CONTROLO ACTIVO DE UMA PLATAFORMA VIBRATÓRIA PARA EXCITAÇÃO SÍSMICA DE MODELOS LABORATORIAIS

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1 CONTROLO ACTIVO DE UMA PLATAFORMA VIBRATÓRIA PARA EXCITAÇÃO SÍSMICA DE MODELOS LABORATORIAIS Carlos MOUTINHO Assstente FEUP Porto Álvaro CUNHA Prof. Assoado Agregado FEUP Porto Elsa CAETANO Professor Auxlar FEUP Porto SUMÁRIO Neste artgo desreve-se a mplementação de um sstema de ontrolo atvo aplado ao funonamento de uma mesa vbratóra destnada à extação sísma de modelos laboratoras de esala reduzda. A utlzação de um sstema de ontrolo deste género tem omo objetvo tentar mpor à mesa um movmento prevamente defndo, o qual é fortemente ondonado pela nteração entre a plataforma e o modelo laboratoral, bem omo por fenómenos de natureza aleatóra assoados à realzação de ensaos expermentas. Desreve-se o funonamento e mplementação em LabVIEW do sstema de ontrolo atvo proposto, e ompara-se a efêna obtda tendo por base duas estratéga de ontrolo dstntas. 1. INTRODUÇÃO Na análse expermental do omportamento dnâmo de modelos reduzdos de estruturas, é por vezes neessáro realzar repetdas experênas, prourando-se, em ada uma delas, manter as mesmas ondções de ensao, partularmente no que dz respeto à aplação de uma ação espeífa prevamente defnda. No aso onreto de uma plataforma vbratóra para a aplação de ações sísmas, a natureza aleatóra de alguns parâmetros nerentes ao própro ensao e a modfação ntroduzda pela nteração entre o modelo e a plataforma, fazem om que seja dfíl reproduzr om rgor a mesma extação de uma forma sstemáta. Nestes asos, pode reorrer-se a um sstema de ontrolo atvo que, em ada ensao, mponha à plataforma o

2 612 SÍSMICA 24-6º Congresso Naonal de Ssmologa e Engenhara Sísma movmento pretenddo. Um sstema de ontrolo deste tpo é geralmente onsttuído por um omputador dgtal, o qual, om base na resposta da plataforma ontnuamente medda através de transdutores e om o apoo de uma determnada estratéga de ontrolo, defne a força a aplar à plataforma de tal forma que esta sga uma trajetóra prevamente defnda. Neste ontexto, este artgo tem omo prnpal objetvo desrever a oloação em funonamento de uma plataforma vbratóra destnada à extação sísma de modelos laboratoras omandada por um sstema de ontrolo atvo reorrendo-se para o efeto a duas estratégas de ontrolo dstntas. No sentdo de omprovar a real efáa do sstema de ontrolo mplementado, apresentam-se estudos omparatvos que evdenam o grau de proxmdade entre o movmento pretenddo para a mesa vbratóra e o observado expermentalmente. 2. CONTROLO ACTIVO DA MESA VIBRATÓRIA 2.1. Esquema de funonamento Generamente, um sstema de ontrolo atvo tem omo objetvo atuar em tempo real sobre um dado sstema dnâmo, de modo que a evolução temporal da sua resposta sga uma trajetóra prevamente defnda, sendo para o efeto utlzado um ontrolador apaz de possbltar a determnação de um onjunto de forças de ontrolo, por forma a que se obtenha o omportamento pretenddo. O esquema de funonamento de um sstema deste tpo está ndado na Fgura 1. Neste aso, o ontrolador onhee, em ada nstante, os valores da resposta obtda através de um sstema de realmentação ( feedbak ), alulando, a partr deles, as forças ontroladoras adequadas, tendo por base uma estratéga de ontrolo que proure atngr a resposta desejada. Essas forças podem ser apladas ao sstema por ntermédo de atuadores que, em tempo real, nterpretam o snal de ontrolo gerando as orrespondentes ações ontroladoras. Smultaneamente, a resposta do sstema é ontnuamente medda através de sensores e, em ada nstante, transmtda ao ontrolador o qual pode ser analógo, aso todos os nstrumentos e dspostvos sejam de natureza analóga, onduzndo à geração de um snal de ontrolo ontínuo no tempo, ou então dgtal, sendo o snal de ontrolo, neste aso, de natureza dsreta. O enorme desenvolvmento dos omputadores dgtas oorrdo nos últmos anos levou a que, na atualdade, os ontroladores utlzados tenham predomnantemente arater dgtal, onsttundo uma solução mas atratva fae aos ontroladores analógos, partularmente no que dz respeto ao usto, apadade de memóra e presão. EXCITAÇÃO ACTUADORES FORÇA DE CONTROLO SISTEMA SENSORES RESPOSTA SINAL DE CONTROLO CONTROLADOR REALIMENTAÇÃO RESPOSTA DESEJADA Fgura 1: Esquema de funonamento de um sstema de ontrolo atvo om realmentação

3 Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 613 A estratéga de ontrolo adoptada pelo ontrolador, além de ser ondonada pela natureza ontínua ou dsreta do snal, é também dependente da exstêna de um modelo numéro apaz de fazer estmatvas da resposta dnâma do sstema, tendo em vsta a geração do snal de ontrolo. Se a estratéga de ontrolo norporar o modelo do omportamento do sstema, pode fazer prevsões da resposta e atuar antepadamente na orreção do snal de ontrolo, de modo a garantr que a resposta efetva se aproxme tanto quanto possível da desejada. Assm, neste trabalho prourou-se mplementar o sstema de ontrolo atvo da mesa vbratóra, utlzando para o efeto duas estratéga de ontrolo dstntas, quer em termos da natureza ontínua ou dsreta do snal, quer em termos da dsponbldade de um modelo numéro do sstema que traduza o omportamento dnâmo do sstema, apresentando-se as respetvas formulações nos pontos seguntes Estratégas de ontrolo Controlo Proporonal Integral Dferenal (PID) Uma das estratégas de ontrolo que se adoptou neste trabalho é referda omo sendo uma das mas utlzadas no domíno da engenhara do ontrolo de sstemas, partularmente nos dversos ramos da engenhara meâna, aeronáuta e eletroténa [4], desgnando-se de ontrolo Proporonal Integral Dferenal. Esta estratéga gera um snal de ontrolo que é proporonal ao erro, à dervada do erro e ao ntegral do erro ao longo do tempo, sendo o erro a dferença entre a resposta do sstema e uma dada resposta de referêna. A sua formulação é desenvolvda em tempo ontínuo e a força de ontrolo é gerada sem que neessaramente exsta um modelo numéro do omportamento do sstema dnâmo, sendo a sua aplação deal em sstemas estruturas om pouos graus de lberdade. Na Fgura 2, enontra-se ndado o dagrama de bloos do funonamento de um sstema deste género [5], no qual todas as operações matemátas se expressam no domíno da frequêna utlzando a transformada de Laplae. Na função de transferêna do ontrolador, G (s), que estabelee no domíno da frequêna a relação determnísta entre o erro e o snal de ontrolo, fguram as onstantes K p, K e K d, que orrespondem aos ganhos assoados ao erro, dervada do erro e ntegral do erro ao longo do tempo, respetvamente. Estas onstantes determnam e efêna do ontrolador e podem ser fxadas reorrendo a dversos métodos [4], sendo usual o seu ajuste através de proessos empíros baseados na observação dreta da resposta ontrolada. No proesso de determnação das onstantes há que ter em onta que, enquanto que a varação dos valores de K p e K d nfluena o desempenho do ontrolador fae a respostas transentes, a varação da onstante K d afeta sobretudo a sua efáa fae a respostas estaonáras. EXCITAÇÃO R ( s) REFERÊNCIA E a( s) + Σ ERRO - G ( s ) =K + 1 p K s + K d s FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONTROLADOR U ( s) SINAL DE CONTROLO H 2( s) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO ACTUADOR D ( s) + F ( s) + Y ( s) Σ G p( s) FORÇA DE CONTROLO RESPOSTA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA H 1( s) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SENSOR Fgura 2: Dagrama de bloos do funonamento de um sstema dotado de um ontrolador PID

4 614 SÍSMICA 24-6º Congresso Naonal de Ssmologa e Engenhara Sísma Controlo predtvo A estratéga de ontrolo predtvo é formulada em tempo dsreto, prourando-se, através do modelo numéro do sstema, prever em ada nstante kt, sendo k um ntero e T o ntervalo de dsretzação temporal, a resposta do sstema num determnado nstante posteror (k+λ)t, sendo λ um ntero desgnado por onstante de prevsão. O ntervalo de tempo [kt, (k+λ)t ] desgna-se ntervalo de prevsão. Esta estratéga onsste em saber qual a sequêna de valores da força de ontrolo apaz de produzr uma determnada sequêna de respostas desejadas ao longo ntervalo de prevsão. O número de varáves envolvdas neste problema pode ser substanalmente reduzdo se se adoptarem algumas smplfações nesta formulação [2]. Uma delas onsste em se pretender aproxmar a resposta prevsta e a resposta desejada apenas no horzonte de prevsão, não se mpondo qualquer ondção de aproxmação em nstantes de tempo ntermédos. Outra smplfação possível onsste em adoptar uma sequêna de forças de ontrolo de ntensdade onstante ao longo do ntervalo de prevsão, de tal forma que, da sua aplação a partr do nstante kt resulte a resposta desejada no nstante (k+λ)t. Ou seja, a estratéga de ontrolo passa smplesmente a ter omo objetvo a determnação, em ada nstante de tempo kt, da sequêna de forças de ontrolo onstantes a aplar ao sstema, de modo que a sua resposta seja a desejada no horzonte de prevsão (k+λ)t. Sendo esta estratéga aplada em ada nstante de tempo dsreto, há que ter em onta que enquanto o nstante kt orresponde a uma stuação realmente verfada, o horzonte de prevsão (k+λ)t representa um ntervalo de tempo de natureza ftía, onde se mplanta a estratéga de ontrolo. Assm, a sequêna de forças de ontrolo surge omo um artfío, na medda em que apenas o seu prmero valor se apla efetvamente sobre o sstema. Na verdade, ao passar-se em tempo real para o nstante (k+1)t, o horzonte de prevsão redefne-se e o algortmo de ontrolo projeta outra sequêna de forças, da qual apenas o seu prmero valor se apla novamente sobre o sstema, e assm suessvamente. A formulação da estratéga smplfada de ontrolo predtvo aplada ao ontrolo de sstemas estruturas lneares, tem omo base o prnípo da sobreposção modal, através do qual a evolução temporal da resposta de um sstema pode ser dado por = y( x, t) φ ( x) η ( t) (1) =1 em que y(x,t) representa a deformada da estrutura no ponto x e no nstante t, φ (x) araterza a onfguração do -ésmo modo de vbração e η (t) é a orrespondente oordenada modal uja evolução temporal determna a resposta do sstema. Exstndo uma extação exteror atuante, o movmento resultante apresenta duas omponentes, uma relatva à resposta em vbração lvre e outra relatva às vbrações forçadas, ou seja () t [ η () t ] l [ η () t ] f η = + (2) A resposta modal em vbração lvre depende das ondções nas traduzdas por η () e η& (), sendo dada por ξωt a ξωη () + & η () a [ η ( t) ] l = η () osω t + senω a t e (3) ω em que ξ é o oefente de amortemento do -ésmo modo de vbração, ω a respetva frequêna natural e ω a a orrespondente frequêna natural amorteda.

5 Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 615 Por sua vez, a omponente referente à resposta modal em vbração forçada pode ser quantfada através do ntegral Duhamel, resultando 1 = a m ω t ω τ [ η t ] f τ e ξ ( t ) a ( ) ( ) senω ( t τ dτ f ) (4) em que m é a massa modal assoada ao -ésmo modo de vbração e f representa a evolução temporal da orrespondente força modal. Dado que a estratéga de ontrolo predtvo é formulada em tempo dsreto e mplementada no horzonte de prevsão (k+λ)t, há que efetuar uma dsretzação da equação do movmento om ntervalos de tempo T e onsderar um ntervalo de tempo [kt,(k+λ)t]. Supondo onheda a resposta no nstante kt, pretende onheer-se a respetva evolução no nstante (k+λ)t. Ora, no aso partular do ontrolo atvo de uma plataforma vbratóra destnada à aplação de uma extação basal em modelos laboratoras, mporta mplementar esta estratéga relatvamente ao desloamento da plataforma, ondente om o da base do modelo, sendo este ondonado pelo movmento lvre do onjunto da plataforma e do modelo, e pelo movmento forçado devdo à força aplada pelo meansmo de funonamento da referda plataforma. Então, o desloamento estmado na base do modelo, ponto que se pode desgnar de x 1, resultante da aplação da equação do movmento em ada nstante relatvamente ao horzonte de prevsão, é dado por yˆ k+ λ 1 k+ λ 1 + k+ λ x1 ( x ) = yˆ ( x ) yˆ ( ) (4) ˆ 1 em que y k+ λ ( x ) é a omponente do desloamento estmado da plataforma devdo ao movmento lvre do sstema e yˆ k + λ ( x1 ) é a omponente estmada do desloamento devdo à vbração forçada. Relatvamente à ontrbução do movmento lvre do sstema, a onsderação das equações (1) a (3), tendo em onta a dsretzação temporal referda, assumndo ω a ω, e tomando omo sgnfatva a ontrbução para a resposta dos prmeros n modos de vbração, a estmatva desta omponente do desloamento, alulada no nstante kt relatvamente ao horzonte de prevsão (k+λ)t, é dada por n yˆ k+ λ ( x1 ) = φ = 1 ξωη ( kt) + & η ( kt ) ( x1 ) η ( kt)os( ω λt ) + sen( ω λt ) e ω ξωλt Nas mesmas ondções, as equações (1), (2) e (4) permtem obter a estmatva da omponente do desloamento relatva às vbrações forçadas yˆ n k+ λ ( x1 ) = φ ( x1 ) = 1 1 mω λt f ( τ ) e ξω (5) ( λt τ ) senω ( λt τ ) dτ (6) Assumndo que a força aplada pelo meansmo da mesa vbratóra é onstante no ntervalo de prevsão de valor f, o ntegral da equação anteror tem solução analíta [1], onduzndo à segunte equação mas smples n ξ [ e ωλt 1 ( osω λt ξ snω λt )] y x fˆ 2 1 ˆ k+ λ ( 1 ) = k φ ( x1) 2 + (7) m ω = 1

6 616 SÍSMICA 24-6º Congresso Naonal de Ssmologa e Engenhara Sísma Sendo todos os parâmetros ntervenentes nesta equação onstantes, om a exepção da força fˆ k, esta equação pode anda ser resrta na segunte forma yˆ λ x fˆ k+ ( 1 ) = k R λ (8) sendo R λ uma onstante dada por n 2 1 ξ T R φ x [ e ( ωλt ξ ωλt )] ω λ λ = ( 1) 1 os + sn (9) 2 = 1 mω Impondo o desloamento prevsto da plataforma no horzonte de prevsão yˆ k+ λ ( x1 ) gual a um desloamento desejado yk d + λ ( x 1 ) prevamente defndo, atendendo às equações (4) e (8), a força a aplar pelo meansmo da plataforma em ada ntervalo de tempo é dada por f k d k+ λ ( x1 ) yˆ k+ λ ( x1 y ) = (1) R λ 2.3. Implementação das estratégas de ontrolo em LabVIEW Tendo em vsta a mplementação expermental de um sstema de ontrolo atvo assoado ao funonamento de uma plataforma vbratóra destnada à extação sísma de modelos laboratoras, desrta na seção segunte, desenvolveram-se em LabVIEW dos programas dstntos para funonarem om ada uma das estratégas de ontrolo atrás referdas. Na Fgura 3, enontra-se representado o dagrama de bloos prnpal do programa desenvolvdo para ontrolo da plataforma utlzando um ontrolador Proporonal Integral Dferenal, ujo prnípo de funonamento se desreve na seção A extação sísma que se pretende reproduzr é dada sob forma de um fhero, no qual se araterza a respetva evolução temporal da le de desloamentos. Embora a estratéga seja formulada em tempo ontínuo, a olheta de snal é realzada utlzando um determnado ntervalo de dsretzação temporal, dado o aráter dgtal do omputador utlzado. Este fato porém, não é relevante para o desempenho do ontrolador, dado que a elevada frequêna de aqusção de snal onseguda pelos equpamentos atuas torna a ação de ontrolo equparável a um snal ontínuo. Após a letura da resposta da plataforma em ada nstante de tempo, o ontrolador alula o snal de ontrolo tendo por base a estratéga adoptada, e medatamente exeuta um onjunto de verfações de modo a garantr uma adequado funonamento do sstema de ontrolo. Uma das verfações onsste em lmtar o valor da ampltude da força de ontrolo, aso este ultrapasse um valor prevamente defndo, evtando-se eventuas danos, quer no dspostvo de aplação de forças, quer no própro modelo laboratoral. A outra verfação onsste em deslgar medatamente o sstema de ontrolo, aso os desloamentos expermentados pela plataforma ultrapassem determnados lmtes prevamente estabeledos. Com este proedmento, pretende-se evtar hoques om as fronteras lateras da plataforma, ausados pela mposção de uma le de desloamentos que ultrapasse os lmtes físos de movmentação da plataforma, ou até, por uma eventual nstabldade do sstema de ontrolo. Estas verfações foram também mplementadas no programa desenvolvdo om base na estratéga de ontrolo predtvo desrta na seção 2.2.2, ujo dagrama de bloos prnpal está ndado na Fgura 4. Neste aso, a mplementação da estratéga pressupõe o onhemento, em ada nstante, das oordenadas modas assoadas a ada modo de vbração, tendo-se desenvolvdo para o efeto um estmador de estado que, a partr da resposta da estrutura ao nível da base e do pso, estme estes valores através da resolução de um sstema de equações algébras.

7 Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO 617 Fgura 3: Dagrama de bloos prnpal do Controlador Proporonal Integral Dferenal Fgura 4: Dagrama de bloos prnpal do Controlador Predtvo

8 618 SÍSMICA 24-6º Congresso Naonal de Ssmologa e Engenhara Sísma 3. DESCRIÇÃO DO MODELO E EQUIPAMENTOS UTILIZADOS Nesta seção, apresentam-se as prnpas araterístas da plataforma vbratóra e do modelo de ensao utlzados, e desreve-se uma experêna desenvolvda, baseada na aplação de váras ações sísmas na base de um sstema de 1-GL. O modelo ensaado orresponde a um pórto de 1 pso, onsttuído por uma massa em aço de 8,81kg, lgada à base por ntermédo de dos plares em alumíno om,18kg de massa, dmensões 6 3mm 2 e altura efetva 28mm (ver Fgura 5). O pórto fo oloado sobre uma plataforma vbratóra, onsttuída por um extador eletrodnâmo APS modelo 4 ELECTRO-SEIS, de funonamento undreonal, ao qual se adaptou um mesa em alumíno para suporte de modelos, sendo moblzada no total uma massa total de 12,32kg. Com o objetvo de medr ontnuamente a resposta da estrutura na base e no pso, o modelo fo nstrumentado om dos transdutores de desloamento da RDP, os quas permtem avalar o estado do sstema em ada nstante, reorrendo a um estmador de estado desenvolvdo no âmbto deste trabalho. Paralelamente, a reposta da estrutura fo também regstada em termos de aelerações, através de dos aelerómetros mnatura da PCB, posonados na base e no pso do modelo. A aqusção e proessamento de snal fo realzada utlzando o software omeral LabVIEW versão 6.1, om o auxílo de uma plaa de onversão analógo/dgtal de snal da Natonal Instruments. Para a geração do snal de ontrolo, fo utlzado um omputador dgtal, no qual se mplementou quer um ontrolador Proporonal Integral Dferenal, quer um ontrolador predtvo, desenvolvdos em LabVIEW. A ação de ontrolo orrespondente é exerda utlzando o extador eletrodnâmo, o qual gera uma força proporonal à orrente emtda por um amplfador entreposto entre o extador e o omputador dgtal. Fgura 5: Modelo laboratoral de um pórto de um pso sobre a plataforma vbratóra

9 Carlos MOUTINHO, Álvaro CUNHA, Elsa CAETANO VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DA EFICÁCIA DO SISTEMA DE CONTROLO A efáa do sstema de ontrolo atvo desenvolvdo fo testada expermentalmente através da aplação de váras ações sísmas na base no pórto desrto na seção anteror. Para o efeto, seleonou-se um onjunto de ssmos reas ujo regsto é onhedo, e tentou-se, para ada um deles, reproduzr a le de desloamentos orrespondente, tendo-se posterormente omparado a resposta efetva na base do pórto om a reposta desejada. A título de exemplo, apresentam-se na Fgura 6 os resultados obtdos no aso do ssmo de Frul, oorrdo a 6 de Mao de 1976, e na Fgura 7 os resultados para o aso do ssmo de Loma Preta oorrdo a 18 de Novembro de Como se pode onstatar, em ambos os asos se verfa uma grande proxmdade entre o regsto real do ssmo e a resposta da plataforma vbratóra omandada por qualquer dos dos sstemas de ontrolo propostos. d(m),4,3,2,1, -,1 -,2 -,3 -,4 REGISTO REAL CONTROLADOR PID CONTROLADOR PREDICTIVO t(s) Fgura 6: Comparação entre o regsto real e o meddo na plataforma (ssmo de Frul),2,1, REGISTO REAL CONTROLADOR PID CONTROLADOR PREDICTIVO d(m) -,1 -,2 -,3 -, t(s) Fgura 7: Comparação entre o regsto real e o meddo na plataforma (ssmo de Loma Preta) F(N) t(s) Fgura 8: Força de ontrolo alulada pelo ontrolador PID (ssmo de Frul)

10 62 SÍSMICA 24-6º Congresso Naonal de Ssmologa e Engenhara Sísma Embora nas Fguras 6 e 7 os regstos sejam pratamente ondentes, há que salentar alguns aspetos nteressantes que fam mpereptíves fae à esala dos gráfos. Por exemplo, o ontrolador PID tem maor dfuldade em responder a varações brusas do movmento do que o ontrolador predtvo. Tal deve-se ao fato de este ontrolador não dspor de um modelo do omportamento dnâmo do sstema, que permta prever tas varações, atuando antepadamente na orreção do snal de ontrolo para poder fazer fae a estas stuações. De fato, o ontrolador PID gera a ação de ontrolo medante a exstêna de erros, o que o torna relatvamente menos efaz que o ontrolador predtvo. Por outro lado, ao não onheer a resposta futura pretendda, este ontrolador faz permanentemente orreções à trajetóra, guado pela exstêna de erros e gerando forças de ontrolo em orrespondêna om esses erros, onduzndo a uma mudança onstante no sentdo da força de ontrolo. Este fato está bem patente na Fgura 8, a qual representa a evolução temporal da força de ontrolo exgda pelo ontrolador PID, resultante da smulação da resposta do ssmo de Frul. O ontrolador predtvo por seu turno, exere uma ação de ontrolo mas ntelgente, antepando a resposta pretendda e gerando uma força de ontrolo mas suave, onduzndo a uma resposta da mesa pratamente ondente om a desejada. Contudo, tem a desvantagem de exgr uma modelação rgorosa do omportamento do sstema dnâmo, por vezes dfíl de obter. 5. CONCLUSÕES Neste artgo desenvolveu-se um sstema de ontrolo atvo aplado ao funonamento de uma mesa vbratóra destnada à extação sísma de modelos laboratoras. O objetvo deste sstema é tentar mpor à plataforma um movmento prevamente defndo, o qual é ondonado pela nteração da plataforma om o modelo, bem omo por fenómenos de natureza aleatóra assoados à realzação de ensaos expermentas. Nesse sentdo, desenvolveu-se um sstema de ontrolo atvo apoado quer num ontrolador PID, quer num ontrolador predtvo smplfado, tendo-se mplementado os seus algortmos em LabVIEW. As experênas realzadas em torno da aplação de dversas ações sísmas a um modelo laboratoral de um pórto de 1 pso evdenaram a elevada efáa do sstema de ontrolo atvo, utlzando qualquer um dos ontroladores propostos. Apesar de não ser sgnfatvo, o ontrolador PID demonstrou ser relatvamente menos efente que o ontrolador predtvo, quer em termos da proxmdade entre a resposta desejada e medda, partularmente nas stuações de varações brusas do movmento, quer em termos da ampltude máxma da força de ontrolo. No entanto, tem o mérto de não neesstar da modelação numéra do sstema dnâmo para gerar a ação de ontrolo, ndspensável no aso do ontrolador predtvo. 6. REFERÊNCIAS [1] Clough, R.; Penzen, J. Dynam of Strutures. MGraw-Hll Internatonal Edtons, [2] Faló, X.; Aparo, A.; Barbat, A.; Rodellar, J. Control Atvo de Puentes Sometdos a Cargas de Tráfo. CINMNE Nº6, Barelona, 199. [3] Moutnho, C. Controlo Passvo e Atvo de Vbrações em Pontes Pedonas. Tese de Mestrado, FEUP, [4] Ogata, K. Modern Control Engneerng. Prente Hall, [5] Vu, Hung.; Ramn, E. Dynam Systems. MGraw-Hll Internatonal Edtons, 1998.