2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

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1 . INTRODUÇÃO À ROILIDDE 00

2 Coneitos básios Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou aonteimentos ujos resultados não podem ser previstos om erteza. Um experimento ou fenônemo que, se for observado em ondições idêntias, pode apresentar diferentes resultados é hamado de experimento ou fenômeno aleatório.

3 Coneitos básios Exemplos Condições limátias do próximo domingo. Taxa de inflação do próximo mês. Condição de um item produzido. Resultado do lançamento de um dado. Tempo de duração de uma lâmpada. Observação do número de veíulos que passam por um praça de pedágio durante um erto intervalo. Tábua de Galton: 3

4 Coneitos básios Espaço amostral Ω Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento ou fenômeno aleatório. Exemplos Lançamento de um dado: Ω {,,3,4,5,6} ou Ω { } Observação do tipo sanguíneo de um indivíduo: Ω {,,,0} Condição de um item produzido: Ω {defeituoso, não defeituoso} Número de veíulos que passam por uma praça de pedágio durante um erto intervalo: Ω {0,,,...} Tempo de duração de uma lâmpada em h: Ω 0, 4

5 Exemplo Lançamento de um dado: Ω {,,3,4,5,6}. Evento Subonjunto do espaço amostral Ω. Notação:,, C,... Exemplos. Eventos do exemplo aima: Resultado é par: {, 4, 6} evento omposto Resultado é maior do que 3: {4, 5, 6} evento omposto Resultado igual a : C {} evento simples Resultado maior do que 6: D evento impossível Resultado menor do que 7: D Ω evento erto 5

6 Operações om eventos e são eventos de Ω : união dos eventos e Oorrênia de pelo menos um dos eventos e. 6

7 Operações om eventos : interseção dos eventos e Oorrênia simultânea dos eventos e. e são disjuntos ou mutuamente exlusivos quando não têm elementos em omum, isto é,. e são omplementares se e Ω. O omplementar de um evento é representado por C ou 7

8 Definições de probabilidade robabilidade lássia ou a priori Se um experimento aleatório tiver nω resultados mutuamente exlusivos e igualmente possíveis e, se um evento tiver n desses resultados, a probabilidade do evento, representada por, é dada por n n Ω Exemplo. Lançamento de dois dados balaneados. Calular a probabilidade de b se obter soma das faes igual a 7, se obter soma maior do que 5, d que o resultado do primeiro dado seja maior do que o resultado do segundo. 8

9 Ω,, 3, 4, 5, 6,,, 3, 4, 5, 6,,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3,4,4 3,4 4,4 5,4 6,4,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5,6,6 3,6 4,6 5,6 6,6 {6,,5,,4,3,3,4,,5,6,} n / nω 6 /36/6 9

10 b 6/36. 0

11 C 5/36.

12 Definições de probabilidade robabilidade frequentista ou a posteriori Um experimento é realizado n vezes n grande. O evento oorre exatamente n vezes 0 n n. frequênia relativa de vezes que oorreu o evento é uma forma de aproximar a probabilidade do evento, ou seja, f r n n Quando n, f r se aproxima de. Exemplo. Lançamento de uma moeda balaneada. Calular a probabilidade de {resultado obtido é ara}. fr fr fr 3 fr 4... Cara /5 6/0 /50 47/ ,5 n

13 Um exemplo em R > p0 / # Moeda balaneada > n 00:5000 > fr mapplyfuntionx sumrbinomx,,p0/x, n > plotn, fr, ylab"freqüênia relativa", type "l" > ablineh p0, lty, ol"blue" Freqüênia relativa n 3

14 4 Definição axiomátia probabilidade de um evento é definida omo sendo um número satisfazendo aos seguintes axiomas:. então são eventos mutuamente exlusivos,,, Se iii, ii,, 0 i i i Ω Ω i i ropriedades. então,,, 5.. então,, 4.. então, 3..,então. 0.. C C C C C C Se Se Se Se Ω + Ω Ω Ω Φ Definições de probabilidade

15 robabilidade ondiional e independênia e são dois eventos em um mesmo espaço amostral Ω. probabilidade ondiional de dado que oorreu o evento, denotada por, é definida omo, se > 0. Exemplo. Seleionamos dois itens, ao aaso, um a um e sem reposição, de um lote que ontém 0 itens do tipo e 5 do tipo. Qual é a probabilidade de que a o primeiro item seja do tipo? b o segundo seja do tipo se o primeiro item foi do tipo? 5

16 Definimos os eventos V V :"o :"o o o item é do tipo "; item é do tipo " a 0 V. 5 3 b V V 5 4 Essas probabilidades podem ser representados em uma árvore de probabilidades. 6

17 Árvore de probabilidades Da expressão obtém-se uma relação útil:, onheida omo regra do produto de probabilidades ou probabilidade da interseção. 7

18 8 Exemplo. No exemplo anterior suponha que temos interesse em determinar a probabilidade de que os dois itens seleionados sejam do tipo itens são do tipo " e o :"o O evento é o o V V V V V V V Resultado. Se é um evento em Ω tal que >0, então.,então, 3. ou então,.se 0. C C C C Se + Ω Ω φ

19 Exemplo. Um representante avalia que sua probabilidade de realizar um bom negóio em um erto dia é 0,35 e a probabilidade de realizar bons negóios em dois dias onseutivos é 0,5. Se um bom negóio foi realizado no primeiro dia, qual a probabilidade de que no dia seguinte não seja realizado um bom negóio? Solução. Definimos os eventos : um bom negóio é realizado no o dia e : um bom negóio é realizado no o dia. Do enuniado do problema temos 0,35 e 0,5. probabilidade pedida é 0,5 0,35 0,86. 9

20 Independênia de eventos Dois eventos e em Ω são independentes se a informação da oorrênia ou não de não altera a probabilidade de oorrênia de. Isto é,, > 0. Logo, dois eventos e são independentes se, e somente se,. Exemplo. Em uma fábria 0% dos lotes produzidos têm omponentes do forneedor, 8% têm omponentes do forneedor V e 4% têm omponentes de ambos. Seleionamos ao aaso um item produzido nesta fábria. a Os eventos relaionados aos dois forneedores são independentes? b Se o lote seleionado tem omponentes do forneedor V, qual a probabilidade de que tenha omponentes do forneedor? Qual é a probabilidade de um lote não ter omponentes destes dois forneedores? 0

21 Solução. : o lote tem omponentes do forneedor, V: o lote tem omponentes do forneedor V. Do enuniado temos 0,0, V 0,08 e V 0,04. a Como V b V V V 0,08 0,04. V, V V 0, 0,06 0,04 0,08 e e V não 0,50. são independentes. V { V V + V } 0,08 + 0, 0,04 0,76.

22 Resultado. Se e são eventos independentes em Ω, então i e ii iii são independentes. e são independentes e são independentes

23 Exemplo. Um atirador aerta 80% de seus disparos e outro nas mesmas ondições de tiro, 70%. Qual a probabilidade de o alvo ser aertado se ambos os atiradores dispararem simultaneamente? Eventos : 0,8 i :"o atirador e + + 0,8 + Outra solução : 0,7 0,7. i aerta o alvo", i 0,8 Logo, 0,7 0,94.,. supondo independênia [ ][ ] [ 0,8][ 0,7] 0,94. 3

24 4 Fórmula de ayes Fórmula da probabilidade total. Se,..., k formam uma partição do espaço amostral Ω, então para qualquer evento em Ω, vale. + + k i i i k k artição do espaço amostral. Uma oleção de eventos,..., k forma uma partição do espaço amostral se eles são mutuamente exlusivos e se sua união é igual ao espaço amostral.

25 Exemplo. Em um programa de televisão são mostradas três portas, e 3 fehadas e apenas uma delas guarda um valioso prêmio. O apresentador do programa sabe qual é a porta que leva ao prêmio. Um partiipante deve esolher uma das portas. Em seguida, o apresentador informa o número de uma porta, diferente da esolha do partiipante, e que não guarda o prêmio. O partiipante esolhe a porta. O apresentador informa que a porta 3 não guarda o prêmio e pergunta ao partiipante se ele gostaria de mudar sua esolha. Se voê fosse o partiipante, qual seria sua deisão? Vale a pena mudar a esolha? 5

26 Solução. Eventos: X i : a porta número i guarda o prêmio e Y j : apresentador informa que a porta número j não guarda o prêmio. Observe que X X X 3 /3. pergunta pode ser respondida omparando X Y 3 e X Y 3, pois X 3 Y 3 0. Levando em onta que o partiipante esolheu a porta, temos Y X Y 3 X ½, Y X Y 3 X 3 0 e Y X 3 Y 3 X, de modo que Y 3 Y 3 X X + Y 3 X X + Y 3 X 3 X 3 ½ /3 + /3 + 0 /3 ½, X Y 3 X Y 3 /Y 3 Y 3 X X /Y 3 /x/3// /3 e X Y 3 X Y 3 /Y 3 Y 3 X X /Y 3 x/3// /3 / / /3. Vale a pena mudar a esolha! 6

27 Fórmula de ayes. Se,..., k formam uma partição do espaço amostral Ω em Ω om > 0, então, e é evento i k i i i i i. Exemplo. Uma montadora trabalha om dois forneedores e de uma determinada peça. Sabe-se que 0% e 5% das peças proveniente dos forneedores e, respetivamente, estão fora das espeifiações. montadora reebe 30% das peças do forneedor e 70% de. Se uma peça do estoque inteiro é esolhida ao aaso, a alule a probabilidade de que ela esteja fora das espeifiações. b se uma peça esolhida ao aaso está fora das espeifiações, qual é a probabilidade de que tenha sido forneida por? 7

28 Solução. Eventos: : peça seleionada foi forneida por, : peça seleionada foi forneida por e E: peça seleionada não atende às espeifiações. Do enuniado do problema temos 0,30, 0,70, E 0,0 e E 0,05. 8

29 a Fórmula da probabilidade total: E E + E 0,30 0,0 + 0,70 0,05 0,065. b E? ela fórmula de ayes, E 0,30 0,0 0,03 E E + E 0,30 0,0 + 0,70 0,05 0,065 0,46. solução do exemplo anterior é failitada pela árvore de probabilidades: 9