Capítulo 6 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

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1 Capítulo 6 EQUAÇÕE DE COERVAÇÃO DA EERA Analogamente ao que fo efetuado no Capítulo 5 para a conservação da massa, o presente capítulo apresenta formas da equação da conservação da energa em função de propredades ntensvas como a temperatura, a pressão, a concentração e a velocdade. ovamente, relações consttutvas para os fluxos de energa por dfusão são formuladas em função destas varáves para que a ntegração das equações resultantes, com devdas as condções de contorno, permta o cálculo dos perfs de temperatura. Fluxos de calor são então calculados a partr dos perfs de temperatura e dos própros fluxos de massa. 6.. Equação de Conservação da Energa 6... Equação da Energa nterna Como o nteresse deste texto está no estudo do transporte de calor por dfusão, de modo a smplfcar as análses subseqüentes, é convenente subtrar da equação da energa total obtda na eção 4.3 os termos referentes à energa cnétca, vsto que os mesmos serão desprezíves na maora das aplcações onde o mecansmo predomnante de transporte de energa é a dfusão do calor. Re-escrevendo a equação da energa total (4.3.) para: e 2 2 u v (6..) ~ p ~ ~ (6..2) e w g v (6..3) sto é, a força de corpo é devda somente à ação do campo gravtaconal, obtém-se: u t v 2 u v 2 v q 2 2 df q pv ~ v g v (6..4) A equação de transporte da energa cnétca pode ser obtda a partr do prncípo de conservação da quantdade de movmento, medante o seu produto escalar com o vetor velocdade méda mássca v, e da equação de conservação da massa global (lattery, 999; Brd et al., 22). Esta equação é dada por:

2 v t v v p v 2 pv ~ v ~ : v g v (6..5) ubtrando a equação (6..5) da equação (6..4), obtém-se a equação da energa nterna, dada por: u uv q t df q ~ p v : v (6..6) Os dos últmos termos do lado dreto aparecem nas equações da energa nterna e da energa cnétca com snas opostos, e representam a conversão entre as duas formas de energa. O tercero termo, pv, pode ser postvo ou negatvo (contração ou expansão) e, portanto, representa um modo de conversão reversível. O quarto termo, ~ : v, é sempre postvo e representa uma degradação rreversível da energa mecânca em energa nterna, sendo resultado da ação de forças de dsspação de natureza vscosa (Brd et al., 22). Em problemas que envolvem a transferênca de calor, geralmente, tas termos podem ser desprezados frente ao termo do fluxo de calor. Este será o caso da maora das aplcações de Dfusão de Calor e Massa abordadas neste texto Equação da Energa em Função da Entalpa Em algumas stuações, é convenente escrever a equação da energa nterna em função da entalpa: p h u (6..7) Desse modo, substtundo na equação (6..6), tem-se: Como h p hv pv q t t df q pv v p p v, a equação se torna: p v ~: v (6..8) Dp h hv q t df q ~ : v (6..9) onde Dp p vp t (6..) é a dervada materal da pressão. Com a ntrodução desta dervada materal, a equação (6..9) pode ser escrta na forma mas compacta: 2

3 Dh Dp q q ~ df : v (6..) Para demonstrar a valdade da equação (6..), expandmos os operadores do lado esquerdo da equação (6..9): h h hv h v h h t t t v (6..2) que: Pela equação de conservação da massa global (equação da contnudade), é possível verfcar h h t t v h v (6..3) Em outras stuações, é nteressante expressar a equação da energa em função da temperatura, da pressão, da velocdade e da concentração, uma vez que as relações consttutvas para os termos de fluxo (dfusvos) e de geração são expressas em função dessas propredades. sto será efetuado na seção a segur Equação da Energa em Função da emperatura e da Concentração (es de Fourer e Fc) Por meo de relações entre propredades termodnâmcas, é possível expressar a entalpa de uma mstura bnára (de componentes e 2) por meo da segunte relação: h h h dh dp d dx (6..4) p X,X p,x p, ote que, como X X2 e dx dx2, somente a varação da entalpa com relação a um componente é necessára para caracterzar a relação funconal para dh. o caso geral de uma mstura multcomponente, podemos escrever que: h dh p,x h dp p,x d h X p,,x j dx (6..5) onde o índce X nos dos prmeros termos ndca que todas as frações másscas foram mantdas constantes. O sub-índce j em X j ndca que as frações másscas dos outros componentes, a menos do j-ésmo, são mantdas fxas. Das relações entre propredades termodnâmcas tem-se anda que: h p,x p,x (6..6) onde é o volume específco. Assm: 3

4 h ln (6..7) p ln,x p,x p,x onde é o coefcente de expansão volumétrca. Adconalmente: ogo: h c (6..8) P p,x Dh D Dp Dp h DX c P X (6..9) p, e, para uma mstura multcomponente: Dh c P D Dp Dp h X p,,x j DX (6..2) Os termos entre parênteses no lado dreto das equações (6..9) e (6..2) podem ser calculados com base na defnção da entalpa parcal. Dessa forma, fazendo uso das relações dervadas na eção 3.3.3, temos que, para uma mstura bnára: D Dp Dp DX Dh c P 2 (6..2) e, para uma mstura multcomponente: Dh c P D Dp Dp DX (6..22) ubsttundo a equação (6..2) na (6..), tem-se: D Dp DX cp q df q ~: v 2 (6..23) Da mesma forma, substtundo a equação (6..22) para uma mstura multcomponente, temse: c P D q df q Dp ~: v DX (6..24) 4

5 ntroduzndo o lado dreto da equação (5..5), por meo da defnção da dervada materal da fração mássca, obtém-se para uma mstura bnára: J q D ~ Dp cp q df 2 2 R : v (6..25) e, para uma mstura multcomponente: D cp q df J q Dp R ~: v (6..26) Com as defnções do fluxo de calor dfusvo (equação 3.3.5) e do fluxo de massa dfusvo na equação acma, temos: q df J (6..27) Analsando prmeramente o caso de uma mstura bnára, temos que com a le de Fc a equação acma se reduz a: q df J D 2 2 J 2 2 J 2 X (6..28) Além dsso, fazendo uso da dentdade: D X D X D (6..29) X é possível mostrar que a equação (6..25) pode ser reduzda a: D cp R D X q Dp ~: v (6..3) onde o prmero termo do lado dreto representa a energa transferda ao volume de controle nfntesmal por meo da condução de calor. O segundo termo representa a transferênca de energa ao volume de controle com o fluxo de massa por dfusão. O tercero e quarto termos são termos de geração de energa por undade de volume. O qunto e sexto termos são devdos ao trabalho na forma rreversível (dsspação vscosa) e reversível (compressão e expansão). o caso de uma mstura, além do gradente de temperaturas, o fluxo de calor depende do gradente de concentrações a partr do chamado Efeto Dufour (Brd et al., 22), de modo que um termo adconal proporconal ao gradente de frações molares pode ser adconado ao lado dreto 5

6 da equação (6..28). Entretanto, em boa parte das aplcações prátcas, tal efeto é de ordem superor àquele relatvo ao termo de Fourer, podendo ser desprezado. Da mesma manera, na maora dos exemplos aqu estudados, os efetos de dsspação de calor por atrto serão desprezíves (prncpalmente porque a velocdade do meo fludo precsa assumr valores elevados para que a dsspação vscosa cause um efeto comparável àqueles relatvos à dfusão de calor). Assm, o termo ~ : v será também desprezado. Em sstemas líqudos e sóldos, o coefcente de expansão volumétrca é muto pequeno, de modo que o termo de varação de energa devdo à compressão e expansão se torna desprezível. Para um gás, este termo pode ser sgnfcatvo em função da varação da pressão em questão. Para um gás perfeto, = -. Desta manera, nos problemas abordados neste texto, a equação da energa pode ser escrta na forma a segur para uma mstura bnára: D c P D 2 X 2 q 2 R (6..33) o caso de uma mstura multcomponente, adotando o conceto de dfusvdade efetva, e levando em conta o fato de exstrem - fluxos de massa dfusvos ndependentes, o fluxo de calor devdo à dfusão (equação 6..27) é dado por: q df D,eff, X (6..34) Dessa forma, substtundo os fluxos dfusvos, a equação (6..26) pode ser escrta na forma: c P D,eff, Dp R ~ : v D X D X q,eff, (6..35) Estendendo a dentdade dada pela equação (6..29) ao caso multcomponente, temos: D X D X,eff,,eff, D,eff,X (6..36) Com sso, a equação fnalmente se torna: c P D D X q,eff, Dp R ~: v (6..37) 6

7 onde a representação físca de cada termo é equvalente àquela da equação (6..3). De forma equvalente, a equação correspondente à equação (6..33) é dada por: D c P,eff, R (6..38) D X q As equações (6..3) e (6..37) servem de ponto de partda para a dedução de formas mas compactas e smplfcadas das equações de conservação da energa para substâncas smples e msturas, com base nas es de Fc e Fourer. as equações escrtas em notação aberta nos sstemas de coordenadas cartesanas, clíndrcas e esfércas são apresentadas no Apêndce A Condções de Contorno para a Dfusão de Calor Equlíbro ermodnâmco nterfacal Ao contráro das frações de massa e molares, que apresentam um salto de descontnudade através de uma nterface, a temperatura, de uma forma geral, pode ser consderada uma função contínua na nterseção entre dos meos. Desse modo, consderaremos aqu que a segunte condção (que representa o equlíbro termodnâmco na nterface) é sempre válda: (6.2.) Condções especas em que nterfaces líqudo-gás podem exbr um salto de descontnudade de temperatura perceptível na nterface são dscutdas por Carey (992) e Faghr e Zhang (26). a nterface entre dos sóldos pode ocorrer um salto de descontnudade na temperatura devdo à presença de uma resstênca térmca de contato ocasonada pelas rugosdades das superfíces. A dstrbução e os tamanhos dos pontos de contato entre as superfíces (por onde efetvamente a maor parcela do calor é transferda) dependem de parâmetros com a pressão de contato, propredades mecâncas dos materas e da própra natureza da rugosdade das superfíces. Modelos matemátcos para o cálculo da resstênca térmca de contato em uma sére de aplcações e geometras são apresentados por Yovanovch e Marotta (23). A menos que se ndque o contráro, ao longo deste texto, será admtdo que no contato entre duas fases quasquer a resstênca térmca nterfacal é nula e a equação (6.3.) permanece válda. Analogamente ao efetuado no Capítulo 5, outros tpos de condção de contorno adconas são possíves para a transferênca de calor, dependendo da natureza da nteração entre o meo materal e a sua vznhança. as condções são mas convenentemente exemplfcadas no contexto da aplcação de um balanço de energa através de uma nterface que separa dos meos ou duas fases. 7

8 Equações de Conservação Aplcadas a uma nterface Consdere o balanço de energa da mstura pelo elemento de área da na nterface entre os meos e, conforme mostra a Fg. 6.. ovamente, o uso dos índces e é uma smples convenênca e não deve ser entenddo que o balanço nterfacal dervado abaxo é uma exclusvdade para nterfaces líqudo-gás. VC,, v, z dz dt q ger,, v, dz dt Meo q q Meo da Fgura 6.. Balanço de energa nterfacal da mstura. Conforme adotado na eção 5.2, assumremos que a nterface entre os dos meos não possu espessura e que, por sso, não acumula massa nem energa (Carey, 992). Dessa forma, o prncípo de conservação da energa da mstura é dado por:,, v, dz dt, da q da, v, dz dt da q da q da ger (6.2.2) onde é a entalpa parcal específca do componente no meo. q ger é a taxa de geração (ou, consumo) de energa na nterface, por undade de área (W/m 2 ). Da defnção do fluxo de massa total do componente com relação a um referencal fxo como sendo composto de uma parcela convectva e de uma parcela dfusva, temos que (equação 3.3.4): v v J (6.2.3),,,, ubsttundo na equação (6.2.2) e elmnando a área nterfacal, temos: 8

9 ,, v dz dt,, v J,, dz dt q J,, q q ger (6.2.4) Com a ntrodução do fluxo nterfacal da mstura com relação à nterface, defndo pela equação (5.2.), temos que:, m,,,, J,, m, q J,, q q ger (6.2.5) Como:, X, (6.2.6) e, pela conservação da massa da mstura nterfacal:,, m m m (6.2.7) temos que a equação (6.2.5) assume a forma: m X,, m J,, X, q, J,, q q ger (6.2.8) Como a entalpa específca da mstura é defnda por: h X (6.2.9),, o prncípo de conservação da energa da mstura na nterface pode ser escrto como: h m J,, q h m J,, q q ger (6.2.) 9

10 a equação acma, o prmero e o quarto termos são relatvos à advecção da energa (transporte da energa com o fluxo de massa da mstura) em ambos os meos. Os termos restantes, à exceção do últmo termo, são devdos ao transporte dfusvo da energa nos meos e. Mas especfcamente, o segundo e o qunto termos representam o fluxo de energa assocado à nterdfusão das espéces nos respectvos meos. ubsttundo as equações consttutvas da condução (e de Fourer) e da dfusão de massa (e de Fc) na equação (6.2.) e, na seqüênca, efetuando os produtos escalares arbtrando o sentdo postvo como aquele que aponta para fora do meo, tal que e, temos: h m, D,eff, X n h m, n, D,eff, X, n n q ger (6.2.) que: o caso específco em que a mstura é um sstema bnáro, de componentes e 2, temos, D,eff, X, n D 2,, 2, X, n (6.2.2) Assm, o balanço de energa nterfacal para um sstema bnáro pode ser escrto como: h h m D 2,, D 2, 2, X, n n X, q, 2, n n ger (6.2.3) O balanço de energa nterfacal pode ser escrto em função dos fluxos de massa na base molar. Analogamente, as equações (6.2.) e (6.2.3) podem ser escrtas na forma: h ~ n, c h, D,eff, h ~ n x,, n c n h, D,eff, x, n n q ger (6.2.4) h ~ n h ~ n c D h h,, 2,, c D 2, 2, x n n x n, h h q,, 2, n ger (6.2.5) É nteressante notar a dferença entre os prmeros termos das equações (6.2.3) e (6.2.5), a qual reflete o fato de que, num caso geral, o fluxo molar não se conserva através da nterface.

11 Formas smplfcadas destas condções de acoplamento podem, assm como para a conservação da massa, ser obtdas para casos especas que ocorrem com freqüênca na prátca. as stuações são exemplfcadas nas seções a segur Condções de Contorno sem Dfusão de Espéces Químcas Relação geral envolvendo a mudança de fase. o caso de uma substânca pura, o segundo e o quarto termos das equações (6.2.3) e (6.2.5) são elmnados e a equação de acoplamento apresenta, na ausênca de geração nterfacal, a segunte forma (utlzando a base mássca por convenênca): (6.2.6) n n h h m onde os sub-índces α e β são empregados por convenênca a fm de facltar a dscussão a segur. ote que o prmero termo representa a contrbução latente, enquanto que o segundo e o tercero são parcelas de calor sensível. A Fgura 6.2 lustra três stuações envolvendo os perfs de temperaturas nas fases α e β. Meo α Meo β n Meo α Meo β n Meo α Meo β n da da da (a) (b) (c) Fgura 6.2. Perfs de temperatura em uma nterface (substânca pura, sem geração). a Fgura 6.2.a, os gradentes de temperatura são tas que há um aporte de calor sensível à nterface por ambas as fases. este caso:, n n, sendo fácl verfcar que na nterface a mudança de fase é sempre por evaporação. ndependentemente do valor de h α h β (postvo ou negatvo), o fluxo de massa será sempre no sentdo da fase de menor entalpa para a de maor entalpa, o que é condzente com o fato de que a evaporação é um processo endotérmco. Da mesma forma, na Fgura 6.2.b, os gradentes de temperatura mostram que há transferênca de calor sensível a partr da nterface, pos:

12 , n n Analogamente, verfca-se que a mudança de fase é por condensação, já que o fluxo de massa será sempre da fase de maor para a de menor entalpa (processo exotérmco). Fnalmente, na Fgura 6.2.c, os gradentes de temperatura têm o mesmo sentdo e, a prncípo, não é possível afrmar se a mudança de fase se dá por evaporação ou por condensação, uma vez que é a dferença entre os fluxos de calor sensível na nterface e valor de h α h β que rá dtar o sentdo do fluxo de massa nterfacal. a ausênca de um fluxo de massa na dreção normal à nterface, a condção de acoplamento se torna: (6.2.7) n n o que ndca uma contnudade dos fluxos de calor sensível entre as fases. Condção de baxos fluxos e o coefcente de transferênca de calor. Aprovetando este contexto, é oportuna a ntrodução da defnção do coefcente de transferênca de calor. Analogamente ao que fo realzado na defnção do coefcente de transferênca de massa, quando um dos meos é um fludo em movmento paralelo à nterface (ver Fgura 6.3 que lustra a nterface entre um sóldo e um gás), podemos defnr com base em uma relação consttutva, uma relação entre o gradente de temperaturas na nterface e a dferença de temperaturas entre a superfíce e um valor de referênca no meo em questão. al relação consttutva defne um coefcente de transferênca de calor na forma: v, n Meo Meo da Fgura 6.3. Perfs de temperatura junto à nterface entre um sóldo e um gás em escoamento paralelo (sem fluxo de massa na dreção normal à nterface). 2

13 (6.2.8) n onde, no, a undade do coefcente de transferênca de calor é [W/m 2.s] e, analogamente à transferênca de massa, a presença do índce superor serve para dferencar o coefcente de transferênca de calor de fluxo zero da condção em que há transporte de massa normal à nterface. ogo, no contexto da transferênca de calor entre o sóldo e o gás da Fgura 6.3, a equação de acoplamento se torna: (6.2.9) n Matematcamente, a equação (6.2.9) defne a condção de contorno de tercero tpo (ou de Robn), a qual é de natureza msta, pos envolve a condução de calor ocorrendo smultaneamente em ambos os lados da nterface e atrela o fluxo de calor ao valor da temperatura no contorno por meo da le consttutva da convecção. Obvamente, assm como para a transferênca de massa, para se aprovetar a convenênca da relação consttutva proposta pela equação (6.2.8), é necessáro conhecer o comportamento de em função de parâmetros do problema físco na fase adjacente àquela em que se deseja calcular o campo de temperaturas. Este comportamento é, por sua vez, função da própra condução ou da convecção (condução mas advecção) de calor na regão do meo adjacente à nterface (a camadalmte). Em problemas envolvendo a convecção de calor em condções de baxas taxas de transferênca, o coefcente de transferênca de calor de fluxo zero pode ser determnado a partr de relações da teora de convecção, como por exemplo (enhard e enhard, 25): u f Re, Pr (6.2.2) u f Ra, Pr (6.2.2) para os casos de convecção forçada e natural, respectvamente. as equações acma, é um comprmento característco do meo. u é o número de usselt (uma representação admensonal do coefcente de transferênca de calor de fluxo zero), Re é o número de Reynolds, Ra é o número de Raylegh e Pr é o número de Prandtl, todos referentes ao meo. A apresentação destas relações, entretanto, foge do escopo do presente texto. Condção de altos fluxos para a transferênca de calor. Conforme vsto no Capítulo 5, condções de altas taxas de transferênca são aquelas em que a parcela advectva do fluxo de massa na dreção normal à nterface, com relação à nterface, é sgnfcatva a ponto de provocar uma dstorção nos perfs de concentração ou temperatura adjacentes à nterface, alterando assm o 3

14 valor da contrbução dfusva do fluxo de massa ou de energa normal à nterface. o contexto da transferênca de calor com mudança de fase de uma substânca pura, o fluxo de energa total pela nterface é defndo por (ver Fgura 6.4): e, e, h m n h m (6.2.22) nterface v e m Meo Fgura 6.4. ransporte de energa por uma nterface. onde é o coefcente de transferênca de calor de fluxo fnto, ou seja, aquele que leva em conta a presença de um fluxo de massa advectvo não-nulo na dreção normal à nterface. Assm como para a transferênca de massa, os coefcentes de transferênca de calor de fluxo zero e fluxo fnto se relaconam a partr de: lm (6.2.23) m onde, tomando como referênca o perfl de temperaturas na fase, a Fgura 6.5 lustra a nfluênca do fluxo de massa sobre o perfl de temperaturas. Quando o fluxo de massa total é da nterface para o meo, o perfl de temperaturas é suavzado (dmnução do ângulo θ) e, conseqüentemente, o coefcente de transferênca de calor é reduzdo, uma vez que o comprmento característco maor que o valor de referênca para fluxo zero E é. Alternatvamente, quando o fluxo de massa total é no sentdo oposto, ou seja, do meo para a nterface, o perfl de concentrações é acentuado C (aumento de θ), o que aumenta, pos o comprmento característco é menor que o valor de referênca para fluxo zero. 4

15 m m m C E Fgura 6.5. Perfs de temperatura junto à nterface nas condções de altos fluxos. n Analogamente às defnções para a transferênca de massa, com o auxílo da Fgura 6.5, é possível defnr o ângulo θ no contexto da transferênca de calor: tan (6.2.24) n que, para a condção de baxos fluxos, pode ser aproxmado por: tan (6.2.25) Combnando os segundos termos dos dos lados da últma gualdade da equação (6.2.22), temos, para a condção de baxos fluxos: (6.2.26) Para complementar a analoga entre os processos de transporte de calor e de massa pela nterface, a relação entre os coefcentes de transferênca de calor de fluxo fnto e de fluxo zero, conforme será demonstrado no Capítulo 7, é dada por: m c exp m c P P (6.2.27) onde c P é o calor específco pressão constante do fludo transportado a partr da nterface no meo. A equação (6.2.27) é lustrada grafcamente na Fgura 6.6. Da mesma forma, quando o fluxo de 5

16 massa é postvo (da nterface para o meo, por exemplo, numa nterface líqudo-vapor, caracterzando um fluxo de evaporação), temos que. Analogamente, quando o fluxo de massa é negatvo (do meo para a nterface, caracterzando um fluxo de condensação) temos que., m c P Fgura 6.6. nfluênca do fluxo de massa sobre o coefcente de transferênca de calor ransferênca multânea de Calor e de Massa (em preparação) Condções de Contorno na Forma Admensonal: úmero de Bot Analogamente ao que fo efetuado na eção 5.2.5, examnaremos por meo de parâmetros admensonas os tpos de condções de contorno encontrados em um problema de condução de calor na condção de baxas taxas de transferênca. Para tal, tomemos a nterface entre os meos e mostrada na Fgura 6.7. upomos que neste problema o objetvo prncpal é resolver a dstrbução de temperaturas no meo. Admtndo que não há fluxo de massa na dreção normal à nterface, temos que: X (6.2.28) n n Caso o meo seja um fludo em movmento, é convenente escrever: (6.2.29) n 6

17 v, n Meo Meo da Fgura 6.7. Perfs de temperatura nos meos e (não há fluxo de massa normal à nterface e no meo ocorre convecção). Com o ntuto de quantfcar os efetos domnantes sobre o balanço nterfacal, tomemos a equação (6.2.29) na forma admensonal. endo a dstânca da nterface admensonal dada por: n (6.2.3) onde é um comprmento característco do meo. A temperatura admensonal no meo é defnda por: (6.2.3) onde é o valor mas extremo (máxmo ou mínmo) assumdo pela temperatura do meo no problema em questão. Por exemplo, em um problema transente, correspondera à temperatura no nstante de tempo ncal, ou seja, antes que se ncasse o processo de transferênca de calor. ote que o valor de é normalzado entre e. A Fgura 6.8 lustra o comportamento ao longo do tempo dos perfs de concentração em ambos os lados da nterface, para uma stuação em que. 7

18 Meo tempo t tempo t t Meo t Fgura 6.8. Comportamento dos perfs de temperatura em função do tempo (no meo ocorre convecção). ubsttundo as equações (6.2.3) e (6.2.3) na equação (6.2.29), temos: (6.2.32) B onde (6.2.33) e B é o número de Bot da transferênca de calor, dado por: B m (6.2.34) O número de Bot representa uma razão entre as resstêncas à transferênca de calor na dreção do gradente de temperatura (em m 2.K/W) nos meos e. A resstênca à transferênca de calor no meo (condução) é dada por: (6.2.35) enquanto a resstênca no meo (convecção) é defnda por: 8

19 (6.2.36) Desta forma, quando B, pode-se dzer que o processo de transferênca de calor entre os meos é controlado pela condução de calor no meo. al stuação é típca de sstemas onde o coefcente de transferênca de calor é elevado e a condutvdade térmca do meo é pequena. Assm, o gradente de temperaturas no meo junto à nterface é acentuado. Alternatvamente, para B, o processo de transferênca de calor é controlado pela convecção no meo. este caso, a condutvdade térmca do meo é alta o bastante para que não exsta resstênca ao transporte de calor até a nterface, unformzando o gradente de temperaturas no meo. Um coefcente de transferênca de calor baxo dfculta o transporte de soluto para longe da nterface, aumentando a espessura da camada-lmte de temperaturas no meo. A Fgura 6.9 lustra os perfs de concentração no contorno para os casos de número de Bot de transferênca de massa altos e baxos, respectvamente. Meo nterface Meo v Meo nterface Meo v (a) (b) Fgura 6.9. Perfs de temperatura no contorno para baxas taxas de transferênca (fluxo zero). (a) Baxo B, (b) Alto B. uma stuação extrema de B (Fgura 6.9.b), o transporte de calor no meo é ntensfcado a ponto de ser válda a segunte aproxmação: (6.2.37) o que caracterza uma condção de temperatura prescrta no contorno, ou seja, uma condção de prmero tpo ou de Drchlet. o caso extremo de B, a equação (6.2.32) se transforma em: 9

20 (6.2.38) o que matematcamente sgnfca uma stuação de mpermeabldade da nterface com relação ao calor (condção de solamento térmco). A equação acma é um caso especal da condção de fluxo prescrto no contorno (de segundo tpo ou de eumann) que, em termos das varáves admensonas, é dada por: (6.2.39) onde pode ser uma constante ou, em um caso geral, depender do espaço e do tempo. Por meo da equação (6.2.32), que representa uma condção de 3º tpo ou de Robn, é possível observar e compreender que a magntude das resstêncas à transferênca de calor em ambos os lados da nterface é o fator decsvo para a decsão quanto ao tpo de condção de contorno a ser aplcada na formulação de um problema de transferênca de calor por condução. Por outro lado, a magntude da condutvdade térmca é mportante para a redução do número de dmensões relevantes em um problema de condução ermos de eração e Consumo da ransferênca de Calor (em preparação) Referêncas Yovanovch, M.M., Marotta, E.E., 2, hermal preadng and Contact Resstance. Em: Heat ransfer Handboo. Ed. A. Bejan, A.D. Kraus, Wley, Y. Carey, V.P., 992, qud-vapor Phase-Change Phenomena, Hemsphere Publshng Corporaton, ew Yor, Y. Faghr, A., Zhang, Y., 26, ransport Phenomena n Multphase ystems, Elsever 2