea: p p n em Γ,,, σ p (. As condções geométrcas, que são condções chamadas essencas, ou condções de frontera de Drchlet, estão prescrtas na regão Γ u, e fcam u u em Γ,,, u (. sendo que a superfíce total do contorno é dada por Γ Γ Γ. p u ode-se aplcar o método dos resíduos ponderados na equação de equlíbro (., onde a função peso é escolhda como sendo um campo de deslocamentos vrtuas, que são perturbações mpostas na posção de equlíbro. Assm, consdere-se, então, um campo de deslocamentos contínuo e vrtual - u - que safaça: u 0 em Γ,,, (.5 u Impondo-se na equação (. a função peso na forma de ntegral, tem-se: V ( σ, b u dv 0,,, (.6 E uma vez que u é arbtráro, a equação (.6 é safeta quando o termo em parênteses é nulo. Assm, esta epressão é dêntca a (..

107 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 89 sando-se a dentdade matemátca ( σ u σ u σ u,,,,,, (.7 a relação (.6 pode ser reescrta como: σ u σ u b u dv 0,,, (,, V (.8 Aplcando-se o teorema da dvergênca na equação (.8, e consderando-se (. e (.5, tem-se: ( σ u, b u dv p u ds 0,,, V Γ p (.9 ela smetra dos tensores de tensões ( σ σ e empregando-se o tensor de deformação de Cauchy, o qual se refere às deformações homogêneas (lneares, chega-se a : σ u, σ u, u, σ ε (.0 onde ε são as deformações vrtuas advndas dos deslocamentos vrtuas u. ortanto, a equação (.9 leva a: V ε T σ dv V u b dv SΓp u p ds (. onde o prmero termo da relação (. é relaconado ao trabalho vrtual nterno, enquanto os outros dos termos se relaconam ao trabalho vrtual devdo às forças eternas. ara o últmo termo da epressão (., tem-se que mpor condções de contorno naturas, ou de forças. A relação (. ndepende das característcas do materal e podem ser escrtas em função dos deslocamentos ou de tensões. ara epressá-la em termos de deslocamentos, é necessáro fazer uso das relações consttutvas do materal. Assm, a relação entre tensão e deformação é epressa por:

108 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 90 σ Dε (. onde D é um campo tensoral de quarta ordem que compõe as característcas do materal e possu 6 constantes ndependentes. ara o caso de o materal ser elástco e lnear, D é constante, e consderando-se as dferentes classes de smetra estentes em um elemento nfntesmal, o meo é denomnado de sótropo, e chega-se então a constantes ndependentes do materal: o módulo de elastcdade longtudnal (E e o coefcente de osson (ν. A relação (., que representa o rncípo dos Trabalhos Vrtuas (TV, apresenta dos espaços de funções. A prmera representa o espaço das tensões admssíves, e a segunda o espaço das funções pesos. Na mecânca dos sóldos, é comum empregar o famoso método de Bubnov- alerkn no TV, o qual mpõe que as funções pesos e admssíves são guas. Assm, os campos de deslocamentos de ambas as funções são apromados por funções nterpoladoras va parâmetros nodas, sendo esta epressa por: nodal u ( u,, (. E, para as deformações, tem-se: nodal ε B( u,, (. onde e B são as matrzes de nterpolação de deslocamentos e deslocamento-deformação. Assm, para um elemento fnto genérco e, a relação (. pode ser reescrta medante o emprego das epressões (. e (. como: { u { u nodal e nodal e } } T T V SΓp B T e T e D p e e B e ds dv u nodal e { u nodal e } T V T e b e (.5 dv

109 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 9 Então, após mpor campos de deslocamentos vrtuas untáros ndependentes, a relação (.5 resulta para um elemento em: e nodal e u F (.6 e onde é a matrz de rgdez, F é o vetor resultante devdo às forças e e eternas aplcadas e u é o vetor dos deslocamentos nodas do elemento e e. Fazendo-se o somatóro de todos os elementos ne que compõem o domíno em estudo, chega-se a: F T Be DeBedV Ve ne e T T e bedv e peds e Γp ne e V S (.7 (.8 ortanto, u nodal F (.9 nodal onde u é o vetor das ncógntas dos deslocamentos nodas correspondentes ao número total de graus de lberdade do domíno.. Superestrutura formada por elementos lamnares Entende-se por elementos lamnares aqueles em que uma dmensão é muto menor que as outras duas, e, quando uma estrutura é formada por uma ou mas lâmnas com superfíces planas, é chamada de folhas polédrcas. As caas d água, os núcleos de rgdez de edfícos, as vgas paredes e slos são alguns eemplos destes tpos de estruturas. ara a smulação da superestrutura com elementos lamnares, utlzou-se a sobreposção de duas formulações ndependentes: uma para representar o efeto de membrana, e outra para o efeto de placa.

110 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 9 Neste conteto, será apresentado o elemento que fo utlzado para modelar as superfíces bdmensonas a fm de formar o elemento lamnar. Entretanto, em função da estênca de trabalhos que á detalharam a formulação tanto do elemento de membrana quanto de placa, este capítulo não entrará no mérto da formulação, ctando apenas os trabalhos estentes para seu melhor entendmento. As hpóteses admtdas para a formação do elemento lamnar deste trabalho são as hpóteses de rchhoff-love: A espessura da lâmna é pequena em relação às dmensões e aos raos de curvatura da superfíce méda; As tensões normas à superfíce méda são desprezíves em relação às demas; Os pontos pertencentes a uma mesma reta normal à superfíce méda na stuação ndeformada encontram-se em uma mesma reta à superfíce deformada; Os deslocamentos são muto pequenos em relação à espessura. Com estas hpóteses, o campo de deslocamento para uma área nfntesmal de um elemento lamnar é dado por:, ( /, ( /, (,, (,, (,, ( } { w d dw v d dw u w v u u (.0 onde u 0, v 0 e w 0 são os campos de deslocamentos locas de um ponto genérco consderado, respectvamente, nas dreções, e. O campo de pequenas deformações fca defndo pelo campo de deformação do efeto de membrana e do efeto de fleão medante a relação segunte: / / / / / / / } { } { } { d d w d d w d d w d d dv d du d dv d du f m γ ε ε ε ε ε (.

111 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 9 O prmero vetor da epressão à dreta de (. se refere ao efeto de membrana, e a segunda parcela ao efeto de fleão, onde "m" e "f" são abrevações de membrana e fleão, respectvamente. Desta forma, o campo de tensões é epresso pela relação consttutva (., que para este caso é dada por: ({ ε} m { ε} f { σ} m { f { σ } D { ε} D σ} (. O campo de deslocamentos na formulação do MEF para o elemento lamnar fca então: { u} ϕ { u nodal ϕ m } 0 0 ϕ f { u { u nodal nodal } } m f (. de modo que o vetor {u nodal } representa os deslocamentos nodas de um elemento genérco no sstema local. Epandndo-se este vetor de deslocamento, tém-se para um ponto "ï" do elemento: T { u} m { u v θ },..., pontos nodas do elemento (. T { δ} f { w θ θ },..., pontos nodas do elemento (.5 E as submatrzes ϕ m e ϕ f são as funções de forma para a parcela de membrana e de fleão. A relação (. aplcada na assocação dos dos efetos leva ao campo de deformação epresso por: nodal nodal B B { u } B { u } { ε } (.6 m f onde B m e B f são as matrzes de nterpolação de deslocamentodeformação correspondentes aos estados de membrana e fleão. A matrz de rgdez do elemento híbrdo pode ser obtda com o emprego da relação (.5 levando-se em conta as equações (. e (.6. Assm, tem-se:

112 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 9 ne e V ne e Ve B T e T B m B DeBedV T f D D m fm D D mf f T T { B B } m f dv (.7 Matrcalmente, a epressão (.7 pode ser representada por: m fm mf f (.8 A submatrz mf é nula, pos ela pode ser escrta como: T T mf B m D B f dv B m D mf B f dv (.9 e ntegrando-se a matrz consttutva ao longo da espessura h, e consderando-se que o materal sea homogêneo ou com varação smétrca em relação ao plano médo: D mf / D d 0 h h / (.0 Da mesma forma, a matrz D fm é nula. A ndependênca entre os campos que contemplam o efeto de membrana e de fleão ocorre para esta formulação. Assm, a matrz de rgdez fca: 0 m 0 f (... Efeto de membrana O elemento de membrana utlzado fo o desenvolvdo por BERAN & FELIA (985, que utlzam a formulação lvre. Desta forma, em seu trabalho é apresentada toda a formulação para a sua obtenção. No departamento de Estruturas da Escola de Engenhara de São Carlos (EESC, foram desenvolvdos os trabalhos de ETELEIRO (996 e MESQITA (998, que também abordam de manera bem clara a teora

113 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 95 para o desenvolvmento deste elemento bem como apresenta eemplos para valdação da formulação. Não se pretende desenvolver esta formulação neste trabalho, uma vez que ela não é o obeto prncpal do proeto. Apresenta-se um desenho esquemátco do elemento com seus graus de lberdade... Efeto de fleão O elemento utlzado para a avalação do efeto de fleão é o conhecdo DT. Da mesma forma que fora feto para o elemento de membrana, não se tem o ntuto aqu de apresentar a formulação deste elemento. Em BATOZ (980, é desenvolvda toda a formulação deste elemento bem como o códgo computaconal para a montagem da matrz de rgdez e do vetor de forças equvalentes. Na fgura., apresenta-se esquematcamente a geometra e as varáves nodas do elemento á ncorporando o efeto de membrana. nó T { u} { u v θ w θ θ } { u nó T } { u v θ w θ θ } nó k T { u} { u k v k θ k w k θ k θ } k Fgura. - eometra e os 8 graus de lberdade do elemento lamnar da unção DT/FF no sstema local O... Matrz de rgdez do elemento lamnar no plano trdmensonal ara a geração da matrz de rgdez de um elemento plano no espaço trdmensonal é necessáro rotaconar esta matrz local para um sstema de referênca global (vde fgura.. Esta transformação de sstema local para global se dá da segunte forma:

114 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 96 ne β β global ne T { f } β global local e e T { f } e (. (. { u } β { u} (. local e e local e local e σ D B { u} (.5 λ λ λ e no plano do elemento Fgura. - Relação entre sstema local e global de um plano qualquer no espaço D. A matrz de transformação β e representa os co-senos dretores do elemento "e". Os eos locas podem ser tomados em qualquer posção dentro do plano do elemento, uma vez que o elemento é defndo em um plano. sualmente, os eos locas são obtdos a partr da dreção de um lado do elemento. Neste trabalho, o sstema local " " parte do nó local um ( até o nó dos (, e os eos " " e " " são obtdos por relações geométrcas. Esta matrz de transformação relacona as coordenadas locas com as globas medante a relação: { } { },, β global (.6 sendo que

115 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 97 ' } { (.7 e, como as translações e as rotações são campos ndependentes vetoralmente, a matrz de transformação β fca: β β β (.8 sendo que é dado por: β λ λ λ λ λ λ λ λ λ β (.9 onde λ representa o co-seno dretor entre o eo local e o eo global na dreção. v ' v y' v r z Fgura. Vetores aulares para cálculo dos co-senos dretores de um elemento. ara o cálculo desses co-senos, são utlzados artfícos da geometra analítca. ara sto tem-se o vetor formado pela reta do lado - do elemento

116 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 98 em uma posção do espaço D qualquer (ver fgura.. Este vetor pode ser representado por: k v ( ( ( ' (.0 onde representa a coordenada cartesana no sstema global da dreção do nó local "" de um elemento genérco. Normalzando-se a equação (.0, tem-se: k L v v v T r r r ' ' ' λ λ λ (. onde ( ( ( L (. O vetor normal ao plano do elemento pode ser obtdo medante o produto vetoral entre v ' r e ' y v r, onde v ' y r é dado por: k v y ( ( ( ' (. Assm, de (. e (., obtém-se: ( ' ' ' ' ' ' ' ' y y z normalzando y z v v v v v v v V (. de modo que: k v T z r r r ' ( ( ( λ λ λ (.5

117 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 99 onde ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (.6 E, fnalmente: ' ' ' y y v v v (.7 De modo que se chega a: ' y v λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ (.8 Com as matrzes de rgdezes locas obtdas nos trabalhos de referênca (BERAN & FELIA (985 e BATOZ (980 para se consderar o efeto de membrana e fleão e a matrz de transformação obtda medante as epressões (., (.5 e (.8, pode-se montar a matrz e o vetor de forças equvalentes para formar o elemento lamnar, que é denomnado abrevadamente de DTFF.. Superestrutura formada por edfícos D suetos às ações vertcas e horzontas Os edfícos são modelados empregando-se os elementos fntos de barras trdmensonas para se representar os elementos lneares de vgas e plares, sem se consderar nestes o efeto de torção. A lae é consderada como se fosse um dafragma nfntamente rígdo em seu própro plano horzontal, e por sso os deslocamentos horzontas de cada pavmento (u são guas. ortanto, transferem-se todas as nfluêncas dos plares e vgas de cada andar para um nó mestre que é o centro de torção do, e v θ

118 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 00 pavmento tpo. Esse modelo de edfíco leva a uma sensível redução dos graus de lberdade do sstema fnal. As ações vertcas são aplcadas nas vgas, podendo ser pontuas ou dstrbuídas, e as ações horzontas devdas ao efeto de vento - forças horzontas e torconas - devem ser prescrtas no centro de torção pontualmente para cada pavmento. Os nós dos plares do andar térreo são lgados com os nós da lâmna nos pontos de contato. Os trabalhos que apresentam a teora completa da formulação do edfíco utlzado são de RIOS (99 e BEZERRA ( Acoplamento MEC/MEF A formulação advnda do MEC e a do MEF podem ser acopladas medante a consderação das condções de equlíbro e compatbldade estentes nos pontos nodas em comum aos dos métodos. Assm, a epressão fnal obtda em (.60 que mostra toda a nfluênca do solo nãohomogêneo, enrecdo ou não por estaca, pode ser relaconada com a equação (.9 obtda pelo MEF. Entretanto, a representação das forças eternas no MEC é tomada como forças de superfíce, ou sea, forças por undade de área, enquanto que as ações eternas formuladas pelo MEF empregam comumente o conceto de força nodal equvalente, ou sea, forças concentradas. Neste conteto, para o devdo acoplamento entre as duas formulações, é necessáro empregar um campo de forças comum ao dos métodos. Ou se representam as forças de superfíce em forças nodas equvalentes ou vce-versa. ara a presente formulação do conunto solo-estrutura, o únco fator de nfluênca para a melhor decsão sobre qual procedmento empregar é respeto ao número de operações envolvdas para a conversão de uma ou outra formulação. retende-se, neste trabalho, transformar as forças de superfíce em forças nodas equvalentes.

119 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 0 O desenvolvmento mostrado será feto para o carregamento transversal ao elemento trangular, e contudo o procedmento é estenddo para as outras duas dreções. As forças de superfíce transversas e as cargas nodas equvalentes são mostradas na fgura.. Fgura. - Forças de superfíce e cargas nodas equvalentes de um elemento. O trabalho das cargas eternas pode ser epresso por: T g, w(, da e A ( (.9 onde (, w são os deslocamentos transversas no domíno do elemento e A é a sua área. ara o caso em que este campo possu varação lnear (fgura.5, tem-se: w w ξ w w (.50 ξ kξ Analogamente, as forças de superfíce podem ser epressas por: g g ξ g g (.5 ξ kξ Fgura.5 - Varação lnear do deslocamento transversal e da força de superfíce no nteror do elemento fnto. Transformando-se as coordenadas dos eos cartesanos para as coordenadas homogêneas, e suttundo-se as epressões (.50, (.5 em (.9 obtém-se:

120 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 0 ( ( da w w w g g g T k A k e ξ ξ ξ ξ ξ ξ (.5 Mnmzando-se a energa potencal devda às cargas eternas e sabendo-se que a ntegral ( da f A,, ξ ξ ξ pode ser calculada como: (!!!! η η η η η η ξ ξ ξ η η η A da A (.5 chega-se ao vetor de cargas nodas transversas dado por: k k g g g A F F F (.5 Segundo-se o mesmo procedmento para as outras dreções, a relação entre forças nodas e forças de superfíce para o caso do elemento lamnar DT- Formulação Lvre pode ser escrta como l l l l l l k k g g g Q F F F (.55 para l,,, representando as três dreções e, e k os três nós locas do elemento, e a matrz Q dada por: A Q (.56

121 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 0 a lâmna malha a (MEF b f f lâmna solo malha b (MEC R MEF MEC solo Malha a (MEF Malha b (MEC Fgura.6 a Rede empregada para o solo e a lâmna em contato; b forças de superfíce e cargas nodas equvalentes. Na epressão (.9 podem-se ncorporar as forças reatvas da segunte manera: { } { F } { R } (.57 mef mef mef mef onde o vetor R representa as forças concentradas de reação. Assm, o acoplamento entre as forças de superfíce advndas do MEC (equação.60, e as forças concentradas reatvas advndas do MEF (relação.57, pode ser feto com o uso da matrz da relação (.55, chegando-se a: { } { F } Q { } (.58 mef mef mef solo onde, e F são, respectvamente, a matrz de rgdez, os mef mef mef vetores dos parâmetros nodas de deslocamentos e forças concentradas da estrutura dscretzada pelo MEF; Q e são, respectvamente, a matrz de transformação epandda relatva à contrbução de todos os elementos, epansão da relação (.56, e o vetor de deslocamentos nodas da rede dscretzada pelo MEC. É possível reagrupar a relação (.58, chegando-se a: F tot tot tot solo (.59

122 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 0 Com tot Q (.60 mef mec tot tot E e F são os deslocamentos e as forças totas do sstema soloestrutura. Esta matrz é não-smétrca e altamente esparsa, á que as nfluêncas entre os graus de lberdade dos dos modelos só ocorrem na regão de contato, não havendo lgação entre as estruturas..6 Eemplos numércos São apresentados três eemplos de estruturas. No prmero e no segundo, são avalados os comportamentos ndvduas de cada efeto, e o tercero é um eemplo clássco para avalação do efeto conunto membranaplaca..6. laca quadrada smplesmente apoada ara lustrar a aplcação do códgo desenvolvdo, será analsada uma placa quadrada sob a ação de força unformemente dstrbuída em toda a sua superfíce e apoada em todo seu etremo. O esquema da placa e os parâmetros geométrcos e físcos são apresentados na fgura.7. ara avalar a correta formulação da matrz de transformação, analsa-se este eemplo no plano X X.

123 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 05 q q Valores utlzados E 0,9 t,0 (espessura q,0 L,0 ν0, Fgura.7 laca quadrada apoada e parâmetros geométrcos e físcos. Tabela.: Deslocamentos, momentos e erros relatvos no centro da placa para tpos de redes. N elementos u central Erro (% M ' M y' Erro(% 8 0,000-0,95 0,086,6 5 0, , 0,0808 0,9 5 0, ,09 0,0799 0, Valores analítcos(*: u central 0,0006 M ' M y' 0,0789 (* TIMOSENO & WOINOWSI-RIEER (959 Os valores encontrados de deslocamentos e momentos para o centro da placa mostraram boa concordânca com os obtdos pela teora analítca, ndcando que uma maor dscretzação leva a um erro menor. Em relação às varáves que representam os campos de membrana, os valores obtdos são pratcamente nulos, como á era esperado. Não se utlzou a b-smetra estente no problema, e caso fosse usada, para esta mesma densdade de elementos a convergênca para a resposta eata sera mas acentuada..6. Clndro com paredes rígdas Este é um clássco eemplo para se avalar o efeto combnado de membrana e de fleão. Esta estrutura é um clndro com as etremdades

124 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 06 rígdas e com a aplcação de duas forças untáras concentradas aplcadas em sentdos opostos da seção central do clndro. Entretanto, por facldade de geração de dados, dscretza-se apenas um otavo, corrgndo essa smplfcação através da mposção de restrções adequadas nos contornos da estrutura. Na fgura.8, mostram-se o clndro á smetrzado, o ponto de aplcação da força, as dscretzações utlzadas, os parâmetros físcos e geométrcos e a localzação dos contornos para a avalação dos resultados. ara este eemplo, os parâmetros a serem calbrados na formulação lvre foram adotados - conforme ndcação de MESQITA (998 - como sendo α, e β0,00. a 8 elementos b 57 elementos Fgura.8 eometra e redes adotadas, sendo E00, ν 0,, LR00, h,0 (espessura.

125 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 07 Fgura.9 Deslocamentos em X ao longo do contorno (A-B. Fgura.0 Valores de momentos fletores na dreção y' ao longo do contorno (C-D. O elemento lamnar do programa comercal Ansys utlzado fo o SELL6, que possu quatro nós, cada um com 6 graus de lberdade. Assm,

126 - Método dos elementos fntos e acoplamento MEC/MEF 08 fo avalado medante o códgo computaconal utlzando-se o elemento DTFF, e comparados os resultados tanto com o programa do Ansys, como também com os valores apresentados em OÑATE (995. Neste eemplo, utlzou-se apenas uma rede para o códgo com 8 elementos, sendo sua dsposção esquematzada na fgura.8, onde as duas redes adotadas pelo programa Ansys são as apresentadas também nesta fgura. A fgura.9 apresenta os resultados de deslocamentos ao longo do contorno (A-B. Em OÑATE (995, comenta-se que a resposta eata para o deslocamento sob a força é de (- 0,88, sendo que os erros relatvos para - respectvamente- a rede do Ansys com 57 e 8 elementos e a rede utlzando o elemento DTFF com também 8 foram de 0,7%,,75% e 8,55%. Os dos últmos resultados de erros mostram que a formulação utlzando o elemento DTFF leva a uma convergênca mas rápda do que quando se utlza o elemento SELL6 do Ansys. Com relação aos momentos fletores em coordenadas locas, a fgura.0 compara os valores da rede utlzando o elemento DTFF com os apresentados por OÑATE (995. Nota-se que os valores mostrados por este autor são obtdos medante uma refnada dscretzação elementos quadrangulares. Como esses momentos para a curva do DTFF e de OÑATE (995 são obtdos em sstemas locas dferentes, este gráfco tem mas o ntuto de mostrar semelhanças qualtatvas. ode-se notar uma boa promdade entre as duas curvas.

127 Capítulo 5 EXEMLOS NMÉRICOS 5. Introdução ma formulação numérca deve ser avalada e prncpalmente confrmada medante a smulação de eemplos. os, transferr o modelo numérco para um códgo computaconal envolve a possbldade da geração de mas erros somados aos á consagrados erros de máquna. Assm, é mprescndível para a confrmação da formulação apresentar eemplos que smulem as dferentes stuações que a formulação deva avalar. Neste sentdo, esse capítulo apresenta alguns eemplos que demonstram a efcênca, a potencaldade, e até as correções que devam ser fetas dentro do códgo ou da formulação propramente dta. A formulação apresentada nos capítulos anterores fo mplementada em um códgo computaconal usando-se o complador Fortran do pacote da Dgtal Vsual Fortran versão 6.0 para ambente Wndows. Foram empregadas rotnas nternas desse pacote denomnado de IMSL (do nglês Internal Mathematcs and Statcs Lbrary, desenvolvdo por Ard et al. (977, e também rotnas otmzadas do pacote BLAS (Basc Lnear Algebra Surograms, que tem referênca o trabalho de LAWSON et al. (979. Os eemplos, em sua grande maora, foram etraídos de outros trabalhos. As redes dos elementos empregados para a modelagem foram geradas da segunte manera: a a geração dos elementos de estaca são fetas automatcamente, medante o emprego de um gerador desenvolvdo pelo autor;

128 5 Eemplos numércos 0 b para a construção das superfíces que representam o solo e os elementos lamnares foram empregados ou o programa de geração de malhas crado por SOSA JR. (996, denomnado de EC, ou pelo emprego do gerador contdo no pacote comercal do Ansys 5.; c a geração do edfíco fo feta medante o emprego de um gerador também desenvolvdo pelo autor. Destaca-se que o gerador do programa comercal Ansys 5. não realza - eplctamente para o usuáro - uma otmzação procurando o menor comprmento de banda, sendo, portanto, nadequado seu uso como gerador para outros programas de elementos fntos que não realzem essa otmzação sobre os dados gerados ou que realzem a montagem convenconal da matrz de rgdez. É necessáro salentar que a presente formulação é mas geral do que os modelos empregados nos trabalhos de comparação aqu utlzados, pos todos eles não computam, no sstema algébrco fnal, as equações referentes aos campos de deslocamentos horzontas (u e v para o solo, uma vez que suas formulações de placa não contemplam estes efetos. 5. Lâmna quadrada apoada sobre meo sem-nfnto Este eemplo fo apresentado em AIVA (99 que analsa a nteração entre a placa e o solo sem-nfnto. O ntuto de se colocar este eemplo é para poder avalar o comportamento da presente formulação para a smulação o problema clássco de uma placa apoada sobre o solo homogêneo em meo nfnto. Assm, para smular o meo sem-nfnto, adotou-se uma camada de espessura de 000m para o macço (fgura 5.a. A rede de elementos de contorno empregada na nterface entre a lâmna/solo está ndcada na fgura 5.b, e seus parâmetros físcos e geométrcos são apresentados na fgura 5.c. Avalou-se a nteração lâmna/solo com dos tpos de valores rgdez da lâmna, denomnadas de lâmna ntermedára e rígda (vde fgura 5.c, e compararam-se seus resultados de deslocamentos e de tensões de contato nas

129 5 Eemplos numércos regões de nterface entre a lâmna e o solo. Foram empregadas duas redes de elementos de contorno para representar a regão do solo, de modo que cada rede fo crada levando-se em conta a relação entre o dâmetro da regão dscretzada do solo e o comprmento da lâmna. Assm, as duas redes apresentam as relações de D solo /D lâmna 0 e D solo /D lâmna 50 (vde fgura 5.a e 5.b. ara o caso da lâmna rígda, aplcou-se uma força concentrada no seu centro geométrco. Os resultados de deslocamentos e tensões vertcas são apresentados na tabela 5., e demonstram uma boa concordânca com os obtdos por outras formulações. AIVA (99 formula o problema de modo que o solo e a placa delgada são representados por equações ntegras com o uso do MEC, onde o solo é modelado pela solução de Mndln. MESSAFER & COATES (989 e MENDONÇA (997 empregam o MEC va solução de Mndln para representar o meo sem-nfnto, e para a placa delgada ambos empregam o MEF. Entretanto, MESSAFER & COATES (989 dvdem a placa em 00 elementos fntos quadrangulares do tpo ACM, enquanto MENDONÇA (997 usa os elementos fntos trangulares DT e SM. ORBNOV- OSSADOV & SEREBRJANY (96 obtêm os resultados para este problema analtcamente. elos resultados apresentados na tabela 5., as menores dferenças de deslocamentos ocorreram entre a presente formulação, o trabalho analítco de ORBNOV-OSSADOV & SEREBRJANY (96 e MESSAFER & COATES (989, onde a dferença é, respectvamente, de -,5% e 5,58%. Já para os resultados de tensões de contato, as dferenças de valores com esses trabalhos foram as maores quando comparadas com as outras duas formulações: AIVA (99 e MENDONÇA (997. É mportante salentar que, conforme a tabela 5., os resultados obtdos pela presente modelagem para as duas redes se dferencam em torno de,50% para os deslocamentos, e,5% para as tensões de contato.

130 5 Eemplos numércos ara o caso da lâmna ter rgdez ntermedára, aplcou-se uma força dstrbuída unformemente constante sobre sua área, e a fgura 5. apresenta os resultados de deslocamentos no eo de referênca S para as duas redes empregadas neste eemplo, comparando-os com os obtdos por AIVA (99 e MESSAFER & COATES (989. A dferença relatva do deslocamento central da lâmna entre a presente formulação, usando a rede, e os valores apresentados pelos dos ctados, são de 6,0% para o trabalho de AIVA (99, e de,5% para MESSAFER & COATES (989. Salenta-se que essa dferença relatva entre os dos últmos trabalhos é de,%. A fgura 5. mostra os resultados de tensões vertcas da regão de contato entre a lâmna e o solo no eo S. Nota-se a boa concordânca entre os resultados entre as dferentes formulações, e conforme se aproma do centro da lâmna, as dferenças vão se dmnundo. g m Lâmna rígda Dados geras E- kn t 0,m ν lâmna lâmna 0,5 E,76E9 Ma lâmna νsolo 0, h000 00m s Lâmna ntermedára E 0,6E Ma solo ge-6 Ma ν lâmna 0, E 9,7808E7 Ma lâmna a b c Fgura 5. - a esquema estrutural do modelo; b rede usada para dscretzar a lâmna; c parâmetros físcos e geométrcos do conunto lâmna/solo.

131 5 Eemplos numércos a D solo /D lâmna 0 b D solo /D lâmna 50 Fgura 5. Rede usada para dscretzar a superfíce lvre do solo. a Rede ;b Rede. Lâmna rígda Tabela 5.: Valores de deslocamentos e forças de contato vertcas para o centro da lâmna. Referênca w 0 9 (m Tensões de contato (N/m ava (99 MEC-MEC 0,60 0,005 Messafer & Coates (989 0,00 0,008 orbunov- ossadov & 0,600 0,000 Serebrany (96 Mendonça (997 SM-MEC 0, 0,00 Mendonça (997 DT-MEC 0, 0,00 resente Trabalho Rede 0,599 0,007 resente Trabalho Rede 0,5 0,005

132 5 Eemplos numércos Lâmna ntermedára,0,8 ava (99 Messafer & Coates (989 resente trabalho - Rede resente trabalho - Rede,850,7858 w/g*0 8 (m /N,6,,,66,69,0 0 5 S(m Fgura 5. Deslocamentos vertcas da superfíce do macço sobre o eo S. 6,5,0 ava (99 Messafer & Coates (989 resente trabalho - Rede resente trabalho - Rede Tensões de contato/g,5,0,5,0 0,5 0 5 S(m 6 Fgura 5. Forças de superfíce do contato lâmna/solo sobre o eo S.

133 5 Eemplos numércos 5 5. Camada fnta com varação lnear do módulo de elastcdade Apresenta-se neste tem uma análse do solo não-homogêneo, lnear e sótropo, onde o ntuto deste eemplo é mostrar o comportamento da formulação perante a consderação de váras sub-regões que formarão os dversos estratos do solo com suas respectvas propredades físcas para smular o efeto de rgdez crescente lnearmente, sem consderar as estacas e/ou superestruturas. Consdera-se, então, a ação de forças dstrbuídas unformemente de valor constante em uma regão crcular da superfíce lvre do solo. A le que governa o módulo de elastcdade transversal é uma função lnear crescente (vea fgura 5.5, e a smulação dessa varação da rgdez do solo é feta empregando váras sub-regões, denomnadas de camadas, com espessura constante, e para cada uma se atrbu um módulo de rgdez constante com seu valor obtdo na sua cota méda. Os resultados apresentados pela tabela 5. mostram que para uma espessura total pequena do solo - fator de espessura h/a - a consderação de poucas camadas do solo, smulando o efeto crescente da rgdez, leva rapdamente a resultados bem prómos aos obtdos pela sem-analítca. Já para o caso de uma espessura maor - h/a8 é necessáro se empregar mutas camadas para smular o efeto da varação crescente da rgdez. As dferenças relatvas dos deslocamentos centras da regão carregada são obtdas comparando-se os valores encontrados por esta formulação e os calculados pelas epressões sem-analítcas tradas de BRMISTER (95.

134 5 Eemplos numércos 6 a p h z (z (0 mz (0 0 ν / m / Fgura 5.5 estrato fnto sob carregamento aplcado em área crcular rede usada para o solo. Tabela 5.: Erro porcentual dos deslocamentos centras da superfíce. Fator de espessura h/a Camadas Erro (%,6,0 5,5 8 5, , 8 0 0,7

135 5 Eemplos numércos 7 5. Lâmna fna sobre uma base não-deformável Este problema tem o ntuto de avalar as respostas de deslocamentos e de momentos fletores que se moblzam quando do carregamento aplcado sobre uma lâmna quadrada em contato com o solo, no qual a base de seu ndeslocável está a uma profunddade de 0m da superfíce. A fgura 5.6 lustra a dscretzação usada no modelo da lâmna, as característcas físcas e geométrcas do solo homogêneo. Os resultados da presente formulação são comparados com outros trabalhos. Verfca-se uma grande concordânca com os valores obtdos por RASER & WARDLE (97 e SADECA (000. Os prmeros autores modelam o espaço sem-nfnto usando a técnca dos elementos de superfíce (ver WARDLE & FRASER (97, onde a matrz fnal é obtda usando-se as técncas de transformações de ntegral. O segundo trabalho avala os deslocamentos ao longo da profunddade do meo por meo de funções pesos não lneares, e admte-se a nfluênca da lâmna apoada na superfíce do solo usando o MEF.

136 5 Eemplos numércos 8 h p A B p0,0 Ma 0 m 0m 5m E solo 9, Ma νsolo 0, E lâmna 000 Ma νlâmna 0,5 C t 0,6m lâmna 5m h 0m a b c Fgura 5.6 a esquema da lâmna sobre meo ndeformável; b rede de um quarto da lâmna; c parâmetros físcos e geométrcos do solo e da lâmna; d rede usada para o solo. d Tabela 5.: Resultados de deslocamentos e momentos fletores para pontos da lâmna. ontos da lâmna Fraser & Wardle ola r & Nemec Sadecka resente (97 (98 (000 trabalho A Desloc. w*0 - (m 7,0 5,6 6,8 6,7 B Desloc. w*0 - (m,50,7,97,6 C Desloc. w*0 - (m,80,76,5,95 A Momento M (kn/m 6,0,09 6,58 6,

137 5 Eemplos numércos Lâmna quadrada sobre um meo homogêneo de base rígda Neste eemplo, a superfíce lvre do estrato está sueta a um carregamento untáro dstrbuído unformemente em uma regão quadrada (ver fgura 5.7. Os resultados de deslocamentos para o presente método são comparados com os obtdos com o método apromado de Stenbrenner e com o modelo de BRMISTER (95. Os valores resultantes são lstados na tabela 5. para város níves de profunddades. ara a construção da rede dscretzada, foram empregados 78 nós dos quas nós e 800 elementos estão localzados na regão central de aplcação da carga, e os restantes 07 nós e 58 elementos estão representando a regão não-carregada (fgura 5.7b. O módulo de elastcdade adotado do solo tem valor de 00 Ma, e seu índce de osson é de 0,. A tabela 5. mostra boa concordânca entre os valores obtdos por esta formulação e o modelo sem-analítco de BRMISTER (95. Conforme ndcado por OLOS (967, o método apromado de Stenbrenner subestma os valores de deslocamentos, e à medda que o plano ndeslocável se aproma da superfíce lvre do solo, os valores são de 0% a 5% menores. or outro lado, a presente formulação demonstra que esta varação da cota do ndeslocável não nfluenca nos resultados, mantendo o erro sempre abao de %.

138 5 Eemplos numércos 0 g Ma Lmte do plano do sem-espaço dscretzado 0 m 0 m η h/0 r00 A 0 m lano com restrção de deslocamentos Regão carregada a b Fgura 5.7 a estrato fnto sob carregamento unforme; b rede usada para todo o solo (esquerda e para a regão de contato entre solo/lâmna (dreta. Tabela 5.: Deslocamento vertcal (m do ponto A. η h 0 Burmster (95 resente trabalho (% erro Stenbrenner (% erro 0,90 0,99 (0,7 0,7 (9, 0,69 0,650 (0,7 0,56 (,6 5 0,876 0,88 (0, 0,85 (,7 50 0,06 0,07 (0,5 0,0 (0,

139 5 Eemplos numércos 5.6 Ed fíco sobre rader apoado em um macço não-homogêneo Este eemplo tem a fnaldade de averguar o efeto da varação tanto das propredades do solo ao longo da profunddade quanto da posção da base do ndeslocável causa sobre um edfíco de múltplos andares apoado sobre um rader. As redes de elementos utlzadas para dscretzar o solo e a lâmna são dêntcas ao eemplo anteror (ver fgura 5.7a e 5.7b, uma vez que os erros relatvos obtdos para a smulação do macço foram de 0,7% e 0,5% para, respectvamente, as relações de η e η50. Medante a planta de um pavmento-tpo de andares para fns resdencas, as ações permanentes foram calculadas conforme a norma braslera NBR 68 (000. As ações varáves de vento consderadas conforme a NBR 6 (987, onde o edfíco fo suposto localzado em São Carlos, velocdade de vento V 0 m/s, o valor topográfco S fo consderado de,0, pos o terreno fo consderado plano, com poucas ondulações, e ele fo ncluído no grupo : edfcações para hotés e resdêncas, com alto fator de ocupação. ara o fator estatístco S, o edfíco fo enquadrado na classe B e na categora IV. ara o fator S fo atrbuído o valor de,0. Obtveram-se, então, as deformações e os esforços nas vgas, nos plares e no rader, os deslocamentos e as forças de superfíce (tensões de contato entre o solo e o rader, e deslocamentos e tensões no domíno do macço. Na fgura 5.8, são apresentadas as plantas da estrutura analsada, as tabelas da geometra e das ações consderadas em cada elemento estrutural do pavmento tpo. O módulo de elastcdade adotado para o edfíco tem valor de,50 Ma, e o coefcente de osson para o solo é gual para todos os casos com valor de 0,. ara o rader adotou-se o mesmo módulo de elastcdade do edfíco, o coefcente de osson de 0,, a sua espessura de 0,5m, mas não se consderou o seu peso própro. Os parâmetros da formulação lvre usados foram de α,5 e β 0,0.

140 5 Eemplos numércos Carga permanente Ação de vento m r 0.L m Rader h η L R 6 m t R L R 0 m Rader M t F F A m m 5 m 0 m 5 m Base ndeslocável Edfíco de múltplos andares Caso a Caso b Caso c Caso d Lmte da superfíce dscretzada do sem-espaço E E E 00 Ma E E / E E 90 / E E E 90 E E 00 Ma η50 η η (η η /8η η (η η /8η a b m m m m 5 A m B m C D E m m B B B B B B B B5 B9 B B5 B6 B7 B8 B6 B0 B B8 B9 B0 c B B6 B9 B0 0 m B7 B B B8 B B5 B8 B B B7 B5 B6 B B7 m Carga permanente (kn/m Andar tpo Cobertura Vgas,5,0 B,B8,B,B,75,5 B,B9,0,0 B,B0 0,67 0,5 B,B7 9,0 6,0 B5,B7,B9,B,B5 B6,B7,B0,B 9,75 6,5 B6,B,B9,B 8,5 5,67 B,B5 6,0,0 B8,B,B6,0 8,0 B0,B 5,6,75 B,B 0,78 7, B5,B8 8,5 5,5 B,B6,0,67 B7,B8 TIO ILARES (m VIAS (m 0,0, 0,0, 0,0,6 0,0, 0,0,8-0,, - 5 0,0, - d Andar F Ação de vento (kn F (kn t M (kn m, 9,80,89 50, 7,6 5,95 5,86 0,0 7,0 55,8,67 7, ,89,6 8, ,5,8 8, 7 57,6,8 8,5 8 57,0,58 8,0 9 56,5, 7, ,65,5 7,6 5,68 0,8 7,0 5,57 9,98 6,95 ILARES VI AS TIO A,A5 Todas as demas B,C,E,B5,C5 B B ; B7 B0 A,B,C,A,B,C,A,B,C - D,D,D - D,E,E,D5-5 Fgura 5.8 a corte da estrutura e os casos consderados; b planta do modelo edfíco/rader; c planta baa do edfíco; d tabelas dos parâmetros dos elementos de barra do edfíco.

141 5 Eemplos numércos A fgura 5.9 apresenta os resultados de deslocamentos transversas (w ao longo do eo do rader, corte AA da fgura 5.8b, á consderando a nteração solo/rader/edfíco para os quatro tpos de casos ndcados na fgura 5.8a. Como era de se esperar, os deslocamentos moblzados pela confguração do caso b deram menores. Na fgura 5.0 é mostrada a dstrbução de deslocamentos ao longo do rader para o caso b, e se pode evdencar o seu comportamento radalmente smétrco, dervado pela redstrbução feta pelo rader das ações do edfíco sobre o solo, e esse mesmo comportamento é verfcado para os demas casos. As fguras 5. e 5. apresentam os dagramas de momentos fletores M e M de todo o rader para o caso b, onde é possível se notar que os maores valores recaem sobre os pontos onde os plares estão conectados ao rader. O valor mámo dessas solctações, caso se quera dmensonar o rader como uma lae de concreto armado convenconal, leva ao domíno com taa de armadura de 0,%, onde a taa mínma é de 0,0%. 0,00,500 - Deslocamentos w (m 5,000-7,500 -,000 -,50 - w 0,57 cm w 0,7 cm w,0 cm w, cm Caso a Caso b Caso c Caso d Fgura 5.9 Deslocamentos vertcas ao longo do corte AA.

142 5 Eemplos numércos Fgura 5.0 Deslocamentos vertcas no rader para o caso b. 0 M (MNm/m Fgura 5. Momentos fletores M sobre todo o rader para o caso b.

143 5 Eemplos numércos 5 0 M (MNm/m Fgura 5. Momentos fletores M sobre todo o rader para o caso b. A fgura 5. apresenta a dstrbução das tensões vertcas de contato entre o rader e o solo, onde é possível se verfcar que os valores são, em méda, em torno de 0,06 Ma. Conforme as recomendações da norma de proeto e eecução de fundações, NBR 6 (996, as pressões admssíves para fundações superfcas dependem da classe em que o solo se enquadra. ara o caso do solo ser uma area medanamente compacta, este valor é de 0, Ma, então se obtêm um coefcente de segurança de,, onde a norma recomenda um valor nunca menor que. As fguras 5. e 5.5 apresentam, respectvamente, os valores de tensões e de deslocamentos na dreção vertcal do caso c para o corte BB. Na fgura 5. é possível notar como a dstrbução de tensões ocorre ao longo da espessura do meo, e para este caso onde o plano ndeslocável está localzada a uma dstânca gual ao tamanho do rader, essas tensões não se anularam

144 5 Eemplos numércos 6 anda no plano ndeformável, podendo se prever que elas se anulem a dstânca de duas vezes o tamanho do rader. >0 σ Fgura 5. Tensões de contato (σ na regão comum ao rader e ao solo para o caso b. Na tabela 5.5 são apresentados os valores das forças normas de todos os plares do andar térreo do edfíco, e na tabela 5.6 avalam-se as porcentagens aolvdas pelos plares de canto, de etremdade e ntermedáros dos cnco casos estudados. Quando a deformabldade do solo é consderada, os plares ntermedáros fcam menos sobrecarregados, assm há uma redstrbução de esforços mas unforme, sto porque a moblzação do sstema solo/rader/edfíco ocorre de manera conunta, o que dfere da análse do edfíco apoado em rader ndeformável quando não se consdera esta deformabldade do solo. Além dsso, as varações dos valores das forças normas quando se consdera ou não a deformabldade do solo chegaram a dferenças de mas de 0% para alguns plares.

145 5 Eemplos numércos Ma Fgura 5. Dstrbução de tensões vertcas (σ no solo ao longo do corte BB para o caso c. 8.5E-00 (metros 7.5E E E-00.5E-00.5E E-00.5E E E-00 Fgura 5.5 Dstrbução de deslocamentos (u no solo ao longo do corte BB para o caso c.

146 5 Eemplos numércos 8 A fgura 5.6 mostra os deslocamentos na dreção e do nó mestre do edfíco, ponto A, para os casos de base ndeformada e para o caso b, mostrando que a consderação da compressbldade do macço leva a maores deslocamentos deste e, assm, tornando-se a análse do sstema solo/rader/edfíco também mportante para a verfcação do efeto de segunda ordem do edfíco. A fgura 5.7 apresenta a dstrbução de momentos fletores ao longo do plar A para o segundo e tercero andar, e para a vga B9. Mostra-se, então, esses valores para o caso em que não se consdera a deformabldade do solo e para o caso c, ou sea, a varação crescente da rgdez do macço. Com sso, verfca-se que a nfluênca da deformabldade no sstema é mportante, prncpalmente para os esforços moblzados devdo ao peso própro, onde as dferenças relatvas entre os casos foram de até 0%. As dferenças dos esforços devdo ao efeto de vento não ultrapassaram valores de 0% para estes elementos retculares. Tabela 5.5: Forças normas (MN nos plares do andar térreo para os város casos de rgdez do solo. Snal postvo ndca compressão nos plares. lar Caso a Caso b Caso c Caso d Solo ndeformável A 0,0687 0,066 0,9 0,0896 0,059 B 0,0 0,0 0, 0,69 0,875 C 0,7 0,88 0, 0,668 0,997 D 0,07 0,0 0,59 0,8 0,90 A 0,69 0,0 0,75 0,056 0,07 B 0,670 0,666 0,0 0,57 0,55 C 0,76 0,709 0,79 0,990 0,9 D 0,65 0,676 0,6090 0,687 0,6756 E 0,7 0,5 0,57 0,558 0,6 A 0,886 0,89 0,0 0,00 0,509 B 0,577 0,59 0,56 0,5 0,605 C 0,98 0,998 0,0 0,5 0,8 D 0, 0,57 0,08 0,0 0,59 E 0,65 0,66 0,67 0,6605 0,566

147 5 Eemplos numércos 9 A 0,9 0,9 0,0 0,9 0,66 B 0,567 0,5669 0,50 0,507 0,60 C 0,7 0,7 0,87 0,5 0,576 D 0,87 0,87 0,708 0,766 0,9707 E 0,6 0,60 0,697 0,6 0,99 A5 0,087 0,0 0,868 0,86 0,0 B5 0,509 0,5096 0,56 0,756 0,790 C5 0,79 0,09 0,7 0,50 0,968 D5 0,5658 0,567 0,655 0,5 0,70 Tabela 5.6: orcentagem das forças normas dstrbuídas nos plares de etremdade, ntermedáro e de canto. Tpo de plar Caso a Caso b Caso c Caso d Solo ndeformável Canto % % 6% 5% 0% Etremdade 8% 8% % 0% % Intermedáro 9% 9% % 5% 57% 0 8 Andar 6 Dreção - Caso b Dreção - Caso b Dreção - Base rígda Dreção - Base rígda 0 0,0,00 -,00 -,00 -,00-5,00 - Fgura 5.6 Curva deslocamentos horzontas (metros versus andares do nó mestre do edfíco para o caso b.

148 5 Eemplos numércos 0 Fgura 5.7 Dstrbução de momentos fletores (kn m para um plar ao longo de dos andares e de uma vga em comum a eles.

149 5 Eemplos numércos 5.7 ma estaca no meo fnto homogêneo Este eemplo fo etraído de OTTAVIANI (975, que analsa as respostas de deslocamentos e de tensões de contato entre a estaca e o solo empregando o MEF com elementos trdmensonas. ara avalar este problema, o autor dscretza uma regão prsmátca de modo que a superfíce lateral regão consderada não perturbável - está localzada a uma dstânca de m do centro da estaca. Ele emprega uma rede com 00 nós e 700 elementos fntos do tpo brck formado por 8 nós. O eemplo tem obetvo de comparar os resultados do autor ctado com os obtdos pela presente formulação. Avala-se, então, o efeto que as dferentes profunddades entre a base rígda e o fnal da estaca tem sobre o conunto estaca/solo. Além dsso, analsa-se, também, a nfluênca que a relação de rgdez entre estaca/solo (λe estaca /E solo causa no conunto. A fgura 5.8 apresenta a confguração do problema e os valores físcos e geométrcos dos materas envolvdos. As fguras 5.8c ndcam as redes empregadas para dscretzar o sstema estaca/solo. Neste caso, avalaram-se as respostas para a varação da relação entre o dâmetro da regão dscretzada para o solo e o dâmetro da estaca. ara a combnação de redes mas densa do solo e da estaca, redes c com d, o número total de nós gerados foram de 57 e de elementos de 80. E a dscretzação menos refnada fo o emprego das redes c e d, com 86 nós e 7 elementos trangulares planos. A fgura 5.9 apresenta os valores de força de contato csalhante entre a estaca e solo na dreção paralela ao eo da estaca, para dferentes combnações de espessura de camada do solo e dferentes relações de rgdezes entre os dos meos. Nota-se que a nfluênca da posção do plano ndeslocável causa pouca varação dos resultados de forças de contato na regão de contato entre estaca/solo, por outro lado, a relação entre a rgdez da estaca e do solo é bem mas sgnfcatvo na dstrbução dessas forças no fuste. A fgura 5.0 compara as respostas de deslocamentos entre as duas formulações, para as dferentes combnações entre espessura e relação de

150 5 Eemplos numércos rgdez. As dferenças entre as duas formulações fcaram em torno de 5% para os pontos ao longo do fuste, demonstrando que a presente formulação é consstente. As fguras 5. e 5. apresentam as respostas ao longo do fuste de, respectvamente, deslocamentos e forças de contato ambos na dreção paralela ao eo da estaca. Estes resultados são plotados para as dferentes redes dscretzada para o solo mantendo-se a rede d para a estaca. ara os deslocamentos - fgura 5. - mostra-se que para a relação entre os dâmetros de 0 e 50, os valores estão bem prómos: erros de menos de %; e estes dvergem dos obtdos para o caso da relação ser de 500 em torno de,% e,6% para os pontos, respectvamente, de topo e de base da estaca. ara o caso das forças de contato csalhante, nota-se, pela fgura 5., que as relações de dâmetro 500 e 50 levam a confgurações muto prómas, e uma pequena alteração para o caso da rede c. As fguras 5. e 5. apresentam também os deslocamentos e as forças de contato, também na dreção paralela da estaca, mas agora varando o refnamento da rede dos elementos de contorno para a estaca, comparando-se as redes d e d com a rede d. ara o caso dos deslocamentos, fo averguada uma dferença de 6,8% para os pontos de topo, e de,5% para os de base da estaca quando se emprega a rede d, e para a rede d, essas dferenças fcaram em,6% e 69,8% (vde fgura 5.. A fgura 5. apresenta as respostas de forças de contato csalhantes paras essas dferentes dscretzações da estaca. Neste caso, as varações entre as densdades de elementos usadas nfluencam, prncpalmente, para as tensões de ponta da estaca, chegando-se a nverter o sentdo da reação dessas tensões. Em suma, a varação da relação entre os dâmetros estaca/solo é menos sgnfcatva do que a consderação de uma dscretzação melhor para os elementos de fundação.

151 5 Eemplos numércos p L 0 E varável solo ν cte. 0,5 solo λ Ε estaca / Ε solo Estaca E,0e5 kn/m ν estaca cte. 0, Dâmetro m /L varável 0 δ E.D estaca. w/ Dsolo a b c D solo / D estaca 500 c D solo / D estaca 50 c D solo / D estaca 0 d 56 dvsões: 56 elementos d 0 dvsões: 88 elementos d dvsões: 0 elementos e Fgura 5.8 a estaca sobre força vertcal em meo ndeslocável; b perspectva da dscretzação empregada; c redes usadas para smular a superfíce lvre do solo; d redes usadas para representar a estaca; e uma perspectva da rede da estaca.

152 5 Eemplos numércos 0 rofunddade do fuste (m curvas g,h, curvas a,b,c a /L,5 λ00 b /L λ00 c /Lnf. λ00 d /L,5 λ000 e /L λ000 f /Lnf. λ000 g /L,5 λ000 h /L λ000 /Lnf. λ000 λe estaca /E solo curvas d,e,f 0 0,5,0,5,0 ( kn/m Fgura 5.9 Forças de contato csalhante entre estaca/solo para dversos λ e /L, para a rede /v. δ 0 (E estaca *δ*d/ L0 /Lnfnto - resente trabalho L0 /L - resente trabalho L0 /L,5 - resente trabalho L0 /L - OTTAVIANI(975 L0 /L,5 - OTTAVIANI( λ (E /E estaca solo Fgura 5.0 Deslocamentos vertcas das estacas para dversos λ e /L, para a rede /v.

153 5 Eemplos numércos 5 0,60 -,80 -,00 -,0 -,0 -,60 -,80 - rofunddade do fuste (m D solo /D estaca 500 D solo /D estaca 50 D solo /D estaca 0 0,60 -,80 -,00 -,0 -,0 -,60 -,80 - Deslocamentos vertcas (m Fgura 5. Deslocamentos da estaca para os tpos de redes do solo, empregando a rede v, /L,5 e λ D solo /D estaca 500 D solo /D estaca 50 D solo /D estaca 0 rofunddade do fuste (m ,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00 (kn/m Fgura 5. Forças de contato csalhante entre estaca/solo para os tpos de redes, empregando a rede v, /L,5 e λ000.

154 5 Eemplos numércos 6,60 -,00 -,0 -,80 -,0 -,60 -,00-0 rofunddade do fuste (m D solo /D estaca 500, Rede d D solo /D estaca 50, Rede d D solo /D estaca 0, Rede d D solo /D estaca 50, Rede d D solo /D estaca 0, Rede d 0,60 -,00 -,0 -,80 -,0 -,60 -,00 - Deslocamentos vertcas (m Fgura 5. Deslocamentos da estaca com os tpos de redes do solo, empregando as redes da estaca, para /L,5 e λ000. rofunddade do fuste (m D solo /D estaca 500, Rede d D solo /D estaca 50, Rede d D solo /D estaca 0, Rede d D solo /D estaca 50, Rede d D solo /D estaca 0, Rede d 0-0,5 0,0 0,5,0,5,0 (kn/m Fgura 5. Forças de contato csalhante entre estaca/solo para os tpos de redes, empregando as redes da estaca, para /L,5 e λ000.

155 5 Eemplos numércos ma estaca no meo fnto não-homogêneo O eemplo apresenta a dstrbução de deslocamentos e de tensões vertcas ao longo do fuste da estaca, a qual esta mersa em um meo nãohomogêneo. Assm, emprega-se a rede de elementos para dscretzação do solo e da estaca usada no eemplo anteror, fgura 5.8. ara o solo é utlzada a rede c e para a estaca a rede d. A fgura 5.5 apresenta a confguração do problema analsado, os valores das varáves envolvdos e os casos consderados para a consderação da não homogenedade do macço. p00 kn L 0 m E,0e5 kn/m estaca ν estaca 0,5 Dâmetro m /L,5 E 00 kn/m solo ν 0,5 solo Dsolo Caso a Caso b Caso c Ε,ν Ε,ν Ε,ν Ε,ν 0,5Ε,ν 0,5Ε,ν Ε,ν Ε,ν Ε,ν Fgura 5.5 Estaca sueta a força vertcal em meo não-homogêneo e confgurações do macço. Caso d Ε,ν 5Ε,ν 5Ε,ν A fgura 5.6 compara as forças csalhantes vertcas de contato entre o macço e a estaca, quando essa últma esta mersa totalmente em uma regão do solo, ou quando se dvde essa regão em duas camadas, assm tem-se um macço com três camadas ao todo. É mantdo o módulo de elastcdade constante para todo o meo, de manera que as duas stuações smuladas devem tender aos mesmos valores. Isso fo feto para verfcar a consstênca da formulação quando se estratfca o solo com a presença de fundação. Nota-se que as dferentes representações do mesmo problema levam a uma mesma

156 5 Eemplos numércos 8 resposta de forças, ressaltando que na regão de contato entre os dos meos, há uma pequena osclação nos valores dessas tensões. Entretanto, é fato que essa perturbação é muto pequena e, prncpalmente, não afeta o comportamento dos valores ao longo do fuste. Fo notado que quando se empregou a rede c para representar o solo, essa osclação fo bem marcante e, a medda que foram sendo utlzados as redes c e c, essa perturbação fo se atenuando. ara o caso dos deslocamentos, o emprego dessas dferentes smulações não causou estes pequenos saltos prómos à regão de contato entre as duas sub-regões. ara o emprego da rede c com a rede d, a dferença de deslocamentos do topo da estaca usando uma ou duas regões fo de 0,%. As fguras 5.7 e 5.8 apresentam os resultados ao longo do fuste de deslocamentos e forças de contato csalhante vertcas para os quatro tpos de combnações de rgdez para o macço. ela fgura 5.7, nota-se que realmente os deslocamentos vertcas apresentam um comportamento contínuo ao longo das dferentes sub-regões. As dferenças relatvas de deslocamentos de topo entre o caso a e os demas casos são de: -7,5% para o caso b, 6,00% para o caso c, e de 8,5% para o caso d. A fgura 5.8 apresenta os gráfcos para as forças de contato vertcas entre estaca/solo, e é possível verfcar uma epressva dferença entre as váras stuações, onde para o caso a os valores fcam constantes em torno de 0,6 kn/m. ara os demas casos, os valores se elevam nas regões de maor rgdez e se mantêm constante dentro desta. Nota-se que a varação dos valores estentes entre uma camada e outra, para um mesmo caso, é em torno de 00%. ara os pontos prómos a ponta, estes valores são mas elevados para os casos onde a rgdez do solo em contato com a ponta da estaca é maor. As moderadas dferenças obtdas entre os valores de deslocamentos e de forças de contato vertcas para estes dferentes casos demonstram que a consderação do macço de forma mas próma de seu natural, ou sea,

157 5 Eemplos numércos 9 medante a nclusão dessa heterogenedade, é uma condção obrgatóra para a análse mas crterosa de um proeto que envolva a nteração solo/fundação/superestrutura. 0 D /D 50, roblema a solo estaca D solo /D estaca 500, roblema a D solo /D estaca 500, roblema b r ofun ddade do fuste (m 0 0 E a E E E b E Forças de contato csalhantes (kn/m Fgura 5.6 Forças de contato vertcas entre estaca/solo para dferentes estratfcações. 0 0,0 5,00 -,00 -,50 -,00 -,50 -,00 -,50 -,00 -,50 - rof unddade do fuste (m Caso a Caso b Caso c Caso d 0,0 5,00 -,00 -,50 -,00 -,50 -,00 -,50 -,00 -,50 - Deslocamento vertcal (m Fgura 5.7 Deslocamentos vertcas na estaca para casos de rgdez do solo.

158 5 Eemplos numércos 0 0 rofunddade do fuste (m Caso a Caso b Caso c Caso d 0 0,0 0, 0,8,,6,0,,8,,6,0 Forças de contato csalhantes (kn/m Fgura 5.8 Forças de contato csalhantes vertcas entre estaca/solo para casos de rgdez do solo. 5.9 Lâmna quadrada apoada sobre nove estacas Este eemplo, também retrado de Ottavan (975, apresenta uma lâmna em contato com o meo fnto com nove estacas dstrbuídas conforme fguras 5.9 e 5.0. Na fgura 5.9 são mostradas as posções das estacas e do plano ndeslocável e as característcas físcas e geométrcas da lâmna, das estacas e do solo. A fgura 5. mostra os deslocamentos da superfíce do solo ao longo do corte AB ocorrdos quando se aplca uma força dstrbuída unformemente constante em sua superfíce quadrada. O módulo de rgdez da lâmna é varado para se verfcar o comportamento desses deslocamentos. Assm, cnco casos do módulo de Young da lâmna são avalados, e nota-se que quando o quocente entre o módulo da lâmna e do solo está acma de 0 6, o comportamento da lâmna é de uma estrutura rígda.

159 5 Eemplos numércos As fguras 5. e 5. apresentam resultados de deslocamentos e forças de contato paralelo ao eo das estacas, sem a consderação da lâmna sobre o macço. As estacas são moblzadas va forças concentradas com valores de 00 kn. No gráfco da fgura 5., vê-se a dstrbução das forças de contato para as estacas, 5 e 7, mostrando que os resultados obtdos nas estacas e 7 são smétrcos. A fgura 5. plota os valores de deslocamentos ao longo do fuste para essas três estacas, e para a estaca 5 são comparados os valores de topo e base com os apresentados em OTTAVIANI (975, e as dferenças fcaram em torno de 0%. Os resultados de deslocamentos retrados em OTTAVIANI (975 são dados apenas para o topo e a base, sendo então lgados por uma função lnear ao longo do fuste. g Solo: E,5e kn/ ν s cte 0,5 m 0 m 0 m Estacas: E,0e5 kn/m ν estacas cte 0,5 Lâmna: E L varável ν L 0,5 t 0,5 m L lâmna m g 5,0 kn/m 50 arâmetros da formulação lvre: α,5 β 0,0 Fgura 5.9 Representação da lâmna sobre macço homogêneo estaqueado apoado em meo ndeslocável, e seus parâmetros físcos e geométrcos.

160 5 Eemplos numércos m B 7 C 5 D A m Fgura 5.0 Redes usadas para dscretzar a lâmna, as estacas e a superfíce do solo.

161 5 Eemplos numércos g5 kn/ m -0,075 Desloc amen tos u (m -0,0500-0,065-0,0750 E lâmna e5 kn/m E lâmna e8 kn/m E lâmna e kn/m E lâmna e kn/m Sem lâmna -0,0875-0, Corte AB (m Fgura 5. Deslocamentos da superfíce de contato lâmna/solo/estaca. 5,50-6,00-6,50-7,00-7,50-8,00-0 ( ,50-6,00-6,50-7,00-7,50-8,00 - Deslocamentos (m Estaca Estaca 5 Estaca 7 Estaca 5 de OTTAVIANI(975 Fgura 5. Deslocamentos das estacas ao longo do fuste sem lâmna.

162 5 Eemplos numércos 00 kn 0 Corte AB Estaca Estaca 5 Estaca 7 Cota da estaca (m Estaca Estaca 5 Estaca Fgura 5. Forças de contato csalhantes entre solo/estaca sem lâmna. 5.0 Cobertura apoada em rader com e sem estacas Este eemplo tem o ntuto de comparar os resultados obtdos em uma cobertura para duas stuações: quando se vara a posção do plano ndeslocável sem a nclusão de estacas, e quando se vara a posção do plano ndeslocável com a nclusão das estacas. A fgura 5. apresenta a confguração e os parâmetros físcos e geométrcos necessáros do problema. ara o prmero caso, varou-se as espessuras da camada deformável do solo de forma a se verfcar essa nfluênca na cobertura. Assm, a fgura 5.5 apresenta os valores de deslocamentos da superestrutura obtdos ao longo de um corte paralelo ao eo X, onde as forças concentradas aplcadas na cobertura possuem valores de 0 kn (total de 0kN. A espessura do solo com o mesmo tamanho que a lâmna (η demonstra ser o ponto determnante para se consderar a deformabldade do macço para a análse de recalques da cobertura (vde fgura 5.5. os, para os casos onde se aplcam os fatores de espessura zero (η0 e um (η, os valores de deslocamento do centro da

163 5 Eemplos numércos 5 cobertura são de, respectvamente, 0,7mm e,9mm, e quando se consdera o fator de espessura de valor dos (η, o deslocamento se eleva para,6mm. A partr dessa espessura, este valor cresce de manera lenta, de modo que, no lmte superor, quando o meo está apoado sobre o plano ndeslocável a dstâncas nfntas (η, este valor é de 9,95mm. ara o caso de se consderar a cobertura apoada sobre o rader estaqueado, empregou-se este mesmo eemplo, mudando-se os valores das forças concentradas, passando essas para 0kN (total de 0kN, a espessura do solo é de 0m (η,, e as estacas têm comprmento de 0m. Assm, na fgura 5.6 plota-se os valores de deslocamentos moblzados quando da aplcação dessas forças concentradas na regão central da cobertura, quando se consdera ou não a compressbldade do solo. p,7 m h η.l lâmna E solo ν solo,5ekn/m cte. 0,5 Estacas E,0e7 kn/m ν cte. 0,5 ârametros da form. lvre α, β0,00 Lâmna E,0e7 kn/m ν cte. 0,5 t 0,5 m L m Fgura 5. Representação da cobertura sobre macço homogêneo estaqueado. Rede empregada para o solo dem a fgura 5..

164 5 Eemplos numércos 6 0 o ve rt cal (m Deslocament η η η η η Corte paralelo ao eo X ao longo da cobertura. Fgura 5.5 Deslocamento vertcal na seção da cobertura paralelo ao eo X para dferentes fatores de espessura do solo, sem estacas Deslocamentos vertcas (m Base ndeslocável Base deformável - t rader 0,5m Base deformável - t rader 0,0m Base deformável - t rader 0,0m Fgura 5.6 Deslocamentos da cobertura no corte CD consderando dversas espessuras do rader, com o solo estaqueado.

165 Capítulo 6 ARALELISMO E RESOLÇÃO DE SISTEMAS ESARSOS 6. Introdução Este tópco tem o ntuto de apresentar sucntamente duas ferramentas numércas que foram empregadas para aglzar a análse numérca. Como os modelos numércos no campo da mecânca computaconal têm se tornando muto compleos, em vrtude do avanço dos componentes eletrôncos lgados aos computadores, torna-se mperatvo o uso dessas ferramentas para que as soluções seam obtdas em tempos menores. Neste sentdo, no tem 6. é desenvolvdo um teto que trata da aplcação do processamento paralelo no campo da análse numérca. Este teto aborda o assunto de manera bem dreta e breve, sendo que nos trabalhos de ALMEIDA & AIVA (000, ALMEIDA (999 e TOIN & AN (996 esse assunto é tratado de forma mas geral e ddátca. O tem 6. aborda o tema da resolução de sstemas esparsos. Comentam-se, então, as vantagens e as desvantagens de se empregar os métodos dretos e teratvos para este tpo especal de matrz. No fnal, mostrase um eemplo numérco onde se empregam essas duas dferentes técncas de resolução de sstemas.

166 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 8 6. Computação dstrbuída Computação dstrbuída é o processo no qual um conunto de computadores são conectados por uma rede e usados coletvamente para soluconar um problema etenso. ara o caso de se usar computadores ndvduas com suas própras memóras, estes sstemas são chamados de multcomputadores. Os últmos anos têm testemunhado um avanço da acetação e adoção do processamento paralelo, ambos para a computação centífca de alta performance e para as aplcações em propóstos genércos - resultado da egênca para mas alta performance, mas bao custo e produtvdade sustentada. A mecânca computaconal fo um meo em que esta ferramenta se mostrou bastante efcente e prátca para a análse de grandes sstemas mecâncos va os métodos numércos. os, cada vez mas, os problemas estão sendo analsados detalhadamente para permtr uma melhor smulação do real comportamento do materal e também a smulação dos parâmetros do modelo e a respectva análse de suas respostas. Isso tem egdo a geração de compleos modelos numércos que avalem grandes quantdades de dados e que eam grande tempo de eecução. No conteto hstórco, a partr do níco da década de 60, os algortmos numércos começaram a ser desenvolvdos de forma a serem aplcados não somente em máqunas de arquteturas seqüencas, mas também em paralelas. A comundade centífca e a engenhara se dedcaram ao estudo e à mplementação de novos procedmentos para eplorar estas novas arquteturas. Ctam-se os trabalhos de CARROLL & WETERALD (967 e LEMAN (966, que fzeram um estudo ncal do uso dessas técncas para tas máqunas. Na metade da década de 70, trabalhos mas aplcados à engenhara foram desenvolvdos, como o estudo ponero realzado por MIRANER (97, sobre algortmos, na análse numérca em computação paralela, estudos estes

167 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 9 de otmzação matemátca, encontro de raízes, equações dferencas e solução de sstemas lneares. Após este trabalho, o avanço nas aplcações - medante prncpalmente o uso do método dos elementos fntos - começou a ser feto mas comumente eplorando os novos paradgmas computaconas de forma a resolver seus problemas em processamento dstrbuído. Estes os trabalhos utlzaram os novos paradgmas: NOOR & ARTLEY (978, NOOR & LAMBIOTTE (979, ZOIS (988a e 988b, LAW (986, BARRAY & CAREY (988, NOOR & ETERS (989, ROSSO & RIETTI (988 JONSSON & MATR (990, ADELI & AMAL (99, FARAT & ROX (99, SAXENA & ERCCIO (99 RAO et al. (99, LAW & MACAY (99, SCMIT & LAI (99, BITZARAIS et al. (997 CEN & BYREDDY (997. ara a análse numérca em processamento dstrbuído de um problema mecânco usando-se um método dscreto qualquer Método das Dferenças fntas (MDF, Métodos dos Elementos Fntos (MEF ou Método dos Elementos de Contorno (MEC, é necessáro aplcar uma das duas dferentes estratégas: a subdvsão da geometra do modelo em subdomínos. Cada subdomíno é montado em um computador ndependentemente e trocam-se nstruções entre os processadores para conectar as dferentes partes do mesmo problema. Esta técnca é descrta como decomposção em domíno com abordagem eplícta; a resolução do sstema é montada e resolvda em paralelo, sem levar em conta a geometra do problema físco. Esta estratéga é denomnada de decomposção em domíno mplícta. A técnca da abordagem eplícta é um procedmento que ege o uso de um algortmo adequado para a dvsão da geometra do problema físco de modo a garantr um equlbrado balanceamento de parâmetros dentro de cada subdomíno. O estudo desses algortmos pode ser encontrado em SN & CIEN (99, WALSAW et al. (995, ARYIS & MAR (995 e TOIN & AN (996.

168 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 50 or outro lado, a aplcação da técnca da decomposção em domíno mplícto não ege algortmos de dvsão de domíno, sendo que o prncpal enfoque dado para se eplorar o paralelsmo é no uso de um método de resolução de sstemas lneares que se auste a esta nova arqutetura. Independentemente da técnca empregada para a montagem do problema, a resolução do sstema lnear é o prncpal gargalo enfrentado para se obter mas alta performance em computação dstrbuída. Neste conteto, duas lnhas de pesqusas focam o problema. Os grupos que aplcam os métodos dretos em processamento concorrente, onde podem-se ctar os trabalhos de ZOIS (988a e 988b, ADELI & AMAL (99, RAO et al. (99, LAW & MACAY (99, TOIN & AN (996 e JIAN et al. (997. E, por outro lado, os pesqusadores que empregam os métodos teratvos: CMINATO & MENEETTE (998, ROSSO & RIETTI (988, LAW (986, BITZARAIS et al. (997, BATE (98, DEMMEL (99 e CIMERMAN (996. ara um melhor entendmento das vantagens e desvantagens da aplcação de um ou outro método de resolução de sstemas, ver ALMEIDA ( Decomposção em domíno com abordagem eplícta A técnca da decomposção em domíno eplícta pode ser descrta como dvdr e conqustar, pos são algortmos que obetvam a dvsão do problema em uma sére de suroblemas que são montados ndependentemente em cada computador e analsados em conunto medante os empregos das gualdades de frontera entre as nterfaces comuns dos subdomínos. Esta estratéga tem sdo amplamente utlzada por mutos pesqusadores: FARAT & ROX (99, SAXENA & ERCCIO (99, BITZARAIS et al. (997 e ADELI & AMAL (99. ara se empregar esta técnca, é precso destacar que as dvsões dos dversos subdomínos não devem ser fetas aleatoramente. os, como cada

169 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 5 conunto de subdomínos va estar localzado em um determnado computador, nada mpede que em cada um destes haa uma maor quantdade de graus de lberdade do que em outro processador, acarretando uma dvsão da carga de trabalho desgual e, assm, o surgmento de tempo ocoso e comprometmento do desempenho do processamento dstrbuído. Outro crtéro também mportante para a melhor utlzação da técnca de decomposção em domíno eplícta é gerar o menor número possível de nós na nterface, para que a comuncação entre os processadores sea mínma. Assm, é comum o emprego das conhecdas técncas de subestruturação (ver RZEMIENIECI (96. O procedmento para esta otmzação consste em fazer com que as varáves nternas de cada subdomíno seam escrtas em termos das ncógntas das nterfaces de seu respectvo subdomíno. Resolve-se, então, o sstema partconado entre os processadores apenas com os parâmetros assocados ao contorno, fazendo as trocas de mensagens necessáras entre os processos. Fnalmente, para cada processador com posse dos deslocamentos das nterfaces de seu respectvo subdomíno, calculam-se seus parâmetros nternos. Subdomínos:,, ; Γ / Γ / Condensando valores para Γ / e Γ / ; Resolvendo problema de nterface; Retornando em cada sub-regão para cálculo seus de valores. Fgura 6. Esquema smplfcado da técnca da decomposção em domíno. A subestruturação traz a vantagem de elmnar todos os graus de lberdade nternos de cada subdomíno, o que dmnu o número de varáves para trocas entre os dversos processadores e, também, para se resolver o

170 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 5 sstema lnear, uma vez que a ordem de operações envolvdas nesta fase é O ( n, onde n smbolza a dmensão da matrz fnal. 6.. Método da rgdez sucessva aplcada em processamento dstrbuído A estratéga adotada neste trabalho é a da utlzação da técnca da decomposção em domíno eplícta com subestruturação. O procedmento apresentado no capítulo para se avalar a não-homogenedade do solo enrecdo com elemento de fundação, chamado de rgdez sucessva, é vsto como uma técnca de decomposção em domíno. Cada estrato do solo representa um subdomíno, e pode-se construr suas matrzes de nfluênca em cada processador, elmnando-se as sub-regões que estão nternas ao estrato procedmento que cada processador realza ndependentemente. Deste modo, as superfíces adacentes e são equlbradas e compatblzadas, e a matrz gerada na nterface é armazenada no processador. Ver o esquema da fgura (6., onde ndca um processador genérco. η/η- η η η / / Fgura 6. Modelo de cração e transferênca de dados em árvore entre processadores.

171 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 5 A técnca da rgdez sucessva apresenta vantagens na utlzação de programas desenvolvdos tanto para processamento seqüencal quanto para processamento paralelo. os esta técnca permte a smulação de problemas de grande escala sem a geração de sstemas que englobem todas as varáves da geometra do modelo. Isso porque cada subdomíno é reescrto em função de seu domíno adacente. E, no fnal, apenas as varáves do contorno da superfíce são empregadas para a resolução do sstema, dmnundo sensvelmente o número de operações para tal fase de análse. ara o caso de processamento seqüencal, a decomposção em domíno com subestruturação é vantaosa, uma vez que se tem o lmtante físco, que é a memóra dsponível para alocação das varáves. E á fo mostrado que o número de operações envolvdas para se condensar as varáves nternas é menor que o número de operações envolvdos para a resolução do sstema lnear (ver capítulo. Em relação à aplcação dessa técnca em processamento dstrbuído, além das vantagens apresentadas em termos de operações, o ganho em termos de tempo é sgnfcatvo, uma vez que os dversos subdomínos são montados smultaneamente. No tem (6., são apresentados alguns eemplos onde se mostram seus parâmetros de desempenho. 6.. Medda de desempenho A medda usual de desempenho no processamento de programas ou de trechos paralelos é o fator conhecdo como Speed-up. Este equvale à relação do quocente entre o tempo necessáro para sua eecução em programação sequencal e o tempo em processamento paralelo com n processadores. Assm, esta relação é epressa por: Speed up Tempo com processador Tempo com n processadores (6.

172 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 5 Esta relação mostra que para valores acma de um, tem-se um ganho na eecução do processamento com n processadores. Alada à medda de speedup, tem-se a medda de efcênca do processo, a qual é dada pela relação: 00 ( Speed up (6. Efcênca (% número de processadores Em AMDAL (967, mostra-se que o lmte superor do speed-up é dado pela relação (6. Speed up r s n de tal modo que r representa a fração em tempo do processo que é paralelzável dentro programa, e s é a fração que deve ser eecutada seqüencalmente, ou sea, sr-. Assm, por eemplo, onde o tempo de análse em paralelo é bem superor que o tempo sequencal, pode-se, sem perda de generaldade, afrmar que r, assm, cem por cento do programa é paralelzável. ortanto, nestes casos, o speed-up é lmtado por: ( Speed up n (6. O speed-up, como á salentado, é um meddor de desempenho do processamento que compara a performance do programa seqüencal com sua versão em paralelo. Entretanto, conforme mostrado pela equação (6., smplfcadamente é estabelecdo que seu valor está lmtado pelo número de processadores. E, em geral, o valor do speed-up fcará bem abao deste valor, podendo até ser um valor menor que um, para um número reduzdo de processadores. Isto ocorre, prncpalmente, em vrtude do gargalo surgdo quando da necessdade de espera dos processadores para trocas de mensagens e da

173 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 55 sncronzação dos processadores dentro dos processos e/ou das nstruções, prncpalmente para o caso aqu tratado, onde se têm poucos processadores para verfcar os fatores de desempenho. ara destacar esta perda de efcênca do processamento paralelo, em JIAN et al. (997 obtém-se um speed-up em torno de 0 para a análse em paralelo com computadores cada um com sua memóra local - de um sstema com a fração em paralelo bem prómo a um. A efcênca obtda em seu trabalho fo de 5%. 6.. Modelo mestre-escravo do VM O sstema arallel Vrtual Machne (VM é um pacote empregado dentro dos códgos convenconas, e tem o ntuto de nterlgar os dversos computadores para realzarem entre s a comuncação entre os dversos dados envolvdos na resolução de um problema em paralelo. O VM usa, então, o modelo de passagem de mensagem para permtr programadores eplorarem a computação dstrbuída através de uma etensa varedade de tpos de computadores. O conceto chave no VM é que ele faz com que uma coleção de computadores pareça como uma grande máquna vrtual, por sso o seu nome. O paradgma mas comumente empregado pelo VM é o modelo mestreescravo, o qual possu um programa prncpal, nomeado de mestre, responsável pela geração (spawnng do processo, ncalzação das nstruções em paralelo, obtenção dos resultados dos outros processadores e pela saída destes em arquvos. Enfm, ele é responsável pelo gerencamento das tarefas que serão eecutadas pelos dferentes processadores. Os programas escravos eecutam a computação necessára, sendo que eles são gerados e controlados pelo processo mestre. Toda esta computação envolve fases:

174 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 56 A prmera é a ncalzação do processo no grupo, ou sea, no programa onde se aplca as subrotnas do VM. O mestre aloca o número de processos escravos requerdos pelo usuáro e coloca todos (mestre mas escravos em um grupo. A Segunda fase é a computação em s, onde todos do grupo eecutam as tarefas atrbuídas a cada um deles e, quando necessáro, trocam, transmtem ou recebem dados de outros processos, sendo que esta comuncação pode ser feta entre todos do grupo. A tercera fase é a obtenção e a apresentação dos resultados e, fnalmente, o grupo partcpante de todo o processo é desfeto, termnando assm o processamento em paralelo. odendo, anda, ser eecutado nstruções pelo processador mestre, em sére e, se necessáro, ncar a geração novamente com um novo grupo. O sstema VM fo desenvolvdo para mplementação em programas que sustentam as seguntes lnguagens: C, C e FORTRAN. As subrotnas estentes para essas lnguagens somam mas de 00, e que conseguem atender aos problemas convenconas do usuáro. Caso sea necessáro, podem ser obtdos tanto o sstema VM com subrotnas em C e em FORTRAN, como o seu manual contendo todas as subrotnas, va f pela rede, medante o segunte endereço: netlb.cs.utk.edu; cd pvm/book; get refcard.ps Eemplos numércos Nesse sentdo, o códgo computaconal desenvolvdo neste trabalho fo mplementado tanto em processamento sequencal, como em processamento paralelo usando o sstema de passagem de mensagem VM. Apresenta-se, então, um eemplo numérco avalado em processamento paralelo, onde o resultados são obtdos na máquna do CISC localzada no

175 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 57 campus da S em São Carlos, sendo um computador com arqutetura paralela do tpo IBM 9900/S com processadores com 56 Mbytes por nó, ver TTORIAL do IBM (998 e TTORIAIS do CISC ( Whtaker sem estaca Este eemplo é consttuído por uma rede formada por 90 nós e elementos para cada camada do solo, e representa o problema apresentado no tem.7., fgura.9, mas á empregando a técnca mostrada no capítulo e sem a consderação do elemento de fundação. Dvdram-se as camadas do macço de modo a se ter cada processador processando sobre cada estrato. Assm, as tabelas 6. a 6. avalam o speedup e a efcênca obtdos para esses dversos casos. Todos os tempos são meddos em segundo. Tabela 6.: ara camadas do solo. N de processadores T montagem T resolução T total Speed-up Efcênca (%,99 0,0,0 00, 0,0,7,96 98, lataforma wndows 09,67 0,05 09,7 - - Tabela 6.: ara camadas do solo. N de processadores T montagem T resolução T total Speed-up Efcênca (% 67,89 0,0 67,9 00,6 0,0,9,5 76,08 0,0,,96 98,8 Tabela 6.: ara camadas do solo.

176 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 58 N de processadores T montagem T resolução T total Speed-up Efcênca (% 8,8 0,0 8, 00,98 0,0 5,8,97 98,5 5,5 0,0 5,57,97 65,7 Tabela 6.: ara 6 camadas do solo. N de processadores T montagem T resolução T total Speed-up Efcênca (% 76,5 0,0 76, ,5 0,0 68,57,97 98,6 6,5 0,0 6,55,95 98, Lâmna quadrada apoada sobre meo sem-nfnto Este eemplo representa o problema analsado no tem (5., com o uso da rede a, vde fgura (5., o qual é consttuído por uma rede formado por 5 nós e 7 elementos para cada camada do solo. Deste modo, dvdu-se o meo em camadas, apresentando então os resultados de tempo processamento quando se emprega e processadores. Tabela 6.5: ara camadas do macço. N de processadores T montagem T resolução T total Speed-up Efcênca (% 88,70 7,5 900, ,0 6,0 80,6,8 9, ma estaca no meo fnto não-homogêneo Avala-se o tempo de processamento paralelo para o eemplo apresentado no capítulo 5, tem 5.8, o qual representa uma estaca mersa em um meo fnto não-homogêneo. Assm, o macço é consttuído de camadas, onde cada camada possu 55 nós e 056 elementos, onde também deve se

177 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 59 somar para a prmera e segunda camada o número de nós gerados pela estaca, assm, estes dos estratos possuem um total de 680 nós. Apresenta-se na tabela 6.6 o speed-up e a efcênca para a o caso de se empregar processadores. Tabela 6.6: ara camadas do macço. N de processadores T montagem T resolução T total Speed-up Efcênca (% 69,7 56,6 68, , 56, 89,57,5 8,99 Os três eemplos apresentados mostraram que o uso da técnca da decomposção em domíno empregada, consderando cada camada como se fosse um domíno, demonstrou ser uma manera efcente para se obter boa performance do processamento. É váldo se acrescentar que a mplementação do códgo sequencal para processamento paralelo fo medata, sem complcados epedentes adconas, sendo sto o ponto chave do emprego do paralelsmo, ou sea, utlzá-lo apenas como uma ferramenta numérca, sem a necessdade de profundas alterações no códgo sequencal. 6. Resolução de sstemas lneares esparsos Nos problemas convenconas de análse numérca, como na resolução de sstemas lneares, nas técncas de mínmos quadrados e nos autoproblemas, é mprescndível a eploração de qualquer estrutura especal estente no problema. or eemplo, na resolução de um sstema lnear de dmensão n n, o custo computaconal é da ordem de n operações em ponto flutuante no caso de se usar a mas geral forma da elmnação de auss. Se for somado ao

178 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 60 problema a nformação de que o sstema é smétrco e postvo defndo, podese economzar metade do trabalho, onde se chega a um outro algortmo denomnado de Cholesky. Caso se adcone anda ao problema a característca de banda à matrz, com semcomprmento de banda de dmensão m (ou sea a 0 se > m, então pode-se reduzr o custo a ordem de n m usando-se o procedmento chamado de Cholesky em banda. ara o presente trabalho, a matrz fnal do acoplamento entre o solo e a superestrutura pode gerar uma forma esparsa, onde a defnção de esparsdade esta relaconada ao fato de que os coefcentes nulos da matrz são em maor quantdade que os não-nulos. Essa esparsdade acontece se estr regões em que o solo e a superestrutura não se concdem, por eemplo, para o caso de um edfíco sobre o solo. Além dsso, no acoplamento MEC/MEF a matrz fnal gerada não é nem smétrca, e nem possu, a pror, uma estrutura de dados que se confgura em banda. É necessáro, então, procurar algortmos de resolução de sstemas que tratem este tpo pecular de matrz. As técncas de resolução de sstemas lneares se dvdem em duas grandes frentes dstntas: os métodos dretos, e os métodos teratvos. ara o caso da aplcação dos métodos dretos sobre matrzes esparsas, ctam-se os trabalhos de DFF & REID (98 e DEMMEL (99 para sstemas smétrcos, e DFF (977 para não-smétrcos, e DFF et al. (990 é uma ecelente referênca para estudar os métodos dretos para matrzes esparsas. ara a aplcação va métodos teratvos, têm-se os trabalhos de ALMEIDA & AIVA (000, ALMEIDA & AIVA (999, CIMERMAN (996 e SCMIT & LAI (99 para as matrzes smétrcas, e para as não-smétrcas se tem o trabalho ponero de SAAD & SCLTZ (986. A maor vantagem que este para o emprego dos métodos dretos em sstemas esparsos é a respeto de que esses métodos não são sensíves ao condconamento da matrz quanto à convergênca do sstema. Assm, o número de operações em ponto flutuante necessáro para se obter o vetor solução é

179 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 6 conhecdo a pror, ndependente do número de condção da matrz, desde que este não sea nfntamente grande, o que representa uma matrz sngular. Como maor desvantagem do método aplcado a problemas esparsos é em relação ao efeto de fll-n, ou termo também denomnado de efeto de preenchmento, que pode preudcar a convergênca do algortmo. Isso acontece porque, em geral, os métodos dretos se baseam no processo de elmnação de auss, e sabe-se que quando a matrz esparsa está sendo fatorzada, dependendo da posção dos valores não-nulos, as matrzes trangulares se tornam não-esparsas, o que acarreta em uma geração e posteror manpulação de dados etra. ara o caso da matrz apresentar uma típca estrutura em banda, o efeto de fll-n não ocorre, o que evdenca o uso dos métodos dretos. Em relação ao uso dos métodos teratvos, a maor vantagem estente para o seu emprego é que estes métodos ndependem da estrutura de dados estentes na matrz, ou sea, não há efeto de fll-n, uma vez que estes métodos não alteram a matrz do sstema, mas realzam teratvamente o produto matrz-vetor, e averguam a norma entre este vetor resultante e o vetor ndependente, e a dreção tomada para o prómo vetor resposta depende do método teratvo empregado. Como maor desvantagem para o uso dos métodos teratvos, é em relação a sensível dependênca de convergênca com relação ao condconamento da matrz, uma vez que as dreções tomadas a cada teração podem não levar a um campo mas prómo da resposta deseada, á que essas dreções obtdas - a cada teração - dependem de uma relação espectral da matrz, ou sea, do seu condconamento. Isso, na prátca, representa que para um sstema bem-condconado, ou sea, número de condção prómo do valor untáro, a convergênca pode ocorrer em poucas terações, quase que ndependente do vetor resposta ncal adotado. or outro lado, para sstemas mal-condconados, essa convergênca é sofrível, quando não mpossível, mesmo usando-se técncas de aceleração de convergênca, denomnadas de técncas de pré-condconamento.

180 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 6 Em suma, escolher o melhor método para resolução de sstemas esparsos depende fortemente de dos crtéros: conhecer a estrutura de dados da matrz; conhecer o número de condção do sstema. Assm, a busca do melhor método va depender da análse desses crtéros. 6.. Aplcações numércas Apresenta-se neste tem três eemplos que avalam a nfluênca da esparsdade, da estrutura de dados e do número de condção perante o uso de alguns métodos de resolução de sstemas lneares. Os eemplos foram eecutados em computadores pessoas e em computação sequencal Acoplamento edfíco/rader/solo Avalou-se o tempo de processamento apenas para a resolução do sstema lnear gerado no eemplo do acoplamento edfíco/rader/solo, tem 5.5. A matrz fnal contém equações, onde a quantdade de coefcentes nãonulos é de 6 % (5,E6 coefcentes. Na fgura 6., pode-se notar a estrutura de dados estente para este caso. No trecho ncal da matrz, percebe-se que os coefcentes não-nulos estão concentrados ao redor da dagonal prncpal, este trecho representa os termos de nfluênca do edfíco va MEF. O segundo trecho representa a regão de contato entre os elementos fntos e os elementos de contorno, e as regões em branco ndcam a nestênca de nfluênca entre os parâmetros de rotação da lâmna com os do solo, pos para o solo as rotações não estem. O tercero trecho ndca a regão de nfluênca entre os valores apenas do solo, assm essa regão representa uma submatrz populosa, uma vez que essa é a característca das matrzes do MEC. Tem-se mplementado no códgo computaconal três métodos de resolução de sstemas esparsos não-smétrcos:

181 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 6 a Método dreto baseado nas rotnas da bbloteca IMSL, desenvolvdo por Ard et al. (977, mas que não aproveta a característca esparsa da matrz; b Método dreto baseado no pacote de matrzes esparsas, desenvolvdo no laboratóro de arwell na Inglaterra por DFF (977, onde a versão empregada é a famíla do MA8; c Método teratvo denomnado de MRES (sgla de eneralzed Mnmum Resdual, orgnalmente proposto por SAAD & SCLTZ (986, sendo que nesse eemplo usou-se o précondconador Jacob. Fgura 6. Estrutura de dados para a matrz gerada no acoplamento edfíco/rader/solo.

182 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 6 Tabela 6.7: Tempo (mnutos para resolução do sstema lnear com graus de lberdade e com 6% de coefcentes não-nulos. Métodos para resolução de equações lneares entum III, z processador, B Cde memóra Ram entum IV Dual,.7z, B RDRAM Rotnas do IMSL - DLSLR 0 6, MRES: (εe-9 6,6 5, MRES: (εe-6, 5, MA8 9,0,9 A prmera técnca, a qual é baseada no método dreto, não leva em conta a propredade de esparsdade da matrz fnal, assm ele não é adequado para resolução deste tpo de problema, como pode ser verfcado seu tempo de resolução na tabela 6.7. O segundo, é o mas convenconal método teratvo aplcado para a solução de sstemas lneares não-smétrcos esparsos. O custo computaconal do método, como á salentado, é para a realzação de um produto matrz-vetor ao longo de cada teração, e a confguração esparsa gerada no fnal da matrz não representa um fator relevante para a convergênca do método. Mas, a maor dependênca do MRES é devdo ao número de condção da matrz, e para a aplcação em problemas elastostástcos do MEC, em geral, essa propredade da matrz não é bem-condconada, prncpalmente, para o caso de acoplamentos entre MEC/MEC e MEC/MEF. O pacote de matrzes esparsas do laboratóro arwell, MA8, o qual é baseado no processo de elmnação de auss, mostra que a estrutura de dados gerada na matrz, fgura 6., é um fator determnante para uma rápda eecução do códgo, sso devdo ao efeto de fll-n. Entretanto, nenhum tpo de técnca ou software estentes para otmzar a estrutura de dados fo empregado, e mesmo assm o tempo para resolução do problema proposto neste tem, vde tabela 6.5,

183 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 65 mostra uma boa efcênca na resolução de problemas advndos do acoplamento MEC/MEF roblema MEC/MEC para o caso bdmensonal Este problema é baseado na formulação do MEC utlzando a solução de elvn para o caso bdmensonal. Avala-se, então, um problema onde se consderam quatro sub-regões (vde fgura 6.. Na fgura 6.5 apresenta-se a confguração da estrutura de dados gerada para a matrz fnal do sstema lnear. A tabela 6.8 compara as dferentes técncas de resolução de sstemas. O método dreto MA8 não apresentou vantagem, sso porque o método é dvddo em dos grandes estágos: o estágo de ANÁLISE da estrutura de dados; o estágo de FATORAÇÃO dos dados. No prmero estágo, se escolhe os coefcentes que serão os pvôs e se dentfca a estrutura de fll-n da matrz. Essa prmera parte ege em torno de 70% do tempo total do método. E como a matrz esparsa fnal possu uma estrutura de dados que leva a geração de uma matrz densa na fatorzação, sso devdo ao grande efeto de fll-n, este estágo se torna o grande gargalo do uso do MA8, e quanto maor o efeto fll-n tem na matrz, mas nadequado é seu uso para a resolução de sstemas esparsos. O método teratvo não depende dessa confguração de dados, só é dependente do condconamento da matrz fnal. É necessáro comentar que todas as sub-regões apresentam as mesmas propredades físcas e geométrcas, assm, as gerações das matrzes de nfluênca e são, ndependentemente, bem-condconadas. Entretanto, a matrz fnal do sstema, onde se msturam as matrzes e, em vrtude da característca ntrínseca do MEC, leva a uma matrz fnal não tão bem-condconada. A rotna do IMSL empregada não leva em consderação a característca esparsa da matrz, e o tempo de resolução usando esta rotna, tabela (6.8, demonstram sua baa efcênca para casos esparsos.

184 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 66 Tabela 6.8: Tempo (segundos para resolução do sstema lnear com graus de lberdade e com % de coefcentes não-nulos. Métodos para resolução entum III, z de equações lneares processador, B Cde memóra Ram Rotnas do IMSL - DLSLR 89,85 MRES: (εe- 5,5 MRES: (εe-9,0 MRES: (εe-6 9,5 MA8 6,67 Fgura 6. Estrutura de dados para a matrz gerada em um problema MEC/MEC D.

185 6 - aralelsmo e resolução de sstemas esparsos 67 Fgura 6.5 Estrutura de dados para a matrz gerada em um problema MEC/MEC D roblema da membrana de Cook va MEF O eemplo tem o ntuto de mostrar dferentes modelos de resolução de sstema aplcados para os métodos dos elementos fntos. Como as matrzes do MEF são smétrcas e esparsas, pode-se utlzar métodos de resolução que eplorem estas característcas. Assm, comparou-se o método teratvo denomnado de radentes Conugados com e sem a aplcação de pré-condconadores com dos métodos dretos. O método dos radentes Conugados e os pré-condconadores empregados podem ser estudados no trabalho de ALMEIDA & AIVA (999 e ALMEIDA & AIVA (000. O prmero método dreto empregado é o método de elmnação de auss convenconal sem que se aprovete a esparsdade ntrínseca da matrz. Assm