3 MÉTODO HÍBRIDO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 41 3 MÉODO HÍBRIDO DOS ELEMENOS DE CONORNO Desenvolve-se neste caítlo m resmo da formlação do Método Híbrdo dos Elementos de Contorno (MHEC) alcado a roblemas da elastostátca, além de serem abordados os reqstos teórcos báscos necessáros ao se desenvolvmento. Este caítlo é baseado nos desenvolvmentos realzados or Dmont (1987d), De Soza (1992), De Olvera (1994) e Loes (22). Incalmente são aresentadas as eqações báscas da teora da elastcdade referentes a m coro seto aenas a eqenos deslocamentos. O conceto de solção fndamental é então defndo, sendo mostrada em artclar a solção fndamental de Kelvn (Love, 1927). Em segda, defne-se o otencal de Hellnger-Ressner (Ressner, 1965) através da exressão generalzada da energa otencal total de m meo elástco. A artr do otencal de Hellnger-Ressner, faz-se o desenvolvmento do método híbrdo dos elementos de contorno, sem a consderação de forças de massa. A resente formlação também odera ser dedzda a artr do rncío da energa otencal total estaconára (Carvalho, 199) qe, no entanto, or ser mas restrtvo, fornecera as relações de ma manera menos dreta. Posterormente, são fetas consderações físcas sobre as relações obtdas. São dsctdos asectos relatvos às transformações lneares entre os dos sstemas de coordenadas necessáros ara o estabelecmento do método. É mostrada a forma como odem ser obtdos os resltados fnas, sendo estes tensões e deslocamentos em ontos nternos. Aborda-se em segda, o caso artclar de estrtras externamente determnadas, as qas odem ser resolvdas de m modo bastante smles e efcente em termos comtaconas. Neste trabalho será tlzada a notação ndcal ara smlfcação da aresentação das dversas eqações. Nesta notação, a tlzação de m determnado índce, or exemlo, reresenta os índces sbscrtos (1, 2, 3) ara consderação das dreções cartesanas (x, y, z) resectvamente. Índces reetdos em m mesmo termo têm o sgnfcado de somatóro e m sbscrto deos de ma (,) denota dervação segndo a dreção coordenada reresentada.

2 eora da Elastcdade Sea m coro elástco seto aenas a eqenos deslocamentos. Os deslocamentos de m elemento nfntesmal deste coro são descrtos, na teora da elastcdade, segndo dos sstemas de coordenadas: a) Um sstema global o externo, se têm deslocamentos absoltos. Sobre estes deslocamentos realzam trabalho forças externas qe odem ser classfcadas em dos tos: forças de massa F, defndas or ndade de volme e qe atam no domíno, o sea, no nteror do coro; forças de serfíce, defndas or ndade de área e qe atam no contorno. b) Um sstema local o nterno, em qe se têm deslocamentos relatvos (deformações) ε, referdos a m elemento nfntesmal d, sobre os qas realzam trabalho as forças de serfíce (tensões). O contorno do coro é concetalmente dvddo em das artes = +, se têm em forças rescrtas e em deslocamentos rescrtos, conforme está reresentado na Fgra 3.1. Sea m connto de forças externas conhecdas, atando sobre o coro elástco, e qe são descrtas no sstema global or F, atando em e atando em. A análse deste coro consste na determnação dos deslocamentos qe ocorrem em e em, das reações de aoo qe srgem em e das tensões em, casados elas solctações externas, é necessáro então o estabelecmento de relações de transformação entre forças e deslocamentos entre os dos sstemas descrtos. F x 2 x 1 x 3 Fgra Coro elástco em eqlíbro

3 43 Entre as forças descrtas no sstema global e as tensões do sstema local há as relações de transformação estátca (eqlíbro):, + F = e (3.1) = em e (3.2) η = em (3.3) η são os cossenos dretores de m elemento de serfíce d. Entre os deslocamentos descrtos no sstema global e as deformações do sstema local exstem as relações de transformação cnemátca: 1 ε = (, +, ) em (3.4) 2 = em (3.5) No sstema local exste também a relação entre tensões e deformações (relação constttva): C kl = C em (3.6) kl k, l, ara m materal lnearmente elástco, sotróco e homogêneo, vale: C 2Gν = δ δ + G( δ δ + δ δ ) (3.7) 1-2ν kl kl k l l k ν é o coefcente de Posson, G é o módlo de elastcdade transversal o de csalhamento e δ é o delta Kronecker: δ 1 se = = se A eq. (3.6) ode ser exressa, ara este to de materal, na forma: (3.8) 2Gν = 2Gε + ε kkδ (3.9) 1-2ν Utlzando-se esta relação ntamente com a eq. (3.4), a eqação de eqlíbro [eq. (3.1)] também ode ser exressa em termos de deslocamentos, resltando na eqação de Naver: G G, kk + k, k + F = (3.1) 1-2ν

4 Solção Fndamental de Kelvn Consdera-se o roblema da determnação do camo de deslocamentos em m meo contíno de domíno e contorno, sbmetdo a ma força snglar (concentrada) alcada em m onto deste meo. Para m meo lnearmente elástco, sotróco e homogêneo, este camo de deslocamentos ode ser obtdo através da resolção da eqação de Naver, as comonentes das forças de massa corresm à força snglar alcada: G G, kk + k, k + = (3.11) 1-2ν é ma fnção snglar (delta de Drac) nla em todo domíno exceto em ma regão arbtraramente eqena de e qe envolve o onto de alcação da força (onto forte), de acordo com o lstrado na Fgra 3.2. x 2 F = o x 1 x 3 Fgra Força snglar alcada em m onto No caso qe hovesse váras forças snglares atando neste meo, odese, or serosção de efetos, generalzar a eq. (3.11) G G, kk + k, k + = (3.12) 1-2ν sendo qe neste caso o índce sbscrto refere-se às comonentes das váras forças alcadas. Além dsso, tem-se qe: d = δ (3.13) aq δ tem o sgnfcado lgeramente dferente do delta de Kronecker, á qe o sbscrto vara de 1 a 3 (ara três dmensões) enqanto o sbscrto vara de 1 ao número de gras de lberdade relaconados às forças snglares. Sendo assm:

5 45 δ qando e se referem a 1 mesma dreçao coordenada = em caso contraro (3.14) Caso o domíno sea relaconado a m meo elástco de dmensões nfntas, sta-se no nfnto. O roblema consste, então, na determnação do camo de deslocamentos neste meo sem a mosção das condções de contorno. Os deslocamentos são, ortanto, determnados a menos de ma constante e também exceto na vznhança do onto fonte. Esta solção corres à solção fndamental aresentada or Kelvn (Love, 1927): C são constantes arbtráras e ( ) = + C (3.15) reresenta ma fnção de nterolação (flexbldade) qe corres aos deslocamentos na dreção em m onto qalqer do domíno (onto camo), devdo a ma carga ntára alcada na dreção no onto fonte. Para estado lano de deformação, esta fnção vale: -1 = {( 3-4ν ) ln( r) δ - r, r, } 8 π 1- G (3.16) ( ν ) r é a dstânca entre o onto fonte e o onto camo (rao). A artr dos deslocamentos ( ν ) ode-se defnr m camo de tensões : {( 1-2 )(,, -, ) 2,,, } -1 = r r r r r r 4π 1- r ν δ + δ δ + (3.17) k k k k k qe satsfaz a segnte eqação de eqlíbro: contorno: A artr das tensões, + = em (3.18) ode-se defnr m camo de forças no = η = em (3.19) reresenta ma fnção de nterolação qe corres às forças na dreção em m onto qalqer do contorno, devdo a ma carga ntára alcada na dreção no onto fonte. Para estado lano de deformação, esta fnção vale: 1 = + r r r r r 4 π (1 ν ) r η ( 1 2ν ) δ,, ( 1 2ν )(, η, η ) (3.2)

6 Potencal de Hellnger-Ressner A exressão da energa otencal total de m coro elástco seto a eqenos deslocamentos é dada or: U ( ε ) d F d d (3.21) Π = a menos de ma constante. Neste fnconal, o rmero termo corres à energa total nterna de deformação, U 1 ε = εcklεkl (3.22) 2 ( ) e os demas referem-se ao otencal das forças externas F e qe atam no coro. Este otencal fo estabelecdo sob as condções restrtvas de comatbldade geométrca, dadas elas eq. (3.4) e (3.5). Pode-se, no entanto, formlar m otencal de forma ndeendente destas restrções, de forma qe estas não seam atenddas revamente. Isto ode ser roorconado através do acréscmo, no fnconal, destas condções de restrção or ntermédo de mltlcadores de Lagrange. O novo fnconal reslta então em ma forma generalzada da energa otencal total: λ e 1 Π g = U ( ε ) d F d (,, ) ε λd ( ) d + λ d (3.23) λ são os mltlcadores de Lagrange. Os novos termos qe srgem nesta eqação comensam a elmnação feta revamente das condções restrtvas. Este novo otencal é fnção das varáves ε,, λ e λ comletamente ndeendentes entre s, a rncío, sem qalqer relação dreta com as forças rescrtas F e, e com os deslocamentos rescrtos. Pode-se reconhecer nos mltlcadores de Lagrange m sentdo mecânco: a varável λ corres às tensões no domíno, enqanto refere-se às forças no contorno. Além dsto, observa-se qe a mosção da estaconaredade do otencal (3.23) estabelece qe as varáves resentes devem ser relaconadas entre s através das eq. (3.1) a (3.6). λ

7 47 A exressão de Π g na eq. (3.23) é, ara fnaldade rátca, excessvamente geral. Pode-se sor, no entanto, qe o tensor das tensões sea smétrco [eq. (3.2)], qe as condções de contorno em termos de deslocamentos esteam revamente satsfetas [eq. (3.5)] e qe a densdade de energa nterna sea exressa em termos de tensões, sto é, defne-se U ( ) = C U ( ε ) (3.24) c 1 kl Para materas lnearmente elástcos, os valores destes dos termos c U ( ) e U ( ) ε na verdade são gas. A dferença exstente consste na forma como estas das arcelas são descrtas, conforme reresentado na Fgra 3.3. Além dsso, através da consderação da smetra de, ode-se escrever m dos ntegrandos da eq. (3.23) na forma 1 2 (, +, ) d =, d (3.25) qe aós a alcação do teorema de Green e osteror ntegração or artes, ode ser reescrto como: 1 2 (, +, ) d = η d -, d (3.26) δ c δu = ε δ c ( ) U U ε ( ) δu = δε δε Fgra Gráfco da energa nterna de deformação Com sto, reca-se no otencal de Hellnger-Ressner (Ressner, 1965): U c ( ) (, F ) d η d d (3.27) Π = R fnção ncamente dos deslocamentos entre s). e das tensões (ndeendentes

8 48 Sondo-se também qe as tensões esteam em eqlíbro com as forças de massa no domíno [eq. (3.1)], chega-se à orgem da formlação híbrda dos elementos fntos, desenvolvda or Pan (1966), em qe se tem m camo de tensões no domíno e m camo de deslocamentos no contorno. Esta mesma formlação fo estendda ao método híbrdo dos elementos de contorno, conforme será aresentado a segr Estabelecmento da formlação Na formlação híbrda dos elementos de contorno, a descrção do comortamento da estrtra deve ser feta através do estabelecmento de dos sstemas de coordenas: a) Um sstema global o externo, qe descreve no contorno m camo de deslocamentos aroxmados da segnte forma: = d em (3.28) são fnções de nterolação, escolhdas de tal forma qe roorconem a comleta comatbldade entre os deslocamentos em [eq. (3.5)], e d são arâmetros qe odem ser fscamente dentfcados como deslocamentos de determnados ontos do contorno. b) Um sstema local o nterno, qe descreve no domíno m camo de tensões em eqlíbro [eq. (3.1) e (3.2)]. Este camo de tensões é descrto or ntermédo de forças k, corresntes à solção fndamental, alcadas em dversos ontos do contorno. A tlzação destes dos sstemas de coordenadas, ara a descrção do comortamento da estrtra, tem como base a déa de qe o domíno da estrtra está contdo no domíno de dmensões nfntas, a solção fndamental fo estabelecda, conforme está reresentado na Fgra 3.4. Estes dos sstemas de coordenadas odem ser relaconados através do otencal de Hellnger-Ressner: U c ( ) ( ), F d η d d (3.29) Π = R

9 49 c U ( ) = C kl kl =, (3.3) 2 2 é a densdade de energa comlementar, o sea, exressa em termos de tensões. x 2 x 1 x 3 Fgra Sstema de coordenadas, ara descrção do comortamento da estrtra Consdera-se de níco qe as forças de massa desenvolvmento qe se sege, consderar-se-á F seam nlas. No, or ma qestão de smlcdade da formlação, sem erda de generaldade, á qe se tem garantdo a ror, qe os deslocamentos comatbldade no contorno [eq. (3.5)]. A condção de estaconaredade do fnconal fetas, reslta em:, satsfazem semre a condção de Π R, ara as consderações (3.31) δπ = = δ U ( ) + d δ η d + δ d c R, A varação do termo da energa nterna é dada or: U c ( ) d =, d (3.32) δ δ qe, aós ntegração or artes e alcação do teorema de Green, reca em: A sbsttção de U c ( ) d = d, d (3.33) δ δ η δ, e, resectvamente nesta eqação, reslta fnalmente em: qe ode ser escrta como: η das eq. (3.15), (3.18) e (3.19), δ U c ( ) d = δ k kld + k, ld + δ d + d C k k k l (3.34)

10 5 c ( ) δu d = δ k Fkl l (3.35) [ ], F F d + d (3.36) kl k l k l é ma matrz de flexbldade smétrca qe relacona forças e deslocamentos do sstema nterno de coordenadas. A segnda exressão em colchetes da eq. (3.34) desaarece, á qe a condção de eqlíbro é satsfeta ara qalqer valor de fndamental. k d + kd = (3.37) C, ela róra defnção da solção l l A ntegral do segndo termo em colchetes da eq. (3.31) ode ser escrta, deos da sbsttção de e de através das eq. (3.18) e (3.28),, resectvamente, como:, d = k k, ld dl dk lk d l (3.38) δ δ δ Analogamente, a rmera ntegral de contorno da eq. (3.31) ode ser exressa, deos das sbsttções de η e das eq. (3.19) e (3.28), como: d = - k kl d dl dk lk d l (3.39) δ η δ δ Somando-se estas das últmas eqações, chega-se a:, d + d - k Hkldl - dk Hlk = l (3.4) δ δ η δ δ [ ] H H = d + d (3.41) kl k l k l é ma matrz de transformação cnemátca entre deslocamentos dos sstemas nterno e externo de coordenadas, conforme será aresentado oortnamente. Esta matrz corres à mesma matrz [H] obtda na formlação convenconal dos elementos de contorno (Brebba et al, 1984), sendo qe neste contexto, geralmente não lhe é atrbída nenhm sgnfcado físco. Fnalmente, a últma ntegral da eq. (3.31) reslta, aós a sbsttção de, dado na eq. (3.28), em: δ d = δ dk k (3.42) { } = d (3.43) k

11 51 é m vetor de forças nodas eqvalentes, em termos energétcos, às forças de serfíce corresnte ao camo de deslocamentos adotado no contorno, segndo a eq. (3.28) este vetor é obtdo de modo comletamente análogo ao qe é feto no Método dos Elementos Fntos. A artr das eq. (3.36), (3.41) e (3.43), é ossível reescrever o rncío de Hellnger-Ressner [eq. (3.31)], na forma dscretzada: ( ) ( ) δπ = = δ F H d + δ d H (3.44) qe, ara qasqer valores de sstema de eqações: R k kl l kl l k k lk l δ k e k δ d, reslta, em notação matrcal, no -[F] [H] {} {} = [H] [] {d} {} (3.45) Este sstema de eqações tem exatamente a mesma forma do sstema rovenente da Formlação Híbrda do Método dos Elementos Fntos, odendo ser resolvdo da segnte forma: [K]{d} = {} -1 {} = [F] [H]{d} (3.46) -1 [K] = [H] [F] [H] (3.47) é ma matrz de rgdez smétrca, qe transforma deslocamentos {d} do sstema externo de coordenadas em forças nodas eqvalentes {}. Pode-se observar, de medato, qe ara a obtenção das matrzes de flexbldade {F} e de ncdênca cnemátca [H], além do vetor de forças nodas eqvalentes {}, é reqerda aenas a ntegração no contorno da estrtra. Esta característca ntrínseca dos métodos de contorno advém da róra natreza da solção fndamental adotada, a qal atende a eqação de eqlíbro no domíno. Alada a esta roredade da solção fndamental está a tlzação das forças snglares ara a descrção deste camo de tensões, o qe roorcona ntegras de domíno qe somente exstem em torno de ontos dscretos estas forças são alcadas.

12 ransformações entre o sstema nterno e externo de coordenadas A eq. (3.45), qe ode ser escrta na forma das eq. (3.46) e (3.47) defne transformações lneares qe relaconam os dos sstemas de coordenadas tlzados ara o estabelecmento do comortamento da estrtra. No sstema externo o global, os deslocamentos nodas {d} descrevem através da eq. (3.28) m camo de deslocamentos comatível em todo o contorno. A estes deslocamentos {d} corresm às forças nodas {} energetcamente eqvalentes às solctações externas qe atam no contorno, de acordo com a eq. (3.43). Os deslocamentos {d} odem assmr valores arbtráros, orém as forças eqvalentes {} devem ser semre atoeqlbradas. Caso estes deslocamentos corresondam a movmento de coro rígdo, as forças nodas eqvalentes devem ser nlas. Em termos de trabalhos vrtas, sto sgnfca qe: [W] {} = (3.48) [W] é ma matrz cas colnas formam a base do esaço dos deslocamentos de coro rígdo. Para o caso bdmensonal, exstem três modos de deslocamentos de coro rígdo, sendo das translações e ma rotação. Estas consderações mlcam no fato de qe a matrz de rgdez [K], qe relacona as forças e deslocamentos do sstema externo [eq. (3.46)], é snglar, e se esaço nlo é formado ela base do esaço de deslocamentos de coro rígdo, o sea: [K][W] = [] (3.49) No sstema nterno o local, as forças nodas {} defnem através da eq. (3.17), m camo de tensões em eqlíbro no domíno. A artr deste camo de tensões obtém-se m camo de deformações, qe ntegradas, fornecem m camo de deslocamentos defndo em todo o domíno, exceto no onto de alcação das forças snglares, e a menos de ma constante. A estas forças nodas {} corresm deslocamentos nodas {d}, qe odem ser defndos a artr do rncío dos trabalhos vrtas na forma comlementar: logo, (3.5) δ d = δ U ( ) d = δ d = δ F k k, k kl l {d} = [F]{} (3.51)

13 53 Estes deslocamentos nodas eqvalentes não são reas, mas sm grandezas mecancamente eqvalentes, em termos de deslocamentos, ao camo de deslocamentos corresnte às forças snglares alcadas. Da rmera eqação do sstema (3.45), ntamente com a eq. (3.51), concl-se qe [H] é ma matrz de ncdênca cnemátca qe relacona os deslocamentos nodas {d} do sstema externo, com os deslocamentos nodas eqvalentes {d} do sstema nterno de coordenadas: {d} = [H]{d} (3.52) Da segnda eqação do sstema (3.45) advém qe a matrz [H] realza ma transformação de eqlíbro entre forças nodas {} do sstema nterno e as forças nodas eqvalentes {} do sstema externo de coordenadas: o qe eqvale ao rncío da contragradênca. {} = [H] {} (3.53) A condção de ortogonaldade de {} ao esaço de deslocamentos de coro rígdo [eq. (3.48)], leva à: [H][W] = [] (3.54) o sea, a matrz de ncdênca cnemátca [H] é snglar, e se esaço nlo é o mesmo da matrz de rgdez [K] o qe ermte conclr qe deslocamentos de coro rígdo {d} não odem ser transformados em deslocamentos nodas eqvalentes {d}. Baseado no fato de qe as forças nodas eqvalentes {} são nlas ara os deslocamentos de coro rígdo {d}, além de qe [H] é ma matrz snglar qe realza a transformação de eqlíbro entre as forças nodas {} e {} (eq. (3.53)), dereende-se qe, devem exstr forças {} qe não odem ser transformadas em forças nodas eqvalentes {}, referentes a deslocamentos de coro rígdo. Logo: [H] [V] = [] (3.55) [V] é ma matrz cas colnas formam a base do esaço de forças {} qe corresm a forças nodas eqvalentes corresm aenas aos deslocamentos de coro rígdo. {} nlas, o sea, Alcando-se o rncío dos deslocamentos vrtas aos dos sstemas de coordenadas, tem-se qe:

14 54 Caso as forças nodas δ d = δ d = δ F (3.56) l l l l k kl l l ertençam ao esaço coberto elas colnas da base [V], o trabalho vrtal reresentado nesta eqação é nlo ara qalqer δ k, o sea: [F][V] = [] (3.57) Pode-se conclr então qe forças nodas {} ertencentes ao esaço defndo or [V] também rodzem deslocamentos eqvalentes {d} nlos. Isto sgnfca qe a matrz de flexbldade [F] do sstema nterno é snglar, e o esaço nlo desta matrz é o mesmo da matrz eq. (3.55), é obtda a artr de [H]. A base [V], conforme à [H], sendo, ortanto nflencada ela fnção de nterolação. Isto assegra através da eq. (3.57), ma clara deendênca entre a matrz de flexbldade [F] e na forma de como os deslocamentos são descrtos no contorno, a qal nexsta até então Obtenção de tensões e deslocamento no domíno A solção dos sstemas de eq. (3.45) e (3.46) fornece como resltados ncas, de acordo como as condções de contorno, os elementos desconhecdos do vetor de forças nodas eqvalentes {} (reações de Aoo) e do vetor de deslocamentos nodas {d} no contorno. Feto sto, obtêm-se o vetor de forças nodas {} do sstema nterno de coordenadas. As tensões e os deslocamentos do domíno odem então ser exressos como fnções destas forças nodas {}, conforme será mostrado a segr. A solção fndamental descreve através das forças {}, m camo de tensões em eqlíbro [eq. (3.18)]. A resente formlação ressõe qe este camo de tensões ermte a reresentação aroxmada de m estado qalqer de tensões em m domíno de geometra qalqer. Deste modo, as tensões e os deslocamentos são defndos em todo o domíno, a artr das forças nodas {}, exceto nos ontos de alcação destas forças. As tensões odem então ser obtdas dretamente através da eq. (3.17), e os deslocamentos são obtdos, a menos de ma constante, através da eq. (3.16).

15 55 Convém ressaltar qe este modo de se obter os resltados nternos no Método Híbrdo dos Elementos de Contorno reresenta ma grande vantagem em relação ao método convenconal. Este rocedmento se torna ncomaravelmente mas smles e mas rádo, ma vez qe não acarreta em nenhma ntegração adconal, conforme o qe é feto classcamente no método convenconal (Brebba et al, 1984) Caso artclar de estrtras estatcamente determnadas Qando as forças nodas são comletamente conhecdas em todo o contorno da estrtra, dz-se qe as condções de contorno são somente do to Nemann. Neste caso, a estrtra está externamente, o estatcamente, determnada. Para este caso artclar de estrtras, o vetor de forças nodas {} ode ser obtdo, de ma manera bastante smlfcada, através da eq. (3.53), ntamente com a condção de ortogonaldade dada ela eqação Error! No se encentra el orgen de la referenca.: [H] {} {} = (3.58) [V] {} Deste modo, aenas a matrz de ncdênca cnemátca recsa ser calclada. Esta eclardade é ma característca mto relevante do resente método, haa vsta qe esta oeração demanda m esforço comtaconal bastante redzdo. Procede-se então, à obtenção do estado nterno de tensões, a artr do vetor {}. O sstema retanglar de eq. (3.58) é consstente e admte ma resosta únca. Isto ocorre orqe tanto as forças nodas eqvalentes {}, qanto a matrz de ncdênca cnemátca [H] satsfazem a condção de ortogonaldade estabelecda elas eq. (3.48) e (3.54) resectvamente. Este sstema ode ser resolvdo elo Método dos Mínmos Qadrados, se reqer qe {} sea tal qe: [H] {} { } [[H][V]] - { } - = mn [V] {} (3.59) sendo qe este mínmo é nlo, á qe o roblema é consstente. Dervando-se esta eqação em relação a {} e galando-a a zero, chega-se a:

16 56 ( + ){ } [H][H] [V] [V] = [H]{} (3.6) o termo entre arênteses eqvale a ma matrz smétrca ostva defnda. Deve-se observar, no entanto qe, ara este caso artclar, os deslocamentos nodas {d} não odem ser obtdos aenas através da solção do sstema de eq. (3.58).