Probabilidade: Diagramas de Árvore

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1 Probabldade: Dagramas de Árvore Ana Mara Lma de Faras Departamento de Estatístca (GET/UFF) Introdução Nesse texto apresentaremos, de forma resumda, concetos e propredades báscas sobre probabldade condconal utlzados na atvdade Probabldade: Dagramas de Árvore. Expermento aleatóro Um expermento aleatóro é um processo que acusa varabldade em seus resultados, sto é, repetndo-se o expermento sob as mesmas condções, os resultados serão dferentes. Contrapondo aos expermentos aleatóros, temos os expermentos determnístcos, que são expermentos que, repetdos sob as mesmas condções, conduzem a resultados dêntcos. Espaço amostral O espaço amostral de um expermento aleatóro é o conjunto de todos os resultados possíves desse expermento. Vamos denotar tal conjunto pela letra grega ômega maúsculo, Ω. Eventos aleatóros Os subconjuntos de Ω são chamados eventos aleatóros; já os elementos de Ω são chamados eventos elementares. Defnção clássca de probabldade Seja Ω um espaço amostral tal que todos os eventos elementares são gualmente prováves. Se A é um evento qualquer desse espaço amostral, defne-se a probabldade de tal evento como # A P( A ) = # Ω onde # representa número de elementos de. Esta fo a prmera defnção formal de probabldade, tendo sdo explctada por Grolamo Cardano ( ). Defnção axomátca de probabldade A defnção clássca assoca a cada evento de Ω um número P(A), que satsfaz dversas propredades; mas ela se basea em duas hpóteses que restrngem seu campo de aplcação: (1) Há um número fnto de eventos elementares, sto é, Ω é um conjunto fnto. (2) Os

2 eventos elementares são gualmente prováves. Em 1933, Kolmogorov ( ) construu a teora da probabldade partndo de um conjunto de axomas, apresentados a segur, em uma versão mas smples. 1 1) P( A) 0 2) P( Ω ) = 1 3) Se A B =, então P( A B) = P( A) + P( B) Note que a defnção clássca satsfaz esses três axomas. Propredades da probabldade As seguntes propredades são obtdas a partr dos axomas acma: 1) P( ) = 0 Podemos escrever Ω=Ω e aplcar os axomas 2 e 3. 2) P( A) = 1 P( A) Podemos escrever Ω= A A e aplcar os axomas 2 e 3. 3) P( A B) = P( A) P( A B) Podemos escrever (veja a fgura a segur) A = ( A B) ( A B) e aplcar o axoma 3. 4) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Na fgura abaxo podemos ver que A B = B ( A B) e o resultado segue do axoma 3 e da propredade anteror. 1 Segundo o dconáro Aurélo: Axoma Proposção que se admte como verdadera porque dela se podem deduzr as proposções de uma teora ou de um sstema lógco ou matemátco.

3 5) Se A B P( A) < P( B) Note que A B A B = A P( B A) = P( B) P( A) 0 Probabldade condconal Mutas vezes, saber que um evento B ocorreu pode nos ajudar a reavalar a probabldade de ocorrênca de um evento A. Consdere o lançamento de um dado equlbrado e suponha que estejamos nteressados no evento A = face 2. Se não temos qualquer nformação, sabemos que P(A) = 1/6. Mas suponha que a segunte nformação seja fornecda: sau face par. Com essa nformação, reavalamos a probabldade de ocorrênca do evento A para P(A) = 1/3. Consdere a stuação lustrada na fgura a segur: se sabemos que ocorreu o evento B, esse evento passa a ser o novo espaço amostral. Nesse novo espaço amostral, a ocorrênca de A equvale à ocorrênca de A B. Dessa forma, defne-se a probabldade condconal de A dada a ocorrênca de B como P( A B) = P( A B) PB ( ) A dvsão por P(B) garante que a probabldade do novo espaço amostral B seja gual a 1. Obs.: lê-se P( A B ) resumdamente como probabldade de A dado B Regra da multplcação A regra da multplcação trata da probabldade da nterseção de eventos. Note que, da defnção de probabldade condconal, segue o segunte resultado: Para 3 eventos temos P( A B) = P( B) P( A B)

4 P( A A A ) = P( A ) P( A A ) P( A A A ) E para o caso geral, temos o segunte resultado: P( A1 A2 An ) = P( A1) P( A2 A1) P( A3 A2 A1) P( An A1 An 1) Teorema da probabldade total Seja A, A,, A uma coleção de eventos de um espaço amostral Ω tal que 1 2 n 1. A A = j j 2. n = 1 A =Ω Uma tal coleção é chamada de partção de Ω. Veja a fgura a segur. Seja B um evento de Ω. Podemos, então, expressar B com a segunte unão de eventos: B = ( A B) ( A B) ( A B ) 1 2 n Como os A s são mutuamente exclusvos, segue que os ( A B ) s também o são. Logo,

5 PB ( ) = P[( A B) ( A B) ( A B)] 1 2 = P( A B) + P( A B) + + P( A B)] 1 2 n n Exemplo Em uma determnada cdade, o número de homens é gual ao número de mulheres. 5% dos homens são daltôncos e 0,4% das mulheres são daltôncas. Sortea-se aleatoramente uma pessoa dessa cdade e verfca-se que é daltônca. Qual é a probabldade de ter sdo sorteada uma mulher? Solução Vamos resolver esse exemplo passo a passo. A prmera cosa a observar é que o espaço amostral é formado por todos os moradores da cdade. Os eventos de nteresse são homem (H), mulher (M), daltônco, (D) e não daltônco (N). Para defnr a partção aproprada, temos que ver quas são as probabldades a pror fornecdas no problema, ou seja, probabldades dadas sem conhecmento de qualquer outro evento. As probabldades a pror se referem aos eventos Homem e Mulher. Veja a segur a representação dessas nformações num dagrama de Venn e num dagrama de árvore. O dagrama de árvore é mas aproprado, pos nos permte ndcar as probabldades. As probabldades dadas são: P(H) = P(M) = 0,5 P(D H) = 0,05 P(N H) = 0,95 (a le do complementar vale também para a probabldade condconal) P(D M) = 0,004 P(N M) = 0,996 Aplcando o teorema da multplcação obtemos as probabldades dos seguntes eventos: Homem e daltônco: PH ( D) = PH ( ) PD ( H ) = 0, 50, 05 = 0, 025 Homem e não daltônco: PH ( N) = PH ( ) PN ( H ) = 05095,, = 0475, Mulher e daltônca: PM ( D) = PM ( ) PD ( M ) = ,, = 0002, Mulher e não daltônca: PM ( N) = PM ( ) PN ( M ) = 0, 50, 996 = 0, 498

6 Aplcando o teorema da probabldade total temos: PD ( ) = PM ( D) + PH ( D) = PH ( ) PD ( H) + PM ( ) PD ( M) = 0, , 002 = 0, 027 PN ( ) = PM ( N) + PH ( N) = PH ( ) PN ( H) + PM ( ) PN ( M) = 0, , 498 = 0, 973 = 1 PD ( ) Agora, vamos calcular a probabldade pedda, P(M D), que é uma probabldade a posteror, sto é, vamos atualzar a probabldade do evento ser mulher sabendo que ocorreu o evento D (no enuncado foram dadas a probabldade a pror P(M) e a probabldade de daltônco dado que é mulher ): PM ( D) 0002, PM ( D) = = = 0074, PD ( ) 0027, Bblografa Faras, A. M. L.; Laurencel, L. C. Probabldade. Apostla. Departamento de Estatístca. Nteró: UFF 2008 (versão para download em Morgado, A.C.O.; Carvalho, J.B.P.; Carvalho, P.C.P.; Fernandez, P. Análse Combnatóra e Probabldade, Coleção do Professor de Matemátca. Ro de Janero: Socedade Braslera de Matemátca, 2006 Hazzan, S. Fundamentos de Matemátca Elementar: Combnatóra, Probabldade - vol. 5, 7a. edção. São Paulo: Atual Edtora, Julanell, J.R.; Dasse, B.A.; Lma, M.L.A.; Sá, I.P. Curso de Análse Combnatóra e Probabldade - Aprendendo com a resolução de problemas. Ro de Janero: Edtora Cênca Moderna, 2009.