Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Exame 06/07/2017 8:00h

Transcrição

1 Lcencatura em Engenhara Geológca e de Mnas Lcencatura em Matemátca Aplcada e Computação Mestrado Integrado em Engenhara Bomédca Mecânca e Ondas 1º Ano -º Semestre º Exame 06/07/017 8:00h Duração do exame: :30h Lea o enuncado com atenção. Justfque todas as respostas. Identfque e numere todas as folhas da prova. Problema 1 Um trapezsta de massa m 1 = 60 kg nca um movmento pendular (sem mpulso ncal) partndo do repouso, de uma posção caracterzada por um ângulo θ 1 = 60. O trapézo tem uma extensão l = 8 m, consderando a dstânca desde o ponto de suporte até ao centro de massa do trapezsta. Consdere como aproxmação que os trapezstas podem ser consderados como corpos pontuas localzados no respectvo centro de massa (ver fgura). Despreze o efeto das forças de atrto. a) Determne o módulo da velocdade do trapezsta quando este passa pelo ponto caracterzado por θ = 0 (trapézo na vertcal) b) Se no momento em que passa pelo ponto defndo na alínea anteror, o prmero trapezsta, segurar uma parcera de massa m = 50 kg e os dos contnuarem o movmento pendular, qual será a velocdade ncal do conjunto dos dos acrobatas. c) Determne a ângulo máxmo θ atngdo pelo conjunto dos dos trapezstas (ver fgura). d) Suponha que após atngrem a posção correspondente ao ângulo θ, os trapezstas contnuam a osclar (sem estarem sujetos a qualquer mpulso) e ao voltarem para trás, a trapezsta se solta do trapézo exactamente no ponto correspondente a θ = 0 (trapézo na vertcal). Determne a velocdade do prmero trapezsta exactamente após o momento em que a parcera abandona o trapézo e o ângulo θ 3 atngdo por este.

2 Problema Uma lata oca de forma clíndrca, com paredes de espessura desprezável e uma massa por undade de superfíce σ = 00 g/m rola sem deslzar ao longo de uma rampa plana caracterzada por um ângulo de nclnação θ = 30. A lata tem um rao de base R = 1 cm e uma altura d = 0 cm (ver fgura). a) Calcule o momento de nérca da lata. (Nota: o momento de nérca de um dsco de massa m de espessura desprezável é dado por I = 1 mr b) Determne a expressão das energas cnétca e potencal gravítca da lata quando esta rola sem deslzar ao longo da rampa, em função da varável x CM que defne a posção do centro de massa da lata ao longo do plano nclnado. (sugestão: lembre-se que quando a lata roda de um ângulo α o respectvo centro de massa percorre uma dstânca x CM = Rα). Escreva as expressões em função do momento de nérca I e da massa total da lata M, não é precso substtur pelos valores encontrados na alínea anteror. c) Escreva a equação de Lagrange para a varável x CM e determne a expressão da aceleração do centro de massa da lata em função dos parâmetros defndos na alínea b). d) Suponha agora que a lata deslza sem rolar sujeta a uma força de atrto constante, proporconal à componente do peso normal ao plano F a = KP e v. Qual o expressão da constante K, cujo efeto permtra obter uma aceleração do centro de massa gual à que a lata tem quando rola sem atrto? Problema 3 Consdere um sstema composto por uma mola vertcal em que é suspensa uma massa m a) Determne a constante elástca da mola k, sabendo que esta se dstende de uma dstânca de z 0 = 1,96 cm, quando nela suspendemos uma massa de 100 g. b) Qual sera o valor de z 0 se repetíssemos esta experênca em Marte ((G = 6, Nm kg ; dados relatvos a Marte - massa: M = 6, kg, rao médo: R M = 3, m))? c) Mostre que a frequênca de osclação é a mesma para a mola na vertcal (em que a massa se encontra sujeta à força elástca da mola e ao seu própro peso) do que a que obtemos para a mola que oscla na horzontal (sugestão: consdere z = 0, a posção correspondente à posção de equlíbro estátco da mola, em que o peso guala a força elástca) (despreze o atrto). d) Consdere agora que mergulha o corpo de massa m, corresponde a um objecto esférco com um rao R = 8 mm, num fludo em que o coefcente de atrto é dado por μ = 6πRη, sendo η a vscosdade do fludo. Qual o valor da vscosdade do fludo, para a qual o sstema dexa de osclar, sto é para a qual o sstema se encontra no regme aperódco lmte (se não resolveu a alínea a) consdere k = 50 Nm 1 )?

3 Problema 4 A prmera corda de uma gutarra clássca corresponde à nota M (f 330 Hz) e a segunda a S (f 47 Hz). a) Tendo as duas cordas o mesmo comprmento (trata-se de uma gutarra) e supondo que as duas estão sujetas à mesma tensão, qual é a relação entra as respectvas massas? b) Para afnar o nstrumento é habtual, uma vez afnada a prmera corda, premr a segunda corda num dado ponto de modo a que esta, agora encurtada, produza um som com a mesma frequênca da prmera corda solta no modo fundamental. Determne a posção x/l deste ponto da segunda corda de acordo com a fgura. (lembre-se que a mesma corda está sempre sujeta à mesma tensão). c) Se a prmera corda for tocada levemente exactamente a meo do comprmento respectvo, esta produz um som correspondente a um modo de osclação em que o deslocamento vertcal do ponto médo é nulo (nodo). Nestas condções qual a frequênca do som produzdo e qual o comprmento da onda sonora correspondente que se propaga no ar (consdere a velocdade do som no ar v = 340 ms 1 ). d) Escreva a expressão matemátca da onda estaconára correspondente ao modo de osclação descrto na alínea c), em função da frequênca do modo fundamental (f 1 ) e do comprmento da corda (L). Faça um esquema da corda para t = 0; t = T ; t = T ; t = 3 T; t = T. 4 4

4 v = dr dt a = dv dt = d r dt dθ ω = dt e z α = dω dt v = ω R a N = v R e R a T = R d θ dt e. f θ T 1 dp F ma P mv T mv F dt W C F dr P mec = dw dt = F v L d L L T U 0 q dt q R CM = m r m V CM = m v r m = R CM + r v = V CM + v P = m v = 0 T = 1 m v L r P N r F I m R F U I = V ρr dv F = kxe x U = 1 kx T = 1 MV CM + T dl dt N L I 1 TROT I P mec ROT = N ω Mm F G e r r U = G Mm r ω 0 = k m ω 0 = g l x = A e λt cos(ωt + φ) λ = μ m ω = ω 0 λ F 0 A(ω f ) = m (ω 0 ω f ) + 4λ ω f tan φ(ω f ) = λω f (ω 0 ω f ) f = 1 T ; ω = π T λ = vt; k = π λ φ(x, t) = A sn(ωt kx + α) v = T μ v = dp dρ k n = nπ L f 1 = f 1 v f v d sn θ = mλ { d sn θ = mλ + λ f = f (1 ± v o v ) a snθ = mλ sn θ = sn θ r d sn θ = mλ n sn θ = n t sn θ t n = c v t = t 1 V c x = x Vt 1 V c l = l 1 V t = t V x c c { 1 V c E = m c 4 + p c E 0 = mc V + v u = 1 + Vv c p = E = mv 1 v c mc 1 v c

5 Soluções Problema 1 a) Atendendo à conservação da energa temos: Para θ = θ 1 E 0 = T 0 + U 0 = 0 + mg(l l cos θ 1 ) Para θ = 0 E 1 = 1 mv E 0 = E 1 mg(l l cos θ 1 ) = 1 mv 1 v 1 = gl(1 cos θ 1 ) v 1 = 9,8 8 (1 cos 60 ) = 8,854 ms 1 b) Neste caso, trata-se de um choque nelástco. Atendendo à conservação da quantdade de movmento nos momentos medtamente anteror e medatamente posteror ao choque temos: p = m 1 v 1 e θ p f = (m 1 + m )v e θ p = p f m 1 v 1 = (m 1 + m )v m 1 v = v m 1 + m 1 v = 60 8,854 = 4,89 ms c) Após o choque, a energa mecânca do sstema conserva-se E = T + U = 1 mv + 0 E f = T f + U f = 0 + mg(l l cos θ ) E = E f 1 mv = mg(l l cos θ ) v = gl(1 cos θ 1 ) cos θ = 1 v gl cos θ = 1 4,89 9,8 8 = 0,851 θ = acos(0,851) = 31,65 = 0,55 rad

6 d) Pela conservação da energa, quando a posção do conjunto das duas massas volta a ser 0, o módulo da velocdade do conjunto será gual ao módulo da velocdade ncal calculada na alínea b), mas a velocdade terá agora o sentdo contráro. No momento em que a massa m se separa da massa m 1 a velocdade tangencal de m 1 mantém-se (le da nérca). Logo, atendendo à conservação da quantdade de movmento, a velocdade do corpo de massa m, medatamente a segur ao choque manter-se-á também. Pela conservação da energa teremos então: E = T + U = 1 mv + 0 E 3 = T 3 + U 3 = 0 + mg(l l cos θ 3 ) E = E 3 1 mv = mgl(1 cos θ 3 ) cos θ 3 = 1 v gl θ 3 = acos (1 v gl ) = θ = 31,65 = 0,55 rad Problema a) m 1 = A 1 σ = πr σ = π 0,1 0, = 4, , = 9, kg m = A σ = πrd σ = π 0,1 0, 0, = 1, , = 3, kg I 1 = 1 m 1R = 0,5 9, ,1 = 6, kg m I = m R = 3, ,1 = 4, kg m I = I 1 + I = 6, , = 5, kg m Ou I = I 1 + I I = ( 1 m 1R ) + m R I = (πr σ)r + (πrd σ)r I = πr 3 σ(r + d) I = π 0,1 3 0, (0,1 + 0,) = π 0,1 3 0, 0,5 = 5, kg m b) x CM = Rα x CM = Rα = Rω ω = x CM R T = 1 Mv CM + 1 Iω T = 1 Mx CM + 1 I (x CM R ) U = Mgx CM sn θ = 1 I (M + R) x CM c) L = T U = 1 I (M + R) x CM + Mgx CM sn θ L d x CM dt ( L ) = 0 x CM Mg sn θ d I (M + dt R ) x CM = 0 Mg sn θ (M + I R ) x CM = 0 g sn θ x CM = 1 + I MR

7 d) A lata que deslza sem rodar com atrto está sujeta a uma força F x = P x KP = Mg sn θ KMg cos θ A aceleração é x CM = F x = g(sn θ K cos θ) M Para que esta aceleração seja gual à da lata que roda temos: g sn θ g(sn θ K cos θ) = 1 + I MR Dvdndo por (g cos θ) tan θ K = tan θ 1 + I MR 1 K = tan θ (1 1 + I ) MR I K = tan θ ( MR 1 + I ) MR I K = tan θ ( MR + I ) Ou A dferença entre a aceleração da lata que rola e da lata que deslza sem rolar (sem atrto) deve ser gual à aceleração devdo à força de atrto: g sn θ g sn θ 1 + I = Kg cos θ MR Dvdndo por g cos θ obtemos: K = tan θ Etc. tan θ 1 + I MR

8 Problema 3 a) Na stuação de equlíbro: F = 0 P + F el = 0 mg kz 0 = 0 k = mg z 0 0,1 9,8 k = 1,96 10 = 50 Nm 1 b) À superfíce de Marte temos P M = G Mm R M g M = G M R M = mg M 6,4 103 g M = 6, (3, ) = 3,77 ms mg M kz 0 M = 0 z 0 M = mg M k 0,1 3,77 z 0 M = 50 Ou z 0 = mg k z 0 M = mg M k z 0 M = g M g z 0 = 7, m z 0 M = g M g z 0 = 3,77 9,8 1,96 10 = 7, m c) Consderando a força segundo o exo dos zz orentado de cma para baxo temos para a massa suspensa (utlzando as varáves defndas no enuncado, segundo a fgura: F z = P k z F z = mg k(z 0 + z) F z = mz mz = mg k(z 0 + z) mz = mg kz 0 kz De acordo com a condção de equlíbro (alínea a)) mg kz 0 = 0 Logo fcamos com a equação mz = kz z + k m z = 0

9 z + ω 0 z = 0, que é dêntca à equação que se obtém para o movmento da mola na horzontal com uma frequênca própra de osclações lvres, sem atrto: ω 0 = k m d) O regme aperódco lmte corresponde à condção λ = ω 0 μ m = k m μ = km Atendendo à relação entre o coefcente de atrto da esfera e a vscosdade do fludo vem: 6πRη = km η = km 3πR 50 0,1 η = 3π = 9,657 (undades S. I. N s m ) Problema 4 a) { v = T μ v = λf λf = T μ No modo fundamental λ 1 = L Logo: f 1 = 1 L T μ Comparando as duas cordas no modo fundamental obtemos: f M = 1 L T μ M f S = 1 L T μ S

10 f M = μ S f S μ M f M f S = L μ S L μ M f M f S = m S m M ( f M ) = m S f S m S = ( f M f S ) m M m M m S = ( ) m M = 1,785 m M b) Temos para a mesma corda (S) solta e pressonada na posção x f S = 1 L T μ S f M = 1 x T μ S f S f M = 1 L T μ S 1 x T = μ S x L x L = f S f M = = 0,75 Ou (consderando que se trata da mesma corda, logo mesmo v) e no modo fundamental em ambos os casos (n = 1) f ( v ) S λ = S f M ( v = λ M = x ) λ S L λ M x L = f S f M = = 0,75 c) A stuação descrta corresponde ao modo de vbração com n = λ n = L n λ = L = L v = λf

11 Tratando-se da mesma corda, sujeta à mesma tensão a velocdade de propagação v será a mesma para os dferentes modos de vbração, logo: λ 1 f 1 = λ f f = λ 1 λ f 1 f = L L f 1 = f 1 f = 330 = 660 Hz v som = λ ar f λ ar = v som f = = 0,515 m d) A expressão matemátca, correspondente à onda estaconára assocada ao modo de vbração com comprmento de onda λ = L E frequênca f, determnada na alínea anteror será: y = A sn ( π L x) cos(πf t) y(x, 0) = A sn ( π L x) cos(0) = A sn (π x) gráfco L y (x, T 4 ) = A sn (π L x) cos (π T T 4 ) = A sn (π L x) cos (π ) = 0 gráfco y (x, T ) = A sn (π L x) cos (π T T ) = A sn (π L x) cos(π) = A sn (π x) gráfco L y (x, 3 4 T) = A sn (π L x) cos (π 3T T 4 ) = A sn (π L x) cos (3π ) = 0 gráfco