CAPÍTULO 4 PROBABILIDADE DE BAYES

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1 CAPÍTULO 4 PROBABILIDADE DE BAYES 1. Partção de um espaço amostral Os eventos B1, B2, B3,..., B, formam uma partção do espaço amostral S, se: p( B ) 0,para 1,2,3,..., a) b) B B, para c) 1 Exemplo 1: B S No lançamento de um dado tem-se o espaço amostral 1,2,3,4,5,6 1, 2,3,4 e 5,6. B, B e S e defnmos os eventos B1 B2 B3 Os eventos 1 2 B3 formam uma partção de S, pos, valem as três condções: a), b) e c). Teorema 1: Se os eventos B1, B2, B3,..., B, formam uma partção do espaço amostral S e A S, então p( A) p( A/ B ). p( B ) 1 Demonstração: A fgura lustra uma partção de S com A S. Assm podemos escrever: B 1 B3 B4 A B 2 B A ( AB1) ( AB2)... ( A B ), como A é a unão de conuntos dsuntos, usamos a defnção de probabldade: p( A) p( AB1) p( AB2)... p( A B ) (I) e para cada termo das parcelas usamos a probabldade do produto, assm p( AB1 ) p( A/ B1 ). p( B1 ) p( AB2 ) p( A/ B2 ). p( B2 ) p( AB3 ) p( A/ B3 ). p( B3 )... p( AB ) p( A/ B ). p( B ). Substtundo em (I) segue: 82

2 pa ( ) p( A/ B1). p( B 1) + p( A/ B2). p( B 2) + p( A/ B3). p( B 3) p( A/ B ). p( B ) e colocando em forma somatóro tem-se: Exemplo 2:. p( A) p( A/ B ). p( B ) 1 Na cdade de Catu exstem três loas que revendem televsores. A loa A revende 25%, a loa B, 35% e a C, 40% dos televsores. Um clente desea comprar um televsor de LCD com 42 polegadas, em vrtude do bom atendmento e da localzação dessas loas, a probabldade de comprar na loa A é 10%, na loa B é 12% e na loa C é 18%. Qual a probabldade de ter adqurdo um televsor de 42 polegadas? Solução: Sea L: televsor de LCD com 42 polegadas A B L C Do enuncado podemos escrever: p( A) 0,25; p( L/ A) 0,1 p( B) 0,35; p( L/ B) 0,12 e, portanto: pl ( ) 0,25x0,1+0,35x0,12+0,4x0,18=0,139 p( C) 0,4; p( L/ C) 0,18 2. Teorema de Bayes Se os eventos B1, B2, B3,..., B, formam uma partção do espaço amostral S e sea A S, então p( A/ B) p( B) p( B / A) p( A/ B) p( B) 1 Da defnção de probabldade condconal, podemos escrever: p( B / A) p( AB) pa ( ) p( A/ B ) p( B ) 1 p( A/ B ) p( B ) Exemplo 3: Adotando o mesmo enuncado do exemplo 1, podemos fazer a segunte pergunta: Um televsor de LCD com 42 polegadas fo adqurdo, qual a probabldade de tem sdo comprado na loa C? p Solução: Devemos determnar p( C/ L) ( L / C ) p ( C ) pl ( ) = 0,4x0,18 0,139 = 0,072 0,518 0,139 83

3 Exemplo 4: Seam as urnas e as bolas. Uma urna é escolhda ao acaso e uma bola é retrada. Se a bola retrada for branca, qual probabldade de ter vndo da urna U 2? Vermelhas Brancas U U U Solução: Indquemos por B bola branca U1 U2 U3 5 B Como são três urnas, suas probabldades são guas a 1/3: p( U1) 1/3; P( B/ U1) 5/8 p( U2) 1/3; P( B/ U2) 1/3, logo podemos escrever: p( U3) 1/3; P( B/ U3) 3/5 p 1/3x1/3 ( U 2 / B ) 1/3x5/8 1/3x1/3 1/3x3/5 1/3 40 0,2139 5/81/ 33/ Exemplo 5: Em um vvero têm-se três gaolas com as seguntes aves: canáros sabás tco-tcos Fêmeas Machos Uma ave fugu da gaola e verfcou-se que é fêmea, qual a probabldade de ser sabá? Solução: Indquemos por F ser fêmea, então C S T F p( C) 1/3; P( F / C) 3/6 p( S) 1/3; P( F / S) 4/6, escrevemos: p( T) 1/3; P( F / T) 1/6 84

4 1/3.4/6 p( S / F) 1/3.3/6 1/3.4/6 1/3.1/6 Exercícos de aplcação 14: 4 0, Na sala do Curso de Estatístca 30% dos rapazes e 10% das garotas têm mas que 1,65 m de altura. Sabe-se que 60% dos alunos são rapazes. Se um aluno é seleconado aleatoramente e tem mas que 1,65 m de altura, qual a probabldade dele ser garota? 2. Uma urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de prata e uma urna B tem 4 moedas de ouro e 3 moedas de prata. Uma moeda é seleconada ao acaso e verfca-se que é de ouro. Qual a probabldade de ter vndo da urna B? 3. Na sala do 1 semestre da Dscplna de Estatístca 20% dos rapazes e 12% das garotas estão estudando Matemátca. Um estudante é escolhdo ao acaso e observa-se que é estudante de Matemátca. Qual a probabldade do estudante ser rapaz sabendo-se que 60% do corpo dscente é formado por rapazes? 85

5 4. Em uma assembléa estão reundos os alunos dos 3 prmeros semestres e tem as seguntes proporconaldades 20%,30% e 50% dos alunos respectvamente. Sabe-se que 10%, 5% e 2% respectvamente por sére são portadores da grpe suína.se um aluno dessa assembléa seleconado aleatoramente é portador da grpe suína, então a probabldade de ser aluno do 2º semestre é (A) 0,11. (B) 0,22. (C) 0,33. (D) 0,44. (E) 0, No terrero de um síto exstem os seguntes anmas: Aves Suínos Ovnos Fêmeas Machos Um anmal fugu do terrero e verfcou-se que é fêmea, qual a probabldade de ser uma ave? 86

6 6. Em um colégo 6% dos homens e 3% das mulheres têm descendênca aponesa. Por outro lado 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é seleconado ao acaso e tem descendênca aponesa, qual a probabldade de ser homem? 7. Em uma cdade obteve-se os seguntes dados: apenas uma em cada 100 pessoas adultas tem nível superor. Das pessoas que têm nível superor, 80% têm emprego públco, enquanto apenas 30% das que não têm nível superor têm emprego públco. Uma pessoa da população é seleconada ao acaso e verfca-se que tem emprego públco. A probabldade de que essa pessoa venha a ter nível superor é: (A) 26,0%. (B) 56,6%. (C) 12,6%. (D) 0,6%. (E) 2,6%. 87