3 Modelagem computacional do escoamento com superfícies livres e deformáveis

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1 3 Moelagem comptaconal o escoamento com sperfíces lres e eformáes Para resoler o escoamento em processos e reestmentos por Etrsão, se fzeram so o sstema e eqações e Naer-Stokes na forma bmensonal e as conções e contorno apropraas e como o problema apresenta sperfíces lres fo precso transferr aqele omíno físco esconheco a otro omíno e referenca fo, esta transformação é efetaa meante m mapeamento representao por m par e eqações ferencas parcas elíptcas ncaas no captlo anteror. oas estas eqações ferencas eeram ser resolas e forma acoplaa resltano nm sstema e eqações ferencas. O sstema e eqações ferencas parcas será resolo pelo métoo os Elementos Fntos especfcamente o métoo e Galerkn. 3.1 Solção o sstema e eqações pelo métoo e Galerkn/ Elementos Fntos As eqações a contnae, a conseração a qantae e momento, a geração a malha são resolas tlzano o métoo e Galerkn. As formas fracas as eqações e contnae, a qantae e momento e a malha são escrtas a segnte manera: c, 3-1 m W : W n W,, W D n D W

2 Captlo 3. Moelagem Comptaconal 56 W = 1, 2 é o etor fnção peso a eqação a conseração a qantae e momento e e geração a malha, é a fnção peso a eqação e contnae, e D é o tensor e coefcentes e fsão. Uma epansão as eqações acma em coorenaas cartesanas é apresentaa a segr. esíos a eqação a contnae: c c 3-1 esíos a eqação a conseração a qantae e momento lnear: m n m n m 1-3 esíos a eqação e geração a malha: D D D D Qano o Moelo e Molas é sao para escreer a eformação a camaa elástca o clnro, o balanço e forças na paree eformáel representao pela eq. 2.4, é também aplcao entro e ma forma ntegral. Uma as eqações resas a geração e malha é sbsttía pelo resío ponerao o balanço e tensões normas. ef 1 X N n N K 1-6

3 Captlo 3. Moelagem Comptaconal 57 A eformação somente será na coorenaa como mostraa o omíno físco a Fgra 2.7. As fnções poneraas são escolhas para representar fnções Delta Drac métoo e colocação, tas qe o resío se torne nm aalaor a conção e contorno, assm: 1 N n N X 1-7 K epresentação os campos atraés e fnções base As fnções base são gas às fnções pesos fnamento o métoo e Galerkn e os campos esconhecos são então representaas como ma combnação lnear estas. Os campos esconhecos como as elocaes e, pressão p, posção os nós a malha, são escrtos em caa elemento como: U 1 2 ncógntas; 1-8 V 1 p 3 p p/ P 3 ncógntas; 1 1- p/ X 1 2 ncógntas; 1-1 Y 1 one, são fnções bases representaas por polnômos lagrangeanos bqarátcos,, são fnções base lnear escontínas, U, V, P, X e Y são os coefcentes a epansão e caa campo em termo as fnções base e representam as ncógntas o problema scretzao. A escolha a combnação e fnções base não é arbtrára porqe a conergênca o métoo poe ser precaa. Para o caso Newtonano é proao qe elementos bqarátcos para a elocae e lnear escontína para a pressão fnconam bem Santos,. M.. Para esta combnação a conção e Lazhenskaa-Babûska-Brezz Brezz e Fortn 11 é satsfeta.

4 Captlo 3. Moelagem Comptaconal Solção o sstema e eqações não lneares pelo métoo e Newton A ntegração nmérca as eqações os resíos poneraos é efetaa tlzano o Métoo a Qaratra Gassana com três pontos e ntegração em caa reção. Qano as aráes nepenentes são escrtas em termos as fnções base, obtém-se m sstema e eqações algébrcas não lneares, ca representação em notação compacta é: c; b 1-11 é o etor e resíos ponerao assocao como os gras e lberae e caa elemento, c representa o etor solção coefcentes as fnções base qe são as ncógntas o problema e b é o etor e parâmetros o qal o problema epene. A eqação anteror é resola e forma terata atraés o métoo e Newton: c c; b 1-12 k 1 k c c c 1-13 é aalao em c k, é a matrz acobana cos componentes são aos por: 1-14 c Neste trabalho os coefcentes a matrz acobana são calclaos analtcamente A teração começa com m alor ncal estmao c e contna até qe a eqação a notação compacta sea apromaamente satsfeta, sto sgnfca qe a norma L 2 os etores resíos e etor solção eem satsfazer a esgalae c 2 O métoo e Newton conerge qarátcamente qano a estmata ncal está perto a solção, mas poe ergr qano esta apromação ncal ca fora o rao e conergênca. Métoos e contnação são tlzaos para garantr boas ncalzações. 2

5 Captlo 3. Moelagem Comptaconal 5 Em caa teração e métoo e Newton, a matrz bana resltante é resola meante ecomposção LU tlzano o métoo frontal proposto por Hoo 176. Sbrotnas enomnaas Basc Lnear Álgebra Sbprograms BLAS são tlzaas para melhorar a portablae o cógo qano plataformas ferentes são saas. O métoo frontal oferece a antagem e economa e memóra. 3.3 Estratéga e contnação para obter o ponto e obra Pontos crítcos geralmente estão presentes na solção e eqações ferencas não lneares. Dentre estes, encontra-se com mas freqüênca os pontos chamaos e pontos e obra, os qas poem ser etermnaos por análse e establae o constrno o camnho a solção como feto neste trabalho. Em m ponto e obra, a matrz acobana o métoo e Newton é snglar. Análses e establae lnear com respeto a pertrbações 2D e m sstema físco preêem ma mança e establae precsamente no ponto e obra. Então traçano o lgar geométrco os ersos pontos e obra em fnção as aráes e operação, encontra-se a regão e operação estáel o processo. Neste trabalho os pontos e obra corresponem ao lmte e espessra. Em solção e escoamento com sperfíces lres, obter ma prmera solção nmérca conerga é complcao. As presenças as sperfíces lres e as lnhas e contato tornam as eqações altamente não lneares e o processo e solção bastante compleo. O eleao número e parâmetros qe controlam o escoamento e o eleao número e ncógntas ncrementa o tamanho e a esparcae a matrz a ser nerta fcltano ana mas o processo e obtenção a solção. Para obter ma boa estmata ncal para o problema com sperfíce lre, resole-se o escoamento em ma geometra fa e as sperfíces lres são sbsttías por parees eslzantes. Esta solção é tlzaa como chte ncal para resoler o problema com a sperfíce lre com tensão sperfcal alta. Uma eplcação etalhaa as estmatas é apresentaa na próma secção.