Introdução ao comportamento não linear de estruturas

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1 Introdução ao comportamento não lnear de estruturas Conteúdo 1 Introdução 1.1 orquê estudar o comportamento não lnear das estruturas? Análse lnear versus análse não lnear Objetvos e organzação Comportamento fscamente não lnear de secções transversas 7.1 Equações que regem o comportamento não lnear de secções transversas Tração e flexão elastoplástca Materal elastoplástco Esforço axal Momento fletor Exemplos de determnação de M c e M p Flexão composta elastoplástca Dagrama de nteração de uma secção Flexão composta de materas não resstentes à tração. Tensões de contacto em fundações dretas Análse elastoplástca de uma secção retangular Curva momento-curvatura Descarga elástca. Tensões resduas O conceto da rótula plástca Torção elastoplástca de secções com smetra de revolução Análse ncremental de estruturas elástoplástcas 9.1 Introdução. arâmetros de carga. Carga de cedênca e carga últma Estruturas sostátcas O comprmento da zona plastfcada Análse ncremental de uma estrutura artculada Análse ncremental de uma vga hperestátca Descargas e esforços e reações resduas Utlzação do TV para o cálculo de deslocamentos Utlzação do TV para o cálculo de cargas de colapso Mecansmos de colapso globas, parcas e múltplos Análse lmte de estruturas elastoplástcas Introdução Carga de um mecansmo cnematcamente admssível O teorema cnemátco Carga de uma dstrbução de esforços estatcamente admssível O teorema estátco Metodologa para obtenção da carga de colapso Exemplos de aplcação

2 4.8 Uma vsualzação dos teoremas de análse lmte Comentáros fnas Comportamento geometrcamente não lnear O conceto de establdade Análse de um modelo de um grau de lberdade Equlíbro Energa potencal e análse de establdade das trajetóras Efeto das mperfeções Conclusões retradas da análse do modelo e sua extrapolação Análse lnear de establdade de outros modelos de barras rígdas Encurvadura de colunas Equação dferencal de establdade Coluna de Euler Deslocamento, rotação, curvatura, momento fletor e esforço transverso Outras condções de apoo A coluna encastrada-apoada Coluna encastrada-lvre Comprmento de encurvadura Carga máxma suportada por uma coluna

3 1 Introdução 1.1 orquê estudar o comportamento não lnear das estruturas? A natureza é não lnear. Mas a nossa forma de pensar tende a ser lnear. Isto não é necessaramente um nconvenente, já que a lnearzação de um problema permte-nos enfrentar problemas complexos e encontrar soluções através da sobreposção de resultados conhecdos de problemas smples. No campo das estruturas, a análse lnear permte-nos obter uma aproxmação do comportamento real das estruturas a qual nos ajuda a compreender o seu modo de funconamento. É apenas natural que a concepção de estruturas vá buscar nspração ao seu comportamento lnear. Mesmo o dmensonamento e a verfcação da segurança foram durante muto tempo essencalmente baseados na análse elástca lnear e no conceto de tensão de segurança. Mas exstem város nconvenentes no dmensonamento elástco de estruturas. or um lado, pode conduzr ao sobredmensonamento das peças estruturas e desse modo não ser económco. De facto, as estruturas consttuídas por materas dúctes como o aço apresentam geralmente uma reserva de resstênca para além do lmte elástco, a qual depende de mutos factores tas como o seu grau de estata ou a forma das secções transversas. Um dos prncpas nconvenentes do dmensonamento elástco é que essa reserva nunca é explctamente consderada e muto menos quantfcada. O modo de colapso também não é conhecdo, tornando muto dfícl avalar o desempenho de uma estrutura face a acções de extrema ntensdade. or outro lado, exstem stuações, tas como a nstabldade de colunas esbeltas, onde os resultados de uma análse lnear dferem muto do comportamento real da estrutura, sendo fundamental a consderação de uma análse geometrcamente não lnear para a verfcação da segurança. or estas razões, hoje em da, a verfcação da segurança de estruturas deve ter em conta dversos aspetos do comportamento não lnear de estruturas, os quas estão ncorporados nos modernos regulamentos de estruturas. 1. Análse lnear versus análse não lnear A análse lnear de estruturas assenta num conjunto de hpóteses que se traduzem por relações lneares entre as dversas grandezas em jogo. Esta relações lneares podem ser observadas quer no contexto da teora da elastcdade, aplcada aos corpos encarados como contínuos deformáves, quer no contexto de teoras estruturas, tas como a teora das peças lneares (vgas, estruturas retculadas) ou teoras de peças lamnares (placas, lajes ou cascas). Assm, na teora da elastcdade lnear, admtem-se () relações deformações-deslocamentos, onde o campo de deformações depende lnearmente do campo de deslocamentos, () relações consttutvas, onde as tensões são proporconas às deformações e () equações de equlíbro, que são equações lneares envolvendo o campo de tensões e as cargas aplcadas. Verfcada a lneardade de todas estas equações 1 e admtndo que exstam condções de frontera sufcentes para mpedr movmentos de corpo rígdo pode demonstrar-se que a solução exste e é únca. É também váldo o prncípo da sobreposção segundo o qual a resposta do corpo a uma combnação lnear de acções exterores pode ser obtda através da mesma combnação lnear das respostas do corpo à atuação solada de cada uma das acções exterores. A teora das peças lneares pode ser encarada como a especalzação da teora da elastcdade, através da adopção de algumas hpóteses complementares sobre os campos de deslocamentos (hpótese de Bernoull) e de tensões (hpótese de Naver), o que permte ldar com grandezas de domíno undmensonal: deslocamentos e rotações do exo da peça, deformações ao nível 1 É mportante observar que são as equações que são lneares, e não a varação das dversas grandezas ao longo do corpo. A teora ser lnear sgnfca smplesmente que, por exemplo, se multplcarmos por as cargas aplcadas, então os deslocamentos as deformações e as tensões deverão também ser multplcadas por.

4 da secção transversal (extensão, curvatura, etc), esforços (esforço axal, momento fletor, etc) e cargas atuando no exo da peça. Uma estrutura com comportamento lnear onde as relações entre as dversas grandezas undmensonas são todas lneares herda as propredades referdas no parágrafo anteror para o caso de um corpo contínuo. Em partcular, a solução exste e é únca admtndo evdentemente que estão mpeddos movmentos de corpo rígdo, o que é sempre verdade em estruturas não hpostátcas e sem lgações mal dstrbuídas. Contnua também váldo o prncípo da sobreposção, o qual é alás vtal na construção de métodos de análse, tas como o método das forças. A lneardade destas equações é, bem entenddo, uma aproxmação ao comportamento real das estruturas o qual é, de facto, não lnear. De um modo geral, a aproxmação lnear faz sentdo até um determnado nível de solctação, a partr do qual é nevtável a consderação de análses mas realstas as quas deverão ncorporar, pelo menos, os efetos não lneares mas relevantes para o problema em análse. Em qualquer dos casos, a prmera abordagem de um determnado problema deverá sempre passar por uma análse lnear, que serve de referênca e orentação na realzação das análses não lneares mas complexas. Exstem mutos aspetos não lneares que podem ou não ser contemplados numa dada análse e, além dsso, exstem mutas formas de modelar cada um desses aspetos, recorrendo a mas ou menos dealzações/smplfcações. Isto leva a que por vezes se dga «análse lnear há só uma, análses não lneares há mutas». Mas qualquer análse não lnear é manfestamente mas complexa que uma análse lnear. Basta pensar que a solução de um dado problema estrutural não lnear pode não exstr ou ser múltpla, ou que dexa de ser váldo o prncípo da sobreposção. É habtual e convenente agrupar as fontes de não lneardade do comportamento estrutural em dos tpos: não lneardade físca (ou materal) sempre que o materal não possa ser consderado elástco lnear, ou seja, quando as tensões/esforços não dependem lnearmente das deformações. não lneardade geométrca () quando não se verfca a hpótese dos pequenos deslocamentos, sendo necessáro consderar uma relação não lnear entre deformações e deslocamentos e/ou () quando nas equações de equlíbro exstem termos não desprezáves acoplando tensões/esforços/cargas com deslocamentos, o que equvale a dzer que a escrta das equações de equlíbro deve ser feta na confguração deformada do corpo/estrutura. 1. Objetvos e organzação Neste texto de ntrodução ao comportamento não lnear de estruturas, pretende-se abordar os concetos base em jogo, mantendo-se a exposção tão smples quanto possível. Assm consdera- -se separadamente cada um dos tpos de não lneardade acma referdos. Em ambos os casos, o contexto é o de estruturas retculadas planas, consttuídas por peças lneares de secção transversal smétrca, contnuando a admtr-se a valdade das hpóteses de Bernoull e de Naver. Admte-se anda que apenas as tensões normas longtudnas são mportantes, pelo que apenas é necessáro consderar uma relação consttutva unaxal. As secções a 4 ncdem essencalmente sobre a não lneardade físca assocada ao comportamento elastoplástco do aço estrutural. Começa-se por estudar o comportamento das secções transversas, dentfcando-se esforços de plastfcação (com e sem nteração de esforços). Deduzem-se relações consttutvas ao nível da secção transversal, dando-se partcular atenção à relação momento-curvatura em flexão smples e ao conceto de rótula plástca. Depos, na secção, aborda-se a análse ncremental de estruturas, sujetas a perfs de carregamento, dentfcando-se concetos chave tas como carga de cedênca e carga últma. A secção 4 des- Estas categoras não são exaustvas. Outra fonte mportante de não lneardade advém do contacto entre corpos. 4

5 creve a análse lmte do mesmo tpo de estruturas, que permte o cálculo da carga de colapso com base no equlíbro e num conjunto de teoremas. Na secção 5 faz-se uma ntrodução à não lneardade geométrca, estudando-se prmero a establdade de modelos de barras rígdas e molas e depos o fenómeno da encurvadura de colunas. Nota: Estas folhas foram ncalmente preparadas para apoo da undade currcular de Resstênca de Materas do ano de 015/016, de acordo com o currículo pós-bolonha que remonta a 007/008, adotando a reorganzação de capítulos ntroduzda a partr do ano letvo 010/011. Esta segunda versão fo aumentada para refletr as alterações currculares ntroduzdas no ano de 016/017. A prncpal alteração é a nclusão do capítulo referente à análse lmte, mas foram ntroduzdas outras alterações pontuas (o dagrama de nteração de uma secção em T, a consderação de barras heterogéneas à tração, a análse ncremental de uma trelça). O autor agradece aos professores José Motnho de Almeda, Antóno nto da Costa e edro Borges Dns a ajuda na revsão do texto. 5

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7 Comportamento fscamente não lnear de secções transversas.1 Equações que regem o comportamento não lnear de secções transversas Consdere-se uma peça lnear (vga, plar), de exo longtudnal x concdente com o centro de gravdade das secções transversas. Admte-se que a secção transversal é smétrca em relação ao exo vertcal x. A secção transversal tem área A e momento de nérca I = I 11 em relação ao exo x 1. O materal é não lnear, devdamente caracterzado por uma le consttutva unaxal conhecda σ = σ (ε ) (1) ara já, admte-se que a forma desta função pode ser qualquer o que é sugerdo pela curva genérca representada na fgura 1. Observe-se que para esta caracterzação estar completa é também necessáro saber como se processam as descargas. σ ε Fgura 1: e consttutva unaxal de um materal não lnear genérco. Consdere-se uma secção transversal submetda à flexão composta reta, sto é à atuação de um esforço axal (ou esforço normal) N e de um momento fletor M = M 1, tal como representado na fgura. Admtndo-se a hpótese de Bernoull, pela qual as secções se mantêm planas, o deslocamento axal u será uma função lnear de x, o mesmo se passando com a extensão longtudnal ε. Tem-se então ε = ε G + x () R onde ε G representa a extensão longtudnal medda sobre o exo da peça (sto é para x = 0) e 1 R é a curvatura da peça (em torno do exo x 1). Admtndo conhecdos estes dos parâmetros, ε G e 1 R, e admtdo que o carregamento da secção é feto de modo a que a extensão ε de cada ponto aumente monotonamente sem descargas, portanto, então a dstrbução de tensões em toda a secção é faclmente determnada recorrendo às equações (1) e (). Fnalmente, os esforços N e M 1 podem ser obtdos por ntegração na secção transversal, N = σ da M = σ x da () A A x 1 G N x N 1 ε G 1 R + M N x x ε = ε G + x R σ (ε ) Fgura : Flexão (composta) não lnear de uma secção transversal. 7

8 Este processo de obter os esforços a partr dos parâmetros de deformação, utlzando sucessvamente as equações (1), () e (), está lustrado na fgura e pode ser condensadamente escrto como N = N(ε G, 1 R ) M = M(ε G, 1 R ) (4) Mas dfícl, mas também mas nteressante, é o problema nverso: conhecdos os esforços atuantes N e M determnar os parâmetros de deformação ε G e 1 R e a correspondente dstrbução de tensões. Ao contráro do que acontece no caso elástco, onde se tem ε G = N EA e 1 R = M EI, no caso geral de um materal não lnear não costuma haver solução analítca, sendo necessáro resolver o sstema de equações não lneares (4) por métodos numércos (teratvos). Este tpo de análse está fora do âmbto do presente texto.. Tração e flexão elastoplástca..1 Materal elastoplástco Consdere-se agora que o comportamento do materal é descrto pelo modelo «elástco - perfetamente plástco», ou smplesmente elastoplástco, representado na fgura. Este modelo admte que o comportamento é elástco lnear para valores de tensão nferores em módulo à tensão de cedênca σ c e totalmente plástco quando o módulo da tensão é gual à tensão de cedênca. Este modelo consttutvo smples é adequado para modelar o comportamento do aço no contexto da análse de estruturas, mas é mportante ter a noção que consttu uma dealzação do verdadero comportamento do aço maco, cuja curva tensão-deformação é caracterzada por um patamar de cedênca fnto segudo pelo endurecmento e estrcção. A consderação de um patamar de cedênca ndefndo é uma dealzação que se justfca atendendo à boa ductldade exbda pelos aços. A fgura também lustra que as descargas a partr do patamar de cedênca se processam elastcamente. A deformação recuperada é deformação elástca, enquanto a deformação que fca após descarga completa se desgna por deformação plástca. σ c σ 1 E ε σ c Fgura : e consttutva unaxal de um materal elástoplástco. Analsem-se de seguda as consequêncas desta relação consttutva, quando uma secção é submetda à acção solada de um esforço axal ou de um momento fletor. Em ambos os casos, estamos nteressados em determnar o esforço de cedênca valor correspondente à prmera cedênca no materal, e o esforço de plastfcação valor correspondente à plastfcação completa da secção. O esforço de cedênca é mportante porque assnala o fm do regme elástco, sendo assm o lmte de aplcabldade da teora lnear. or outro lado, o esforço de plastfcação em materas elastoplástcos é o maor esforço que a secção é capaz de suportar... Esforço axal Admtndo-se uma secção homogénea, no caso de um esforço axal tem-se sempre um dagrama de tensões unforme, σ = N A, como se mostra na fgura 4. Assm, exste concdênca entre o 8

9 N < N p N = N p N N p = N c x 1 G EA ε N p x σ < σ c σ = σ c Fgura 4: Tensões σ para a atuação de um esforço axal crescente. esforço normal de cedênca N c e o esforço normal de plastfcação N p, N c = N p = Aσ c (5) pelo que o dagrama N(ε), também representado na fgura, é semelhante ao dagrama σ(ε) da relação consttutva. Como se verá, esta concdênca entre N c e N p não exste em geral no caso de secções heterogéneas, onde as cedêncas dos város materas ocorrem para valores de N dferentes. Se o esforço normal é constante ao longo de uma barra, de secção transversal também constante, a deformação plástca pode ocorrer em qualquer secção. É alás o que acontece num ensao de tração unaxal, onde, na cedênca, é possível observar uma zona onde se localzam as deformações plástcas, zona essa que se propaga depos progressvamente pelo provete completo. Do ponto de vsta do comportamento estrutural de um trante, é ndferente a dstrbução das deformações ao longo da barra, pelo que, mutas vezes, se prefere representar a relação consttutva axal na forma N( l), em vez da forma N(ε). Embora este texto se foque essencalmente em secções homogéneas, é nteressante dscutr o comportamento à tração de uma barra heterogénea consttuída pela assocação em sére de materas elastoplástcos. A barra representada na fgura 5 é consttuída por dos materas, ambos de comportamento elastoplástco, caracterzados pelos respetvos módulos de elastcdade, E 1 e E, e pelas respetvas tensões de cedênca σ c1 e σ c. Admte-se que a aderênca entre os materas é perfeta, pelo que a extensão longtudnal é unforme na secção transversal. A barra está submetda a um esforço axal N aplcado no centro (de rgdez) da secção. Note-se que se admte que a geometra da secção é b-smétrca, nclundo no que dz respeto à dstrbução dos dos materas, de modo a que o únco esforço não nulo seja a tração, ndependentemente da ocorrênca de plastfcação em qualquer dos materas. Enquanto a barra se comporta elastcamente, o valor da extensão longtudnal é dado por ε = N n E A (6) Impondo que a tensão em cada materal seja nferor à respetva tensão de cedênca, faclmente se conclu que o esforço normal de cedênca é dado por { } ( n ) { } σc σc σ = E ε σ c ε mn N c = E A mn (7) E Note-se que o prmero materal a ceder não é necessaramente o de menor tensão de cedênca, mas sm, aquele que apresenta uma menor deformação de cedênca ε = σ c E. Esta dscussão tem um nteresse algo académco, uma vez que as secções heterogéneas mas nteressantes do ponto de vsta prátco as secções de betão armado ncluem um materal (o betão) cujo comportamento não é elastoplástco. E 9

10 N σ σ c1 E 1 σ c E ε N 1 N p N c EA N 1 ε Fgura 5: Barra heterogénea à tração. Após a cedênca de um dos materas, todo o acréscmo do esforço axal é absorvdo pelo outro materal, anda a trabalhar elastcamente. Quando fnalmente este atnge a cedênca, toda a secção transversal está plastfcada, sendo o correspondente esforço normal de plastfcação dado por σ = σ c N p = n A σ c (8) ara a secção heterogénea, o dagrama N(ε) é caracterzado por város troços lneares, tal como se mostra também na fgura 5. No prmero troço o declve é dado pela rgdez axal elástca n E A, no segundo troço o declve é menor (só é contablzada a contrbução para a rgdez do materal anda em regme elástco) e no troço fnal o declve é nulo. Se em vez de dos materas, a secção for consttuída por n materas, aumenta naturalmente o número de troços que formam o dagrama N(ε), mas note-se que, atendendo à forma como foram escrtas, as expressões apresentadas para N c e N p conservam a valdade... Momento fletor No caso da atuação de um momento fletor, a evolução do dagrama de tensões é mas complcada, mesmo no caso de uma secção homogénea, tal como se representa na fgura 6. M < M c M = M c M c < M < M p M = M p G N e N e N σ c N σ c N p x 1 v x σ < σ c σ = σ c σ c σ c σ c Fgura 6: Tensões σ para a atuação de um momento fletor crescente. Enquanto toda a secção permanece no domíno elástco, sto é, para 0 < M < M c, o dagrama de tensões é lnear σ = M I x e a lnha neutra concde com o exo x 1, passando, 10

11 portanto, no centro de gravdade G. Quando o momento é exatamente gual ao momento de cedênca M c, o dagrama de tensões anda é trangular, e o seu valor na fbra mas afastada da lnha neutra é, em módulo, gual à tensão de cedênca. Desgnando por v a dstânca da fbra mas afastada à lnha neutra, tem-se então σ c = Mc I v pelo que o momento de cedênca M c é M c = W σ c W = I v (9) Nesta expressão, W desgna-se por módulo de flexão elástca e é uma característca geométrca da secção, vndo expresso em m. ara valores do momento superores ao momento de cedênca, a dstrbução de tensões apresenta regões onde a tensão é gual em valor absoluto à tensão de cedênca, refletndo desse modo o dagrama tensão-deformação da relação consttutva elastoplástca. ara secções bsmétrcas, a ocorrênca de cedêncas não mplca a mudança de posção da lnha neutra. Mas, se a secção não for b-smétrca (como é sugerdo na fgura 6), a lnha neutra dexa em geral de passar no centro de gravdade, devendo a sua posção ser determnada com base na equação N = 0 (estamos, no fnal de contas, a estudar o comportamento à flexão pura). À medda que o valor do momento contnua a aumentar, a regão da secção que se conserva no domíno elástco dmnu progressvamente. No lmte, quando M = M p, a secção encontra-se totalmente plastfcada e não pode suportar qualquer acréscmo de momento. A y σ c A σ c M x 1 G N p y + + A + σ c A + x σ c Fgura 7: Determnação da lnha neutra plástca e do momento de plastfcação. A determnação do valor do momento plástco M p é muto facltada pelo facto de, na stuação lmte, toda a secção estar plastfcada. Então, como se mostra na fgura 7, admtndo um momento postvo, todos os pontos abaxo da lnha neutra plástca estão traconados com σ = σ c enquanto todos os pontos acma dessa lnha estão comprmdos com σ = σ c. Desgnando por A + e A as áreas traconada e comprmda, respetvamente, a equação de esforço normal nulo, leva a conclur que N = A + σ c A σ c = 0 A + = A = A Ou seja, a lnha neutra plástca deve dvdr a secção transversal em duas áreas guas. ara calcular o valor do momento plástco, basta observar que a resultante das tensões de compressão e de tração devem passar, respetvamente, nos centros de gravdade das áreas comprmdas e traconadas, localzados a dstâncas y e y + da lnha neutra plástca. ara além dsso, em flexão smples, é ndferente qual o exo em relação ao qual se calcula o momento resultante, sendo geralmente mas prátco calculá-lo em relação à lnha neutra plástca. Tem-se então, as seguntes expressões alternatvas M p = A + σ c y + + A σ c y ( = σ c A + y + + A y ) ( = σ c S + N + ) S N ou, smplesmente, M p = Zσ c Z = S + N + S N (10) 11

12 onde o módulo de flexão plástca Z é dado pela soma dos momentos estátcos das áreas traconadas e comprmdas, calculados em valor absoluto em relação à lnha neutra plástca. Tal como o seu homónmo elástco, o módulo de flexão plástca é também uma característca geométrca da secção e expressa em undades de comprmento ao cubo (m, por exemplo). Defne-se como factor de forma f a razão entre o momento plástco e o momento de cedênca, a qual, como faclmente se mostra é também a razão entre os módulos de flexão plástca e elástca, f = M p M c = Zσ c W σ c = Z W O factor de forma depende assm apenas da forma da secção (o que justfca o seu nome), é sempre maor ou gual a 1, e dá uma ndcação da reserva de resstênca pós-cedênca. or últmo, refra-se que a curva momentos curvaturas deverá ser da forma apresentada na fgura 8, qualquer que seja a forma da secção transversal. Até ao momento de cedênca M c a relação é lnear, com declve EI. A partr de M c, o declve va-se reduzndo, à medda que as zonas plastfcadas vão alastrando e o momento de plastfcação M p é atngdo apenas assntotcamente para curvaturas nfntas. Na secção.4.1, mostra-se como se pode determnar a expressão analítca desta curva, no caso concreto (e smples de calcular) de uma secção retangular. M p M c M 1 EI 1 R M c M p Fgura 8: Relação momentos curvatura de uma secção elastoplástca...4 Exemplos de determnação de M c e M p Com o auxílo da fgura 9, determnamos os valores de M c, de M p e de f para quatro secções smples: uma secção retangular, uma secção crcular, uma secção em losango e uma secção de parede fna em I. Todas estas secções são b-smétrcas, pelo que, em todas elas, a lnha neutra plástca concde com a lnha neutra elástca. A b h r h A a h h b b A b Fgura 9: Determnação dos momentos de cedênca e de plastfcação em quatro secções. 1

13 ara a secção retangular, de largura b e altura h, tem-se: M c = W σ c = I v σ c = bh 1 σ h c = bh M p = Zσ c = ( S + N + S N) σc = f = M p = Z bh M c W = 4 = 1,5 bh 6 6 σ c ( bh h 4 + bh ) h σ c = bh 4 4 σ c O cálculo para a secção crcular, de rao r, leva em conta que o centro de gravdade de um sem-círculo está stuado a 4r π a partr da base, M c = W σ c = I πr 4 v σ 4 c = r σ c = πr 4 σ c M p = Zσ c = ( ( πr S + N + N) S σc = f = M p = Z 4r M c W = πr 4 = 16 π 1,7 4r π + πr ) 4r σ c = 4r π σ c A secção em losango consderada, tem largura b e altura h, pelo que: M c = W σ c = I v σ c = bh 1 h σ c = bh 6 σ c ( bh M p = Zσ c = ( S + N + S N) σc = f = M p = Z bh M c W = =,0 bh 6 h + bh ) h σ c = bh σ c Fnalmente, consderamos uma secção em I de geometra dealzada, onde A b e A a são as áreas de cada banzo e da alma, respetvamente, e h a altura, medda entre as lnhas médas dos banzos. ara efetos de cálculo de v não se tem em conta a espessura da alma. Nestas condções, temos: M c = W σ c = I v σ c = A b ( h M p = Zσ c = ( S + N + N) S σc = f = M p = Z ( ) M c W = Ab + Aa 4 ) ( Ab + Aa 6 ) + Aa h 1 h ( A b h ( σ c = h A b + A a 6 + A h a 4 ) σ c = h ) σ c ( A b + A ) a σ c 4 Se admtrmos que a área de cada banzo é o dobro da área da alma, A b = A a obtemos um factor de forma f = 7 6 1,04. No lmte, se admtrmos que toda a área da secção transversal se concentra nos banzos, A a 0, o valor de f tende para a undade. Neste cálculo, admtu- -se smplfcadamente que o ponto mas afastado estava a uma dstânca de h da lnha neutra plástca. Cálculos mas precsos, usando as verdaderas dmensões dos banzos e da alma de perfs correntes, conduzem a um factor de forma à volta de 1,15. Olhando para estes resultados, pode parecer paradoxal que a secção em I, cuja geometra fo concebda para maxmzar a resstênca à flexão para uma dada área de secção transversal e para uma dada altura útl dsponível, seja aquela para a qual o factor de forma é mas pequeno. A explcação resde no facto de a secção em I estar muto otmzada já para o momento 1

14 de cedênca, pelo que a reserva pós cedênca é relatvamente pequena. De facto, para M = M c, quando se atnge a prmera cedênca, já a maor parte da secção transversal se encontra com um valor de tensão muto perto de σ c, pelo que a dferença entre M c e M p é pequena. Se a área da alma for desprezável, a prmera cedênca concde mesmo com a plastfcação total da secção. No extremo oposto, o maor factor de forma atrás calculado é o do losango, no qual, para M = M c, a maor parte da secção transversal apresenta níves de tensão muto baxos. Em seguda, exemplfca-se o cálculo do momento plástco de uma secção não smétrca em relação ao exo x 1. Exemplo: Determnar M c e M p da secção em T representada. 5a a y G d 4a a O cálculo de M c necessta da posção de centro de gravdade e da nérca: y = 5a a + 4a a 5a + 4a = 9 I = 5aa 1 + 5a M c = W σ c = 18 a ) + a(4a) 1 ( 9 18 a a a4 5a 9a 18 σ c = a σ c = 5,795 a σ c ( + 5a a 9 ) 18 a = a4 ara obter M p, é necessáro determnar qual a posção da lnha neutra plástca que dvde a secção em duas áreas guas, Neste caso, como o banzo é maor do que a alma, é evdente que essa lnha deve cortar o banzo. Uma vez determnada a sua posção, basta calcular o momento em relação a qualquer exo horzontal, sendo mas fácl calculá-lo em relação à própra lnha neutra plástca. 5ad = 5a(a d) + 4a d = 5a + 4a = 9 10a 10 a [ ( ) ( ) 9 9 M p = Zσ c = 5a 10 a 0 a + 5a a a ( a a + a ) ] σ c = a σ c = 10,450 a σ c O factor de forma vale f = 10,450 5,795 = 1, Flexão composta elastoplástca Consderemos agora a atuação conjunta de esforço normal e momento fletor. ara dstngur o caso da aplcação solada de cada esforço do caso da sua aplcação conjunta, desgnam-se por esforços de plastfcação reduzdos os esforços N p e M p que correspondem à condção de a secção estar totalmente plastfcada. Faclmente se compreende que exstem múltplas soluções, cada uma delas assocada a uma determnada posção da lnha neutra plástca. Do ponto de vsta prátco, o problema habtualmente coloca-se no formato: conhecdo o esforço normal aplcado, determnar o momento fletor máxmo. 14

15 As equações () contnuam a ser a chave do problema, as quas, reescrtas para a stuação em que toda a secção está plastfcada, fcam N p = ( σ c ) da + A (+σ c ) da A + M p = ( σ c x ) da + A (+σ c x ) da A + (11) Como representado na fgura 10, para o caso em que o momento aplcado é postvo, A + é a área da secção stuada abaxo da lnha neutra plástca, onde σ = +σ c, enquanto A é a área da secção stuada acma da lnha neutra plástca, onde σ = σ c. A coordenada x é, bem entenddo, sempre calculada no referencal orgnal, cuja orgem se poscona no centro de gravdade da secção. σ c M p x 1 N N p x σ c Fgura 10: Determnação dos esforços de plastfcação reduzdos Se o esforço axal for conhecdo, a prmera das equações (11) permte obter a posção da lnha neutra plástca em flexão composta, enquanto a segunda dessas equações fornece o valor de M p. É mportante observar que o momento da dstrbução de tensões deve ser sempre calculado em relação ao exo x 1 e não em relação à lnha neutra plástca. No caso da flexão smples (N = 0), onde a dstrbução de tensões é um sstema de forças equvalente a conjugado, o momento calculado em relação a qualquer exo paralelo ao exo x 1 é o mesmo, pelo que é geralmente mas fácl calculá-lo relatvamente à lnha neutra plástca. Tal não é possível em flexão composta. Segue-se um exemplo de aplcação. Exemplo: Na vga em T consderada anterormente, pretende-se determnar o momento plástco reduzdo, admtndo que o esforço axal vale N = 5a σ c (compressão). 5a σ c a y = 9 18a a M p = M p,n + N p(d y) G d = a a M p,n N p 4a N N + a p p a σ c Face à compressão elevada, é razoável supor que a lnha neutra plástca corta a alma. Então, recorrendo à equação do esforço normal, determna-se a sua posção, havendo que confrmar que d está efetvamente stuado entre a e 5a. Depos calcula-se o momento da dstrbução de tensões em relação ao centro de gravdade da secção recorde-se que y = 9 18a = 1,611 a. N p = 5a ( σ c = σ c 4a + ad ) + σ c (5a d) a d = a ( M p = a σ c (4a y) a σ c (a y) + 5a σ c y a ) = 86 9 a σ c = 9,56 a σ c Note-se que a segunda parcela é negatva, porque as compressões na parte superor da alma têm braço postvo. 15

16 Uma forma alternatva de calcular o momento plástco reduzdo passa por calcular prmero o momento em relação à lnha neutra plástca mas fácl de calcular pos as dstâncas são mas ntutvas de obter e as parcelas são todas postvas, e, no fnal, propagar o momento para o centro de gravdade tendo em conta o valor do esforço normal. ( M p,n = a σ c a + a σ c a + 5a σ c a + a ) = 16,5 a σ c M p = M p,n + N p(d y) = 16,5 a σ c 5a σ c (a 1,611 a) = 9,56 a σ c Qualquer dos procedmentos conduz ao mesmo valor do momento plástco reduzdo. Note-se que, ao contráro do que o adjetvo reduzdo pode levar a supor, nem sempre o valor do momento de plastfcação reduzdo M p é nferor ao do momento plástco M p. De facto, em secções não b-smétrcas o esforço axal é favorável sempre que tenha por efeto aproxmar a lnha neutra plástca do centro de gravdade da secção, de modo a que todas as tensões da dstrbução plástca contrbuam postvamente para o momento em torno de x 1. Exemplo: Na vga em T atrás consderada, determnar os esforços de plastfcação reduzdos correspondentes à lnha neutra plástca a passar no centro de gravdade da secção. Contnuando a desgnar por y = a a dstânca de G à fbra superor, tem-se N p ( = σ c 5a + a(y a) ) + σ c (5a y) a =, a σ c ( M p = 5a σ c y a ) (y a) (5a y) + σ c + σ c = 11,48 a σ c Observa-se que, neste caso, M p = 11,48 a σ c > 10,450 a σ c = M p. Na verdade, para esta secção, este valor de M p é o maor valor possível do momento resstente, o qual só é possível de moblzar com a atuação deste esforço axal N p =, a σ c. Se a secção for b-smétrca, é possível estabelecer uma equvalênca estátca entre partes do dagrama de tensões e cada um dos esforços de plastfcação reduzdos N p e M p. Basta consderar uma zona central do dagrama de tensões, compreendda entre a lnha neutra plástca e uma lnha que lhe é paralela dsposta smetrcamente em relação ao exo x 1, que é equvalente a N = N p e M = 0; ao mesmo tempo que as zonas perfércas do dagrama são estatcamente equvalentes a N = 0 e M p. O exemplo segunte tra partdo desta decomposção. Exemplo: Na vga em I representada, pretende-se determnar o momento plástco reduzdo, admtndo que o esforço axal vale N = 5a σ c (compressão). 5a σ c a N p a d d G M p a a + d N p a a + σ c a d No caso desta secção b-smétrca, há que dentfcar uma zona central, dsposta smetrcamente em relação ao exo x 1, que equlbre o valor de N = 5a σ c. A área da alma (a ) totalmente plastfcada é equvalente a uma força de compressão N = a σ c, sendo portanto nsufcente para absorver o esforço axal. Isto sgnfca que a lnha neutra plástca 16

17 corta o banzo nferor. Novamente, recorrendo à equação do esforço normal, determna-se a sua posção, caracterzada pela dstânca d, a qual estará forçosamente compreendda entre 0 e a. ara calcular o momento plástco M p basta multplcar a resultante das zonas perfércas pelo braço entre elas, já que a zona central não contrbu para o momento. N p = 5a ( σ c = σ c a + d 5a ) d = 0, a ( M p = 0,8 a 5a σ c a + 0,a + 0,8a ) = 0,4 a σ c Esta técnca faclta muto a análse da nteração entre esforço normal e momento fletor em secções b-smétrcas, mas é mportante ter presente que este tpo de decomposção de dagramas não é extensível a secções não smétrcas em relação ao exo x 1. Embora seja tentador dentfcar cada um dos esforços com uma parte do dagrama de tensões, não deve ser esquecdo que o prncípo da sobreposção não é váldo em problemas não lneares, pelo que mesmo a equvalênca estátca entre blocos de tensão e esforços, consderada na análse de secções b-smétrcas, deve ser encarada com alguma reserva. or exemplo, não deve ser dto que as tensões no bloco central são provocadas pelo esforço axal, já que tas tensões resultam da atuação smultânea dos dos esforços na secção. 4 Neste texto, com o ntuto de manter a complexdade num nível acetável, apenas se tem consderado o comportamento de secções smétrcas em relação ao exo x. Mas vale a pena abrr um parêntese e referr o comportamento de uma secção não smétrca em relação ao exo x mas smétrca em relação ao exo x 1, como, por exemplo, uma secção em «C». Se a determnação do momento plástco M p em flexão smples não põe qualquer dfculdade adconal, já o mesmo não acontece com o seu comportamento em flexão composta. De facto, não havendo smetra em relação a x, uma lnha neutra plástca subda paralela a x 1 é estatcamente equvalente à atuação de um esforço normal N e de um momento fletor M 1, mas também de um momento fletor M dferente de zero (o bloco central de tensões provoca momento em relação a x ). Ou seja, embora o exo x 1 seja um exo prncpal de nérca, no domíno elastoplástco a flexão composta, caracterzada pela atuação apenas de N e M 1, é necessaramente desvada...6 Dagrama de nteração de uma secção ara ter uma vsão mas geral do comportamento de uma secção transversal, é útl a construção de dagramas de nteração, mostrando numa curva qual a relação entre os esforços de plastfcação. No caso de secções com geometras complcadas, a tarefa de construção desses dagramas é mas adequadamente realzada através de calculo numérco. orém, para a secção retangular, de dmensões b h, é relatvamente smples obter analtcamente a curva de nteração. Em prmero lugar, recorde-se que os esforços de plastfcação (atuando soladamente), calculados na secção..4, são N p = bhσ c M p = bh 4 σ c Seja c a dstânca da lnha neutra plástca ao exo x 1, como se mostra na fgura 11. Como a secção é b-smétrca, a resultante das tensões pode ser calculada a partr do bloco de tensões central (de altura c), já que as tensões fora dessa zona central se anulam mutuamente. Tem-se 4 Não há, portanto, paralelo com o comportamento das secções em flexão composta elástca onde o dagrama de tensões σ = N + M x corresponde à sobreposção smples dos efetos devdos à atuação solada de cada um dos A I esforços. 17

18 b h h x 1 G N h c c c h c σ c + b ( h c) σ c bcσ c b ( h c) σ c ( 1 h + c) ( 1 h + c) M p N p σ c x Fgura 11: Determnação dos esforços de plastfcação reduzdos na secção retangular. então N p = bcσ c N p = c N p h (1) Em contrapartda, observa-se que o bloco central não contrbu para o momento em torno de x 1, pelo que, para calcular o valor de M p, basta entrar em conta com os dos blocos de tensão (superor e nferor) equvalentes a um bnáro gual a ( ) ( ) ( ) h M p = b c 1 h h σ c + c = b 4 c σ c M p = 1 4c M p h ( N = 1 p onde, na últma passagem, se teve em conta (1). Se qusermos que a expressão de nteração plástca seja válda ndependentemente dos snas dos esforços N p e M p, somos conduzdos à segunte expressão M p M p ( N ) + p = 1 a qual descreve as duas parábolas representadas no dagrama da fgura 1. É nteressante também calcular as combnações N M assocadas à prmera cedênca, sto é a frontera do domíno elástco. Igualando a tensão máxma em valor absoluto à tensão de cedênca, tem-se σ max = N A + M W = σ c N Aσ c + M W σ c = 1 N N c + M M c = 1 o que, tendo em conta que para esta secção se tem N c = N p e M c = Mp 1.5, corresponde às quatro retas também representadas na fgura 1. Vale a pena acrescentar que, atendendo à forma parabólca do dagrama de nteração plástca, se o esforço normal é pequeno em relação ao esforço normal de plastfcação, o momento plástco reduzdo é muto próxmo do momento plástco, sendo justfcável a não consderação da nteração. De facto, para a secção retangular, se N N p < 0,1, a redução do momento plástco é nferor a 1%. O próxmo exemplo lustra como o dagrama de nteração pode ser usado para calcular a carga de colapso de uma estrutura sostátca. N p N p ) 18

19 N N p = N c lástco Elástco-plástco M M c M p Elástco Fgura 1: Dagrama de nteração plástca e elástca da secção retangular. Exemplo: Determnar o valor da carga de colapso na consola representada na fgura. A secção é retangular com as dmensões ndcadas e a tensão de cedênca vale σ c = 40 Ma. 10 o 0, m,0 m 0,1 m Nesta estrutura sostátca, na secção de encastramento (onde os esforços são máxmos), temse N = cos(10) e M = sn(10). Os esforços de plastfcação são Tem-se então, M p M p N p N p = Aσ c = 0,1 0, = 700 kn M p = Zσ c = 0,1 0, = 540 knm ( N ) ( ) + p = sn(10) cos(10) = 1 = 1017 kn 700 A solução postva desta equação de segundo grau, conduz a = 1017 kn. Apesar de a carga ser aplcada quase na horzontal, observa-se que o esforço axal está muto longe de N p. De facto, para a carga de colapso tem-se N N p 1017 cos(10) = 700 = 0,14. Se se tvesse gnorado o efeto do esforço axal, tnha-se smplesmente M p = sn(10) 540 = 1 = 107 kn M p ara outras formas de secção, é geralmente mpossível condensar o dagrama de nteração numa só equação como se fez aqu para a secção retangular. Mas se a geometra for relatvamente smples (secções em I ou T) não é muto complcado obter expressões analítcas sob forma paramétrca, tomando para parâmetro a dstânca da lnha neutra plástca a uma lnha de referênca, havendo, naturalmente que dstngur város domínos a que correspondem expressões dferentes. Este procedmento é exemplfcado no exemplo que se segue. 19

20 Exemplo: Determnar o dagrama de nteração para a vga em T consderada anterormente. Nesta secção, há que consderar duas possbldades: ou a lnha neutra plástca atravessa o banzo ou atravessa a alma. Sejam d 1 e d os parâmetros correspondentes a essas duas stuações, como se esquematza na fgura anexa. a 5a y = 9 18 a G d 1 σ c σ c 4a a N p d + σ c + σ c Utlzando os procedmentos descrtos anterormente, o cálculo dos esforços de plastfcação para cada uma dessas stuações conduz a ( ) N p = σ c 5ad 1 + σ c 5a (a d 1 ) + σ c 4a = σ c 9a 10ad 1 0 < d 1 a M p,n = σ c5a d 1 + σ c 5a (a d1) + σ c 4a ( 4a + a d ) 1 M p = M p,n + N ( ) p(d 1 y) = σ c 5ad a d 1 0 < d 4a M p,n N p = σ c 5a σ c a (4a d ) + σ c ad = σ c ( 9a + ad ) = σ c5a ( a + 4a d ) + σc a (4a d) + σ c a d M p = M p,n + N ( ) p(5a y + d ) = σ c ad a d Atrbundo agora sucessvos valores a d 1 e depos a d é possível traçar o dagrama de nteração que se apresenta em baxo. As expressões apresentadas atrás só são váldas para momentos postvos, mas para traçar as curvas para momentos negatvos basta trocar as trações com as compressões, pelo que ambas as expressões (N p e M p) trocam de snal (ou seja, o dagrama exbe uma smetra de rotação). N N p 0 d 1 a M p M M p ponto de transcão entre expressões d 1 = a; d = 4a momento máxmo N p 0 d 4a Estão ndcados os pontos notáves calculados anterormente: esforços de plastfcação, ponto que corresponde ao momento máxmo e anda o ponto de transção entre as curvas paramétrcas calculadas. Observa-se que o dagrama de nteração não é smétrco, no sentdo em que compressões aumentam a resstênca plástca a momentos postvos e, pelo contráro, a tração é benéfca para a atuação de momentos negatvos. 0

21 . Flexão composta de materas não resstentes à tração. Tensões de contacto em fundações dretas Nesta secção consdera-se o comportamento de materas cujo comportamento à compressão é elástco lnear mas que não são resstentes à tração. ara estes materas, a relação consttutva unaxal é a representada na fgura 1. É mportante observar que, apesar dos troços lneares, σ E 1 ε Fgura 1: e consttutva unaxal de um materal não resstente à tração. esta relação consttutva é, no seu conjunto, uma relação não lnear. or exemplo, o prncípo da sobreposção não se pode aplcar porque, em geral, os pontos materas à tração e à compressão varam de solctação para solctação. Uma das stuações onde este modelo de comportamento materal é muto utlzado é na análse do contacto de uma fundação dreta (sapata) com o terreno. 5 De facto, podemos admtr que o terreno de fundação reage elastcamente às pressões transmtdas pela sapata, mas não devemos, obvamente, consderar que o terreno seja capaz de resstr a trações. De facto, sempre que uma parte da sapata tenha tendênca a levantar, descolará do terreno e a tensão de contacto é nula. Note-se, alás, que é mpossível equlbrar um esforço axal postvo ou mesmo nulo (se exstr momento) or esta razão, só faz sentdo estudar o comportamento destes materas à flexão composta com compressão. Consdere-se então uma sapata retangular de dmensões b h que deverá transmtr à fundação um esforço axal de compressão N (como só faz sentdo consderar compressões, não se utlza a convenção habtual de consderar a compressão negatva) e um momento fletor M ver fgura 14. Note-se que os esforços deverão ser calculados em relação à base da sapata, pelo que, conhecdos os esforços na base do plar, é habtualmente necessáro somar ao esforço axal o peso própro da sapata e somar ao momento o produto do esforço transverso pela altura da sapata, processo esse esquematcamente ndcado na fgura 14. V 1 N 1 M1 e = M N N = N 1 + N z N = M = M 1 + V 1 z V = V 1 = V N Fgura 14: Sapata. Tendo em conta o comportamento não lnear da fundação, é convenente substtur a força N e o momento M, por uma únca força, cuja lnha de ação passa no centro de pressões, cuja 5 O modelo de cálculo é também adequado para descrever materas, como o betão smples, cuja resstênca à tração, embora não nula, seja sufcente pequena para poder ser desprezada. Mas não é muto nteressante analsar o comportamento do betão fora do contexto das secções de betão armado e, neste texto de ntrodução ao comportamento não lnear, optou-se por não abordar as secções heterogéneas. 1

22 h h 6 h 6 b NC C σ max σ med e h e ( ) e h 6 N σ max e h ( ) e h 6 σ max ( h e) Fgura 15: Tensão máxma na fundação em função da excentrcdade do esforço axal. excentrcdade vale e = M N. Como é conhecdo do estudo da flexão lnear, se o centro de pressões estver dentro do núcleo central, toda a secção estará submetda a tensões do mesmo snal. Neste caso, sto sgnfca que, se e h 6, a base da sapata está toda à compressão, pelo que é rrelevante a não resstênca à tração e o dagrama de tensões é lnear, sendo o seu valor máxmo (em valor absoluto) dado por σ max = N A + M W = N bh + Ne bh 6 = N bh ( 1 + 6e ) ( = σ med 1 + 6e ) h h or outro lado, se e > h 6, apenas uma parte da base da sapata estará em contacto com o solo. Neste caso, a dstrbução de tensões é um trângulo, cuja resultante é estatcamente equvalente à força N atuando com excentrcdade e. Como a dstânca do centro de gravdade do trangulo ao ponto mas comprmdo vale h e, a base do trangulo deverá ter por comprmento o trplo desse valor. Igualando o esforço axal N à resultante do trangulo conclu-se então que N = 1 b ( h e ) σ max σ max = N b ( h e) A varação da tensão máxma na fundação em função da excentrcdade, expressa pelas duas expressões obtdas, está representada na fgura 15.

23 .4 Análse elastoplástca de uma secção retangular..4.1 Curva momento-curvatura A análse da evolução do dagrama de tensões de uma secção genérca submetda à flexão smples, levada a cabo na secção.., só fo quantfcada em termos dos valores notáves do momento, M c e M p. O que agora se pretende é obter a expressão exata da curva momentoscurvatura no caso da secção retangular, mas smples de analsar. Na fase elástca tem-se, bem entenddo, a expressão lnear M = EI 1 R (M M c ) (1) a qual é válda até se atngr o momento de cedênca M c, o qual corresponde à curvatura de cedênca 1 R c = Mc EI. ara momentos superores ao momento de cedênca, a lnha neutra permanece no exo x 1, por ser um exo de smetra desta secção. Assm, quando a secção está parcalmente plastfcada, o dagrama de tensões é da forma representada na fgura 16, onde e denota a dstânca da frontera entre a zona plástca e a zona elástca, relatvamente ao exo x 1. b h h x 1 σ c h e G x e e e h e ( 1 h + e) x x σ c Fgura 16: Dstrbução de tensões numa secção retangular na fase elastoplástca. ara os pontos com x = e, estando no lmte da regão elástca, tem-se σ = Eε = E e R = σ c e R = σ c E (14) Na cedênca, tem-se e c = h, valor que va dmnundo até e = 0, à medda que a secção plastfca progressvamente. Como na últma equação de (14), o últmo membro é constante, pode escrever-se e R = e c R c = h R c e h = 1 R c 1 R (15) ou seja, na fase elastoplástca, a dmensão da zona elástca é nversamente proporconal à curvatura 1 R.6 O momento resultante das tensões representadas na fgura 16 é [( ) ( ) h M = b e 1 h σ c + e + 1 ] ( ) ( eσ h c e = bσ c 4 e = bh 4 σ c bh 1 σ c 6 A exposção fcara um pouco mas clara se se atrbuísse à curvatura um símbolo própro, por exemplo, χ = 1, R em vez de a representar como o nverso do rao de curvatura. Nesse caso, ter-se-a expressões mas smples, tas como M = EIχ ou e. Mas preferu-se manter a notação utlzada anterormente. = χc h/ χ e h )

24 Usando o facto de M p = bh 4 σ c e de a dferença entre o momento plástco e o momento de cedênca ser dada por M p M c = bh 4 σ c bh 6 σ c = bh 1 σ c, em conjunto com a gualdade obtda em (15), obtém-se fnalmente M = M p (M p M c ) ( 1 R c 1 R ) (M c M < M p ) (16) Se calcularmos o declve desta curva no ponto de cedênca verfcaremos que concde com o declve do troço elástco, sto é com a rgdez de flexão elástca EI, dm d( 1 R ) 1 R = 1 Rc = EI Isto sgnfca que não há ponto anguloso na transção do comportamento elástco para o elastoplástco, o que se compreende porque o espalhamento da zona plástca é gradual. A curva momentos-curvatura completa, ncorpora as expressões (1) e (16), e está representada na fgura 17. Observa-se que está de acordo com a fgura geral apresentada na secção.., mas agora está devdamente quantfcada. ara outras secções, b-smétrcas ou não, as expressões serão mas complcadas mas os aspetos qualtatvos são preservados. M M p M m M M c C O 1 EI 1 R c 1 R r R 1 EI Fgura 17: Curva momentos curvatura de uma secção retangular. Carga e descarga. A lnha a traço nterrompdo corresponde ao modelo da rótula plástca. 1 R m 1 R.4. Descarga elástca. Tensões resduas. Como também representado na fgura 17, admta-se que, a partr de um ponto da fase elastoplástca, caracterzado pelo momento (máxmo) M m e curvatura 1 R m, se procede à descarga completa do momento aplcado à secção. De acordo com a relação consttutva elastoplástca (lembrar a fgura ), os pontos já plastfcados descarregam elastcamente. Numa secção b-smétrca, sto sgnfca que toda a secção se comporta elastcamente, não havendo necessdade de dstngur o comportamento da zona plástca do da zona elástca. 7 Na relação momentos curvaturas, sto traduz-se por uma descarga paralela ao troço elástco 1 com declve gual a EI, pelo que é relatvamente fácl obter o valor da curvatura resdual R r, correspondente ao ponto de descarga total, para o qual M r = 0. Escrevendo a equação (16), 7 Já numa secção não b-smétrca, na qual a lnha neutra plástca não concde com a elástca, sto não é verdade em geral. Nesse caso, exstem alguns pontos, na regão compreendda entre a lnha neutra plástca e a lnha neutra da descarga, que contnuam a sua progressão no patamar de cedênca. 4