Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 1, Marco, Simetrias e Leis de Conservac~ao na. Mec^anica Classica

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1 Revsta Braslera e Ensno e Fsca, vol. 21, no. 1, Marco, Smetras e Les e Conservac~ao na Mec^anca Classca Arano e Souza Martns Dep. e Fsca o Estao Solo - UFRJ Cx. Postal 68528, CEP , (Ro e Janero) Recebo em 26 e Junho, 1998 A conex~ao entre les e conservac~ao e smetras o sstema s~ao analsaas entro o formalsmo lagrangeano. Apos uma breve exposc~ao os concetos acma ctaos, apresentaremos a conex~ao entre estes sob o ponto e vsta o teorema e Noether, cuja euc~ao sera apresentaa. Dscutremos uma amplac~ao este teorema, e moo a nclur a varac~ao e calbre as lagrangeanas, e moo a lancar luz em novas smetras o sstema. The connecton between conservaton laws an symmetres propertes of physcal systems are showe n Lagrangan formalsm. After a short exposton of symmetres an conserve quanttes concepts, we wll explore ther connecton n the Noether Theorem frame. We also scuss one amplaton of ths theorem to nclue the gauge varant Lagrangans. I Introuc~ao O estuo as propreaes e smetra e um sstema nos a precosas nformac~oes sobre o mesmo, como a forma e suas soluc~oes (Teorema e Bloch), reuc~ao e graus e lberaec... Dentro este contexto, quero examnar o papel as smetras entro o formalsmo lagrangeano a mec^anca e sua relac~ao com quantaes fscas conservaas, sob o ponto e vsta o teorema e Noether. Este teorema, e grane mport^anca e rqueza, quase n~ao e tratao nos cursos convenconas e mec^anca classca, apesar e sua forma smples. Hstorcamente, a conex~ao entre les e conservac~ao e smetras fo nvestgaa prmeramente por Schutz [6] no caso e smetra translaconal. Uma formulac~ao mas precsa e aa pelo teorema e Noether [5], que estabelece o elo entre as les e conservac~ao e as transformac~oes o grupo e Galle. O que preteno neste texto e apresentar uma espece e revs~ao os concetos e smetras na fsca classca e sua conex~ao com a conservac~ao e quantaes fscas, sob o ponto e vsta o Teorema e Noether. Este Teorema e pouco comentao em lvros atcos, apesar e sua aparente popularae. Com vsta a enrquecer mas a scuss~ao, veremos como estener a aplcablae o teorema e Noether e moo a nclur o fato que lagrangeanas que ferem por uma ervaa total no tempo e uma func~ao s~ao equvalentes, ou seja, escrevem o mesmo sstema fsco [4]. A segur apresentare um breve resumo os concetos e smetra e les e conservac~ao, com as respectvas analogas entre os formalsmos Newtonano e lagrangeano. II Smetras O termo smetra em Fsca refere-se a um conjunto e transformac~oes enas num grupo que levam uma express~ao ser nvarante na sua forma: zemos ent~ao que o sstema e nvarante sob aquela transformac~ao ou que ele apresenta uma smetra no par^ametro a transformac~ao. As operac~oes aqu ser~ao aquelas enas no grupo e Galle, pos tuo que aqu sera analsao sera entro o lmte n~ao relatvstco. Vamos tomar o formalsmo Newtonano como exemplo: F = 2 r 2 (1) F =,r U (r ); (2) e-mal: asm@f.ufrj.br

2 34 Arano e Souza Martns para forcas este tpo, as equac~oes e movmento o tpo 1,s~ao nvarantes sob transformac~oes e Galle o tpo: t 0 = t + ; r 0 = r + + t (3) Aqu, ao referr-me ao termo nvar^anca, estare me referno a nvar^anca a lagrangeana sob operac~oes e eslocamento em suas coorenaas generalzaas, n~ao em sua equac~ao e movmento. Como lustrac~ao basta lembrarmos que sempre assoca-se a conservac~ao o momento lnear a translac~oes espacas e a energa a translac~oes temporas. Mas esta nvar^anca referese a lagrangeana L que escreve o sstema, pos uma partcula submeta a uma forca frcconal moveno-se seguno a equac~ao r =,k n~ao conserva momento nem energa, (4) apesar esta equac~ao ser nvarante sob translac~oes temporas e espacas. Vemos assm que n~ao exste uma relac~ao bunvoca entre as smetras a equac~ao e movmento com as a lagrangeana L. Para uma scuss~ao mas aprofunaa, sugro a letura o artgo o Havas [2]. III Les e Conservac~ao Na mec^anca classca, uma graneza fsca G e conservaa se: G =0 (5) O termo conservac~ao e utlzao aqu no sento que uma partcular express~ao que caracterza um sstema, efetuaa num nstante t 0,e nepenente e e t, ou seja, e uma constante e movmento. Na mec^anca newtonana, se temos um sstema e partculas n partculas, a forca sobre a -esma partcula na aus^enca e forcas externas e aa por: F = X 6=k F k ; F =,r V; (6) Se estas forcas obeecem a tercera Le e Newton, F k =, F k, obtemos as les e conservac~ao usuas para um sstema e partculas: E =0; P =0; E = X (T + V ); (7) X P = p ; (8) G L =0; =0; X L = r p ; (9) X G = m r, Pt; (10) que expressam, respectvamente, a conservac~ao a energa, o momento lnear, o momento angular e o movmento o centro e massa o sstema. No formalsmo lagrangeano, o sstema e escrto pela sua func~ao lagrangeana L: L = L(q; _q; t) (11) e as equac~oes e movmento s~ao aas pelas equac~oes e Euler-Lagrange:, =0 k Se a lagrangeana L n~ao epene explctamente e uma coorenaa q, zemos que esta coorenaa e cclca ou gnoravel. q k : Para uma coorenaa k =0 (13) levano (13) para a equac~ao (12) obtemos: p k = = const: (14) Na equac~ao acma, p k echamao e momento generalzao conjugao a coorenaa q k. A equac~ao (12) expressa a conservac~ao o momento generalzao. IV Teorema e Noether Vmos que a aus^enca explcta a epen^enca a lagrangeana L em uma coorenaa leva a nepen^enca esta frente a uma transformac~ao que altere o valor a varavel, nos ano a conservac~ao o momento generalzao. Pctoramente, poemos vsualsar o Teorema e Noether como uma espece e maquna, one entramos com a transformac~ao e smetra na varavel q k e tramos a graneza conservaa G:

3 Revsta Braslera e Ensno e Fsca, vol. 21, no. 1, Marco, Fgura 1. Estrutura pctora o Teorema (maquna) e Noether. Para uma lagrangeana o tpo (11), o teorema e Noether e ao pela express~ao _q k, L t + q k =0 (15) A emonstrac~ao este, assm como as conc~oes necessaras para a sua euc~ao est~ao no ap^ence este texto. Sugro sua letura para a melhor compreens~ao n~ao so a conex~ao que queremos explorar, assm como a extens~ao que se faz a este teorema e moo a se levar em conta a varac~ao as lagrangeanas frente a transformac~oes e calbre. A. Translac~ao temporal Uma translac~ao temporal e ena como e t = t, ; q k =0 (16) Levano estas transformac~oes para o teorema (15) teremos _q k, L =0! E = _q k, L = const:; (17) one a constante E resulta ser a energa total o sstema. Veremos no ap^ence uma extens~ao o teorema e Noether que permtra obter a conservac~ao a energa e e outra quantaes n~ao prevstas pela forma par~ao o teorema. B. Translac~ao espacal A mas smples transformac~ao e smetra neste caso e a translac~ao a orgem e um sstema cartesano ao longo e apenas uma as tr^es rec~oes que o forma. Escolheno o exo x no qual a translac~ao e feta: et = t; ex = x, x 0 ; ey = y; ez = z (18) Levano estas transformac~oes em (15) teremos x _x = p x = const:; (19) que e a express~ao usual para a conservac~ao o momento lnear ao longo a rec~ao em que e feta a translac~ao. C. Rotac~ao em torno e um exo Para uma rotac~ao nntesmal e um ^angulo em torno o exo z e um sstema e coorenaas cartesanas, as novas coorenaas s~ao conectaas as antgas pelas seguntes transformac~oes ex = x + y ; ey = y, x ; ez = z e _x = _x +_y ; e _y =_y, _x ; e _z =_z (20) one mplctamente e assumo que e t = t: Levano as express~oes acma na express~ao o teorema e Noether resulta que _y, y =[xp x, yp y ]=const: _x A express~ao (21) nos a a conservac~ao usual a componente z o momento angular. Aqu encerramos os exemplos, porem estes n~ao se esgotam nestes poucos aqu apresentaos. Vale a pena tambem ressaltar que ha uma formulac~ao analoga o Teorema e Noether para campos, one ele se mostra ana mas poeroso. Uma boa scuss~ao esta extens~ao poemos encontrar num artgo evo a Hll [3]. V Les e conservac~ao para lagrangeanas que apresentam varac~ao e calbre A. Introuc~ao Nesta sec~ao quero apresentar uma extens~ao natural a anteror. Quano um sstema fsco apresenta alguma propreae e smetra, ele e escrto por equac~oes e movmento nvarantes sob o grupo corresponente e transformac~oes. A lagrangeana que o escreve porem n~ao eve necessaramente o ser. Na emonstrac~ao o Teorema e Noether, etalhaa no ap^ence, uma as hpoteses levaa em conta fo que a lagrangeana evera ter a mesma forma funconal apos as transformac~oes e smetra, ou seja: L = L (q; _q; t), e L eq; e _q; e t =0 (22) Com sto, exclu-se uma classe e sstemas cujas lagrangeanas s~ao tas varantes e calbre [4]. Dzemos que uma lagrangeana sofre uma varac~ao e calbre se ao realzarmos sobre a mesma uma transformac~ao e smetra, ela varar apenas e uma ervaa total no tempo

4 36 Arano e Souza Martns e uma func~ao (q k ;t). Da mec^anca classca, sabemos que uas lagrangeanas que ferem apenas por uma ervaa total no tempo s~ao equvalentes. Como exemplo, vejamos o caso o campo eletromagnetco. Uma partcula e massa m e carga eletrca e num campo eletrco E e magnetco B e escrta pela lagrangeana L = 1 2 m _q2 + e _q A, ev; (23) one A e V s~ao, respectvamente, o potencal vetor e o escalar os campos, tas que e 0 1 A A,rV (24) B = r A (25) Sabemos a teora eletromagnetca que estes potencas n~ao s~ao uncamente enos, pos para transformac~oes e calbre (gauge) o tpo A! A + r V! ; (26) os campos, que contem a fsca o problema, n~ao se alteram. Apos esta transformac~ao, a lagrangeana se transformara a segunte forma: L! L +2e ; (27) e como sabemos, o sstema fsco e o mesmo, ou seja, as uas lagrangeanas s~ao equvalentes. B. Teorema e Noether Generalzao A raz~ao fsca a equval^eca e lagrangeanas que ferem por ervaas totas no tempo e func~oes o tpo (q k ;t)vem o prncpo e mnma ac~ao e Hamlton. Seja uma lagrangeana L (q; _q; t), num ntervalo e tempo t = t 1 a t = t 2 o sstema move-se e tal forma que a ntegral e ac~ao S = 2 t1 L (q; _q; t) (28) assuma o menor valor possvel, ou seja, S = 0. Assm, se uas lagrangeanas ferem entre s apenas pela ervaa total e uma func~ao (q k ;t) L 0 eq; e _q; e t = L (q; _q; t)+ (q k;t) (29) ovalor a ac~ao e L 0 sera h S 0 = S + q (2) ;t 2, cuja varac~ao S 0 tambem sera nula. q (1) ;t 1 ; (30) Para um sstema com N graus e lberae sua lagrangeana L que epenera as N coorenaas generalzaas q k, k = 1:::N, e suas velocaes generalzaas _q k e possvelmente o tempo. Vamos mpor agora uma transformac~ao e coorenaas o tpo q k = "f k (q k ; _q k ;t) ; (31) cujo efeto maxmoe fazer a lagrangeana varar por uma ervaa total no tempo e uma func~ao que epene apenas as coorenaas q k eet: L = " (q k;t) (32) Em termo as transformac~oes (46) a varac~ao L a lagrangeana (omtno o subscrto k) sera L = q + _q; one L fo assuma ser nepenente o tempo. Usano as equac~oes e Lagrange, poemos reescrever (48) como: e assm L = q + L = " (q) ; f (34) Comparano com a hpotese (37) a varac~ao e gauge a lagrangeana nos obtemos a le e conservac~ao F =0 (35) para a quantae F, que sera aa por X F f k, (q k ;t) (36) k O resultao (41) fere o resultao obto anterormente pela ac~ao o termo. Vamos a segur lustrar a mport^anca este termo para o caso e uma partcula carregaa num campo eletromagnetco. 1. Conservac~ao a energa

5 Revsta Braslera e Ensno e Fsca, vol. 21, no. 1, Marco, Se a lagrangeana L n~ao epene explctamente o tempo t, =0 (37) ent~ao, sua varac~ao sob uma translac~ao temporal nntesmal t L = L t (38) somente vra atraves a varac~ao as coorenaas q k =_q k t (39) Se fazemos a entcac~ao f k = _q k e=l, obtemos e()aleeconservac~ao corresponente X F = _q k, L = energa (40) k 2. Movmento num campo eletromagnetco Vmos que a lagrangeana e uma partcula carregaa num campo eletromagnetco e L = 1 2 m _q2 + e _q A, ev (41) Vamos conserar um campo eletrco E unforme e constante. Este campo e nvarante sob translac~oes espacas e temporas. Escolheno o potencal escalar a forma V =, E q, que e temporalmente nvarante. A lagrangeana assocaa L 1 = 1 2 m _q2 + e E q (42) n~ao e nvarante sob translac~oes espacas q k = a ja que L 1 = e E a = e Et a (43) e e acoro com o teorma e Noether generalzao a express~ao acma mplca a conservac~ao e F m _q, e Et= const; (44) mostrano a natureza unformemente aceleraa o movmento. VI Conclus~oes Preteno ser breve nas conclus~oes este trabalho, vsto que ele ja representa um corpo bem eno e eas. Expomos e uma manera sstematca como uas eas bascas na fsca, que s~ao as e smetra e e conservac~ao e granezas fscas, s~ao conectaas. Apesar e ter passao ao largo o aspecto hstorco, julgo tambem mportante enfatzar como estes concetos foram surgno com o tempo, que poe ser vsto as ferentes formas com que os formalsmos Newtonano e Lagrangeano aboram o problema. Do ponto e vsta atco, julgo mportante a aboragem este Teorema em cursos e grauac~ao, e forma a ar uma vs~ao e conjunto as les e conservac~ao em fsca, trataas mutas vezes e forma fragmentara nestes cursos, como se caa le e conservac~ao n~ao guara relac~oes entre s. Para quem se nteressa, sugro a letura a extens~ao este teorema para o formalsmo e campos, no lvro o Golsten. Ap^ence: Demonstrac~ao o Teorema e Noether Smetra sobre transformac~oes e coorenaas toca ao efeto e transformac~oes nntesmas o tpo: t! e t = t + t (45) q k (t)! eq k = qk (t)+q k ; (46) one t eq k poem ser func~oes arbtraras as coorenaas generalzaas. Ja asvelocaes generalzaas ter~ao a segunte transformac~ao: _q k (t)! e _qk =_qk (t)+ _q k : (47) Sob transformac~oes o tpo (45), (46) e (47), a lagrangeana se transformara a segunte manera: L (q k (t) ; _q k (t) ;t)! L eqk ; e _qk ; e t (48) A partr este ponto, omtre o subscrto k por smplcae, cano subteno que ele subscreve caa coorenaa generalzaa. Tr^es conc~oes s~ao assumas a valer: 1. Estaremos conserano um espaco-tempo euclano; 2. A lagrangeana L tem a mesma forma funconal tanto em termo as quantaes transformaas quanto as quantaes orgnas, sto e, vale a express~ao (48).

6 38 Arano e Souza Martns 3. A magntue a ntegral e ac~ao e nvarante sob a transformac~ao ei = Z et ele t = L: (49) e Isto representa uma extens~ao as propreaes as coorenaas gnoraves. Se a lagrangeana n~ao mua sob transformac~oes nessas coorenaas n~ao ha motvo que ela possa assm alterar o valor a ntegral e ac~ao I. c Combnano (18) e (19) Z et e el eq ; e _qk ; e t e t, L (q (t) ; _q (t) ;t) =0: (50) Na prmera ntegral e t representa uma falsa varavel e ntegrac~ao, poeno ser rebatzaa e t, mas o omno e ntegrac~ao n~ao se altera. Omtremos tambem a partr aqu os t's as coorenaas, assm Z et e el eq; e _q; e t, L (q; _q; t) =0: (51) Sob transformac~oes nntesmas o tpo (45) e (46), a ferenca entre as ntegras em (51) sera = +t + L + [L + L], +t t [L + L], L (52) Z + [L + L] Em 1 a orem os os ultmos termos em (52) poem ser escrtos como: Com sto, a equac~ao (52) torna-se: +t L, t Z + L = tl(t), t 0 L (t 0 ) (53) +t [L + L], + L = = L + Lt j t (54) L(t)+ (tl(t)) Vale a pena relembrar que L = L eq; e _q; e t, L (q; _q; t) e, em 1 a orem, poemos escrever esta ferenca acma como L (~), L () k q k + _q k ; (55) one representa uma varac~ao os q k 0 s e e suas ervaas num ponto xo o espaco, ferente a varac~ao. Seno assm, ela comuta com = e a equac~ao (55) ca L = L (~), L () = Substtuno (56) na eq. (54) q k + tl(t) q k (56) =0; (57) que e uma forma e corrente conservaa. As varac~oes e e se relaconam a segunte forma: q k = q k k t (58)

7 Revsta Braslera e Ensno e Fsca, vol. 21, no. 1, Marco, Levano a express~ao acma para a equac~ao (57) Refer^encas _q k, L t + q k =0 (59) 1. H.A. Buchhal, L. J. Tasse, Austr. J. Phys. 17, 431 (1964). Assm obtemos o resultao esperao _q k, L t + q k =0 (60) A equac~ao (59) e a forma nal o teorema e Noether, que relacona as transformac~oes e smetra na lagrangeana com suas equvalentes quantaes fscas conservaas. Deve car claro que o teorema na forma apresentaa acma sup~oe que as tr^es conc~oes vstas no nco a emonstrac~ao sejam valas. 2. P. Havas, Acta Physca Austraca 38, 145 (1973). 3. E. L. Hll, Revews of Moern Physcs, vol. 23, n L. Leblon, J. Marc, Amercan Journal of Physcs, vol. 23, n3. 5. E. Noether, Nachr. Aka. Wss. Gottngen, Math.-Phys. K1. (1918), J. R. Schutz, Nachr. Aka. Wss. Gottngen, Math.-Phys. K1. (1897), 110.