3 Modelagem da Turbulência

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1 3 Modelagem da Trblênca Segndo Pomell (1999), solções analítcas e nmércas para problemas de escoamento trblento podem ser consegdas através de város níves de aproxmação, adotando-se maor o menor descrção no detalhamento das característcas do escoamento. Atalmente exste ma grande qantdade de modelos de trblênca dsponível. Porém, apesar de mta pesqsa no campo da trblênca, não há nenhm modelo de trblênca qe possa ser aplcado adeqadamente a todos os tpos de escoamento. A modelagem da trblênca pode ser dvdda nos segntes campos prmáros (ordenados de acordo com a exgênca comptaconal): 1. Smlação Nmérca de Escoamentos Trblentos va Eqações de Médas de Reynolds (RANS - Reynolds Averaged Naver-Stokes). As eqações da técnca RANS são obtdas através de m connto de médas das eqações do Naver-Stokes e da contndade. O elemento crítco da modelagem RANS é a representação das tensões de Reynolds o tensões trblentas qe descrevem os efetos das fltações trblentas de pressão e velocdades;. Smlação de Grandes Escalas (LES Large Eddy Smlaton). Nesta técnca, as grandes escalas, consderadas como os trblhões qe contém energa, são calcladas dretamente e para as peqenas escalas tlzam-se modelos de escalas sb-malha (Rod, 006). Neste caso, a formlação é necessaramente transente e trdmensonal; 3. Smlação Nmérca Dreta (DNS Drect Nmercal Smlaton), onde as eqações de Naver-Stokes trdmensonas e transentes são resolvdas sem modelagem, em malhas bastante refnadas com passos de tempo bem peqenos, a fm de captrar toda a gama de escalas trblentas.

2 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 5 A smlação nmérca dreta da trblênca é a técnca mas natral para resolver o escoamento trblento. Na DNS as eqações de Naver-Stokes são dscretzadas dretamente e resolvdas nmercamente. A malha deve ser sfcentemente refnada para a solção das menores escalas do movmento, resltando no campo completo do escoamento trblento, trdmensonal, transente, o qal é lvre de qalqer tpo de modelagem, possndo somente os erros da aproxmação nmérca. Porém, devdo às grandes exgêncas de resolção espacal e temporal, a tlzação prátca da DNS lmta-se aos escoamentos com baxo o moderado número de Reynolds, Re L, pos o número mínmo de pontos de dscretzação necessáros para ma perfeta resolção 9/4 espacal do escoamento é proporconal a Re L (Slvera Neto, 1998). Consderando o estágo atal da comptação e a prevsão para a sa expansão, as aplcações DNS estarão lmtadas a escoamentos trblentos em regme de baxo número de Reynolds e geometras smples por algns anos. Uma vez qe a trblênca é qalfcada por m grande número de escalas temporas e espacas, as qas amentam rapdamente com o número de Reynolds, a smlação dreta DNS torna-se nvável do ponto de vsta prátco e as smlações RANS e LES tornam-se as melhores alternatvas de predção nmérca. Estas técncas fazem à decomposção das eqações governantes em m campo médo o fltrado e m campo de fltações. Esta decomposção das eqações de Naver-Stokes provoca o aparecmento de momentos de segnda ordem o mas, os qas envolvem fltações, obtendo-se mas ncógntas qe eqações. Este é o conhecdo problema de fechamento da trblênca. É exatamente sobre este problema qe a maor parte das pesqsas resde, o sea, na nvestgação por melhores modelos de trblênca qe solconem o problema de fechamento. Métodos expermentas e a smlação dreta são nstrmentos tlzados neste esforço, para valdar as modelagens propostas. Assm, o RANS e o LES são as das abordagens para predção de escoamentos trblentos qe possem o problema de fechamento da trblênca. Na modelagem RANS todas as nformações espectras são perddas. As qantdades estatístcas são médas sobre todas as escalas de trblênca. Já a metodologa LES é ntermedára tanto em csto como em esforço comptaconal entre o DNS e a modelagem RANS, ma vez qe predz a dnâmca das grandes escalas (Fgra 3.1). Um campo relatvamente novo na pesqsa é a tlzação de m modelo híbrdo RANS/LES proposto por Spalart et al. em 1997 (Apparao, 004)

3 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 53 denomnado DES (Detached Eddy Smlaton), onde a técnca de smlação de grandes escalas é sada em regões fora da camada lmte e dentro desta regão tlza-se m modelo RANS. Gra de Modelagem 100 % RANS LES 0 % DNS baxo alto extremadamente alto Csto Comptaconal Fgra 3.1 Gra de modelagem e csto comptaconal dos modelos de trblênca. Neste trabalho foram tlzados os segntes modelos RANS: Spalart- Allmaras (Spalart & Allmaras, 199), SST κ ω (Shear-Stress Transport κ ω ) (Menter, 003) e RSM (Reynolds Stress Model) (Lander et al, 1975; Lander & Shma, 1989). Tas modelos foram seleconados pos a lteratra mostra qe são os mas ndcados para aplcações aerodnâmcas. Para smlação LES selecono-se o modelo Smagornsky Dnâmco (Germano et al, 1991; Llly,199). Estas técncas de modelagem da trblênca e algmas de sas ramfcações serão apresentadas resmdamente nas seções segntes, após a apresentação das eqações de governo Eqações de Governo As eqações qe descrevem o movmento de m fldo ncompressível são as eqações de conservação de massa e qantdade de movmento lnear: Eqação de Conservação de Massa: x = 0 (3.1)

4 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 54 Eqação de Conservação de Qantdade de Movmento Lnear D Dt = g 1 p υ x σ x (3.) onde e g são os componentes da velocdade e aceleração da gravdade na dreção, p é a pressão termodnâmca, υ é a vscosdade cnemátca e σ é o tensor vscoso. D/Dt é a dervada materal, D Dt = (3.3) t x dada por No caso de fldo Newtonano, a eqação constttva da tensão vscosa é σ = υ x x υ 3 x k k δ (3.4) sendo δ é o delta de kronecker. Combnando as Eqs. (3.1) a (3.4), obtém-se a segnte forma da eqação de Naver-Stokes t x = g 1 p ρ x x υ x (3.5) 3.. Eqações de Médas de Reynolds RANS As eqações para valores médos do escoamento são obtdas aplcandose a decomposção de Reynolds às eqações de Naver-Stokes. Esta decomposção descreve os valores nstantâneos das varáves do movmento trblento como ma varação randômca em torno dos valores médos: = (3.6)

5 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 55 p = p p (3.7) Generalzando = (3.8) φ φ φ onde a barra sobre a ncógnta ndca o valor médo e a aspa ndca a fltação nstantânea em torno da méda. Defne-se o operador de méda como: 1 φ = φ dt t t (3.9) Sendo a méda das fltações nla, pela própra defnção, φ = 0 (3.10) As eqações de Reynolds (eqações de Naver-Stokes com méda de Reynolds, também conhecdas como RANS - Reynolds Averaged Naver-Stokes) são obtdas a partr das eqações de Naver-Stokes para fldos ncompressíves, Eqs. (3.1) e (3.5), sbsttndo os valores nstantâneos das varáves pelos valores médos mas sas fltações e avalando-se as médas temporas das eqações. Desta forma, as eqações de contndade e qantdade de movmento lnear obtdas são: x = 0 (3.11) t x 1 p = ρ x x υ x g (3.1) As eqações RANS, Eqs. (3.11) e (3.1), são semelhantes às eqações de Naver-Stokes, Eqs. (3.1) e (3.5). Uma dferença entre estas eqações encontrase no fato de qe as varáves dependentes nas eqações RANS são as velocdades médas e pressão méda, ao nvés dos valores nstantâneos das Eqs. (3.1) e (3.5). A otra dstnção é o aparecmento do termo,

6 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 56 conhecdo como tensão de Reynolds, qe representa a nflênca das fltações trblentas no flxo médo. Com o aparecmento do tensor de Reynolds e como não há nenhma eqação adconal ao sstema, exstem mas varáves do qe eqações, gerando o chamado problema de fechamento matemátco da trblênca. Para solconar este problema é precso ntrodzr modelos para avalar o tensor de Reynolds. De m modo geral, m tensor poss nove componentes, no entanto, como o tensor de Reynolds é smétrco, a presença deste tensor nas eqações médas somente ntrodz ses novas ncógntas. Na metodologa estatístca clássca são empregados das classes de modelos: modelos de vscosdade trblenta e modelos de fechamento de segnda ordem. Os modelos de vscosdade trblenta relaconam a tensão de Reynolds com ma fnção da vscosdade trblenta e do tensor taxa deformação do escoamento médo. Os modelos de fechamento de segnda ordem resolvem versões smplfcadas do tensor de Reynolds tlzando város tpos de aproxmações e hpóteses. Em Craft e Lander (1996), pode-se encontrar ma revsão de modelos de fechamento segnda de ordem. No presente trabalho, selecono-se nvestgar o escoamento com a técnca RANS tlzando três classes de modelos, descrtas nas seções segntes Hpótese de Bossnesq A abordagem mas comm para a modelagem da tensão de Reynolds é conhecda como hpótese de Bossnesq (Lander & Sandham, 001). Esta hpótese proposta por Bossnesq em 1877, basea-se em ma analoga entre as tensões trblentas e as tensões vscosas do escoamento lamnar, onde assme-se qe as tensões trblentas são proporconas ao gradente de velocdade méda do escoamento, e o coefcente de proporconaldade é chamado de vscosdade trblenta υ t. Desta forma, realzando-se ma analoga com a Eq. (3.4) e assmndo escoamento ncompressível, tem-se qe a tensão trblenta é defnda por = υt κ δ (3.13) x x 3

7 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 57 onde o últmo termo representa a pressão dnâmca dos trblhões, em analoga à pressão estátca termodnâmca, sendo κ a energa cnétca trblenta defnda como 1 1 = κ = v w (3.14) A vscosdade trblenta é ma fnção do escoamento, ao contráro da vscosdade moleclar qe é ma propredade do fldo. De acordo com o estado local, o valor de υ t vara ponto a ponto no escoamento. A hpótese de Bossnesq não constt m modelo de trblênca. Os modelos propostos determnarão o valor da vscosdade trblenta em fnção de valores calclados do escoamento médo. Neste contexto, a eqação de conservação de qantdade de movmento lnear para regme trblento baseada no conceto da vscosdade trblenta é obtda pela sbsttção da Eq. (3.13) na Eq. (3.1), o sea, t x P = x x υ ef g (3.15) x x onde P é a pressão modfcada, defnda de forma a ncorporar o termo da pressão dnâmca trblenta como 1 P = p κ (3.16) ρ 3 e a vscosdade efetva υ ef υ υ ef = υ t (3.17) A tlzação da hpótese de Bossnesq smplfca sgnfcatvamente o problema de fechamento, pos ao nvés de ser necessáro ntrodzr ses eqações adconas para cada m dos componentes do tensor de Reynolds, basta ntrodzr ma eqação para a vscosdade trblenta. Em 195, Prandtl

8 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 58 (Sreenvasan, 1999) desenvolve a prmera formlação de vscosdade trblenta com a hpótese de comprmento de mstra. Através da analoga com o transporte moleclar, Prandtl assm qe a vscosdade trblenta era proporconal à velocdade e ao comprmento da escala de movmento, o sea, υ t Vc Lc (3.18) onde o L c é o comprmento característco o típco da da escala de movmento. Dependendo do tpo de eqação tlzada para determnar as grandezas característca ( V c e L c ), tem-se m tpo dferente de modelo. Os três prncpas tpos de modelos de vscosdade trblenta são os modelos algébrcos (o modelos de zero eqação dferencal), modelos de ma eqação dferencal e modelos de das eqações dferencas. Os modelos algébrcos sam ma especfcação algébrca para a velocdade e comprmento característco, a qal está relaconada com o escoamento médo e propredades geométrcas. Por exemplo, o modelo algébrco mas tradconal é o modelo de comprmento de mstra de Prandtl, no qal a velocdade característca é determnada em fnção do gradente de velocdade V y c L c (3.19) enqanto qe o comprmento característco é estmado algebrcamente, de forma empírca, tomando dferentes formas para cada tpo de escoamento. A maora dos modelos de ma eqação resolvem ma eqação dferencal parcal qe descreve o transporte de ma únca escala trblenta, tlzada freqüentemente na avalação da vscosdade trblenta, ntamente com ma segnda escala qe é determnada sando relações algébrcas. Em modelos de das eqações a segnda escala de trblênca também é determnada empregando-se ma segnda eqação dferencal parcal. Os modelos de trblênca descrevem aproxmadamente o escoamento, e com certo connto de constantes empírcas, são váldos somente para determnado escoamento, o na melhor das hpóteses, para m connto de escoamentos. O deal é qe o modelo proposto possa descrever com boa

9 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 59 aproxmação m grande número de escoamentos com m únco connto de constantes. O modelo mas geral possível pode não ser o mas adeqado para determnado problema. Na prátca, o csto comptaconal e smplcdade de so de m modelo são fatores mportantes, e os modelos mas nversas são geralmente os mas complexos e reqerem mas tempo de processamento. A qaldade da smlação da trblênca, necessára para obter ma smlação precsa do escoamento médo, depende da mportânca dos termos do transporte trblento nas eqações do escoamento. Conclndo, o melhor modelo depende do problema a ser tratado. A segr serão apresentados os modelos RANS tlzados neste trabalho Modelo Spalart-Allmaras Desenvolvdo por Spalart e Allmaras (199), este é m modelo relatvamente smples qe resolve ma eqação dferencal de transporte para a vscosdade trblenta e, portanto, reqer menor esforço comptaconal. Neste modelo não há necessdade de calclar o comprmento de escala relaconado com a espessra da camada csalhante local. O modelo de Spalart-Allmaras fo especfcamente proetado para aplcações aerodnâmcas envolvendo escoamento com fronteras sóldas e tem apresentado bons resltados para escoamentos com gradente adversos de pressão. Neste modelo, somente a parte ansotrópca do tensor de Reynolds é modelada = υ t (3.0) x x Conseqüentemente a pressão modfcada é smplesmente gal a P=p/ρ. O modelo fo bascamente desenvolvdo de forma empírca. A eqação de transporte resltante para a vscosdade trblenta é ~ υ t x ( ~ υ) 1 ~ υ υ υ ( υ υ) ~ = G ~ C Υυ σ ~ υ x x b x (3.1)

10 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 60 sendo υ ~ ma varável axlar calclada neste modelo de trblênca. O coefcente de vscosdade trblenta é calclado por υ ~ υ f t = υ1 (3.) onde f υ 1 é a fnção de amortecmento vscoso tlzada para tratar de forma mas aproprada a camada amortecedora e a sbcamada lamnar, sendo defnda como f υ1 3 χ = com 3 χ C 3 υ 1 ~ υ χ (3.3) υ sendo C υ 1 ma constante empírca. Na Eq. (3.1), G υ é a prodção da vscosdade trblenta e Υ υ é a destrção da vscosdade trblenta qe ocorre na regão próxma da parede devdo ao bloqeo pela parede e amortecmento vscoso. A prodção da vscosdade trblenta é G υ 1 = C S ~ ~ b1 υ (3.4) ρ onde C b1 ma constante empírca e ~ υ S ~ = SSA f υ e k d f υ 1 χ = (3.5) 1 χ fυ1 sendo k a constante de Von Kármán, d a dstânca da parede e S SA ma medda escalar do tensor deformação, qe no modelo de Spalart-Allmaras, é baseada no módlo do tensor vortcdade. SSA = Ω ; Ω = Ω Ω (3.6) onde o tensor taxa de rotação do escoamento médo é defndo por

11 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 61 1 Ω = (3.7) x x para Recomenda-se (Deck et al, 00) a expressão defnda pela Eq. (3.6) S SA qando a trblênca é devdo somente à geração de vortcdade nas regões próxmas as paredes. No entanto, os resltados obtdos com esta expressão, tendem a sperestmar a prodção da vscosdade trblenta e desta forma amentar o valor da vscosdade trblenta. Pode-se combnar os efetos dos tensores rotação e deformação na defnção de S SA (Deck et al, 00). S SA Ω (, S Ω ) = Cprod mn 0 (3.8) onde C prod =, 0 e S S = S (3.9) S = 1 x x (3.30) A nclsão de ambos os tensores, rotação e deformação, dmn a prodção da vscosdade trblenta e conseqüentemente redz a vscosdade trblenta, nas regões onde a medda de vortcdade excede a taxa de deformação. O termo de destrção Υ υ é modelado como ~ 1 υ Υ υ = C w 1 f w (3.31) ρ d onde

12 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 6 f w 1/ C 3 w = g 6 6 ; g Cw 3 6 ; g = r Cw (r r ) r ~ S ~ υ k = d (3.3) As constantes empírcas do modelo são dadas na Tabela 3.1. Tabela Constantes Empírcas do Modelo Spalart Allmaras (Deck et al, 00) Constante Valor C b1 0,1355 C b 0,6 C w1 Cb 1 ( 1 Cb ) k σ ~ υ C w 0,3 C w3,0 C ν1 7,1 σ ~ υ / 3 k 0,41

13 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca Modelo SST κ ω No modelo SST κ ω, a tensão trblenta de Reynolds é modelada pela Eq. (3.13), sendo a vscosdade trblenta modelada em fnção da energa cnétca trblenta κ e da taxa de dsspação específca da energa cnétca trblenta ω. Este modelo fo proposto para smlações de escoamentos aerodnâmcos com gradente adverso de pressão e separação da camada lmte, tlzando as maores vantagens dos modelos κ ω e κ ε. Para escoamentos onde há formação de camada lmte, o modelo tradconal é speror ao modelo κ ω κ ε na solção da regão vscosa próxma a parede, e tem demonstrado scesso nos problemas envolvendo gradente adverso de pressão. Entretanto, o modelo κ ω reqer ma condção de contorno dferente de zero para ω na corrente lvre, e a solção fnal do escoamento é mto sensível ao valor especfcado (Menter, 199). Também fo demonstrado (Cazalbo et al, 1993) qe o modelo defcênca. κ ε não sofre esta Assm, o modelo SST mstra a formlação robsta e precsa do modelo κ ω próxmo a parede com a ndependênca do modelo κ ε na corrente lvre. Para realzar sto, o modelo modelo κ ε é escrto em termos de ω. Então o κ ω e o modelo κ ε transformado são ambos mltplcados por ma fnção de mstra e somados. Esta fnção de mstra F 1 vale m (condzndo ao modelo κ ω padrão) na extremdade nterna da camada de lmte trblenta e tem m valor zero (correspondendo ao modelo κ ε padrão) na parte externa à camada. Desta forma, a energa cnétca trblenta κ e taxa de dsspação específca ω do modelo de SST são determnadas por (Menter et al., 003): κ t κ * = P ~ κ κ β κ ω ( υ σ κ υt ) (3.33) x x x ω ω = α S βω t x x ( υ σ υ ) ( F ) ω t ω x σ 1 κ ω 1 1 d (3.34) ω x x

14 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 64 O últmo termo do lado dreto da Eq. (3.34) é conhecdo como termo de dfsão crzada. Menter (199) demonstro qe ntrodzndo o termo de dfsão crzada na eqação, a dependênca da corrente lvre do modelo κ ω é redzda. O prncpal efeto de dfsão crzada em escoamentos lvres é amentar a prodção de ω e, conseqüentemente, amentar a dsspação de κ. Na Eq. (3.34) a dfsão crzada está mltplcando fnção de mstra F 1, qe é fnção da dstânca à parede. Como explcado anterormente, F 1 é gal a zero afastado da parede (modelo lmte (modelo κ ε ), e mda para o valor m dentro da camada κ ω ). A fnção de mstra F 1 é defnda como {( ) 4 } F 1 = tanh arg 1 (3.35) κ 500υ 4 ρ σ arg = ω κ 1 mn max ; ; β * ω y y ω CDκω y (3.36) onde y é a dstânca à parede, b* e σ w são constantes empírcas e parte postva do termo de dfsão crzada, dada por CD κω é a 1 κ ω CD = 10 κω max ρ σ ; 10 d (3.37) ω x x onde σ d é ma constante empírca. A defnção da vscosdade trblenta apresenta m tratamento melhor para o transporte das tensões de Reynolds em camada lmte seta a gradente adverso de pressão. Esta defnção está baseada na hpótese de Bradshaw (1967) qe para escoamento em camada de lmte as tensões de Reynolds são proporconas à energa cnétca trblenta. A vscosdade trblenta é formlada como sege a1κ υ t = (3.38) max ( a1ω ; SF ) onde a 1 é ma constante empírca gal a 0,3 e S é o módlo do tensor deformação do escoamento médo S, defndos pelas Eqs. (3.30) e (3.31). F é a fnção de mstra para vscosdade trblenta no modelo SST, defnda como

15 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 65 {( ) } F = tanh arg (3.39) arg κ 500 υ = max ; * β ω y y ω (3.40) No modelo SST a prodção de energa cnétca trblenta é lmtada para prevenr m acúmlo de trblênca em regões de estagnação * ( υ S β κ ω) P ~ 10 k = mn t ; (3.41) As constantes empírcas do modelo, são obtda combnando as constantes empírcas dos modelos κ ε e κ ω. Sea φ ma constante do modelo SST e seam φ 1 e φ constantes dos modelos κ ω e κ ε, respectvamente. As constantes φ são calcladas sando a fnção de mstra entre as constantes φ 1 ( κ ω ) e φ ( κ ε ), qe encontram-se na Tabela 3.. φ ( F 1 ) = F 1 φ 1 1 φ (3.4) Tabela 3. Coefcentes do modelo SST Constante φ 1 ( κ ω ) φ ( κ ε ) β 0,075 0,088 β 0,09 0,09 σ κ 0,5 1,0 σ ω 0,5 0,856 σ d 0,856 0,856 α 5/9 0,44

16 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca Eqações de Transporte do Tensor de Reynolds - RSM Os modelos de trblênca fndamentados na hpótese de Bossnesq representam ma solção consoldada para o problema de fechamento das eqações de médas de Reynolds. Entretanto, apesar do reconhecdo desempenho na solção de dversos tpos de escoamentos trblentos, tas modelos apresentam algmas defcêncas, normalmente assocadas às lmtações mpostas pelo conceto de vscosdade trblenta. Os escoamentos qe apresentam forte comportamento ansotrópco da trblênca são exemplos típcos em qe a hpótese de Bossnesq é falha. Uma alternatva para o fechamento das eqações RANS consste na obtenção de eqações dretas para o transporte das tensões de Reynolds (Reynolds Stress Model RSM). Em vrtde dsto, tas modelos são salmente referencados na lteratra como modelos de fechamento dreto o de segnda ordem (Lander, 1989 ; Lander & Shma, 1989). As eqações de transporte para as tensões de Reynolds podem ser obtdas a partr das eqações de Naver-Stokes e das eqações de médas de Reynolds, Eqs. (3.5) e (3.1) respectvamente, conforme mostrado em Alho & Ilha (006). Estas eqações para escoamentos ncompressíves são apresentadas a segr t l x l = D P Φ - ε (3.43) onde D é o termo de transporte dfsvo, D = x l υ ( xl ) (3.44) x l l p ρ ( δ l δ l ) P é o termo de prodção de tensão

17 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 67 P = l l (3.45) xl xl Φ é o termo de pressão p Φ = (3.46) ρ x x ε é o termo de dsspação vscosa ε = υ (3.47) x x l l O lado esqerdo da Eq. (3.43) representa o transporte convectvo do tensor de Reynolds (o sea, da trblênca) ao longo do escoamento médo. Natralmente, esse movmento convectvo provém do balanço de todos os processos presentes do lado dreto da eqação de transporte, Eq. (3.43). A Eq. (3.44) é a taxa de dfsão do tensor de Reynolds devdo a vscosdade moleclar µ do fldo, às fltações p da pressão e à própra trblênca (em realdade ma convecção ao nível das fltações de velocdade, representadas pelo termo de correlação trpla l ). O termo P, Eq. (3.45), é a taxa de prodção (cração o destrção) da tensão trblenta à medda qe esta é transportada ao longo do escoamento, sendo nflencada pelos gradentes de velocdade méda xl. Havendo gradentes de velocdade méda maores em algmas dreções do qe em otras e exstndo contornos físcos qe casem o amortecmento seletvo das fltações trblentas em dreções específcas, a trblênca gerada pelos termos acma é, em geral, ansotrópca. O termo adconal de pressão Φ da Eq. (3.46) envolve correlações entre as fltações da pressão e taxas de deformação. Este termo não se encontra presente na eqação da energa cnétca trblenta κ, á qe não contrb para o balanço total de energa. A soma do termo de pressão para =1, e 3 leva a

18 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 68 Φ ( = p / ρ )[ / x ] = 0, pela eqação da contndade. Este termo age somente para redstrbr a energa entre os componentes normas da tensão de Reynolds qando = e para redzr a tensão csalhante qando. Este termo tende a tornar a trblênca mas sotrópca. Fnalmente, devdo à vscosdade υ. ε representa a taxa de dsspação do tensor de Reynolds Os termos correspondentes aos processos de dfsão ( D ), redstrbção ( Φ ) e dsspação ( ε ) possem qantdades desconhecdas e necesstam de ma modelagem específca. Usalmente, a modelagem dos termos D e apresentam m caráter mas geral, sendo bascamente gal aos prncpas modelos exstentes. Entretanto, a modelagem do termo ε Φ tem sdo obeto de dversos trabalhos, representando m tema central no desenvolvmento desses modelos de fechamento de segnda ordem. Nas seções segntes serão abordadas estas modelagens. Normalmente, o níco da prodção de trblênca ocorre através de nstabldades no escoamento, relaconadas aos gradentes de velocdade méda (descrtas pelo termo de prodção P ), qe por sa vez orgnam novas nstabldades em escalas menores. Este processo contna até qe as escalas se tornem mto peqenas e, conseqüentemente, os gradentes de fltação da velocdade seam sfcentemente grandes a tal ponto qe os efetos vscosos domnem o escoamento, fazendo com qe a energa trblenta sea dsspada na forma de energa nterna e calor. Este processo contíno de transferênca de energa trblenta das maores escalas para as menores até a sa dsspação vscosa fnal é conhecdo como cascata de energa trblenta. Na Eq. (3.43) os termos de convecção e prodção não necesstam de modelagem, pos são exatos e dependem apenas dos componentes do tensor de Reynolds. Entretanto, os termos de redstrbção, dfsão e dsspação reqerem modelagem fenomenológca extensva, como será vsto nas próxmas sessões. Como comentáro fnal, vale menconar qe na dervação da eqação de transporte para o tensor de Reynolds, obtém m termo de correlação trpla entre as fltações de velocdade, l. De forma análoga, a eqação

19 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 69 de transporte para esta correlação trpla dá orgem a m termo de correlação qádrpla, _ D Dt l = l m xm ( K) (3.48) O sea, cada eqação para m momento estatístco de ordem N envolve necessaramente m termo com m momento de ordem N 1. Isso lstra mas ma vez o problema de fechamento matemátco da trblênca Modelagem do Termo de Transporte Dfsvo D Um dos problemas nerentes a elaboração de modelagens para o processo de dfsão trblenta é a presença do termo de correlação trpla entre as fltações de velocdade, l. Para tratar deste termo, Daly & Harlow (1970), propseram o segnte modelo baseado na hpótese da dfsão gradente generalzada D = x l κ υ ( ) c s k l (3.49) xl xl ε xk Entretanto, a tlzação da Eq. (3.49) pode resltar em nstabldades nmércas. Esta pode ser modfcada através de m modelo de dfsão gradente smplfcada (Len & Leschzner, 1994), com ma dfsvdade trblenta escalar (sotrópca) D υ t = υ ( ) (3.50) xl σ κ xl onde σ κ = 0, 8, sendo a vscosdade trblenta dada como no modelo κ ε por

20 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 70 κ t = C (3.51) ε υ µ sendo C µ = 0,09. A eqação de transporte para a taxa de dsspação da energa cnétca trblenta ε será tema da próxma seção. A energa cnétca trblenta κ é obtda através do traço do tensor de Reynolds, Eq. (3.14) Modelagem do Termo de Dsspação Trblenta ε O tratamento do termo dsspatvo é semelhante ao empregado no modelo κ ε, sendo assmdo qe o processo de dsspação vscosa ocorre de ma forma sotrópca nas menores escalas. Isso mplca qe 3 ε = ε δ (3.5) A taxa de dsspação da energa cnétca trblenta, ε, contna sendo ma qantdade desconhecda, qe é calclada através de sa eqação de transporte (Hanalc, 1994) ε t ε x = = x υ ε t υ σ ε x c1ε P ρ c ε ε ε κ (3.53) sendo as constantes dadas pela Tabela 3.3. Tabela Coefcentes do modelo RSM para eqação de ε Constante Valor c 1,44 1ε c ε 1,9

21 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 71 σ ε 0, Modelagem do Termo de Pressão Φ - Modelo LRR O modelo LRR (Lander, Reece & Rody, 1975) fo m dos prmeros modelos de segnda ordem a ser formlado. Utlzando-se m processo de elmnação da fltação da pressão através da eqação de Posson (Lander & Sandham, 001), concl-se qe a correlação pressão-deformação pode ser descomposta em dos termos dstntos Φ = Φ, 1 Φ, (3.54) O termo Φ, 1 representa a contrbção das nterações das fltações da velocdade (trblênca pra) para a redstrbção, e Φ, é a contrbção dependente do gradente de velocdade méda (deformação méda). Fscamente, o termo Φ ata no sentdo de dstrbr a energa trblenta entre os dversos componentes do tensor de Reynolds. Incalmente, a trblênca é fortemente ansotrópca, com determnados componentes de apresentando magntdes sperores aos demas. No entanto, através do processo de decomposção proposto na Eq. (3.54), a energa trblenta tende a ser dstrbída de ma forma mas eqlbrada entre todas os componentes do tensor de Reynolds, levando, portanto, a m comportamento sotrópco da trblênca. Obvamente, qanto maor for o comportamento ansotrópco do escoamento, maor será a nflênca de Φ ; se a trblênca for mas sotrópca, menor será a mportânca do termo de redstrbção. Cada contrbção da Eq. (3.54) é em geral modelada separadamente. Rotta (1951) propôs modelar a prmera parte, consderando qe Φ, 1 é proporconal a ansotropa da trblênca, como ε Φ, 1 = - C LRR, 1 - κ δ κ 3 (3.55)

22 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 7 Nota-se qe Φ, 1 é m termo de fonte para a eqação de qando < ( / 3) κ e m sorvedoro qando > ( / 3) κ, de tal forma qe este termo realmente age no sentdo de redstrbr a energa entre ses componentes ( = ( / 3) κ na trblênca sotrópca). Para a segnda parcela da Eq. (3.54), referente ao gradente da velocdade méda, tem-se o segnte modelo (Lander et al., 1975; Naot et al., 1970) 1 Φ, = CLRR, P δ Pkk (3.56) 3 Este parcela é a contrapartda dreta de Φ, 1, porqe assme qe a parcela da deformação méda do termo de esforço de pressão é proporconal a ansotropa da prodção de. O modelo LRR fo posterormente modfcado (Gbson & Lander, 1978) a fm de serem ncorporados os efetos de parede, como = Φ, 1 Φ, Φ,w (3.57) Φ O termo Φ, w é responsável pela redstrbção da tensão normal próxmo a parede. Ele amortece a tensão normal perpendclar à parede, enqanto amenta as tensões csalhantes paralelas à parede. É dado por (Gbson & Lander, 1978) Φ,w = C C LRR, 3 ε κ k m n k n m 3 δ 3 3 LRR, 4 ( φkm, nk nm δ φk, n nk φ k, n nk fw k n n k 3 k n n k f w (3.58) onde n é o componente ntáro da dreção normal à parede. A fnção de escala f w promove o amortecmento da contrbção do termo Φ,w a medda qe o escoamento se afasta da parede, sendo gal a

23 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 73 3 κ ε f w = (3.59), 5d onde d é a dstânca a parede. Vsando melhorar o modelo LRR para solção de escoamentos com camada lmte va RSM, Lander & Shma (1989) propseram qe os valores de C LRR 1,, LRR, C, C LRR, 3 e C LRR, 4 seam fnções de nvarantes das tensões de Reynolds e do número de Reynolds trblento, ( κ υε ) Re = (3.60) t sendo defndas por C [ ( 0, Re ) ] { 1 exp } LRR, 1 = 1, 58A A 0067 t (3.61) 0 75 A C LRR, =, (3.6) = CLRR (3.63) 3 C LRR, 3,, 1 CLRR, C = 3 6 LRR, 4 max, 0 (3.64) CLRR, O parâmetro A e os nvarantes A e A 3 são defndos como 9 A = 1 ( A A3 ) 8 (3.65) A = a k a k (3.66) A = a a a 3 k k (3.67)

24 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 74 onde a é o tensor ansotrópco a = 3 κ κδ (3.68) Eqação de Transporte do Modelo RSM Consderando as observações apresentadas nas seções anterores, o modelo RSM consste na solção da segnte eqação de transporte para cada m dos componentes do tensor de Reynolds,, v v, w w e v, t l x l l x l l = x x l l υt υ σ κ, 1 x, ( Φ Φ Φ l ),w - 3 ε δ (3.69) ntamente com a solção da eqação para ε. e No caso D, consdera-se desprezível a contrbção dos tensores w v, resltando em m connto de cnco eqações ntamente com as eqações da contndade e qantdade de movmento Tratamento do Modelo RSM Próxmo à Parede Os modelos Spalart-Allmaras e SST foram proetados para serem aplcados ao longo da camada lmte, desta forma há necessdade de m maor refnamento da malha próxmo à regão da parede, o sea, y 1. O valor de y é dado através da expressão a segr

25 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 75 y = τ d υ ; τ s τ = ; ρ r τ s = µ (3.70) y d =0 Na Eq. (3.70), parede e d é a dstânca à parede. τ é a velocdade de atrto, τ s é a tensão csalhante na No caso da placa plana em estdo são tlzadas malhas com y 1. O modelo RSM fo ncalmente desenvolvdo para escoamentos trblentos sem a nflênca da regão da parede. Como as malhas neste trabalho possem y 1, é convenente qe haa m tratamento específco deste modelo para esta regão. Este tratamento será descrto a segr. Para smlar o comportamento do escoamento próxmo à parede ( y 1) no modelo RSM (Chen & Patel, 1988), o domíno ntero é sbdvddo em das regões. A prmera regão localza-se próxma à parede e o escoamento é afetado pela vscosdade do fldo. A otra regão, denomnada totalmente trblenta, está afastada da parede. A defnção das das regões é determnada através da segnte defnção para o número de Reynolds d κ Re y = (3.71) υ onde d é a dstânca à parede e κ a energa cnétca trblenta defnda pela Eq. (3.14). Na regão totalmente trblenta ( Re y > 00 ), o escoamento é resolvdo normalmente pelo modelo RSM conforme as seções anterores. Na regão próxma à parede ( Re y < 00 ) é aplcado o modelo de Wolfshten (1969). No modelo de Wolfshten são adotadas as mesmas eqações de transporte de qantdade de movmento e para o cálclo de κ, Eq. (3.14), do modelo RSM, porém o valor da vscosdade trblenta é υt, r Cυ l r = κ (3.7) sendo C υ = 0, 09 e o comprmento de escala l r dado por (Chen & Patel, 1988)

26 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 76 = (Rey / Aυ ) l r dcl 1 e (3.73) Para ma save transção do valor da vscosdade trblenta da regão próxma a parede para regão totalmente trblenta, tlza-se o segnte esqema (Jongen & Marx, 1997) υ λ υ ( 1 λε ) υt, r t,transção = ε t (3.74) onde υ t fo defnda na Eq. (3.51). Na Eq. (3.74) a fnção de mstra, λ ε, é defnda de tal forma qe sea gal a ndade na regão totalmente trblenta e zero nas regões próxmas à parede, o sea 1 Rey 00 λ ε = 1 tanh (3.75) A A constante A = 6, 558 é astada de tal forma a controlar a savdade da transção entre as das regões. por O campo da taxa de dsspação da energa cnétca trblenta ε é dado ε 3 κ = (3.76) l ε o comprmento de escala l ε é dado por (Chen & Patel, 1988) Rey A l = ε ε dcl 1 e (3.77) O valor de ε calclado pela Eq. (3.76) é tlzado apenas na regão próxma à parede. Um procedmento análogo ao realzado com o valor de através da Eq. (3.74), é sado na especfcação do valor de µ t, ε, com a mesma fnaldade de tornar save a transção do valor calclado através da expressão

27 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 77 algébrca da Eq. (3.76) para o valor de ε obtdo através da eqação de transporte, Eq. (3.53), na regão totalmente trblenta. As constantes do modelo são fornecdas na Tabela 3.4. Tabela Coefcentes para tratamento do modelo RSM próxmo à parede Constante Valor C υ 0,09 C l C l = κ C A υ 70 A ε C l 3 4 υ 3.3. Smlação de Grandes Escalas LES As eqações qe governam as grandes escalas de escoamentos trblentos são dervadas através da aplcação de m operador fltro espacal nas eqações de contndade, Eq. (3.1), e qantdade de movmento lnear, Eq. (3.5), apresentadas na seção 3.1. A prmera etapa (Fndkaks & Street, 198) desta metodologa é a separação das varáves de campo em componentes correspondentes às r grandes escalas f( x,t ) e às escalas sb-malha f " r ( x,t ), o sea, r r " r f( x,t ) = f( x,t ) f ( x,t ) (3.78) r f( x,t A fnção fltro defne o campo das grandes escalas. A fnção fltrada ), qe é a varável a ser resolvda, é então dada por: r f( x,t ) = G( x x,t t " ",x,t) f( x ",t " ) dx " dt " (3.79) onde G é o fltro. Uma vez qe o método de volmes fntos fo seleconado para ser tlzado neste trabalho, so-se a fnção fltro por volme, pos o método á tlza mplctamente este fltro. Neste caso, a fnção fltro somente não se anla na regão onde se realza o processo de méda. Por exemplo, para ma malha nforme, defne-se a fnção fltro como:

28 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 78 G( x " x ) = 1 " se x - x 3 (3.80) 0 se x - x " > onde é a dmensão do fltro característco. Desta forma, sobre qalqer tpo de malha o operador redz-se a ma ntegral da varável sobre ma extensão espacal fnta f ( x,t) = 1 3 " f( x,t) d x " (3.81) Qando m fltro nforme é empregado, as operações matemátcas de fltro e dervadas parcas são comtatvas (Ghosal & Mon, 1995), porém, se o fltro não for nforme, dversas otras operações de fltro espacal não são comtatvas, como por exemplo as operações lstradas a segr: (3.8) " " (3.83) Adconalmente, o fltro da parcela não resolvda, da sb-malha não é nlo, " 0 (3.84) Procedendo a fltragem das Eqs. (3.1) e (3.5) e consderando a Eq. (3.78) para as varáves de velocdade e pressão, obtêm-se as eqações de governo das escalas resolvdas: x = 0 (3.85)

29 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 79 t x 1 p = ρ x x υ x g (3.86) As Eqs. (3.85) e (3.86) modelam o transporte da velocdade fltrada o das grandes escalas, varável. Verfca-se qe o termo convectvo não lnear apresenta-se na forma de prodto fltrado, e ma vez qe o fltro e o prodto não são comtatvos, srge o mesmo problema de fechamento das eqações RANS. O termo não lnear o de transporte convectvo destas eqações pode ser escrto da segnte forma: " " " " = (3.87) Devdo aos valores das varáves fltradas não serem constantes no espaço, o fltro do prodto de das varáves fltradas é dferente do prodto das varáves fltradas:. Esta observação fo feta por Leonard em 1974, qe defn o tensor das tensões resdas (Pope, 000) através da Eq. (3.87) da segnte forma " " " " τ = (3.88) o τ = = L C R (3.89) onde L = (3.90) " " = (3.91) C " " R = (3.9)

30 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 80 L é o tensor de Leonard, e representa a parcela das nterações entre escalas resolvdas qe resltam em contrbções sb-fltro. O tensor crzado, C, corresponde às nterações entre as escalas resolvdas e as modeladas. O tensor de Reynolds sb-malha R consdera as nterações entre as escalas modeladas. Desta forma, sbsttndo-se as Eqs. (3.89), (3.90), (3.91) e (3.9) na Eq. (3.86), obtém-se a segnte eqação de conservação de qantdade de movmento fltrada t x 1 = ρ p x x υ τ g (3.93) x O tensor das tensões resdas τ representa a nflênca das escalas fltradas no transporte das grandes escalas e precsa ser modelado, a fm de solconar o problema de fechamento crado no sstema de eqações formado pelas Eqs. (3.85) e (3.93) Modelagem Sb-Malha no LES O obetvo dos modelos sb-malha é smlar a transferênca de energa entre as escalas fltradas e as escalas sb-malha. Uma vez qe somente as peqenas escalas precsam ser modeladas, modelos smples podem ser desenvolvdos. Adconalmente, os modelos podem ser ndependentes da geometra, pos as peqenas escalas são de natreza mto mas nversal qe a trblênca total. Os modelos mas tradconas para o tensor sb-malha também são baseados no conceto de vscosdade trblenta, de acordo com a hpótese de Bossnesq. Aplcando-se esta hpótese para escoamentos ncompressíves, o tensor de Reynolds sb-malha é normalmente modelado por: R " " k = υ k SM δ (3.94) x x 3 onde υ SM é a vscosdade trblenta sb-malha qe será modelada.

31 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 81 " " O termo sotrópco, ( k k ) /, pode ser ncorporado à pressão estátca, como no caso dos modelos RANS. A soma dos tensores de Leonard e crzado podem ser modelados através de ma expansão de Taylor do campo de velocdade fltrado, podendo ser calclado explctamente em fnção do campo resolvdo de velocdade, de acordo com (Fndkaks e Street,1979) L C (3.95) 1 xk xk No entanto, segndo Shaanan et al. (1975), os tensores L e C podem ser desprezados qando se tlza m esqema de dscretzação do termo de transporte convectvo de segnda ordem o nferor. Porém, em esqemas de ordens mas elevadas o métodos espectras estes tensores não podem ser desprezados. Portanto, como no presente trabalho será empregado dscretzações de no máxmo segnda ordem, o tensor de sb-malha será estmado de acordo com τ = R (3.96) resdas O resltado da Eq. (3.96) tem efeto na nomenclatra do termo de tensões τ, pos mtos atores denomnam dretamente este termo dretamente de tensor de Reynolds sb-malha (Sb Grd Scale Reynolds Stress - SGS), podendo ser sado sem perda de caracterzação. A segr, o prmero modelo desenvolvdo a vscosdade trblenta sbmalha, Modelo de Smagornsky, é descrto, segdo pela descrção do modelo empregado neste trabalho, Modelo de Smagornsky Dnâmco Modelo de Smagornsky O modelo de Smagornsky (1963) tem sdo tradconalmente empregado para representar os efetos das escalas sb-malha, em smlação de grandes escalas. A hpótese de eqlíbro local para peqenas escalas é aplcada e a vscosdade cnemátca trblenta de sb-malha υ SM é dada por

32 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 8 ( Ls ) S S υ SM = (3.97) onde S é o tensor deformação das escalas resolvdas, dado por S 1 = x x (3.98) e o termo defndo como L s é o comprmento de mstra assocado às escalas sb-malha, L = 1 3 s mn kv d, Cs (3.99) sendo k v a constante de von Kármán, d é a dstânca à parede, constante de Smagornsk dadscretzação. valor de C s é a e é o volme do volme de controle Llly (1967) admtndo trblênca sotrópca e homogênea, determno o C s como sendo gal a 0,18. Porém, este valor casa m excessvo amortecmento nas fltações das grandes escalas em escoamentos csalhantes o com fronteras sóldas, devendo este valor ser redzdo nestes casos. Em resmo, C s não é ma constante nversal, tornando-se m dos problemas mas séros deste modelo. Apesar desta lmtação, o modelo Smagornsky tem sdo bastante tlzado e é a base de otro modelo sb-malha, denomnado modelo Smagornsky dnâmco. Nesta nova concepção de modelagem, o parâmetro por ma fnção avalada dnamcamente drante a smlação. C s é sbsttído Modelo de Smagornsky Dnâmco O modelo sb-malha de Smagornsky tem como maor lmtação a representação de dferentes campos de flxo trblento, tas como recrclação, recolamento, escoamento próxmo à parede, devdo a tlzação de ma únca constante.

33 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 83 O modelo dnâmco de vscosdade trblenta, proposto em Germano et al. (1991) e modfcado por Llly (199), é baseado no modelo de Smagornsky. O tensor de Reynolds sb-malha é modelado basedao na hpótese de Bossnesq δ τ τ = υ SM S = c( x,t) S S S (3.100) 3 r onde S é o tensor deformação, dado pela Eq. (3.98). Nesse modelo o coefcente c( x,t r ) é avalado de acordo com o progresso do escoamento, sendo ma fnção do tempo e do espaço. Nesta modelagem o coefcente c( x,t r ) é determnado através do so de dos fltros de dferentes comprmentos característcos. A prmera fltragem consderada é qando se faz a dscretzação das eqações, sendo qe a dmensão característca do prmero fltro (fltro no nível de malha) poss a dmensão dos elementos da malha. No segndo processo de fltragem, denomnado fltro teste, tlza-se m fltro com dmensão característca maor qe o prmero fltro. Baseado nestes dos níves de escala, os modelos dnâmcos sam nformações das menores escalas resolvdas (stadas entre os dos fltros) para calclar o coefcente dnâmco e modelar a transferênca de energa entre as escalas fltradas e as escalas sb-malha, conforme mostrado na Fgra 3.. No espectro de energa as das escalas defnem os dos fltros tlzados e a faxa de freqüênca qe será tlzada para modelar a transferênca de energa entre as escalas fltradas e as escalas modeladas. Cabe ressaltar qe a característca fndamental do modelo Smagornsky dnâmco é a galdade entre as tensões trblentas sb-malha, qe é ma propredade das menores escalas, e a faxa do espectro delmtada pelos dos fltros de dmensões dferentes.

34 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 84 Fgra 3. Espectro de energa. A fm de aplcar os dos níves de fltragem consectvos, tlza-se agora m novo fltro G com ma nova banda > sobre a Eq. (3.86) g x x x p x t = υ ρ 1 (3.101) onde a relação = tem sdo tlzada. O símbolo representa o segndo fltro o fltro de teste. Defnndo o tensor das tensões do fltro teste T como - T = (3.10) a Eq. (3.101) toma a segnte forma g T x x x p x t = υ ρ 1 (3.103)

35 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 85 Analogamente às tensões de Reynolds, modela-se as tensões trblentas do fltro teste T, como r T 3 ( x,t ) S S S δ T = c (3.104) O modelo proposto por Germano et al. (1991) fornece ma forte contrbção ao problema da modelagem de escala sb-malha, através da hpótese de consstênca entre os tensores modelados T e τ, apoada pela escolha local do parâmetro c( x,t r ). Para relaconar estes tensores, aplca-se a fltragem na Eq. (3.100), obtendo-se τ δ ( x,t) S S S τ = c (3.105) 3 r Fltrando-se a Eq. (3.93), obtém-se t x p 1 = ρ x x υ x τ g (3.106) Sbtrando-se a Eq. (3.103) da Eq. (3.106), tem-se x ( T τ ) = (3.107) x Defne-se o tensor de Leonard global como L global = = T τ (3.108) A Eq. (3.108) é denomnada dentdade de Germano, e relacona as tensões trblentas resolvdas L (contrbção da regão delmtada entre global o fltro teste e o fltro sb-malha), as tensões de escala sb-malha τ e as tensões do fltro teste T.Os elementos de L são os componentes global resolvdos do tensor pertnente as escalas do movmento, entre a escala de teste e a escala sb-malha. Estes elementos podem ser avalados explctamente e comparados localmente com a dferença das aproxmações de fechamento.

36 Capítlo 3. Modelagem da Trblênca 86 Através das Eqs. (3.105) e (3.108) obtém-se a fnção c( x,t r ) para o coefcente dnâmco: c r ( x,t ) = 1 L global M M M (3.109) onde L fo defndo pela Eq. (3.108) e o tensor M global é dado por: = S S S S S S (3.110) M Concl-se qe a determnação do coefcente dnâmco c( x,t r ) depende apenas das grandezas resolvdas e de m dplo processo de fltragem.