DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I APONTAMENTOS DE MECÂNICA DOS CORPOS DEFORMÁVEIS SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

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1 SCÇÃO D MCÂNICA STRUTURAL STRUTURAS DISCILINA D RSISTÊNCIA D MATRIAIS I AONTAMNTOS D MCÂNICA DOS COROS DFORMÁVIS DINAR CAMOTIM DRO BORGS DINIS LISBOA, ABRIL D 8

2 Introdção. INTRODUÇÃO O obectvo prncpal da Resstênca de Materas consste em estdar o comportamento e a segrança de peças lneares (o barras). As barras são corpos caracterzados pelo facto de o se materal se encontrar confnado à vznhança de m segmento de lnha, desgnado por exo da barra. Fgra. Secção transversal e exo de ma barra. A barra é gerada pelo deslocamento da secção transversal de modo a qe o se centro de gravdade G percorra o exo, ao qal ela permanece sempre perpendclar. Barras prsmátcas exo segmento de recta secção transversal constante Uma estrtra consttída por barras desgna-se por estrtra retclada e.g., estrtras artcladas, pórtcos (por smplcdade, apenas se representam os exos das barras). Fgra. xemplos de estrtras retcladas.

3 Introdção retende-se determnar as melhores formas e dmensões a dar às barras de ma estrtra de forma a qe esta () possa resstr às acções qe sobre ela actam e () sea o mas económca possível (.e., contenha ma qantdade de materal tão peqena qanto possível. O proecto de ma estrtra retclada vsa precsamente combnar estes dos aspectos de ma forma optmzada. Um proecto consste nma scessão alternada (e convergente ) de problemas de dmensonamento e verfcação de segrança. roblema de Dmensonamento Conhecdas as acções e (às vezes) a confgração da estrtra retclada, determnar as dmensões das barras qe consttem de modo a garantr qe não ocorram deslocamentos excessvos,.e., qe a sa geometra sea estável não podem ocorrer rotras do materal qe constt as barras nem deslocamentos excessvos da estrtra. roblema de Verfcação de Segrança Conhecda a confgração da estrtra retclada, as dmensões das sas barras e os valores das acções, verfcar se a geometra da estrtra é estável, no sentdo descrto acma. Na dscplna de RMI vamos ocpar-nos qase exclsvamente de problemas de verfcação de segrança. Na dscplna de Mecânca I, analsaram-se estrtras retcladas (sostátcas) sbmetdas a forças exterores e determnaram-se, em cada barra da estrtra, dagramas de esforços. Com base nestes dagramas, é possível saber qas os valores dos esforços qe actam nma determnada secção transversal de ma dada barra no caso geral: () Um esforço normal () Dos esforços transversos () Dos momentos flectores (v) Um momento torsor

4 Introdção Cada m destes esforços provoca na barra m comportamento (resposta) estrtral dferente. O estdo e a caracterzação destes város comportamentos constt o obectvo da Teora das eças Lneares, co conteúdo se confnde com o da Resstênca de Materas. Antes de abordar a Teora das eças Lneares, é necessáro possr os concetos e os nstrmentos necessáros para poder caracterzar e qantfcar o comportamento de ma barra por otras palavras, é necessáro estdar a Mecânca (státca) dos Corpos Deformáves. Até aq, nas dscplnas de Mecânca, consderaram-se apenas partíclas e corpo rígdos, os qas consttem dealzações dos corpos reas. É então necessáro começar por estdar o comportamento de corpos deformáves, o qal compreende os segntes concetos: () Tensão caracterza a acção a qe cada ponto materal (do corpo) fca sbmetdo qando sobre o corpo acta m connto de forças exterores. () Deformação caracterza a varação de forma e das dmensões do corpo. () Comportamento caracterza a relação qe exste entre a tensão e a deformação, a qal está assocada ao materal qe constt o corpo. Nota: ntende-se por corpo rígdo aqele em qe nnca se alteram as dstâncas entre qasqer dos dos ses pontos.

5 Teora das Tensões. TORIA DAS TNSÕS. CONCITO D TNSÃO VCTOR DAS TNSÕS Consdere-se m corpo C em eqlíbro sob a acção de m connto de forças exterores e sponha-se esse corpo cortado em das partes, C e C, por meo de ma sperfíce S. Fgra. Corpo em eqlíbro cortado por sperfíce S. Admta-se qe as váras partes do corpo exercem mas sobre as otras acções qe são completamente representadas por forças dstrbídas aplcadas nas sperfíces de contacto entre elas. Logo, o estado de eqlíbro de cada ma dessas partes (por exemplo, C ) não se altera se se sbsttr a otra parte (C neste caso) por forças dstrbídas na sperfíce qe as separa (S neste caso). Nota: Ao defnr o conceto de esforço adopto-se m racocíno semelhante, mas envolvendo os elementos de redção das forças exterores no centro de gravdade de secções transversas das barras. Centremo-nos agora na parte C e consdere-se m elemento de sperfíce de corte ds, centrado nm ponto, onde acta ma força d F ntáro normal a ds em e drgdo para o exteror de C.. Desgna-se por n o vector 4

6 Teora das Tensões Fgra. lemento de sperfíce ds centrado nm ponto de C. Fazendo tender ds para zero, defne-se a entdade vectoral a qal se desgna por vector das tensões. lm ds d F ds Admta-se agora qe o lmte envolvdo na defnção de () xste e é bem defndo em grandeza, drecção e sentdo. () É ndependente do modo como ds tende para zero. () Não mdara se, em vez da sperfíce S, se consderasse otra sperfíce S qe contvesse ds.e., o vector das tensões nm ponto depende apenas do qe se passa na vznhança próxma desse ponto: Fgra. Sperfíces S e S contendo ds. Spôs-se até agora qe ds pertenca a C. Consdere-se agora o mesmo elemento de sperfíce como pertencendo a C. 5

7 Teora das Tensões Fgra.4 lemento de sperfíce ds centrado nm ponto de C. elo prncípo da galdade da acção e reacção, as forças exercdas por C sobre C são gas e de snal contráro às exercdas por C sobre C C C : d F C C : d F Constata-se assm qe, para determnar o vector das tensões nm ponto, é necessáro: () defnr o elemento de sperfíce ds e () ndcar a qal das sas faces nos estamos a referr. Cada ma das faces de m elemento de sperfíce ds desgna-se por faceta e é caracterzada pelo versor (vector ntáro) n, drgdo para o exteror da parte do corpo à qal se consdera pertencente ds. O vector das tensões (também conhecdo por vector tensão ) é caracterzado por ma faceta, a qal é defnda por () m ponto e () m vector ntáro n. Assm tem-se (, n) e (, n) (, n) A componente de segndo vector n desgna-se por tensão normal n e pode ser de tracção ( > ) o de compressão ( < ) consoante tender a afastar o a n aproxmar as das partes do corpo. n 6

8 Teora das Tensões A componente de contda no plano da faceta desgna-se por tensão tangencal (também desgnada por τ ) e, obvamente, é perpendclar a n : t n n n n n t n t n Fgra.5 Tensão normal e tangencal nma faceta de normal n. As ndades de n e t são forças por área: e.g., N/m a N/mm Ma 6 a. Desgna-se por ( ) normal é o versor e : o vector das tensões qe acta em nma faceta ca Fgra.6 Vector das tensões em facetas de normal e.. TNSOR DAS TNSÕS Como se tem (, n), em teora a defnção do estado de tensão nm ponto obrgara a conhecer os vectores tensão em todas as facetas (.e., assocadas a todos os n ), o qe tornara este conceto de mta dvdosa tldade prátca. No entanto, conforme se verá a segr, o estado de tensão nm ponto fca perfetamente defndo através do conhecmento de m número relatvamente peqeno de grandezas.e., dado m n arbtráro, é possível obter (, n) partr de valores dessas grandezas. a 7

9 Teora das Tensões Consdere-se m tetraedro elementar merglhado na massa de m corpo em eqlíbro, cas dmensões são sfcentemente peqenas para se poder admtr qe os vectores das tensões são constantes em cada face. Três faces têm normas orentadas nas drecções dos exos coordenados e a qarta, centrada no ponto, tem n como versor normal exteror. Fgra.7 Vector das tensões em facetas de normal e e n. Como o tetraedro está em eqlíbro, tem-se d F + d F Onde d F é a força qe acta na face de normal n e d F a força qe acta na face ca normal é paralela ao exo. Como as forças dstrbídas no nteror do tetraedro (e.g., o peso) são da ordem do se volme, podem ser desprezadas em presença das forças de sperfíce (da ordem da área das faces) são nfntésmos de ordem speror. 8

10 Teora das Tensões Sem perda de generaldade, admta-se qe n tem as três componentes postvas (como na fgra), o qe sgnfca qe as restantes faces têm normas orentadas nos sentdos negatvos dos exos coordenados então os vectores das tensões qe neles actam são. Temos então ( d F ds e d F ds ) Face Normal Vector Tensão Força OBC e OCA e OAB e ds ds ds ABC n ds Logo ds ds + ds + ds ds Observe-se qe ds é a proecção de ds sobre o plano normal ao exo. ntão tem-se ds ds cos α ds n Fgra.8 roecção de ds Sbsttndo, vem dvdndo por ds ds ds n n m termos de componentes e n e Fórmla de Cachy o qação Fndamental da Análse de Tensões n 9

11 Teora das Tensões or extenso n + n n + n + n n + n + n n + ( n + n + n ) Deste modo, conseg-se exprmr m vector tensão genérco em termos do vector normal n e de três vectores qe apenas dependem da orentação dos exos coordenados. or otras palavras, o estado de tensão no ponto fca completamente defndo se se conhecer as nove qantdades vectores (precsamente o resltado qe se pretenda obter)., componentes dos n vector (tensor de ª ordem) vector (tensor de ª ordem) Le do qocente (cálclo tensoral) são as componentes de m tensor de ª ordem Nota: O tensor de nérca, estdado na dscplna de Mecânca II, era m tensor de ª ordem. Sgnfcado físco das componentes do tensor das tensões vector tensão qe acta na faceta perpendclar ao exo componente do vector segndo a drecção

12 Teora das Tensões [ ] tensões normas tensões tangenca s Fgra.9 Sgnfcado físco das componentes de. Componentes postvas () Facetas postvas ( n e ): sentdos postvos dos exos () Facetas negatvas ( n e ): sentdos negatvos dos exos xemplo Ilstratvo Consdere-se o estado de tensão nm ponto de m corpo, defndo por 7 [ ] 5 (Ma) 4 a) Represente as componentes do tensor das tensões nm cbo elementar centrado no ponto e de lados paralelos aos exos coordenados. b) Obter o vector tensão na faceta de normal n e e + e. Determne as sas componentes normal e tangencal.

13 Teora das Tensões Resolção a) b) n n + n + n 7x x (- ) n + n + n 5x n + n + n x + 4x 4 4e e. n 4x + x 44 9 Ma n 4 n e e e n t n ( ) e + ( ) e + ( 44 7) e 7 e e 7 e 44 7 n Ma t

14 Teora das Tensões. QUAÇÕS D QUILÍBRIO Consderam-se dos tpos de forças exterores qe podem actar nm corpo: () Forças dstrbídas na frontera e.g., pressões devdas a fldos o a corpos vznhos () Forças dstrbídas no volme e.g., forças de gravdade o de nérca As densdades de dstrbção dessas forças desgnam-se por (densdade sperfcal) e X (densdade volmétrca). xemplo: Barragem de gravdade em betão γ a h X γ b Fgra. Barragem de gravdade. Nota: Notação alternatva: t X f Dado m connto de forças exterores aplcadas nm corpo, pretende-se determnar o estado de tensão em cada ponto (o o campo de tensões ),.e., os valores das componentes. ara sso é necessáro estabelecer condções de eqlíbro nos pontos do corpo faz-se a dstnção entre pontos pertencentes à frontera e ao nteror do corpo. I. Frontera do Corpo Condções á estabelecdas n Valores conhecdos valores a determnar (ncógntas)

15 Teora das Tensões II. Interor do Corpo Consdere-se m paralelepípedo nfntesmal de faces perpendclares exos coordenados. Tem das faces perpendclares a cada exo ma correspondente a normal acta o vector x x e com e e otra correspondente a x x + e com normal e. Na prmera e na segnda d +. Fgra. Vectores tensão nm paralelepípedo nfntesmal de faces perpendclares a e. m prmera aproxmação d (não somar em ) d, Forças actantes no paralelpípedo: Interor: d F X dv X Frontera: Face Normal Área Força ABF CDHG e BDHF ACG e ABDC FHG e e e e + (, ) + (, ) ( +, ) Total: (, +, +, ), 4

16 Teora das Tensões qlíbro de forças:, + X Dvdndo por, + X m termos de componentes e + X e X,, + qações de qlíbro o qações de Cachy or extenso, +, +, + X, +, +, + X, +, +, + X qlíbro de momentos (em torno dos exos): or exemplo, em torno do exo forças segndo + braços segndo forças segndo + braços segndo Fgra. qlíbro de momentos. 5

17 Teora das Tensões M CG ( ) ( ) + + ( ) ( ),, (nfntésmos de ordem speror) ( ) M CG M CG M CG o tensor das tensões é m tensor de ª ordem smétrco apenas exstem 6 componentes ndependentes III. Resmo Frontera: n Interor: X, + m ambos os casos exstem eqações e 6 ncógntas. Deste modo, as eqações de eqlíbro não são sfcentes para determnar as tensões provocadas pela actação das forças exterores por otras palavras, a teora das tensões é estatcamente ndetermnada (o hperstátca)., X ma nfndade de qe satsfazem o eqlíbro os, X qe satsfazem o eqlíbro são úncos Sponha-se qe e eqlbram forças e X. ntão o campo de tensões eqlbra forças exterores nlas ( e X ) desgna-se ( ) por estado de coacção. 6

18 Teora das Tensões Se a m campo de tensões qe eqlbra forças exterores e X c c adconarmos m estado de coacção, o campo de tensões resltante ( + ) também eqlbra e X. xemplo Ilstratvo Na placa representada na fgra está nstalado m estado de tensão defndo por x x x x Fgra. laca rectanglar. a) Spondo nlas as forças de massa, verfqe se as eqações de eqlíbro no nteror da placa são satsfetas. b) Determne ma dstrbção de tensões aplcadas na frontera da placa qe eqlbre o campo de tensões nela nstalado. Represente grafcamente a dstrbção de tensões aplcadas na frontera. Resolção a) X X X, + X, eqlíbro na drecção trvalmente verfcado + x x (estado plano de tensão),,, +, x + x 7

19 Teora das Tensões b) n () x a n e n n a x a a x x a () x a n e n n a x a a x x a () x b n e n n b x x b b x b (4) x b n e n n b x x b b x b Fgra.4 Dstrbção de tensões aplcadas. 8

20 Teora das Tensões.4 CARACTRIZAÇÃO DO TNSOR DAS TNSÕS Drecções rncpas (de Tensão) Drecções das normas onde o vector tensão acta segndo a normal o Drecções das arestas de m cbo elementar em cas faces só exstem tensões normas Valores rópros (Tensões rncpas) Valores das tensões normas nas facetas perpendclares às drecções prncpas Forma Canónca [ ] I II III > I II > III > tracção; < compressão Fgra.5 Tensões prncpas e drecções prncpas de tensão. Tensão Tangencal Máxma τ max I III Ocorre nas facetas ca normal () é perpendclar à drecção assocada a 45º com as drecções assocadas a I e III. II e () faz 9

21 Teora das Tensões xemplo Ilstratvo Consdere-se o estado de tensão nm ponto de m corpo, defndo por 7 [ ] 5 (Ma) 4 a) Determne as tensões prncpas e as drecções das normas às facetas em qe ocorrem. Resolva analítca e grafcamente. b) Determne a tensão tangencal máxma e a orentação das facetas em qe esta ocorre. Resolção a) Tensões e Drecções rncpas de Tensão a ) Va Analítca Determnação das tensões prncpas λ δ 7 λ 5 λ 4 λ λ + I λ I λ + I I I ( 8 4) I 5 5x 4 ( 5 λ ) [( 7 λ)( 4 λ) 4] λ 5 ( 8 4) + 79 λ λ + 4 λ, ± 96 λ 8 λ I 8 II III Ma 5Ma Ma

22 Teora das Tensões Determnação das drecções prncpas o I λ 4 I I I ª e ª eqações dêntcas I I I I I I n n n o II λ II II II II II II II II II n n n.e., a drecção prncpal II concde com o exo. o III λ 4 III III III III III III III III III n n n Alternatva: II I III e e e n n n III III III n n n

23 Teora das Tensões a ) Va Gráfca (Crcnferênca de Mohr) Determnação das tensões prncpas xo é drecção prncpal 5 Ma ( + ) transformação de componentes apenas no plano - Fgra.6 Crcnferênca de Mohr OC 5.5 R ( ). 5 OC + R 8 Ma OC R Ma I III Ma 5Ma Ma I 8 II III Determnação das drecções prncpas α arctg arctg x 5º 6.5º

24 Teora das Tensões Fgra.7 Drecções prncpas de tensão. b) Tensão Tangencal máxma τ I 8 III max.5ma Fgra.8 Tensão tangencal máxma e orentação das facetas onde esta ocorre.

25 Teora das Tensões.5 STADOS D TNSÃO SCIAIS I) stado de Tensão Isotrópco (onto) p p δ o Todas as drecções são prncpas o O tr-círclo de Mohr redz-se a m ponto Fgra.9 Tr-círclo de Mohr relatvo a m estado de tensão sotrópco. II) stado de Tensão Smples (onto) o Todas as drecções do plano - são prncpas o Tr-círclo de Mohr: dos círclos gas mas m ponto Fgra. Tr-círclo de Mohr relatvo a m estado de tensão smples. 4

26 Teora das Tensões III) stado de Tensão Dplo (onto) [ ] o Uma das tensões prncpas é nla X X X X I> II> I> III< Fgra. Tr-círclo de Mohr relatvo a m estado de tensão dplo. IV) stado de Tensão lano (Corpo) o m todos os pontos exstem estados de tensão dplos com a mesma drecção prncpal assocada à tensão nla V) stado de Tensão Tangencal Smples (onto) τ o I τ II III τ Fgra. Tr-círclo de Mohr relatvo a m estado de tensão tangencal smples. 5

27 Teora das Tensões VI) stado de Tensão Unforme (Corpo) o O tensor das tensões é dêntco em todos os pontos do corpo.6 TNSÃO OCTAÉDRICA Componentes do vector tensão qe actam nma faceta octaédrca, ca normal está galmente nclnada em relação aos exos prncpas (com oto facetas deste tpo, ma em cada qadrante, forma-se m octaedro) n e I + e II e III [ ] I II III Fgra. Faceta octaédrca. oct ( e I + e II + e III ) ( + ) oct n I II III I II + III oct n oct ( + + ) n ( I + II + III ) ( e I + e II + e III ) I II III 6

28 Teora das Tensões oct t τ oct oct oct n ( + + ) ( + + ) ( + + ) I II [( I + II ) + ( II + III ) + ( III + I )] I ( ) + ( ) + ( ) I II II I III II II III I II III I III I III II III 9 II I III II III III I.7 ARCLAS ISOTRÓICA TANGNCIAL so + t parcela sotrópca parcela tangencal so kk t t t δ + + so so so + + p so t ( ) ( ) p so [ ] p t [ ] p p p p 7

29 Teora da Deformação. TORIA DA DFORMAÇÃO Inttvamente, a dea de deformação está assocada à mdança da forma de m corpo. De m modo mas rgoroso, dz-se qe há deformação qando a dstânca entre pelo menos dos dos pontos do corpo se altera e qe não há qando as dstâncas se mantêm nalteradas (deformação deslocamento relatvo entre pontos). ara qe m corpo se deforme, é necessáro (mas não sfcente) qe os ses pontos sofram deslocamentos os movmentos de corpo rígdo estão assocados a deslocamentos sem deformação. Razões para o estdo matemátco das deformações: () A determnação analítca das tensões é m problema estatcamente ndetermnado ( eqações e 6 ncógntas em cada ponto). São portanto necessáras condções adconas qe envolvam deformações e deslocamentos (e relações constttvas também). () A determnação expermental de tensões, feta no laboratóro o em obra, é efectada a partr da medção de deformações o deslocamentos, a qal é mto mas fácl qe a medção de tensões (qando esta é possível, o qe nem sempre acontece). ()Cálclo de deslocamentos em estrtras, resltantes da sa deformação. Resolção de estrtras estatcamente ndetermnadas e satsfação de crtéros de segrança qe envolvem não apenas valores lmte de tensões, mas mpõem também verfcações de segrança em relação a deformações o deslocamentos excessvos.. Os TNSORS DAS DFORMAÇÕS DAS ROTAÇÕS Qando m corpo se deforma cada m dos ses pontos sofre m deslocamento. Conhecdo o campo de deslocamentos ( x, x x ) o corpo se deforma.,, fca a saber-se o modo como 8

30 Teora da Deformação No entanto, não convém qe a medção dessa deformação sea feta através dos deslocamentos, pos eles podem ser dferentes de zero e não haver deformação. Sea r x e o vector de posção de m ponto de m corpo antes da deformação e R r + ( x + ) e o vector de posção desse mesmo ponto após a deformação Fgra. Confgração ncal e deformada de m corpo. Sea d r e o vector qe lga dos pontos vznhos e Q antes da deformação e ( d ) e d R dr + d + o vector qe lga esses mesmos pontos após a deformação. O qadrado da dstânca entre e Q vale () ds dr d r ds d R d R + d + d + d + d antes da deformação; () ( ) ( ) k k d depos da deformação. Admta-se agora a hpótese de o campo de deslocamentos ( x, x x ) contíno e ter prmeras dervadas contínas. ser, Fgra. Campos de deslocamentos contínos e com prmeras dervadas contínas 9

31 Teora da Deformação ntão d k d k k, ds +, + k, k, Logo, a varação da dstânca entre e Q vale ( + ) ds ds, + k, k,, k, k, com, + k, k, Notar qe ds escalar ds vector (tensor de ª ordem) Le do qocente (cálclo tensoral) é m tensor de ª ordem A deformação do corpo está lgada ao facto de haver varação da dstânca entre dos qasqer pontos vznhos. Será qe as grandezas varação e, portanto, medr a deformação? podem medr essa Vamos desenvolver ( + ) + ( + ) + ( + ) Vê-se qe, se e e e, ds, sto é, se o tensor for ant-smétrco ( ) se tem ds deformação é nla, apesar de as componentes não é convenente para medr a deformação!, a não serem todas nlas. ntão,

32 Teora da Deformação Vamos mpor agora qe (.e., + + é smétrco), o qe mplca ntão Logo, m ds ds só é nlo em todas as drecções se todos os forem nlos. smétrco sera ma boa medda da deformação! Como se sabe qe qalqer tensor de ª ordem é sempre decomponível, de ma forma únca, na soma de ma parcela smétrca e ant-smétrca S S T T + T AS AS ( T T ) T ( T T ) T + vamos decompor em S + AS + ω Como ω ds ds vamos tlzar apenas a S parcela smétrca para caracterzar a deformação. Tem-se então ( + ) ( + + ),, k, k, Tensor das Deformações (de ª ordem smétrco) A parcela ant-smétrca de ω ( ) ( ),, desgna-se por tensor das rotações e, conforme se v atrás, não está assocada a qalqer deformação. Resmndo: o campo de deslocamentos na vznhança de m ponto de m corpo deformável, envolve () Uma translação de corpo rígdo vector

33 Teora da Deformação () Uma rotação de corpo rígdo tensor das rotações ω ω ( ) (,, ) ω ω ω ω (,, ) K () Deformação tensor das deformações ( + ) ( + + ),, k, k, ( ) K,,,, ( ) K,,,,,,,,,. SIGNIFICADO FÍSICO DAS COMONNTS D (I) xtensão (lnear) Desgna-se por extensão (lnear) de ma fbra (segmento nfntesmal orentado na vznhança de m ponto) de materal à razão entre a varação do se comprmento e o valor do se comprmento ncal. Admtndo qe os comprmentos ncal e fnal da fbra valem ds e ds, respectvamente, tem-se e ds ds ds extensão (lnear) grandeza admensonal Fgra. xtensão lnear. Como se tem ds ds ds ds ds ds + vem ds ds ds ds + e, portanto, e ds ds + ds ds

34 Teora da Deformação Admta-se agora qe a fbra está ncalmente orentada segndo m dos exos (e.g., o exo x ). ntão, sabendo qe () ds () vem k k k + ( ) e f xpandndo + em sére de Taylor, vem e + + K +K Admta-se agora a hpótese das peqenas deformações (válda no âmbto de ma grande maora dos problemas de engenhara cvl), a qal estpla qe as componentes do tensor das deformações são sfcentemente peqenas para () serem desprezáves em presença da ndade; () os prodtos dessas componentes se poderem desprezar em presença dos ses valores. ntão, tem-se e + + K e ds ( ds ) ( ) ( ds ) e Isto é, na hpótese das peqenas deformações, o valor de ma componente de índces gas do tensor das deformações, nm ponto de m corpo, representa a extensão de ma fbra qe, antes da deformação, era paralela ao exo coordenado correspondente ao índce. (II) Dstorção Desgna-se por dstorção de das fbras ncalmente (antes da deformação) ortogonas a varação do ânglo por elas formado.

35 Teora da Deformação π γ Φ Fgra.4 Dstorção. dstorção grandeza expressa em rad (admensonal) Consderem-se, em torno de m ponto, das fbras ortogonas defndas pelos vectores d e d r R, de comprmentos ds Q e ds R. Após a deformação, essas mesmas fbras r Q são defndas pelos vectores d e d R R, de comprmentos ds Q e ds R, fazendo R Q entre s m ânglo Φ. Fgra.5 Confgração ncal e deformada de fbras ortogonas. Notar qe cos Φ d R ds Q Q d R ds R R Como se tem d R Q d r Q + d, d R R d r R + d R ed r Q d r R, vem Q cos Φ d r Q d R + d ds Q Q dr ds R R + d Q d Q R Consdere-se agora qe d r Q e R d r estão orentados segndo exos coordenados por exemplo, os exos x e x. ntão, d r Q e ds Q d r R e ds R 4

36 Teora da Deformação Como se tem onde vem d Q, d R, e e d d + e + d e de d,, +, + or otro lado, tem-se ds Q ds R ( + e ) ( + ) ( + e ) ( + ) hpótese peqenas deformações Logo, tem-se cosφ, +,, ( + )( + ) +,, +, +,, hpótese peqenas deformações π é peqeno cos Φ é peqeno sen Φ é peqeno π π sen Φ Φ π Φ π Φ K K (análogo) Concl-se assm qe, no contexto da hpótese das peqenas deformações, as componentes do tensor das deformações com índces desgas representam metade da varação do ânglo formado por das fbras qe passam por e são ncalmente paralelos aos exos qe correspondem a esses índces (sem-dstorções). 5

37 Teora da Deformação Assm, tem-se extensões ( e ) sem dstorções γ (Nota: or vezes, desgna-se as componentes, erradamente, por dstorções). A HIÓTS DOS QUNOS DSLOCAMNTOS A hpótese dos peqenos deslocamentos (qe se devera chamar das peqenas dervadas dos deslocamentos ) consste em consderar qe as dervadas dos deslocamentos são sfcentemente peqenos para () serem desprezáves em presença da ndade; () os prodtos dessas dervadas se poderem desprezar em presença dos ses valores. Conseqêncas () As dferenças das componentes do deslocamento entre dos pontos do corpo são peqenas em comparação com a dstânca entre esses pontos Q Q Q + d +,, peqenos < δ d Q Q onde δ é m número peqeno e d Q a dstânca entre e Q. () As componentes do tensor das deformações (relações deformações-deslocamentos) podem ser lnearzadas (em relação às dervadas dos deslocamentos) L ( + ),, ( + + ),, k, k, NL k, k, << L () As componentes do tensor das deformações e das rotações são peqenas, peqenos ( + + ),, k, k, e ω (,, ) também peqenos 6

38 Teora da Deformação Observações () Volta a sblnhar-se o facto desta hpótese dzer respeto a peqenas dervadas dos deslocamentos. () Uma grande translação é compatível com a hpótese dos peqenos deslocamentos. () Relação entre as hpóteses dos peqenos deslocamentos e das peqenas deformações eqenos deslocamentos eqenas deformações eqenas deformações eqenos deslocamentos (e.g., grande rotação de corpo rígdo) eqenas deformações eqenos deslocamentos eqenos deslocamentos eqenas deformações + eqenas rotações xemplo Ilstratvo Consdere-se o rectânglo ndcado na fgra sbmetdo ao campo de deslocamentos segnte, o qal corresponde a ma rotação de corpo rígdo de valor ϕ em torno do exo x. r cos r sen ( ϕ + θ ) ( ϕ + θ ) r cosθ r senθ ( r, θ coordenadas; ϕ deslocamento) Fgra.7 Rectânglo sbmetdo a rotação de corpo rígdo. 7

39 Teora da Deformação Resolção x cosθ x sen θ r r r cosϕ cosθ r sen ϕ sen θ r cosθ cosϕ x r sen ϕ cosθ + r cosϕ sen θ r sen θ sen ϕ x sen ϕ x + cosϕ x x x,,,,, cosϕ sen ϕ sen ϕ cosϕ,,,, L cos ϕ cos ϕ ϕ + K ϕ + K NL [ ( cosϕ ) + sen ϕ] [ ( cosϕ ) + sen ϕ] o Consderar apenas a parcela lnear do tensor das deformações só se stfca qando os deslocamentos forem peqenos, o qe corresponde a m ânglo ϕ L peqeno e condz a, resltado qe sera de esperar atendendo a qe se trata de ma rotação de corpo rígdo. Se ϕ não for peqeno, terse-á qe consderar a parcela não lnear para se obter o resltado (lógco) L NL L NL ϕ + + cos ϕ sen cosϕ + cosϕ + + 8

40 Teora da Deformação o Note-se anda qe as úncas componentes não nlas no tensor das rotações ω ω ( ) sen ϕ,, apenas fornece o valor da rotação de corpo rígdo no caso de ϕ ser peqeno ( sen ϕ ϕ ). Ilstro-se assm o facto de peqenas deformações não mplcarem peqenos deslocamentos (ϕ não peqeno), mas peqenos deslocamentos mplcarem peqenas deformações (ϕ peqeno) só neste últmo caso é váldo lnearzar as relações deformações-deslocamentos. As componentes não nlas do tensor das rotações apenas fornecem o valor da rotação de corpo rígdo no caso de esta ser peqena tensor das (peqenas) rotações..4 LINARIDAD GOMÉTRICA A Teora da lastcdade na sa forma clássca é ma teora lnear, o qe mplca a valdade do rncípo da Sobreposção Uma combnação lnear de solções das sas eqações é anda ma solção das mesmas eqações, correspondente a forças de volme e de sperfíce, obtdas através da mesma combnação lnear das forças qe condzram às prmeras solções. Fgra.8 rncípo da Sobreposção. A lneardade da teora reslta de hpóteses smplfcatvas de natreza geométrca (lneardade geométrca) e físca o materal (lneardade físca). Abordam-se aq apenas as prmeras, sendo as segndas tratadas qando se estdarem as relações tensões-deformações (comportamento materal). 9

41 Teora da Deformação A hpótese da lneardade geométrca (afm da dos peqenos deslocamentos) tradz-se por () As coordenadas dos pontos do corpo antes da deformação confndem-se com as coordenadas dos mesmos após a deformação. Assm, as condções de eqlíbro do corpo podem ser estabelecdas na sa confgração ndeformada. Fgra.9 Confgração deformada e ndeformada de ma vga. () As relações deformações-deslocamentos (componentes de ) são lneares nas dervadas dos deslocamentos, o qe mplca desprezar os prodtos das sas dervadas. ( + + ),, k, k, Um problema dz-se geometrcamente não lnear, qando não é possível admtr pelo menos ma das hpóteses smplfcatvas descrtas atrás..5 SIGNIFICADO FÍSICO DAS COMONNTS D ω Admte-se como válda a hpótese dos peqenos deslocamentos, o qe sgnfca qe se está a trabalhar no domíno das peqenas deformações e peqenas rotações. Consderem-se dos pontos, e Q, os qas se admtem próxmos. Fgra. osção ncal de dos pontos próxmos. 4

42 Teora da Deformação ntão, tem-se Q + d +, Q Q Q + +, ( ) + ( + ),, + ω +,, translação rotação? deformação (na hpótese dos peqenos deslocamentos) No caso de ma peqena rotação, tem-se da Cnemátca dos corpos rígdos: Q ω d r ( ) ( ) ( ) e ω e ω e ω ω ω e + ω ω e + ω ω e Comparando agora com a expressão obtda para sea ma rotação, tem de se ter Q, vê-se qe para a parcela ω ω ω ω ω ω ω + ω + ω + ω + ω + ω + ω ω ω ω ω ω ω Observe-se qe as galdades anterores são possíves se ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω o qe é perfetamente possível em vrtde de o tensor ω ser antssmétrco. Vê-se portanto qe a parcela ω representa ma peqena rotação de corpo rígdo da vznhança do ponto em torno de, na medda em qe se tem 4

43 Teora da Deformação ω ω ω ω ω ω ω Logo, pode conclr-se qe, na hpótese dos peqenos deslocamentos, o sgnfcado físco das componentes do tensor das rotações consste em serem gas, em valor absolto, às componentes do vector qe defne ma peqena rotação da vznhança do ponto em torno de. ω componente do vector rotação na drecção k, ( ω θ ), co snal é negatvo se k,, k estverem na ordem,, e postvo no caso contráro (.e., tem-se k ω e ω o, nversamente, θ e ω / ). k k k k Observações () () m vrtde de as componentes ndependentes de m tensor de ª ordem antssmétrco AS T serem três, sto é, em número gal às componentes de m vector, é habtal defnr m vector axal t k tk ek T cas componentes são dadas por AS Note-se, no entanto, qe a le de transformação das componentes tk apenas é a le vectoral no caso das transformações própras ( A ) por esta razão, t k por vezes desgnado como m psedo-vector. Assm, o vector ω é o vector axal do tensor ω. () A desgnação correcta de ω é o tensor das peqenas rotações. é xemplo Ilstratvo Consdere-se o campo de deslocamentos no plano (x, x ) defndo por ( x + x ) x ( x x + x x ) x x, x expressos em m. Caracterze o movmento na vznhança do ponto, de coordenadas x m e x.5m, calclando o valor e mostrando o sgnfcado físco das grandezas qe tradzem a translação, a rotação e a deformação nesse ponto. 4

44 Teora da Deformação Resolção,,,,, x x x ( + x ) x ( x + x ),, x,, Translação 6 x m x 8 5 m Fgra. Translação. Rotação ω, x ω ( ) x rad,,, 4 7 x ω 4 4 [ ] x rad Fgra. Rotação. 4

45 Teora da Deformação Deformação, x,, 4 x + + ( + ) ( + ) ( ),,,,,, 9, x x + 4 x + x x x + 9 x + x x ,,,, + x x 4 Fgra. Deformação. Rotação + Deformação Fgra.4 Rotação + Deformação. 44

46 Teora da Deformação e,,, tgϕ +, 44 ϕ e,,, tgϕ +, ϕ Hpótese dos peqenos deslocamentos ϕ e ϕ peqenos Q Q cos ϕ S S cosϕ ϕ ϕ ω ϕ + ϕ rotação da bssectrz R a bssectrz não sofre rotação tg ϕ tg ϕ ϕ ϕ.6 CARACTRIZAÇÃO DO TNSOR DAS DFORMAÇÕS Drecções rncpas (de Deformação) Drecções das arestas de m cbo elementar qe, após a deformação, se transforma nm paralelepípedo rectanglar (.e., com arestas perpendclares) o Drecções das fbras qe são perpendclares entre s antes e após a deformação Valores rópros (xtensões rncpas) Valores das extensões das fbras orentadas segndo as drecções prncpas Forma Canónca [ ] I II III > I II > III > alongamento; < encrtamento Fgra.5 xtensões prncpas e drecções prncpas de deformação. 45

47 Teora da Deformação Dstorção Máxma γ max I III Ocorre entre fbras stadas no plano I-III e qe fazem 45º com as drecções estas drecções prncpas..6. XTNSÕS DISTORÇÕS D FIBRAS ORINTADAS ARBITRARIAMNT Com base na le de transformação das componentes de m tensor de ª ordem, [ ] [ A] T [ ][ A] tem-se () [ A ] [ a ] [ cos ( e, e )] xtensão de ma fbra orentada na drecção a ( e, ea ) cos( e e a ) a a aa a a cos, e α α ( n n ) α k coseno do ânglo formado pelo exo k a a a a n k com a drecção a ( ) () Dstorção entre das fbras orentadas nas drecções a e b (perpendclares) ( e, e a ) cos( e eb ) a b aa a b cos, γ α β ( n n ) β k coseno do ânglo formado pelo ab a b b n k exo k com a drecção b ( ) Fgra.5 Fbras orentadas nas drecções a e b. 46

48 Teora da Deformação.6. XTNSOMTRIA Nm ensao laboratoral, o estado de tensão nm ponto de m corpo é normalmente determnado a partr do correspondente estado de deformação. A forma mas correntemente adoptada para medr o estado de deformação nm ponto consste na tlzação de extensómetros, sto é, dspostvos (o aparelhos) qe permtem medr a varação de comprmento ( l) entre dos pontos dstancados ncalmente de m valor conhecdo l, desgnado por comprmento de base. Como é óbvo, para se medr o estado de deformação nm ponto, é necessáro qe l tenha m valor mto peqeno, o qe torna dfícl a medção de l. A forma como l é meddo caracterza m determnado tpo de extensómetro (extensómetro mecânco, óptco, de resstênca eléctrca, etc.). A grande maora dos extensómetros tlzados hoe em da é de resstênca eléctrca. A componente essencal de m extensómetro deste tpo é m flamento de m metal condtor eléctrco de peqeno dâmetro (. a.mm). O prncípo em qe se basea a medção da extensão resde no facto de ser possível estabelecer ma relação de proporconaldade entre a condtvdade eléctrca do flamento metálco e o se estado de deformação. Como é óbvo, é ndspensável () nstalar m dspostvo qe meça a condtvdade eléctrca do flamento na confgração deformada do corpo e () calbrar rgorosamente essa medção com o estado de deformação do flamento eléctrco. ode demonstrar-se faclmente qe o estado de deformação nm ponto de m corpo (.e., as componentes do tensor das deformações nesse ponto) pode determnar-se a partr do conhecmento das extensões de m certo número de fbras centradas nesse ponto essa demonstração basea-se nas expressões apresentadas na sb-secção anteror. Desgna-se por roseta de extensómetros m grpo de extensómetros lgados entre s de modo a ocparem posções geometrcamente bem defndas no ponto do corpo onde são colocados. Com base nos valores das extensões fornecdos por esses extensómetros é possível determnar o estado de deformação no ponto do corpo. 47

49 Teora da Deformação No caso plano, ma roseta é consttída por três extensómetros não colneares. As dsposções mas comns correspondem a rosetas rectanglares (ânglos de 45º) e rosetas tranglares (ânglos de 6º). Fgra.6 Rosetas planas de extensómetros. No caso espacal, ma roseta é consttída por ses extensómetros não complanares. Fgra.7 Roseta espacal de extensómetros. xemplo Ilstratvo Com a roseta tranglar ndcada medram-se na sperfíce de m corpo e segndo drecções formando ânglos de 9º, º e º com ma drecção r, as segntes extensões: e e e 4 x 5 8 x x 5 5 Determne o valor da extensão nma fbra orentada na drecção r. 48

50 Teora da Deformação Resolção Tomando os exos x r e x, tem-se medatamente qe e. ea 5 e x α α r a α cos º α cos º.5 a α cos º α cos 6º.5 5 e 4x x + x e 8x x + x x -5 5x x + x -5-5 x x 4 4 6x x -5 e r 5 6x.7 XTNSÃO VOLUMÉTRICA Consdere-se m paralelepípedo elementar centrado nm ponto e com as arestas orentadas segndo as drecções prncpas de deformação. Fgra.8 aralelepípedo elementar. 49

51 Teora da Deformação Incalmente, essas arestas têm comprmentos ncal do paralelepípedo vale I, II, e III, pelo qe o volme d v I II III Após a deformação, as arestas do paralelepípedo permanecem perpendclares entre s (.e., o corpo deformado contna a ser m paralelepípedo) e, no âmbto das peqenas deformações, as sas arestas passam a ter comprmentos I + I I II + II II III + III III Logo, o volme do paralelepípedo deformado vale ( + I ) I ( + II ) II ( + III ) III dv Defnndo-se agora extensão volmétrca ( ) de m elemento de volme materal à razão entre a varação do se volme e o valor do se volme ncal, tem-se dv dv dv ( + ) ( + ) ( + ) I I II II I II III III III I II III Logo I II III I II I III II III I II III + + (hpótese das peqenas deformações) I II III Na hpótese das peqenas deformações, a extensão volmétrca é gal ao traço do tensor das deformações. Observações () Como o traço de é m nvarante, o varação de volme de m paralelepípedo elementar não depende da orentação dos ses lados

52 Teora da Deformação () As dstorções não têm qalqer nflênca na varação de volme. () No caso plano, fala-se de extensão sperfcal e tem-se da da I + II + da.8 STADOS D DFORMAÇÃO SCIAIS I) stado de Deformação Isotrópco/Unforme (onto) δ o Todas as drecções são prncpas o O tr-círclo de Mohr redz-se a m ponto o xemplo: o estado de deformação provocado por ma varação de temperatra T α T, com α coefcente de dlatação térmca lnear, o qal vara de materal para materal as sas propredades são ºC - (deformação por gra centígrado) II) stado de Deformação Smples (onto) o Todas as drecções do plano - são prncpas o Tr-círclo de Mohr: dos círclos concdentes mas m ponto 5

53 Teora da Deformação III) stado de Deformação Dplo (onto) X X [ ] X X + o Uma das extensões prncpas é nla IV) stado de Deformação lano (Corpo) o m todos os pontos do corpo exstem estados de deformação dplos com a mesma drecção prncpal assocada à extensão nla. V) stado de Deformação Dstorconal Smples (onto) γ o γ γ I II III Fgra.8 stado de deformação dstorconal smples. VI) stado de Deformação Homogéneo (Corpo) o O tensor das deformações é dêntco em todos os pontos do corpo o Só pode ser gerado por m campo de deslocamentos lnear (para qe as sas dervadas seam constantes) c x +d 5

54 Teora da Deformação o Nm corpo sbmetdo a m estado de deformação homogéneo, pode mostrar-se qe () Sperfíces se transformam em sperfíces. () Rectas se transformam em rectas. () lanos paralelos se transformam em planos paralelos. (v) Rectas paralelas se transformam em rectas paralelas..9 ARCLAS ISOTRÓICA TANGNCIAL so + t parcela sotrópca parcela tangencal kk t t t t δ + + so so so + + so so t ( ) ( ) so [ ] t [ ] so Toda a varação de volme está assocada à parcela sotrópca. A parcela tangencal corresponde ncamente a ma varação de forma (sem alteração de volme). 5

55 Teora da Deformação. QUAÇÕS D COMATIBILIDAD As relações deformações-deslocamentos lnearzadas ( + ),, podem ser tlzadas para () determnar o campo de deformações a partr do campo de deslocamentos o () vce-versa. No prmero caso, tem-se ses eqações a ses ncógntas (as 6 componentes ndependentes de ), o qe sgnfca qe o sstema é determnado,.e., poss ma solção únca. No segndo caso, tem-se ses eqações a três ncógntas (as componentes do deslocamento), o qe sgnfca qe, no caso geral, o sstema é mpossível,.e., não tem solção. ara qe esse problema tenha solção é necessáro qe o campo de deslocamentos satsfaça certas condções as eqações de compatbldade. Antes de abordar esta qestão de ma forma analítca, vamos lstrá-la através de m racocíno físco: Sponha-se m corpo decomposto em cbos nfntesmas e sete-se cada m desses cbos a deformações arbtráras. Ao tentar tlzar os cbos prmtvos (agora deformados) para reconsttr o corpo, é lógco pensar qe sso nem sempre (o qase nnca) será possível sem qe ocorram rasgos o nterpenetrações (.e., sem qe o campo de deslocamentos exba descontndades). A reconstrção só será possível se as deformações mpostas aos város cbos nfntesmas forem compatíves mas com as otras, o qe mplca qe as componentes do tensor das deformações tenham qe satsfazer m certo número de condções e não possam, portanto, ser fxadas arbtraramente. Note-se, por otro lado, qe a decomposção do cbo deformado em cbos nfntesmas (também deformados) é sempre possível e únca. 54

56 Teora da Deformação I) stado de Deformação lano o Tem-se,,, +, ( x, x ) ( x, x ) ( x, x ) o Hpótese adconal: os deslocamentos ordem nferor o gal à tercera. admtem dervadas contínas de o ntão tem-se,,, +,,,, o Tomando em consderação a contndade das fnções ( x, x ) e das sas três prmeras dervadas, vem,,,, e, portanto, tem-se,,, o qe constt ma condção necessára de compatbldade (ntegrabldade) do campo de deformações. ode mostrar-se qe esta condção é também sfcente no caso de o domíno ocpado pelo corpo ser smplesmente conexo, sto é, não apresentar fros o cavdades. Fgra.9 Condção necessára e sfcente de compatbldade do campo de deformações. 55

57 Teora da Deformação II) stado de Deformação spacal o Através de procedmentos análogos chega-se a 6 condções de compatbldade,,,,,, o sea,,,,,,,,,,,,,,,,,kl + kl, k, l l, k qe correspondem a 4 8 eqações, das qas apenas as 6 escrtas acma são ndependentes. Observação o Um campo de deformações lnear satsfaz sempre as eqações de compatbldade. o No caso espacal, as ses eqações de compatbldade apresentadas não são de facto ndependentes recorde-se qe apenas são necessáras três eqações para, ntamente com as relações deformações-deslocamentos, assegrarem a ntegrabldade do campo de deformações. Na realdade, estas ses eqações não são totalmente ndependentes mas das otras, pos têm qe satsfazer três condções (ver lvro.r.a e Olvera). xemplo Ilstratvo (Deformação plana) () x verfca () x não verfca 56

58 rncípo dos Trabalhos Vrtas 4 RINCÍIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Recorde-se qe, nas dscplnas de Mecânca, o rncípo dos Trabalhos Vrtas (TV) fo á enncado, demonstrado e tlzado na resolção de problemas no âmbto da Mecânca dos Sstemas de artíclas e dos Corpos Rígdos. O obectvo desta secção é generalzar os concetos aí ntrodzdos para o caso de Corpos Deformáves. 4 NUNCIADO É condção necessára e sfcente para o eqlíbro de m sstema materal (corpo) qalqer qe a soma dos trabalhos de todas as forças actantes sobre o sstema sea nla para qasqer deslocamentos vrtas compatíves com as lgações. Observações: () As forças actantes podem ser exterores (forças aplcadas e reacções de apoo) e nterores (tensões). stas últmas são as forças de nteracção entre os város pontos materas do corpo. () A palavra força é entendda nm sentdo generalzado: pode representar ma força concentrada, m momento dstrbído, m esforço, etc.. O correspondente deslocamento é galmente entenddo nm sentdo generalzado: pode representar m deslocamento, ma rotação, etc.. ()No cálclo dos trabalhos vrtas, consdera-se qe os valores das forças actantes se mantêm constantes drante a ocorrênca dos deslocamentos vrtas. (v) Deslocamentos vrtas são deslocamentos magnáros, no sentdo em qe não são necessaramente prodzdos por forças aplcadas. odem magnar-se deslocamentos prodzdos por otros conntos de forças aplcadas, por varações de temperatra, por processos de fabrcação, etc.. Como é óbvo, os deslocamentos reas (prodzdos pelas forças aplcadas consderadas) consttem m possível (embora extremamente partclar) campo de deslocamentos vrtas. (v) Deslocamentos compatíves com as lgações são deslocamentos qe respetam as lgações exstentes. ssas lgações são exterores (lgações do corpo com o exteror apoos) e nterores (posções relatvas dos város pontos materas qe consttem o corpo). 57

59 rncípo dos Trabalhos Vrtas (v) xemplos de deslocamentos vrtas compatíves e não compatíves com as lgações : (a) (b) Fgra 4. (a) Confgração Indeformável. Deslocamentos vrtas (b) compatíves e (c) não (c) compatíves com as lgações. 4 DMONSTRAÇÃO Consdere-se A) Um sstema de forças exterores (força de volme de densdade X e forças de densdade na parte S da frontera S) e m campo de tensões (forças nterores) tal qe () as forças de volme X dv, as forças de sperfíce ds e as reacções de apoo na parte S S S da frontera (parte onde os deslocamentos são prescrtos) estão em eqlíbro estátco. () se tem, em todos os pontos do volme (V) do corpo,, + X ()se tem, em todos os pontos da parte S da frontera (S) do corpo, n. Desgna-se este sstema de forças e tensões por sstema eqlbrado e dentfcam-se as grandezas qe o consttem através do símbolo. 58

60 rncípo dos Trabalhos Vrtas B) Um campo de deslocamentos contíno e dferencável e m campo de deformações tas qe () se tem em todos os pontos de volme do corpo ( + ),, () se tem em todos os pontos da parte S da frontera do corpo Desgna-se este sstema de deslocamentos e deformações por sstema compatível e dentfcam-se as grandezas qe o consttem através do símbolo. NOTA: Observe-se qe se admt a hpótese da lneardade geométrca, qe se tradz () na adopção das relações deformações-deslocamentos lneares e () no estabelecmento das eqações de eqlíbro na confgração ndeformada no corpo. O trabalho realzado pelo sstema de forças exterores ( τ ) é dado por e τ e X dv + ds X dv + V S V S ds NOTA: m rgor deva ter-se ds. Smplesmente, como em S S S S tem-se qe ds ds S S m vrtde das condções de eqlíbro no nteror e na frontera do corpo tem-se ( ) dv + n e τ V, S ds, vem,, Como ( ) ( ) dv + dv +, n e τ V V, S ds or aplcação do Teorema de Gass (o da dvergênca) tem-se qe ( ) dv n ds. Logo, V S 59

61 rncípo dos Trabalhos Vrtas n ds +, dv + n e τ S V S ds τ e, dv V NOTA: O Teorema de Gass o da dvergênca dz qe V Φ, dv S Φ n ds A k..., dv A S k... n V ds Fgra 4. Teorema de Gass Φ grandeza escalar A k... grandeza tensoral de ordem arbtrára S frontera qe lmta o volme V n componentes da normal exteror a S m vrtde de se ter (smetra do tensor das tensões) +,,, +, o trocando índces mdos, ( + ),, +,,, vem Como ( + ) τ ( + ),, e V,,, vem qe dv e τ V dv 6

62 rncípo dos Trabalhos Vrtas Tem-se assm qe V X dv + ds S V dv o V X dv + ds S V dv Se se desgnar o termo dv V por trabalho das forças nterores ( τ ), a expressão anteror pode ser escrta na forma e + e τ τ τ X dv + V τ V dv S ds qe constt precsamente aqlo qe se pretenda demonstrar (q.e.d.). NOTAS: () O snal ( ) na expressão de τ é ma conseqênca do facto das forças nterores se oporem às deformações. ara lstrar esta observação, atente-se no qe scede no caso de ma mola solctada por ma força, a qal é eqlbrada pela reacção da mola R. e τ τ R Fgra 4. Mola sbmetda a força () Algns atores desgnam por trabalho das forças nterores a qantdade τ dv. Deste modo vem V V X dv + S ds V e dv τ τ O enncado do.t.v passa então a ser: 6

63 rncípo dos Trabalhos Vrtas É condção necessára e sfcente para o eqlíbro de m corpo qalqer qe o trabalho das forças exterores sea gal ao trabalho das forças nterores para qasqer deslocamentos vrtas compatíves com as lgações. ()A expressão X dv ds dv V + S V stfca qe se dga habtalmente qe o.t.v. estabelece qe forças exterores x deslocamentos tensões x deformações (v) A grandeza pode escrever-se, atendendo à smetra de e, na forma OBSRVAÇÕS () O campo de tensões apenas tem qe eqlbrar as forças exterores X e, sto é, não é necessaramente o campo de tensões qe se nstala no corpo devdo à actação de X e. De facto, em vrtde de a determnação do campo de tensões qe eqlbra m dado sstema de forças exterores ser m problema estatcamente ndetermnado, é sempre possível determnar város campos de tensões qe satsfazem as eqações de eqlíbro. () Os campos de tensões ( ) e de deformações ( ) são ndependentes m do otro, sto é, não estão necessaramente relaconados pela relação constttva do materal qe constt o corpo. ode, deste modo, dzer-se qe o.t.v. é váldo para corpos consttídos por qasqer materas, sto é, materas com qalqer relação constttva. A únca restrção consste no facto de se ter admtdo a hpótese da lneardade geométrca. () No caso de m corpo rígdo tem-se, o qe mplca τ. Deste modo, o.t.v. envolve apenas o trabalho das forças exterores para qasqer deslocamentos compatíves com as lgações. 6

64 rncípo dos Trabalhos Vrtas (v) Do mesmo modo como se dedz a expressão do.t.v. a partr das condções de eqlíbro e das relações deformações-deslocamentos é possível (v. ) dedzr as condções de eqlíbro a partr do.t.v. e das relações deformações-deslocamentos; (v. ) dedzr as relações deformações-deslocamentos a partr do.t.v. e das relações de eqlíbro. (v) É costme desgnar-se o prncípo aq enncado e demonstrado por rncípo dos Deslocamentos Vrtas. ara além dsso, é anda possível estabelecer m otro prncípo, desgnado por rncípo dos Trabalhos Vrtas Complementares o rncípo das Forças Vrtas. Algns atores desgnam qalqer m dos dos prncípos (o o se connto) por rncípo(s) dos Trabalhos Vrtas. 4 4 XMLO D ILUSTRAÇÃO Consdere a barra representada na fgra 4.4 sbmetda à acção do sstema de forças exterores X Fgra 4.4 Barra solctada nas sperfíces lateras ; + α x ( α > ) na secção externa L x, o qal é eqlbrado pelo campo de tensões x + α ;. 6

65 rncípo dos Trabalhos Vrtas Consdere também o campo de deslocamentos vrtas x ( arbtráro);, ao qal corresponde o campo de deformações x x ;. Verfqe o.t.v.. NOTA: Observe qe o campo de deslocamentos vrtas consderado é claramente dferente do campo de deslocamentos prodzdo pelas forças exterores (qalqer qe sea o valor de ). o Verfcação do eqlíbro Interor do corpo,,, + + +,,, + + +,,, + X + X + X Sperfíces lateras n ± e n ± e n n n n n n Secção extrema x L n e n ) n n n ( + α x + α x 64

66 rncípo dos Trabalhos Vrtas Secção extrema x ( n e n ) Cálclo das reacções de apoo n n n α x qlíbro global das forças exterores e reacções de apoo Fgra 4.5 qlíbro de barra o Verfcação da compatbldade Interor do corpo,,,,,, +, +, +, x x Secção extrema x ( n e n ) 65

67 rncípo dos Trabalhos Vrtas o Verfcação do.t.v. V X dv + S ds + L S + + SL SL ds + SL ( + α x ) ( + α x ) ds L ds ds V dv V dv V ( + α x ) x L ( + α x ) S dv ds x L S ( + α x ) ds Barra prsmátca SS L X dv + ds V S dv q.e.d. V 66

68 Relações Tensões-Deformações 5 RLAÇÕS TNSÕS-DFORMAÇÕS As propredades dos materas (.e., o comportamento materal) são especfcadas através das relações tensões-deformações (o relações/eqações constttvas). Assm, a fnção destas eqações consste em estabelecer ma relação matemátca entre as varáves estátcas (componentes do tensor das tensões) e as varáves cnemátcas (componentes do tensor das deformações) qe descrevem o comportamento (.e., a resposta) do materal qando seto a acções exterores. Deste modo, pode dzer-se qe consttem ma relação tensoral entre os tensores das tensões e das deformações. Conforme é fácl de perceber, a caracterzação rgorosa de m comportamento de m materal constt ma tarefa extremamente complexa, qe pode (e deve) ser smplfcada ao resolver a grande maora dos problemas de nteresse prátco. Recorre-se então a modelos deas do comportamento materal (os modelos materas), os qas descrevem de ma forma sfcentemente aproxmada (dentro de certos lmtes tpos de problemas e nível das acções exterores) o comportamento de m grande número de materas reas. São exemplos de modelos materas os concetos de corpo rígdo e de corpo elástco. ara qe os modelos materas (deas) possam representar adeqadamente (dentro de certos lmtes, obvamente) o comportamento dos materas reas, é ndspensável efectar procedmentos de calbração e valdação. m pocas palavras, estes procedmentos consstem em () Introdzr no modelo materal varáves co valor é determnado com base no comportamento dos materas reas.e., a partr de medções efectadas em ensaos expermentas realzados com materas reas. () Comparar os resltados fornecdos pelos modelos materas com os valores meddos drante a realzação de ensaos expermentas a qaldade do modelo materal será tanto maor qanto menor forem as dferenças e maor a varedade de ensaos qe permte smlar. 67