IBERÊ MARTINS DA SILVA

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1 IBERÊ MRTINS D SILV NÁLISE D REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS EM VIGS DE CONCRETO PROTENDIDO COM SEÇÕES COMPOSTS Dssertação apresentada à Esola Polténa da Unversdade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre em Engenhara Área de Conentração: Engenhara de Estruturas Orentador: Prof. Dr. Hdek Ishtan São Paulo 003

2 Este exemplar fo revsado e alterado em relação à versão orgnal, sob responsabldade úna do autor e om a anuêna de seu orentador. São Paulo, 7 de outubro de 003. Iberê Martns da Slva Hdek Ishtan FICH CTLOGRÁFIC Slva, Iberê Martns da nálse da redstrbução de esforços em vgas de onreto protenddo om seções ompostas / I.M. Slva. -- São Paulo, Edção Revsada. 74 p. Dssertação (Mestrado) - Esola Polténa da Unversdade de São Paulo. Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações..Conreto protenddo I.Unversdade de São Paulo. Esola Polténa. Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações II.t.

3 meus pas, Mlton e Celeste, que têm sdo a grande razão e o nentvo de meu aperfeçoamento téno, os quas, desde mnha tenra dade, lutaram, em sua smpldade, om todos os meos, para garantr mnha eduação. Uma longa vagem omeça om um úno passo. Lao Tsé

4 GRDECIMENTOS o amgo e orentador Prof. Dr. Hdek Ishtan pelas dretrzes seguras e pelo permanente nentvo, em onvívo e atenção quase paternas. mnha esposa Elsete pela ompreensão dos momentos famlares que foram revertdos em horas de trabalho. À Unversdade Santa Ceíla que, na fgura de seus oordenadores e dretores, sempre forneeu estímulo e onfança. o Prof. Dr. José Lourenço Braga lmeda Castanho, pela atenção e pelo auxílo, essenas no desenvolvmento deste trabalho. os Eng. Rubens Iassoo Shmzu e Eng. Vlson Hollo, pelo apoo e nentvo que mararam o nío da mnha arrera profssonal e aadêma. todos que, dreta ou ndretamente, olaboraram na exeução deste trabalho.

5 RESUMO No álulo das perdas progressvas de protensão, deorrentes da retração e da fluêna do onreto e da relaxação do aço de protensão, a norma NBR 68 presreve dos proedmentos smplfados, ndados para fase úna de operação, ou seja, quando se onsderam fases únas de onretagem, de arregamento permanente e de protensão; e o método geral de álulo, que permte onsderar ações permanentes apladas em dades dferentes, e tratar a seção transversal onsttuída de dversas amadas dsretas. Neste trabalho será desenvolvdo o método dos prsmas equvalentes, baseado no oneto das fbras onjugadas, e om a proposta de Trost-Bazant para onsderação de fluêna e retração dos materas. Possblta-se, assm, o álulo da redstrbução de tensões em qualquer seção, omo também da redstrbução de esforços em estruturas hperestátas devdo a deformações dferdas. Será feta a sstematzação do álulo para o aso usual da seção resultante de laje onretada sobre vga pré-moldada protendda, permtndo onsderar as dades dversas de onreto omo também as váras amadas de abos de protensão, e de armaduras passvas. análse de redstrbução de esforços em estruturas hperestátas será baseada nas mudanças de urvatura das seções provoadas pelos efetos progressvos. Será feta uma aplação a uma ponte em vga protendda ontínua de seção axão, onstruída pela anexação de no vãos suessvos.

6 BSTRCT When alulatng prestress tme-dependent losses, resultng from onrete shrnkage and reep, as well as from the relaxaton of prestress steel, the standard NBR 68 establshes two smple proedures. The are presrbed when operatng n sngle phase,.e., when onsderng sngle steps for onrete pourng, permanent load and prestress. The general method used n alulatons allows that permanent atons be appled to dfferent ages, and that the ross-seton onsttuted b several dsrete laers be handled. Ths work wll develop the method of equvalent prsms, based on the onept of reep fbers, usng the Trost-Bazant proposal when onsderng materal reep and shrnkage. Ths method allows alulatng the redstrbuton of tensons n an seton, as well as the redstrbuton of stranng n statall ndetermnate strutures, due to tme-dependent deformatons. The sstemat alulaton wll be developed for a normal ase of the resultng seton n ast-nplae slab over preast grder. Ths allows onsderng the dfferent ages of the onrete, as well as the multple laers of ables, and non-prestressed renforement. n analss of the stran redstrbuton n statall ndetermnate strutures wll be based on the urvature hanges n setons, whh are provoked b tme-dependent effets. n applaton wll be made to a brdge of prestressed ontnuous box grder, formed b the attahment of fve suessve spans.

7 SUMÁRIO LIST DE FIGURS LIST DE TBELS INTRODUÇÃO.... Pesqusa bblográfa... DEFORMÇÕES EM PEÇS DE CONCRETO Deformações dferdas no tempo Fluêna do onreto Retração do onreto Relaxação do aço de protensão nálse das estruturas sujetas a deformações dferdas no tempo Método de Trost-Bazant para onsderação da fluêna..... Consderação da retração e da relaxação NÁLISE DE TENSÕES EM SEÇÕES COMPOSTS ISOLDS 4 3. Cálulo pelo proesso dos esforços Equaonamento do proesso dos esforços Cálulo pelo método dos prsmas equvalentes Coneto de prsmas equvalentes Equaonamento do método dos prsmas equvalentes Exemplo numéro (aplação do método dos prsmas equvalentes) Montagem dos prsmas equvalentes Determnação dos esforços adonas Redstrbução de tensão e perdas de protensão... 30

8 4 NÁLISE DE ESFORÇOS EM ESTRUTURS HIPERESTÁTICS 3 4. Solução pelo proesso dos esforços plação do método dos prsmas equvalentes Exemplo numéro Stuações de álulo Cálulo da ª fase Cálulo da ª fase Cálulo da 3ª fase Cálulo da 4ª fase Cálulo da 5ª fase Cálulo da 6ª fase Vga ontínua em fase úna Perdas de protensão Redstrbução de tensão normal CONCLUSÃO LIST DE REFERÊNCIS... 7

9 LIST DE FIGURS Fgura. Fluêna do onreto... 8 Fgura. Deformação total... 9 Fgura 3. Seção transversal (nstante t o )... 5 Fgura 3. Esforços adonas na seção transversal proesso dos esforços... 5 Fgura 3.3 Convenção das ordenadas na seção transversal... 6 Fgura 3.4 Tensões na seção transversal... 9 Fgura 3.5 Coneto de prsmas equvalentes numa seção transversal plana... 0 Fgura 3.6 Esforços adonas na seção transversal prsmas equvalentes... 3 Fgura 3.7 Seção transversal do exemplo numéro... 5 Fgura 3.8 Redstrbução de tensão exemplo numéro... 3 Fgura 4. Varação do momento fletor numa vga ontínua de (m+) vãos Fgura 4. Posção das seções em ada vão (k) Fgura 4.3 Isostáta fundamental para vga ontínua de (m+) vãos Fgura 4.4 Seção tranversal no meo do vão exemplo numéro Fgura 4.5 Planta paral do tabulero exemplo numéro Fgura 4.6 Fases onstrutvas do exemplo numéro Fgura 4.7 Cabo de protensão equvalente Fgura 4.8 Dagrama de momento fletor g+p na ª fase Fgura 4.9 Dagrama de momento fletor g+p na ª fase Fgura 4.0 Dagrama de momento fletor g+p na 3ª fase... 4 Fgura 4. Dagrama de momento fletor g+p na 4ª fase... 4 Fgura 4. Dagrama de momento fletor g+p na 5ª fase... 4 Fgura 4.3 Dagrama de momento fletor g na 6ª fase... 4

10 Fgura 4.4 Dagrama de momento fletor para fase úna... 6 Fgura 4.5 Gráfo de perdas progressvas nas seções Fgura 4.6 Redstrbução de tensão na seção Fgura 4.7 Redstrbução de tensão na seção Fgura 4.8 Desenho esquemáto das seções transversas 5 e

11 LIST DE TBELS Tabela. Coefente de envelhemento k(t,t o ) Bazant... Tabela 3. Ordenadas dos prsmas exemplo numéro... 8 Tabela 3. Planlha de álulo para determnação dos esforços adonas... 9 Tabela 4. Evolução do módulo de elastdade do onreto Tabela 4. Coefente de fluêna e retração nas dversas dades Tabela 4.3 Coefente de fluêna equvalente para armadura atva Tabela 4.4 Momento fletor e tensões nas da ª fase... 4 Tabela 4.5 Tensões nas ponderadas da ª fase... 4 Tabela 4.6 Redstrbução de tensão da ª fase Tabela 4.7 Momento fletor e tensões nas da ª fase Tabela 4.8 Tensões nas ponderadas da ª fase Tabela 4.9 Coefentes de flexbldade da ª fase Tabela 4.0 Redstrbução de tensão da ª fase Tabela 4. Momento fletor e tensões nas da 3ª fase Tabela 4. Tensões nas ponderadas da 3ª fase Tabela 4.3 Coefentes de flexbldade da 3ª fase Tabela 4.4 Redstrbução de tensão da 3ª fase Tabela 4.5 Momento fletor e tensões nas da 4ª fase Tabela 4.6 Tensões nas ponderadas da 4ª fase Tabela 4.7 Coefentes de flexbldade da 4ª fase Tabela 4.8 Redstrbução de tensão da 4ª fase... 5 Tabela 4.9 Momento fletor e tensões nas da 5ª fase... 5 Tabela 4.0 Tensões nas ponderadas da 5ª fase... 54

12 Tabela 4. Coefentes de flexbldade da 5ª fase Tabela 4. Redstrbução de tensão da 5ª fase Tabela 4.3 Momento fletor e tensões nas da 6ª fase Tabela 4.4 Tensões nas ponderadas da 6ª fase Tabela 4.5 Coefentes de flexbldade da 6ª fase Tabela 4.6 Redstrbução de tensão da 6ª fase Tabela 4.7 Resumo de valores de momento fletor... 6 Tabela 4.8 Perdas de protensão progressvas nstante t 0000 das... 6 Tabela 4.9 Redstrbução de tensão normal nstante t 0000 das... 63

13 LIST DE BREVITURS E SIGLS CI meran Conrete Insttute CI 38 Buldng Code Requerments for Strutural Conrete 999 RI lta resstêna nal CEB Comté Euro Internaonal du beton CP90RB ço para onreto protenddo de baxa relaxação f ptk 900 MPa DIN Deutshes Insttut fur Normung EPUSP Esola Polténa da Unversdade de São Paulo EST Estaa IBRCON Insttuto Braslero do Conreto NBR Norma Braslera Regstrada NBR 68 Projeto de estruturas de onreto 003 NBR 797 Projeto de estruturas de onreto protenddo 989 PCI Preast and Prestressed Conrete Insttute SP000n Strutural nalss Program NonLnear Verson TRNSV Transversna

14 LIST DE SÍMBOLOS ε tot, deformação espeífa total do onreto ε deformação espeífa nal do onreto ε deformação espeífa por fluêna do onreto ε s deformação espeífa por retração do onreto ε s deformação espeífa por retração do onreto para tempo nfnto ε o,sup deformação espeífa na borda superor provoada pela tensão nal ε o,nf deformação espeífa na borda nferor provoada pela tensão nal r p r urvatura da seção transversal varação da urvatura da seção transversal tensão normal no onreto tensão normal no aço de protensão o,sup o,nf,sup,nf o tensão normal nal na borda superor da peça tensão normal nal na borda nferor da peça tensão normal no nstante t na borda superor da peça tensão normal no nstante t na borda nferor da peça tensão normal no prsma equvalente tensão normal nal no prsma equvalente varação de tensão normal no onreto p varação de tensão normal no aço de protensão,sup,nf N po N pf N N p N j varação de tensão normal na borda superor da peça varação de tensão normal na borda nferor da peça força normal nal de protensão da amada de abos força normal fnal de protensão da amada de abos força normal no prsma equvalente varação da força normal de protensão esforço normal progressvo na seção j

15 M M k,m M j X P P P o g g p I E E ef E p momento fletor momento fletor progressvo nos apoos ntermedáros de vga ontínua momento fletor progressvo na seção j esforços adonas força de protensão força de protensão aplada pelo equpamento de tração força de protensão no nstante nal arregamento permanente devdo ao peso própro arregamento permanente devdo aos omplementos área de onreto da seção transversal da peça área de aço de protensão da amada de abos área do prsma equvalente momento de néra da seção transversal da peça módulo de elastdade do onreto módulo de elastdade efetvo módulo de elastdade do aço de protensão rao de gração da seção transversal,sup ordenada da borda superor da peça,nf ordenada da borda nferor da peça z prot ( k ) j ordenada do entro de gravdade do prsma equvalente ordenada da amada de aço de protensão em relação à borda nferor x abssa da seção j do tramo k x j dstâna entre seções omprmento do tramo k de vga ontínua k u f k U t t o ψ perímetro externo da seção tranversal em ontato om o ar resstêna araterísta à ompressão do onreto umdade relatva do ambente nstante de tempo em estudo nstante de tempo nal índe de relaxação do aço de protensão

16 ψ 000 índe de relaxação do aço de protensão par t 000 horas q F j H j φ β s χ k a b ( k ) bb fator de onsderação da fluêna e do envelhemento fator para álulo da urvatura fator para álulo da urvatura oefente de fluêna oefente relatvo à retração oefente de fluêna equvalente oefente de envelhemento oefente de deformação longtudnal da seção transversal oefente de deformação angular da seção transversal f oefente de flexbldade do tramo k ( k ) f oefente de flexbldade do tramo k aa ( k ) f oefente de flexbldade do tramo k ab ( k ) f rotação na extremdade nal do tramo k oa ( k ) f rotação na extremdade fnal do tramo k f ob matrz de flexbldade M f o matrz de momentos fletores progressvos matrz de rotações

17 INTRODUÇÃO No álulo das perdas progressvas de protensão, deorrentes da retração e da fluêna do onreto e da relaxação do aço de protensão, são normalmente admtdas as hpóteses de aderêna plena entre armadura e fbra de onreto adjaente, de peça em estádo I (peça não fssurada), e de omportamento vso-elásto. norma NBR 68 [] presreve dos proedmentos smplfados e o método geral de álulo. Os proedmentos smplfados são ndados para fase úna de operação, ou seja, quando se onsdera fase úna de onretagem om a atuação smultânea da arga permanente e da protensão. Esta stuação mpõe as seguntes ondções: a onretagem da peça bem omo a protensão devem ser exeutadas em fases sufentemente próxmas para que os efetos reíproos possam ser desprezados; o afastamento dos abos é sufentemente pequeno em relação à altura da peça, de modo que possam ser tratados omo um úno abo equvalente. O método geral de álulo permte onsderar ações permanentes apladas em dades dferentes, e tratar a seção transversal onsttuída de amadas dsretas, om armadura posonada em váras amadas. Busemann [4] desenvolveu o método das fbras onjugadas que permte desaoplar as equações envolvdas na análse de tensões na seção transversal. Ferraz [] apresentou o método dos prsmas equvalentes, baseado no método das fbras onjugadas, e no método de Trost-Bazant para onsderação de fluêna e retração dos materas. Na análse usual de peças de onreto protenddo ostuma-se alular a redstrbução de tensões na seção ríta, onde o posonamento dos abos torna mas adequada a smplfação por abo úno equvalente da NBR 68. O método dos prsmas equvalentes abordado neste trabalho possblta o álulo da redstrbução de tensões em qualquer seção, assm omo já aontee om a verfação do estado lmte últmo à flexão. sstematzação do álulo será feta para o aso usual da seção resultante de laje onretada sobre vga pré-moldada protendda, onsderando as dades dversas de onreto omo também as váras amadas de abos de protensão, e de armaduras passvas.

18 Será apresentada, também, a utlzação deste método no álulo da redstrbução de esforços devdo a deformações dferdas em estruturas hperestátas. s pontes em vgas ontínuas protenddas onsttuem um exemplo típo destas estruturas. lguns autores apresentam soluções onsderando materal homogêneo omo pode ser vsto em Nevlle [5] e Ghal [6]. Neste trabalho será desenvolvdo o método geral de álulo de seções, apresentado por Ferraz [8], bem omo a análse de redstrbução de esforços a partr das mudanças das urvaturas das seções provoadas pelos efetos progressvos. Como aplação, será feta a análse de uma vga protendda ontínua de seção axão, onstruída pela anexação de no vãos suessvos.. PESQUIS BIBLIOGRÁFIC Nosso nteresse pelo tema de redstrbução de tensões normas tem sua orgem no trabalho Efeto da laje onretada posterormente sobre vga protendda apresentado na forma de boletm téno por Ferraz [], abordando o aso de onretagem posteror de laje sobre vga pré-moldada protendda para ração de um pso ou tabulero, freqüente em edfíos e pontes. Em onseqüêna deste aoplamento de materas, om araterístas, estados de tensão nas e dades dferentes, surgem alterações no quadro das tensões ao longo do tempo, determnadas pela retração e fluêna do onreto, e pela relaxação do aço. Neste trabalho, Ferraz apresenta o método dos prsmas equvalentes omo solução alternatva aos métodos vgentes, menos omplexa, e sem ntroduzr nenhuma smplfação. aplabldade do método dos prsmas equvalentes na onsderação das perdas progressvas de protensão proposta pela NBR 797 [], norma braslera para projeto de estruturas de onreto protenddo que vgorava no nío da pesqusa e fo substtuída em março de 003 pela NBR 68 [], norma braslera para projeto de estruturas de onreto, sem alterações substanas no tem tado, é apresentada em notas de aula por Ishtan [0], onsderando amadas de onreto om dades dferentes e amadas de armadura em város níves, atendendo ao aso geral da norma, e determnando a redstrbução de tensões normas devdo à fluêna e retração em seções paralzadas (estruturas sostátas).

19 3 Leonhardt [4], em seu lvro Conreto protenddo, qunto volume da oleção Construções de Conreto, apresenta no apítulo 3, de autora de H. Shade, os prnípos básos sobre a nfluêna da retração e da fluêna. Neste trabalho abordam-se retração e fluêna pela norma alemã DIN 47, sendo que a formulação geral do problema de deformações no onreto sob tensões varáves adota os estudos desenvolvdos por Dshnger para o álulo das perdas de protensão, bem omo o método de Trost-Bazant (oefente de envelhemento) nos efetos da deformação dferda para os materas. Na onsderação de seções ompostas utlzase o método das fbras onjugadas proposto por Busemann, que onentra as partes da seção em dos pontos (pontos onjugados). O aso das estruturas hperestátas é analsado pelo método do módulo de elastdade ftío para seção homogênea, por meo dos proessos dos esforços e dos desloamentos. s bases da formulação para deformação dferda dos materas, em espeal o método de Trost-Bazant, são dvulgadas em váras fontes, tas omo: Nevlle [5], em seu lvro Creep of plan and strutural onrete, deda os apítulos 6 a 9 ao estudo dos métodos de análse da fluêna em estruturas e suas aplações. Inalmente aborda-se a fluêna omo propredade do materal, apresentando os métodos do módulo efetvo, da razão de fluêna, nremental, de Dshnger (melhorado), e de Trost-Bazant, este últmo é adotado para a seqüêna dos estudos, vsto que envolve apenas equações lneares mesmo para os asos mas omplados, por ntermédo da ntrodução do oefente de envelhemento. Em seguda, o estudo passa a envolver elementos estruturas, om a ntrodução da retração do onreto e da relaxação do aço, analsando as perdas de protensão e a redstrbução de tensões. Por fm, aborda os esforços progressvos em estruturas hperestátas, onsderando nlusve fases onstrutvas, porém, medante seção homogenezada. análse de estruturas sostátas sujetas a deformações dferdas é abordada em dversos trabalhos: Ferraz [3], no trabalho Cálulo das alterações de tensão, ao longo do tempo, nas peças de onreto protenddo: proedmentos dretos, smples, alternatvos ao CEB, em forma de boletm téno, aborda os problemas da determnação das varações dos estados de tensão e de deformação nas peças protenddas, em

20 4 vrtude das nfluênas reíproas dos omportamentos dos materas onsttutvos da seção, propada pela aderêna. Neste trabalho são apresentados os proedmentos do CEB, baseados em álulo teratvo, e proedmentos dretos, baseados no oefente de envelhemento. Ferraz [], no trabalho O método dos prsmas equvalentes aplado ao álulo das varações de tensão, ao longo do tempo, nas seções de onreto, em forma de boletm téno, apla o oneto de prsmas equvalentes, que onsste na substtução de uma seção plana por um par de prsmas nos pontos onjugados, em onjunto om o método de Trost-Bazant para onsderação da fluêna, para determnação da redstrbução de tensões numa seção omposta. Ferraz [9], no trabalho Perdas de protensão para arregamentos aplados por etapas, publado no I Smpóso EPUSP sobre estruturas de onreto, aborda o método dos prsmas equvalentes na determnação das perdas de protensão, omo também a tensão em qualquer fbra quando o arregamento se proessar por etapas, om o devdo udado na determnação dos oefentes envolvdos. Sendo, na maora dos asos, o que realmente oorre, pos, por razões ténas e onstrutvas, a seção defntva da vga (om aoplagem da laje e protensão adonal) é feta de forma progressva. Castanho [0], no trabalho Exemplo de aplação da NBR 797 no álulo das varações de tensão no aço e no onreto, devdo às perdas dferdas, publado no I Smpóso EPUSP sobre estruturas de onreto, desenvolve uma aplação numéra da metodologa proposta por Ferraz [9], utlzando o aso de uma laje sobre vga pré-moldada, om duas etapas de protensão em dferentes níves. No estudo da redstrbução de esforços em estruturas hperestátas, város autores trataram o assunto por meo de estruturas homogêneas equvalentes aplando os proessos dos esforços e dos desloamentos, omo: Ghal [6], em seu lvro Conrete Strutures: Stresses and Deformatons, apresenta as preoupações atuas om a verfação da estrutura em servço (deformação e fssuração exessvas), onsderando os efetos de fluêna, retração, relaxação, fssuração, desloamentos mpostos, varação de temperatura e mudanças no esquema estáto em fases onstrutvas. Os apítulos 4 e 5 abordam o álulo dos esforços progressvos em estruturas hperestátas, após os apítulos anterores

21 5 estabeleerem as bases da formulação das deformações dferdas nas seções nãofssuradas de onreto estrutural. Johannson [8], em seu lvro Dseño alulo de estruturas pretensadas, deda o apítulo 0 ao estudo dos efetos da fluêna em estruturas de onreto protenddo, desrevendo desde o tratamento matemáto do fenômeno físo até metotologas para os asos de amadas om dferentes araterístas, peças que alteram de esquema estáto em fases onstrutvas, e fnalmente, a aplação do método de Cross na obtenção dos esforços progressvos. Mangn [4], no seu trabalho publado na revsta do Ibraon, Esforços ao longo do tempo em estruturas de onreto, apresenta uma metodologa para o álulo dos esforços progressvos por meo da onsderação de estrutura equvalente medante transformações das rgdezes dos elementos e dos esforços atuantes. No álulo de tensões em seções transversas ompostas sujetas a soltações normas, em estado elásto, estas são transformadas (homogenezadas) em elementos de barra. Dlger [6], no seu trabalho publado no PCI Journal, Creep analss of prestressed onrete strutures usng reep-transformed seton propertes, estuda o efeto da fluêna nas estruturas de onreto protenddo pelo método de Trost- Bazant e da transformação (homogenezação) da seção transversal. pós exemplos de aplação no estudo de seções, é sugerda uma abordagem de estruturas hperestátas por meo de oefentes de flexbldade e ompatbldade de rotações. Santos [9], em sua dssertação de mestrado nálse de estruturas aportadas de onreto armado e protenddo om a onsderação da deformação lenta, ujo objetvo é apresentar uma metodologa onsstente e efente para a análse de estruturas retuladas de onreto armado e protenddo onsderando os efetos da deformação lenta, retração e fssuração do onreto, e eventuas plastfações das armaduras, apresenta uma mnuosa dsussão sobre o fenômeno da fluêna em estruturas de onreto. Neste trabalho é proposto e analsado um algortmo de ntegração de tensões na vsoelastdade do onreto, que possblta a ntegração numeramente estável das tensões normas nas seções transversas da estrutura, sendo demonstrado que algumas lasses de funções de fluêna

22 6 possbltam a ntegração de tensões sem a neessdade de se armazenar todo hstóro de tensões em um ponto. Exemplfa-se omo se albrar a função geral de fluêna proposta om funções empramente determnadas ou estabeledas por normas ténas. E, fnalmente, apresentam-se três exemplos que são analsados utlzando-se de um programa omputaonal mplementado om a metodologa deste trabalho e baseado no Método dos Elementos Fntos. onsderação de seções ompostas no estudo dos efetos da deformação lenta em estruturas hperestátas é obtda através do método dos prsmas equvalentes. Ferraz [5], no seu trabalho lteração do estado de tensão nas estruturas hperestátas devda à fluêna do aço, do onreto e retração, apresenta a resolução dos esforços progressvos em estruturas hperestátas, om determnação da redstrbução de tensões e perdas de protensão nas seções ompostas, utlzando a naloga de Mohr e o método dos prsmas equvalentes no proesso dos esforços.

23 7 DEFORMÇÕES EM PEÇS DE CONCRETO. Deformações dferdas Num determnado ntervalo de tempo as tensões e deformações em peças de onreto estrutural sofrem alterações devdo ao desenvolvmento de fenômenos omo a fluêna e retração do onreto e a relaxação do aço de protensão. O onhemento destas propredades dos materas é elemento ndspensável para o estudo do omportamento de estruturas de onreto em estado de servço. Os problemas enontrados na onsderação destes fenômenos são omplexos, uma vez que, além do omportamento não-lnear do onreto, deve-se onsderar a presença de armaduras, atvas ou passvas, tornando a seção omposta. Numa seção omposta, a dstrbução de tensões é regda pelas dferentes araterístas meânas de suas partes, surgndo então uma redstrbução de tensões na seção ao longo de um ntervalo de tempo. retração e a deformação lenta podem oasonar efetos ndesejáves sobre as estruturas, afetando, por exemplo, a arga de nstabldade em elementos estruturas omprmdos, e provoando perdas de protensão em estruturas de onreto protenddo, bem omo deformações progressvas em pontes de onreto estrutural. É mportante tar que exstem efetos favoráves, entre os quas alívo de onentração de tensões e de efetos de realque de apoo. Na análse destes fenômenos são utlzadas funções temporas ompostas por parâmetros das propredades dos materas, das ondções ambentas e da geometra das peças; não faz parte do esopo deste trabalho a análse desses aspetos. Na resolução das aplações prátas é utlzada a abordagem da NBR 68 para a onsderação de retração e deformação lenta do onreto, e relaxação da armadura de protensão... Fluêna do onreto fluêna é o aumento de deformação om o tempo sob ação de tensão onstante, podendo esta ser dvdda em três parelas: rápda (que oorre nas prmeras 4 horas após a aplação da arga), rreversível e reversível.

24 8 deformação ε,tot fluêna ε deformação nal t o Fgura. Fluêna do onreto t tempo Entre os dversos fatores que nfluem na fluêna, pode-se tar: umdade relatva e temperatura ambente; dade do onreto no nío do arregamento (maturdade); forma e espessura da peça estrutural; onsstêna do onreto no lançamento; natureza dos agregados; velodade de enduremento do mento. Na avalação da deformação por fluêna (ε ) é utlzado o oefente de fluêna (φ). ssm, ε ε + ε, tot (.) ε ε φ (.) ( φ) ε, tot ε +. (.3).. Retração do onreto retração é a dmnução de volume devdo à evaporação de água não onsumda na reação químa de pega do onreto, sendo uma deformação que ndepende do arregamento. ssm omo a fluêna, depende dos seguntes fatores: umdade relatva e temperatura ambente, forma e espessura da peça estrutural e araterístas dos materas omponentes do onreto.

25 9 Para um determnado ntervalo de tempo, a deformação por retração do onreto (ε s ) é estmada por uma parela da retração esperada para um tempo nfnto ( ε ). onde, ε s s s ( β t) β ( t )) ε (.4) ε + s ( s o, tot ε + ε ε s (.5) β ( t) ou β ( t ) é o oefente relatvo à retração, no nstante t ou t o. s s o presenta-se esquematamente na fg.. a evolução da deformação onsderando os fenômenos de fluêna e retração no onreto smples. deformação ε,tot ε s retração t o t tempo Fgura. Deformação total..3 Relaxação do aço de protensão Entende-se por relaxação, a varação (dmnução) om o tempo da tensão nal sob deformação onstante. relaxação da armadura de protensão tem seu valor fxado por meo de ensaos de.000 das (a 0ºC) sob deformação onstante. O ndíe de relaxação (ψ) é função do nível de tensão nal e da lasse de relaxação do aço, valendo ressaltar que a relaxação rese rapdamente om o aumento de temperatura.

26 0 No álulo das deformações por relaxação do aço de protensão utlza-se o oefente de fluêna equvalente (χ), dretamente relaonado om o índe de relaxação onforme Ferraz (985). 0,5 t ψ ( t, to ) ψ 000, t em horas (.6) 000 χ ( t, t ) ln( ψ ( t, )) (.7) o t o. nálse das estruturas sujetas a deformações dferdas Na análse das estruturas sujetas a deformações dferdas, o método do Módulo Efetvo propõe a redução do módulo de elastdade do onreto pelo fator [+φ(t,t o )]. E ef () E ( to) ( tt) ( + φ, o ) ( to ) ( t ) [ φ( t t )] t, o E o (.8) ε + (.9) () t ( t ) o ε (.0) Eef o prvar-se de um hstóro das tensões, este método apresenta duas ondções: a tensão não pode varar sgnfatvamente no período onsderado e a dade do onreto deve ser desonsderada (onreto velho). Nas estruturas de onreto protenddo, em mutas stuações não se pode onsderar a tensão omo onstante ao longo do tempo, mas varável, nlusve om estágos de arga dstntos. O prnípo de superposção pode ser admtdo nos efetos da fluêna, ou seja, a deformação num tempo qualquer t devdo a um nremento elementar de tensão aplada num nstante τ (τ<t) é ndependente de qualquer tensão aplada antes ou depos do nstante τ. ( ) τ ε () t + φ( t, τ) dτ τ E ( τ) (.)

27 Consderando as deformações provoadas pela varação ontínua de tensão num ntervalo de tempo desde o prmero nstante de arregamento t o até o nstante onsderado t, e sobrepondo om a deformação nal, obtém-se a eq.. para a deformação total no nstante onsderado. ε () t ( to ) ( t ) ( τ ) t [ + φ( t, to )] + [ + φ( t τ )] dτ E, (.) τ E o to ntegral presente na eq.. torna sua aplação um tanto omplexa, om a neessdade de transformações e métodos numéros, ou a onsderação de um tpo espeal de função de fluêna que não representa a realdade, por exemplo dφ onstante. dt ( τ ).. Método de Trost-Bazant para onsderação da fluêna O método de Trost-Bazant para onsderação da fluêna basea-se no método do Módulo Efetvo, orrgndo suas lmtações pelo oefente de envelhemento ( agng oeffent ), que é um meo de soluonar a ntegral presente na eq.. utlzando o oneto de que a deformação lenta ausada pela varação total de tensão ( ) oorrda no ntervalo de tempo é gual à deformação ausada por uma varação de tensão nferor (k ) aplada no nstante nal. utlzação do oefente de envelhemento (k), admensonal e nferor a, smplfa a onsderação do hstóro de tensões, permtndo a solução dos problemas medante equações lneares. ( t t ) ( t) ( t ), (.3) o ( to) ( ) ( ) o ( ) t E τ k φ( t, τ) dτ φ tt, tt, τ E τ + (.4) φ tt, ε () ( ) ( ) o o to o ( to ) ( t ) [ + φ( t, t )] ( t, to ) ( t ) + φ (.5) [ + k ( t t )] t o, E o E o Este método admte urvas de fluêna afns, ou seja, que possuem formas smlares e que a relação entre oefentes de fluêna para dferentes dades de arregamento é onstante (para um mesmo tempo de arregamento). o

28 Na determnação do oefente de envelhemento, as expressões para módulo de elastdade e oefente de fluêna são onhedas, restando nógnta a função de varação de tensão. Bazant fez uso da função relaxação normalzada para smular a varação de tensão obtendo uma fórmula fehada para o oefente de envelhemento, om uma margem de erro pequena, vablzando seu uso nos asos prátos. O oefente de envelhemento vara de 0,6 a 0,9, sendo que para stuações usuas de longa duração (dade ftía do onreto no nstante t superor a 80 das) pode-se adotar k0,8 om boa aproxmação. Tabela. Coefente de envelhemento k(t,t o ) Bazant

29 3.. Consderação da retração e da relaxação dmtndo a hpótese de Dshnger, ou seja, a afndade entre as funções de fluêna e de retração, o efeto desta será smplesmente uma parela adonal à fluêna da eq..5. () ( to ) ( t ) [ + φ( t, t )] ( t, to ) ( t ) ε + (.6) [ + k φ( t, t )] ( t t ) t o + o ε s, E o E o O efeto da relaxação do aço de protensão é onsderado através do oefente de fluêna equvalente da armadura, om k pelo fato de a armadura não apresentar o fenômeno da maturação. Note-se, também, que a retração do aço é nula. ( t ) ( ) ( t, t ) ( ) p o p o ε() t χ( t, to) χ( t, to) E t E t (.7) p o p o o

30 4 3 NÁLISE DE TENSÕES EM SEÇÕES COMPOSTS ISOLDS No onreto estrutural, a presença de deformações dferdas provoa uma redstrbução de tensões. Na análse da redstrbução de tensões normas no tempo são admtdas as hpóteses da elastdade lnear om a seção soltada no estádo I (peça não fssurada), e a manutenção da seção plana na onfguração deformada, que possblta admtr uma equação do tpo ε a + bz para a deformação da seção, e o método de Trost-Bazant para determnação das deformações dferdas. No onreto protenddo, o álulo do enurtamento axal e da urvatura da seção transversal dferdos permte o onhemento da varação de tensão nas partes que ompõem a seção, e por onsegunte a determnação das perdas de protensão nos abos. 3. Cálulo pelo proesso dos esforços análse da seção omposta, pelo proesso dos esforços, gera um sstema hperestáto, sendo o grau de ndetermnação função do número de amadas de armadura e do número de amadas de onreto om dades dferentes. dmte-se a hpótese da perfeta aderêna entre onretos de dferentes dades, omo também entre aço e onreto. Consdere-se uma seção de onreto protenddo, esquematzada na fg. 3., que possu peças onretadas em dades dferentes, vga pré-moldada (peça ) e laje onretada posterormente (peça ), e quatro amadas de abos de protensão posonadas de manera que não é ndada a substtução por um abo equvalente (afastamento vertal não desprezível), e sujeta a um estado nal de tensão (nstante t o ) atuando somente na seção transversal da peça. Depos de assegurado o trabalho onjunto na seção, e deorrdo erto tempo, um novo estado de tensões estabeleer-se-á nas seções das peças e, sendo que sto pode ser onsderado o resultado de esforços adonas X (momentos fletores e forças normas nas seções de onreto, e forças normas nas amadas de armadura) atuantes no tempo t, que totalzam as oto nógntas deste problema.

31 5 o,sup Peça Peça N po4 N po3 N po N po o,nf Fgura 3. Seção transversal (nstante t o ) X X 4 X 8 X X 7 X 6 X 5 X 3 Fgura 3. Esforços adonas na seção transversal proesso dos Esforços Na determnação dos esforços adonas X serão utlzadas equações de ompatbldade que, ao longo do tempo t, verfam as seguntes gualdades:

32 6 de varações de deformação na nterfae omum das peças de onreto (prínpo da perfeta aderêna) uma equação; de varações de urvatura das duas peças (manutenção da seção plana) uma equação; de varações de deformação das amadas de armadura e das fbras de onreto que as envolvem (prínpo da perfeta aderêna) quatro equações. Perebe-se assm que faltam anda duas equações para tornar este sstema de equações determnado, o que se resolve onsderando as equações de equlíbro da seção transversal. Na onsderação do efeto da fluêna é nteressante o uso do fator q, de modo que smplfque o equaonamento. ( t t ) q + k φ,, para os onretos; (3.) q o ( t t ) + χ,, para as armaduras. (3.) p o 3.. Equaonamento do proesso dos esforços Para a equação de ompatbldade (eq. 3.5) aplada na nterfae das peças de onreto deve-se determnar a varação de tensão na fbra superor da peça (,sup ) e a varação de tensão na fbra nferor da peça (,nf ), utlzando os esforços adonas na análse de tensões onforme a teora da resstêna dos materas. Na determnação das deformações nlu-se o efeto da fluêna e da retração do onreto. CG CG e p, e p Fgura 3.3 Convenção das ordenadas na seção transversal

33 7 X X 3 +,sup,sup o,sup, sup I (3.3) X X 4 +,nf,nf o,nf, nf I (3.4) X + X I 3,sup q E + E o,sup φ + ε s X + X I 4,nf q E + E o,nf (3.5) φ + ε s sendo, φ oefente de fluêna da peça ; φ oefente de fluêna da peça ; ε s deformação devdo à retração na peça ; ε s deformação devdo à retração na peça ; área da seção transversal da peça ; área da seção transversal da peça ; I momento de néra da seção transversal da peça ; I momento de néra da seção transversal da peça ;,sup ordenada da borda superor da peça ;,nf ordenada da borda nferor da peça. Para a equação de ompatbldade (eq. 3.9) que mpõe a manutenção da seção plana deve-se determnar a varação na urvatura das peças de onreto por efeto dos esforços adonas, onsderando a fluêna nlusve sobre a urvatura nal. X (3.6) r E I X (3.7) r ε φ r 4 E I o,nf nf ε o,sup sup φ o,nf nf o,sup sup φ E (3.8) E X 3 I q + o,nf,nf o,sup,sup φ E X 4 E I q + o,nf,nf o,sup,sup φ E (3.9)

34 8 Nas equações de ompatbldade (eq. 3., om 5 a 8) de aderêna entre armadura e onreto, onde todas as armaduras estão alojadas na peça, as varações de tensão no onreto ( ) devdo a esforços adonas são aluladas segundo a teora da flexão omposta da resstêna dos materas nas ordenadas orrespondentes a ada exentrdade de protensão (e p ). Da mesma forma são onsderadas as varações de tensão nas amadas de armaduras, tratadas omo uma armadura equvalente de área p. Na determnação das deformações nlu-se o efeto da relaxação do aço de protensão, omo também a fluêna e a retração do onreto. X X 3 + e p (3.0) I X p (3.) p X X q + 3 o + e p φ ε s I E E + X p q E p p + E sendo, e p exentrdade de protensão da amada de armadura; po p χ (3.) o tensão normal nal na fbra de onreto adjaente à amada de armadura; po tensão normal nal na amada de armadura; E p módulo de elastdade da armadura posonada na amada. Consderando que a seção enontra-se em equlíbro no nstante nal, os esforços adonas para que este seja mantdo devem gerar somatóra de esforços horzontas (eq. 3.3) e somatóra de momentos polares (eq. 3.4) nulas. 8 X + X + X 0 (3.3) 5 8 X 3 + X 4 + X e p 0 (3.4) 5 Desse modo, neste problema espeífo, tem-se um sstema defndo de oto equações eq. 3.5, 3.9, 3. (quatro), 3.3 e 3.4 ujo resultado nos fornee a partr de X a X 4 a varação no dagrama de tensões que somada ao estado nal de tensões gera a redstrbução de tensões normas no onreto para o nstante t, e a partr de X 5 a X 8 as tensões em ada amada de armadura para o mesmo nstante.

35 9 X X 3,sup +,sup + o,sup I (3.5) X X 3,nf +,nf + o,nf I (3.6) X X 4,sup +,sup + o,sup I (3.5) X X 4,nf +,nf + o,nf I (3.6) X (3.7) pf + po p,sup,nf Peça,sup Peça N pf4 N pf3 N pf N pf Fgura 3.4 Tensões na seção transversal,nf Sendo, N pf força normal de protensão na ª amada de armadura no nstante t; N pf força normal de protensão na ª amada de armadura no nstante t; N pf3 força normal de protensão na 3ª amada de armadura no nstante t; N pf4 força normal de protensão na 4ª amada de armadura no nstante t.

36 0 3. Cálulo pelo método dos prsmas equvalentes O método dos prsmas equvalentes utlza a propredade que permte analsar uma seção sujeta à flexão omposta substtundo-a por dos prsmas posonados nos seus pares de pontos onjugados. Dessa forma, a análse de seções do tpo apresentado na fg. 3. onduz a um sstema de equações lneares desaopladas entre s, faltando a obtenção dos resultado fnas. 3.. Coneto de prsmas equvalentes Numa seção transversal plana de área e momento de néra I, os pontos onjugados estão posonados em relação ao entro de gravdade da seção tal que -( ), onde é o rao de gração dado por I. Nestes pontos onjugados posonam-se os prsmas de áreas e, de modo que os torne equvalentes a seção transversal homogênea de área e momento de néra I, que gozam das propredades apresentadas a segur. ponto onjugado prsma, C.G. ponto onjugado seção transversal, I prsma, Fgura 3.5 Coneto de prsmas equvalentes numa seção transversal plana Propredade : uma força normal N atuando no ponto onjugado não produz tensão no ponto onjugado, e ve-versa, uma força normal N atuando no ponto onjugado não produz tensão no ponto onjugado. De fato,

37 0 + I I N N I N N I N N, e 0 + I I N N I N N I N N. Para a determnação da tensão no ponto onjugado devda à força normal N atuando neste ponto, basta efetuar a dvsão de N pela área ponderada. N N N N I N N +, sendo. De manera análoga, tem-se no ponto onjugado : N N N N I N N +, sendo. Propredade : uma força normal N atuando no entro de gravdade deve ser dvdda onforme os braços de alavana em relação aos pontos onjugados, ou seja, deve ser ponderada da mesma forma que as áreas dos prsmas. De fato, N N N N N e N N N N N. Propredade 3: para o álulo das tensões normas provoadas por um momento fletor M aplado à seção, basta determnar o bnáro orrespondente ao braço de alavana z formado pela dstâna entre os pontos onjugados (z - ). De fato,

38 N z M M M I M z M N e N Z M M M I M z M N. Por onvenêna pode-se adotar -, stuando assm os pontos de forma smétra em relação ao entro de gravdade da seção transversal. 3.. Equaonamento do método dos prsmas equvalentes Na aplação do método dos prsmas equvalentes para o álulo da redstrbução de tensões em seções ompostas de onreto estrutural devdo à deformações dferdas, ada peça de onreto é substtuída por um par de prsmas equvalentes onforme vsto em 3.., e ada amada de armadura por um prsma adonal. Desse modo, a redstrbução de tensões provoa varações das forças normas X orrespondentes aos prsmas. varação total de deformação é dada por s o q E X E ε φ ε + + (3.8) () o E t ε ε (3.9) sendo, () t ε a deformação total no nstante t. Para as armaduras, o oefente de fluêna (φ) é substtuído pelo oefente de fluêna equvalente de armaduras (χ), a retração é tomada gual a zero e k,0. Com a hpótese da manutenção da seção plana, as varações de deformação nos prsmas devem obedeer à le de uma reta, sto é, ε a + bz, sendo z a ordenada do prsma.

39 3 s forças normas X e X são apladas nos pontos onjugados da peça (vga pré-moldada) e as forças X 3 e X 4 nos pontos onjugados da peça (laje onretada n-loo ). Substtundo em 3.8, E e o X φ + q + ε E ( ) s a + b z o s q q q (3.0) E φ ε E X a+ bz. (3.) X 4 X X 3 ε a + bz X 8 X a X 7 X 6 X 5 z Fgura 3.6 Esforços adonas na seção transversal prsmas equvalentes Os oefentes da reta são determnados pelas equações de equlíbro das forças X na seção transversal. orgem da dstâna z deve ser admtda no entro E de gravdade da grandeza q E de modo que garanta que z 0. q Do equlíbro de forças horzontas X 0, resulta a E q + b E q z o φ q ε s E q 0 (3.) ou

40 4 + s o q E q E q a ε φ. (3.3) Do equlíbro dos momentos em relação a orgem das dstânas z 0 z X, resulta 0 + s o z q E z q z q E b z q E a ε φ (3.4) ou + s o z q E z q E z q b ε φ. (3.5) Com as eq. 3.3 e 3.5 onsegue-se determnar os oefentes da reta que exprme a deformada da seção devdo à retração e deformação lenta, pela translação axal (a) e pela urvatura (b). plados nas equações (eq. 3.) têm-se os esforços adonas em ada prsma, que permtem montar a redstrbução de tensões omo também alular as perdas progressvas nos abos. o X + (3.6) ( ),nf,nf + (3.7) ( ),sup,sup + (3.8) ( ) 3 3,nf ,nf + (3.9) ( ) 4 4,sup ,sup + (3.30)

41 5 3.3 Exemplo numéro (aplação do método dos prsmas equvalentes) Consdere-se a seção de uma vga pré-moldada protendda de seção onstante, já submetda a um estado de tensão prévo, onde é onretada posterormente uma laje para formar uma seção T, fg Os dados da seção transversal, omo também do estado nal de tensão, são fornedos a segur. 50 laje onretada posterormente (prsmas 3 e 4) ,5 5 3,5 80 vga pré-moldada protendda (prsmas e ) 4ª amada abo (prsma 8) 0 3ª amada abo (prsma 7) ª amada abo (prsma 6) ª amada 3 abos (prsma 5) Meddas em [m] Fgura 3.7 Seção transversal do exemplo numéro 90

42 6 Vga pré-moldada protendda: tensão nal na borda nferor: o,nf -4 MPa; tensão nal na borda superor: o,sup -8 MPa; módulo de elastdade do onreto: E 30 GPa; deformação por retração do onreto entre os nstantes t o e t: ε s -0,000; oefente de fluêna do onreto entre os nstantes t o e t: φ ; área da seção transversal:,55 m ; momento de néra da seção transversal: I,484 m 4 ; rao de gração da seção transversal: 0,98846 m; dstâna do entro de gravdade à borda nferor:,nf,9 m; dstâna do entro de gravdade à borda superor:,sup -,5578 m. Laje onretada posterormente: tensão nal na borda nferor: o,nf 0; tensão nal na borda superor: o,sup 0; módulo de elastdade do onreto: E 4 GPa; deformação por retração do onreto entre os nstantes t o e t: ε s -0,000; oefente de fluêna do onreto entre os nstantes t o e t: φ 3; área da seção transversal: 0,65 m ; momento de néra da seção transversal: I 0,00355 m 4 ; rao de gração da seção transversal: 0,07688 m; dstâna do entro de gravdade à borda nferor:,nf 0,5 m; dstâna do entro de gravdade à borda superor:,sup -0,5 m; rmaduras de protensão: tensão nal nos abos: po 00 MPa; módulo de elastdade dos abos: E p 00 GPa; oefente de fluêna equvalente do aço de protensão (t,t o ): χ 0,05; área de aço de protensão da ª amada: p 35,5 m ; área de aço de protensão da ª, 3ª e 4ª amadas: p p3 p4,84 m ; exentrdade de protensão da ª amada: e p,9 m; exentrdade de protensão da ª amada: e p 0,99 m; exentrdade de protensão da 3ª amada: e p3 0,69 m; exentrdade de protensão da 4ª amada: e p4 0,9 m.

43 Montagem dos prsmas equvalentes Para o efeto da deformação lenta é admtdo o oefente de envelhemento (k) gual a 0,8 no onreto, e gual a,0 nas armaduras. Peça q +0,8,00 q,64. Peça q +0,83,00 q 3,46. rmaduras de protensão q p +0,05 q p,05. Na análse da vga pré-moldada (peça ), sua seção transversal é substtuída pelos prsmas e onforme o tem 3.., ujas araterístas são apresentadas a segur: pontos onjugados: 0,98846 m, -0,98846 m ; área: 0,57565 m, 0,57565 m ;,5466 tensão nal no prsma : o 8 6 3,36055 MPa ;,85 0,56934 tensão nal no prsma : o 8 6 9,986 MPa ;,85 módulo de elastdade: E E 30 GPa ; oefentes de fluêna (t,t o ): φ φ,00 ; fator q: q q,64 ; deformação por retração: ε s ε s -0,000. Na análse da laje onretada posterormente (peça ), sua seção transversal é substtuída pelos prsmas 3 e 4, ujas araterístas são apresentadas a segur: pontos onjugados: 3 0,07688 m ; 4-0,07688 m ; área: 3 0,35 m ; 4 0,35 m ; tensão nal no prsma 3: o3 0; tensão nal no prsma 4: o4 0; módulo de elastdade: E E 4 GPa ; oefentes de fluêna (t,t o ): φ 3 φ 4 3,00 ; fator q: q 3 q 4 3,46 ; deformação por retração: ε s3 ε s4-0,000. Cada amada de armadura de protensão, ª a 4ª, equvale a um prsma, respetvamente 5 a 8, ujas araterístas são apresentadas a segur:

44 8 área do prsma 5: 5 0,00355 m ; áreas dos prsmas 6, 7 e 8: ,0084 m ; tensão nal: o5 o6 o7 o8 00 MPa ; módulo de elastdade: E 5 E 6 E 7 E 8 00 GPa ; oefente de fluêna (t,t o ): φ 5 φ 6 φ 7 φ 8 0,05 ; fator q: q 5 q 6 q 7 q 8,050 ; deformação por retração: ε s5 ε s6 ε s7 ε s Determnação dos esforços adonas Conforme tem 3.., deve-se enontrar a ordenada do entro de gravdade da E grandeza q. Inalmente a orgem das ordenadas z pode ser tomada omo sendo a borda nferor (z,nf ). Em seguda, de modo que se prossga om os álulos, as ordenadas são onsderadas em relação ao entro de gravdade (nova orgem - z,nov ). Tabela 3. Ordenadas dos prsmas exemplo numéro Na planlha de álulo a segur são utlzadas as eq. 3.3 e 3.5 na determnação dos oefentes da reta ε a + bz, e por meo da eq. 3. hegase aos valores dos esforços adonas X.

45 Tabela 3. Planlha de álulo para determnação dos esforços adonas 9

46 Redstrbução de tensão e perdas de protensão partr dos esforços adonas X e do estado nal de tensão, determna-se a tensão no nstante t em ada prsma, utlzando a eq , ,55 38,67 0,57565 kn m 79,87 998,6 6975,58 0, , , 467 0,35 437, 4 399,07 0,35 kn m kn m 776, ,66 0, , ,95 0, , ,47 0, , ,05 0, 0084 kn m kn m kn m kn m kn m Nos prsmas de 5 a 8, as tensões enontradas ( ) são os valores das tensões no nstante t em ada amada de abos de protensão que, omparadas om as tensões ( o ) no nstante t o, forneem os valores da perda de protensão por deformação lenta e retração. ª amada : po 00 MPa ; pf 98,47 MPa perda de 8, % ª amada : po 00 MPa ; pf 987,3 MPa perda de 7,73 % 3ª amada : po 00 MPa ; pf 995,87 MPa perda de 7,0 % 4ª amada : po 00 MPa ; pf 007,39 MPa perda de 6,05 % Para as tensões nas bordas das peças de onreto deve-se aplar uma equação lnear (eq. 3.7 a 3.30), resultando:,nf 440,3690, ,67 060,5 kn m, nf -,060 MPa,9769

47 3,sup,nf,nf 440,3690, , ,97 kn m, sup -5,705 MPa,9769 5,3600, , ,87 kn m, nf -,606 MPa 0, ,3600, ,07 343,7 kn m,sup -,344 MPa 0, ,000 MPa nstante t o 40,80 kn 40,80 kn 40,80 kn 46,40 kn -4,000 MPa -,344 MPa nstante t -,606 MPa -5,705 MPa 9,75 kn 79, kn 68,88 kn 3486,0 kn -,060 MPa Fgura 3.7 Redstrbução de tensão exemplo numéro

48 3 4 NÁLISE DE ESFORÇOS EM ESTRUTURS HIPERESTÁTICS análse da redstrbução de tensões numa peça omposta desenvolvda no apítulo anteror admte que alongamento e urvatura oorrem sem mpedmento por parte de vínulos dos apoos ou de ontnudade om outros elementos da estrutura, ou seja, são onsderadas estruturas sostátas. deformação lenta e a retração em estruturas hperestátas de onreto, as quas são freqüentemente onstruídas por partes, om oefentes de fluêna dferentes e possíves alterações no esquema estáto (por exemplo, vgas prémoldadas sostátas om lgações onretadas n loo, tornando-se uma vga ontínua), provoam alteração nos esforços soltantes om o tempo. Desenvolve-se a segur o álulo de redstrbução de tensões em vga protendda ontínua (usual em estruturas de pontes), pelo proesso dos esforços ombnado om o método dos prsmas equvalentes na análse das seções. 4. Solução pelo proesso dos esforços resolução de estruturas hperestátas pelo proesso dos esforços basea-se na determnação de um sstema de equações no qual as nógntas hperestátas são esforços (momentos ou forças), sendo que estes orrespondem aos vínulos nternos ou externos retrados da estrutura orgnal para a defnção da sostáta fundamental. sstematzação deste método segue as etapas: adoção da sostáta fundamental; aplação do arregamento externo e das nógntas hperestátas untáras na sostáta fundamental; montagem do sstema de equações de ompatbldade, de modo que os desloamentos ou rotações estejam de aordo om a estrutura orgnal, que permtem alular as nógntas hperestátas; determnação das reações de apoo e dos esforços nternos soltantes de aordo om as equações da estáta.

49 33 4. plação do método dos prsmas equvalentes s equações de equlíbro na seção transversal (equações 3. e 3.4) que eram gualadas a zero, uma vez que os esforços externos permaneem nalterados em estruturas sostátas, passam a ser gualadas aos esforços soltantes N j e M j gerados por deformação lenta e retração, em ada seção genéra j. s onstantes a j e b j representam, respetvamente, a deformação axal e a urvatura na seção j provenentes da deformação lenta e retração num nstante t. E E φ ε E a + b z N, o s j j j q q q q E om z 0 q, a j o φ εs E N j + + q q E q. (4.) E E φ ε E a z + b z z z M, o s j j j q q q q E om z 0 q, b j φ ε E M + z + z o s j q q E z q. (4.) Dessa forma, presa-se determnar os valores de N j e M j nas seções da estrutura para vablzar o álulo dos oefentes a j e b j, e a redstrbução de tensões em ada seção. Numa vga ontínua, tem-se que N j 0 e M j é proporonal à varação do momento fletor nos apoos ntermedáros (M k,m ), fg. 4.. M,m M k-,m M k,m M m,m k- k m+ Fgura 4. Varação do momento fletor numa vga ontínua de (m+) vãos