Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

Transcrição

1 Flávo Costalonga FORMULAÇÃO COM DUPLA RECIPROCIDADE HIPERSINGULAR DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADA AOS PROBLEMAS DIFUSIVO- ADVECTIVOS

2 Flávo Costalonga FORMULAÇÃO COM DUPLA RECIPROCIDADE HIPERSINGULAR DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADA AOS PROBLEMAS DIFUSIVO- ADVECTIVOS Dssertação apresentaa ao Programa e Pós-Grauação em Engenhara Mecânca a Unversae Feeral o Espírto Santo, como requsto parcal para obtenção o Grau e Mestre em Engenhara Mecânca. Orentaor: Prof. Dr. Carlos Frerch Loeffler Neto. Vtóra ES 2011

3 Daos Internaconas e Catalogação-na-publcação CIP Bbloteca Central a Unversae Feeral o Espírto Santo, ES, Brasl C837f Costalonga, Flávo, Formulação com upla recprocae hpersngular o métoo os elementos e contorno aplcaa aos problemas fusvoavectvos / Flávo Costalonga f. : l. Orentaor: Carlos Frerch Loeffler Neto. Dssertação Mestrao em Engenhara Mecânca Unversae Feeral o Espírto Santo, Centro Tecnológco. 1. Métoos e elementos e contorno. 2. Equação a Avecção-Dfusão. I. Loeffler Neto, Carlos Frerch. II. Unversae Feeral o Espírto Santo. Centro Tecnológco. III. Título. CDU: 621

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA "Formulação com Dupla Recprocae Hpersngular o Métoo os Elementos e Contorno Aplcaa aos Problemas Dfusvo-Avectvos" Flávo Costalonga COMISSÃO EAMINADORA Dssertação apresentaa ao Programa e Pós-Grauação em Engenhara Mecânca a Unversae Feeral o Espírto Santo como parte os requstos necessáros à obtenção o ttulo e Mestre em Engenhara Mecânca. Vtóra ES, 05 setembro e 2011

5 Aos meus pas, Gumar e Izabel que me eram a va. A mnha esposa Glaucely, meus flhos Luz Felpe e Ana Luza, razão e mnha va. Ao professor Carlos Loeffler, o grane responsável pelo sucesso este trabalho.

6 AGRADECIMENTOS À Deus por toas as bênçãos e conqustas a mnha va. Aos meus flhos Luz Felpe e Ana Luza, mnha esposa Glaucely, meus pas Gumar e Izabel por tuo que representam para mm. À meu rmão Fernano a quem sempre recorr em momentos fíces. Ao professor Carlos Loeffler pela tranqülae, presença, amzae e orentação. Que acretou em meu potencal e trabalho, mesmo quano ncertezas paravam sobre mm. Um Lore acma e tuo. Aos amgos o mestrao, que tornaram esta ornaa mas verta, em especal a Leonaro Caputo e Moura e Jonas Carvalho Jarm, pela amzae, presença e aua. Aos rmãos e coração Markezan Basílo Serafm, Gabrel Mombrn Pgatt, Leonaro Guees e Olvera e Rorgo Soares Rocha. A secretára o PPGEM, Zezé, pelo constante apoo e ecação e emas colaboraores o programa e Departamento e Engenhara Mecânca.

7 À Unversae Feeral o Espírto Santo UFES e aos professores Programa e Pós- Grauação em Engenhara Mecânca PPGEM pela oportunae e cursar o Mestrao. Por fm, agraeço aos colegas e trabalho que sempre se mostraram presentes e spostos a auar no que fosse necessáro, proporconano meos para que eu puesse comparecer as aulas. Os granes ncentvaores para o sucesso esse camnhaa foram: Valter Vago, Fábo Luz Bassett Cavalcante, Chrstano Ragazz Pgatt e Ton José Ferrera.

8 RESUMO Apresentam-se neste trabalho uas ferentes formulações o Métoo os Elementos e Contorno, geraas para o moelamento e problemas bmensonas e transferênca e calor com escoamento, nos quas os fenômenos e fusão e convecção forçaa estão assocaos. A prmera elas é funamentaa no procemento conheco como Dupla Recprocae Sngular FDRS, crao orgnalmente para solução e problemas e autovalor. Esta técnca fo aprmoraa por versos autores para mutas outras categoras e problemas, entre os quas o caso aborao no presente trabalho, usano uma nterpolação com funções e base raal para o tratamento as ervaas espacas os termos convectvos. A seguna formulação é a Dupla Recprocae Hpersngular FDRH, que apresenta uma estrutura smlar à Dupla Recprocae Sngular, mas é obta a partr a equação ntegral nversa ferencaa com relação à reção normal ao contorno, e moo que a orem as ervaas os núcleos se altera. Assm os núcleos as ntegras passam a ter sngularaes e orem superor 1/r e 1/r² em relação às exstentes na FDRS ln r e 1/r. Realzam-se, então, smulações com exemplos que possuem solução analítca, one é analsaa a nfluênca e mportantes parâmetros, tas como o refnamento a malha e a velocae o escoamento. Restrções físcas, lmtações numércas, precsão e outras característcas mportantes relaconaas a caa formulação são scutas com etalhe.

9 ABSTRACT In ths work two fferent bounary element formulatons are presente for the moelng of two-mensonal problems of heat transfer, n whch the phenomena of ffuson an force convecton are assocate. The frst formulaton s base on the proceure known as Sngular Dual Recprocty, orgnally create for solvng egenvalue problems an other oman source problems. Ths technque has been mprove by several authors for applcaton n many other categores of problems, nclung the case scusse n ths work, relate to Dffusve-avectve phenomena. On mportant feature of ths technque s the use of raal bass functons to nterpolate spatal ervatves relate to the convectve terms. The secon formulaton s the Hypersngular Dual Recprocty, whch has a structure smlar to the Dual Recprocty, but s obtane from the fferentaton of ntegral equaton wth respect to the normal recton on the bounary. Thus, the kernel of the ntegrals are change wth the sngularty orer beng ncrease. Are hel, then smulatons wth examples that have analytcal soluton, where t s analyze the nfluence of mportant parameters such as mesh refnement an the flow velocty. Physcal constrants, numercal lmtatons, accuracy an other mportant characterstcs relate to each formulaton are scusse n etal.

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 01: Moos e transferênca e calor pela conução, pela convecção e pela raação Fgura 02: Transferênca e calor por conução unmensonal fusão e energa.. 41 Fgura 03: Desenvolvmento a camaa lmte na transferênca convectva e calor Fgura 04: Superfíce elementar para análse energétca na camaa lmte Fgura 05: Análse energétca a superfíce e controle para na camaa lmte Fgura 06: Representação o omíno bmensonal Ω e seu contorno Fgura 07: Aaptação para a representação as conções e contorno Fgura 08: Aaptação para a representação o omíno o problema funamental Fgura 09: Domíno Esteno e um Setor Crcular ao reor o Ponto Fonte Fgura 10: Defnção os Ângulos Internos entre os Contornos Aacentes ao Reor o Ponto Fonte Fgura 11: Caracterzação geométrca e um contorno anguloso Fgura 12: Exposção o contorno x magnáro evamente scretzao Fgura 13: Representação gráfca os ferentes tpos e elementos e contorno utlzaos na scretzação o omíno x Fgura 14: Vsualzação e um volume e controle elementar com seus nós funconas e aoção e pontos nternos Fgura 15: Defnções o elemento lnear Fgura 16: Lmtes e Integração ao longo o elemento sngular Fgura 17: Representação físca para o exemplo Fgura 18: Malha com 16 elementos

11 Fgura 19 - Malha com 40 elementos Fgura 20 - Malha com 80 elementos Fgura 21 - Malha com 160 elementos Fgura 22 - Posconamento e 9 pontos nternos consttutvos Fgura 23: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1.Exemplo Fgura 24: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 25: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 26: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 27: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 28: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo

12 Fgura 29: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 30: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 31: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1 SPI. Exemplo Fgura 32: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1 9PI. Exemplo Fgura 33: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 34: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 35: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 36: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo

13 Fgura 37: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 38: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 39: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 40: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 41: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2 SPI. Exemplo Fgura 42: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2 9PI. Exemplo Fgura 43: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 44: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo

14 Fgura 45: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 46: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 47: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 48: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 49: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 50: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 51: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3 SPI. Exemplo Fgura 52: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3 9PI. Exemplo

15 Fgura 53: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 54: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 55: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 56: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 57: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 58: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 59: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 60: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo

16 Fgura 61: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5 SPI. Exemplo Fgura 62: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5 9PI. Exemplo Fgura 63 - Representação físca para o exemplo Fgura 64 - Posconamento e 16 pontos nternos consttutvos Fgura 65: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 66: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 67: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 68: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 69: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 70: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo

17 Fgura 71: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 72: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1. Exemplo Fgura 73: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1 SPI. Exemplo Fgura 74: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1 9PI. Exemplo Fgura 75: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=1 16PI. Exemplo Fgura 76: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 77: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 78: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 79: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo

18 Fgura 80: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 81: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 82: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 83: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2. Exemplo Fgura 84: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2 SPI. Exemplo Fgura 85: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2 9PI. Exemplo Fgura 86: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=2 16PI. Exemplo Fgura 87: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 88: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo

19 Fgura 89: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 90: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 91: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 92: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 93: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 94: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3. Exemplo Fgura 95: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3 SPI. Exemplo Fgura 96: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3 9PI. Exemplo Fgura 97: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=3 16PI. Exemplo

20 Fgura 98: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 99: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 100: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 101: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRS com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 102: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 16 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 103: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 40 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 104: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 80 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo Fgura 105: Comportamento o fluxo e calor em relação aos elementos a aresta representatva, para a FDRH com contorno scretzao em 160 elementos, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5. Exemplo

21 Fgura 106: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5 SPI. Exemplo Fgura 107: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5 9PI. Exemplo Fgura 108: Erro percentual obto para a aresta representatva, com o emprego a FDRS e FDRH, quano a velocae e escoamento o fluo é V=5 16PI. Exemplo

22 LISTA DE PRINCIPAIS SIMBOLOS T q - Campo e temperaturas. - Dervaa normal o campo e temperaturas. q" - Fluxo e calor conutvo unae e área na reção. q" - Fluxo e calor rraao por unae e área. ra q" - Fluxo e calor convectvo por unae e área. conv k γ h ρ c p - Conutvae térmca. - Dfusvae térmca. - Coefcente e película. - Massa Especfca. - Calor específco a pressão constante. V² - Componente a velocae para o termo a energa cnétca v - Componente e velocae na reção x {equações [T=e x+y ] e [T=e x +e y ]}. w - Componente e velocae na reção y {equações [T=e x+y ] e [T=e x +e y ]}. u v Ω est - Componente a velocae na reção x, empregaa na eução a equação a fusão-avecção. - Componente e velocae na reção y, empregaa na eução a equação a fusão-avecção. - Domíno. - Contorno. - Contorno esteno total. * u * q n r - Contorno esteno parcal. - Solução funamental fusva. - Dervaa normal a solução funamental fusva. - Ponto e aplcação a carga concentraa no problema funamental. - Coorenaas o vetor untáro normal ao contorno. - Dstanca euclana entre os pontos quasquer o omíno.

23 p p * - Ação e omíno. - Solução funamental Hpersngular f - Funções e nterpolação. α ψ η β - Coefcentes as funções e nterpolação ncalmente esconhecos - Função prmtva e f - Dervaa normal as funções prmtvas e f. - Coefcentes utlzaos para a seguna nterpolação elmnação as ervaas F espacas. - Matrz com funções e nterpolação µ - Vscosae o meo fluo. P na q T s T e c v Y u q θ α H G - Pressão - Reação químca - Geração térmca - Temperatura na superfíce e controle - Temperatura na regão externa referente ao fluxo e fluo. - Energa nterna - Entalpa o fluo - Calor específco a volume constante - Termo e forças corpo - Termo e forças corpo - Representa as varáves cartesanas x,y. - Aproxmação a varável o problema para a conção essencal u - Aproxmação a varável o problema para a conção natural q - Rao o setor crcular aumentao o contorno - Ângulo nterno ao reor o ponto fonte - Ângulo nterno entre uas normas aacentes ao ponto anguloso - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC

24 V W S - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC velocae reconal. - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC velocae reconal. - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC aloa as velocaes reconas R A W f φ k - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC aloa as matrzes S. - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC - Vetor e valores ncógntos - Vetor e termos nepenentes - Coefcente e nfluênca gerao no núcleo as ntegras u - Valores nternos o potencal q - Valores nternos a ervaa reconal - Pontos noas aplcaos a FDRS e FDRH tanto no contorno quanto no nteror o omíno. q * - ervaa normal em relação à e u* empregaa na FDRS e FDRH. J - Jacobano passagem as varáves e ntegração para granezas amensonas w - Pesos e Gauss η - Pontos e Gauss L - Número e pontos nterpolantes û - Os vetores que poem ser conseraos colunas a matrz Û. qˆ - Os vetores que poem ser conseraos colunas a matrz Qˆ. Û - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC

25 Qˆ P N M - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC - Matrz orgnaa pela a formulação o MEC termos convectvos. - Pontos e nterpolação no contorno - Pontos e nterpolação nternos E av,x - Energa relaconaa a avecção na reção x E av,x+x - Energa relaconaa a avecção na superfíce e controle na reção x E con,x - Energa relaconaa a conução na reção x E con,x+x - Energa relaconaa a conução na superfíce e controle na reção x

26 SUMÁRIO CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO I.1 ASPECTOS GERAIS I.2 OBJETIVO I.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA I.4 ESTRUTURA DO TRABALHO CAPÍTULO II - PROBLEMA FÍSICO II.1 O FENÔMENO DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR II.1.1 CONDUÇÃO: CARACTERÍSTICAS E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA II.1.2 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DA CONVECÇÃO II.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DA CONVECÇÃO CAPÍTULO III - O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA A EQUAÇÃO DE LAPLACE III.1 FORMULAÇÃO CLÁSSICA III.1.1 OBTENÇÃO DA FORMULA CLÁSSICA III DEFINIÇÃO DO PROBLEMA MATEMÁTICO III ESTABELECIMENTO DA FORMA INTEGRAL INVERSA III TRANSFORMAÇÃO DA FORMA FORTE EM FORMA INVERSA III SOLUÇÃO FUNDAMENTAL III APLICAÇÃO DO TEOREMA DA DIVERGÊNCIA III DEDUÇÃO DE cx - ANÁLISE DAS SINGULARIDADES... 69

27 III.2 FOMULAÇÃO HIPERSINGULAR PARA A EQUAÇÃO DE LAPLACE III.2.1 FORMULAÇÃO MATEMATICA III.3 EQUAÇÃO HIPERSINGULAR COM O PONTO FONTE NO CONTORNO CAPÍTULO IV - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO COM A DUPLA RECIPROCIDADE SINGULAR IV.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA PARA PROBLEMAS DE DIFUSÃO- ADVECÇÃO IV.2 ELIMINAÇÃO DAS DERIVADAS ESPACIAIS CAPÍTULO V - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO COM A DUPLA RECIPROCIDADE HIPERSINGULAR V.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA CAPÍTULO VI - DISCRETIZAÇÃO E FORMULAÇÃO NUMÉRICA VI.1 DISCRETIZAÇÃO E FORMULAÇÃO NUMÉRICA PARA A FORMULAÇÃO CLÁSSICA SINGULAR VI.1.1 TRATAMENTO DA PARCELA DIFUSIVA EQUAÇÃO DE LAPLACE VI.1.2 CÁLCULO DOS VALORES INTERNOS DA PARCELA DIFUSIVA EQUAÇÃO DE LAPLACE VI.2 DISCRETIZAÇÃO DA PARCELA ADVECTIVA PARA A FDRS VI.3 DISCRETIZAÇÃO DA PARCELA ADVECTIVA PARA A FDRH VI.4 PONTOS INTERNOS CONSTITUTIVOS VI.4.1 PONTOS INTERNOS NA FORMULAÇÃO COM DUPLA RECIPROCIDADE SINGULAR VI.4.2 PONTOS INTERNOS NA FORMULAÇÃO COM DUPLA RECIPROCIDADE HIPERSINGULAR

28 CAPÍTULO VII - ANÁLISE DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS VII.1 ESTABELECIMENTO DOS EPERIMENTOS VII.1.1 ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL VII.1.2 GEOMETRIA DOS PROBLEMAS VII.1.3 EEMPLO 1 - CAMPO DE TEMPERATURA REGIDO PELA EQUAÇÃO T=e vx +e wy VII DETALHES DA DISCRETIZAÇÃO PARA O EEMPLO VII EEMPLO 1 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=1" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 1 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=2" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 1 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=3" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 1 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=5" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 2 - CAMPO DE TEMPERATURA REGIDO PELA EQUAÇÃO T=e vx+y VII EEMPLO 2 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=1"

29 VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 2 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=2" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 2 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=3" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH VII EEMPLO 2 - AVALIAÇÃO DO FLUO PARA A VELOCIDADE "v=5" VII APLICAÇÃO DA FDRS VII APLICAÇÃO DA FDRH CAPÍTULO VIII - CONCLUSÕES VIII.1 SOBRE A FORMULAÇÃO COM DUPLA RECIPROCIDADE SINGULAR VIII.2 SOBRE A FORMULAÇÃO COM DUPLA RECIPROCIDADE HIPERSINGULAR VIII.3 UMA BREVE COMPARAÇÃO ENTRE A FDRS E FDRH VIII.4 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS BIBLIOGRAFIAS APÊNDICE

30 Capítulo I 30 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO I.1 ASPECTOS GERAIS A humanae vve hoe a era gtal, one em algumas aplcações os computaores esempenham funções vtas para o conforto e bem-estar os seres humanos. Pessoas caa vez mas lam com estes aparelhos no trabalho, nas escolas, nas unversaes, nos bancos ou em casa, etc. Através o avanço a mcroeletrônca eles tornaram-se compactos, áges e com elevaa capacae e processamento, seno que, este últmo tem é e funamental nteresse para a prátca acaêmca. Paralelamente a estas novações, as técncas numércas e solução e problemas e engenhara também vêm expermentano constante evolução tecnológca, bem como a amplação e seu campo e aplcação. Elas estão expanno-se caa vez mas e, através esses avanços e acessblae, a moelagem matemátca por métoos computaconas torna-se caa vez mas funa, auxlano na resolução e questões complcaas pertnentes a engenhara, entre outras scplnas e cunho prátco. Normalmente, na solução e problemas complexos e engenhara e e físca, empregam-se técncas numércas. Em contraste com as técncas analítcas e expermentas, as técncas numércas abrangem uma mensa gama e problemas, cua complexae os fenômenos físcos assocaos é muto maor o que os aboraos nas emas. Resultaos que seram complcaos e se alcançar empregano-se métoos

31 Capítulo I 31 analítcos, consegue-se obtê-los a um menor custo e tempo com maor aglae através o uso e métoos numércos, em que se etermna uma solução aproxmaa. Os prncpas métoos numércos são baseaos na éa e scretzação. Os mas estacaos são os seguntes: Métoo as Dferenças Fntas MDF, o Métoo os Volumes Fntos MVF e o métoo os Elementos Fntos MEF, toas essas classfcáves como técncas e omíno e ana o Métoo os Elementos e Contorno MEC. Esta últma é uma técnca e contorno, pos somente a scretzação o contorno é necessára, ao contráro as outras técncas, que necesstam scretzar too o omíno o problema. O Métoo os Elementos e Contorno é uma técnca relatvamente recente, cua vulgação ocorreu prncpalmente em meaos os anos setenta. Entretanto, no ecorrer os anos, vem sofreno muanças, atualzações e conqustano um número caa vez maor e nteressaos, alcançano uma abrangênca caa vez maor na aboragem e problemas físcos relaconaos a proetos e mportânca na engenhara. Engenheros e pesqusaores e váras naconalaes exploram caa vez mas o potencal esta ferramenta e, conseqüentemente, geram formulações mas compettvas e efcazes. Daí observa-se uma melhor efcênca a técnca na precsão os seus resultaos, na economa o processamento computaconal e na faclae e manpulação e seus programas. Isto se eve, entre outras razões, por sua superorae e efetvae no trato e problemas com fronteras móves, concentração e tensões, fratura, contato, meos

32 Capítulo I 32 nfntos e sem-nfntos, problemas esses em que os métoos e omíno não são versátes nem smples e empregar. No caso e problemas e fratura, contato e concentração e tensões, constata-se que uma mportante característca o Métoo os Elementos e Contorno em sua equação ntegral e governo: o uso a solução funamental, uma solução auxlar cua estrutura matemátca é correlata ao moelo matemátco que se esea resolver, permtno a obtenção e soluções aproxmaas com elevao nível e precsão, quano comparaas as respostas obtas por outros métoos numércos. Com o aumento a capacae os computaores em armazenar e processar aos, as técncas numércas escrtas acma, poe alcançar evoluções e aaptações, vsano um melhor esempenho e maor abrangênca. Assm, o MEC expermentou mplementações em sua formulação traconal ou clássca como a aoção e formulações alternatvas como a Dupla Recprocae FDRS e a formulação Hper- Sngular FDRH, entre outras. As ctaas formulações alternatvas consttuem precsamente o obeto a presente ssertação.

33 Capítulo I 33 I.2 - OBJETIVO Em mutos problemas e engenhara é mportante conhecer as ervaas reconas a varável prmal na frontera. Em elastcae, para se calcular as tensões tangencas na frontera com precsão, é precso etermnar as ervaas espacas os eslocamentos. Também problemas e campo escalar, mutas aplcações requerem a etermnação o campo e velocaes normal e tangencal no contorno a partr e potencal e pressão. O procemento mas efetvo para sso consste em gerar uma equação ntegral que calcule essas ervaas com rgor matemátco. Esse o obetvo é alcançao com a enomnaa formulação hper-sngular o Métoo os Elementos e Contorno FHS. Deve-se notar, no entanto, o êxto a FHS em comparação com outras técncas para moelar e resolver problemas e contato e e mecânca a fratura, casos em que estão assocaos elevaos graentes no comportamento as varáves báscas o problema e há necessae e se gerar uas stntas equações ntegras para representar partículas localzaas no mesmo ponto, como no caso e uma trnca. Nesta stuação, uma equação é aa pela formulação clássca o Métoo os Elementos e Contorno FCS e outra pela formulação hper-sngular. Por outro lao, a formulação o Métoo os Elementos e Contorno com Dupla Recprocae DRF estabeleceu-se como alternatva efcaz para solução e problemas moelaos por equações ferencas não homogêneas, que corresponem fscamente à

34 Capítulo I 34 presença e ações e campo ou omíno. Com o aparecmento a DRF a solução e problemas com essas característcas tornou-se acessível, através o uso e funções e base raal e polnômos aequaos para nterpolação. Problemas transentes, nâmcos e fusvos-avectvos também pueram ser resolvos e moo mas smples através essa formulação. Nesta ssertação apresenta-se a formulação o Métoo os Elementos e Contorno com Dupla Recprocae a partr a equação ntegral em sua forma hper-sngular aplcaa a Equação a Dfusão-Avecção. Demonstra-se formalmente que os arranos matrcas são análogas aos construíos na formulação com Dupla recprocae sngular, apenas as matrzes clásscas são substtuías pelas equvalentes hpersngulares. Neste trabalho é feta a comparação entre os resultaos obtos nas formulações FDR e FHR, analsano-se seus esempenhos e a convergênca e ambos, utlzano-se exemplos que possuem solução analítca. Uma as fnalaes esse trabalho é ratfcar se a formulação Hpersngular o MEC é aequaa aos casos nos quas os graentes e tensão ou ações em geral são elevaos, conforme normalmente se estaca na lteratura especalzaa Prao [1]. Em prncípo, espera-se uma melhor capacae a formulação Hpersngular em representar problemas escontínuos e e elevaos graentes, pos que os núcleos as ntegras hpersngulares são compostos por funções e orem nversa mas elevaa.

35 Capítulo I 35 I. 3 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Na lteratura especalzaa não fo entfcao nenhum trabalho com aboragem reta sobre o esenvolvmento a Formulação Hpersngular com Dupla Recprocae em problemas fusvos-avectvos. No que tange à formulação hper-sngular em problemas e Posson, resultaos nteressantes foram alcançaos por Pexoto [2] em sua ssertação e mestrao, one urante smulações, a formulação proposta teve um comportamento satsfatóro. Excluno-se esses trabalhos, apenas aboragens em problemas sem fontes ou ações e omíno foram realzaas. Os trabalhos e Prao [1], que se ncaram com sua ssertação e mestrao, apresentaram resultaos para aplcações tanto na teora o potencal escalar quanto na elastcae, sem ações e omíno, conforme ressaltao anterormente. Contuo, as smulações fetas por esse autor naquela época apresentam mprecsões, á que algumas conções matemátcas que cercam a questão a Hper-sngularae eram pouco conhecas. Esse mesmo problema, lgao especalmente a questões e contnuae as varáves entre elementos, ocorreu com versos autores que se etveram sobre o estuo a formulação hper-sngular. Nesse sento eve-se estacar o trabalho elaborao por Mansur et. al. [3]. Neste fo feta extensa e cuaosa aboragem a exstênca as ntegras hpersngulares, que não são mprópras, exstem num sento especal. Dese que certas conções e contnuae seam obeecas, há establae nos resultaos numércos, anterormente não obtos

36 Capítulo I 36 por versos autores. No artgo e Mansur et. al. [3] apresenta-se o formalsmo que se eve segur na obtenção a equação ntegral e contorno hper-sngular. I.4 - ESTRUTURA DO TRABALHO Este trabalho fo estruturao em oto Capítulos. O prmero é esta ntroução. O seguno apresenta o fenômeno físco envolvo nestes estuos. O tercero traz o MEC para a Equação e Laplace, que é ncalmente apresentaa em sua forma ferencal e trabalhaa até a forma ntegral nversa. Logo após é aplcaa a solução funamental e um problema correlato, formano uma equação e governo que contém apenas ntegral no contorno. Isto é feto para a formulação sngular e Hpersngular. No quarto capítulo temos a Formulação Matemátca para problemas e Dfusão- Avecção, one é apresentaa a Formulação com Dupla Recprocae Sngular FDRS. Já no capítulo cnco, será ntrouzo o métoo FDRH Formulação com Dupla Recprocae Hpersngular. Toas as sngularaes presentes nos núcleos as ntegras foram examnaas, umas com maor e outras com menor rgor matemátco.

37 Capítulo I 37 A scretzação os métoos FDRS e FDRH serão expostos no capítulo ses esta ssertação, one serão necessáros artfícos matemátcos para a formação o conunto e matrzes e permutações, peculares as estas formulações. No fnal o capítulo é apresentaa a forma com que se ntrouzem os pontos nternos consttutvos, bem como as matrzes amplaas para nclusão estes, mportantes na Formulação com Dupla Recprocae. A análse as smulações numércas é realzaa no capítulo sete, one os exemplos regos por campos e temperatura ferencaos são estuaos Os esenvolvmentos fcaram lmtaos a omínos bmensonas e elementos e contorno constantes. Os resultaos são evamente estuaos e comentaos. Por fm, no capítulo oto, algumas conclusões, conserações e sugestões para futuros trabalhos são apresentaas.

38 Capítulo II 38 CAPÍTULO II PROBLEMA FÍSICO II. 1 O FENÔMENO DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR. Conforme to no capítulo anteror, para se obter sucesso com as Técncas oravante empregaas, é mperatvo que se tenha um problema físco bem posto, com o máxmo e nformações possíves para que o trato matemátco este sea vablzao. Dante sto, nca-se a partr e agora o entenmento e a nterpretação o problema físco, suas partcularaes e a formulação o seu equaconamento e governo. Incalmente etermna-se, mesmo que e manera smplsta, a transferênca e calor, que é o prncípo este trabalho acaêmco e obeto e estuo para as formulações que vrão nos próxmos capítulos. Incropera e Wtt [4] efnem a transferênca e calor ou calor como seno o transto e energa provocao por uma ferença e temperatura. Em outras palavras ele z claramente que a ferença e temperaturas mplca em um graente térmco poeno ocorrer em um meo contínuo, ou entre város meos. Incropera e Wtt [4] referem-se aos ferentes tpos e processos e transferênca e calor como moos. Os moos e transferênca e calor mas funos são a conução, a raação e a convecção, conforme lustrao na fgura 1.

39 Capítulo II 39 É mportante que se conheçam os mecansmos que funamentam estes moos e transferênca e calor e também as equações as taxas que quantfcam a energa transfera Incropera e Wtt [4]. Dfusão Convecção Raação q" Movmento o fluo q" conv q" ra Superfíce Superfíce q " ra Fgura 1 - Moos e transferênca e calor pela conução, pela convecção e pela raação Incropera e Wtt [4]. Ana em seu capítulo ntroutóro, Incropera e Wtt [4] resumem e forma compacta os três moos e transferênca e calor, sucnta e obetvamente. O Autor cta que quano exste uma varação e temperatura num meo estaconáro, poeno ser este sólo ou fluo, haverá então conução e esta transferênca e calor ocorrerá neste meo. Contnuano a exploração os moos e transferênca e calor, Incropera e Wtt [4] z que exste um contraste entre a conução e a convecção, uma vez que esta últma referese à transferênca e calor que ocorrerá entre uma superfíce e um fluo em movmento, lembrano ambos os meos evem estar em temperaturas ferentes. Por fm, mas não menos mportante, exste a transferênca e calor pelo moo enomnao raação térmca. O mecansmo e transmssão este moo e transferênca e calor é escrto como seno a emssão e energa na forma e onas eletromagnétcas entre superfíces numa temperatura fnta Incropera e Wtt [4]. No lvro tomao como

40 Capítulo II 40 referênca, o autor faz questão e enfatzar que na ausênca e um meo ntervenente, haverá uma transferênca líqua e calor pela raação entre uas superfíces em temperaturas ferentes. Entretanto, o moo e transferênca e calor por raação não será aborao nesta ssertação, uma vez que a proposta é realzar o estuo o fenômeno fusvo-avectvo através a técnca os Elementos e Contorno, teno a abrangênca e aplcablae sobre os moos a conução e a convecção. II.1.1 CONDUÇÃO: CARACTERISTICAS E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA. O fenômeno a transferênca e calor por conução está ntmamente lgao aos concetos e atvae atômca e atvae molecular, que são processos nvsíves a olho nu, mas são nestes níves que estas nterações almentam esse moo e transferênca e calor. Incropera e Wtt [4] conseram a conução como a transferênca e energa as partículas mas energétcas e uma substânca para as partículas menos energétcas, graças às nterações estas partículas. Poe-se avalar a conução em substâncas no estao gasoso, líquo e sólo. Nesta ssertação será focaa apenas a conução no estao sólo, uma vez que este moo e transmssão e calor é atrbuío a atvae atômca sob a forma e vbrações a ree. Incropera e Wtt [4] atrbuem a transferênca e energa a onas na ree provocaas pelo movmento atômco. Eles também salentam que para um sólo solante a transferênca e energa se faz exclusvamente através essas onas, mas em contra parta para um sólo conutor, a transferênca também se eve ao movmento

41 Capítulo II 41 translaconal os elétrons lvres. A energa transfera por conução é proporconal ao graente e temperaturas em que o meo está sueto, poeno ser quantfcaa utlzano uma constante e proporconalae. Defne-se, então, a equação e calor transmto por conução, conheca como le e Fourer Incropera e Wtt [4]. " T = k II.1 x q x One " q é o fluxo e calor transfero na reção x por unae e área perpencular à x reção e transferênca, e é proporconal ao graente e temperatura, T/x, nesta reção. A constante e proporconalae k é uma propreae e transporte conheca como conutvae térmca e é uma característca o materal one ocorre a transferênca e calor. A fgura 2 lustra a strbução e temperatura e aua a vsualzar a escrção a le e Fourer. O snal negatvo na equação eve-se ao fato o calor ser transfero na reção e temperatura ecrescente Incropera e Wtt [4]. Fgura 2 Transferênca e calor por conução unmensonal fusão e energa Incropera e Wtt [4].

42 Capítulo II 42 Na lustração acma, a le e Fourer fo aplcaa para o moo e conução em regme permanente unreconal, sto faclta a compreensão este moo e transferênca e calor e oferece o suporte necessáro para o próxmo nível a aboragem este trabalho acaêmco, que é o conhecmento a conução bmensonal em regme permanente. Esta sm terá aplcação reta no equaconamento matemátco o problema fsco que será levao para a técnca o métoo os elementos e contorno MEC que vablzará a solução o problema numercamente. Na conução bmensonal, o fluxo e calor local em um sólo é um vetor em toos os pontos, normal às lnhas e temperatura constante sotermas. Portanto, em regme permanente e sem geração e calor a forma a equação fca como mostraa em II. 2: 2 T 2 x 2 T + = 0 2 y II. 2 II. 1.2 CARACTERISTICAS FÍSICAS DA CONVECÇÃO Neste tópco será aborao o moo e transferênca e calor por convecção, cuas partcularaes e mecansmo e transmssão são e suma mportânca para a compreensão, preparação e organzação as equações consttuntes o problema físco. No capítulo III, estes concetos e conução e convecção, serão submetos às técncas o métoo os elementos e contorno MEC, one o trato e caa moo será aborao e forma stnta e em parcelas posconaas em sposções, convenentemente, opostas na gualae a equação.

43 Capítulo II 43 Incropera e Wtt [4] escrevem que na convecção a transferênca e calor se á entre meos, como exemplo poe-se zer um líquo fluo e outro sólo superfíces em movmento relatvo, na presença e um graente térmco. O moo e transferênca e calor por convecção compreene os mecansmos: O prmero é o movmento molecular aleatóro fusão, e o seguno é o movmento e massa ou macroscópco em que um grane número e moléculas se esloca coletvamente ou em agregaos o escoamento propramente to. Desta forma, um fluo ao escoar-se sobre uma superfíce ou tubulação e qualquer formato one a temperatura superfcal é maor o que a o fluo ocorrerá o fluxo e calor por convecção. Em outras palavras, o calor será transfero a superfíce para as partículas o fluo, que se encontram mas próxmas esta área superfcal e conseqüentemente, expermentarão um acréscmo e temperatura e energa nterna. Então, quano estas partículas fluas, que sofreram a nteração escrta acma, moverem-se para regões e menor temperatura transportano a carga térmca e a energa nterna, sto rá gerar um fluxo e fluo e também e energa. A lteratura efne que a transferênca total e calor se eve à superposção o transporte e energa pelo movmento aleatóro as moléculas com o transporte e energa provocao pelo movmento e massa o fluo Incropera e Wtt [4]. De acoro com a maor parte a lteratura especalzaa, utlza-se o termo convecção para entfcar esse transporte acumulao movmento aleatóro com o escoamento e o

44 Capítulo II 44 termo avecção para entfcar o transporte evo exclusvamente ao movmento e massa o fluo. Neste tópco fca claro que o moo e transmssão e calor por convecção nclu também o moo conução, aqu chamao e fusão mecansmo e transferênca a nível molecular e nteração. A fgura 3 mostra a nteração ctaa acma, além e algumas partcularaes geraas pelos moos e transferênca e calor. O obeto e nteresse neste caso é a transferênca e calor por convecção que ocorre entre um fluo em movmento e uma superfíce lmtante, quano os os estão em temperaturas ferentes escoamento e um fluo sobre uma superfíce aqueca. Fluo Dstrbução a Velocae Dstrbução a Temperatura Superfíce Aqueca Fgura 3 Desenvolvmento a camaa lmte na transferênca convectva e calor Incropera e Wtt [4].

45 Capítulo II 45 Incropera e Wtt [4] mostram que uma conseqüênca a nteração o fluo com a superfíce é o esenvolvmento e uma regão no fluo aone a varação a velocae va e zero até um valor fnto, v. Assm, Incropera e Wtt [4] efnem esta regão como seno a camaa hronâmca ou camaa lmte. Quano estão em ferentes temperaturas fluo e superfíce ocorre uma regão no fluo na qual a temperatura vara e T s em y = 0, até T, na regão externa, concetuaa como camaa lmte térmca. Claramente o autor evenca o fenômeno a convecção assocaa à fusão molecular e o trânsto e energa evo à avecção. Incropera e Wtt [4] explanam que nas proxmaes a superfíce, one as velocaes são baxas, o movmento molecular aleatóro fusão tem maor contrbução para a transferênca e energa em relação ao movmento macroscópco o fluo nterface superfíce fluo, a velocae é nula. Por tanto, a transferênca e calor se á exclusvamente pela fusão. Em contraparta, à mea que o escoamento esloca-se no sento a reção x, ocorre um acréscmo na camaa lmte e, portanto, tem-se uma maor contrbução o movmento macroscópco o fluo. Desta forma o calor conuzo para essa camaa é, então, arrastao pela corrente o fluo e se transfere para o fluo externo à camaa lmte. Equaconano tuo o que fo mostrao até agora, no que tange a convecção, chega-se a conheca le e Newton o Resframento, one se tem que a varação e calor convectvo é proporconal à ferença e temperatura fluo-superfíce, T s e T respectvamente. A constante e proporconalae, h é concetuaa como o coefcente e transferênca convectva e calor, ou como conutânca a película ou smplesmente

46 Capítulo II 46 coefcente e película. Abaxo se apresenta a forma matemátca a escrção feta a le o resframento e Newton, equação II.3. q" = h T T II.3 conv s O coefcente e película, h, nfluenca toos os parâmetros e transferênca convectva e calor. Seu valor epene as conções na camaa lmte, e está conções são nfluencaas pela geometra a superfíce, pela natureza o movmento o fluo e por um conunto e propreaes termonâmcas e e transporte o fluo Incropera e Wtt [4]. O mecansmo que será aborao neste trabalho tem um caráter mas complexo one a equação e governo será obta a partr a camaa lmte térmca a convecção, contuo, algumas conções smplfcaoras serão aotaas. Entretanto, eve-se salentar que o métoo os elementos e contorno MEC poe ser utlzao para a resolução e problemas com estas característcas, como a camaa lmte, mas também poe ser aplcao retamente a outros problemas com característcas smlares, não seno exclusvo apenas para este tpo e processo. O próxmo tópco trata exatamente a construção o equaconamento e um problema convectvo, suas partcularaes e conções contorno.