PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA

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1 ROILIDDE CONDICIONL E INDEENDÊNCI 04

2 robabldade ondonal e ndependêna e são dos eventos em um mesmo espaço amostral. probabldade ondonal de dado que oorreu o evento, denotada por, é defnda omo, se 0. Exemplo. Seleonamos dos tens, ao aaso, um a um e sem reposção, de um lote que ontém 0 tens do tpo e 5 do tpo. Qual é a probabldade de que a o prmero tem seja do tpo? b o segundo seja do tpo se o prmero tem fo do tpo?

3 Defnmos os eventos :"o :"o o o tem é do tpo"; tem é do tpo" a b 5 4 Essas probabldades podem ser representados em uma árvore de probabldades. 3

4 Árvore de probabldades Da expressão obtém-se uma relação útl:, onheda omo regra do produto de probabldades ou probabldade da nterseção. 4

5 5 Exemplo. No exemplo anteror suponha que temos nteresse em determnar a probabldade de que os dos tens seleonados sejam do tpo tens são do tpo" e o :" o O evento é o o Resultado. Se é um evento em tal que >0, então.,então, 3. ou então,.se 0. C C C Se C

6 Exemplo. Um representante avala que sua probabldade de realzar um bom negóo em um erto da é 0,35 e a probabldade de realzar bons negóos em dos das onseutvos é 0,5. Se um bom negóo fo realzado no prmero da, qual a probabldade de que no da segunte não seja realzado um bom negóo? Solução. Defnmos os eventos : um bom negóo é realzado no o da e : um bom negóo é realzado no o da. Do enunado do problema temos = 0,35 e = 0,5. probabldade pedda é 0,5 0,35 0,86. 6

7 Independêna de eventos Dos eventos e em são ndependentes se a nformação da oorrêna ou não de não altera a probabldade de oorrêna de. Isto é, =, > 0. Logo, dos eventos e são ndependentes se, e somente se, =. Exemplo. Em uma fábra 0% dos lotes produzdos têm omponentes do forneedor, 8% têm omponentes do forneedor e 4% têm omponentes de ambos. Seleonamos ao aaso um tem produzdo nesta fábra. a Os eventos relaonados aos dos forneedores são ndependentes? b Se o lote seleonado tem omponentes do forneedor, qual a probabldade de que tenha omponentes do forneedor? Qual é a probabldade de um lote não ter omponentes destes dos forneedores? 7

8 Solução. : o lote tem omponentes do forneedor, : o lote tem omponentes do forneedor. Do enunado temos = 0,0, = 0,08 e = 0,04. a Como b 0,080, 0,04., 0,06 0,04 0,08 e e não 0,50. são ndependentes. { } 0,08 0, 0,04 0,76. 8

9 Resultado. Se e são eventos ndependentes em, então e são ndependentes. e são ndependentes e são ndependentes 9

10 Exemplo. Um atrador aerta 80% de seus dsparos e outro nas mesmas ondções de tro, 70%. Qual a probabldade de o alvo ser aertado se ambos os atradores dspararem smultaneamente? Eventos : 0,8 :"o atrador e Outra solução : 0,7. Logo, 0,8 0,7 0,8 0,7 aerta o alvo",,. 0,94. supondondependêna [ 0,8][ 0,7] 0,94. 0

11 Fórmula de ayes Fórmula da probabldade total. Se,..., k formam uma partção do espaço amostral, então para qualquer evento em, vale. k k k artção do espaço amostral. Uma oleção de eventos,..., k forma uma partção do espaço amostral se eles são mutuamente exlusvos e se sua unão é gual ao espaço amostral.

12 Exemplo. Em um programa de televsão são mostradas três portas, e 3 fehadas e apenas uma delas guarda um valoso prêmo. O apresentador do programa sabe qual é a porta que leva ao prêmo. Um partpante deve esolher uma das portas. Em seguda, o apresentador nforma o número de uma porta, dferente da esolha do partpante, e que não guarda o prêmo. O partpante esolhe a porta. O apresentador nforma que a porta 3 não guarda o prêmo e pergunta ao partpante se ele gostara de mudar sua esolha. Se voê fosse o partpante, qual sera sua desão? ale a pena mudar a esolha?

13 Solução. Eventos: X : a porta número guarda o prêmo e Y j : apresentador nforma que a porta número j não guarda o prêmo. Observe que X = X = X 3 = /3. pergunta pode ser respondda omparando X Y 3 e X Y 3, pos X 3 Y 3 = 0. Levando em onta que o partpante esolheu a porta, temos Y X = Y 3 X = ½, Y X = Y 3 X 3 = 0 e Y X 3 = Y 3 X =, de modo que Y 3 = Y 3 X X + Y 3 X X + Y 3 X 3 X 3 = ½ /3 + /3 + 0 /3 = ½, X Y 3 = X Y 3 /Y 3 = Y 3 X X /Y 3 = /x/3// = /3 e X Y 3 = X Y 3 /Y 3 = Y 3 X X /Y 3 = x/3// = /3 / / = /3. ale a pena mudar a esolha! 3

14 Fórmula de ayes. Se,..., k formam uma partção do espaço amostral, e é evento em om > 0, então k. Exemplo. Uma montadora trabalha om dos forneedores e de uma determnada peça. Sabe-se que 0% e 5% das peças provenente dos forneedores e, respetvamente, estão fora das espefações. montadora reebe 30% das peças do forneedor e 70% de. Se uma peça do estoque ntero é esolhda ao aaso, a alule a probabldade de que ela esteja fora das espefações. b se uma peça esolhda ao aaso está fora das espefações, qual é a probabldade de que tenha sdo forneda por? 4

15 Solução. Eventos: : peça seleonada fo forneda por, : peça seleonada fo forneda por e E: peça seleonada não atende às espefações. Do enunado do problema temos = 0,30, = 0,70, E = 0,0 e E = 0,05. 5

16 a Fórmula da probabldade total: E = E + E = 0,30 0,0 + 0,70 0,05 = 0,065. a E =? ela fórmula de ayes, E 0,300,0 0,03 E 0,46. E E 0,300,0 0,700,05 0,065 solução do exemplo anteror é faltada pela árvore de probabldades: 6