MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS À ANÁLISE DE ESTRUTURAS

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1 MÉODOS DE OIMIZAÇÃO APICADOS À ANÁISE DE ESRUURAS Eng o Euaro Rgo Dssertação e Mestrao apresentaa à Escola e Engenhara e São Carlos a Unversae e São Paulo, como parte os requstos para a obtenção o título e Mestre em Engenhara e Estruturas. Orentaor: Pro. Dr. Sérgo Persval Baroncn Proença São Carlos 999

2 Deco essa pesqusa com too meu amor e carnho à Elsangela, mnha esposa, que sempre me apoou e compreeneu o escasso tempo no ecorrer o mestrao.

3 AGRADECIMENOS Ao Pro. Dr. Sérgo P. B. Proença, reservo a mnha maor gratão, como prossonal, pela responsablae, ecação e competênca emonstraa urante too o processo e orentação o trabalho; como amgo, pelo respeto às mnhas éas e opnões, pela generosae e compreensão nos momentos íces, enm, pela valosa amzae que passamos a esrutar. Ao Pro. Dr. Marcos Nereu Arenales, o Insttuto e Cêncas Matemátcas e São Carlos, pela grane colaboração no estuo os Métoos e Otmzação. Pela mportante colaboração urante o eame e qualcação, pelas sugestões e ncentvos, agraeço ao Pro. Dr. bâno Mrana Pnhero e Pro a Dr a Helena M. C. Carmo Antunes, ambos o Departamento e Engenhara e Estruturas e São Carlos a Unversae e São Paulo. Aos colegas, unconáros e proessores o Departamento e Engenhara e Estruturas a Escola e Engenhara e São Carlos. Aos amgos Faustno Sanches Jr. e Aleanre Sampao Bota, pela grane amzae e apoo urante toos estes anos. Ao Eng o Sérgo Crespo pela amzae e colaboração. Em especal aos meus pas, José Roberto Rgo e Sara orenzon Rgo, pela conança e ncentvo ao meu trabalho. À Escola e Engenhara e São Carlos a Unversae e São Paulo, pela ormação acaêmca. À CAPES e CNPq, pelo apoo nancero através a bolsa e estuo.

4 ÍNDICE ISA DE FIGURAS... ISA DE ABEAS... ISA DE SÍMBOOS... ABREVIAURAS...v RESUMO... v ABSRAC... v CAPÍUO - INRODUÇÃO... CAPÍUO - FORMUAÇÃO MAEMÁICA Problemas Irrestrtos...4. Busca Unmensonal Eata Apromaa...8. Métoos e Mnmzação..... Métoo o Graente..... Métoo e Newton..... Métoo e Quase-Newton...4 CAPÍUO - PROBEMAS COM VARIÁVEIS CANAIZADAS Dreção Factível...8. Dreção e Desca.... Métoo o Graente com varáves canalzaas Métoo e Gauss-Seel Métoo e Newton e Quase-Newton combnaos com a estratéga os Conjuntos Atvos...4 CAPÍUO 4 - MODEAGEM DE ESRUURAS Vgas relça Espacal Pórtcos relça Plana com não-lnearae geométrca...7

5 CAPÍUO 5 EXEMPOS DE APICAÇÕES Eemplo e Vga Contínua Eemplo e Pórtco Plano Eemplo e relça Espacal Eemplo e Vga relçaa b-apoaa...88 CAPÍUO 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCUSÕES... 9 BIBIOGRAFIA ANEXO... 97

6 ISA DE FIGURAS FIGURA. - Denção gráca o passo α...9 FIGURA. - Apromação por uma unção quarátca pelo Métoo e Newton... FIGURA. - Ponto e mínmo restrto e rrestrto...7 FIGURA. - Dreção actível em...9 FIGURA. - Regão e actblae...9 FIGURA.4 - Uma reção actível possível... FIGURA.5 - na solução actível...6 FIGURA.6 - Comprmentos e reções os eos e uma elpse... FIGURA.7 - Solução ótma...4 FIGURA.8 - A projeção em (.8)...9 FIGURA.9 - Dreção e Newton trmensonal...4 FIGURA. - Mnmzação numa aresta...4 FIGURA 4. - Representação esquemátca os eslocamentos no plano méo...55 FIGURA 4. - Deormação Angular...58 FIGURA 4. - Graus e lberae ou coorenaas aotaas...6 FIGURA 4.4 Coorenaas Globas...67 FIGURA Coorenaas ocas seguno o Sstema Global...68 FIGURA Coorenaas ocas a Barra...68 FIGURA Coorenaas os Elementos...7 FIGURA 4.8 Elemento nto e trelça plana...74 FIGURA 5. Vga contínua...8 FIGURA 5. Aspecto nal a lnha elástca...8 FIGURA 5. Pórtco plano...8 FIGURA nha elástca o pórtco plano...84 FIGURA relça espacal e base quaraa...85 FIGURA Conguração nal a elástca a trelça espacal...87 FIGURA 5.7 Vga smétrca b-apoaa Problema e contato...89 FIGURA nha elástca a vga smétrca b-apoaa...9

7 ISA DE ABEAS ABEA 5. Comparação os métoos para vga contínua...8 ABEA 5. Convergênca o métoo o Graente...8 ABEA 5. Comparação os métoos para pórtco plano...8 ABEA 5.4 relça espacal sem o problema e contato unlateral (mnmzação rrestrta)...86 ABEA relça espacal com problema e contato unlateral (mnmzação restrta)...86 ABEA Deslocamento vertcal seguno o carregamento...9

8 ISA DE SÍMBOOS u& ervaa o eslocamento em relação ao tempo Ŝ matrz representatva o tensor e tensão e Pola-rchho e a espéce t& taa e orça por unae e área na conguração ncal r& taa e resíuo ε& taa o tensor e eormação e Green na conguração atual δ ε& taa o tensor e eormação vrtual e Green na conguração ncal S & taa o tensor e tensão e Pola-rchho e a espéce na conguração ncal q& taa o vetor e eslocamentos noas δε tensor e eormação vrtual e Green na conguração ncal δ q vetor e eslocamentos vrtuas noas λ auto-valor υ coecente e Posson γ eormação transversal Ψ energa potencal e carga π energa potencal total ϕ unção unmensonal Φ matrz e reções a ace φ matrz e unções e orma β matrz e ncênca cnemátca Λ matrz agonal os auto-valores Ω regão no R n θ rotação o nó (gro) Γ superíce o elemento α tamanho o passo ε tensor e eormação e Green σ tensor e tensão e Cauchy τ tensor e tensão e rchho-retz Τ trabalho a carga η valor constante

9 v δ vetor eslocamento seguna ervaa e, ou seja, sua matrz hessana Ψ a energa potencal e carga apromaa π a energa potencal total apromaa prmera ervaa e, ou seja, seu vetor graente α tamanho o passo na teração A área a seção transversal a,b vetores e restrção e varáves B, B e B matrzes aulares C valor escalar C, C y e C z cossenos retores na reção,y, e z respectvamente D matrz consttutva o materal reção e esca na teração E móulo e elastcae longtunal unção quarátca F vetor e orças noas g orça a gravae G móulo e elastcae transversal H matrzes hessanas I momento e nérca σ matrz e rgez geométrca, R matrzes e rgez matrz e rgez elástca lnear,,... n valores reas constantes matrz e rgez e correção e coorenaas matrz e rgez tangente comprmento a barra M momento letor p orça e superíce P vetor e cargas noas P e vetor e cargas noas o elemento Q matrz e auto-vetor q vetor e eslocamentos noas

10 v q() unção quarátca e apromação r rao e curvatura r e matrz e rgez o elemento S vetor aular U energa e eormação u vetor eslocamento u, u,... u n componentes e eslocamento U a energa e eormação apromaa v vetor e eslocamento vertcal V volume w valor a relaação vetor solução componente o vetor y coorenaa Y nversa a matrz hessana na teração z coorenaa

11 v ABREVIAURAS cte constante DFP Davon-Fletcher-Powell mn mnmzação PV Prncípo os rabalhos Vrtuas tol tolerânca

12 v RESUMO RIGO, E. (999). Métoos e Otmzação aplcaos à Análse e Estruturas. São Carlos. 5p. Dssertação (Mestrao). Escola e Engenhara e São Carlos, Unversae e São Paulo. O Métoo os Elementos Fntos quano aplcao à análse e estruturas, em sua orma usual, conuz a sstemas e equações que, no caso não-lnear, egem algortmos teratvos que realzam, em essênca, uma lnearzação a caa passo e carga. Por outro lao, o Métoo a Energa ormula o problema e análse estrutural na orma e uma mnmzação, poeno apresentar restrções sobre a unção eslocamento, por eemplo. Nesse caso, os algortmos e programação matemátca proporconam a manera mas consstente para a obtenção a solução. O presente trabalho e mestrao trata, essencalmente, a aplcação as técncas e otmzação como erramenta para a análse o comportamento não-lnear e estruturas, que poe ser ecorrente e conções e vnculação. Os problemas estruturas são ormulaos va Métoo a Energa, que resulta na mnmzação e unções quarátcas sujetas a um conjunto e restrções. São scutos os métoos o tpo Graente, Newton e Quase-Newton, com a escrção os seus algortmos báscos e apresentação a regra e busca unmensonal aotaa (Regra e Armjo ou Eata). Devo ao ato o Métoo e Newton ter apresentao uma melhor convergênca em relação aos emas algortmos estuaos, optou-se por combná-lo com uma estratéga e conjuntos atvos para o caso e mnmzação com varáves canalzaas. Palavras-chave: Métoos e Otmzação, Métoo a Energa, mnmzação com varáves canalzaas, problemas e contato em estruturas.

13 v ABSRAC RIGO, E. (999). near an Nonlnear Programmng apple to structural analyss. São Carlos. 5p. Dssertação (Mestrao). Escola e Engenhara e São Carlos, Unversae e São Paulo. he nte element metho when apple to structural analyss, n ts usual orm, t rves the equatons systems that, n the nonlnear case, they eman algorthms repettve that accomplsh, n essence, a lnear programmng to each loa step. However, the Energy Metho ormulates the problem o structural analyss n the orm o the mnmzng, coul present restrctons on the splacement uncton, or eample. In that case, the algorthms o mathematcal programmng prove the most consstent way or obtanng o the soluton. he present wor negotates, essentally, o the applcaton n mathematcal programmng as a orm to analyze the nonlnear structures behavor, that can be current o bounary contons. he structural problems are ormulate through Energy Metho, that results n the mathematcal programmng o quaratc unctons subject to a group o restrctons. he methos o the type Graent are scusse, o Newton an Quas-Newton, wth the escrpton o ts basc algorthms an presentaton o the rule o search aopte unmensonal (Rule o Armjo or Eact). Due to the act o Newton's Metho to have presente a better convergence n relaton to the other stue algorthms, t was opte or combnng t wth a strategy o the actve groups or the case o mathematcal programmng wth restrcte varables. eywors: mathematcal programmng, Energy Metho, nonlnear mathematcal programmng wth restrcte varables, contact problems n structures.

14 CAPÍUO - INRODUÇÃO A análse e estruturas, com emprego os métoos numércos, em computaores, tornou-se, hoje em a, um procemento absolutamente comum e nstrumento até nspensável para qualquer especalsta na área e engenhara e estruturas. Esse ato assocao à evolução muto rápa os computaores pessoas têm servo e motvação para a pesqusa e novas metoologas empregaas em projetos estruturas e, em partcular, o emprego e esenvolvmento e algortmos numércos mas robustos e ecentes com vstas à obtenção os esorços numa estrutura. A tenênca atual é e substtução e moelos e cálculo que se baseavam em hpóteses bastante smplcaoras por outros que conseguem representar mas elmente o comportamento estrutural. Na presente pesqusa, através o estuo e emprego e algortmos e otmzação ecaos à mnmzação e unções sujetas a restrções, pretene-se ar uma pequena contrbução à análse e problemas estruturas, ormulaos va Métoo a Energa. ASSAN (995) A relação entre o Métoo a Energa e os algortmos e otmzação é bastante estreta. Na moelagem clássca conserano-se um regme e pequenos eslocamentos e resposta elástca lnear o materal, procura-se equaconar a energa total envolva no sstema urante o processo e carregamento e eormação. al energa é composta e uas contrbuções: uma ta eterna, assocaa ao carregamento, e outra nterna, assocaa à eormação epermentaa pelo corpo. A energa eterna é obta essencalmente pelo trabalho as orças atuantes no corpo, ou seja, aa pelo prouto a carga pelo eslocamento o seu ponto e aplcação. A energa nterna é obta através o trabalho as orças e nteração entre as partes o corpo, ou seja, aa pelo prouto as tensões pelas eormações em too volume o corpo.

15 Assm, somano-se as uas contrbuções, ou seja, a energa nterna ou e eormação e a energa potencal eterna, obtém-se a energa total, aqu representaa por π. Amtno-se conhecos os campos e eslocamentos, poe-se etermnar o unconal π a energa total para erentes tpos e elementos estruturas, como os retculares (barras), planos e trmensonas. Um teorema unamental neste estuo arma que à stuação eormaa, em equlíbro, correspone um mínmo na energa total. Justamente a mposção esse teorema permte obter os valores ncógntos e eslocamentos e suas ervaas em caa ponto a estrutura. No Métoo os Elementos Fntos, ZIENIEWICS (99), a unção ncógnta eslocamento é apromaa por uma unção polnomal conheca, com a nalae e se trabalhar com o unconal apromao a energa. al procemento se basea numa nterpolação sobre um conjunto e pontos, que consttuem a estrutura scretzaa, e proporcona a obtenção e resultaos satsatóros em casos e conções e carregamento e vnculação mas geras. Por outro lao, a mnmzação o unconal a energa poe ser nterpretao como um problema e otmzação ou programação matemátca, seno, portanto, ncaa a utlzação e algortmos e mnmzação já esenvolvos no âmbto aquele campo e estuos. Partcularmente no caso os problemas não-lneares, tas algortmos passam a ser uma alternatva consstente para a obtenção os resultaos, evtano-se a resolução reta teratva o sstema e equações. A consstênca esses algortmos se eve ao ato e que atenem a toas as conções matemátcas necessáras para o problema. Ana sob o ponto e vsta o emprego os algortmos e programação matemátca, BAZARAA (979), em combnação com o Métoo os Elementos Fntos, a utlzação e unções polnomas apromaoras e a scretzação espacal são muto convenentes, pos permtem eprmr a energa total como unção os valores e eslocamentos e suas ervaas em pontos scretos o omíno a estrutura. Isto va ao encontro a orma matemátca eba teorcamente pelos problemas e mnmzação e uma unção e n varáves. Desse moo, a estrutura clássca o Métoo os Elementos Fntos é bastante aequaa, aprovetano-se toa a parte e geração e unções apromaoras.

16 Com base nos comentáros anterores os objetvos o trabalho cam mas bem enos. A motvação é tratar e problemas que consstem a análse e estruturas planas retculaas, em regme elástco, aborano-se, em partcular, a resposta não-lnear evo às lmtações mpostas sobre suas conções e contorno (não-lnearae e contato), as quas são representaas por restrções no moelo matemátco. Outro aspecto colocao em estaque no trabalho é uma análse a ecênca os erentes algortmos, ecaos à resolução o problema e mnmzação. Entre os algortmos a serem trataos estacam-se: os procementos o tpo Newton e Quase-Newton, combnaos com uma estratéga os conjuntos atvos, e os algortmos ervaos os métoos o tpo Graente. Os capítulos e esenvolverão bascamente os concetos matemátcos envolvos nos métoos e otmzação para uma unção quarátca. Apenas no capítulo 4 se ntrouzrá a moelagem e estruturas, va Métoo os Elementos Fntos, que scretza a estrutura espacalmente e gera um unconal apromao a energa total, cuja mnmzação será realzaa pelos algortmos o otmzação estuaos nos capítulos e. Esses algortmos possbltam a mnmzação e unções sujetas a restrções em suas varáves e nteresse. Dessa orma, o unconal a energa a ser analsao poerá conter restrções em seus eslocamentos, como por eemplo, aqueles orunos e problemas e contato unlateral. Os eemplos e aplcações no capítulo 5 aborarão alguns problemas esse tpo.

17 4 CAPÍUO - FORMUAÇÃO MAEMÁICA Devo à grane quantae e problemas íscos e matemátcos, cuja solução correspone a valores etremos e uma unção e nteresse, os estuos para o esenvolvmento e estratégas e resolução se rgem para os métoos e otmzação. as métoos têm a nalae e encontrar pontos e mámo ou mínmo locas em unções pré-estabelecas, sujetas ou não a um conjunto e restrções. No presente trabalho estuam-se unções quarátcas o tpo ( ) H S c. Os algortmos e otmzação aboraos são os tpos Newton e Quase-Newton, combnaos com uma estratéga os conjuntos atvos para varáves canalzaas, e algortmos ervaos o Métoo o Graente. Estua-se também, para ns e conronto com tas algortmos, o métoo teratvo e Gauss- Seel. Um outro procemento numérco e nteresse colocao em estaque é a busca unmensonal aotaa para a etermnação o passo na reção e esca. Os problemas e otmzação poem ser vos em os grupos: problemas restrtos e problemas rrestrtos, conorme as varáves e nteresse apresentem restrções ou não. Os os tpos e problemas e otmzação serão apresentaos neste capítulo.. - Problemas Irrestrtos Problemas e otmzação sem restrção são problemas a orma: Mnmzar (), Ω R n : Ω R M n (.) Resolver o problema (.) consste em etermnar * Ω, tal que:

18 5 (*) < (), Ω (.) No caso e otmzação rrestrta". A solução * é chamaa "solução ótma" (mínmo global). n Ω R o problema (.) é chamao "problema e O vetor graente ( ), é ormao pelas prmeras ervaas a unção com relação a caa uma as componentes o vetor. A hessana ( ) representaa em orma e matrz, é ormaa pelas prmeras ervaas e caa uma as componentes o graente com relação a caa uma as componentes o vetor. Duas conções são necessáras e sucentes para que * seja um ponto e mínmo local: ) (*) (.) ) (-*) (*) (-*) > (.4) De ato, esenvolveno-se, por aylor, em torno e *, tem-se: ( ) ( *) ( *) ( *) ( *) ( *)( *) ϕ ( * ), ϕ( * ) one *, quano *. (.5) Se as conções (.) e (.4) orem vercaas, tem-se: ( ) ( *) C ( *) * one: C ( *) ( *)( *) > (.6) mnmzar ; Portanto, * é um ponto e mínmo local. Os Métoos e Otmzação seguem em geral a segunte estrutura: Escolha e como solução ncal para o problema que se pretene

19 6 n Determnação a reção e esca R, e o tamanho o passo α R, α > e pequeno, que se pretene ar na reção e esca, e tal orma que: ( α ) < ( ) (.7) α é chamao solução perturbaa e na reção. Espera-se que a solução perturbaa seja melhor, sto é, tenha um valor menor para a unção (unção objetvo). Quano sto ocorrer, é chamaa reção e esca, e então: α (.8) Este procemento eve se repetr até que < tol ou que o número e terações atnja seu lmte mámo. O valor e tol sgnca uma tolerânca pré-estabeleca, seno geralmente um valor muto pequeno, como por eemplo, tol 6. Quano o prmero crtéro e paraa ôr vercao, sgnca que o métoo convergu e se encontrou *, ou seja, o ponto e mínmo. Caso contráro, se o processo teratvo termnar quano se atngr o número mámo e terações, sgnca que o métoo não convergu para o etermnao problema e mnmzação em estuo.. Busca Unmensonal A Busca Unmensonal trata o segunte problema: aa uma reção e esca, etermnar o tamanho o passo α que encontre o ponto e mínmo a unção em estuo nesta reção, sto é: Seja ϕ ( α) ( α ) ϕ : R R Encontrar mn ϕ (α)

20 7 A busca unmensonal tem, portanto, a nalae e etermnar o tamanho o passo na reção e esca, ou seja, uma vez etermnaa uma reção e esca através e um algortmo e otmzação, é precso que a nova solução encontraa nessa reção esteja o mas prómo possível a solução ótma. Assm seno, a busca unmensonal representa um mportante ator na convergênca o métoo e otmzação. As buscas unmensonas aqu estuas são a Eata e a Apromaa... - Eata A Busca Unmensonal Eata sera a etermnação eata o tamanho o passo e esca seguno a reção esejaa. Ela é aclmente aplcaa para unções quarátcas a segunte orma: ( ) H S c, (.9) one: H ( ) é a matrz Hessana S () é o vetor Graente em O graente essa unção é representao por: ( ) H S (.) Como a unção é quarátca é possível se etermnar o tamanho eato o passo α azeno-se ϕ'(α) ; ou seja: '( α ) ( α ) ϕ (.) Substtuno-se os valores a equação (.) em (.) tem-se: ( H ( ) S ) α (.) Isolano-se a varável α tem-se:

21 8 S H α (.) H.. - Apromaa Um os tpos e Busca Apromaa é a Regra e Armjo, que promove a etermnação o tamanho o passo α através e uma busca mprecsa. O problema e se etermnar o tamanho o passo na reção e esca contnua seno o mesmo, ou seja: Seja ϕ ( α) ( α ) (.4) ϕ : R R Encontrar mn ϕ(α) (.5) um α tal que: Resolver (.5) eatamente poe ser muto custoso. É melhor encontrar ( α ) < ( ) (Busca mprecsa) (.6) Como ϕ ( α) ( α ), então: (.7) ϕ '( α) ( α ) (.8) ϕ () ( ) (.9) ϕ '() ( ) (.)

22 9 FIGURA. - Denção gráca o passo α A Fgura. lustra a estratéga a Regra e Armjo que consste ncalmente em se etermnar um valor e α que é conserao não tão grane se: ϕ ( α) ϕ() ( εϕ'()) α (.) Note que o valor e ε está compreeno no ntervalo [,], no entanto neste trabalho o valor e ε o aotao como seno ε, (sugestão e UENBERGER (984)); e a apromação ncal para o valor e ala é α. segunte: Para assegurar que α não seja tão grane, o procemento aotao é o α α, (.) até que a conção (.) seja vercaa, ou que o número e terações atnja o seu lmte mámo. Para que o valor e α não seja tão pequeno, multplca-se α por um η > e espera-se que: ϕ ( ηα) > ϕ() ( εϕ'()) ηα (.)

23 O valor aotao para η é η. Portanto o procemento aotao para que α não seja conserao tão pequeno é: α α, (.4) até que a conção (.) seja vercaa ou que o número e terações atnja o seu lmte mámo. Assm, encontra-se o valor e α através a busca mprecsa, e a conção (.) garante que ϕ ( α) ( α ) < ( ) ϕ(), pos ϕ ( α) ϕ() εϕ'() α < ϕ(), uma vez que é escolho tal que ϕ '() ( ) <. A escolha e será trataa nas prómas seções.. Métoos e Mnmzação Os três métoos aboraos para mnmzação rrestrta oram os o tpo Graente, Newton e Quase-Newton. A essênca e caa métoo está no cálculo e sua reção e esca, que mplca retamente na ecênca e convergênca os mesmos. Os concetos báscos esses métoos serão aprovetaos e complementaos no Capítulo para se tratar e mnmzação com restrções... Métoo o Graente Consere-se o esenvolvmento e, por aylor, em torno o ponto até a a orem: ( α ) ( ) ( )( α ) ϕ( α), (.5) one ϕ(α) é tal que ϕ ( α) o α quano α Assm: ( α ) α ( ) ( ) ϕ( α ) α (.6)

24 A reção e esca eve satsazer a segunte conção: ( α ) < ( ) com α > e pequeno (.7) Observano-se a equação (.6), nota-se que o termo à esquera será negatvo quano o numeraor ôr negatvo, e pela gualae, o termo à reta eve ser também negatvo, sto é: ( ) <, (.8) uma vez que ϕ ( α) α torna-se esprezível quano α é pequeno. Uma escolha para que satsaça (.8) é: ( ), (.9) < pos ( ) ( ) ese que ( ) (.) Portanto, ( ) satsaz a conção (.7), e é uma reção e esca. Isto ene o "Métoo o Graente"... Métoo e Newton O Métoo e Newton consste em: ) esenvolver a unção, por aylor, em torno e um ponto, até a a orem obteno-se uma apromação quarátca.

25 ) A nova solução é obta pelo mínmo a quarátca FIGURA. - Apromação por uma unção quarátca pelo Métoo e Newton Apromação e aylor para unção quarátca: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) q( ) (.) O ponto é etermnao pelo mínmo e q(). Determna-se prmeramente q(): q( ) ( ) ( )( ) (.) Igualano-se a zero, tem-se: q( ) ( )( ) ( ) (.) Hpótese: nversa e ( )

26 Assm, multplcano-se por [ ( )], tem-se: [ ( )] ( ), (.4) e a solução e q() é aa por: [ ( )] ( ) (.5) Este é o Métoo e Newton "puro". Nota-se que: ; one [ ( )] ( ) (.6) Na prátca, az-se: α, (.7) one o passo α é etermnao como anterormente, tal que: ( α ) < ( ) (.8) Para o cálculo e reção e esca, é computaconalmente mas ecente resolver o sstema lnear abao: [ ] ( ) ( ) (.9) Isto ene o "Métoo e Newton".

27 4.. Métoo e Quase-Newton Os Métoos e Quase-Newton ervam o Métoo e Newton, o qual, como se mostrou, consste em amtr que nas vznhanças o ponto e mínmo, a unção é quarátca. Assm é convenente reprouzr as uas relações que resumem o Métoo e Newton: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (.4) Impono-se ( ) no ponto e mínmo, resulta que: [ ( )] ( ) (.4) Os Métoos e Quase-Newton apromam a nversa a hessana, aqu representaa por Y, ntrouzno também a busca unmensonal, nestente no Métoo e Newton puro. Assm, uma melhor apromação para o ponto e mínmo ca epressa por: Y ( ) (.4) ca: Como a matrz hessana é representaa por H ( ) [ H ], sua nversa Y (.4) Newton: Entretanto, H eve vercar a equação característca o Métoo e [ H ] q p, (.44) one: q ( ) ( ) e p (.45) Uma regra e apromação a Hessana estuaa o a proposta por Davon-Fletcher-Powell (DFP), UENBERGER (984).

28 5 Essa regra utlza um procemento recursvo para a obtenção e Y, consttuno-se também num métoo e reções conjugaas. Em caa etapa e um procemento teratvo, Y é atualzaa através e uma relação recursva o tpo: que: Y Y Y a z z one a z z é uma correção em H tal q p (.46) A epressão nal é aa por: Y ( p Y q )( p Y q ) q ( p Y q ) Y (.47) O Métoo DFP apresenta o segunte algortmo: Passo ncal) escolha Y smétrca postva ena e Passo ) Passo ) Passo ) Y q q, one q ( ) ; p q Y um ponto qualquer; α, seno α tal que mnmze ( α ) α e q ( ) ; q p p Y q q Y Y ; e volte para o passo p q qy q

29 6 CAPÍUO - PROBEMAS COM VARIÁVEIS CANAIZADAS Os problemas e otmzação com restrções que se estuam neste trabalho são problemas a segunte orma: Mnmzar (), Ω R n, (.) n one Ω { R / a b} Nesse problema é uma unção e valor escalar, sto é, : Ω R, e os vetores, a, b R n poem ser representaos nas ormas: M n a a a M a n b b b, M b n one a e b sgncam as restrções nas varáves a unção que se pretene mnmzar. Resolver o problema (.) consste em etermnar * Ω tal que: (*) (), Ω (.) com restrção. Quano A solução * é chamaa "solução ótma" para o problema e otmzação n Ω R o problema (.) é chamao e "problema e mnmzação rrestrta". Nota-se que o mínmo rrestrto a unção poe não pertencer ao conjunto Ω. As conções necessáras e mínmo rrestrto eram: ( *), entretanto em unção as restrções, tas conções poem não ser necessaramente vercaas. A gura (.), com n, lustra esta stuação.

30 7 FIGURA. - Pontos e mínmos restrto e rrestrto As conções necessáras e a orem para os problemas e otmzação serão estuaos no tem (.). Uma característca básca os métoos e mnmzação com restrções é que a solução ncal apromaa actblae. Dessa orma, como estrutura: eve pertencer à regão Ω, enomnaa regão e Ω, então recebe o nome e solução actível. Os métoos para otmzação com restrções seguem em geral a segunte. Escolha e Ω como solução ncal apromaa para o problema que se pretene mnmzar. oma-se ;. Determnação em a reção e esca actível,. Determnação o tamanho o passo [M] α R n R ;, α > e pequeno, que se pretene ar na reção e esca actível, e tal orma que a solução perturbaa seja melhor, sto é, tenha um valor menor para a unção : ( α ) < ( ) (.) Dreção e esca actível sgnca que a reção é e esca (o valor a unção () está ecresceno naquela reção) e que a reção é actível (nessa reção estem novas soluções para o problema, pertencentes à regão e actblae). Estes concetos báscos serão estuaos com mas etalhes logo a segur.

31 8 Na relação anteror, α é chamao solução perturbaa e na reção com passo α ; 4. Calcula-se uma nova solução: α ; 5. Os passos, e 4 evem se repetr até que < tol (.4) ou que o número e terações atnja um lmte mámo estabeleco (lmte). O valor e tol sgnca uma tolerânca pré-estabeleca, seno geralmente um valor muto pequeno, como por eemplo, tol 6. Quano o prmero crtéro e paraa ôr vercao, sgnca que o métoo convergu e se encontrou *, ou seja, o ponto e mínmo. Caso contráro, se o processo teratvo termnar quano se atngr o número mámo e terações, sgnca que o métoo não convergu para o etermnao problema e mnmzação com restrções em estuo. Outros crtéros e paraa, mas pertnentes ao problema e otmzação, poem ser aclmente ncorporaos, como por eemplo, nterromper o procemento teratvo quano: ( ) ( ) < tol, (.5) sto é, após terações o métoo, a melhora na unção objetvo observaa o neror a uma tolerânca tol. Nota-se que a erença entre os métoos e otmzação com restrções para os métoos e otmzação rrestrtos está na etermnação a reção e ser uma reção e esca eve ser uma reção actível., que além. Dreção Factível Se or uma solução actível e n R tal que ( α ) também seja uma solução actível para α > e pequeno, poe-se zer que é uma reção

32 9 actível em. A gura (.) lustra uma reção actível em Ω reção não é actível em Ω., porém a mesma FIGURA. - Dreção actível em Mas ormalmente, a enção e reção actível é aa por: Seja Ω R n, z-se que n R é uma reção actível em, se α > tal que: ( α) Ω α (, α ]. Eemplo: Em Ω { R / }, consere-se Ω. Esses aos estão lustraos na gura (.): FIGURA. - Regão e actblae Note que (lmte superor) e < <.

33 As reções actíves em, poem ser obtas por: α Ω ou tal que: α Ω Pela enção e Ω obtém-se: α α α α Uma escolha possível é A gura (.4) lustra esta escolha. e, nesse caso, o passo mámo é α. FIGURA.4 - Uma reção actível possível Numa outra stuação, com ˆ Ω, então as reções actíves em ˆ,, são tas que:,.. Dreção e Desca Seja Ω R n e uma reção e esca em se α > tal que: n R uma reção actível em. Dz-se que é

34 ( α) < ( ) α (, α ] (.6) (suposto erencável): Consere-se o esenvolvmento e, por aylor, em torno o ponto ( α ) ( ) ( )( α) ϕ( α), (.7) ϕ( α) one ϕ(α) é tal que α, quano α Assm, com α > : ( α) α ( ) ( ) ϕ( α ) α (.8) Como se procura uma reção e esca, o termo à esquera em (.8) eve ser negatvo, e pela gualae, o termo à reta eve ser negatvo também, sto é: ( ). <, (.9) uma vez que ϕ ( α) α naturalmente, que ( ). (.9) garante que é uma reção e esca em. (.9), ou seja, como: torna-se esprezível quano α é pequeno, supono-se,. A recíproca é também veraera, sto é, a conção Portanto, a reção e esca é encontraa resolveno-se a conção então: n R n, (.) n < (.) n Das observações anterores, poe-se provar os seguntes teoremas:

35 eorema: Sejam : Ω R n R e C (unções erencáves) e uma reção actível em Ω. Se: ( ). < é uma reção e esca eorema: (conção necessára e a orem) Seja Ω e : Ω R n R, C Se or ponto e mínmo e em Ω então: ( )., reção actível Ω Retornano-se ao problema e otmzação, ou seja, mnmzar ( ) com n { R / a b}, numa certa stuação genérca alguns componentes e poem estar em seus lmtes nerores, superores ou entre os lmtes: a M a b M br r M n a j < j < b, j j r,..., n Isto sgnca que os valores e para,..., estão no lmte neror; os valores e para,...,r estão no lmte superor e os valores e para r,...,n estão entre os lmtes. Uma reção actível em eve ser:

36 n r r M M M tal que: para,..., ; para,...,r ; quasquer para r,...,n. Procura-se uma reção e esca: ( ). < ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < n n r r r r (.) O Métoo o Graente (varáves rrestrtas) sugere a segunte escolha para a reção : (), (.) pos ) ( ). ( < ese que ) ( Portanto, ) ( satsaz (.9), então é uma reção e esca. No entanto, assm ena poe não ser uma reção actível. Para se garantr que seja uma reção e esca actível eve-se observar que a varável que já atngu seu

37 4 lmte neror ou superor na reção e esca venha a ter snal aequao (conorme reção actível já estuaa), pos assm, em nenhum momento o processo teratvo e mnmzação essa varável sará a regão e actblae. Com sso, um tpo e reção e esca actível é aa por: Para,..., tem-se:,, caso ( ) ( ) se contráro < (.4a) Para,...,r tem-se:,, caso ( ) ( ) se contráro > (.4b) Para r,...,n tem-se: ( ) (.4c) O tamanho o passo α pequeno na reção e esca actível é tomao como o menor valor encontrao entre o mámo valor e α para não se sar a regão e actblae ( α ) e a resolução o problema e mnmzação unmensonal através a busca Eata ou Apromaa ( α busca ), ou seja: { α α } α mn, (.5) busca one α { α, α,, } mn α n (.6) Os três casos possíves para etermnação e α são:

38 5 ( ) ( ) > > < se a b se a α α ˆ ˆ ) (.7a) ( ) ( ) < < > se b a se b α α ˆ ˆ ) (.7b) ( ) ( ) > < < > < < b se a se b a α α ˆ ˆ ) (.7c) Um teorema mportante eve ser observao para os casos em que ˆ : eorema: Se ˆ então ( ). para que seja reção actível, seno que Ω e } / { b a R n Ω, ou seja, se ˆ, é nútl procurar reções actíves tas que ( ). <. Prova: Seja (reção actível) e ( ). < este uma parcela tal que: ( ) < Estem três possblaes: ), ( b a b a

39 6 Assm, ( ) ( ) ( ) ( ) > < < > > < < > absuro e absuro e b a absuro e b absuro e a ˆ ˆ ), ( ˆ ˆ Portanto, ( ) :, reção actível em. Daí concluí-se que Ω é a solução ótma. Eemplo } / { ) ( ), ( mn Ω n R Seja: FIGURA.5 - na solução actível Note que se tem-se a equação a crcunerênca (curva e nível a unção objetvo).

40 7 ( ) { } ( ) { } se β π >, ( ) ( ) cos. < β Note que a reção o Métoo o Graente, ( ) ( ), não é uma reção actível, embora: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). < As reções actíves em evem satsazer e qualquer. Deseja-se que: ( ) ( ) <, ou seja: < Uma escolha possível é aa por $ : ( ) ˆ ˆ ou seja: ˆ O tamanho o passo α nessa reção e esca actível é tomao como o menor valor encontrao entre o mámo valor e α para não se sar a regão e actblae ( ) α e a resolução o problema e mnmzação unmensonal (através a

41 8 Regra e Armjo ou as Buscas Eatas). No caso o eemplo, o menor os os valores é: α α( ) α α,5 Portanto, o maor valor e α possível é ao por: α,5 A nova solução será aa por: ˆ,5 Agora, ( ˆ ) ( ) As reções actíves em $ evem satsazer e. Deseja-se que: ( ˆ ) ( ˆ ) <, ou seja:. < Note que esta nequação não poe ser vercaa para qualquer que seja a reção actível. Neste caso $. Assm as conções e a orem enuncaas nos teoremas anterores são vercaas. Como a unção é convea, então * é solução ótma.. Métoo o Graente com varáves canalzaas O Métoo o Graente com varáves canalzaas utlza a reção e esca actível apresentaa no tem anteror. O algortmo para a etermnação a reção e esca actível pelo Métoo o Graente com varáves canalzaas é apresentao a segur: Para a, tem-se:

42 9,, caso ( ) ( ) se contráro < (.8a) Para b, tem-se:,, caso ( ) ( ) se contráro > (.8b) Para a < < b, tem-se: ( ) (.8c) α e α busca. O valor e α eve ser tomao como o menor os os valores conserano-se α : A rgor, a busca unmensonal para se etermnar α busca é eta mn α ( α ) α (.9) E portanto, α busca ornece o passo. Eemplo: Resolver o problema: mn ( ) H a b para: a a a b b b h h H, h h

43 one a matrz H é quaraa, smétrca e ena postva. H H Armação: H auto-vetores e comprmentos é a equação e uma elpse, com eos nas reções os, respectvamente. λ λ Prova: Consere-se ncalmente um teorema a álgebra lnear: Se H é smétrca e ena postva, então tem uma base ortonormal e auto-vetores e os auto-valores são postvos. Isto é: Hu λ u com λ > : auto-valor u : auto-vetor u. u u Sejam: Q [ u u ] matrz os auto-vetores λ Λ λ matrz agonal os auto-valores Poe-se escrever: λ H[ u u ] [ u u ] ou HQ QΛ λ

44 Portanto, Q Q H Λ. Assm, { { Λ y y Q Q H Denno Q y (o que equvale à muança e varáves: Qy, one y é o vetor e coorenaas na base ormaa pelas colunas a matrz P, sto é, os auto-vetores e H), obtêm-se: ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ y y y y y y y y Consere-se a geometra analítca que a equação reuza a elpse e centro na orgem e ocos no eo O é: b y a, e os comprmentos os eos são a e b. Isto mostra a armação. A gura (.6) lustra a elpse nas varáves e y. Note-se que nas varáves y ela está em sua orma reuza. Daí, poe-se conclur que: b a λ λ

45 one: FIGURA.6 - Comprmentos e reções os eos e uma elpse a λ b λ Eemplo: Apenas para eplcar com um problema numérco, coloca-se ncalmente o problema nverso, sto é, aos os auto-valores e auto-vetores, etermnar a matrz H e a partr ela e a regão e actblae encontre a solução ótma para o problema e otmzação: aa por: No plano, através e uma rotação e eos, a matrz os auto-vetores é cosθ Q senθ senθ cosθ Resolveno o problema enuncao acma para os seguntes aos: Rotação e eos e 45 : Q

46 auto-valores: λ λ, Λ ntervalo: a 5 5 b Então, Λ 5,5 4,5 4,5 5,5 H Q Q H Assm, esta matrz tem os auto-valores e, e os auto-vetores na matrz Q. Consere-se agora o problema: H ) ( mn, sujeto à: 5 5, Eplctano-se (), obtêm-se: ( ),75 4,5,75 ) ( 5,5 4,5 4,5 5,5 ) ( As curvas e nível e () estão representaas na gura (.7). Cálculo a solução eata:

47 4 FIGURA.7 - Solução ótma Note-se na gura (.7), que a solução ótma no ponto one a curva e nível e (e valor esconheco) tangenca a reta:. Como é perpencular à curva e nível poe-se escrever (neste caso H ): H η ( ), ( ) 5,5 4,5 4,5 η 5,5, ou 5,5 4,5 4,5 5,5 η,888 η,888

48 5 canalzaas: Cálculo a solução através o Métoo o Graente para varáves Solução ncal apromaa: 5 5 a teração: 5,5 5 4,5 4,5 5 5,5 5 graente: ( ) ( ) reção: ( ) busca: α α 5 8 5, 5, 5 α, 8 α busca ( 5 5) ( 5 5) 5,5 4,5 5,5 4,5 4,5 5 5,5 5 4,5 5 5,5 5 5, 5 portanto, α,8. Deve-se tomar o menor valor e α para que a nova solução seja actível, nova solução: 5 5,8 5 5 a teração: 5,5 4,5 4,5 5,5 graente: ( ) ( )

49 6 reção: ( ) ( ) como a e > portanto: busca: α α α α busca ( ) ( ) 5,5 4,5 5,5 4,5 4,5 5,5 4,5 5,5 5,5,888 portanto: α,888 nova solução:,888,888 a teração: 5,5,888 4,5 4,5 5,5,888 graente: ( ) ( ),888 reção: ( ) ( ) como a e >

50 7 portanto: como o processo teratvo convergu e a solução é:,888 *, conorme havíamos prevsto..4 Métoo e Gauss-Seel O Métoo e Gauss-Seel com varáves canalzaas poe ser empregao apenas em unções quarátcas, pos ele é baseao na resolução o sstema obto a partr a conção que, no ponto e mínmo, o vetor graente é nulo, ou seja: mn b a S H ) ( one: (.) n M a n a a a M b n b b b M s n s s S M nn n n n n h h h h h h h h h H O M, e a matrz H é quaraa, smétrca e ena postva. O graente e a hessana para essa unção quarátca são aos por: H S H (.)

51 8 seja: Em pontos e mínmo (neste caso global), o vetor graente se anula, ou H S H S, ou (.) h h M hn h h h n O h h h n n nn s s M M n sn (.) O algortmo básco e Gauss-Seel, para um sstema e orem n, tem a segunte epressão geral para o renamento a solução: h n ( hj j ) ( hj j ) (,,,..., n) j j s, (.4) one: h j : elemento a -ésma lnha e j-ésma coluna a matrz hessana; : -ésma coorenaa o vetor e ncógntas para a teração. A apromação obta após um certo número e terações é conseraa sucente, quano or vercaa a segunte conção: ma (,,..., n) < tol (.5) O procemento teratvo ege a aoção e uma solução ncal apromaa. A mposção e conções e contorno é bastante smples, neste caso, pos basta mpor que a varável tenha seu valor no ntervalo e enção ( a b ), obto em toas as terações através o uso e um operaor e projeção. Para mnur o número total e terações, é nteressante azer uso o procemento e relaação, o qual consste, unamentalmente, e uma poneração entre as apromações e, para ns e atualzação a solução.

52 9 A epressão geral a relaação é a segunte: ( w) w (.6) O parâmetro w é lmtao no ntervalo aberto (,), eveno-se avalar o valor eal para caa caso. Para a obtenção a solução apromaa para a varável {}, o Métoo e Gauss-Seel com relaação o mplementao seguno o segunte algortmo: Para,,,..., número mámo e terações e w (,), tem-se: h n ( hj j ) ( hj j ) (,,,..., n) j j s ; (.7) ( w) w Como a varável possu um lmtante neror e superor a, b respectvamente, a projeção a varável sobre este ntervalo é eta a segunte orma: { b, má{ a, } mn (.8) A gura (.8) lustra o eeto a projeção: FIGURA.8 - A projeção em (.8)

53 4.5 Métoo e Newton e Quase-Newton combnaos com a estratéga os Conjuntos Atvos O Métoo e Newton, que consste em esenvolver uma unção, por aylor, em torno e um ponto, até a a orem obteno-se uma apromação quarátca, poe ser combnao com a estratéga os conjuntos atvos para resolver problemas com varáves canalzaas. Esta estratéga nuz o Métoo e Newton a realzar uma mnmzação na ace sempre que uma varável, ou mas, já tenham atngo suas restrções e seno que a reção e Newton rrestrta conuza o problema à soluções ora a regão e actblae. A gura (.9) lustra um problema trmensonal com Ω e Ω { R / a b}. Partcularmente, o ponto pertencente a regão e actblae Ω, representaa por um cubo na gura e se encontra por hpótese, numa as suas aces. Aplcano-se o métoo e Newton em, obtém-se uma reção e esca que conuz o problema a uma nova solução * ora a regão e actblae, esrespetano-se assm as conções e restrções mpostas ao problema: FIGURA.9 - Dreção e Newton trmensonal Portanto, no caso lustrao, o métoo e Newton evera ser aplcao restrngno-se a mnmzação à mensão a ace em que se encontra o ponto seja, numa regão bmensonal; aí vem a necessae e se combnar o métoo e, ou

54 4 Newton com a estratéga os conjuntos atvos, que permte ao métoo realzar uma mnmzação na ace sempre que ocorrer um caso como o lustrao na gura (.9). Seguno essa estratéga, as coorenaas que atngrem suas restrções tornam-se atvas (as), garantno assm a procura e soluções entro a regão e actblae. Qualquer ponto nessa ace se escreve como: (.9) u u one A unção a ser mnmzaa é: ( u ) ( u ), (.) que epene e e ( mensões) Partcularmente, se estver numa aresta, a nova solução será: u (.) one ( ), tratano-se assm e um problema unmensonal. FIGURA. - Mnmzação numa aresta

55 4 Aplcar o métoo e Newton na ace ncaa pela gura (.9) sgnca esenvolver: ) ( ) ( u u g, (.) até seguna orem (quarátca) em torno e (neste caso ), e etermnar e que mnmze a quarátca: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g g (.) O graente a unção ( ) g é ao por: ( ) ( ) ( )[ ] Φ u u u u u u u u u u g (.4) one Φ é a matrz ormaa pelas reções a ace. A seguna ervaa a unção ( ) g é aa por: ( ) ( ) [ ] ( )[ ] Φ Φ u u u u u u u u u u u u u u g (.5) Para a ace o eemplo, a matrz Φ representa as reções u e u, sto é: Φ O graente a unção ( ) g sera:

56 4 Φ g, e sua seguna ervaa sera aa por: Φ Φ g Substtuno-se as epressões (.4) e (.5) em (.), tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ Φ Φ g (.6) O ponto e mínmo e ( ) g é ao por: ( ) ( ) ( ) Φ Φ Φ, (.7) ou seja, o cálculo a reção e esca no métoo e Newton combnao com a teora os conjuntos atvos, poe ser etermnao através a resolução o sstema lnear proposto: ( ) ( )Φ Φ Φ, (.8) one o prmero termo a epressão representa a matrz hessana orgnal, em, conserano apenas as coorenaas a ace; e o seguno termo representa o vetor graente orgnal, em, conserano apenas as coorenaas a ace.

57 44 A nova solução para o problema e mnmzação escrto em (.) é calculaa pela epressão: Φ u u (.9) Note que, quano a solução estver no nteror e uma regão e actblae, ou seja, nenhuma coorenaa o ponto atngu sua restrção, a matrz Φ ormaa pelas reções a ace será a própra matrz entae. Portanto, a reção e esca calculaa através a resolução o sstema lnear proposto em (.8) passa a ser a mesma escrta pelo métoo e Newton para problemas rrestrtos. Generalzano-se para o espaço R n, teramos: n n n u u u Φ Φ M, (.4) one n M é o vetor solução, n M é o vetor e esca na teração e Φ é a matrz ormaa pelas reções a ace. Portanto, a epressão (.8) sera: ( ) [ ] ( )Φ Φ Φ, (.4) Isso ene o métoo e Newton combnao com a estratéga os conjuntos atvos. Note que a epressão (.4) tem a mesma ormulação aquela escrta em (.9) pelo métoo e Newton rrestrto, conserano-se também a mnmzação na ace através a matrz e reções Φ. Dessa orma, o métoo e Newton poe ser esteno à problemas com restrções nas varáves e nteresse.

58 45 Os métoos o tpo Quase-Newton também poem ser combnaos com a estratéga os conjuntos atvos, para que ele possa promover uma mnmzação na ace quano necessáro, naturalmente, para o caso e problemas com restrções. Seu algortmo básco para a regra e apromação a Hessana proposta por Davon- Fletcher-Powell, conserara a nluênca as coorenaas atvas através a matrz as reções a ace Φ, ou seja: Passo ncal) escolha Y smétrca postva ena e Passo ) Mnmzação na ace: Yr Φ Y Φ Passo ) Passo ) r Yr qr, one qr Φ ( ) ; ( α ) Passo 4) qr pr qr Yr α, one r um ponto qualquer; Φ. Seno α r e Φ ( ) qr pr pr Yr qr ; qr qr Yr Yr ; pr qr qr Yr qr e volte para o passo α tal que mnmze

59 46 CAPÍUO 4 - MODEAGEM DE ESRUURAS Na análse e estruturas em regme elástco, a ormulação o métoo pressupõe que estem apenas uas manestações e energa mas relevantes. A prmera é conheca como a energa potencal as cargas, que está relaconaa com o trabalho as orças atuantes, ou orças eternas; a seguna, é conheca como a energa e eormação, que está relaconaa com o trabalho as orças nternas. O Prncípo a Conservação a Energa pressupõe que, em qualquer stuação, a energa retraa e uma as manestações passa a pertencer à outra. Por eemplo, o trabalho prouzo pelas cargas atuantes seguno os eslocamentos a estrutura acumula-se sob a orma e energa e eormação a estrutura. Quano o trabalho a carga or postvo, entene-se que a carga pereu potencal, ocorreno assm uma mnução na capacae e trabalho a carga. Dessa orma, smbolzano-se por Ψ o potencal a carga, e por e trabalho a carga, temse: Ψ, (4.) one o símbolo representa varação. Essa relação entre o trabalho a carga e sua energa potencal tem como eplcação ísca a estênca e um campo e orça, como, por eemplo, o gravtaconal. O trabalho postvo a carga correspone, no uno, a uma quea nesse campo. A energa e eormação orgna-se o trabalho as tensões seguno as eormações ecorrentes os eslocamentos soros pela estrutura. Naturalmente, o trabalho as orças nternas não se realza em movmentos e corpo rígo, pos não há eormação. Assm, a energa em conseração poe ser representaa por:

60 47 U V σ ε V, (4.) one: V é o volume a estrutura σ é um vetor conteno as componentes e tensão ε é um vetor conteno as componentes e eormação. O prncípo a Conservação a Energa, teno-se em vsta apenas as uas manestações e energa conseraas, permte escrever: π U Ψ cte, (4.) one π representa a chamaa energa potencal total. Consequentemente a varação e energa total é nula: π U Ψ, (4.4) ou seja, no enômeno e eormação a estrutura pela ação e cargas a energa potencal total não se altera; o que ganha energa uma aa manestação ecorre a mnução a outra. Assm, o prncípo a Conservação a Energa mpõe conção estaconára para a energa total. Essa conção serve e suporte para a obtenção e soluções eatas ou apromaas, por eemplo, para os eslocamentos em estruturas. oava, pretene-se neste trabalho aborar apenas o procemento que conuz a soluções apromaas. Um teorema complementar muto mportante neste estuo arma que nas estruturas com regme elástco e com pequenas eormações à stuação em equlíbro correspone a um mínmo a unção a energa potencal total. Uma as mportantes aplcações o Métoo a Energa é o cálculo e eslocamentos e estruturas no âmbto a análse estátca. Uma estrutura ncalmente neormaa, quano submeta a um certo carregamento, por hpótese nvarável ao longo o tempo, atnge uma stuação e equlíbro em corresponênca a uma nova posção eormaa. Nessa posção e equlíbro, a estrutura apresenta eslocamentos meos com relação à sua posção ncal, cuja a orem e graneza epene, entre outros atores, o tpo e materal e que é composta e a sua geometra.

61 48 O métoo, como se vu, envolve uas ormas e energa: a eterna assocaa ao carregamento e a nterna. A energa eterna é aa, bascamente, pelo prouto a carga pelo eslocamento o seu ponto e aplcação. A energa nterna ou e eormação é obta pelo procemento que se segue. Em lnhas geras, a energa e eormação acumulaa num elemento e volume é aa pela segunte epressão: U ( σ ε σ yε y σ zε z τ yγ y τ zγ z τ yzγ yz )V V, (4.5) ou seja: U V σ ε V (4.6) Quano o materal or conserao elástco lnear, as eormações e as tensões poem ser relaconaas pela e e Hooe, ou seja: ε E ε y E ε z E γ y τ G γ z τ G γ yz τ G E G [ σ υ( σ σ )] [ σ υ( σ σ )] y [ σ υ( σ σ )] z y z yz ( υ) y z z y, (4.7) caso contráro, ou seja, tratano-se e um materal que não segue a e e Hooe, as eormações e as tensões são relaconaas não lnearmente. Portanto, e uma orma genérca, no caso lnear tem-se: σ D ε, (4.8)

62 49 one D é uma matrz que reúne os chamaos móulos elástcos e rgez. No caso partcular o Estao Plano e ensão, as componentes e tensão e uma as aces o volume elementar yz são nulas; por va e consequênca o mesmo acontece na ace oposta. Por eemplo, as componentes nulas poem ser σ z τ z τ yz elemento.. Nessas conções, poe-se conserar uma espessura untára para o Voltano ao caso geral, combnano-se (4.8) com (4.6), a energa e eormação assume a orma: U V ε Dε V (4.9) A energa potencal e orças volumétrcas é aa por: Ψ u g V, (4.) V e a parcela a energa potencal assocaa às orças e superíce é representaa por: Ψ u p Γ, (4.) Γ one: u u u y g g g y p p p y seguntes: eno em vsta que as relações eslocamento-eormação são as

63 5 y u z u u z u u y u z u y u u z y yz z z y y z z y y γ γ γ ε ε ε (4.) Para o Estao Plano e ensão, tem-se: u y u y u u y y y y γ ε ε (4.) Uma ormulação geral os Elementos Fntos parte o prncípo e estabelecer unções apromaoras para os eslocamentos ncógntos e uma estrutura, baseano-se em nterpolações epressas em unção e eslocamentos noas. Os eslocamentos noas são assocaos à nós enos prevamente na etapa e scretzação a estrutura. Nessas conções, o campo e eslocamentos ca epresso na orma: n u φ u, (4.4) one: φ matrz as unções e orma u n vetor os eslocamentos noas generalzaos ou parâmetros noas

64 5 A partr o conjunto e nós, ene-se uma ree e elementos e a técnca os elementos ntos propõe, ana, que a unção apromaora resulte a combnação as unções apromaoras e caa elemento. As unções apromaoras e caa elemento têm característcas partculares, e entre elas estacam-se: são polnômos e grau n e possuem suporte compacto sto é, são enas somente no omíno o elemento assumno valor nulo ora ele. ogo, conclu-se que o grau as unções apromaoras que poem ser empregaas em caa elemento epene o número e parâmetros noas prevamente eno. Através as relações eslocamento-eormação, poe-se calcular a apromação para as eormações. No caso plano e tensão, por eemplo: n n y y y B u u y y u u y y φ γ ε ε ε, (4.5) one: φ y y B, que reúne as ervaas as unções e orma. Conheceno-se a apromação global para o campo os eslocamentos, o vetor e eormações ε e a matrz D, que é unção as característcas o materal, poe-se calcular a energa e eormação, em orma apromaa para toa a estrutura: [ ] n V n a n V n a V a u D B V B u U V D B u B u U V D U ε ε (4.6)

65 5 A parcela a energa potencal eterna assocaa às orças e superíce poe ser calculaa amtno-se uma unção apromaora para essas orças: p φ Ψ Ψ Ψ a a a p p Γ Γ u n u n u p Γ n p p n [ φ φ p Γ] p Γ φ φ n, (4.7) Γ one φ p é a matrz as unções e orma e p n o vetor e orças noas. A energa potencal total em orma apromaa é aa pela soma algébrca as ormas apromaas a energa e eormação e a energa potencal as cargas eternas, conorme epressão (4.): π (4.8) a U a Ψa O prncípo a mínma energa potencal total aplcao como conção para a etermnação os eslocamentos noas ncógntos a estrutura scretzaa, ou seja: π n n mn u [ B D B V ] u u [ ] p a n n V φ φ Γ p Γ (4.9) Na epressão anteror os termos em colchetes representam a matrz e rgez global a estrutura e o vetor e orças noas equvalentes. Denno-se a matrz e rgez e o vetor e orças noas e um elemento por: F e e Ve Γe B φ D B V φ p e Γ e p n (4.)

66 5 A matrz e rgez a estrutura e o vetor e orças noas equvalentes F são obtos conserano-se a contrbução e caa elemento que compõe a estrutura. Portanto, o unconal a ser mnmzao passa a ser o tpo: n n n mn π u u u F, (4.) ou seja, etermnar os eslocamentos noas e uma estrutura sgnca resolver um problema e otmzação e uma unção quarátca. Daí a aplcação reta que se poe ar à programação matemátca para a análse e estruturas. raconalmente os programas e elementos ntos aboram o problema e otmzação rrestrta, sto é, os eslocamentos a estrutura não estão sujetos a restrções avnas e conções partculares e vnculação como por eemplo o caso e problemas e contato unlateral. Dessa orma, os eslocamentos são calculaos resolveno-se o segunte sstema lnear: ou n { u } π u F p/ n n n u R u n F (4.) Uma vez etermnaos os valores noas globas os eslocamentos, os eslocamentos assocaos aos nós e caa elemento poem ser obtos a partr e uma entcação reta. As eormações e as tensões são nalmente calculaas por: ε Bu n σ Dε (4.) Por sua vez, no caso e análse e estruturas com restrções a eslocamentos, como por eemplo aqueles orunos e conções partculares e vnculações, a manera matemátca mas consstente e se tratar o problema é promover uma mnmzação o unconal a energa total, através e métoos e otmzação com varáves canalzaas.

67 54 Sob o ponto e vsta e programação matemátca, o problema e análse estrutural poe ser colocao como uma mnmzação e uma unção quarátca sujeta ou não a restrções em suas varáves. A mnmzação e uma unção quarátca é um problema o segunte tpo: n mn ( ) H S C n n, (4.4) one: H ( ) é a matrz hessana a unção ( ) S ( ) é o vetor graente a unção ( ) Como o unconal a energa total poe ser representao na orma matrcal pela equação (4.), ou seja, π u n u n u n F, a matrz e rgez a estrutura passa a ser a matrz hessana a unção quarátca, o vetor e orças noas a estrutura passa a ser o vetor graente e os eslocamentos noas as varáves que poem apresentar restrções ou não. Portanto, os métoos e otmzação são útes erramentas matemátcas na análse e estruturas, partcularmente àquelas sujetas a restrções em seus eslocamentos. Os métoos aboraos nesta pesqusa são o o Graente, Newton, Quase-Newton e o métoo teratvo e Gauss-Seel, este últmo para ns e conronto com os resultaos obtos pelos anterores. 4. Vgas Uma as mportantes aplcações o Métoo a Energa é o cálculo e eslocamentos em vgas. Uma estrutura ncalmente neormaa, quano submeta a um certo carregamento, por hpótese nvarável ao longo o tempo, atnge uma stuação e equlíbro em corresponênca a uma nova posção eormaa; na posção e equlíbro, a estrutura apresenta eslocamentos meos com relação à posção ncal. No caso a vga, uma hpótese requentemente utlzaa é a e que os eslocamentos são tas que as seções ncalmentes transversas ao eo permanecem planas e ortogonas ao eo após a eormação. Nessas conções para etermnar a