FUNDAMENTOS DE TURBULÊNCIA. Agradecimentos ao Professor Aristeu da Silveira Neto Universidade Federal de Uberlândia

Transcrição

1 FUNDAMENTOS DE TURBULÊNCIA Agradecmentos ao Professor Arste da Slvera Neto Unversdade Federal de Uberlânda

2 Escoamento Lamnar No regme de escoamento lamnar o fldo se move de forma save e organzada em camadas o lâmnas, não havendo mstra macroscópca de camadas adacentes de fldo.

3 Eemplo de Escoamento Lamnar Escoamento sobre aerofólo

4 Eemplo de Escoamento Lamnar Onda Interna Formada sobre os Hmalaas

5 Regme Lamnar X Regme Trblento Medndo a componente da velocdade nm ponto fo de m tbo, tanto para escoamento lamnar qanto trblento, os regstros gráfcos da velocdade tempo aparecerão de acordo com as fgras abao: U U U Escoamento lamnar t Escoamento trblento: t U = U +

6 Comparação entre Regme Lamnar e Regme Trblento

7 Comparação entre Regme Lamnar e Regme Trblento

8 Transção à Trblênca O processo de transção à trblênca fo dentfcado por Osborn Reynolds em 1883, e acontece pela ntrodção de pertrbações nm escoamento ncalmente estável (lamnar). Essas pertrbações são amplfcadas, mltplcadas e se transformam em trblênca.

9 O Epermento de Reynolds

10 Transção à Trblênca A transção à trblênca se dá através da amplfcação de pertrbações ntrodzdas no escoamento, ncalmente lamnar, por varadas fontes de rído.

11 Escalas da Trblênca As chamadas escalas da trblênca são a ordem de grandeza das varáves envolvdas no fenômeno da trblênca: 1. Comprmento 2. Tempo 3. Velocdade 4. Vortcdade 5. Energa

12 Escalas Dsspatvas de Komolgorov As escalas dsspatvas de Komolgorov são as menores escalas qe podem ocorrer em m escoamento trblento. 1. Comprmento l d = ( ν 3 ε ) Tempo τ = 1 2 ( ν ε ) 3. Velocdade = ( ν ε ) Vortcdade w = 1 2 ( ε ν ) 5. Energa e = 1 2 ( ν ε ) Onde: ε : dsspação vscosa ν : vscosdade cnemátca do fldo

13 Grandes Escalas As chamadas grandes escalas da trblênca são as maores estrtras qe ocorrem no escoamento, e são determnadas pela geometra qe lhes dá orgem.

14 Comparação entre as Grandes Escalas e as Escalas Dsspatvas de komolgorov Comprmento : l L d = Re 3 4 L Tempo T : = τ Re 1 2 L Velocdade : U = Re 1 4 L Vortcdade : w W = Re 1 2 L Energa : E e = Re 1 2 L

15 Caracterzação da Trblênca A trblênca é ma característca do escoamento, não do fldo. A trblênca é m fenômeno altamente dfsvo. A trblênca é rotaconal e trdmensonal. A trblênca é m fenômeno altamente dsspatvo. A trblênca é m fenômeno contíno. A trblênca é m fenômeno, atalmente, mpredscível. A trblênca acontece a altos números de Reynolds e tem m largo espectro de energa

16 Orgem da Trblênca Para qalqer tpo de escoamento a transção à trblênca pode ser generalzada como sendo o resltado da amplfcação de pertrbações netadas nos escoamentos por fontes dversas. A forma físca da geração de nstabldades a partr de ma pertrbação va depender do tpo de escoamento. Os escoamentos transconas podem ser classfcados em: 1.Escoamentos csalhantes lvres. 2.Escoamentos paretas. 3.Escoamentos devdos à convecção térmca. 4.Escoamentos sob rotação. Combnações deste 4 tpos de escoamentos báscos formam os escoamentos compleos.

17 Escoamentos Csalhantes Lvres Os escoamentos csalhantes lvres são caracterzados pela asênca de paredes qe os confne e pela asênca de obstáclos em se nteror. Podem ser sb-dvddos em: 1.Camadas de Mstra 2.Jatos 3. Esteras Os escoamentos csalhantes lvres transconam a baos números de Reynolds. Para atos, por eemplo, a transção se nca para Re=10.

18 Camadas de Mstra Este tpo de escoamento transconal se caracterza pela estênca de dferentes velocdades no nteror do escoamento. Regões com dferentes perfs de velocdade nforme são separadas por camadas csalhantes. U 1 Camada czalhante U 2 Ponto de Infleão

19 Camada de Mstra em Desenvolvmento Temporal

20 Camada de Mstra em Desenvolvmento Temporal

21 Camada de Mstra em Desenvolvmento Temporal Escoamento Atmosférco

22 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal Emparelhamento Trblhonar

23 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal

24 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal

25 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal

26 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal

27 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal A Trdmensonalzação da Trblênca

28 Camada de Mstra em Desenvolvmento Espacal Vsta Speror Fgra à esqerda resltado epermental Fgra à dreta desenho esqemátco correspondente

29 Jatos Os atos são classfcados de acordo com a geometra qe os forma. Se formados por m orfíco crclar serão chamados atos redondos. Se formados por m orfíco retanglar, são chamados atos planos o retanglares. Assm como nas camadas de mstra, a transção à trblênca acontece pela formação de nstabldades e trblhões de Kelvn-Helmholtz.

30 Jatos 1. Bocal convergente 2. Núcleo de escoamento potencal 3. Torode de alta concentração de vortcdade 4. Geração de vórtces torodas bdmensonas 5. Emparelhamento de vórtces anlares 6. Osclações trdmensonas sobre os vórtces torodas 7. Degeneração em trblênca trdmensonal 8. Reorganzação da trblênca em grandes escalas composta de otras múltplas escalas

31 Jatos à esqerda ato em corte longtdnal à dreta ato em corte transversal

32 Jatos

33 Jatos

34 Esteras Os escoamentos do tpo estera srgem à sante de obstáclos. Um eemplo deste tpo de escoamento são as esteras de Von Karman qe se formam atrás de plares de pontes

35 Esteras Estera de Von Karman formada a sante de ma placa rombda. Formação de trblhões coerentes nm modo denomnado snoso.

36 Esteras

37 Esteras Vsta Speror

38 Esteras Estera Trdmensonal a Jsante de Obstáclo Leser (1994)

39 Esteras

40 Esteras

41 Camada Lmte Um fldo se movendo a altos números de Reynolds sobre ma sperfíce pode prodzr ma camada lmte trblenta. Neste caso o efeto de atrto vscoso sobre o corpo amenta. A compreensão dos fenômenos físcos envolvdos na transção à trblênca de camada lmte é motvada pelos anseos em se redzr o efeto de arrasto sobre avões e embarcações.

42 Camada Lmte Transção à Trblênca em camada Lmte 1. Regão de escoamento lamnar 2. Prmeras nstabldades de peqena ampltdeondas de Tollmen-Schlchtng 3. Amplfcação de das ondas em taa máma gerando as nstabldades em grampo de cabelo 4. Srgmento dos Brsts trblentosqe geram transportes volentos de matéra da parede para dentro da camada lmte 5. Spots trblentos-altas concentrações de energa cnétca trblenta 6. Camada lmte completamente trblenta

43 Camada Lmte Detalhe de Spot Trblento - Alta concentração de energa cnétca trblenta.

44 Camada Lmte Vsalzação Formação de Spots Trblentos

45 Camada Lmte Vsalzação da Formação de Camada Lmte Transconal sobre Esfera.

46 Camada Lmte Instabldades em Grampo de Cabelo

47 Otros Tpos de Escoamento qe Transconam 1. Convecção de Raylegh-Bérnard 2. Convecção de Marangon 3. Instabldades de Taylor-Coette

48 Convecção de Raylegh-Bérnard O número de Raylegh é o parâmetro qe determna a transção à trblênca neste tpo de escoamento. Ra = Número de Raylegh = β g θ d α ν 3 Se o número de Raylegh assme m valor speror a certo valor crítco, o processo de amplfcação de pertrbações tem níco e assm se formam as chamadas nstabldades de Raylegh-Bérnard.

49 Convecção de Raylegh - Bérnard Nas fgras a, b e c ao lado, mostra-se três dferentes confgrações de escoamentos nma camada horzontal relatvas a três regmes dferentes. a. Ra=4,810 4 Têm-se as céllas de Bérnard anda bem organzadas. b. Ra=1,310 5 Desaparecem as céllas de Bérnard e o movmento parece m poco mas desorganzado. c. Ra=1,710 5 Transção à trblênca torna-se evdente

50 Convecção de Raylegh-Bérnard Céllas de Bérnard

51 Convecção de Raylegh-Bérnard

52 Convecção de Marangon Ocorre no caso de m fldo sobre ma sperfíce plana, tendo ma sperfíce lvre. Se há dferença de temperatra entre a placa ao fndo, e a sperfíce lvre, movmentos convectvos se estabelecem. Na sperfíce lvre há efetos nterfacas. Da combnação destes efetos formam-se na sperfíce do fldo céllas bem organzadas chamadas céllas de Marangon.

53 Convecção de Marangon Traços de céllas Heagonas Convectvas de Marangon formadas no solo de m lago após processo de secagem.

54 A Convecção Natral

55 A Convecção Natral

56 Instabldades de Taylor-Coette Nm escoamento de Coette, as forças centrífgas geradas pela rotação levam à formação e mantenção das chamadas nstabldades de Taylor- Coette. As nstabldades típcas do escoamanto sofrem amplfcação e sobre estas srgem novos conntos de nstabldades, e assm por dante até a degeneração em m largo espectro de nstabldades característco da trblênca.

57 Instabldades de Taylor-Coette Esqema lstratvo do escoamento de Coette

58 Instabldades de Taylor-Coette

59 Escoamentos Compleos Os escoamentos mas freqüentes, tanto na natreza qanto em aplcações prátcas, são os escoamentos compleos qe podem ser vstos como combnações dos escoamentos de base. Eles são ma composção de atos, esteras, camadas de mstra, camada lmte, descolamento, recolamento, efetos de rotação, e nterações dversas entre estes tpos de base. Um eemplo acadêmco deste tpo de escoamento é o caso da epansão brsca de m canal retanglar.

60 Escoamentos Compleos O escoamento compleo qe se dá sobre ma epansão brsca, como ocorre no escoamento sobre m degra, é m eemplo acadêmco de escoamento compleo. (I) (II) (III) (V) (VII) (IV) (VI)

61 Escoamentos compleos Detalhamento do escoamento sobre epansão brsca. I. Escoamento tpo camada lmte sobre o degra. (I) (II) (III) (V) (VII) II. Descolamento de camada lmte com srgmento de ma zona csalhante. III. Formação de nstabldades do tpo Kelvn- Helmholtz qe são transportadas para ma regão de recolamento da camada lmte. (IV) (VI) IV. Zona de recrclação. V. Ponto de choqe das estrtras trblhonares com a parede nferor. VI. VII. Zona de redesenvolvmento da camada lmte. Regão de escoamento mas estável qe não pode ser consderada zona de escoamento potencal pela neção de nstabldades ntermtentes em se nteror.

62 Escoamentos Compleos Resltado de smlação bdmensonal.

63 Escoamentos Compleos Resltado de smlação trdmensonal.

64 Escoamentos Compleos Vsta speror da smlação 3D vsalzando escoamento logo após epansão brsca

65 Escoamentos Compleos Corte vertcal sobre trblhões longtdnas, plotagem de vetores para demonstração do campo de velocdade.

66 Métodos de Estdo da Trblênca 1. Métodos Epermentas 2. Métodos Teórcos

67 Métodos de Estdo da Trblênca anemometra a fo qente anemometra a flme qente Métodos Epermentas: anemometra a laser anemometra por magens rápdas

68 Métodos de Estdo da Trblênca Modelos Clásscos Métodos Teórcos Modelos Contemporâneos

69 Métodos de Estdo da Trblênca Informação obtda tlzando-se: À esqerda: Modelagem Clássca da Trblênca Àdreta: Modelagem Contemporânea da Trblênca A Modelagem clássca não consege captar detalhes do escoamento trblento.

70 Modelagem da Trblênca As eqações do Movmento para m Escoamento Trblento. O Tensor de Reynolds.

71 Modelagem da Trblênca O Conceto de Méda de Reynolds Nm escoamento trblento qalqer parâmetro nstantâneo é dado pela soma de m valor médo e ma fltação. Para velocdade: U Valor nstantâneo: U U U = U + t Valor médo: Fltação: U Obs: o valor médo de ma fltação é zero: =0

72 Modelagem da Trblênca Obetvo: dedzr as eqações do movmento para m escoamento trblento de acordo com o procedmento clássco de Reynolds (1895). Méda temporal para trblênca estaconára: U t 1 lm 0 T 2T -T T ( ) = U(, t)dt 0 Méda espacal para trblênca homogênea: U s X ( t ) = U( t )d 0 lm, 0 X - X Méda sobre m grande número de epermentos: U e (, t ) 0 0 = N 1 U n N (, t ) 0 0 = + U f ( U ) du

73 Modelagem da Trblênca Hpótese Ergótca: Para trblênca estaconára e homogênea espera-se qe os três processos de passagem de méda levem ao mesmo resltado: U t s e ( ) = U ( t ) = U ( ) 0 0 0,t0 Na prátca, contdo, a trblênca não é estaconára nem tão poco homogênea e os ntervalos de tempo escolhdos para cálclo de médas não podem ser nfntos por motvos prátcos.

74 Modelagem da Trblênca Escolha de m ntervalo de tempo para cálclo de médas.

75 Modelagem da Trblênca As Eqações de Movmento. Propredades do Operador de Méda. 1. A = A 2. A + B = A + B 3. A B = A B, AB = AB + ab da = ds da ds A ds = A ds

76 Modelagem da Trblênca As eqações de movmento.

77 Modelagem da Trblênca As Eqações de Movmento. As Eqações de Reynolds são m connto de eqações para as qantdades médas do escoamento, e elas podem ser obtdas dretamente das eqações de Naver-Stokes pela aplcação do operador Méda Temporal. A obtenção das eqações de Reynolds consste de dos passos báscos: 1. As varáves qe aparecem nas eqações de movmento são decompostas na soma de sas partes médas com sas partes fltantes. 2. É aplcado o operador de méda temporal aos termos resltantes sobre m ntervalo fnto de tempo.

78 Modelagem da Trblênca Eqações de movmento. As grandezas físcas qe caracterzam o campo de m escoamento são a velocdade, a massa específca, a pressão e a temperatra. Essas grandezas podem ser decompostas na soma de ses de sas componentes médas e fltantes como sege: 1. U = U + 2. P = P + p 3. ρ = ρ + ~ ρ 4. T = T + t

79 Modelagem da Trblênca Eqações de Movmento - Contndade A eqação da contndade para m escoamento ncompressível pode ser escrta como: Aplcando-se a esta eqação o procedmento de méda de Reynolds, obtêm-se: = 0 + U t ρ ρ ( ) 0 ~ = + + U t ρ ρ ρ

80 Modelagem da Trblênca Eqações de Movmento: Qantdade de movmento. A eqação da conservação da qantdade de movmento para m escoamento compressível é dada por: Aplcando-se a esta eqação o conceto de méda de Reynolds, obtêm-se: ( ) ( ) U U U P f U U t U = + µ µ ρ ρ ρ = + U U U P f U U t U µ µ ρ ρ ρ U U t ρ ρ ρ ρ ρ ~ ~ ~ ~

81 Modelagem da trblênca O Tensor de Reynolds τ ρ = = 2 v w v v 2 wv w vw w 2

82 Modelagem da Trblênca O tensor de Reynolds reslta do procedmento de tomada da méda no tempo qe faz srgr as correlações envolvendo fltações de velocdade qe são as componentes deste tensor e qe representam tensões trblentas. Os elementos da dagonal prncpal do tensor de Reynolds representam componentes de tensão normal, e os demas termos, tensões de csalhamento. Essas tensões são somadas ao termo vscoso das eqações de Naver-Stokes e tem nflênca semelhante sobre o escoamento.

83 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds Do procedmento da passagem de méda, o únco termo relatvo à trblênca qe permanece é o tensor de Reynolds,. qe é m termo desconhecdo qe deve ser modelado. O método escolhdo para tal modelagem deve eqaconar este tensor de manera a prever de forma adeqada o maor número possível de stações de escoamento. Há das metodologas báscas para essa modelagem: 1.tlzando-se o conceto de vscosdade trblenta. 2.ntrodzndo-se eqações de transporte para o tensor de Reynolds.

84 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds sando a Vscosdade Trblenta Vscosdade Trblenta Bossnesq, em 1877, propôs qe os processos de transferênca de qantdade de movmento moleclar e trblento se dão de manera análoga. A tensão trblenta estara relaconada ao gradente local de velocdades através de ma vscosdade assocada às característcas do fldo, às característcas do escoamento e à geometra do problema: τ t µ Vsc t du Tensão dy τ t = µ t Trblenta Trblenta Gradente du dy de Velocdade Méda Assm, a vscosdade trblenta devera embtr em sadefnção parâmetros qe bem caracterzassem a trblênca através da representação do fldo, do escoamento médo e da geometra envolvda.

85 Modelagem da Trblênca Modelagem do tensor de Reynolds sando o conceto de Vscosdade Trblenta Forma Generalzada da Hpótese de Bossnesq Segndo Komolgorov (1942), o tensor de Reynolds pode ser avalado conforme a eqação segnte: Onde: U µ = t + U 2 δ k 3 δ é o delta de Kronecker k é a energa cnétca das fltações de velocdade U U µ representa tensões csalhantes de Reynolds t + 2 δ k representa tensões normas de Reynolds 3

86 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds sando o conceto de Vscosdade Trblenta Forma Generalzada da Hpótese de Bossnesq A eqação de conservação de Q. M. de Reynolds para escoamento ncompressível é dada por: Levando a esta eqação a hpótese generalzada de Bossnesq: U P f U U t U + = + ρ µ ρ ρ ρ 2 2 ( ) ( ) = + t U U k P f U U U µ µ ρ ρ ρ 2 3

87 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds sando o Conceto de Vscosdade Trblenta Os modelos segntes são eemplos de modelos baseados no conceto de vscosdade trblenta: 1.Modelo Algébrco do Comprmento de Mstra 2.Modelo a ma Eqação 3.Modelo a Das Eqações Modelo K ε Modelo K ε RNG

88 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds sando o conceto de Vscosdade Trblenta O Modelo K ε O modelo K-ε é m modelo a das eqações baseado no conceto de vscosdade trblenta. A vscosdade trblenta qe é ntrodzda no escoamento é m termo desconhecdo qe precsa se modelado matematcamente. Essa vscosdade pode ser escrta como ma fnção de K e de ε, respectvamente, energa cnétca trblenta e dsspação vscosa da energa cnétca trblenta. ν µ t = c 2 k ε Onde c µ é ma constante e, k e ε são calclados através de eqações de transporte.

89 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds sando o conceto de Vscosdade Trblenta Eqações do Modelo k ε ( ) ( ) C C C Fechamento k C U k C U t Taa de Dsspação Vscosa Específca : k U k U t k Energa Cnétca Trblenta k c Cnemátca Trblenta : Vs k 2 t k t t 1,3 1,0 0,09 1,92 1,44 : : = = = = = + + = = + = ε µ ε ε ε ε ε µ σ σ ε σ ν ν ε ε ε ε ε σ ν ν ε ν

90 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds sando o conceto de Vscosdade Trblenta Modelo K ε RNG Este modelo tem eatamente a mesma formlação do Modelo k ε A menos do cálclo da constante C ε2 qe dea de ser ma constante e passa a ser ma fnção da taa de deformação méda: C ε 2 = ~ C ε 2 + C λ ( 1 λ λ ) O restante do fechamento fca: µ β λ 3 0 C ε 1 = 1,42 ~ C ε 2 = 1,68 C µ = 0,085 σ k = 0,72 σ ε = 0,72 β = 0,012 λ = 4,38 0 k λ = ε ( 2 S S )

91 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds - Eqação de Transporte para os Elementos do Tensor de Reynolds Pode-se sar a própra eqação de Naver-Stokes para se obter eqações de transporte qe descrevam o comportamento dos elementos do Tensor de Reynolds. Este procedmento se faz em qatro passos: 1.Mltplca-se a eqação do movmento médo por. 2.Aplca-se o operador de méda na eqação obtda do passo 1. 3.Soma-se a esta eqação ma otra dêntca a ela, mas com os índces e trocados. 4.À eqação resltante leva-se a eqação da contndade.

92 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds Eqação de Transporte para os elementos do tensor de Reynolds = + k k k k k k k k k k k k k k k k k k p p p U U U t ν ν ν ν δ ρ δ ρ ρ 2

93 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds Eqação de Transporte para os elementos do Tensor de Reynolds A eqação de transporte para os elementos do tensor de Reynolds pode ser reescrta como: D Dt = P + φ + D ε

94 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds Eqação de Transporte para os elementos do Tensor de Reynolds Onde: pela ação do escoamento médo taa de cração de U U P k k k + = de Tensão Normal componentes dstrbção de Energa entre os p Re + = ρ φ efeto dfsvo por da tensão trblenta dstrbção espacal p p D k k k k k k k Re + + = ν ν ν δ ρ δ ρ vscosos efetos por destrção de k k k k k k + = ν ε 2 k k e o transporte conectvo de representa a taa de varação local U t Dt D + =

95 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds Eqação de Transporte para os Elementos do Tensor de Reynolds Os termos P e ε se contrabalançam. Toda energa retrada do escoamento médo pelo campo trblento, será destrída pelo termo ε. mpedndo qe a trblênca cresça de forma lmtada. Os termo Φ, D e ε devem ser modelados. Essa modelagem deve segr a certos crtéros como garantr qe o caráter matemátco do modelo sea fel ao caráter matemátco das eqações qe o orgnaram. A modelagem dos termos Φ, D e ε ; pode ser smplfcada pelo so de das hpóteses chamadas Hpóteses de Altos Números de Reynolds, segndo as qas: 1. As grandes escalas são as reas responsáves pelo transporte de Q. M. e pelo transporte de escalares. Essas grandes escalas não são afetadas pela vscosdade do fldo. 2. As menores escalas são as responsáves pela dsspação vscosa de energa. Estas menores escalas não tomam conhecmento do escoamento médo.

96 Modelagem da Trblênca Modelagem do Tensor de Reynolds Eqação de transporte para os elementos do Tensor de Reynolds Pode-se dedzr ma eqação para a energa cnétca trblenta, k, dretamente da eqação de transporte dos elementos do tensor de Reynolds: Onde : Fazendo-se: = k = ( + v + w ) 2 k ( = 2) Dk ρ = ρ Dt U ( ρ k + p) 2 k + µ µ 2

97 Referêncas Bblográfcas Jones, W. P., Lander, B. E. The predcton of lamnarzaton wth a two - eqaton model of trblence. Int. J. Heat Mass Transfer, v. 15, 1972, p Jones, W. P., Lander, B. E. The calclaton of low-reynolds nmber phenomena wth a two-eqaton model of trblence. Int. J. Heat Mass Transfer, v.16, 1973, p Lander, B. E., Spaldng, D.B. The nmercal comptaton of trblent flows. Comp. Meths. Appl. Mech. Engng. V. 3, 1974, p Deschamps, C. J., Modelos Algébrcos e Dferencas, em Trblênca, eds.a. P. Slva-Frere, P. P. M. Ment e J. S, ABCM Assocação Braslera de Cêncas Mecâncas. Br, 2002.

98 Referêncas Bblográfcas Slva-Frere, A. P., Crz, D. O. A., Eqações do Movmento e Resltados Assntótcos Aplcados à Teora de Camada Lmte, em Trblênca, eds.a. P. Slva-Frere, P. P. M. Ment e J. S, ABCM Assocação Braslera de Cêncas Mecâncas. Br, Slvera-Neto, A., Fndamentos da Trblênca nos Fldos, em Trblênca, eds.a. P. Slva-Frere, P. P. M. Ment e J. S, ABCM Assocação Braslera de Cêncas Mecâncas. Br, Slvera-Neto, A. Trblênca nos Fldos Aplcada. Crso Trblênca- Palestra. São Palo, Tennekes, H., Lmley, J. L. A frst corse n trblence. MIT Press, 1999, 300 p.