3 Modelagem Estatística Clássica Modelos de Duas Equações κ-ε

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1 Modelagem Estatístca Clássca Modelos de Das Eqações - No últmo capítlo, constato-se qe, ao se realzar a méda de Reynolds nas eqações de Naver-Stokes, componentes do tensor de tensão de Reynolds ( τ ρ ) são ntrodzdos nas eqações de transporte de qantdade de movmento com méda de Reynolds (eq. A.). Estas novas ncógntas necesstam ser modeladas, a fm de fechar o sstema de eqações. Verfco-se, anda, qe bascamente das abordagens são tlzadas, para modelar as tensões de Reynolds: a hpótese de Bossnesq, conhecda como modelos de vscosdade trblenta; e a modelagem da eqação de transporte do tensor de Reynolds. Ambas as metodologas foram dsctdas no capítlo passado e as técncas tlzadas na modelagem das eqações de transporte eatas constam do Apêndce A. Na metodologa dos modelos de vscosdade trblenta, o tensor de tensão de Reynolds (τ ) é modelado ao se assmr m alnhamento entre o tensor de Reynolds e o tensor de deformação méda, va vscosdade trblenta (µ t ). Esta é a hpótese de Bossnesq. Sendo as tensões trblentas resolvdas em analoga as tensões vscosas, a vscosdade trblenta também é modelada, fazendo analoga com a vscosdade moleclar, como µ t ρ U L, onde U é a escala de velocdade e L a escala de comprmento do escoamento trblento. Nos modelos de vscosdade trblenta de das eqações emprega-se das qantdades trblentas, obtdas da solção de das eqações dferencas de transporte, para se levantar as escalas de velocdade e comprmento. A energa cnétca trblenta () é normalmente sada para se obter a escala de velocdade, U ~, enqanto o comprmento de escala é modelado por e ma qantdade trblenta adconal. Desde qe a taa de dsspação da energa cnétca trblenta () aparece natralmente na eqação eata da energa cnétca trblenta (eq. A.9), esta é a escolha mas óbva para segnda qantdade trblenta, sendo a escala de comprmento defnda como L / /. Esta forma de defnr a vscosdade

2 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 4 trblenta ( t C µ /, onde C µ é m coefcente empírco) de orgem ao modelo de das eqações mas largamente sado em cálclos de engenhara. O modelo - fo orgnalmente proposto no níco dos anos setenta, para alto números de Reynolds (Hanalc & Lander, 97; Lander & Spaldng, 974). Qando sado em connto com fnções de parede, o modelo orgnal é nmercamente bem comportado e tem sdo aplcado a ma varedade de problemas de engenhara com razoável scesso. Contdo, mtos escoamentos de mportânca tecnológca necesstam ser ntegrados até a regão da parede, partclarmente problemas onde o transporte de propredades nesta regão é mportante e onde há separação do escoamento. Vsando tornar os modelos - comptaconalmente efcentes, precsos e nversas, modelos para correções na regão da parede anda encontram-se em desenvolvmento. Atrb-se à modelagem da eqação da taa de dsspação a responsabldade pela maor parte das dfcldades do modelo na regão da parede. Sabe-se qe a taa de dsspação tem m valor fnto na parede, sendo, portanto, dfícl de especfcá-lo na frontera. A falta da condção de contorno natral para tem levado a tlzação de condções de contorno assntotcamente ncorretas. Por otro lado, o balanço de termos da eqação de modelada, na regão da parede, depende de correlações da alta ordem, ntrodzndo séras dfcldades. (Spezale et al., 99). Estas dfcldades podem ser fonte de mprecsões e dfcldades nmércas. Até m passado recente, não era possível a determnação eata das fnções ntrodzdas como correção na eqação de transporte modelada da taa de dsspação, devdo a dfcldade de se medr precsamente a taa de dsspação na regão da parede. No entanto, este problema começo a ser resolvdo com o aparecmento dos prmeros resltados da smlação nmérca dreta. Otra defcênca do modelo - refere-se a modelagem dos termos de transporte trblento e de dfsão trblenta da eqação da energa cnétca trblenta (Spezale et al.,99; Chen et al., 998). O comportamento assntótco do termo modelado não reprodz o comportamento do termo eato. Chen et al. (998) afrmam qe este termo tem grande mportânca no balanço nto a parede em escoamentos com recrclação. Os recentes resltados da smlação nmérca dreta fzeram renascer o nteresse pela modelagem das eqações de e, na regão da parede (Mansor et

3 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 44 al., 988; Rod & Mansor, 99; Chen et al., 998). O comportamento da taa de dsspação e dos város termos estão agora dsponíves, possbltando m melhor aste das correções. É também conhecda a ncapacdade do modelo - lnear predzer escoamentos secndáros em dtos não crclares o com qnas (Mompean et al., 996). Spezale (987) desenvolve m modelo - não lnear, baseando-se na smlardade entre o escoamento trblento médo de m fldo Newtonano e o escoamento lamnar do fldo vscoelástco de Rvln-Ercksen (Mompean et al., 996). O modelo não lnear prodz melhores resltados qe o modelo - lnear, onde as tensões de Reynolds normas tem mportante papel, como no caso dos dtos não crclares (Mompean et al., 996). Por otro lado, a teora do grpo de renormalzação fo aplcada as eqações de Naver-Stokes, da energa cnétca trblenta e da taa de dsspação, dando orgem as varantes lnear, não lnear e de bao número de Reynolds do modelo - renormalzado (RNG). Uma mportante característca destes modelos é o fato das constantes nmércas serem obtdas dretamente da teora do grpo de renormalzação, em contraste com as do modelo - padrão qe foram astadas emprcamente para escoamentos trblentos smples (Yakhot & Orszag, 986; Yakhot et al., 99; Orszag et al. 99). Deste modo, este capítlo propõe-se a estdar os modelos - e sas varantes de bao número de Reynolds e não lnear. Serão dsctdas brevemente as sas vrtdes e lmtações, além de serem apresentadas as eqações de governo. O capítlo se encerra com a dscssão dos modelos - renormalzados (RNG). Cabe destacar qe todo estdo da capacdade de predção e comportamento nmérco destes modelos, em escoamentos compleos, faz parte do Capítlo 6... Modelo - para Altos Números de Reynolds A forma de alto número de Reynolds do modelo -, qando tlzada ntamente com fnções de parede, tem provado ser ma poderosa ferramenta de predção de escoamentos trblentos. Inúmeros engenheros, em todo mndo,

4 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 45 motvados pela relatva capacdade de predção, smplcdade e robstez comptaconal, têm empregado este modelo na predção de escoamentos trblentos de nteresse prátco, tornando-o o mas poplar modelo de trblênca, apesar de sas bem conhecdas lmtações. O acoplamento modelo e fnção de parede tem a grande vantagem da economa comptaconal e se stfca nos problemas onde as nformações prómas a parede são rrelevantes. Os modelos - de alto número de Reynolds são baseados no conceto de vscosdade trblenta, hpótese de Bossnesq (877), no qal as tensões trblentas são proporconas a taa de deformação do escoamento médo (Hnze, 975): t k t k δ δ (.) onde o últmo termo, qe pode ser nterpretado como pressão dnâmca dos trblhões, é ncorporado para representar efetos de tensão normal assocados a fltações da pressão. é o componente da velocdade méda, e a vscosdade trblenta t é defnda em fnção da energa cnétca trblenta e sa taa de dsspação de acordo com a epressão: µ t t Cµ ρ (.) sendo C µ ma constante empírca. As eqações dferencas de transporte eatas de e são obtdas a partr de manplações das eqações de Naver-Stokes e constam do Apêndce A. Após a modelagem das eqações eatas, o modelo realza o fechamento do problema através do segnte sstema de eqações: t ( ) t P σ k (.)

5 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 46 t ( ) t [ C P ] σ C (.4) sendo o termo de prodção de energa cnétca P gal a P ' ' (.5) Para fldos ncompressíves, temos P t ( S S ) (.6) onde S é o tensor taa de deformação S (.7) O modelo contém cnco constantes empírcas, determnadas por comparação com dados epermentas de escoamentos trblentos smples. Os valores, qe foram estabelecdos por Hanalc & Lander (97) e Lander & Spaldng (974) (Hanalc, 994; Deschamps, 998), são: C,44; C,9; σ,0; σ, e C µ 0,09. Cabe destacar qe, enqanto na eqação da energa cnétca trblenta eata somente os termos de transporte trblento e de dfsão de pressão necesstam ser modelados, a eqação da taa de dsspação reqer ma modelagem mto mas drástca. Isto faz com qe mtas das dfcldades do modelo seam atrbídas a essa eqação. Contdo, é bem conhecdo qe a hpótese de ma relação lnear entre a tensão de Reynolds e a taa de deformação méda, própra dos modelos de vscosdade trblenta, mpõe severas lmtações aos modelos dessa classe. O caráter escalar da vscosdade trblenta é otra fonte de nconsstênca. Por eemplo, a ncapacdade do modelo prever adeqadamente escoamentos na presença de crvatras das lnhas de corrente, constantemente apontada como defcênca do modelo, é frto da relação lnear entre o tensor de tensão de Reynolds e o tensor de deformação méda. A fnção corrente do escoamento

6 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 47 médo ψ, onde ψ / y e v ψ /, é a solção da segnte eqação de transporte (Thangan & Spezale, 99): ( ψ ) ( ψ ) ( τ ) v 4 yy τ τ y τ y ψ y y y (.8) Verfca-se prontamente qe a dferença de tensão normal (τ yy -τ ) contrb de modo dreto para o cálclo da fnção corrente e, conseqentemente, para o campo de velocdade méda. Este é o caso para qalqer escoamento com lnha de corrente com crvatra, desde qe as tensões normas possam ser transformadas como: ( τ τ ) nn ss (.9) n s onde n e s são, respectvamente, as dreções normal e tangencal à lnha de corrente. Qanto ao modelo propramente dto, pode-se dzer qe o fato da vscosdade trblenta ser defnda eclsvamente por escalas característcas do movmento trblento, através das qantdades e, é ma fonte de nconsstênca. A vscosdade trblenta lga o tensor de Reynolds, ma qantdade trblenta, ao tensor taa de deformação méda, ma qantdade própra do movmento médo. É razoável, portanto, esperar qe a vscosdade trblenta dependa não somente das qantdades trblentas, mas também das escalas característcas do movmento médo. Portanto, otra defcênca, consste no fato de se tlzar somente ma escala de comprmento para caracterzar todas as nterações trblentas do escoamento. A tlzação da taa de dsspação como qantdade trblenta geradora da escala de comprmento característca do movmento trblento, se dá através da relação L~ / /. Todava, esta relação é obtda sob a hpótese de eqlíbro local da trblênca e da valdade da le logarítmca. Conseqentemente, é natral qe o modelo tenha dfcldades em escoamentos onde estas condções não se repetem, como, por eemplo, escoamentos com gradentes de pressão adverso e separações. A falta de ma condção de contorno natral para e a modelagem do

7 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 48 comportamento das correlações de alta ordem na regão próma a parede são lmtações da eqação da taa de dsspação apontadas na lteratra (Spezale et al., 99: Bradshaw, 997; Bredberg et al., 00). Apesar da forma smplfcada da eqação modelada da taa de dsspação, esta tem permtdo ao modelo obter razoável scesso em largo espectro de escoamentos trblentos. As defcêncas apontadas são bastantes séras, ndcando qe o modelo deve ser tlzado com catela na prevsão de escoamentos compleos, especalmente em stações onde não estam dados confáves. Estes cdados são mportantes, pos a possbldade de reprodzr comptaconalmente escoamentos trblentos com m únco connto de eqações modeladas e coefcentes empírcos é tentadora e fascnante para os engenheros em todo o mndo... Modelo - para Baos Números de Reynolds Como fo vsto no tem anteror, o modelo - lnear fo orgnalmente desenvolvdo para altos números de Reynolds por Hanalc & Lander (97) e Lander & Spaldng (974) (Hanalc, 994; Deschamps, 998) e tradconalmente é tlzado em connto com fnções de parede, qando aplcado a escoamentos lmtados por sperfíces sóldas. Essa combnação modelo e fnção de parede ege qe o ponto nodal prómo a sperfíce sólda estea na regão da sbcamada logarítmca, lmtando o refnamento da malha e não resolvendo a sbcamada vscosa. Além dsso, fnções de parede nversas não estem em escoamentos compleos e mtas aplcações tecnológcas mportantes egem a ntegração dos modelos de trblênca até a parede. Deve-se notar qe os efetos da promdade da frontera sólda são dferentes dos efetos de bao número de Reynolds. Embora, na regão próma a parede, o número de Reynolds local sea bao, há anda m efeto adconal de amortecmento seletvo, própro da sperfíce sólda. Nos escoamentos de altos números de Reynolds, os efetos da vscosdade estão restrtos a delgada sbcamada vscosa. Entretanto, se o número de Reynolds torna-se sfcentemente

8 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 49 bao, os efetos vscosos afetam todas nterações trblentas, casando m afastamento da sotropa local e amentando a nflênca da deformação méda sobre as menores escalas trblentas. Este efeto está presente em escoamentos lmtados o não por sperfíces sóldas. Em contraste, a parede torna apromadamente planas as estrtras trblentas, mpondo m amortecmento seletvo prncpalmente ao componente de velocdade normal à parede. A trblênca nas promdades da sperfíce sólda aproma-se de m estado plano. A smlação da sbcamada vscosa, de m modo geral, reqer, na estrtra do modelo - lnear, qe seam realzadas das modfcações. A nclsão de ma fnção de amortecmento, f µ, na defnção da vscosdade trblenta e modfcações nos termos de prodção e destrção da eqação da taa de dsspação. A fnção f µ vsa reprodzr tanto o amortecmento vscoso como o amortecmento preferencal das fltações de velocdade normal à parede sólda, enqanto as modfcações da eqação de devem garantr o correto comportamento assntótco da taa de dsspação na regão da parede (Apsley & Leschzner, 998). Algns modelos se propõem anda a corrgr certas defcêncas do modelo - tradconal, ncorporando emprcamente termos etras à eqação da taa da dsspação o à própra fnção de amortecmento f µ. O modelo proposto por Ahn et al. (997) pretende, através da especfcação da fnção f µ, consderar os efetos do afastamento da condção de eqlíbro da trblênca, longe da parede, enqanto o modelo de Zhang et al. (996) qer consderar, através da mesma fnção, o efeto da rgosdade da parede. Já o modelo de Yang & Shh (99) ncl, na eqação de, m termo fonte secndáro, a fm de consderar o efeto médo da não homogenedade do campo médo. Há também modelos qe resolvem ma eqação para a taa de dsspação modfcada (Lander & Sharma, 974; Chen, 98). A proposta de sar ma dsspação modfcada fo realzada ncalmente por Jones & Lander (97), tendo em vsta elmnar a snglardade da eqação de na parede. A dsspação modfcada, a qal normalmente é defnda como ~ χ, é estabelecda de tal modo qe a condção de contorno nla sea especfcada na parede para ~ (Patel et al., 985; Yang & Shh, 99). Neste caso, χ deve ter m valor não nlo na

9 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 50 parede, a fm de conservar o balanço da eqação de. Otro compromsso do termo χ é fazer com qe a taa de dsspação modfcada, na regão de escoamento completamente trblento, tenda para a taa de dsspação sada no modelo - de alto Reynolds. De m modo genérco, as eqações de governo dos város modelos - para bao número de Reynolds podem ser estabelecdas como: ( ) χ σ P t k t (.0) ( ) ξ σ t t t T E f C P T f C t (.) sendo a prodção da energa cnétca trblenta P, a tensão de Reynolds, o tensor deformação S e a vscosdade trblenta t dados por P ' ' (.) k k t t S δ δ (.) S (.4) t T t f C µ µ (.5) onde T t é a escala de tempo da trblênca, E é ma taa de dsspação modfcada, χ e ξ são fnções de correção das respectvas eqações de e, para a regão próma a parede, e f e ƒ são fnções de amortecmento. C, C, σ, σ são coefcentes dos modelos. É a especfcação de todos estes parâmetros e

10 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 5 fnções qe estabelecerá os dferentes modelos de bao Reynolds. Desde qe Jones & Lander propseram o prmero modelo de bao número de Reynolds, em 97, ma vasta gama destes modelos tem sdo apresentada na lteratra. Dentro deste grande espectro de opções, selecono-se, para serem estdados neste trabalho, os modelos de Lander & Sharma (974); modelo de Sakar (Sakar & So, 997); modelo de Myong & Kasag modfcado (Chen et al., 998); modelo de Yang & Shh (99); e o modelo Lam-Bewmhorst (Patel et al.,985; Rod & Mansor, 99). Estes modelos serão, respectvamente, referencados por LS, SA, MKM, YS e LB. Para adotar m valor nlo da taa de dsspação na parede, Lander & Sharma essencalmente não resolvem a eq. (.), para a dsspação verdadera. A varável efetvamente resolvda no modelo LS é a psedo dsspação ~ ( ). Os dferentes parâmetros e fnções de cada modelo estão resmdos nas Tabelas.,. e.. Na prmera tabela foram transcrtas as fnções de correção para a parede e a escala de tempo de trblênca. Já a Tabela. relacona as fnções de amortecmento, enqanto a tercera tabela defne todas as constantes dos modelos. Os números de Reynolds qe aparecem nestas tabelas são defndos como Re t /( ) (.6) Re y y / (.7) Re d ( ) /4 y/. (.8) Na Tabela., *, tlzado pelo modelo SA em ξ, é dado por * - /y. Anterormente verfco-se qe a fnção de amortecmento f µ vsa reprodzr os efetos da vscosdade e da promdade da parede. Baseando-se na observação de qe estes efetos são dstntos, Hanalc (994) propõe qe a fnção de amortecmento da vscosdade trblenta (f µ ) consdere soladamente cada efeto. Contdo, como afrma Patel et al. (985), é mto dfícl modelar cada efeto separadamente, em especal a promdade da parede. Algns modelos, qe

11 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 5 se propõem a fazer esta dstnção, tlzam a coordenada de parede (y ) y τ y / ; τ τ / ρ (.9) na fnção de amortecmento f µ, para consderar o efeto da promdade da sperfíce sólda (Spezale et al., 99; Myong & Kasag, 990). Entretanto, a defnção de y envolve a dstânca a parede y e a velocdade de atrto τ, tornando Modelo T t χ E ξ LS / -( ) ~ t [ ( k )] SA / 0,0 ~ ep[-(re t /40) ]*[-0,57 ( E) 0,5( * ) / -,5 P ] YS (/)(ν/) / 0,0 t [ ( k )] MKM / 0,0 0,0 LB / 0,0 0,0 Tabela. - Fnções de correção para parede dos modelos seleconados Modelo ƒ µ ƒ ƒ LS ep [-,4/(,0Re t /50) ],00,00-0,ep(-Re t ) SA ( R e/ 4 t )[ 80ep( -Red )] [ ep( (- Re /4- Re / 0 )] d d,00,00 YS [ ep(-,5 0 - Re y,00, Re )] y Rey MKM (,45 Re t ) [ ep( -,850- Re -,050-4 Re )] y y,00,00 LB [ ep( -0,065 R e )] [,0(0,5/ R )] y e t Tabela. - Fnções de amortecmento dos modelos seleconados,00,00- (0,05/f µ ) ep(-re t )

12 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 5 dfícl a especfcação desta coordenada admensonal o mesmo nvaldando a sa defnção em escoamentos compleos. Nos escoamentos com separação, ao redor do ponto de recolamento, a velocdade de atrto ( τ ) torna-se nla, nvaldando a defnção de y, enqanto y é dfícl de ser defndo na regão próma às qnas, por eemplo. Pode-se também dzer qe o so de y na fnção de amortecmento torna o modelo não nvarante qanto a estrtra de referênca, embora algns atores dgam qe esta sea ma defcênca teórca faclmente sperada (Yang & Shh, 99). Há modelos qe se propõe a resolver este problema, porém smplesmente sbsttem o so de y por Re y (y /), elmnando somente parte do problema (Chen et al., 998). Este procedmento normalmente é stfcado, ao ser afrmado qe, na regão de qna, é mto peqeno e a defnção eata de y torna-se rrelevante para a resolção do problema (Yang & Shh, 99). Das Tabelas. e., verfca-se qe todos os modelos escolhdos satsfazem a restrção de não empregar fnções de amortecmento com y, mas somente o modelo de Lander & Sharma (974) não faz so da dstânca a parede (y). Otra egênca mposta aos modelos de bao Reynolds é qe reprodzam o modelo de alto Reynolds na regão afastada da parede. Esta mposção torna-se evdente, se for consderado qe o modelo de alto Reynolds fo calbrado para reprodzr escoamentos smples na regão afastada da parede. Assm as fnções f µ, f e f deveram tender para m na regão afastada da parede e as constantes não deveram ser dferentes daqelas adotadas no modelo de alto Reynolds. A defnção de constantes dferentes daqelas orgnalmente proposta pode fazer com qe o modelo tenha dfcldades na regão afastada da parede em escoamentos smples. A análse da Tabela. mostra qe este é o caso do modelo Modelo LS SA YS MKM LB σ,00,00,00,40,00 σ,0,45,0,0,0 C,44,50,44,40,44 C,9,8,9,80,9 C µ 0,090 0,096 0,090 0,090 0,090 Tabela. - Constantes dos modelos seleconados

13 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 54 SA (Sakar & So, 997) e do modelo MKM (Chen et al., 998). Mta atenção hoe é dada ao comportamento lmte na parede das tensões de trblênca e dos termos das eqações de transporte de energa cnétca e de sa taa de dsspação (Mansor et al., 988; La & So, 990; Rod & Mansor, 99; Yang & Shh, 99; Chen et al. 998; Bredberg et al. 00). A satsfação das formas lmtes é vsta como m mportante crtéro de avalação dos modelos qe se propõem a resolver a regão da parede. A consstênca assntótca dos modelos é verfcada pelo comportamento lmte na parede de cada termo da eqação modelada em relação ao respectvo termo da eqação eata. A eqação eata da energa cnétca trblenta é, para estdo do comportamento lmte dos termos, commente escrta como: D ( ( ) ) ( ) (.0) Dt ( ρ p ) o smbolcamente C k D µ P k T k π k -, onde C k é o termo de varação, D µ a dfsão vscosa, P k a prodção, T k o transporte trblento e π k a dfsão de pressão o o gradente de pressão. 990): Assmndo-se as epansões de, na regão da parede, como (La & So, a ya y a y... ; v b y b y... ; w c yc y c y.. (.) onde a coordenada y é sposta ser normal a parede e os coefcentes a, b e c são fnções de, z, e do tempo, mas não de y, pode-se obter o comportamento assntótco de e : ( a ) ( ) a cc y aa cc y O( y 4 ) (.) ( a a c c ) 4 ( a a c c ) y O( y ) (.) Os dados acma mostram também qe y e v y. Portanto o

14 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 55 comportamento lmte dos város termos, a eceção de π k, pode agora ser avalado, nferndo-se o comportamento de π k (π k C k - D µ - P k - T k ). A epansão acma permte mostrar qe C k, P k e T k tendem para zero na parede pelo menos como y e D µ e comportam-se como y 0. Como: D µ ) w [ ( w y y )] ( a ( ) a cc) 6 aa cc y O( y ) (.4) a eqação só estará balanceada no lmte da parede, qando π ( a ) a cc y O( y ) (.5) Conseqentemente, o modelo de bao número de Reynolds não pode desprezar o termo de gradente de pressão no lmte da parede. De m modo geral, a eqação modelada da energa cnétca trblenta, eq. (.0), é semelhante para todos os modelos de bao Reynolds. Nesta eqação, o termo de varação (C k ) e o de prodção (P k ) contnam tendendo para zero na parede como y. Porém os termos π k e T k são modelados conntamente (D K π k T k ), como ma dfsão trblenta, por ma hpótese de transporte va gradente, a qal comporta-se como y. Deste modo, spondo-se qe o comportamento de sea eato e ma vez qe D µ é eato, verfca-se qe a eqação de não está balanceada no lmte da parede. Há necessdade de se ntrodzr m termo de correção, para a referda regão, qe comporte-se, no lmte da parede, como π k na eq. (.5). É nteressante notar qe, na forma lmte do termo π k, aparece eplctamente a vscosdade moleclar, enqanto esta não se faz presente na eqação de Posson para a fltação de pressão. Este fato é nvocado por algns modelos como stfcatva para neglgencar o spra ctado termo o não ntrodzr a vscosdade nos modelos qe vsam reprodzr o termo π k na regão da parede (Chen et al., 998). Contdo, a presença dos componentes do tensor de tensão de Reynolds na eqação de Posson faz com qe a vscosdade estea mplctamente nflencando as fltações de pressão. É portanto natral e perfetamente stfcável a presença da vscosdade na forma lmte do termo do gradente de pressão, devendo conseqentemente estar presente nos modelos do referdo termo. Os resltados da smlação dreta dos escoamentos trblentos em canal,

15 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 56 realzado por Km et al. (987), por eemplo, confrmam de fato qe a dfsão de pressão é neglgencável face aos valores ndvdas da dsspação e da dfsão vscosa, como freqüentemente assmdo (Hanalc, 994). Contdo, verfco-se qe, na regão da parede (y <0), este ma acentada dferença entre os dados da smlação dreta e os resltados do modelo de transporte por gradente, adotado para π k T k (Mansor et al., 988). Já Le et at. (997) realzaram a smlação dreta do escoamento trblento em degra ( backstep ). Os resltados, para a regão do canal antes do degra, também mostram m gradente de pressão desprezível, face os níves da dsspação e da dfsão vscosa, enqanto na regão de recrclação π k torna-se sgnfcatvo em comparação aos mesmos termos. O desbalanceamento da dsspação e da dfsão vscosa é sgnfcante na regão de separação dos escoamentos trblentos compleos, fazendo crescer a mportânca da modelagem do termo do gradente de pressão nesses escoamentos. Deste modo, pode-se verfcar prontamente qe o procedmento sal de agrpar os termos do gradente de pressão e de transporte trblento, modelando-os com a smples hpótese de transporte por gradente, não reprodz corretamente o comportamento de π k, na regão próma a parede. Os resltados das smlações nmércas dretas tem mostrado qe este modelo é efcente no núcleo trblento, mas também revelam qe, nas regões de recrclação, o gradente de pressão tornase mportante no balanço da eqação da energa cnétca trblenta e o modelo tornase nefcente. O amento nas fltações de pressão, na regão da recrclação, é devdo ao movmento das estrtras de vórtces da camada de csalhamento, sendo qe, neste caso, o se mámo ocorre afastado da parede. Há m sgnfcatvo amento das fltações de pressão na regão afastada da parede. Em regões de recrclação, as tensões csalhantes de Reynolds e ses gradentes são grandes fora da parede e, assm, as maores fltações de pressão ocorrem no nteror da camada de csalhamento (Na & Mon, 998). Já a eqação eata da taa de dsspação é normalmente escrta como: D C P Φ D D (.6) µ Dt onde P, Φ, D e D µ são respectvamente, os termos de prodção, destrção, dfsão trblenta e dfsão vscosa, dados por

16 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 57 k k k k P - [ - m k m k r k r k ] (.7) m k m k Φ (.8) m m k k m k m k p T D ρ π (.9) k D µ (.0) O termo de dfsão trblenta engloba os termos de transporte trblento e dfsão de pressão da eqação da taa de dsspação. Novamente, tlzando-se as epressões de, eq. (.), tem-se qe C O(y ), Φ O(y 0 ), P O(y ), D O(y 0 ) e D µ O(y 0 ). O balanço da eqação da taa de dsspação, no lmte de parede, para o caso de m escoamento trblento completamente desenvolvdo redz-se a (Spezale et al., 99): D y Φ (.) Esta epressão mostra prontamente qe o balanço dos termos da eqação eata de, no lmte de parede, é predomnantemente realzado pela dfsão vscosa, pela dfsão trblenta de e pelo termo de destrção da taa de dsspação, sendo qe os dos últmos envolvem correlações de alta ordem. Como o termo de dfsão vscosa é m termo eato, não necesstando, portanto, ser modelado, a modelagem do comportamento assntótco do termo de dfsão

17 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 58 trblenta e, prncpalmente, do termo de destrção torna-se fndamental, para o perfeto balanceamento da eqação de no lmte da parede. O termo de dfsão trblenta de, qe mas ma vez engloba dos termos, é também modelado pela hpótese de transporte por gradente D ( t [ y σ )] y (.) Este modelo não é assntotcamente correto, pos o termo eato é D O (y 0 ) no lmte da parede, enqanto o modelo é O (y ). Contdo, a análse dos trabalhos de Mansor et al. (988) e Rod & Mansor (99) mostra qe, embora o modelo não reprodza o comportamento do termo eato para y <0, o termo é desprezível face ao termo de destrção e de dfsão vscosa. O termo de dfsão trblenta é ma ordem de grandeza menor qe os prncpas termos no lmte da parede. Esta observação ndca qe o balanceamento do termo eato de dfsão vscosa da taa de dsspação, no lmte da parede, está todo apoado no comportamento assntótco do modelo do termo de destrção (eq..8). Cabe destacar qe, dentro da estrtra do modelo -, o ncorreto comportamento lmte da taa de dsspação rá desbalancear a eqação da energa cnétca trblenta no lmte da parede, devdo ao balanço de nessa regão ser dretamente dependente do comportamento de, como á fo vsto. Além dsso, há a possbldade deste comportamento crar dfcldades nmércas na regão da parede. Análse do comportamento assntótco do termo de destrção modelado Φ C f (.) mostra qe, sem consderar a fnção de amortecmento f, o termo é, no lmte de parede, O(y - ). Como o comportamento do termo eato de destrção é O(), é necessáro qe a fnção f tenha m comportamento assntótco O(y ). A análse da Tabela. mostra qe, em todos os modelos, a f não tem o comportamento deseado (LSSAYSMKMO(y 0 ) e LBO(y 8 )). Entretanto, os modelos LS e SA ao defnrem o termo de destrção como

18 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 59 ~ Φ C f (.4) sbsttndo por ~ e fazendo f, garantem o correto comportamento assntótco do termo modelado de destrção. A defnção de ~ também garante qe o modelo de alto Reynolds sea alcançado no regme completamente trblento ( ~ para y >60) (Patel et al., 985). Entretanto, ~ tem ma maor taa de crescmento na regão da parede, tornando a solção nmérca mas dfícl. Há necessdade de maor refnamento da malha comparatvamente a taa de dsspação orgnal. A psedo-dsspação deverá, partndo de zero, alcançar o valor de em y 60. Este problema, somado a forma arbtrára como algmas psedo-dsspações foram ntrodzdas nas eqações, fez com qe a sa nclsão fosse apontada como ma das grandes defcêncas dos modelos de bao número de Reynolds qe a tlzam (Yang & Shh, 99). No lmte da parede, através da epansão de e v, sabe-se qe v comporta-se como O(y ). Assm, da relação v v (.5) t y verfca-se prontamente qe t deve ter m comportamento assntótco do tpo O(y ). Em conseqüênca das dferentes defnções de escala de tempo e da vscosdade trblenta nos modelos de bao número de Reynolds, eq. (.5), não há m comportamento lmte padrão qe deva ser atrbído as fnções de amortecmento f µ, para qe a vscosdade trblenta tenha o correto comportamento assntótco. No caso dos modelos qe tlzam a relação (/) como escala de tempo, o comportamento assntótco da relação / é O(y 4 ), ndcando qe a fnção de amortecmento tera qe se comportar assntotcamente como O(y - ). Este é o caso dos modelos SA, MKM e LB. A análse da Tabela. mostra qe o comportamento assntótco da fnção de amortecmento do modelo SA é O(y ). Já o comportamento do modelo MKM é O(y ), enqanto o modelo LB tem m comportamento do tpo O(y 4 ). Deste modo, verfca-se faclmente qe nenhm dos três modelos é capaz de representar o correto comportamento da vscosdade trblenta no lmte da parede e conseqentemente o comportamento

19 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 60 da tensão de trblênca ( v ). Nos modelos qe tlzam a psedo-dsspação, ~, e defnem a escala de tempo como ( / ~ ), o comportamento assntótco da relação ~ é O(y ). Neste caso, f µ deve ter m comportamento assntótco O(y). Contdo, a fnção de amortecmento no modelo LS comporta-se assntotcamente como O(y 0 ). Novamente, verfca-se qe o modelo não representa corretamente o comportamento da vscosdade trblenta no lmte da parede. O modelo YS defne a escala de tempo como ( ) ( ν ), a qal tem m comportamento assntótco do tpo O(y 0 ). Como o comportamento da relação ( ) é do tpo O(y ), a fnção de amortecmento devera comporta-se como O(y), a fm de satsfazer o correto comportamento assntótco da vscosdade trblenta. A análse da fnção de amortecmento do modelo mostra qe esse é eatamente o comportamento da fnção proposta. Conseqentemente, o modelo YS é o únco dos modelos seleconados qe reprodz o comportamento assntótco correto da vscosdade trblenta e da tensão trblenta. De modo resmdo, pode-se dzer qe a vscosdade trblenta, qe devera ter m comportamento assntótco O(y ), no modelo LS é O(y ), no modelo SA é O(y 6 ), no modelo YS é O(y ), no modelo MKM é O(y 5 ) e no modelo LB é O(y 8 ). De posse do comportamento assntótco da vscosdade trblenta dos dferentes modelos, pode-se, agora, fazer a análse do comportamento lmte do termo de prodção modelado, face ao respectvo termo eato. Enqanto este últmo comporta-se assntotcamente como O(y) (Spezale et al., 99), a forma lmte dos modelos é, mas ma vez, fnção das dferentes defnções dos modelos, tas como a fnção de amortecmento f e a escala de tempo. De m modo geral, o termo modelado da prodção da dsspação pode ser escrto como: P C f t ( S S Tt ) (.6) onde S é o tensor deformação médo (eq..4) e S S tem m comportamento, no lmte da parede, do tpo O(y 0 ). Na Tabela.4, está condensado o comportamento assntótco da escala de

20 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 6 tempo, da vscosdade trblenta e da fnção de amortecmento de cada m dos modelos, dedzndo-se, a segr, o comportamento lmte do respectvo termo modelado da prodção da dsspação. A análse dessa tabela mostra qe nenhm dos modelos escolhdos reprodz corretamente o comportamento assntótco do termo de prodção eato. Verfca-se anda qe a fnção f amenta efetvamente a prodção da dsspação na regão da parede, no modelo LB, dmnndo o pco de energa cnétca. Modelo T t t f P LS O(y 0 ) O(y ) O(y 0 ) O(y ) SA O(y ) O(y 6 ) O(y 0 ) O(y 4 ) YS O(y 0 ) O(y ) O(y 0 ) O(y ) MKM O(y ) O(y 5 ) O(y 0 ) O(y ) LB O(y ) O(y 8 ) O(y - ) O(y -6 ) Tabela.4 - Comportamento assntótco dos termos de prodção modelados Algns modelos de bao número de Reynolds adconam m termo empírco ξ na eqação de, a fm de amentar a prodção da dsspação na regão da parede (Rod & Mansor, 99). Normalmente os modelos qe fazem so deste termo etra tomam a fnção de amortecmento f como,0. Neste trabalho, este é o caso dos modelos LS, SA e YS. A epressão de ξ no modelo LS também tem m comportamento assntótco O(y ), enqanto no modelo YS comporta-se como O(y ). Deste modo, verfca-se qe, em ambos os modelos, embora a prodção da dsspação sea amentada, o comportamento assntótco do termo eato não é reprodzdo. A análse da epressão do termo etra ξ do modelo SA é mas dfícl, ma vez qe esta epressão envolve m balanço entre prodção e destrção da taa de dsspação. O estdo do comportamento assntótco mostra até ser possível o termo amentar a destrção da dsspação no lmte da parede. Comportamento este contráro ao da tendênca geral dos modelos de amentar a prodção nessa regão (Rod & Mansor, 99; Patel et al. 985). Otro problema da eqação da taa de dsspação é a falta de ma condção de contorno natral na parede. Uma das condções de contorno de commente

21 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 6 tlzadas em sperfíces sóldas é: w y w (.7) Esta condção é conseqüênca rgorosa da eqação de transporte eata da energa cnétca trblenta. Contdo, para mplementá-la, necessta-se de nformações sobre a dervada segnda de na parede, o qe pode ntrodzr consderáves dfcldades nmércas. Algns trabalhos, a fm de redzr as dfcldades nmércas, redzem a ordem da dervada, ao propor, como condção de contorno de, a epressão alternatva: w y w (.8) Entretanto, mesmo esta condção pode ntrodzr dfcldades nmércas na solção, desde qe também envolve parte da solção do sstema acoplado de eqações dferencas. Otra forma alternatva, qe algmas vezes tem sdo tlzada na lteratra como condção de contorno da eqação da taa de dsspação, é 4 w - (.9) y onde o número ndca prmero ponto nterno da malha (Sakar & So, 997; Chen et al., 998). A condção de contorno de Nemann y 0 (.40) devdo as sas vantagens nmérca, tem também algmas vezes sdo proposta na lteratra. Entretanto esta condção é completamente desprovda de amparo teórco e epermental. O estdo assntótco da taa da dsspação mostra qe a dervada de só será nla se a parcela lnear for desprezada (eq..). Afrmar a pror qe o coefcente da parcela lnear é desprezível não encontra sstentação em qalqer argmento teórco/epermental. Resltados de smlações nmércas dreta de escoamento em canal têm ndcado qe (Spezale et al., 99):

22 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 6 y 0,5 w (.4) Portanto, o so da condção de contorno de Nemann pode ntrodzr consderáves erros na solção da eqação da taa de dsspação e conseqentemente comprometer toda a solção do escoamento. De todo o estdo das eqações de transporte modeladas dos modelos - para baos números de Reynolds fo possível se verfcar a dfcldade não só de estabelecer as correções para a regão próma a parede, como determnar a condção de contorno mas aproprada para a eqação da taa de dsspação. Na eqação da energa cnétca fo vsto qe o procedmento sal de adconar os termos do gradente de pressão e de transporte trblento é efcente no núcleo trblento, mas não reprodz corretamente o comportamento do termo do gradente de pressão eato (π ), no lmte da parede. Conseqentemente, mostro-se qe, mesmo qe a taa de dsspação tvesse m comportamento assntótco eato, a eqação de não estara balanceada no lmte da parede. É necessáro ntrodzr m modelo comptaconalmente efcente e assntotcamente correto para π na regão da sbcamada vscosa, de modo qe o balanço da eqação da energa cnétca sea fechado. Chen et al. (998) afrmam qe as dfcldades dos modelos - de bao número de Reynolds deve-se a pobre modelagem de π na regão da sbcamada vscosa. Contdo, não se pode esqecer qe o balanço da eqação de é fortemente dependente do comportamento da taa de dsspação. E como fo possível ser vsto, na eqação da taa de dsspação dos dferentes modelos, há séras nconsstêncas na regão da parede. O so de psedo-dsspações, fnções de amortecmento assntotcamente ncorretas e algmas dependentes de y, constantes dferentes daqelas estabelecdas para escoamentos smples em alto números de Reynolds, termos fontes etras sem base físca e condções de contorno artfcas são os prncpas problemas presentes nas eqações da taa de dsspação () dos modelos - de bao número de Reynolds.

23 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 64.. Modelo - Não Lneares Como á fo spra ctado, a mas dfndda hpótese de fechamento da trblênca é aqela qe lga lnearmente o tensor de Reynolds à taa de deformação méda local. A poplardade dos modelos de vscosdade trblenta lnear (Bossnesq) está apoada na facldade da ncorporação aos códgos de solção das eqações de Naver-Stokes estentes e na sa capacdade de predção de escoamentos trblentos csalhantes smples, tas como camadas lmte trblentas com fracos gradentes de pressão, onde somente m componente de tensão de Reynolds é dnamcamente sgnfcatvo. Contdo, escoamentos de nteresse prátco de engenhara ebem mecansmos compleos de deformação méda, tas como gradentes de pressão longtdnas, separação, crvatra de lnhas de corrente e rotação ( swrl ). Característcas estas qe são, por sa vez, sensíves a estrtra da trblênca, especalmente ansotropa, bem como efetos de hstóra (Apsley & Leschzner, 998). Há pocos anos atrás, o menor nível de fechamento de trblênca qe era capaz de resolver tanto a ansotropa como os efetos da hstóra da trblênca, com algm gra de rgor, era o fechamento de segnda ordem. Resolva-se eqações de transporte para cada componente de tensão de Reynolds ndvdalmente. Entretanto, para cálclos geras D, tas modelos dferencas de tensão são comptaconalmente caros, freqüentemente nstáves, e contém mtos termos qe reqerem modelagem (Martns, 994). Uma alternatva, qe srg ao fnal da últma década de otenta, tem recebdo ma crescente atenção e tem se mostrado mto promssora, é o desenvolvmento dos modelos de vscosdade trblenta não lneares de alto e bao número de Reynolds. O obetvo desse desenvolvmento é consderar corretamente os efetos de compleas deformações (Spezale, 987; Shh et al., 99; Gatsk & Spezale, 99; Mompean et al., 996; Craft et al., 997; Mompean, 998; Apsley & Leschzner, 998). Na verdade, os fndamentos da modelagem da vscosdade trblenta não lnear foram propostos por Pope em 975 (Mompean et al., 996; Apsley & Leschzner, 998). Spezale (987) fo então capaz de obter ma relação constttva não lnear para a tensão trblenta, ao mpor nvarânca de forma,

24 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 65 para a mdança de ma estrtra de referênca arbtrára, no lmte de trblênca bdmensonal (Mompean et al., 996). Posterormente, m connto de relações constttvas smlares fo obtdo (Gatsk & Spezale, 99). A avalação dos termos da eqação da vortcdade méda aal, componente do vetor vortcdade alnhado com a dreção do escoamento prncpal, em m escoamento trblento em dto de seção qadrada, tem mostrado qe três termos estão envolvdos na geração da vortcdade, nomnalmente gradente da dferença das tensões normas transversas ( v v e w w ), dferença dos gradentes da tensão csalhante v w e o termo da dsspação da vortcdade o dfsão vscosa da vortcdade (Mompean, 998; Gavrlaks, 99). Ênfase é salmente colocada sobre a ansotropa das tensões normas, mas os otros termos são galmente mportantes (Mompean et al., 996). Achar, portanto, a correta modelagem de todos estes termos é fndamental para ma perfeta predção do referdo escoamento. A análse do comportamento destes termos mostra qe os ses mámos ocorrem prómo a parede das qnas, onde a nflênca da vscosdade moleclar não pode ser neglgencada (Mompean et al, 996). É conseqentemente mto provável qe predções precsas dos escoamentos secndáros na vznhança das qnas não possam ser encontradas sem a etensão dos modelos de alto número de Reynolds, para nclr efetos vscosos essencas. Talvez, por sso, os modelos não lneares para altos números de Reynolds sbestmem a magntde dos escoamentos secndáros em dtos qadrátcos (Mompean et al., 996). Essa observação e o fato das deformações compleas freqüentemente concdrem com fronteras compleas, onde as fnções de parede tornam-se nadeqadas, motvaram o desenvolvmento dos modelos não lneares de bao número de Reynolds. Uma abordagem comm tem sdo smplesmente mltplcar os termos não lneares por ma fnção de amortecmento f µ (Mompean, 998). Contdo, sto gnora os dferentes comportamentos das tensões ndvdas. Por eemplo, v / anla-se, qando no lmte da parede, enqanto / e w / tendem para valores dferentes de zero (Apsley & Leschzner, 998). Face a gama de possbldades abertas pela relação constttva geral, entre a tensão de Reynolds e a deformação méda em escoamentos ncompressíves,

25 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 66 proposta por Pope (975), o tensor ansotrópco tem sdo defndo até termos qe são cúbco nos gradentes de velocdade méda (Apsley & Leschzner, 998). Se somente a parte lnear da relação for tlzada, recpera-se o modelo - lnear convenconal, enqanto os modelos de Spezale (987), de Rbnsten & Barton (990), e o modelo da Shh et al. (99, 995) empregam termos qe são qadrátcos nos gradentes de velocdade méda. Já o modelo de Len et al. (996), Craft et al. (997) e Apsley & Leschzner (998) são eemplos de modelos qe empregam termos qe são cúbcos nos gradentes de velocdade méda. Utlzando-se a defnção do tensor ansotrópco com os termos qe são qadrátcos na velocdade méda em escoamentos csalhantes smples, onde somente / y é dferente de zero, é fácl mostrar qe os termos qadrátcos são responsáves pela ansotropa das tensões normas (Apsley & Leschzner, 998). Sem estes termos, neste escoamento, todas as tensões normas seram sotrópcas ( / ), contrarando resltados epermentas. Spezale (987) demonstro qe a ansotropa das tensões normas é necessára para o desenvolvmento dos escoamentos secndáros em dtos não crclares. Sendo, portanto, a nclsão dos termos qadrátcos ma condção necessára para prodzr tas escoamentos secndáros. Verfca-se, anda desta análse, qe os termos qadrátcos não são mportantes no estabelecmento das tensões csalhantes (Apsley & Leschzner, 998). Já os efetos de crvatra das lnhas de corrente e o efeto de rotação ( swrl ) são ncorporados aos modelos não lneares com a nclsão dos termos cúbcos nos gradentes de velocdade méda (Apsley & Leschzner, 998). Resmdamente, pode-se dzer qe a adção de termos não lneares na relação constttva tensão-deformação pode representar a resposta da trblênca a certas deformações compleas, enqanto o modelo permanece dentro da estrtra de ma o das eqações. Para consderar a ansotropa das tensões normas, a relação não lnear tensão-deformação deve ser ao menos qadrátca nos prodtos dos gradentes da velocdade méda, enqanto o tratamento da crvatra das lnhas de corrente egem termos cúbcos. Neste trabalho emprego-se somente o modelo proposto por Spezale (987) na predção de escoamentos compleos. Spezale obteve m modelo - não

26 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 67 lnear para alto número de Reynolds, qe satsfaz o prncípo de ndferença da estrtra de referênca. Sa abordagem é baseada na smlardade entre o escoamento trblento médo de m fldo Newtonano e o escoamento lamnar do fldo vscoelástco, como sgerdo por Rvln (Mompean, 998). O modelo não lnear, proposto por Spezale, ncorpora termos qe são qadrátcos nos gradentes de velocdade méda. Conseqentemente, ma melhor modelagem das tensões normas é obtda e os escoamentos trblentos, onde estas tensões desempenham papel mportante, como em dtos não crclares, são melhor predtos. Spezale (987) defn a relação constttva não lnear da tensão de Reynolds-deformação méda como sendo: 4 CD δ Cµ S C o S o µ S δ Sk kk Sk Skl Skl δ (.4) S (.4) S o S t S k Sk k k k Sk (.44) onde S é o tensor deformação médo (eq..4), C µ 0,09 e S o é a dervada de Oldroyd de S. A constante C D fo astada por Spezale (987), para escoamento trblento em canal com Reynolds de Dos dados epermentas, obteve-se C D,68. De posse dessa relação constttva não lnear, proposta por Spezale, o fechamento do problema da trblênca é realzado com as eqações de transporte de energa cnétca trblenta (eq..) e de sa taa de dsspação (eq..4), para altos números de Reynolds. Mompean (998), baseando-se na observação qe o mámo dos termos de ansotropa ocorre prómo as paredes da qna, no escoamento em dto

27 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 68 qadrado, propõe estender o modelo de Spezale a condção de bao número de Reynolds. Para poder ntegrar o modelo até as paredes, Mompean propõe manter os termos da dfsão moleclar nas eqações de e, além de empregar a fnção de amortecmento f µ nos termos lnear e não lnear da relação constttva proposta por Spezale. Desta forma, o modelo de Spezale, estenddo até as parede, fo defndo pelas segntes eqações de governo (Mompean, 998): kl kl k k o kk o t D t S S S S S S C S δ δ ρ δ 4 (.45) C µ µ f t (.46) ( ) σ P t k t (.47) ( ) σ C P C t t (.48) P ' ' (.49) ] )] [ z A y A f ep( ep( [ µ (.50) ρ τ τ τ τ z z y y ; ; (.5) onde as constantes empírcas foram defndas como A 0,008; C,44; C,9; C D,68; σ,0; σ, e C µ 0,09. O modelo de Spezale (987), tanto na forma orgnal de alto número de Reynolds, como na forma modfcada por Mompean (998) para bao número de Reynolds, fo tlzado na predção de escoamentos compleos. Todo o estdo do se comportamento comptaconal e capacdade de predção faz parte do Capítlo 6.

28 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações Modelos de Trblênca RNG Ao fnal dos anos 80 e níco da década passada, Yakhot & Orszag (Yakhot & Orszag, 986; Karnadaks et al., 989; Yakhot et al., 99; Orszag et el., 99) propseram ma sére de modelos de trblênca, os chamados modelos de trblênca RNG, obtdos a partr da teora do grpo de renormalzação (RNG). Eles saram a técnca RNG para desenvolver ma teora para as grandes escalas, na qal os efetos das peqenas escalas são representados por coefcentes de transporte modfcados (Smth & Reynolds, 99). O efeto das grandes escalas sobre os trblhões no ntervalo nercal é representado por ma força aleatóra, escolhda para prodzr a forma correta do espectro de energa no referdo ntervalo, qando contraposta aos efetos da vscosdade modfcada. A força é assmda gassana, rído branco no tempo, sotrópca no espaço, e homogênea no tempo. Yakhot & Orszag assmem qe as estatístcas do ntervalo nercal da trblênca sotrópca, descrtas por este balanço entre a força e a vscosdade modfcada, é representatva da trblênca sstentada por nstabldades hdrodnâmcas no ntervalo nercal. As eqações dnâmcas, para as maores escalas, são obtdas pela remoção de ma banda nfntesmal das menores escalas. Este procedmento rende modfcações nfntesmas nas eqações remanescentes. O processo é então repetdo e as correções acmladas prodzem varações fntas. Somente ma parcela das modfcações são retdas, ncorporando-as a vscosdade. Os atores alegam qe as otras modfcações não são mportantes para a dnâmca das grandes escalas. A cada estágo, a elmnação da banda nfntesmal é realzada em termos da força especfcada e dos trblhões retdos. Contdo este processo somente pode ser consderado correto se o número de Reynolds dos trblhões removdos, baseados na vscosdade modfcada, for peqeno (Smth & Reynolds, 99). Todo estdo da técnca desenvolvda pelos atores (Yakhot & Orszag, 986; Karnadaks et al., 989; Yakhot et al., 99; Orszag et el., 99) consta do Apêndce C. A segr são apresentados resmdamente os modelos de trblênca obtdos com o chamado método do grpo de renormalzação.

29 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações Modelo Algébrco RNG de Vscosdade Trblenta Este é o modelo mas smples, contdo ele não é mto geral, pos reqer m conhecmento a pror do comprmento de escala ntegral característco. Deste modo necessta-se fazer ma hpótese adconal, baseada em consderações físcas, sendo esta a grande lmtação do modelo. A vscosdade efetva renormalzada er é obtda da segnte relação (Karnadaks et al., 989): er a 4 H - C 4 ( ) π (.5) onde H() para 0 e H()0 se < 0. é o comprmento de escala ntegral de trblênca no ntervalo nercal (Karnadaks et al., 989). As constantes são a 0, e C75. A taa de dsspação méda é obtda através do campo resolvdo por: (.5) A vscosdade efetva renormalzada é então obtda, resolvendo-se smplesmente a eqação algébrca cúbca em cada ponto nodal (Karnadaks et al., 989)..4.. Modelo - RNG Para Alto Re O prmero modelo - RNG para alto Reynolds fo proposto por Yakhot & Orszag (986). Este modelo tnha, de m modo geral, a mesma forma do modelo - tradconal, eceto o valor das constantes. A vscosdade trblenta, para o caso de alto número de Reynolds, fo obtda a partr da eq. (C.5), a qal é transcrta abao: er ( l) A 4 ( l4 -l4 ) l d (.54)

30 Modelagem Estatístca Clássca. Modelos de Das Eqações 7 Para alto número de Reynolds, tem-se qe L>>> l d. Logo: er A ( ) 4 l L 4 L (.55) mas, Al 4 4 ( L ) ( R ) >>> e (.56) Assm: er A ( L) L 4 l 4 L4 l A 4 (.57) Da le de Kolmogorov, a energa cnétca total do ntervalo sotrópco nercal, para escalas menores qe L, é dada por (Yakhot & Orszag, 986; Orszag et al., 99): / 0,7 L / (.58) Retrando-se o valor de L e ntrodzndo-se na eq. (.57), obtém-se: er ( L) 4 Al ( 0,7) 4 4 A l ( 0,7) (.59) o: C er µ (.60) onde (Orszag et al., 99): A 4 C µ l ( 0,7) 0,0845 (.6) Cabe, agora, obter as eqações da energa cnétca trblenta () e de sa taa de dsspação (). Contdo, estas eqações não são trvalmente relaconadas