PME5325-Fundamentos da Turbulência 2016

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1 4 CAPÍLO 5 A CINEMÁICA E A DINÂMICA DA RBLÊNCIA A PARIR DA APROXIMAÇÃO EAÍICA ILIZANDO-E A EQAÇÕE BÁICA DA MECÂNICA DO FLIDO 5.. Mecansmo da rblênca Como analsar as eqações do movmento em Mecânca dos Fldos, levando em conta a trblênca como m processo aleatóro? Como se mantém a energa cnétca da trblênca? Como é o processo de prodção, dsspação e transporte de trblênca? Qas são os parâmetros estatístcos mportantes a serem determnados em m processo trblento? Porqe a vortcdade e o fenômeno de estcamento de vórtces (vorte stretchng process) são mportantes no processo de geração de trblênca? Estas são pergntas mportantes, procrando respondê-las ao longo desse capítlo. Através da trblênca etra-se energa do escoamento médo nas grandes escalas. De acordo com a teora de Kolmogorov, conforme descrta no capítlo anteror, a trblênca é transferda em m processo de cascata as menores escalas, onde ocorre a dsspação de energa, o qe leva a qestão de transferênca de energa das maores para as menores escalas. A nterpretação de todo este processo, a partr das eqações do movmento aplcadas à snas aleatóros é o qe será feto a segr. 5.. Apromação Estatístca da rblênca Em Mecânca dos Fldos, m snal aleatóro (o randômco) meddo em m escoamento qalqer, pode ser representado pela sperposção de dos movmentos: m movmento médo e m movmento fltante em torno da méda. Consderando-se valores de velocdade e pressão meddos nstantaneamente em m escoamento trblento qalqer, tem-se qe: V v wk (5.) v V v sendo: (5.) w W w p P p Em notação tensoral, tem-se qe: (5.3) p P p PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP A fgra abao mostra a representação gráfca desse processo de sperposção de movmentos.

2 5 Fgra 5.. Representação esqemátca de m snal aleatóro estaconáro. Defne-se a méda temporal de m snal aleatóro de velocdade pelas relações abao: t lm ( t) dt 0 (5.4) t lm ( ( t) ) dt 0 PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP 0 Na fgra 5. o snal aleatóro é estaconáro, e nesse caso a méda temporal pode ser dada por:

3 6 t t 0 0 ( t) dt ( ( t) ) dt 0 (5.5) sendo m ntervalo de regstro do snal, sfcentemente longo, e determnado para cada condção epermental. A fgra 5. mostra a determnação epermental do valor de feta por Ortz (98) qando da medção da trblênca resdal, a sante de estrtras de dsspação por ressalto hdrálco. O nstrmento tlzado fo m mcromolnete de mm de dâmetro, de baa resposta em freqüênca, mas qe atenda as condções de medção em ressalto hdrálco, resltando para a aqsção de dados 500 s. PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP Fgra 5.. Determnação do tempo de regstro () de snal nstantâneo de velocdade a sante de estrtras de dsspação por ressalto hdrálco

4 7 ob o ponto de vsta estatístco, poderíamos representar a méda estatístca a partr da fgra segnte: Fgra 5.3. Representação esqemátca de dversas amostras de snas aleatóros de velocdade A méda estatístca das fltações de velocdade, neste caso, é dada por: N E[ ( t) ] lm k ( t) (5.4) N k endo o processo estocástco estaconáro, o valor da méda estatístca não vara com o tempo, e sendo assm: E [ ( t) ] E[ ] (5.5) e o processo estocástco é estaconáro, com a méda temporal não varando de amostra para amostra, tem-se qe a méda temporal é gal à méda estatístca: E [ ] (5.6) Pode-se conclr, portanto, nesse caso, qe ma únca amostra representa o nverso e o processo é denomnado de Processo Estocástco Estaconáro e Ergódco PEEE Nos escoamentos trblentos ncompressíves adota-se, va de regra, a condção de PEEE. PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP 5.3. A Eqação da Contndade Admtndo-se escoamento permanente de fldo ncompressível a eqação da contndade pode ser escrta na segnte forma: 0 (5.7) onde representa o valor nstantâneo da velocdade, sando-se notação tensoral. rando-se a méda da eqação (5.7), e consderando-se a decomposção do movmento trblento em dos movmentos (médo e fltante em torno da méda), reslta:

5 8 0 ) ( Aplcando-se as regras da notação tensoral, reslta: 0 O qe mplca qe: 0 eqação da contndade para o escoamento médo (5.8) btrando a eqação (5.8) da eqação (5.7), reslta: 0 eqação da contndade para as fltações trblentas (5.9) 5.4. Eqação da Qantdade de Movmento o Eqação de Reynolds O campo de velocdades e pressões nstantâneas para m escoamento ncompressível e permanente pode ser representado pela eqação de Naver-tokes, sando-se notação tensoral, conforme escrto abao: p ν (5.0) Mltplcando-se esta eqação pela massa específca e trando-se a méda, temse qe: (5.) Analsando-se separadamente os termos desta eqação, tem-se qe: ) ( ) ( Pela propredade do cálclo tensoral menconada abao: pode-se escrever a eqação anteror como: (5.) Por otro lado: d d ) ( ) ( p PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP

6 9 (5.3) Fnalmente : P p P p ) ( (5.4) bsttndo-se as eqações (5.), (5.3) e (5.4) na eqação (5.), reslta: P (5.5) o, alternatvamente: P ν (5.6) I II III IV ermo I termo de aceleração convectva do movmento médo; ermo II termo de aceleração convectva das fltações trblentas; ermo III termo de pressão do escoamento médo; ermo IV termo de vscosdade do escoamento médo. sando-se regra de dervação, tem-se qe: Portanto: (5.7) bsttndo a eqação (5.7) na eqação (5.5) e rearranando os termos da eqação, reslta: ) ( P (5.8) I II III IV A eqação (5.8) corresponde à eqação da qantdade de movmento obtda a partr da análse estatístca, eqação essa também conhecda por eqação de Reynolds. O sgnfcado físco de cada termo desta eqação está dado abao: ermo I termo de convecção de qantdade de movmento pelo escoamento médo; ermo II termo de gradente de pressão do escoamento médo; ermo III termo de varação do escoamento médo pelas tensões vscosas; ermo IV termo de varação méda das fltações trblentas. Verfca-se, portanto, pela análse dos termos III e IV, o segnte: PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP

7 0 tensões vscosas, de acordo com a Le de Newton da vscosdade (ver eqação.7). tensões trblentas, o as chamadas ensões de Reynolds, e qe se tradzem em m tensor smétrco de segnda ordem. Portanto a análse da eqação da qantdade de movmento aplcada a m escoamento trblento, permanente e ncompressível, sando-se a apromação estatístca, leva ao aparecmento das tensões de Reynolds, com ses novos termos adconas, o qe mplca na mpossbldade do fechamento do sstema clássco de eqações (eqação de Naver- tokes em três dreções e eqação da contndade), recando-se assm no chamado closre problem menconado na lteratra. A partr desse ponto srgem os chamados modelos de trblênca qe tem o obetvo de fornecer eqações alares qe permtam calclar as tensões de Reynolds. Os prmeros modelos de trblênca srgram a partr dos trabalhos de Bossnesq em torno de 870, aplcados a escoamentos em canas, qando fo proposta ma relação entre as tensões csalhantes e a taa de deformação de m escoamento médo ndmensonal. Prandtl em 95 ncorporo essas déas ntrodzndo o conceto de comprmento de mstra para defnr a vscosdade trblenta como: ν t lm lmlm (5.9) sendo: l m o comprmento de mstra em qe ocorre a troca de qantdade de movmento, estabelecendo-se ma analoga com o movmento lvre moleclar da teora cnétca dos gases; a escala de velocdade. Admte-se, portanto, nesses modelos smplfcados, qe as tensões trblentas poderam ser obtdas a partr da segnte eqação: τ trb t (5.0) eqação essa, qe procra estabelecer ma analoga entre o movmento moleclar e o movmento trblento, o qe mtas vezes tem sdo crtcado pela lteratra (ver BRADHAW,990), onde t representa a vscosdade trblenta (eddy vscosty) qe, conforme á dsctdo, é ma propredade físca do escoamento e não do fldo. Mas precsamente, poderíamos estabelecer essa analoga, tlzando-se a Hpótese de Bossnesq apresentada abao, qe relacona tensões com taas de deformações, conforme dsctdo no capítlo : τ trb t ( ) δ k (5.) 3 sendo: δ delta de Kronecker qe vale para e zero para ; k ( 3 ) energa cnétca das fltações trblentas. A determnação epermental das tensões de Reynolds é ma das chaves do conhecmento do processo de transferênca de qantdade de movmento e PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP

8 conseqüentemente do processo de trblênca. A falta de correlação entre as fltações de velocdade em das dreções ndca, por eemplo, m movmento ndmensonal, qe não caracterza processo de transferênca de qantdade de movmento o formação de trblênca. Por otro lado, os trblhões, para manterem sa energa, necesstam das tensões de deformação, sgerndo altos valores de correlação entre as fltações de velocdade. ma dscssão mas detalhada dos dversos modelos de trblênca apresentados na lteratra foge ao escopo dessa pblcação. A fgra 5.4 fo etraída de altara & Ortz (994) e mostra os resltados de tensões de Reynolds normalzados com a velocdade na entrada do ressalto, a sante de m ressalto hdrálco afogado. Os valores plotados correspondem a valores epermentas meddos com sstema LDA comparados com valores obtdos através de smlação nmérca. Observa-se qe as tensões de Reynolds são mto mas sgnfcatvas nto ao fndo, na regão crítca do ressalto (/Y ), mostrando o escoamento de retorno do perfl de velocdades, tensões essas qe dmnem bastante a sante e tendem a zero na sada do ressalto hdrálco (/Y 84), o qe caracterza ntensa trblênca no nteror do ressalto qe tende a se dsspar a sante. Fgra 5.4. Representação das tensões de Reynolds ao longo de m ressalto hdrálco afogado com Fr 8,9. A fgra 5.5 mostra o comportamento ansotrópco das fltações de velocdade nto à parede em m escoamento trblento, podendo-se observar a tendênca à sotropa, ao afastar-se da parede. A fgra 5.6 etraída de Vlalta e Ortz (000) mostra o comportamento das tensões de Reynolds nto à parede de m canal tlzando-se ága e solção polmérca PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP (polímero Iqapol de bao peso moleclar e polímero Iqapac de alto peso moleclar). Observa-se qe ocorre m amortecmento das tensões de Reynolds nto à parede qando da neção de qalqer dos polímeros e essa tendênca é mas sgnfcatva com o ncremento da concentração. Portanto os efetos das tensões vscosas passam a ser sentdos em posções mas afastadas da parede, com a ndção de efetos ansotrópcos nas componentes e v, verfcando-se ma perda de correlação entre as mesmas e, em conseqüênca, ma dmnção dos processos de transferênca de energa.

9 Fgra 5.5. Fltações de velocdade nto à parede de m escoamento trblento. PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP Fgra 5.6.Perfs de tensões de Reynolds para escoamento de ága pra e de solção polmérca em canal com Re e Re,0 4, respectvamente.

10 Eqação da Energa Cnétca do Escoamento Médo No tem anteror dedz-se a eqação de Reynolds da qantdade de movmento, representada pela eqação 5.8, consderando escoamento permanente de fldo ncompressível e admtndo força de campo desprezível. Essa eqação também pode ser escrta na segnte forma: ) ( P (5.8a) o, tlzando-se a propredade de smetra de tensores e a defnção de tensor smétrco de deformação: ) ( P δ (5.) tlzando a nomenclatra de ennekes & Lmley (97): (5.3) Portanto: (5.4) tensões médas totas no escoamento trblento. Mltplcando a eqação (5.4) por, reslta em energa cnétca por ndade de massa: (5.5) Mas, pela regra de cadea de dervação: (5.6) Note qe: (5.7) bsttndo a eqação 5.7 na eqação 5.6, reslta: P PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP

11 4 o, alternatvamente: ( ) (5.8) (5.9) I II III A eqação 5.9 corresponde a Eqação da Energa do Escoamento Médo, sendo: ermo II transporte de energa do escoamento médo, pelas tensões médas totas do escoamento trblento. ermo III trabalho de deformação do escoamento médo pelas tensões médas totas do escoamento trblento. ermo I varação da energa de trblênca do escoamento médo, por ndade de volme. A dstnção entre a transferênca espacal de energa e o trabalho de deformação é crcal para o entendmento da dnâmca da trblênca. tlzando-se os concetos das eqações 5. e 5.3, reslta: Portanto: [ Pδ ] (5.30) (5.3) I II onde: Pδ P( ) 0 representa a contrbção nla da pressão para o trabalho de deformação em m fldo ncompressível. Na eqação 5.3: termoi representa a contrbção das tensões vscosas ao trabalho de deformação, o qe sgnfca ma dsspação vscosa. Portanto a dsspação está relaconada a ma taa de deformação. termoii representa a contrbção das tensões de Reynolds ao trabalho de deformação (prodção de energa trblenta). A sbsttção da eqação 5.30 na eqação 5.9, reslta: PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP

12 5 ( P ) (5.3) I II III IV V onde: ermo I assocado ao transporte (o dstrbção) de pressão do escoamento médo; ermo II assocado ao transporte de energa do escoamento médo pelas tensões vscosas; ermo III assocado ao transporte de energa do escoamento médo pelas tensões de Reynolds; ermo IV assocado à dsspação vscosa dreta do escoamento medo; ermo V assocado à prodção de trblênca do escoamento médo. Em termos de ordem de grandeza, tem-se o segnte, para os termos da eqação 5.3: relações qe são váldas se a trblênca é caracterzada somente l pelas escalas e l. endo assm: ermov l P termo de prodção de trblênca. ermoiii l E termo de transporte de energa do escoamento médo pelas tensões de Reynolds. ermoiv D termo dsspatvo. ermoii EV termo de transporte de energa do escoamento médo pelas tensões vscosas. P l D l Re ν PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP No escoamento trblento o número de Reynolds é alto e, portanto, P>>D e sendo assm a prodção de trblênca, a partr do escoamento médo, é mto speror a dsspação vscosa dreta a partr das maores escalas. E EV l l Re ν Portanto os termos de transporte de energa do escoamento médo pelas tensões trblentos e o termo de prodção de trblênca são mportantes mecansmos na taa de varação o mdança de energa cnétca méda.

13 6 Embora a eqação da energa do escoamento médo (eqação 5.3) ale na nterpretação da dnâmca do movmento trblento, ela não contém mas nformação qe a eqação da qantdade de movmento, á qe fo obtda a partr dessa, por mera manplação Eqação da Energa Cnétca da rblênca A eqação qe governa a energa cnétca das fltações trblentas é obtda mltplcando a eqação de Naver-tokes para valores nstantâneos por, tomando-se a méda de todos os termos e sbtrando-se a eqação qe governa a energa cnétca do escoamento médo (eqação anteror). Portanto, reslta: p s s s (5.33) I II III IV V ermo I trabalho devdo ao gradente de fltações de pressão; ermo II transporte de energa pelas tensões vscosas; ermo III transporte de energa pelas fltações trblentas de velocdade; ermo IV termo de dsspação vscosa das fltações trblentas; ermo V termo de prodção de trblênca. Os termos I, II e III estão assocados a termos de transporte e representam a energa qe entra o sa do volme de controle. Estes termos, smplesmente redstrbem a energa de m ponto para otro do escoamento. Os termos IV e V estão assocados a termos de deformação do escoamento. Observa-se qe o termo de prodção de trblênca na eqação 5.3 tem snal postvo e na eqação 5.33 tem snal negatvo, o qe corresponde à transferênca de energa cnétca do escoamento médo para a trblênca e vce-versa (cascata nvertda). O termo de dsspação na eqação 5.3 é desprezível comparado com o termo de dsspação da eqação 5.33, onde a dsspação é a partr das menores escalas. Admtndo-se em prmera apromação prodção da ordem da dsspação da energa, podemos estabelecer ma ordem de grandeza para os termos da eqação 5.33: P s s PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP l s s s s Re s s

14 7 Para altos valores de Re s s o qe sgnfca qe a taa de deformação das fltações trblentas é mto mas rápda qe a taa de deformação do escoamento médo, o qe stfca a ndependênca estatístca entre as menores escalas (sotropa) e as maores escalas, cos movmentos não são comandados pela mesma faa de freqüênca. endo assm, as peqenas escalas de trblênca tendem a ser ndependentes dos efetos de orentação ntrodzdos pelas tensões médas de deformação, o qe eplca a sotropa nas peqenas escalas (sotropa local) Eqação da Vortcdade No capítlo a eqação da vortcdade, na forma tensoral, fo apresentada da segnte manera: dω ω ω ω ω ν (.35) dt t Por essa eqação percebe-se qe a vortcdade de m elemento fldo pode ser modfcada sea pelo stretchng do elemento, sea pelas tensões vscosas. Adotando-se a decomposção de Reynolds para a vortcdade, tem-se: ~ ω Ω ω (5.34) A sbsttção da eqação 5.34 na eqação.35, trando-se a méda dessa Ω e das fltações de eqação, condz às eqações da vortcdade méda ( Ω ) vortcdade ( ω ) ω, respectvamente representadas abao: I II III IV Ω Ω Ω ( Ω ω ) ω Ω Ω Ω ω s Ω Ω ν Ω Ω ν V VI (5.35) I termo de transporte pelas nterações velocdade-vortcdade; II termo análogo à prodção de trblênca na eqação de energa; III termo relatvo ao estcamento (stretchng) o encolhmento (shrnkng) dos vórtces pela taa de deformação méda; IV amplfcação o atenação por stretchng das componentes de fltação pelas taas de deformação das fltações; V transporte vscoso; VI dsspação. PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP

15 8 I II III IV V Ω ωω ω ( ωω ) ωω s ωω Ω ωs ω ω ν ωω ν (5.36) VI VII Onde: I gradente do termo de prodção; II transporte de vortcdade pelas fltações trblentas; III termo de stretchng pelas fltações trblentas; IV termo de stretchng pelas deformação do escoamento médo; V termo msto de prodção; VI transporte vscoso; VII dsspação Fnção de Densdade de Probabldade de m nal Aleatóro Consderando qe m snal trblento pode ser classfcado como m processo estocástco estaconáro ergódco, o nverso pode ser representado por ma únca amostra, conforme esqematzado abao: PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP Fgra 5.7 Representação esqemátca de ma sére temporal de m snal aleatóro e de sa fnção de densdade de probabldade Drante o ntervalo, o snal aleatóro (t) ca na banda de valores e d em m tempo total de dt, de modo qe:

16 9 dt dt lm B ( ) d (5.34) qe, para ser matematcamente válda tem-se qe para, B( ) d e qe corresponde ao ntervalo de tempo em qe B( ). Pode-se escrever anda: P ( ( t) d) B( ) d (5.35) omando-se a defnção da méda temporal para sfcentemente grande, conforme eqação 5.5, tem-se qe : t dt dt ( t) dt ( t) ( t) [ B( ) d] 0 t 0 No lmte para, pode-se escrever: B( ) d (5.36) defnção da méda a partr do conceto de fnção de densdade de probabldade. Analogamente poderíamos estender este conceto para os momentos de ordem speror, resltando: f ( ) f ( ) B( ) d (5.37) 5.9. Momentos de Dversas Ordens de m nal Aleatóro A eqação 5.37 permte o cálclo dos momentos de dversas ordens de m valor aleatóro de velocdade nstantânea. Removendo-se a méda reslta a eqação para os valores de fltação de velocdade: f ( ) f ( ) B( ) d (5.39) endo assm, temos para: -momento de prmera ordem (méda temporal): B( ) d 0 - momento de segnda ordem (varânca): A varânca é defnda por: σ E( ) [ E( )] ( ) Portanto: PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP B( ) d (5.40) Qe representa a méda qadrátca da fltação de velocdade, ca raz qadrada é o desvo padrão (RM) do snal aleatóro. O momento de segnda ordem não detecta ma evental falta de smetra da fnção de densdade de probabldade. - momento de tercera ordem (assmetra)

17 B( ) d (5.4) Nesta fnção representa-se a assmetra da fnção de densdade de probabldade com relação a orgem, conforme mostrado na fgra 5.8. Nessa fgra a assmetra está normalzada, resltando o coefcente de assmetra: 3 (5.4) 3 σ Observa-se qe na fgra 5.8 a assmetra é postva, porqe grandes valores postvos de fltações de velocdade são mas freqüentes do qe valores negatvos. Fgra 5.8 Fnção de densdade de probabldade com assmetra postva (etraído de ENNEKE & LMLEY,987) - momento de qarta ordem (crtose) 4 4 B( ) d (5.43) PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP O valor de crtose é grande se o valor de B() é sgnfcatvo na cada da fnção de probabldade, conforme mostrado na fgra 5.9, sendo ma medda de qanto tempo o snal gasta em níves de grande fltação. Na fgra tlza-se o coefcente de crtose, normalzado como: 4 K (5.44) σ 4

18 3 Fgra 5.9 Fnção de densdade de probabldade com peqena crtose e com grande crtose (etraído de ENNEKE & LMLEY, 987) 5.0. Fnção de Densdade de Probabldade Connta A fnção de densdade de probabldade connta defne a probabldade de qe ma varável aleatóra () caa no ntervalo e d, e, smltaneamente, ma varável aleatóra v caa no ntervalo v e vdv. Matematcamente, tem-se qe: P ( ( t) d.. e.. v v( t) v dv) B(, v) ddv (5.45) e os valores de v para m valor específco de são combnados, teorcamente tem-se : B ( ) B(, v) dv O, fando-se o valor de v, tem-se: B ( v) B(, v) d (5.46) (5.47) PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP Portanto a fnção de densdade de probabldade de prmera ordem pode ser obtda a partr da fnção de densdade de probabldade connta de acordo com as eqações acma. A representação gráfca da fnção de densdade de probabldade connta é dada na fgra 5.0, podendo-se perceber qe é representada por ma sperfíce bdmensonal.

19 3 Fgra 5.0 Representação esqemátca da fnção de probabldade connta (etraído de ENNEKE & LMLEY,987). 5.. Fnção de Correlação o Covarânca Partndo-se da defnção de fnção de densdade de probabldade connta, pode-se defnr a covarânca entre dos snas de fltações de velocdade como v v B( ) B( v) ddv (5.48) O coefcente de correlação pode ser obtdo normalzando a covarânca da segnte forma: PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP v y (5.49) v Com: ; sendo 0 não há correlação nenhma entre as y y fltações de velocdades; sendo, as fltações estão perfetamente y correlaconadas; sendo, as fltações estão perfeta e negatvamente y correlaconadas. A fgra 5. representa grafcamente esses resltados. No caso de e v serem estatstcamente ndependentes, tem-se:

20 33 v B( ) d vb( v) dv v 0 (5.50) e as fltações de velocdade não se correlaconam. Fgra 5.. Representação gráfca de valores de covarânca de snas de fltação de velocdades 5.. Fnção de Atocorrelação Enqanto a atocovarânca é ma medda de assmetra da fnção de densdade de probabldade connta, a atocorrelação revela a presença de perodcdade em m snal aleatóro. Estatstcamente, a atocorrelação é defnda como: N E[ ( t) ( t τ )] lm ( t) ( t τ ) (5.5) N Admtndo-se Processo Estocástco Estaconáro Ergódco (ntervalo de tempo de amostragem sfcentemente grande), reslta para a atocorrelação: PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP ( t) ( t τ ) ( t) ( t τ ) dt (5.5) E, nesse caso, a atocorrelação depende apenas no ntervalo (τ), como mostrado na fgra 5..

21 34 Fgra 5.. Amostras de m snal aleatóro de velocdade mostrando os valores de fltações nos nstantes t e t-τ. A normalzação da eqação 5.5 leva ao coefcente de atocorrelação: ( t) ( t τ ) ( τ ) ( τ ) (5.53) As propredades da fnção de atocorrelação de m processo estocástco estaconáro ergódco, estão epressas abao: ó depende do ntervalo τ; R ( τ ) R ( τ ) fnção par; R ( 0) ( τ ) ; R 0) σ R ( σ ( ) ; A fnção de atocorrelação pode ser negatva. PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP 5.3. Escala Integral de empo Estatstcamente a escala ntegral de tempo é ma medda do ntervalo sobre o qal a fltação de m snal trblento (t), correlacona-se com ele mesmo, conforme epresso na eqação abao: I 0 ( τ ) d τ (5.54) Como em trblênca assme-se sempre qe a escala ntegral é fnta, tem-se, na prátca:

22 35 I 0 ( τ ) dτ (5.55) Na fgra abao a escala ntegral de tempo I é dada pelo retânglo eqvalente a área relatva ao prmero crzamento com o zero do coefcente de atocorrelação. (τ) τ λ I Fgra 5.3. Representação esqemátca da escala ntegral de tempo e da mcroescala de aylor Correlação Espacal e Escala Integral Espacal Pode-se defnr a correlação espacal (o crzada) para τ 0, admtndo-se ma únca dmensão, como: R ( ξ ) ( ) ( ξ ) (5.56) dervando a defnção do coefcente de correlação espacal, o crzada: ( ) ( ξ ) C( ξ ) (5.57) Analogamente à escala ntegral de tempo, pode-se defnr a escala ntegral espacal, qe para m tempo fnto, e consderando ndmensonaldade é dada por: L L PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP 0 C( ξ ) dξ (5.58) Novamente L deve corresponder a m retânglo de área eqvalente à área relatva ao prmero crzamento com o zero do coefcente de correlação crzada (espacal) e deve corresponder ao tamanho apromado do trblhão na dreção da medda. e admtrmos qe as pertrbações trblentas são transportadas pelo escoamento médo sem dstorção (ndependentemente do tempo), pode- se argmentar qe: ) medção c ) campo (5.59) t

23 36 sendo c a velocdade de convecção da trblênca. A hpótese apresentada na eqação 5.59, corresponde a chamada Hpótese de aylor, conhecda na lteratra por rblênca Congelada. O cálclo das escalas ntegras apresentado nas eqações acma podera ser obtdo, alternatvamente, tlzando os snas de fltações de pressão como será vsto no capítlo segnte. PME535-Fndamentos da rblênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPP