3 Contínuo Generalizado

Transcrição

1 3 Contínuo Generalzado Um meo ontínuo lásso é omposto por partíulas, dstrbuídas de manera unforme, sendo ada uma delas representadas por um ponto, aqu denomnado de P. Este ponto materal possu oordenadas artesanas, que faz referêna a um sstema de eos ortogonas, sendo =1, e 3. Do ponto de vsto nemáto, o meo ontnuo lásso possu graus de lberdade assoados por vetores de desloamentos u, e a partíula do materal terá os graus de lberdade assoados a mro desloamentos e mro rotações. Nesta seção será apresentado omo a mroestrutura do materal pode ser levada em onsderação num meo ontínuo. Os prmeros a formalzarem a teora foram os rmãos Cosserat [31], e posterormente durante a déada de 60, Mndln [35], [36], [37] e [38] Mndln & Tersten [39] e Ergen [43] publaram estudos teóros a era do ontínuo generalzado, ada um om uma nemáta de partíula dstnta. Posterormente o meo om mroestrutura, também hamados de meo mromórfo, multpolares, entre outros, fo estudado sstematamente por German [8] através da aplação do prínpo do trabalho vrtual. Este onseguu formular matematamente através do PT a deorrêna de grandezas estátas através de equações onsttutvas que levam em onsderação a energa, trabalho, gerado pela nemáta da partíula. Durante a déada de 70 e 80, Cown & Nunzato [4], Erngen [44] e Mühlhaus [40] e [41] publaram estudo sobre o ontínuo generalzado om outras proposções a era da nemáta da partíula. Na teora que leva em onsderação a mroestrutura do materal, ada partíula anda é representada por um ponto P. Porém suas propredades nemátas são defndas sob um ponto de vsta mrosópo. Deste ponto de observação, o ponto P passa a ser defndo omo um ontínuo de pequena etensão CP) ao redor do ponto P.

2 44 Para a teora de Mndln [35], o materal lnear sotrópo possu 18 parâmetros, onforme desrto abao. Na teora da elastdade lássa o tensor onsttutvo do meo é sotrópo. Sendo assm os tensores de ordem zero ou nulos de qualquer ordem são sotrópos. Já os tensores de ordem mpar não são sotrópos e os de ordem par são epressos omo função lnear do delta de Kroneer para serem onsderados sotrópos. Por etensão da le de Hooe tem-se a segunte 33: S p p p m m pm m 33 Como os tensores m p, m, e p são de ordem mpar, estes não podem ser onsderados omo tensores sotrópos e por sto seus parâmetros não presam ser determnados. Devdo à ondção de sotropa a matrz dos tensores de parâmetros onsttutvos presa ser smétra, para sto, =. A segur são apresentados os tensores de ordem par, sotrópos, em função do delta de Kroneer, onforme equação 34 até 37. G1 G pm 36 p pm lm p lm p p m m pl m p m pm p pm lm 11 5 pl p m m 1 p 6 p m m 13 m pl 37 Como G1 G, 3 abao., e pm mp devdo à smetra,, 1 6, 9, 5 7 e 11 1, onforme demonstrado G1 G 38

3 45 G1 G G1 G G1 G G 41 1 ) G ) G ) ) G ) 44 G 1 G G 45 Por analoga hegam-se aos mesmos resultados para e. Então os parâmetros neessáros para materal lnear sotrópo são: e G, parâmetros lásso de Lamé, 1,, 1,, 3,,, 3 1, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 14 e 15. Das equações 33 até 37 e as ondções de smetra desrtas ama, as equações onsttutvas são: G 1 ) 46 S ) ) ) p 10 p 1 11 p p p p ) 13 p p 14 p p 15 p 3 p 4 p 5 p p 8 p Contínuo de Cosserat O ontínuo mropolar de Cosserat assume que a partíula CP) tem movmento de orpo rígdo. Conseqüentemente o tensor [] é puramente antsmétro e sto orresponde ao movmento de rotação ndvdual de ada partíula, omo onseqüêna e Fgura 5 abao. ] [ também é ant-smétro, onforme equação [ ]

4 46 P 1 CP) u P ) 1 ' Eos Cartesanos Globas Contínuo Marosópo Eos Loas Mroontínuo ' u P ) u C) Fgura 5 - Representação esquemáta do ontínuo mropolar. Segundo o modelo de Cosserat, este permte que o ontínuo marosópo se omporte omo um ontínuo lásso e ao mesmo tempo permte rotação lvres para o ontínuo mrosópo. Para representar as ondções nemátas menonadas ama assoadas em energa, para o trabalho vrtual das forças nternas, estem os seguntes tensores: o tensor onvenonal, tensões de Cauhy ), ou tensões marosópas, tensões mrosópas S ), ou tensões relatvas e segunda tensão mrosópa [] ), ou tensão dupla, pos [ ] é puramente ant-smétro. Para o trabalho vrtual das forças eternas de massa f ) e superfíe T ), a força dupla da massa [] ) e a força dupla de superfíe M [] ), ambas ant-smétras á que [] é puramente ant-smétra. Além dsto, no ontínuo de Cosserat, para o materal lnear sotrópo é neessáro defnr mas dos parâmetros além dos neessáros para o ontínuo lásso. O prmero é o módulo de salhamento ant-smétro ou rotaonal G) e o segundo é o módulo de fleão B ). O módulo de salhamento rotaonal ontrola a nfluêna da partíula nas dstrbuções de tensões da maroestrutura. O módulo de fleão relaona-se a própra fleão da partíula e de seu momento,

5 47 rotação e urvatura nduzdas. Como a dmensão desta grandeza orresponde à força, sendo assm a razão desta om qualquer outro módulo tem dmensão de omprmento ao quadrado. Daí o fato de que o módulo de fleão ser uma medda ndreta do omprmento araterísto da partíula, ou da mroestrutura. Os rmãos Cosserat ntroduzram o oneto de tensões de Cosserat, 50, desrta omo tensor total, anterormente, que é também dvdo agora em parela smétra e ant-smétra, onforme equação 51 e 5. S 50 S 51 ) ) S 5 [ ] [ ] O gradente relatvo é assmétro, porém sua parela smétra é gual à deformação marosópa, e o mesmo é um tensor smétro, daí ) ), pos [] é puramente assmétro. 53 ) ) 54 [ ] Da equação 53 e da ondção de smetra tem-se: G 1 55 Da 47 e da ondção de smetra, e dvdndo o tensor mrosópo assmétro na parela smétra e ant-smétra, tem-se: S ) 56 ) 1 1 ) 3 S 3) 57 [ ] [ ] Substtundo na equação 51 a equação 53, 55 e 56 têm-se:

6 48 ) ) 1 1) G Substtundo na equação 5 a 57 tem-se: [ ] [ ] ) 3 59 Do prnípo dos trabalhos vrtuas, tem-se para um meo que oupa um volume e uma frontera, o trabalho vrtual das forças nternas W ): W { S ) S [ ] [ ] ) d 60 Substtundo as equações 51 e 5 na equação 60 temos: W ) [ ] ) d 61 [ ] [ ] Aplando a ntegração por partes: W { ) u [ ] [ ] ) [ ] } d { ) un [ ] [ ] ) [ ] n } d 6 O passo segunte é ntroduzr o trabalho vrtual das forças eternas, que pode ser dvddo em trabalho vrtual devdo as forças eternas de massa e devdo as forças eternas de superfe, onforme prmero paragrafo do 3.1. Suas equações se enontram apresentadas abao. W E f u [ ] [ ] ) d 63 W E Tu M ) [ ] [ ] d 64 Como á eplanado anterormente podemos gualar dretamente os oefentes do trabalho vrtual devdo as forças eternas e nternas de massa. Assm temos as seguntes equações de equbro e ondções de ontorno: f ) [ ] [ ]

7 49 T n 67 M [ ] [ ] n Contínuo referente à Teora do º Gradente A teora do segundo gradente é obtda ao assumr que a partíula está sueta a mesma deformação que o ontínuo marosópo. Com sto o mesmo é váldo, entre a deformação da partíula e do ontínuo marosópo, parte smétra, e a rotação da partíula e do ontínuo marosópo, parte ant-smétra, onforme equações 69, 70 e 71. u ) ) 71 [ ] [ ] Como as deformações e rotações da partíula são as mesmas do ontnuo marosópo, não há mas grandezas relatvas e as tensões assoadas a esta grandeza tornam-se ndetermnadas. Como o tensor relatvo de terera ordem, defne a varação do tensor de segunda ordem. Tanto da sua parela smétra quanto da ant-smétra, ou sea, o gradente, referente à rotação e deformação da partíula, onde om o gradente, referente à rotação e deformação do ontnuo marosópo. Então o tensor relatvo de terera ordem orresponde à segunda dervada do desloamento e da rotação do ontínuo marosópo, daí o nome da teora do segundo gradente, onforme 7 até 77. Como á eplanado rotação do ontínuo marosópo não é uma grandeza obetva e por sto não entrará nas equações onsttutvas. 7 ) )

8 50 75 ) u 76 u 77 Para representar as ondções nemátas menonadas ama assoadas em energa, para o trabalho vrtual das forças nternas, estem os seguntes tensores: somente o tensor onvenonal, referente ao ontínuo marosópo, denomnado de Cauhy ), o tensor mrosópo é ndetermnado S ), á que a grandeza relatva é nula devdo à ondção referente à equação 69, e o tensor duplo é smétro ), á que a parela ant-smétra [], maro rotação, não é obetva. Para o trabalho vrtual das forças eternas de massa e superfíe, estem forças: a força de massa f ) e a força de superfíe T ), ambos referentes ao tensor onvenonal do ponto de vsta marosópo, a força dupla da massa ) e a força dupla de superfíe M ) ), ambas smétras, pos são referentes ) ao tensor duplo, que devdo à equação 7, somente a parela smétra é uma grandeza obetva. Da equação 46 tomando a equação 7 em onsderação, as equações onsttutvas do ontnuo marosópo são as mesmas do ontnuo lásso: G 78 O tensor duplo smétro orresponderá: ) ) ) 79 Da equação 77 sabemos: 80 ) ) A relação entre pode ser desrta através de um tensor de 4ª ordem, á ) que as omponentes que de fato ontrbuem são as relações entre e. Para materal lnear e sotrópo, da teora da elastdade, sabemos que para desrever a relação entre dos tensores smétros são neessáros dos parâmetros ndependentes, onforme equação 81.

9 Então para desrever o materal sotrópo lnear são neessáros quatro parâmetros, G, 1e. Do prnpo dos trabalhos vrtuas, tem-se para um meo que oupa um volume e uma frontera, o trabalho vrtual das forças nternas W ): W ) d 8 ) ) Aplando a ntegração por partes: W { u } d { u n n d 83 } Substtundo na equação 83 a equação 79 e 80 tem: W { u u } d { un u n } d 84 Podemos esrever a equação de trabalho vrtual nterno para um volume e uma frontera da segunte manera: W { A u B } d E u n F u n } d 0 85 Para poder aplar dretamente a epressão do trabalho vrtual é neessáro esrever a parte esquerda da equação 85 de forma que apenas varáves ndependentes relaonadas ao desloamento vrtual apareçam. Então para obter a ntegral de volumes manpularemos a equação 85 da segunte forma: W { A B ) u d B n u d 0 86 Como a ntegral de volume é zero ndependente do valor de u, temos que: A B 0 87 Substtundo na equação 86 a equação 9 e 30, temos: A f S ) 88

10 5 B S 89 Esrevendo: 90 Por analoga om a equação 9 temos: f 0 91 Substtundo a equação 91 na equação 90 temos a segunte equação onsttutva: f ) 0 9 A ntegral de superfíe da equação 85 é apresentada abao: W { T u N Du )} d R u d 93 Onde: d é ntegral de lnha Da temos as seguntes ondções de ontorno naturas: T n D n ) n n D n ) 94 N l l n n 95 R n 96 Das ondões de ontorno naturas podemos pereber que é neessáro presrever a ondção de ontorno referente ao tensor onvenonal e ao tensor duplo untamente. O mesmo suede om as ondções de ontorno essenas á que u e são lnearmente dependentes um do outro. O problema de loalzação de deformações é dependente das ondções de ontorno estentes, porém estas não são de fá determnação. Sendo assm devdo às ondções nemátas propostas não há um grau de lberdade a mas omo no ontínuo de Cosserat, onforme equação 9, os graus de lberdade são os mesmos do ontnuo lásso e é neessáro presrever a

11 53 ondção de ontorno sobre a frontera referente ao tensor de Cauhy e ao tensor de forças duplas smétra, sem momento, pos o tensor duplo smétro é autoequbrado. Esta teora é apenas apresentada devdo à hpótese de que a partíula em questão apresenta movmento de orpo rígdo, devdo à dferença de rgdez entre o grão e o ontnuo, fato que não oorre nesta teora, além do que a rotação da partíula, parela ant-smétra, não este na teora, fato que para representar o omportamento de alguns meos granulares é mportante. 3.3.Contínuo referente à Teora das tensões-momento [] A teora das tensões-momento é obtda através da hpótese de que a partíula tem movmento de orpo rígdo, onforme equação 97, e que a mrorotação da partíula é gual à rotação do ontínuo marosópo. Devdo ao fato da partíula apresentar apenas movmento de orpo rígdo estem, o trabalho vrtual das forças nternas é onsttuído da parela do tensor onvenonal ), do tensor relatvo S ) e do tensor duplo, apenas a parte ant- smétra ). Como as rotações são dêntas da partíula e do ontnuo marosópo, o ) gradente relatvo só possu parela smétra ), onforme demonstrado entre as equações 98 e ) 98 ) [ ] [ ] [ ] u [ ] 99 u [] [ ] ) u ) u 103 Para um meo que oupa um volume e uma frontera, o trabalho vrtual das forças nternas é apresentado abao, utzando as onsderações menonadas

12 54 no parágrafo anteror, e da equação 0 e da equação 97 até 103, teremos o segunte trabalho vrtual nterno: W S ) [ ] [ ] ) d 104 S 105 S 106 ) ) S 107 [ ] [ ] Substtundo na equação 104 as equações 105, 106 e 107, teremos a segunte equação para trabalho vrtual nterno: W ) [ ] d 108 [ ] [ ] [ ] ) [ ] 0 [], Como fa ndetermnado e o termo referente à tensão total de Cosserat parela ant-smétra não ontrbu para o trabalho vrtual nterno, daí temos a segunte equação: W [ ] [ ] ) ) d 109 ntegrando por partes a equação 109 e utzando as equações 6 e 9 temos: W ) u d d ) u n d [ ] [ ] [ ] [ ] n d 110 Para poder aplar dretamente a epressão do trabalho vrtual é neessáro esrever a parte esquerda da equação 85 de forma que apenas varáves ndependentes relaonadas ao desloamento vrtual apareçam. Então para obter a ntegral será utzada a equação 86. Como a ntegral de volume é zero ndependente do valor de u, temos que: A B Substtundo na equação 110 a equação 9 e 30, temos:

13 55 A f ) 11 B [ ] [ ] 113 Esrevendo: ) [ ] [ ] 114 Por analoga om equação 9 temos: f Substtundo a equação 114 na equação 115 temos a segunte equação onsttutva: f [ ] [ ] ) ) A ntegral de superfíe da equação 85 é apresentada abao: W { T u N Du )} d R u d 117 Onde: d é ntegral de lnha Da temos as seguntes ondções de ontorno naturas: T n D n ) n n D n ) 118 N [ ] l l [ ] [ ] n n 119 [ ] R n 10 As ondções de ontorno essenas na teora de tensões-momento não podem ser presrta de manera desaoplada omo na teora de Cosserat, pos u [], e por sto não são ndependente, então é neessáro presrever uma ondção de ontorno que atenda ao tensor onvenonal e ao tensor duplo, no aso om momento, parela ant-smétra. O mesmo oorre nas ondções de ontorno naturas. E pelo mesmo problema menonado na teora do segundo gradente, estas ondções de ontorno não são de fá determnação.

14 56 Na teora de Cosserat é nserdo um grau de lberdade a mas, fato que não oorre na teora das tensões-momento, onforme equação 116, assm omo na teora do segundo gradente.