Conceitos básicos de transferência de Calor:

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1 Condução - Le de ourer Concetos báscos de transferênca de Calor: órmula geral para 3 dmensões: ρc = λ t x + λ x y + λ y z p x y z z com ρ - densdade (Kg/m³). λ - condutvdade térmca na drecção (x, y ou z) (W/(m K)). C p - Calor específco (J/(Kg K)). Equação para um clndro fnto (lata) em coordenadas clíndrcas, consderando propredades térmcas constantes α = + + t r r r x com α - Dfusvdade térmca (m²/s). r - coordenada radal (m). Dmensão: = αr ( γ ) t r r ( γ ) r Placa Infnta, γ = Clndro Infnto, γ = Esfera, γ = 3

2 Soluções analítcas: Condções:. emperatura ncal omogénea: t=, x,y,z,(x,y,z)=.. emperatura de aquecmento constante: t>, surf =. 3. Coefcente de transferênca de calor nfnto: surf =. Quando o coefcente de transferênca de calor é fnto: ( ) λ = x surf (t>) com: - coefcente de transferênca de calor (W/m²/K). ABELA Geometra Placa Infnta Soluções analítcas para a equação de ourer consderando um coefcente de transferênca de calor nfnto. Solução Analítca n ( x, t) ( ) n x n t cos ( ) 4 + π ( + ) π α = exp π n+ L 4L n= Clndro Infnto rt (,) J ( β nr / R) t = n J ( ) exp αβn = β β R n n (*) Esfera Clndro fnto rt (,) ( ) n R n r n t + π π α sn exp for < r < R πr n= n R R = n n παt + ( ) exp r for = n= R trx (,, ) ( ) = 4 λ m= n= m+ m x J ( nr/ R) m n cos m t L nj ( n) exp β λ β λ + α (#) β β L R (*) βn raízes postvas da equação Jo(βn)=. J n (x) são funções de Bessel: ( n+ ) ( ) x Jn ( x) =!( + n)! = π (#) λm = ( m ) Convecção - Agtação Completa

3 U A( ) = d( ρvc ) dt p com U - coefcente global de transferênca de calor (W/m²/K) A - Área para transferênca de calor (m²) ρ - densdade (kg/m 3 ) V - volume (m 3 ) C p - calor específco (J/(Kg K)) - emperatura de aquecmento (ºC) - emperatura do produto Solução Analítca: U At = exp( ) mc p com m - massa (Kg) (notar que : m = ρ * V)

4 Equações empírcas Heatng Curve Coolng Curve Retort - Product emperature ( C) ' j = Expermental Exponental ' f Product - Coolng Water emperature ( C) B cw g cw B jc = g cw cw Expermental Exponental me (mn) me (mn) t () = j t f

5 ABELA Valores teórcos para f e j Geometra f j (centro) j (fora do centro) Condução Placa Infnta.933 L α Clndro Infnto. 398 Esfera. 33 R α R α. 398 Clndro nto α L R. 933 Paralelepípedo + + α a² b² c² πy.68 β r 68. J R. R πr sn r R.397 βr πy. 397J cos R L.64 πx πy πz.64cos cos cos a b c Convecção 33. ρvc U A p

6 Propredades de f e j f e j são ndependentes de e f é dependente da dfusvdade térmca, do coefcente de tranferenca de calor, da geometra e dmensões f é ndependente da posção no recpente, da dstrbução ncal de temperaturas e do CU (come up tme, tempo de subda) da autoclave. j é dependente da geometra,posção no recepente, dstrbução ncal de temperaturas e CU j é ndependente da dfusvdade térmca.

7 O Método Matemátco - Método de Ball Dervação do Método de Ball: Equações para descrever a evolução emperatura(tempo): () Aquecmento : <t<t (t=tempo no aquecmento) Logarítmco, t ()= j ( ) o t f j = ' () Arrefecmento: (a) <t<t x, Hperbólco (t=tempo no arrefecmento) [ g + 3. ( g cw) ( t) ] ( ) t = [ 3. ] ( 75. f ) g cw t ou, ()= t g a + b com: a = 3.( g cw); b= 575. t x ; tx = f (b) t>t x, Logarítmco, = + j ( ) cw c g cw c jc log 675. t fc j c = B g w w

8 Vmos anterormente que o valor de processamento é dado por, t p = L dt com, L = () t ref z Consderando as dferentes fases do processo, temos: t t + t x = L dt + L dt + L dt.e., = + + t c c Consderando a contrbução da fase de aquecmento: Vmos que: equvalente a, dt d =? ( ) t p t + t x t ()= j o t f t = f log( j ) + f log( ) f log( ( t)) dt d = + f 33. ( ) ( t ) ( ) endo em atenção que quando t=, = e que quando t=t, = g, temos: = g f. 33 ( ) ref z d

9 Consderando anda que - ref = - g + g - ref, temos: = f g ref z g 33. ( ) g z d ou, = f Lg C Por analoga podemos determnar para as restantes fases: = f L C c c g = f L C c c g 3 endo assm expressões para todos os termos necessáros ao cálculo do valor na equação: = + + c c De modo a smplfcar os cálculos dos ntegras e reduzr o número de tabelas e gráfcos necessáros para os cálculos, Ball fez as seguntes assunções: (a) f=f =f c (b) j c =.4 (c) L para <8ºC Então, com, C( - g, - w, z). = f Lg C (De acordo com a notação utlzada por Ball, - g = g e - w = m+g)

10 Consderando anda que, g - ref = g ref, Defnndo os seguntes símbolos: = f L C' ref z = = L U = = L f U = C' O Valor pode ser então calculado a partr da equação, = f f U Exstem gráfcos que nos permtem a determnação de f em função de g, m+g e z. U

11 Aplcação do Método de Ball: Cálculo de () Calcular log g consderando a segunte equação: B log g = log ji f sendo I - - (ºC). B B -empo de processamento de Ball: B B = t +.4*CU () Calcular f /U nos gráfcos de f /U vs. log g. (3) Calcular como: onde é dado por, = f ( f / ) U B ref z = () Cálculo do tempo de processamento para um dado valor () Calcular f /U, f / U = f () () Determnar log g a partr dos gráfcos f /U vs. log g. (3) Calcular B B usando a equação, B = f (log ji log g) (3) B

12 j f BB I=- log (g)=log (j I) - (BB/f) ref z = Calcular f/u a partr dos gráfcos = f U ( f / ) g.. Cálculo do valor

13 f j ref z = f U = f I=- Calcular log(g) a partr dos gráfcos BB= f (log (ji) -log (g)) g.. Cálculo do tempo de processamento

14 Método de Ball. Exemplo. Calcular o valor para o segunte processo, consderando z= 6 º e ref=5º Parâmetros do Processo: CU = mn Holdng = 58.5 mn emperatura de Processamento = 45º (8.3ºC) emperatura Incal do Produto = 8º (8.ºC) emperatura Água de Arrefecmento = 65º (8.3º) Parâmetros de aquecmento do Produto f = 49. mn e j b =. Resolução: = 45º = 8º B B =.4 * CU =.4 * = 6.7 mn I= - o = 45-8 = 65 º log (g) = log (ji)- B B /f = log (. * 65) - 6.7/49. =.834 ref z = = =.54 L m+g = -w = = 8 º No gráfco : z=6º; log (g)=.834; m+g=8º então f /U= 8. = f f = 49/(8*.54) =.98 mn U

15 Método de Ball. Exemplo. Cálculo do tempo de processamento necessáro para se atngr um valor = 3.5 mn. z= ºC (8 º) e ref=ºc (5º) Parâmetros do Processo: CU = 8 mn emperatura de Processamento = 48º (ºC) emperatura Incal do Produto = º (48.8ºC) emperatura Água de Arrefecmento = 8º (47.7º) Parâmetros de aquecmento do Produto f =.4 mn e j b =.98 Resolução: ref z = = L =.95 I = 48 - = 8º f/u=.4/ (3.5 *.95) =.5 m+g= -w=48-8=3ºc No Gráfco : m+g= 3º ; f/u=.5; z= 8ºC então log(g)=.47 BB= f (log (ji)-log(g))= 8.56 t = BB -.4 *CU = * 8= 5. mn