UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ FELIPE RECKA DE ALMEIDA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ FELIPE REA DE ALMEIDA FORMULAÇÃO ONSTITUTIVA DA PERDA DE RIGIDEZ EM INTERFAES UTILIZANDO POTENIAIS TERMODINÂMIOS GENERALIZADOS URITIBA 9

2 FELIPE REA DE ALMEIDA FORMULAÇÃO ONSTITUTIVA DA PERDA DE RIGIDEZ EM INTERFAES UTILIZANDO POTENIAIS TERMODINÂMIOS GENERALIZADOS Dssertação apresentaa ao Programa e Pós-Grauação em Métoos Numércos em Engenhara, Setor e Tecnologa, Unversae Feeral o Paraná como requsto parcal à obtenção o título e Mestre em êncas. Hece Professor orentaor: Mlre Balln URITIBA 9

3 EPÍGRAFE orpus omne perseverare n status quo quescen vel moven unformter n rectum, ns quatenus a vrbus mpresss cogtur statum llum mutare. Sr Isaac Newton

4 3 Obrgao a toos, sem exceção. AGRADEIMENTOS

5 4 RESUMO Lesões carosas extensas, amplas restaurações e fraturas entas poem levar à necessae e tratamento enoôntco. Dentes trataos enoontcamente tornam-se mas fráges evo à pera e estrutura após a remoção a lesão carosa ou a regularzação a fratura e a nstrumentação o canal racular. Além sso, suas estruturas se apresentam esrataas evo à falta e rrgação sanguínea, que antes era promova pelo órgão pulpar. A esntegração essas estruturas entas poe tornar os entes mas suscetíves à fratura. Por esses motvos, foram esenvolvos retentores ntra-raculares com o ntuto e reter o materal restauraor. A função os cmentos é selar a nterface entre o pno e a entna racular, além e auxlar em sua retenção. Neste trabalho é apresentao um moelo numérco-computaconal capaz e smular o processo e pera e rgez as nterfaces pno-cmento-entna por meo a Mecânca o Dano e a efnção e os potencas termonâmcos com o auxílo e técncas a análse convexa. O procemento e solução o equlíbro global se á através o métoo Quase- Newton, a scretzação espacal é obta aplcano o Métoo os Elementos Fntos e a scretzação temporal fo ntrouza nepenentemente a espacal. A aboragem escolha permte conhecer o comportamento consttutvo através e os potencas: um potencal e energa e um potencal e sspação. Tal aboragem apresenta vantagens sobre a traconal, entre as quas se estaca a obtenção e resultaos que seguramente não volam as Les a Termonâmca. As equações e fluxo são ervaas a partr e potencas termonâmcos, one o conceto e materas stanar generalzaos é aplcao. Ao fnal são apresentaos e scutos alguns exemplos átcos e, na seqüênca, são scutos também resultaos obtos a partr e smulações realzaas com o programa esenvolvo. Palavras-chave: Mecânca o ano. Potencas termonâmcos. Métoo os Elementos Fntos. Interface. Bomecânca.

6 5 ABSTRAT Extensve carous lesons, large ental restoratons an fractures can lea to the nee for enoontc treatment. Enoontcally treate teeth become more fragle ue to loss of structure after removal of the carous leson or the regularzaton of the fracture an the nstrumentaton of the root canal. Moreover, ther structures have been ehyrate ue to lac of bloo, whch was once promote by the pulp. The sntegraton of ental structures can mae the teeth more susceptble to fracture. For these reasons, root posts were evelope n orer to retan the restoratve materal. The role of the cement s to seal the nterface between the post an root entn, an help n ther retenton. The purpose of ths wor s to present non-lnear mathematcal programmng algorthm capable of smulatng the loss of stffness process n post-cement-entn nterfaces through the ontnuum Damage Mechancs an the efnton of two thermoynamc potentals wth help of convex analyss. The proceure for solvng the global balance occurs through the quas-newton metho, the spatal scretzaton s performe by means of the Fnte Element Metho an temporal scretzaton was ntrouce nepenently of the spatal scretzaton. In the chosen approach, the consttutve behavor s etermne from two thermoynamc potentals: a potental energy an a potental of sspaton. One of the avantages of the present approach s that the results obtane satsfy the funamental laws of thermoynamcs. The flow equatons are erve from thermoynamc potental, where the concept of generalze stanar materals s apple. At the en are presente an scusse a few actcal examples, an n sequence, are also scusse results from smulatons performe wth the program evelope. ey wors: ontnuum Damage Mechancs. Thermoynamc Potentals. Fnte Element Metho. Interface. Bomechancs.

7 6 LISTA DE SÍMBOLOS Pext - potênca mecânca ou externa Β - volume Β - superfíce e um volume a r - força strbuía por unae e superfíce b r - força strbuía por unae e massa v r - velocae o ponto materal x - abscssa e um ponto no espaço ρ - ensae e massa - taxa e calor Qe q r n r U & e E & c E & σ D ε& S s θ ψ T α - calor gerao por unae e massa - fluxo e calor - versor untáro - taxa e energa nterna - energa nterna por unae e massa - taxa e energa cnétca - taxa e energa total e um sstema - tensor e tensões - tensor taxa e eformações - tensor taxa e eformações para pequenas eformações - entropa - entropa por unae e massa - temperatura absoluta - energa lvre - varável e estao nterna A - força termonâmca P - regão amssível Ω - nteror a regão amssível Ω - frontera a regão amssível f - função e escoamento α& - taxa e varação a varável e estao nterna λ - multplcaor e Lagrange M n r δ S δ S DX α δ S D σ E - ponto e um corpo - vetor - área e um plano que corta o volume representatvo - área e nterseção e toas as mcrofssuras e mcrocavaes em δ S - varável e estao nterna relatva ao ano - área e nterseção mas anfcaa em δ S - tensor e tensões efetvas - móulo e elastcae longtunal

8 7 E ε A ψ ψ InP χ σ& A & j σ&, A& ε& α& ( ) ( ε &, & ) j α σ A ε j α A ε Z Ω B (, A ) e ( B ) T N ( N ) T Uˆ Ψ L F nt F nt F nt Fext F ext Fext - móulo e elastcae efetvo - tensor e eformações efetvas - força termonâmca relatva ao ano - potencal termonâmco complementar - energa lvre relatva - ncatrz o conjunto P - função e sspação - taxa e tensões - taxa a força termonâmca relatva ao ano - potencal termonâmco as taxas temporas e tensões e as taxas temporas a força termonâmca relatva ao ano - taxa e eformações - taxa a varável nterna relatva ao ano - potencal termonâmco as taxas temporas e eformações e as taxas temporas a varável nterna relatva ao ano - ncremento e tensões - ncremento e força termonâmca relatva ao ano - ncremento e eformações - ncremento a varável nterna relatva ao ano σ - potencal termonâmco os ncrementos e eformações e os ncrementos a varável nterna relatva ao ano - força termonâmca a partr a qual se nca o processo e anfcação - eformação a partr a qual o processo e anfcação é ncao - parâmetro responsável pelo enurecmento/amolecmento no moelo e ano - constante responsável pela magntue a regão as forças termonâmcas amssíves - constante responsável pela superfíce a regão as forças termonâmcas amssíves - elemento a malha e elementos fntos - operaor o Métoo os Elementos Fntos - matrz transposta o operao o Métoo os Elementos Fntos - matrz e funções e forma - matrz transposta a matrz e funções e forma - vetor com os componentes x e y os eslocamentos noas - função e forma o Métoo os Elementos Fntos - operaor - esforços nternos - ncremento e esforços nternos - esforços nternos e um elemento a malha e elementos fntos - esforços externos - ncremento e esforços externo - esforços externos e um elemento a malha e elementos fntos

9 8 ( U ) R IQ4 h b IQ4 jl I e ϑ ϕ EN - resíuo a equação e equlíbro - elemento soparamétrco e quatro nós - altura o elemento - comprmento o elemento - matrz e rgez o elemento soparamétrco e quatro nós - coefcente a matrz e rgez - matrz consttutva o estao plano e eformações - componente a matrz consttutva - componente normal a matrz consttutva - componente csalhante a matrz consttutva - componente o efeto acoplao (normal e csalhante) a matrz consttutva - matrz consttutva o elemento e nterface - pesos atrbuíos a componente normal os materas que compõe a regão e nterface - parâmetro a ser ateno para a utlzação o elemento e nterface - móulo e elastcae longtunal a nterface GN - móulo e elastcae transversal a nterface B - operaor lnear e eformações - reção ao longo a qual se busca mnur o valor e uma função o métoo e otmzação na teração p - passo o métoo e otmzação na nteração G - matrz smétrca não sngular o métoo e otmzação na nteração H - Aproxmação o Hessano na teração y - ferença entre os valores os resíuos na teração + e na teração no métoo Quase-Newton s - ferença entre os valores os eslocamentos na teração + e na teração no métoo Quase-Newton ϖ - termo empregao na atualzação o Hessano pelo métoo BFGS

10 9 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO..... OBJETIVOS Objetvo geral Objetvos específcos ESTRUTURA DO TRABALHO...4. REVISÃO BIBLIOGRÁFIA FUNDAMENTOS TEÓRIOS MODELOS TERMODINAMIAMENTE ADMISSÍVEIS onserações e efnções geras Prmera Le a Termonâmca Seguna Le a Termonâmca A esgualae e lausus-duhem Potencal termonâmco Regão amssível Potencal e sspação MEÂNIA DO DANO Varável nterna e ano Deformação equvalente Tensão equvalente MODELO ONSTITUTIVO Potencal termonâmco e Les e estao Potencal e sspação Equação consttutva e ano em taxas Equação consttutva e ano em ncrementos fntos Relação entre função sspação e função escoamento UM MODELO DE DANO SEGUNDO ENFOQUE TERMODINÂMIO IMPLEMENTAÇÃO OMPUTAIONAL E ALGORITMOS PROGRAMA DESENVOLVIDO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Elemento e nterface ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE EQUILÍBRIO ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ONSTITUTIVA Aplcação o algortmo e Newton Raphson para o moelo e ano EXEMPLOS EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO ONLUSÕES...93 REFERÊNIAS...95

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12 . INTRODUÇÃO O tratamento enoôntco é uma técnca preconzaa quano exstem lesões carosas extensas, amplas restaurações ou fraturas entas. Seguno Assf & Gorfl (994), a pera e estrutura após remover a lesão carosa ou regularzar a fratura e fazer a nstrumentação o canal racular torna a estrutura entnára mas frágl. om a remoção o órgão pulpar a rrgação essa estrutura ental é nterrompa, tornano-a esrataa. Essa esratação poe tornar os entes mas propensos a fraturas. Na fgura é mostraa a preparação o canal racular, etapa o tratamento enoôntco. FIGURA TRATAMENTO ENDODÔNTIO FONTE: Franco (8) A fm e contornar tas problemas foram esenvolvos pnos ntraraculares com a função e evolver certa rgez à estrutura, propcano uma strbução mas aequaa as tensões pelas quas essa estrutura venha a ser solctaa. Esses pnos são fxaos à entna por meo e cmentos resnosos oontológcos, que selam a nterface entre pno e a entna racular. omo too processo aesvo, o sucesso a fxação esses pnos está sujeto à qualae a unão pno-cmento-entna, proporconaa pelos agentes aesvos ntermeáros. Na lteratura é vasta a preocupação com a concentração e tensões e conseqüente falha a unão entre cmento-entna e cmento-pno. Poem ser estacaos os trabalhos e Ferrar et al. (), Lanza et al. (5), Tay et al. (5) e Franco (8).

13 A realzação e estuos sobre o comportamento os cmentos resnosos e as nterfaces aesvas entre pno-cmento-entna é funamental para se obter uma aesão segura e para o esenvolvmento e futuros materas. Seno assm, o presente estuo esenvolve, teno por base a Mecânca o Dano para Meos ontínuos, uma formulação para escrever o processo e pera e rgez e sua conseqüente aplcação em nterfaces. Na fgura a nterface entre o cmento resnoso e a entna poe ser entfcaa. Stuações e nteração entre ferentes materas são comumente encontraas na engenhara. O comportamento a regão e frontera entre esses materas tem so representao em moelos e elementos fntos por meo e elementos e nterface. Seno assm, com o objetvo e permtr a análse a strbução e tensões e eformações, smulano ferentes conções e seqüêncas e carregamento, too o comportamento consttutvo os materas envolvos fo escrto através o Métoo os Elementos Fntos. FIGURA FOTO DE MIROSOPIA ELETRÔNIA ONDE PODEM SER OBSERVADOS: (a) IMENTO RESINOSO, (b) INTERFADE E A (c) DENTINA FONTE: Franco (8) A teora o ano escreve localmente a evolução os fenômenos que se esenvolvem entre um estao ncal, relatvo a uma stuação e materal íntegro, e um estao fnal, representao pela pera total a resstênca. No caso os cmentos resnosos, um materal em que a fssuração é o fenômeno omnante no comportamento não-lnear, a Mecânca o Dano é capaz e formular moelos realstas. O ano não é uma graneza físca mensurável retamente, mas no âmbto e uma moelagem matemátca é possível quantfcá-lo através e uma reução

14 3 progressva e uma propreae mecânca global como, por exemplo, a rgez o materal. O moelo e ano mplementao neste trabalho fo o moelo esenvolvo por Tao & Phllps (5), one somente o efeto sotrópco o ano é conserao. Esse moelo apresenta bons resultaos mesmo seno bastante smples e tem como vrtue sua fácl mplementação. A termonâmca esempenha um mportante papel na formulação e esenvolvmento e moelos consttutvos. Para evtar resultaos termonamcamente nconsstentes, a prmera e a seguna les a termonâmca formam a base a aboragem presente neste trabalho, que tem como prncpal gua o trabalho esenvolvo por Houlsby & Puzrn (). Mutos trabalhos sobre a aplcação os concetos termonâmcos na mecânca o ano já foram esenvolvos, seno que a maora esses se concentrou no estuo e estruturas e concreto. No presente trabalho, propõe-se o estuo e um moelo consttutvo aplcao às nterfaces entre um cmento resnoso, um pno polmérco e a entna. O esenvolvmento e moelos capazes e fornecer prevsões mas realstas o comportamento a nterface passa a ser mportante para amplar os conhecmentos e crurgões-entstas, proporconano a melhora as técncas e os materas envolvos no tratamento enoôntco, além e mnur a necessae e ensaos n vvo e n vtro... OBJETIVOS... Objetvo geral Desenvolver um moelo numérco-computaconal que permta smular o processo e anfcação e conseqüente pera e rgez as nterfaces entre o cmento resnoso, o pno ntra-racular e a entna a partr a efnção e os potencas termonâmcos com o auxílo e técncas a análse convexa.

15 4... Objetvos específcos a) Aplcar a teora termonâmca com varáves nternas e técncas a análse convexa à moelagem o comportamento mecânco e um cmento resnoso; b) Apresentar a formulação e um moelo consttutvo e ano seguno enfoque termonâmco; c) Implementar algortmos aequaos à resolução o problema consttutvo; ) Aplcar o Métoo os Elementos Fntos à scretzação espacal o problema e pera e rgez; e) Implementar um elemento aequao à smulação a regão e nterface; f) Realzar algumas smulações com o programa esenvolvo e comparar com resultaos obtos em ensaos expermentas... ESTRUTURA DO TRABALHO A segur está escrto, e forma sucnta, o conteúo e caa capítulo este trabalho. No prmero capítulo fo feta uma ntroução a respeto a técnca e tratar os entes enoontcamente, o valor a unão o cmento resnoso à entna e ao pno ntra-racular no sucesso o tratamento e a mportânca e moelos mas realstas para prever o comportamento as nterfaces entre esses materas. No seguno capítulo é apresentaa uma breve revsão bblográfca o esenvolvmento a Mecânca o Dano para Meos ontínuos, enfatzano-se aspectos relatvos aos trabalhos realzaos na área e moelagem consttutva e materas fráges, além a escrção e alguns elementos e nterface encontraos na lteratura. No tercero capítulo concetos a teora a termonâmca com varáves nternas são apresentaos. A Mecânca o Dano para Meos ontínuos é revsta seguno a aboragem termonâmca, a segur, uma aboragem utlzano concetos a análse convexa é ntrouza e por fm o moelo consttutvo é apresentao.

16 5 No quarto capítulo o moelo e ano com o crtéro e anfcação e Tao & Phllps (5) é escrto seguno enfoque termonâmco. No qunto capítulo é escrto a forma na qual o programa esenvolvo fo estruturao, bem como se apresentam o elemento e nterface e os algortmos empregaos para a resolução o problema e equlíbro e consttutvo. O sexto capítulo apresenta os exemplos átcos o problema consttutvo e resultaos numércos obtos através o programa esenvolvo. Esses resultaos são então comparaos a resultaos obtos em ensaos expermentas. No últmo capítulo, são apresentaas as conclusões este trabalho.

17 6. REVISÃO BIBLIOGRÁFIA A moelagem consttutva e materas fráges tem so objeto e estuo já há algumas écaas. O comportamento físco não-lnear e sólos, observao macroscopcamente, é uma manfestação e muanças rreversíves que ocorrem em sua mcroestrutura. Algumas essas muanças têm orgem em mcroefetos consttuíos por nclusões ou mesmo vazos, os quas, pelas suas característcas, favorecem a concentração e mcrotensões. Esses mcroefetos consttuem o que se entene por ano ncal o materal. Depeneno as conções ambentas e evo à exstênca e solctações mecâncas, mesmo que a resposta global o materal se mantenha entro os lmtes o regme elástco, o ano ncal poe evolur em conseqüênca o rompmento as lgações entre átomos ou por rupturas na nterface entre componentes stntos. Macroscopcamente, esse processo e evolução o ano ncal, ou anfcação, acaba por nfluencar retamente as propreaes elástcas, conforme evencam as reuções e resstênca e e rgez. Já em um estágo mas avançao e solctação, a anfcação leva à formação e ao crescmento e mcrofssuras. omo essa fssuração ocorre e forma strbuía, a Mecânca o Dano é capaz e formular moelos muto realstas para os cmentos. om o ntuto e estuar a ruptura, precocemente observaa em relação ao esperao em metas em regme e eformação lenta, como uma conseqüênca a exstênca e efetos no materal, achanov ntrouzu, em 958, as prmeras éas sobre anfcação e meos contínuos. A partr e então, város outros estuos sobre a Mecânca o Dano têm so realzaos tornano-a uma as mas populares teoras utlzaas para a smulação esse processo. A termnologa Mecânca o Dano para Meos ontínuos ( contnuum amage mechancs, DM) fo usaa por Janson & Hult (977) para esgnar moelos a mecânca o contínuo que tratam as respostas consttutvas, conserano os efetos e egraação em moo fuso e progressvo, por meo e reução as propreaes mecâncas, como resstênca e rgez o materal. É mportante notar a ferença em relação à Mecânca a Fratura. Enquanto a Mecânca a Fratura la com as conções e propagação e uma fssura macroscópca mersa em um meo contínuo íntegro, a Mecânca o Dano se ocupa

18 7 o efeto e um processo e mcrofssuração strbuía que se esenvolve em uma etapa prelmnar a formação a fssura screta. Dese então númeras aboragens bem suceas utlzano o ano para moelar materas versos, como polímeros ou mesmo materas fráges, estão presentes na lteratura como rajcnovc (983) e Ortz (985). Enquanto algumas elas têm como base apenas o comportamento fenomenológco, outras aboragens, baseaas na formulação a DM, levam em conta prncípos termonâmcos. Em 985, Lematre esenvolveu bases teórcas e acoro com a formulação termonâmca os processos rreversíves, propono o uso e varáves nternas escalares, mplcano na hpótese e eteroração sotrópca a rgez. No entanto, a partcularae essa nova aboragem está no conjunto e hpóteses funamentas amtas. São elas: os processos rreversíves poem ser aproxmaos por uma seqüênca e estaos e equlíbro aos quas corresponem valores nstantâneos e um número fnto e varáves nternas; as varáves nternas a serem escolhas evem representar os processos sspatvos omnantes e a resposta o meo epene exclusvamente e seu estao atual. Novos moelos então foram esenvolvos. Entre os moelos puramente e ano poem ser estacaos attan & Voyajs (99), Maugn (99) e Lematre (99). Exstem ana outros moelos e ano com propreaes especfcas, entre esse trabalhos estacam-se Muraam (98) e achanov (984) moelano a eteroração lenta o materal; Mazars (984) estuano o ano em estruturas e concreto armao; Lematre & haboche (985) e Margo (985) na smulação a nteração ano-faga; e Smo & Ju (987) e Ta (99) tratano sobre ano em materas úctes. Esses moelos e ano poem ser classfcaos como sotrópcos ou ansotrópcos, seguno a natureza a varável e ano utlzaa. Os moelos sotrópcos, one são empregaas varáves escalares, são concetualmente smples e têm a vantagem e necesstarem e um número reuzo e parâmetros a se entfcar. Por outro lao, eles poem ter sua aplcação restrta a algumas stuações. Alguns moelos, como o apresentao em Mazars & Pzauer-abot (989), chegam a empregar os escalares para quantfcar o ano, um para a tração outro para a compressão. Os moelos ansotrópcos, one a varável e ano é uma graneza tensoral apresentam uma gama e aplcação maor, porém com maor complexae na entfcação os parâmetros o moelo.

19 8 Já na écaa e 9 uma sére e trabalhos envolveno a aplcação a termonâmca para a moelagem consttutva e materas fráges, como solos e o concreto, foram então esenvolvos, poe-se estacar Maugn (99), Hansen & Schreyer (994) e ollns & Houlsby (997). A maora esses trabalhos une efetos a pera e rgez às eformações plástcas e ao ano. Esses moelos vem-se em os granes grupos. O prmero grupo é composto pelos moelos chamaos esacoplaos, one o ano e a plastcae são processos nepenentes, embora possam, sob algumas conções, acontecer smultaneamente. O seguno grupo é formao pelos moelos tos acoplaos, one o ano e a plastcae sempre ocorrem smultaneamente. No presente trabalho, a DM fo expressa através a aboragem utlzaa nos materas stanar generalzaos e usano as éas apresentaas por Houlsby & Puzrn () quano trataram e moelos elastoplástcos. A prncpal característca esse tpo e aboragem é o fato o comportamento consttutvo e um materal ser conheco a partr a efnção e somente os potencas termonâmcos: uma função e energa (energa lvre e Helmholtz, energa lvre e Gbbs, entalpa ou energa nterna) e uma função e sspação. A ntroução e um potencal termonâmco, como a energa lvre e Helmholtz, conuz às les e estao a partr as quas é possível relaconar varáves e estao com suas varáves assocaas. A eformação total e um conjunto e varáves nternas assocaas à pera e rgez são aotaos como as varáves e estao. As varáves assocaas são as tensões e as forças termonâmcas generalzaas. Toa formulação basea-se no uso e varáves nternas para representar o programa e cargas sofro pelo materal. O potencal e sspação ntrouzo fornece as les e fluxo permtno avalar a evolução as varáves nternas. A efnção e uma regão e forças termonâmcas amssíves completa o moelo. A le a Normalae estabelece que os ncrementos a varável nterna são perpenculares a uma superfíce no espaço as forças termonâmcas efna a partr e uma função potencal. Mutos moelos assumem que a função potencal possu a mesma forma a função e anfcação, sto é, fluxo assocao. No entanto essa conseração não é necessára e exstem evêncas e que a função e

20 9 escoamento/anfcação e a função potencal não são êntcas em materas fráges, ou seja, poe ocorrer fluxo não assocao. Motvaos pelo problema e smular o fenômeno e pull out nas armauras e peças e concreto armao, one problemas e convergênca são bastante comuns, Tao & Phllps (5) esenvolveram um moelo e ano sotrópco b-axal bastante smples, porém com ótmos resultaos. Desse moelo fo retraa a regão e forças termonâmcas amssíves e efna assm a superfíce e ano. No ano e 7, Enav, Houlsby e Nguyen emonstraram que essa aboragem termonâmca é capaz e escrever o comportamento consttutvo e materas sujetos a pera e rgez sem conserar a plastcae, tornano-se assm a base para esse estuo. A ferença entre o moelo apresentao pelos autores e os emas moelos para a plastcae reca sobre o papel físco as varáves nternas. A preocupação com as muanças o comportamento consttutvo e materas que nteragem entre s formano uma nterface é e longa ata na lteratura. Em moelos e elementos fntos essa regão é smulaa através os elementos e nterface. Um os prmeros trabalhos empregano esse tpo e elemento fo proposto por Ngo & Scorels (967). Ele fo utlzao na análse o comportamento e vgas e concreto armao. Nessa análse os autores conseraram uma vga trmensonal composta pelo materal concreto e pelo materal aço. O parão as fssuras prncpas encontraas em ensaos expermentas fo reprouzo pela nserção e elementos e nterface. As muanças estruturas evo à fssuração o concreto foram obtas através o emprego e um crtéro e resstênca máxma a tração. Gooman, Taylor e Bree (968) propuseram um elemento e nterface e o empregaram para a análse e establae e macços rochosos e escavações. Especfcamente, estuaram o comportamento e moelos e túnes em formato trapezoal e semcrcular construíos através a remoção e blocos até consttuírem a cavae. Os elementos e nterface foram empregaos como meo e lgação entre esses blocos. Também com o propósto e analsar problemas em escavações e establae e encostas rochosas, Zenewcz et. al (97) propuseram um elemento e nterface composto por quatro nós, porém geometrcamente esse elemento não possu espessura, seno que esta é conseraa apenas como um

21 parâmetro na moelagem. Os autores empregaram o comportamento não lnear elástco e o moelo plástco representao pelo crtéro e Mohr-oulomb para escrever o materal utlzao nos elementos e nterface. Esse elemento se emonstrou aequao a scretzação e moelos com elementos trangulares. Para a análse as escontnuaes representaas por lgações e rochas, falhas e nterfaces, Ghabouss, Wlson e Isenberg (973) propuseram um elemento e nterface com espessura não nula. Os autores empregaram um moelo elástco, perfetamente plástco com crtéro e escoamento e Mohr-oulomb na análse e funações e formato crcular e no problema e cunha, esenvolveno assm a formulação para um elemento e nterface com smetra axal. Em 978 Herrmann utlzou a mesma geometra e graus e lberae propostos por Ghabouss, Wlson e Isenber (973), porém com a possblae e amtr o escorregamento e a pera e contato entre os elementos. Isso fo feto através a nclusão e um conjunto e molas scretas que conectam as faces o elemento. A lmtação o efeto e escorregamento é ntrouza pelo autor através o crtéro e Mohr-oulomb. Esse moelo fo utlzao para smular peças e concreto armao e estacas sujetas a forças e empuxo evo ao assentamento e solo ajacente. Também nspraos pelas éas e Ghabouss, Wlson e Isenber (973), Pane & Sharma (979) esenvolveram um elemento e nterface soparamétrco e oto nós formulao em termos e eslocamentos relatvos. A etermnação os eslocamentos é feta e manera gual à empregaa no métoo os elementos fntos para os elementos soparamétrcos. Depos e computaa a matrz e rgez global são calculaos os eslocamentos. ontuo, esses ana são eslocamentos globas e relatvos, seno necessára uma transformação para que os eslocamentos absolutos sejam obtos. Só então é feto o procemento parão os elementos soparamétrcos para computar as eformações e tensões. Resultaos obtos por Vega () mostram a equvalênca entre o elemento e nterface proposto por Pane & Sharma (979) e o elemento utlzao no presente trabalho proposto por Desa et al. (984). Porém o elemento proposto por Pane & Sharma (979) exge um esforço computaconal maor, uma vez que necessta a transformação os eslocamentos relatvos em globas. O elemento e nterface proposto por Desa et al. (984) fo utlzao orgnalmente na moelagem e solos e sua grane vantagem recae no esembaraço o emprego e sua formulação, posto que tanto a formulação o

22 contínuo quano o elemento em s são realzaas através e elementos quarlateras planos. Dessa forma torna-se fácl a mplementação esse elemento em um programa computaconal. Mas uma vez o elemento esenvolvo por Ghabouss, Wlson e Isenber (973) fo usao como base para uma nova formulação. As ferenças propostas por Beer (985) foram: uma formulação soparamétrca e a espessura nula o elemento e nterface. Para moelos bmensonas foram empregaos elementos e lnhas entre elementos e casca, enquanto que, para moelos trmensonas foram utlzaos elementos e nterface planos entre elementos sólos. Essa formulação fo vantajosa para moelar juntas e fraturas e rochas. Em 3, outnho et al. propuseram uma extensão o elemento proposto por Herrmann (978), uma vez que apenas acrescentou uma mola central ao elemento em questão. O cálculo as tensões e eformações ocorre a mesma forma. Além essas, outras contrbuções foram fetas por outros autores como Grffths (987) que se preocupou com a escolha os elementos e nterface, Fran, Guenot e Humbert (98) que empregaram elementos e nterface para a moelagem e contato ou Day & Potts (994) que estuaram as fculaes numércas em smulações com a presença e elementos e nterface. om a cração e evolução e versas lnhas e pesqusa lgaas à boengenhara város trabalhos vêm estuano as nterfaces entre materas nertes (cmentos, hastes, pnos, etc.) e tecos vvos (osso, entna, etc.). A preocupação com essas nterfaces rese no fato e váras técncas oontológcas (enoonta, mplantoonta, etc.) epenerem o sucesso a fxação entre os materas envolvos. Na ultma écaa város trabalhos avalaram a resstênca e aesão entre pno, cmento e entna. Dentre esses, poem ser estacaos: Ferrar et al. (), avalano a nfluênca os túbulos entnáros no nteror os canas raculares, aumentano a área superfcal e aesão e seno assm responsáves por uma melhor aesão; Sants et al. (), verfcano a resstênca e aesão entre pno e fbra e cmentos resnosos através o ensao e pull-out; Boullaguet et al. (3), averguano a resstênca e aesão por meo e ensaos e mcro-tração, Goracc et al. (5) testano a aesão e pnos ntra-raculares através e três tpos ensaos expermentas e resstênca aesva (mcro-tração com espécmes em forma e ampulheta, mcro-tração com espécmes em forma e paltos e pull-out);

23 Lanza et al. (5) utlzano o Métoo o Elementos Fntos com o ntuto e avalar a unão entre pno-cmento-entna; Perez et al. (6) verfcano a nfluênca a espessura a camaa e cmento resnoso na resstênca aesva em entes trataos enoontcamente; e Bonfante (7) examnano a contnuae a nterface entre cmento e entna por meo e mcroscopa eletrônca e varreura. om essa breve revsão bblográfca procurou-se emonstrar que a aboragem utlzaa no presente trabalho está em concorânca com os recentes trabalhos na área e Mecânca o Dano, que a escolha o elemento e nterface objetvou elementos versátes, mas que conservassem a smplcae, e que essas ferramentas são necessáras a um melhor entenmento, e conseqüente esenvolvmento, e técncas enoontcas.

24 3 3. FUNDAMENTOS TEÓRIOS 3.. MODELOS TERMODINAMIAMENTE ADMISSÍVEIS Este tem tem por objetvo apresentar, ncalmente, alguns aspectos a Termonâmca aplcaos aos meos contínuos vsano garantr que o moelo consttutvo seja fscamente amssível. A segur, tal formalsmo termonâmco fo empregao em conjunto com a Mecânca o Dano. O esenvolvmento apresentao nesse tem poe ser encontrao nos textos e Proença & Ptuba () onserações e efnções geras Para os propóstos a Mecânca os Meos ontínuos Sólos, um sstema termonâmco fechao é uma quantae e matéra contínua e nvarante. A noção e contnuae permte conserar subsstemas que ocupam volumes muto pequenos. Se for possível efnr em tas volumes quantaes méas representatvas o fluxo e calor, a temperatura e o graente e eformação em qualquer um os seus pontos, então as les relaconaas ao balanço e energa poem ser expressas por formas ferencas e conseraas válas em um ponto. A quantae e energa em um sstema termonâmco referencaa por unae e massa é chamaa energa nterna. Quano é possível avalar toas as nformações necessáras para a caracterzação o problema, z-se que o estao o sstema é conheco. Uma graneza físca, mensurável reta ou nretamente, necessára para etermnar a energa nterna o sstema, em qualquer nstante, é enomnaa varável e estao. As varáves e estao observáves são aquelas que poem ser meas. Elas, geralmente, são a temperatura e o tensor e eformações Postula-se que um número fnto e varáves e estao seja sufcente para a etermnação unívoca a energa nterna. De manera mas geral a escolha sobre o número e varáves é arbtrára, até certo ponto, estano epenente os fenômenos que se pretene levar em conta em caa problema.

25 4 Um sstema está em equlíbro termonâmco quano as varáves e estao não são alteraas com o tempo. Se exste uma muança ao longo o tempo, z-se que o sstema esta sofreno um processo. Além a energa nterna, poe-se assocar ao sstema quantaes e energa cnétca, lgaas ao seu movmento, e energa potencal, relaconaa á sua posção ou cota, ambas epenentes o referencal aotao, em relação ao qual se meem a velocae e a posção o corpo. Nas análses que seguem, consera-se que as muanças na energa total o sstema mplcam em muanças nas parcelas referentes à sua energa cnétca e energa nterna. Amte-se, por smplfcação, que as transformações que o sstema poerá sofrer não levem em alterações sgnfcatvas e sua cota, e moo que muanças na energa potencal não serão conseraas. A energa total o sstema poe varar se houver trabalho mecânco realzao em relação ao sstema por forças nternas e/ou transferêncas e calor. Normalmente, para ar generalae ao estuo essa varação e energa é analsaa conserano-se as taxas e trabalho mecânco (potênca) e e transferênca e calor Prmera Le a Termonâmca A prmera le a termonâmca estabelece justamente o balanço e energa entre a potênca mecânca e a taxa e calor transferas para entro o sstema com a taxa e varação a sua energa total. A potênca mecânca poe ser prouza por forças a r strbuías por unae e superfíce e por forças b r por unae e massa. O calor poe ser transmto por conução através a superfíce e corpo e/ou nuzo retamente na massa por rraação ou então por alguma fonte nterna. A relação que efne a potênca mecânca, ou externa P ext, ntrouza sobre uma quantae e massa que ocupa certo nstante o volume Β, lmtao pela superfíce Β, é expressa na segunte forma: v r r r = a v Β + ρ b v Β (3.) P ext Β Β

26 5 one v r é vetor velocae o ponto materal que na confguração atual o corpo ocupa a posção x o espaço e pontos. Ana na relação anteror aparece a ensae ρ, que multplcaa pela força b r é enomnaa força e corpo. Por sua vez, a taxa e calor Q e ntrouza no sstema provém a conução através a superfíce Β e o calor gerao por unae e massa r. Então, por efnção: Q e r r = q n Β + ρ r Β Β Β (3.) one q r é o vetor fluxo e calor e o snal negatvo nca o fluxo e fora para entro o sstema, uma vez que n r é um versor que, em caa ponto o contorno, aponta para o exteror o corpo. A prmera le a termonâmca z respeto à conservação e energa o sstema, poeno-se enuncá-la a segunte manera: a taxa e trabalho mecânco ou potênca as cargas externas mas a taxa e calor ntrouza no sstema é gual à taxa e energa cnétca mas a taxa e varação a energa nterna. A relação que a exprme é a segunte: one, P ext + Q = E& + U& (3.3) e = U& ρ e t Β Β c (3.3a) é a taxa e energa nterna ( e é a ensae e energa nterna por unae e massa), e: é a taxa e energa cnétca. & E c r r = ρ v v Β t Β (3.3b) O seguno membro a equação (3.3) compõe a taxa e energa total o sstema ( E & ), e moo que: T E & = P + Q (3.4) T ext Substtuno-se (3.3) nas expressões as energas envolvas, obtém-se: Β r r a v Β + Β r r ρb vβ Β r r q n Β + Β e ρ r Β = t Β r r ρ v v + ρ e Β (3.5)

27 6 A parcela referente à potênca mecânca poe ser esenvolva conserano-se os teoremas e auchy e a vergênca. r r Do teorema e auchy segue que a= σ n em Β, one n r é o versor normal ao contorno no ponto e σ é o tensor e tensões. Fazeno-se uso o teorema a vergênca, a ntegral e contorno, corresponente ao carregamento strbuío na superfíce, poe ser transformaa em uma ntegral no volume. Dessa forma, a potênca mecânca resulta: P ext Β T r ( v) Β + r v = v σ ρb Β (3.6) Lembrano-se a análse tensoral que: v( σ v ) vσ. v+ σ. gra v Β T r r r =, a expressão anteror passa a ser aa por: r r r = vσ + ρb v + σ gra v Β (3.7) P ext [ ( ) ] Β Fnalmente, levano-se em conta a equação e balanço a quantae e movmento lnear e o prncípo a conservação a massa, obtém-se: e, portanto Β v v v ρ + σ gra Β = t Β t Β r r ρ v vβ + v r P ext = ρ vβ + σ. D Β t Β Β σ D Β (3.8) (3.9) A prmera parcela é a taxa e energa cnétca o sstema e a seguna é enomnaa potênca as tensões, seno D o tensor taxa e eformação, gual à parte smétrca o tensor graente e velocae ( ε& no caso e pequenas eformações). Assm a potênca ntrouza poe ser avalaa va taxa e trabalho realzao pelas forças externas ou e forma equvalente, pela varação a energa cnétca mas a potênca as tensões. Utlzano-se e (3.9), a expressão (3.5) assume a segunte forma: t Β r r ρ v v Β + Β σ D Β Β r r q n Β + Β ρ r Β = t Β r r ρ v v + ρ e Β (3.) Amtno-se, por um lao, um regme e pequenas eformações ( D = ε& ) e, por outro lao, aplcano-se o teorema a vergênca à parcela e fluxo e calor no contorno, valem as relações:

28 7 Β σ D = σ ε& (3.) r r q n Β = Β r v q Β (3.) Assm seno, conserano-se que a expressão (3.) eve valer para qualquer porção o volume ocupao pelo sstema, uma forma local para a prmera le poe ser escrta a segunte forma: r ρ e& = σ ε& v q + ρ r (3.3) Seguna Le a Termonâmca A prmera le permte a transformação as ferentes formas e energa entre s, ese que haja um balanço entre elas, sem qualquer restrção sobre o sento em que a conversão possa se processar. Nos processos reversíves esse fato realmente não tem mportânca; entretanto nos processos rreversíves, ou sspatvos, a ausênca e restrção é relevante. A seguna le a termonâmca ntrouz o conceto e entropa o sstema. Além sso, na ocorrênca e um processo sspatvo, essa le mpõe a varação não-negatva essa graneza, restrngno as possblaes e conversão entre as formas e energa. Amte-se, e níco, que ao volume Β ocupao pelo sstema em caa nstante t, se possa assocar um número S chamao entropa e Β, ao por: Β S = ρ s Β (3.4) one s= s( x, t) é a entropa específca por unae e massa a partícula que ocupa na confguração atual o corpo a posção x. Nos processos reversíves, a varação e entropa tem corresponênca com a quantae e calor transfera. Em um sento bastante smples, a entropa relacona-se com o grau e esorem assumo pelo sstema em função a quantae e calor transfera. A seguna le mpõe que, em processos quasquer e transformação que ncluem os processos rreversíves, a varação total e entropa e um sstema eve ser gual ou superar a varação provocaa pela transferênca e calor. A gualae vale para processos reversíves e a esgualae para processos rreversíves.

29 8 Nesse últmo caso, z-se que exste proução nterna e entropa. Em forma geral, a le se exprme por: t Β r r q r s ρ Β ρ Β + n Β (3.5) θ θ Β Β Na expressão (3.5) θ representa a temperatura absoluta, efna como um campo escalar e valores postvos em caa ponto o omíno Β conserao. O seguno membro a nequação (3.5) é a taxa ou fluxo e entropa corresponente à transferênca externa e calor. A mposção a seguna le mplca que, ao contráro os processos reversíves, nos processos rreversíves a energa nterna não fca totalmente armazenaa no sstema, mas parte ela acaba seno empregaa na evolução os fenômenos nternos que geram maor esorem no sstema. Normalmente, faz-se referênca a essa parte a energa nterna como energa sspaa. Retornano a expressão (3.5) e empregano-se o teorema a vergênca, aquela relação assume a segunte forma: r s q ρ r ρ + v Β t θ θ Β (3.6) omo essa esgualae eve ser vála para qualquer volume Β o corpo, torna-se vála a segunte forma local: r q ρ r ρ s& + v (3.7) θ θ A esgualae e lausus-duhem A prmera e a seguna le poem ser combnaas conuzno a uma esgualae que eve ser observaa para que um processo seja termonamcamente amssível. onserano as relações que exprmem localmente a prmera e a seguna le: r ρ e& = σ ε& v q + ρ r (3.8) r q ρ r ρ s& + v θ θ Da análse tensoral sabe-se que: (3.9)

30 9 r q r r v = v q gra θ q θ θ θ (3.) Substtuno-se essa relação na expressão a seguna le e combnano-se com a prmera resultam, sucessvamente: r ρ s& + v q θ θ r r gra θ q ρ θ r r ρ s& + ( σ ε& + ρ r ρ e& ) gra θ q ρ (3.) θ θ θ Fnalmente, multplcano-se a últma expressão por θ e cancelano-se ρ r obtém-se a esgualae e lausus-duhem: r ρ θ s& + σ ε& ρ e& gra θ q (3.) θ Processos nos quas a esgualae e lausus-duhem é verfcaa localmente a caa nstante são enomnaos termonamcamente amssíves Potencal termonâmco Poe-se ana trabalhar com uma nova varável ψ enomnaa energa lvre: ψ = ρ e ρ θ s (3.3) Dervano essa energa em relação ao tempo, tem-se: ψ & = ρ e& ρ θ s& ρ θ& s ρ ( θ s& e& ) = ( ψ& + ρ θ& s) (3.4) Substtuno na esgualae e lausus-duhem (3.), obtém-se: ( ψ& + ρ θ& s) gra θ q σ ε& (3.5) θ Defnas as varáves e estao que se julgam serem relevantes ao moelo, efne-se um potencal termonâmco a partr o qual se ervam as les e estao. Utlzano-se o potencal a energa lvre ψ, escrto como função o tensor e eformações ε, a temperatura θ e as varáves e estao nternas a processos rreversíves, tem-se: α assocaas ψ= ψ ε, θ, α ) (3.6) ( Nessa conção, a taxa e energa lvre fca expressa por:

31 ψ & ψ & ψ & ψ & = ε + θ + α (3.7) ε θ α reversíves. ombnano-se as relações (3.5) e (3.7), resulta que: ψ ψ s + & ψ r σ ε& ρ θ α& graθ q (3.8) ε θ α θ A esgualae (3.8) eve valer para qualquer processo, em especal os Em um caso partcular, consere um processo reversível, aabátco e com temperatura unforme. Nesse caso, a únca varável é o tensor e eformações elástcas (reversível) e a esgualae (3.8) fca atena se: ψ = σ ε (3.9) Em um seguno caso, consere um processo puramente térmco a temperatura constante, então a únca varável e estao é a entropa e a esgualae (3.4) fca atena se: ψ ρ s = (3.3) θ Voltano aos processos geras e mpono a valae as expressões (3.9) e (3.3), o que mplca em que as varáves e estao possam ser agrupaas entre aquelas e natureza reversível e rreversível, a esgualae (3.8) assume a forma: ψ α α& r gra θ q θ (3.3) onserano-se, novamente, uma transformação a temperatura constante, a relação (3.3) fornece a segunte conção, chamaa esgualae e sspação: ψ α & α (3.3) Por analoga as expressões (3.9) e (3.3) poe-se efnr uma varável chamaa força termonâmca A. Assm como a tensão é uma quantae conjugaa a eformação, as forças termonâmcas são conjugaas às varáves nternas: ψ α = A e forma que a expressão (3.3) passa a ser escrta como: (3.33)

32 A α& (3.34) Lembrano-se que o snal negatvo a relação (3.3) ecorreu e uma correção o fluxo para que passasse a ser conserao postvo quano fosse para o nteror o corpo, então a relação (3.34) nca que os processos rreversíves efnem a quantae e energa sspaa. O potencal termonâmco escreve a relação entre as varáves e estao e suas varáves assocaas. Observa-se que, na equação (3.3), estão presentes as taxas e varação as varáves nternas. Para materas que sofrem o processo e anfcação, nos quas as tensões e eformações atuas epenem a hstóra e carregamento, as equações consttutvas apresentaas não são sufcentes para escrever o comportamento o materal. Fazem-se necessáras equações e evolução que etermnem as taxas e varação e caa uma as varáves nternas. Enquanto em moelos elástcos apenas um potencal termonâmco é sufcente para escrever o comportamento consttutvo o materal, em moelos e ano pelo menos os potencas termonâmcos são utlzaos. Esses são a energa lvre e um potencal e sspação. A ntroução e um potencal termonâmco, como a energa lvre, conuz às les e estao a partr as quas é possível relaconar varáves e estao com as suas varáves assocaas, conforme já apresentao. Já a ntroução e um potencal e sspação fornece as les e fluxo que permtem avalar a evolução as varáves nternas. A efnção e uma regão e forças termonâmcas amssíves completa o moelo Regão amssível A regão amssível P é efna como o conjunto e forças termonâmcas possíves para um ao materal. A função e anfcação ( A ) f (análoga a função e escoamento em moelos elásto-plástcos) elmta uma regão no espaço as forças termonâmcas que se mofca conforme o processo e anfcação ocorre. Dessa forma, enquanto se á esse processo e anfcação, a varável nterna e ano é alteraa e a regão amssível no espaço as forças termonâmcas se mofca. Assm, a regão P poe ser representaa através e uma função f, enomnaa função e anfcação:

33 { A / f ( A ) } P = (3.35) A frontera Ω a regão amssível, ou superfíce e ano, é efna por: Ω = { / f ( A ) = } Já o nteror Ω a regão amssível é escrto por: Ω = A (3.36) { / f ( A ) < } A (3.37) Pontos nternos à regão amssível representam estaos a partr os quas ocorrem processos elástcos sem a pera e rgez. Forças termonâmcas stuaas na frontera a regão amssível são aquelas assocaas a processos puramente elástcos, sem anfcação, caso sejam seguas e um escarregamento ou e níco e processos e anfcação, também elástcos, meante aplcação e carga efetva. Forças termonâmcas exterores a essa regão são namssíves. As taxas e varação as varáves nternas assumem valores seguno o segunte conjunto e equações: f ( A ) < f ( A ) = e f ( A ) e f& α & = se & < &α se f = (3.38) A anfcação sotrópca caracterza-se por uma mofcação gual em toas as suas reções a superfíce e ano no espaço a forças termonâmcas. A alteração a superfíce poe ser efna por uma únca varável escalar. O processo e anfcação ansotrópco, por sua vez, costuma ser escrto por uma varável tensoral Potencal e sspação Nesta seção são ntrouzos os últmos concetos necessáros à moelagem o comportamento consttutvo e materas através e moelos termonamcamente amssíves. A le a normalae e convexae a regão amssível são scutas. Voltano-se à equação (3.34), assume-se que a força termonâmca A = sempre pertence à regão amssível. Dessa forma tem-se: aa uma força

34 3 termonâmca one se nca o processo e anfcação varável nterna α&, a esgualae: ( A ) é vála para qualquer valor e forças termonâmcas A P e uma taxa a A α& (3.39) A P. Observa-se que a equação (3.39), está e acoro com a forma local a esgualae e sspação escrta na equação (3.34) e satsfaz o postulao e establae e Drucer no espaço as forças termonâmcas. A esgualae (3.39) possu uma nterpretação geométrca que estabelece que o vetor ( A A ) pontos forma um ângulo aguo com α&, mplcano que toos os A evem estar e um os laos plano perpencular a α& no ponto A que toca a superfíce e ano. Assm, a superfíce e ano eve ser convexa, conforme lustrao na fgura 3. FIGURA 3 ONVEXIDADE DA SUPERFÍIE DE DANO: (a) SUPERFÍIE DE DANO ONVEXA (b) SUPERFÍIE DE DANO NÃO-ONVEXA FONTE: O autor (9) too Se a superfíce e ano for regular em A esteja em um os laos o plano perpencular a seja normal a superfíce e ano em e anfcação no ponto: A, uma manera e assegurar que α& no ponto A é que α& A e, portanto, paralelo ao graente a função ( A ) α& = λ f (3.4) A equação (3.4) escreve a Le a Normalae. O multplcaor e Langrange λ é um escalar com valor não negatvo. As restrções referentes a esse escalar são etermnaas pela conção e complementarae: ( A ) λ f ( A ) λ f = (3.4)

35 4 a últma conção a expressão (3.4) mplca que λ possu valor postvo apenas quano a função e anfcação é nula, sto é, quano ocorre anfcação. Por sua vez quano a função e anfcação assume valor negatvo, λ assume valor nulo, caso em que a o processo e anfcação não evolu. f ( A ( t) ) = Fnalmente, assumno que em um ao nstante e tempo t, a conção é satsfeta e, para qualquer nstante e tempo, as forças termonâmcas amssíves são tas que ( ) f, tem-se f A ( t) &. Se f & <, as forças termonâmcas movem-se em reção ao nteror a regão amssível, sto é, tem-se escarregamento elástco e λ =. Logo, o ano, para os quas λ >, ocorrem quano f & =. Poe-se resumr essa conção em: Quano f = entãoλ, f& eλ f& = (3.4) O formalsmo escrto até aqu apresenta, portanto, três aspectos funamentas, a escolha as varáves nternas, a escolha a forma a energa lvre e as equações que exprmem as les e evolução as varáves nternas. Atenos os três aspectos é possível que sejam formulaos moelos consttutvos fenomenológcos, termonamcamente consstentes e que refletem, através o conjunto e varáves nternas, os prncpas fenômenos físcos observaos na estrutura. 3.. MEÂNIA DO DANO As éas e representar o processo e anfcação em meos contínuos foram esenvolvas por ashanov & Rabotnov em 958. Entretanto, maores avanços na Mecânca o Dano para meos contínuos se eram somente nas écaas e 7 e 8 com bases teórcas mas rgorosas, seguno concetos termonâmcos. Dese então números moelos a Mecânca o ontínuo foram propostos a fm e moelar a resposta consttutva e versos tpos e materas. Este tem tem por objetvo apresentar essas éas para que, em conjunto com a teora termonâmca, o moelo consttutvo seja escrto.

36 Varável nterna e ano As granezas a Mecânca o ontínuo são efnas em um ponto. No entanto, o ponto e vsta geométrco, e levano-se em conta a heterogeneae e um materal, essas granezas precsam ser conseraas apenas como valores méos entro o que é chamao elemento e volume representatvo. Entene-se como representatvo um elemento com mensões sufcentemente granes para conserar a strbução e mcroefetos contínua e, ao mesmo tempo, um elemento sufcentemente pequeno para ser conserao como um ponto materal. omo conseqüênca, as tensões e eformações a Mecânca o ontínuo evem ser nterpretaas fscamente como granezas que atuam sobre esse elemento. De forma smlar, para efnr o ano em um ponto M, é conserao um elemento e volume representatvo orentao por um plano efno por sua normal α M, n r x em um ponto M n r e pela abscssa x na reção e n r. O valor e ano ( ) na reção n r com abscssa x é efno por: one, δ S D α ( M n x) X, r (3.43), = δ S δ S é a área e nterseção o plano conserao e o elemento e volume representatvo, e δ S DX é área e nterseção e toas as mcrofssuras e mcrocavaes em δ S. Neste trabalho, a varável e ano será enotaa como em vez o comum D. Isso fo feto a fm e enfatzar que essa é uma varável nterna e será utlzaa em conjunto com a aboragem anterormente escrta. Na fgura 4 são apresentaos o elemento e volume representatvo e as áreas e nteresse. α FIGURA 4 ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO FONTE: Nguyen (5)

37 6 A varável e ano assume valores no ntervalo α, seno que α = representa o materal ntegro e α = nca um estao e total eteroração. A falha o elemento e volume representatvo na reção n r é efna na área mas anfcaa: one r r δ S (3.44) D α ( M, n) = maxα ( M, n, x) = x δ S δ SD é a área e nterseção mas anfcaa. Uma vez que o ano no elemento e volume representatvo epene a reção n r, a natureza ansotrópca o ano está contemplaa nessa efnção e α passa a ter caráter tensoral. A teora e ano proporcona um meo e caracterzar a eteroração e um materal em um nível mcroscópco através e valores em um nível macroscópco. Se as mcrofssuras e mcrocavaes são unformemente strbuías no elemento e volume representatvo, é aequao assumr o ano e forma sotrópca, afnal a varável e ano α, nesse caso, não epene a reção n r. No presente trabalho o estuo será restrto a casos com varável e ano escalar, ou seja, caso sotrópco Deformação equvalente O conceto e tensão efetva é resultao reto a efnção e varável nterna e ano. onsere o caso e tração unaxal com uma varável e ano escalar. Devo ao processo e anfcação a área a seção transversal é reuza e se torna uma área efetva, S S D, na qual S é a seção transversal orgnal e S D é a área total e mcrofssuras. A tensão não mas poe ser representaa por: eveno ser substtuía pela tensão efetva: σ = F σ = = F S σ α ( S ) ( ) S D σ (3.45) (3.46) A tensão efetva é efna como a tensão calculaa utlzano-se a área a seção transversal que efetvamente resste às forças aplcaas.

38 7 A extensão esse conceto ao caso e tensões multaxas com uma varável escalar e ano não exge muanças uma vez que esse caso não epene a reção n r. Assm: σ (3.47) σ = ( ) α one σ e σ são o tensor e tensões e o tensor e tensões efetvas respectvamente. No escarregamento, quano a muança e tensões e tração para tensões e compressão, evo ao fenômeno e fechamento as mcrofssuras, a seção transversal efetva é maor que S S D. Em um caso partcular one toos os mcroefetos se fecham S = essa seção será gual a S e a tensão σ e a tensão D efetva σ serão guas. Esse comportamento unlateral tem sua mportânca urante smulação e materas fráges, porém não fo ntrouzo no presente trabalho. O prncípo e eformações equvalentes apresentao por Lematre (97) segue a efnção e tensão efetva e auxla a evtar análses mcromecâncas para caa tpo e efeto e caa tpo e mecansmo e ano. Esse prncípo poe ser enuncao a segunte forma: Qualquer equação consttutva empregaa a fm e se obter as eformações e um materal anfcao eve ser trataa a mesma forma como se aplcaa a um materal íntegro exceto que a tensão eve ser substtuía pela tensão efetva. A fgura 5 lustra o prncípo e eformações equvalentes. FIGURA 5 PRINÍPIO DAS DEFORMAÇÕES EQUIVALENTES FONTE: O autor (9)

39 8 Ana seguno Lematre (99), a aplcação a hpótese e eformações equvalentes resulta em um estao e junção entre ano e elastcae. Essa junção vem a observação o fenômeno físco one o processo e anfcação resulta em uma muança nas propreaes mecâncas e um materal. Na moelagem consttutva sso poe ser escrto para o caso unaxal através a segunte expressão: σ ( α ) Eε = (3.48) Essa expressão está e acoro com observações expermentas realzaas por Lematre (99), one o móulo e elastcae efetvo E epene o valor a varável e ano: E = ( α )E (3.49) Em formulações baseaas em eformações, o ano é caracterzao através a tensão efetva em conjunto com a hpótese e eformações equvalentes Tensão equvalente Um conceto ual à hpótese e eformações equvalentes é a formulação baseaa em tensões. A hpótese e tensão equvalente é proposta e o ano é apresentao através o conceto e eformação efetva, no qual o tensor e eformações efetvas para o caso e ano sotrópco é escrto por: ε = ( α )ε (3.5) A hpótese e tensão equvalente fo enuncaa por Smo & Ju (987) na segunte forma: a tensão assocaa a um estao e anfcação obto através a mposção e uma eformação é equvalente a tensão obta em um materal não anfcao através a mposção a eformação efetva. A fgura 6 lustra a hpótese e tensões equvalentes.

40 9 FIGURA 6 HIPÓTESE DAS TENSÕES EQUIVALENTES FONTE: O autor (9) 3.3. MODELO ONSTITUTIVO Nesta seção, será apresentao o moelo consttutvo para a smulação o processo e anfcação. A teora anterormente apresentaa será escrta através e concetos a análse convexa. A nova aboragem permtrá obter os mesmos resultaos e uma manera mas rgorosa, além e elmnar algumas restrções como, por exemplo, a necessae e utlzar apenas funções suaves. No níco a seção é efno um potencal termonâmco, em segua, as les e estao apresentaas anterormente, equações (3.9) e (3.33), são reescrtas utlzano outra formulação. Em segua o potencal termonâmco complementar a energa lvre e Helmotz é obto. Por fm, resultaos a análse convexa são apresentaos, o potencal e sspação e as les e evolução são etermnaos, completano o moelo. As emonstrações os resultaos a análse convexa encontram-se nos trabalhos e Rocafellar (97) e Lemaréchal & Hrart-Urruty (99) Potencal termonâmco e Les e estao omo mostrao anterormente o estao e um materal, sofreno um processo e anfcação sotérmco, poe ser completamente efno através o conhecmento o tensor e eformações ε e a varável nterna e ano α.

41 3 A prmera le a termonâmca estabelece uma função e estao, chamaa energa nterna. Em conções sotérmcas, essa função poe ser substtuía pela energa lvre e Helmholtz: ( ε ) ψ = ψ, (3.5) α Se a energa lvre e Helmholtz ψ for aotaa, poe-se efnr assm as les e estao: A ( ε ) σ = ε ψ, (3.5) α ( ε α ) = α ψ, (3.53) Alternatvamente, uma transformaa e Legenre-Fenchel poe ser efetuaa obteno-se a função ual ou conjugaa e ψ : ( σ, A ) One σ é tensor e tensões e auchy e Essas uas funções são relaconaas por: ψ = ψ (3.54) ( ε, A ) sup, [ σ ε + A α ψ ( ε α )] A são as forças termonâmcas. ψ = ε α, (3.55) Por hpótese, assume-se que a função energa lvre e Helmholtz ψ é estrtamente convexa e ferencável. Uma vez que ψ é estrtamente convexa, o potencal conjugao ser assm efnas: ψ é ferencável. Assm as varáves e estao ε e α poem α ( σ, A ) ( σ A ) ε = σ ψ (3.56) = (3.57) ψ A, Usano ana a hpótese e eformação equvalente e conserano a energa lvre e Helmholtz como: ψ ( ε α ) = ψ ( ε )( ), (3.58) α A varável e estao σ é efna como: ( ε )( ) σ = εψ (3.59) efnção essa corresponente a formulação e Lematre (97) se for entfcaa a tensão efetva como: σ ε ψ ( ε ) α = (3.6)

42 3 É mportante notar que a força termonâmca, assocaa à pera e rgez, tem a mesma mensão e energa: [ ψ ( ε )( α )] ψ ( ε ) = α = A (3.6) Potencal e sspação A le a normalae e a convexae a superfíce e ano foram apresentaas, anterormente, como conseqüêncas o prncípo a potênca máxma e Hll. Nesta seção, esses resultaos são obtos a partr a aplcação o teorema apresentao a segur. Teorema: Seja X um espaço reflexvo e Banach e seja função própra, convexa e fraca sem-contínua (l.s.c.). Daos one x g g é uma função conjugaa e g. ( x) x g ( x ) x X e g : X R uma x X, então: Na aplcação o teorema apresentao, assume-se que o espaço vetoral X correspone ao espaço as taxas a varável nterna e ano e o espaço correspone ao espaço as forças termonâmcas assocaas ao processo e anfcação. Defne-se a função suporte a regão convexa e forças termonâmcas amssíves P como: χ ( α& ) = { A α& / A P} = A α& sup (3.6) A * X one A é o ponto one o supremo é atngo. Nesse contexto, χ é a função e sspação. Essa função é a função conjugaa à função ncatrz a regão amssível P e possu as seguntes propreaes: convexa, postva homogênea, fraca sem-contínua (l.s.c.), não negatva e contém a orgem. Portanto o teorema apresentao no níco essa seção, tem-se: α & one a função ncatrz e P, ( α& ) InP A χ (3.63) In P, nca se um valor e A pertence a regão P. Para valores e A P, In =. P

43 3 A equação acma é uma generalzação a Le a Normalae, amtno o caso e funções e escoamento não suaves. A formulação apresentaa nessa seção permte escrever a Le a Normalae e uas formas equvalentes, conforme apresentao no quaro a segur: FORMULAÇÃO Tpo I Tpo II DESRIÇÃO χ - função convexa, postva homogênea, não negatva e conteno a orgem. A χ a& ( ) P - conjunto fechao, convexo e conteno a orgem. χ= In P - função ncatrz e P α& In P ( A ) QUADRO FORMULAÇÕES EQUIVALENTES DA LEI DE FLUXO FONTE: FREITAS (8) Seguno Han & Rey (999) conserações prátcas etermnam qual as formulações é mas apropraa para a resolução e um etermnao problema. A formulação o tpo II é comumente mas utlzaa e é a formulação aotaa no presente trabalho. Seguno essa formulação, one P representa a regão amssível, Ω o nteror essa regão e Ω sua frontera, entfcam-se três stuações stntas: a) P In ( A ) = { } A e, portanto, essa regão é nacessível; b) Ω In ( A ) = { } P A e, por essa razão, o nteror e P é P conheco como regão elástca; c) A Ω In ( A ) = { α /( A A ) α& A P} P & representano o, cone as normas externas a P em A Equação consttutva e ano em taxas Nessa seção, as relações consttutvas são enuncaas em termos e taxas temporas e tensão e eformação. A fm e obter as les e estao em taxas, as equações (3.56) e (3.57) são ervaas em relação ao tempo. omo resultao, obtém-se as seguntes expressões:

44 33 ε& ψ ( ) ( ) σ, A σ& σ, A A& σσ + σ A α ψ ( σ )& &, A A + ψ ( σ )σ & A A Aσ, A Introuzno o potencal j ( σ &, A& ): j = (3.64) = (3.65) ( A& σ&, ) = ψ ( σ, A ) σ& σ& + ψ ( σ A ) σ& A& + σσ σa, + ψ A A, ( σ A ) A& A& poe-se obter as les e estao em taxas: O potencal j (&, A& ) ( σ& A& ) ( σ& A& ) (3.66) ε& = & j, (3.67) σ α& = & j, (3.68) A σ é um funconal quarátco, estrtamente convexo, ferencável, coercvo e com mínmo em zero. Por efnção, o funconal complementar a esse potencal é também ferencável e possu a forma: j ( ε&, α& ) sup [ σ& ε& + A α& j ( σ&, A& )] = (3.69) σ, A Assm como as taxas e eformações e a varável nterna e ano estão relaconaas ao potencal ntrouzo na equação (3.66), as taxas e tensões e as forças termonâmcas poem ser obtas o potencal ( ε & ) A& ( ε& ) j &, α : σ& = ε & j, α& (3.7) ( ε& α ) = &, (3.7) α j & Para exprmr a relação consttutva em taxas é necessáro, ana, encontrar uma relação e consstênca que vnculará as taxas e forças termonâmcas com as taxas a varável nterna e ano. Essa relação e consstênca é apresentaa por: A& α& = (3.7) Faz-se necessáro, também, efnr a regão convexa as taxas as forças termonâmcas amssíves. omo em Fretas (8) e Hece (99) aota-se, para essa regão, o cone polar negatvo e In P ( A ) [ In ( )] P A, ou seja: P& = (3.73)

45 34 Salenta-se que P & é um cone convexo com vértce na orgem e efno por: e esquematzao na fgura 7. [ In ( A )] A& α & α& In ( A ) A& P P (3.74) FIGURA 7 ONE POLAR NEGATIVO DE In P ( A ) FONTE: O autor (9) Daos os vetores polar negatvo e In & ( ) P A A e A, o vetor ( A A ). Fazeno A& = lm t A A encontra-se na regão o cone = At + t e A At A t A = t =, obtém-se: Assm as taxas e forças termonâmcas amssíves encontram na regão o cone polar negatvo e In P ( A ). (3.75) A &, também se onserano que a regão as taxas as forças termonâmcas amssíves é o cone polar negatvo e In P ( A ) A& P&, então α& é tal que: a) α& In ( A ) P, é possível emonstrar que ao b) A & α & = se, e somente se, α& In ( ) P A& & É possível obter uma nterpretação físca para o fato e & In ( A& & ) analsano as seguntes stuações partculares: a) A Ω α,, nesse caso, não ocorre anfcação, pos a força termonâmca nesse nstante pertence ao nteror a regão P

46 35 amssível, α& = e qualquer taxa e força termonâmca é amssível; b) A Ω, nesse caso, one a força termonâmca pertence à superfíce a regão amssível, entfcam-se três stuações:. A& Ω{ P& }. Seno a taxa e forças termonâmcas pertencente ao nteror o cone polar negatvo e In P ( A ), o conjunto ( In & ) & possu somente o elemento nulo, nterpreta-se que não ocorre anfcação, sto é, α& = escarregamento elástco local;. A& Ω{ P& }. P A. Esse é o caso em que ocorre. Quano a taxa e forças termonâmcas pertence à superfíce o cone polar negatvo e In P ( A ) poe ocorrer anfcação ou ana um processo neutro. Nesse caso, P& ( A& ) α & In. A& P&. Quano a taxa as forças termonâmcas não pertence ao cone polar negatvo e In P ( A ) o conjunto In ( & ) & é vazo. P A Equação consttutva e ano em ncrementos fntos Processos evolutvos poem ser aproxmaos através a escrção o comportamento o materal em certos nstantes obtos em ntervalos e tempo seleconaos. O problema e evolução consste em avalar as varáves no fm o ntervalo e tempo a partr e seus valores no níco o ntervalo e os valores os ncrementos sofros pelas varáves ao longo o ntervalo. Dessa forma, o estao e um corpo no nstante t + t é obto a partr o estao o corpo em um nstante t : σ t + t = σ t + σ (3.76) α A t+ t = At + A (3.77) ε t + t = ε t + ε (3.78) t+ t = α t + α (3.79) As les e estao, aas pelas equações (3.56) e (3.57), são reescrtas na forma ncremental:

47 36 ( σ + σ, A + A ) ψ ( σ, A ) ε = ψ (3.8) σ A ( σ + σ, A + A ) ψ ( σ A ) α = ψ, (3.8) Introuzno o potencal j ( σ, A ) : σ A ( σ + σ, A + A ) σ ψ ( A ) ψ ( σ, A ) ψ ( σ A ) σ σ j (, A ) = ψ σ, A, A (3.8) É possível obter os ncrementos e eformação e os ncrementos a varável nterna relatva ao ano: ε = σ j ( σ, A ) (3.83) α = j ( σ, A ) (3.84) Aotano para potencal e sspação a função: E para o potencal conjugao: Obtêm-se as expressões: χ A ( α ) = ( A α ) A * * sup (3.85) ( A + A ) = In ( A + A ) P χ (3.86) ( A A ) χ ( α ) + (3.87) P ( A + A ) Salenta-se que o funconal j (, A ) α = In (3.88) σ é análogo ao funconal j (&, A& ) σ, seno que a ferença entre esses rese em os pontos. Prmeramente, enquanto j (&, A& ) σ é uma função quarátca as taxas temporas as tensões e as taxas temporas as forças termonâmcas relatvas ao ano, j ( σ, A ) é uma função convexa e ferencável epenente apenas e ψ ( σ, A ) formulação em taxas,. Além sso, na A & eve pertencer ao cone convexo as taxas amssíves e P &, enquanto no problema em ncrementos fntos as forças termonâmcas relatvas ao ano no fnal o passo regão P. A + A evem ser amssíves, sto é, contas na

48 37 O funconal j (, A ) conjugao resulta ferencável. A partr a relação: σ é estrtamente convexo, e forma que seu ( ε, α ) = sup [ σ ε j ( σ, A )] j σ A, (3.89) E as propreaes o funconal conjugao, é possível obter a relação consttutva nversa: ( ε, α ) ε j ( σ A ) σ ε j σ, (3.9) Relação entre função sspação e função escoamento Nessa seção a relação entre as funções e sspação e e escoamento é apresentaa, utlzano-se para sso o conceto e funções polares. A função gauge ou função e Mnows para um conjunto P é efna pela expressão a segur: g ( A ) = { µ > / A P} nf (3.9) P µ onforme poe se observar, essa função assume o menor valor postvo pelo qual um conjunto P poe ser multplcao, e forma que um elemento conjunto contnue a fazer parte o mesmo. A o Em conjuntos que contém a orgem, a função gauge assume valor para elementos na frontera o conjunto e valor menor que para elementos nternos. Dessa forma como a função e anfcação assume valor nulo para valores e forças termonâmcas na frontera a regão amssível e valor menor que zero para forças termonâmcas nternas à regão amssível, é possível efnr a regão amssível como: Na equação (3.9), a função { A / g ( A ) } P = (3.9) P g P a partr a qual a regão amssível fo efna é enomnaa, por alguns autores, função e ano canônca. A função g P também poe ser efna a segunte forma: g P { } ( A ) = µ > / A α& µχ( α& ) nf (3.93) Nessa equação χ representa a função e sspação, sto é, a função suporte a regão amssível P.

49 38 Assumno que ( ) = χ &, se e somente se, α& =, então a função gauge e α a função e sspação poem ser relaconaas pela expressão: g P ( A ) = sup A omχ A χ α& ( α& ) (3.94) A função (3.94) estabelece que as funções gauge e a função e anfcação são funções conjugaas polares. O Lema apresentao a segur permtrá obter a Le a normalae a partr as efnções apresentaas. Lema: Seja g uma função convexa não-negatva, com g ( = ) e seja A um ponto no nteror o omíno e g, tal que g ( A) >. Seja P { X g( X ) g( A) } α& N P, se e somente se, exstr Então ( A) λ, tal que λ g( A) α&. = /. Para funções ferencáves, obtém-se a forma clássca a Le a Normalae a partr o lema apresentao, sto é: ( A ) α& = λ g (3.95) Da efnção e subferencal, etermna-se o multplcaor λ. Fazeno X = e epos X= A, na equação: ( X ) λg( A ) α.( X A ) λ g & (3.96) E usano a propreaes e g, obtém-se a relação: ( & ) λ = χ (3.97) α Para uma função e anfcação f escrta sob uma forma qualquer, os vetores normas externos a P, em um ponto A a superfíce e ano, também são proporconas ao vetor graente a função f nesse ponto, e forma que: A ( A ) α& = λ f (3.98) A conção e que somente pontos a superfíce e ano poem apresentar anfcação efetva, sto é λ, é conensaa na conção e complementarae: ( A ) λ f ( A ) λ f = (3.99) om o auxílo a conção e consstênca apresentaa na equação (3.7) e a efnção e cone polar negatvo, a regão as taxas e forças termonâmcas amssíves poe ser efna por: { A& / λ f ( A ) A&, } P& = λ (3.) A

50 39 A relação e consstênca e a regão efna na equação (3.) permtem estabelecer a relações a segur: se f ( A ) =, então f& ( A ) λ f& ( A ) = λ (3.) one f& A ( A ) A& = f (3.) aso a função e anfcação não seja ferencável, poe-se amtr que a regão P é efna pela nserção e um número fnto e regões convexas, entfcaas por funções f j, sufcentemente regulares, chamaas moos e anfcação. onvencona-se que f é o vetor cujo componente j é o valor a função f j no ponto. Além sso, caa moo e anfcação possu um multplcaor assocao, ou seja, λ também é um vetor.

51 4 4. UM MODELO DE DANO SEGUNDO ENFOQUE TERMODINÂMIO No presente capítulo o moelo e ano esenvolvo por Tao & Phllps (5) é formulao seguno enfoque termonâmco. Para a energa lvre, aota-se a segunte função: ( ) ( ) ε ε α α ε ψ = D I, (4.) one D I é a matrz elástca apresentaa na equação (4.) em termos o móulo e elastcae E e o coefcente e Posson ν. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν E E E E E E E E E E E E D I (4.) Na equação a segur, a matrz elástca é apresentaa para o caso e estao plano e eformações: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = ν ν ν ν ν ν ν ν ν E D I (4.3) O potencal termonâmco complementar possu a segunte forma: ( ) ( ) > + = A A se A A ID A A se ID A, σ σ σ σ σ ψ (4.4) one A é a força termonâmca a partr a qual se nca o processo e anfcação calculaa através a expressão (4.5), e são constantes o moelo responsáves pela mofcação a regão amssível.

52 4 A = IDε ε (4.5) Na expressão (4.5) ε correspone a eformação a partr a qual os processos não-lneares, como a anfcação, ocorrem. Esse parâmetro é obto através e ensaos e tração unaxal, como poe ser vsto na fgura 8. FIGURA 8 ENSAIO DE TRAÇÃO UNIAXIAL: DEFINIÇÃO DE ε FONTE: Guello () A força termonâmca relatva ao ano, por sua vez, se confune com a energa lvre, como poe ser observao na fgura 9. Essa força termonâmca poe ser nterpretaa como a energa lvre o sstema se esse fosse perfetamente elástco: A = ψ ( ε, α ) = IDε ε (4.6) α FIGURA 9 OMPARAÇÃO ENTRE A ENERGIA LIVRE E A FORÇA TERMODINÂMIA FONTE: O autor (9)

53 4 A regão as forças termonâmcas amssíves poe ser efna e forma smlar a La Borere et al. (99): { A A } P = Z (4.7) Seguno Tao & Phllps (5), conforme o processo e anfcação ocorre, a superfíce ncal e anfcação se altera em função o parâmetro e enurecmento/amolecmento Z. Esse parâmetro poe ser efno matematcamente e ferentes formas, através e polnômos, potencas, funções exponencas, etc. Seguno os autores ana, potencas e funções exponencas representam e manera mas acuraa as curvas e carregamento e materas cmentícos. Assm, Tao & Phllps (5) efnem o parâmetro Z como: Z = α α (4.8) one e são uas constantes a serem calbraas através e ensaos unaxas e tração e compressão. Os efetos a varação essas constantes sobre o parâmetro Z poem ser observaos na fgura. FIGURA EFEITO DE E EM Z FONTE: Tao & Phllps (5)

54 43 Especfcamente, é responsável pela magntue a regão amssível e, por sua vez, é responsável pela superfíce essa regão, nfluencano a característca e enurecmento/amolecmento o materal a ser smulao, como poe ser vsto na fgura. A escolha apropraa e e conuzrá a um parâmetro Z mas aequao aos ferentes tpos e cmentos e suas resstêncas a esforços e tração e compressão. FIGURA SIGNIFIADO FÍSIO DE E FONTE: O autor (9) Por efnção, a função sspação é o suporte a regão amssível P, seno etermnaa por: χ ( α& ) = { A α& } sup (4.9) A P Assm a função e sspação assume a forma: χ ( α ) IDε ε α&, se α& > & = (4.), se α& O potencal termonâmco complementar é então obto a partr e: P ( A ) χ = In (4.)

55 44 5. IMPLEMENTAÇÃO OMPUTAIONAL E ALGORITMOS Este capítulo tem por objetvo escrever a estrutura o programa esenvolvo, etalhar o elemento e nterface mplementao, além e apresentar os métoos numércos e algortmos para resolver o problema e ano. O procemento e solução combna um métoo Quase-Newton para a resolução o equlíbro global e um algortmo e programação matemátca (Newton- Raphson) para a resolução a equação consttutva. A scretzação espacal é obta aplcano-se o métoo os elementos fntos e a scretzação temporal fo ntrouza nepenentemente a espacal. 5.. PROGRAMA DESENVOLVIDO om o ntuto e smular a pera e rgez em nterfaces fo esenvolvo um programa numérco computaconal. Esse programa fo mplementao em lnguagem FORTRAN 9, utlzano o software ompaq Vsual Fortran, opyrght, ompaq omputer orporaton, baseano-se no programa esenvolvo por Fretas (8) e com o auxílo e éas contas no Sstema e Desenvolvmento e Programas no Métoo os Elementos Fntos (SDP) escrto por Fejóo & Gouvea (985). O cógo está estruturao em móulos, algumas sub-rotnas o programa e Fretas (8) foram utlzaas a fm e possbltar não só a smulação o processo e anfcação, mas que também fosse capaz e realzar smulações e problemas elasto-ealmente-plástcos, com um crtéro e escoamento e Drucer-Prager, e smulações e problemas elastoplástcos, com um crtéro e escoamento efno a partr e um moelo cap. O programa aceta como conções e contorno a mposção e cargas strbuías, cargas concentraas e eslocamentos prescrtos em etermnaos nós a malha e elementos fntos. onsera-se que os materas em análse são sotrópcos, não haveno restrção quanto ao número e materas que poem compor a estrutura analsaa. No programa esenvolvo para este estuo, o móulo enomnao ODE contém o programa prncpal o qual realza as chamaas os móulos PREP,

56 45 responsável pela entraa e aos, e PRO, móulo que realza a montagem e resolução o problema e equlíbro para caa ncremento e carga. Esses processos são realzaos através a chamaa e sub-rotnas contas nesses os móulos. Para caa ncremento e carga, a sub-rotna SOLVE resolve um problema e equlíbro global, no qual são balanceaas as forças externas e as forças nternas, calculaas ponto a ponto, seguno a scretzação espacal o Métoo os Elementos Fntos. A sub-rotna FORMF é responsável pela montagem a equação e equlíbro. Essa por sua vez chama a sub-rotna ELEM responsável pela etermnação as forças nternas (tensões) a partr a resolução a equação consttutva, em caa ponto e Gauss, a scretzação temporal fo ntrouza nepenentemente a espacal. As rotnas e ntegração numérca estão contas no móulo INTEGRA. A fgura lustra a estrutura o programa esenvolvo. FIGURA ESTRUTURA DO PROGRAMA DESENVOLVIDO FONTE: O autor (9) Incalmente, o programa fo esenvolvo para resolver problemas e estao plano e tensões, e eformações e e sólos axssmétrcos, a extensão para análses trmensonas poerá ser realzaa com a mplementação e elementos aequaos.

57 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS A solução e um problema elástco plano é uma função que escreve os eslocamentos os pontos o omíno. Essa função pertence a um espaço e mensão nfnta, poeno ser obta a partr a combnação lnear as nfntas funções que formam a base o espaço vetoral que faz parte. O métoo e Galern propõe construr uma solução aproxmaa para o problema, tomano um número fnto e funções que formam a base o espaço ao qual pertence a solução exata. Assm, a solução aproxmaa é formaa a partr a combnação lnear e um número fnto e termos. omo Oen (98) estacou, o métoo e Galern torna-se uma ferramenta útl a partr o momento em que se spõe e uma técnca sstemátca para a construção as funções que formam a base o espaço vetoral, enomnaas funções base. O Métoo os Elementos Fntos é uma técnca que permte etermnar as funções que formam a base o espaço vetoral aproxmao. Seguno esse métoo, as funções base são construías a partr e funções efnas em caa um os elementos (subomínos) no qual o omíno fo vo. As funções efnas em caa elemento são enomnaas funções e forma. É possível efnr um elemento máster com um sstema e coorenaas local com base no qual as funções e forma são efnas. A segur, toos os cálculos o métoo são efetuaos sobre esse elemento máster que se relacona com os elementos a malha a partr e uma transformação (muança e coorenaas). Por fm, as contrbuções e caa elemento a malha são somaas com o ntuto e se obter a solução aproxmaa o problema. O problema e ano elástco poe ser efno para um elemento a malha Ω e, pela segunte equação: Ωe T T T ( B ) ( σ σ ) Ω = ( N ) ( b + b) Ω + ( N ) ( t + t) Γ + Ωe Γq (5.) Na equação (5.), σ está relaconao com ( B U α ) Uˆ pela relação consttutva: σ = ε j ˆ, (5.) O vetor local e ncrementos e eslocamentos é formao a partr a combnação lnear as funções e forma o elemento, ou seja:

58 47 U T [ ] Uˆ ( x, y) ( x y) = N ( x, y), T ( U ˆ ) = [ U U U U... U U ] x y x y T Ψ Ψ Ψ... n ( N ) = U ( x, y) Ψ U = U x y Ψ Ψ + U + U Ψ x y Ψ Ψ U U xn xn yn Ψ n Ψ n Ψn yn (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) Nas equações (5.3) a (5.6), Ψ representa as funções e forma, representa a matrz conteno as funções e forma, N Uˆ representa o vetor conteno as componentes x e y os eslocamentos noas e n representa o número e nós o elemento. aa por: one: aa por: A matrz B para campos e eslocamentos aproxmaos e eformação é L U = L T ( N ) Uˆ = B Uˆ x L = y y x (5.7) (5.8) Fnalmente, a equação e equlíbro, forneca pelo ferencal e Π( u) é R One os termos ( U ) = ( F + F ) ( + ) F nt, Fnt, contrbuções e toos os elementos: F nt nt F ext F ext (5.9) nt F ext e Fext = ( B ) σ Ω Ωe T são obtos a partr a soma as (5.) F nt = Ωe T ( B ) σ Ω (5.) F ext T T ( N ) bω + ( N ) tγ = Ωe Γe (5.)

59 48 F ext = Ωe T T ( N ) bω + ( N ) tγ Γe (5.3) 5.. Elemento e nterface O elemento aqu escrto fo ncalmente utlzao em problemas a mecânca os solos, one são comuns aproxmações bmensonas com o emprego as hpóteses smplfcaoras o estao plano e eformações. omo os problemas axssmétrcos são smlares aos problemas e estao plano e eformações em coorenaas clínrcas, o esenvolvmento utlzao por Desa et al. (984) poe ser seguo sem maores problemas. Os autores partram essas hpóteses para chegar ao elemento e nterface passano por um estao e transção. Esse estao e transção é caracterzao pela mofcação o componente o estao plano e eformações. Essa alteração aveo e análses numércas realzaas. Após esta prmera mofcação, Desa e seus colaboraores, resolveram alguns problemas numércos utlzano elementos soparamétrcos. Ao fm esse processo efnram as propreaes o elemento e nterface propramente to. A esse estao e transção tem-se assocao um elemento e transção, assm enomnao o elemento que contém característcas o estao plano e eformações e a própra nterface. Para a análse o elemento e nterface faz-se necessára a avalação o comportamento o elemento em função a nfluênca e sua espessura. Essa avalação é realzaa por nterméo e um elemento soparamétrco e quatro nós IQ 4, poeno ser estena para o elemento com ses nós, empregao nesse trabalho para smular a regão e nterface. A geometra o IQ 4 é regular, sua altura tem mensão h, comprmento b e sua matrz e rgez fo calculaa e ntegraa para uma mensão untára na reção X 3, essa matrz e rgez poe ser escrta como:

60 49 = IQ (5.4) one: ( ) 3 b h bh + = ( ) 3 b h bh + = ( ) = ( ) 4 4 = ( ) 5 6 b h bh = ( ) 6 6 b h bh = (5.5) ( ) 7 6 b h bh = ( ) 8 6 b h bh = e: = (5.6) Na equação (5.6), a matrz representa a matrz consttutva o estao plano e eformações e um elemento conto no plano X OX. Se for conserao que o comprmento b é muto menor que sua altura h, como poe ser observao na fgura 3, as equações anterores poem ser aproxmaas como: 3 b h = 3 b h =

61 = ( ) = ( ) h = 3b h = 3b = = 4 4 6= = 6bh h 8= = 6b (5.7) Observa-se que o termo está ausente na equação (5.7). Também se poe notar que a matrz e rgez poe ser escrta apenas em função os termos a 4, one os coefcentes e são epenentes, e 3 e 4 nepenentes a relação b h. FIGURA 3 ESBOÇO DO ELEMENTO DE INTERFAE FONTE: O autor (9) A partr a constatação que o termo contrbu muto pouco quano o comprmento o elemento tene a um valor muto baxo e o efeto a latânca está presente é que Sharma & Desa (99) propuseram que as propreaes a regão sejam representaas por: One I = e (5.8) I e é a matrz consttutva elástca a nterface, é a componente normal, é a componente csalhante e a componente acoplaa os os efetos (normal e csalhante). Porém, e acoro com os própros autores, os efetos

62 5 acoplaos são fíces e serem etermnaos por nterméo e testes, por sso neste trabalho, assm como em Lázaro (4), foram neglgencaos. omo essa regão e nterface é fortemente nfluencaa pela presença os materas que estão em contato e seno suas propreaes corretas fíces e serem precsamente etermnaas, Sharma e Desa (99) propõem que a componente normal a regão e nterface seja uma função lnear as propreaes os materas envolvos e a própra nterface, mutas vezes conseraa com propreaes êntcas as e um os os materas envolvos. Dessa forma, a componente normal poe ser escrta como uma combnação lnear as propreaes normas a nterface ou seja: I e os materas envolvos I a b ϑ + ϑ+ ϑ3 a e = (5.9) b, one os termos ϑ são pesos atrbuíos a caa componente envolvo na estrutura. A componente csalhante, seguno Sharma e Desa (99), poe ser obta por ensaos e csalhamento reto. Sharma & Desa (99) apresentam os parâmetros amensonas que evem ser satsfetos concomtantemente para que o elemento e nterface comporte-se e acoro com as aproxmações e conserações fetas. Esses parâmetros foram retraos a partr a análse e város conjuntos e smulações numércas e ensaos laboratoras e são utlzaos como orentação para o emprego os elementos e nterface. Um os parâmetros é ao por: One h ( EN GN ) 4 ϕ = (5.) b ( ) E N e G N são, respectvamente, o móulo longtunal e o móulo csalhante os materas envolvos. Uma aaptação é proposta para se etermnar esses valores, posto que, exstem materas com móulos ferentes em contato com a nterface. Essa aaptação consste em empregar uma méa artmétca para se encontrar os respectvos valores e partr e: E N e G N Dessa forma eles poem ser obtos a

63 5 E N = E a + E b (5.) G N G = a + G b (5.) one E e G corresponem aos móulos os materas que estão retamente em contato com a regão e nterface. O outro parâmetro a ser respetao, também obto por Sharma & Desa (99) através as análses numércas e testes laboratoras, correspone à relação entre a altura e o comprmento o elemento e nterface ao por: b h, (5.3) Uma grane vantagem esse elemento funamenta-se no esembaraço o emprego e sua formulação, posto que tanto a formulação o contínuo quanto o elemento e nterface são realzaas através e elementos quarlateras planos. Dessa forma, torna-se fácl a mplementação esse elemento em um programa computaconal ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE EQUILÍBRIO Esta seção escreve os procementos aotaos para a solução o problema e equlíbro. A forma varaconal cnemátca o problema e equlíbro consste em encontrar ncrementos e eslocamentos cnematcamente amssíves tas que a Equação (5.4) seja satsfeta: consttutva: Na equação (5.4), ( u ) = L ( u ), u U σ + σ, B (5.4) t+ t σ está relaconao com ( B( u) α ) u através a equação σ = ε j, (5.5) om o uso a propreae e convexae e ( ε, ) j α segunte prncípo e mínmo equvalente à forma varaconal apresentaa: ( B( u), ) L ( u) + σ B( u), chegou-se ao nf j α u U t+ t, (5.6) Reconhece-se no prncípo e mínmo apresentao, um problema e otmzação. Nesse tpo e problema, pretene-se mnmzar uma função objetvo

64 53 f ( x), one n x R. Os algortmos e otmzação que permtem resolver o problema escrto geram, a partr e um ponto ncal x, uma seqüênca e terações { x } = que termna quano não se poe fazer mas progresso ou quano se obteve um ponto sufcentemente próxmo a solução (Noceal & Wrght, 999). Para gerar o próxmo ponto a seqüênca e terações a partr e um ponto x, os algortmos utlzam nformações a respeto a função f em x e, possvelmente, nformações as terações anterores x, x,..., x. Essas nformações são utlzaas para encontrar um ponto x +, no qual o valor a função f seja menor o que o valor e f em x. Alguns métoos escolhem uma reção e procuram ao longo essa reção um novo ponto x +, no qual o valor e f seja menor o que o valor e f em x. A teração é aa por: x = x + p + (5.7) O sucesso o métoo epene e escolhas efcentes a reção e o tamanho o passo p. A maora os métoos requer que seja uma reção escenente, já que essa propreae garante que o valor a função f mnua ao longo essa reção. Assm, a reção costuma ter a forma apresentaa a segunte forma: = G f (5.8) Newton, Na Equação (5.8), G é o Hessano f ( ) G é uma matrz smétrca não-sngular. No métoo e. Nos métoos e Quase-Newton, aproxmação o Hessano atualzaa a caa teração. x G é uma Fazeno G = H, obtém-se: x = H f (5.9) + = x p H f (5.3) Para o problema e equlíbro em análse, a função objetvo f é aa por: ( B( u), ) L ( u) + σ B( u) f = j α t+ t, (5.3)

65 54 No presente trabalho, a função objetvo será mnmzaa utlzano um Métoo e Quase-Newton. A aplcação esse métoo exge que se etermne Assm como nos trabalhos e Fretas (8) e Hece (99) o funconal a ser mnmzao é apenas uma vez ferencável e a anulação e seu ferencal fornece a equação e equlíbro. Por efnção, um funconal em u U, se exste um operaor Df efno por: Se U R n Df, tem-se: ( u)( v) Df = [ f ( u + θv) f ( u) ] f f : U R é to ferencável lm θ (5.3) θ n f u ( u)( v) = v = f v = (5.33) Seno a ervaa e uma soma gual à soma as ervaas e aplcano as efnções apresentaas em (5.3) e (5.33) a caa uma as parcelas o seguno membro a equação (5.3), tem-se: D DL t+ t ( B( u) α )( B( v) ) = j B( v) = j D( v) Γ, ε ε Γ Dj. ( u)( v) ( B( u) )( v) = lm σ θ θ ( v) = B( v) = j, B σ, ε [ L ( u + θ v) L ( u) ] t+ t θ t+ t [ σ, B( u + θ v) σ, B( u) ] = L t+ t, = lm = σ, B θ ( v) ( v) (5.34) (5.35) (5.36) Dessa forma, a anulação o ferencal o funconal a ser mnmzao fornece a equação e equlíbro: ( v) + σ, B( v) σ, B = (5.37) R L t+ t ( v) L ( ) = t+ t t+ t v σ, B = (5.38) ( v) = L ( v) σ B (5.39) t+ t, t+ t A função R, aa pela ferença entre as forças nternas e as forças externas, é enomnaa resíuo e correspone ao ferencal o funconal que se pretene mnmzar. Assm, para o problema em análse a equação (5.3) assume a forma: ( U ) U + = U H R (5.4)

66 55 Nesse trabalho, a atualzação e H fo realzaa a partr o métoo BFGS. A teora envolva na ervação o métoo poe ser encontraa em Noceal & Wrght (999). A fórmula e atualzação e segunte forma: one ( H. y ) ( H. y ) H proposta pelo métoo é escrta a s s H + = H + + ( y. H. y ) ϖ ϖ (5.4) s. y y. H. y y ( U ) R( U ) = R + (5.4) s s ϖ = s. y = U + U (5.43) H. y y. H. y (5.44) A aoção e uma aproxmação a matrz nversa o Hessano possu uma vantagem, além o fato e não ser necessáro etermnar as ervaas segunas a função objetvo. Sabe-se que o Hessano eve ser uma matrz postvo-efna. Seguno Press et al (99), em geral, longe o mínmo, não há garanta e que o Hessano seja postvo efno, e forma que ncrementos e eslocamento na reção calculaa pelo Métoo e Newton utlzano o Hessano poem levar a pontos one o valor a função está aumentano. A estratéga o métoo e Quase- Newton consste em aotar uma matrz smétrca, postvo-efna como aproxmação ncal o Hessano e construr as emas aproxmações H e forma que essa matrz permaneça smétrca e postvo-efna. Longe o mínmo, esse procemento assegura que os ncrementos e eslocamento ocorram ao longo a reção e ecréscmo a função objetvo. Próxmo ao mínmo, a fórmula e atualzação e o Métoo e Newton. H aproxma-se o Hessano, obteno-se a convergênca quarátca Ana seguno Press et al. (99), quano não se está sufcentemente próxmo o mínmo, acrescentar ao eslocamento ncal too o ncremento calculao, H f, poe não levar a um ecrescmento a função objetvo, mesmo que a aproxmação o Hessano seja uma matrz postvo-efna. O únco aspecto que se poe garantr é que ncalmente a função objetvo ecresce na reção o ncremento calculao. No entanto, após um ecréscmo ncal, a função poe passar a crescer. Por essa razão, aotam-se métoos e cálculo e passo como, por

67 56 exemplo, o métoo secante para calcular o tamanho o passo a ser ao na reção etermnaa. Descrções o Métoo Secante poem ser encontraas em Press et al. (99) e Aay (994). Nos quaros e 3, são apresentaos os algortmos utlzaos para resolver o problema e equlíbro. Esses algortmos poem ser encontraos em Fretas (8) e Press et al. (99). Determnar U Determnar H (em geral, Determnar f = R( ) U Determnar = R( ) U H = I ) Fazer para =, ITMAX (número máxmo e terações amto) Determnar p, tal que [ R( U + p )] TOL{ [ R( U )]} TOL é um valor e tolerânca. Fazer Fazer + s U = U + p = U + alcular R ( U ) TEST =. TEMP =. + U Fazer TEST = ( U ). R( ) U Fazer TEMP ( U ) R( U ) Se = +. + TEMP GTOLTEST Fazer y R( U ) R( U ) = +, fnalzar a rotna, crtéro e convergênca satsfeto Fazer hy = H. y Fazer Fazer Fazer Fazer fac = y. s fae = y. hy sumy = y. y sums = s. s

68 57 Se fac menor que EPS. sumy. sums, fazer fac=. fac fa =. fae Fm y = fac. s fa. hy + = fac. s. s fa. hy. hy + H fae. y. y Fazer H R( U ) + = +. + Fm QUADRO ALGORITMO DO MÉTODO QUASE-NEWTON OM EQUAÇÃO DE ATUALIZAÇÃO BFGS FONTE: FREITAS (8) Fazer p = Fazer p = Fazer p = Fazer MAXIT = número máxmo e terações permto Fazer TOLX= tolerânca Fazer = R( ) Fazer TOL= U Fazer + U = U + alcular R ( U ) + p Fazer R( U ) = + Se <, fazer p = p L = p p SWAP= = = SWAP

69 58 Se não p L = p = p p Fm Fazer j =, MAXIT δ p = p L= p ( pl p ) ( ) = p = p + δp + U = U + p alcular R ( U ) + ( U ) =. R + Se δp< TOLX ou < TOL fnalzar a rotna, crtéro e convergênca Fm satsfeto. QUADRO 3 MÉTODO SEANTE UTILIZADO PARA DETERMINAR O TAMANHO DO PASSO p FONTE: FREITAS (8) 5.4. ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ONSTITUTIVA Nessa seção, é apresentao o algortmo que poe ser utlzao para resolver a equação consttutva o processo e anfcação. Por meo a equação consttutva, α está relaconao com one: σ e A, conforme: A ( σ A ) α = j, (5.45) ( σ + σ, A + A ) σ ψ ( A ) ψ ( σ, A ) ψ ( σ A ) σ σ j (, A ) = ψ σ, A, A (5.46)

70 59 onforme se poe observar nas equações (5.45) e (5.46), pretene-se encontrar os ncrementos a varável nterna, ncrementos e tensões e forças termonâmcas (, A ) α, relaconaos com os σ. A conção necessára e sufcente para que o vetor problema proposta nas equações (5.45) e (5.46) é: ( ) In ( A + A ) α seja solução o α P (5.47) Uma vez que a regão P as forças termonâmcas é efna através e uma únca função e anfcação, o problema e programação matemátca obto é resolvo e forma smples. Seno conheco o estao atual e forças termonâmcas amssíves não ocorre a anfcação e: Logo: A e ao um ncremento f A ε, se: ID ε ε, α (5.48) + λ = (5.49) ( α ) ε σ = ID (5.5) α = (5.5) A stuação em que ocorre a anfcação, entfcaa através e: f A ID ε ε, α > (5.5) + reca em um problema e encontrar a menor raz postva a equação: ( λ) = f (5.53) O métoo e Newton-Raphson poe ser utlzao para resolver o problema. No quaro 4, apresenta-se o algortmo empregao na solução e problemas envolveno materas que poem sofrem o processo e anfcação e crtéro e escoamento efno por uma únca função. alcular At + t = A + ID ε ε alcular f ( A t + t, α ) alcular f ( A, α ) A t+ t

71 6 Se f A + ID ε ε, α > Fm Fm =, λ = f ( λ ) Enquanto f ( λ ) Fm λ + = λ = + > e f f alcular α ( λ ) alcular f ( λ ) alcular f ( λ ) ( λ ) ( λ ) QUADRO 4 ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON PARA PROBLEMAS ENVOLVENDO MATERIAIS OM RITÉRIO DE DANIFIAÇÃO FONTE: O autor (9) 5.3. Aplcação o algortmo e Newton Raphson para o moelo e ano Nesta seção o moelo e ano é escrto e forma a ser mplementao no algortmo e Newton-Raphson. Uma vez estabeleco o ncremento amssível é representaa por: f ( ) ε a regão α + λ λ = A + ID ε ε A (5.54) ( α + λ) A varável nterna e ano poerá ser obta através a equação: α = A ( A + A ) λ f (5.55) Note que como a varável e ano possu natureza escalar sua evolução se ará seguno a reção a reta que elmta seu omíno, assm: A ( A + A ) = f (5.56)

72 6 Logo: α = λ (5.57) ( α ) = α + λ (5.58) t+ t As equações (5.54), (5.56), e (5.58) são aplcaas retamente no algortmo utlzao neste trabalho, para smular o processo e anfcação com crtéro e anfcação efno por uma únca função.

73 6 6. EXEMPLOS Exstem versos problemas em engenhara que, apesar e sua natureza físca e geométrca ferentes, recaem em problemas matemátcos semelhantes urante sua resolução. Pretene-se, neste capítulo, exemplfcar a teora proposta anterormente através e aplcações. Além a moelagem matemátca, o ntuto é também exemplfcar o procemento necessáro quano a resolução e problemas prátcos. Incalmente são apresentaas uas aplcações a moelos unmensonas. Entene-se por moelos unmensonas aqueles nos quas o omíno elástco no espaço as tensões é unmensonal, sto é, o valor e apenas uma as componentes e tensões não é nulo, contnuano assm em too o processo. O objetvo essas aplcações é explcar e manera smples o procemento proposto. A segur são apresentaos os resultaos e uas smulações e tensões e eformações em moelos bmensonas realzaas utlzano o programa esenvolvo no presente trabalho. A prmera smulação objetvou reprouzr um ensao e tração realzao em um cmento oontológco. A seguna smulação teve por objetvo reprouzr ensao realzao em um sco e entna após ter so tratao enoontcamente. Nessas smulações os efetos térmcos foram esprezaos, a hpótese e pequenas eformações fo aotaa e amtu-se que a eformação resultante e uma hstóra e tensões não epene a velocae com que o programa e carga se realza. 6.. EXEMPLO Este exemplo apresenta uma barra, composta e um materal elástco com a possblae e sofrer o processo e anfcação, sujeta a um carregamento axal. Além e mostrar a moelagem o materal, o ntuto é exemplfcar o procemento necessáro quano a solução e problemas prátcos. Também procura-se esclarecer alguns pontos como a escolha o potencal termonâmco, os parâmetros e ano, a representação a regão P as forças termonâmcas amssíves.

74 63 A fgura 4 mostra a curva tensão-eformação para esse moelo evo a um programa e carga -- e a regão P. FIGURA 4 PROGRAMA DE ARGA E REGIÃO ADMISSÍVEL FONTE: O autor (9) Para a energa lvre propõe-se a segunte função quarátca: ψ = E (5.) ( ε, α ) ( α ) ε One E é o móulo e elastcae, α é a varável nterna relatva ao ano e ε é a eformação total. O potencal termonâmco complementar tem a forma: σ se A < A ψ ( σ, ) A = E (5.) + ( ) A A σ se A > A E one σ é a tensão, A é a força termonâmca relatva ao ano, A é a força termonâmca one se nca o processo e anfcação. A segur efne-se a função e anfcação: f ( A ) = A A α α (5.3) Dessa forma a regão P, as forças termonamcamente amssíves, será: P α = A A A α (5.4)

75 64 escrta como: one A le a normalae, representaa pela expressão (3.4), poe então ser ( A ) λ α & = λ f = (5.5) A α& é a taxa e varação a varável nterna relatva ao ano, f ( A ) representa o graente a função e anfcação e λ é o multplcaor e Lagrange assocao à função e anfcação. Note-se que o multplcaor é epenente o processo e não o materal. omo α é proporconal a normal externa a f no ponto A, tem-se: λ (5.6) A conção e consstênca, apresentaa na equação (3.7), partcularzaa para essa stuação é escrta como: termonâmcas α & A & = λ A& = (5.7) Dessa relação serão efnas as taxas e evolução as forças A e forma consstente. Para esse caso, a varável nterna relatva ao ano α resulta netermnaa, pos, para uma mesma varação as forças termonâmcas, númeras taxas e varação a varável nterna relatva ao ano atenem a conção e consstênca. A fgura 5 lustra algumas essas possblaes. A FIGURA 5 POSSIBILIDADES QUE ATENDEM A ONDIÇÃO DE ONSISTÊNIA FONTE: O autor (9)

76 EXEMPLO Esse exemplo apresenta cnco barras, compostas e um materal elástco com a possblae e sofrer o processo e anfcação, que estão sujetas a um carregamento axal. Reca-se na solução o segunte problema: resolver um sstema composto por equações (equlíbro, complementarae lnear entre a função e anfcação e parâmetros e ano) e nequações (amssblae, postvae os parâmetros e ano, ncano que as taxas esses parâmetros concem com a normal externa à regão as forças termonâmcas amssíves). omo será mostrao a segur, a resolução e tas sstemas e equações e nequações é equvalente a encontrar a solução e um problema e programação matemátca não lnear ou otmzação não lnear (encontrar extremos e uma função ou funconal cujas varáves estão restrtas a certo omíno). Estas equações e nequações consttuem-se nas conções e otmalae ou e uhn-tucer e tal problema e maxmzação ou mnmzação. nco barras, como na fgura 6 estão conectaas na extremae B por um bloco rígo e sujetas a uma carga axal seguno um programa e cargas que está esquematzao na fgura 7. FIGURA 6 ESTRUTURA PROPOSTA FONTE: O autor (9) Suponha que as barras têm comprmento L= mm, que as áreas as seções transversas ( A, A, A 3, A 4 e A 5 ) são guas a mm, que são compostas e materas com móulo e elastcae ( E, E, E 3, E 4 e E 5 ) guas a MPa, e a eformação one se nca a anfcação o materal, ε, para as barras,, 4 e 5 é gual a,5 mm, e para a barra 3, ε 3 é gual a, mm. Além sso, as constantes e recebem, respectvamente, os valores e.

77 66 FIGURA 7 PROGRAMA DE ARGA FONTE: O autor (9) As varáves cnemátcas para esse problema são: os eslocamentos, as eformações, as taxas e eslocamentos e a relação entre as taxas e eformações e as taxas e eslocamentos. As eformações, ou alongamentos, poem ser calculaos através e: L ε x = ε x = ε x3 = ε x4 = ε x5 = = u B (5.8) L L A relação entre as taxas e eformações e as taxas e eslocamentos é obta através e B : B= [ ] T = [ ] T (5.9) L No quaro 4 são apresentaas as varáves cnemátcas. VARIÁVEL REPRESENTAÇÃO Deslocamentos u= [ B ] u x ε x ε x3 ε x4 ε x5 Deformações [ ] T ε= Taxas e eslocamentos v = u&= [& ] ε &= Taxas e eformações [ ] T ε ε& & & u B x ε x ε x3 ε x4 ε x5 & & Relação entre taxas e eformações e as taxas e eslocamentos ε &=B& u QUADRO 5 VARIÁVEIS INEMÁTIAS FONTE: O autor (9)

78 67 As varáves estátcas para esse problema são: as cargas aplcaas, os esforços nternos, as taxas e cargas aplcaas, as taxas e esforços nternos, o equlíbro, a energa lvre e Helmoltz e as forças termonâmcas. na barra por: Os esforços nternos são as forças normas Seno P a carga aplcaa, o equlíbro é ao por: N x = A σ x A N x nas barras e são calculaas (5.) N x + N x+ N x3+ N x4+ N x5= P (5.) O quaro 5 resume as varáves estátcas. VARIÁVEL REPRESENTAÇÃO argas aplcaas F ext = [ P] Fnt= N x N x N x3 N x4 N x5 Esforços nternos [ ] T Taxas e cargas aplcaas & = [ P& ] & = Taxas e esforços nternos [ ] T & & F ext Fnt N x N x N x3 N x4 N x5 & & & Equlíbro Energa lvre e Helmoltz Força termonâmca ψ A B T F& = F& nt ext x ( ε x, α ) = E ( α ) ε x ε x ψ = x ( ε, α α x ) = Eε x ε x QUADRO 5 VARIÁVEIS ESTÁTIAS FONTE: O autor (9) one: A relação consttutva será então escrta a segunte forma: ε x= x E σ σ x= ε x E (5.) σ x σ x = (5.3) α ) (

79 68 Em termos e varáves generalzaas, a seguna relação (5.) fca: x x A E N ε = (5.4) e conseqüentemente: ) ( x x N N α = (5.5) Reescreveno a equação (5.4) em termos e taxas: x x A E N ε& & = (5.6) a mesma forma a relação (5.5) é reescrta: ) ( x x N N α = & & (5.7) resultano matrcalmente em: = x x x x x x x x x x EA EA EA EA EA N N N N N ε ε ε ε ε & & & & & & & & & & (5.8) ou ana: ε& & ID F = nt (5.9) one: = EA EA EA EA EA ID (5.) Dessa forma: & Sε& ID F = nt (5.) one: = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( S α α α α α (5.)

80 69 O crtéro e ano, proposto por Tao & Phllps (5), é ao por: por: f ( A ) = A A α α (5.3) O crtéro e evolução a varável nterna relatva ao ano é representao α & = f. λ α& = λ A (5.4) one λ é obto e: λ ( f A ) λ f ( A ) = (5.5) Além sso, se a componente f = : j λ f & ( ) λ f & ( A ) (5.6) j j A Para a solução supõe-se que o estao o corpo para um etermnao nstante e tempo t é conheco, sto é, são conhecos os campos e eslocamentos u t, as eformações ε t, a varável nterna relatva ao ano ( α, a energa lvre e Helmholtz ) t ψ t, as forças termonâmcas j j ) t A t e os esforços nternos generalzaos ( F nt. Seno ao um ncremento e carga Fext, pretenese obter o estao o corpo em t + t, ou seja, com os valores e u, F nt corresponentes, serão obtos os seguntes valores: ut+ t = ut + u, ε + t = ε t + ε α t+ t = α t + α e t, ( ) ( ) ( Fnt ) = ( Fnt ) + Fnt t+ t Utlzano uma aproxmação e Euler a forma: u u& =, t ε& = ε, t t λ = λ e t ε, α e (5.7) F F& nt nt = (5.8) t e substtuno e forma aequaa nas relações anterormente escrtas, será obto o segunte problema a ser resolvo: ε = B u poeno ser reescrto como: F nt = ID ε F = F S λ f ( ) λ f ( ) = A t t nt nt A t t (5.9) T ( B IDB u). S = Fext (5.3)

81 7 λ f ( ) λ f ( ) = A t t Porém, quano o problema ao por (5.3) for soluconao, não A t t necessaramente a força termonâmca fnal At t + será amssível. Para resolver esse nconvenente, neste momento, será substtuío (5.3), resultano fnalmente em: A t por At t + nas expressões ( B T IDB u). S = F λ ( α ) t + λ E B ( u ) t+ t B ( u ) t+ t Eε ε ( α ) t λ λ EB ext ( α ) t + λ ( u ) t+ t B ( u ) t+ t Eε ε = ( α ) t λ (5.3 ) Utlzano os valores numércos propostos anterormente, o sstema (5.3) fornece a solução para caa trecho. a) Prmero passo e carga: ( N x ) t ( N x ) t = ( N x3) t = ( N x4 ) t = ( N x5 ) = = = = = t= = F ext =, A solução o sstema (5.3) fornece: u =,4 λ = λ = λ4 = λ5 = (5.3) N λ 3 =,8 x = N x = N x4 = N x5 =,4 (5.33) nesse caso: N x3 =,4 ( u ) t= =, 4 ( α ) ( α ) = ( α ) = ( α ) = 4 5 = t= t= t= t= ( ),8 α 3 t= = ( N ) ( N ) = ( N ) = ( N ), 4 x t= = x t= x4 t= x5 t = = (5.34)

82 7 ( N ),4 x3 t= = Observa-se que ocorreu a pera e rgez na barra 3, enquanto as outras barras permaneceram ntactas. Da análse a fgura 8, one é mostraa a evolução a relação força x eslocamento, observa-se que a barra 3 efetuou no passo, um trecho elástco e um trecho one ocorreu a anfcação. FIGURA 8 RELAÇÃO FORÇA X DESLOAMENTO APÓS O PRIMEIRO PASSO DE GARGA (a) NAS BARRAS,,4 E 5 E (b) NA BARRA 3 FONTE: O autor (9) b) Seguno passo e cargas: ( N ) ( N ) = ( N ) = ( N ), 4 x t= = x t= x4 t= x5 t = = ( ),4 N x 3 t= = (5.35) F ext =,5 A solução o sstema (5.3) nos fornece: u =, N λ = λ = λ3 = λ4 = λ5 = x = N x = N x4 = N x5 =, (5.36) N x 3 =, nesse caso: ( u ) =,4,, t= = ( α ) ( α ) = ( α ) = ( α ) = + = 4 5 = t= t= t= t= (5.37)

83 7 ( ) =,8+,8 α 3 t= = ( N ) ( N ) = ( N ) = ( N ) =,4,, x t= = x t= x4 t= x5 t = = ( N ) =,4,, x3 t= = É precso salentar que, se o trecho - tvesse so feto em apenas um passo e carga não sera possível etectar o processo e anfcação. A fgura 9 lustra a relação força x eslocamento após o seguno passo e carga. FIGURA 9 RELAÇÃO FORÇA X DESLOAMENTO APÓS O SEGUNDO PASSO DE GARGA (a) NAS BARRAS,,4 E 5 E (b) NA BARRA 3 FONTE: O autor (9) 6.3. EXEMPLO 3 Este exemplo tem como objetvo valar a metoologa proposta, bem como, calbrar as constantes e o moelo e ano comparano o resultao a smulação computaconal com o resultao e um ensao expermental e tração em um cmento resnoso realzao por Franco (8). Para os ensaos expermentas foram confecconaos cnco corpos-e-prova e cmento ement-post (Angelus ), com o formato e ampulheta e mensões: comprmento total 77, mm; comprmento a porção central 4, mm; largura as extremaes a ampulheta e 6, mm; largura o centro a ampulheta e, mm. A fgura lustra o corpo e prova.

84 73 FIGURA ORPO DE PROVA ENSAIO DE TRAÇÃO FONTE: Franco (8) O comportamento consttutvo esse cmento fo smulao através o moelo e ano e Tao & Phllps (5). O móulo e elastcae o materal ntacto E, o coefcente e Posson ( ν ) e a eformação a partr a qual se nca o processo e anfcação ε foram retraos prevamente os ensaos expermentas realzaos por Franco (8). As constantes e o moelo e ano foram alteraas ao longo as versas smulações realzaas e tal forma que a curva tensão versus eformação resultante o moelo numérco fosse análoga as curvas os ensaos expermentas. Os valores as constantes utlzaas são apresentaos no quaro 6. VARIÁVEL Móulo e elastcae ( E ) VALOR MPa oefcente e Posson (ν ), 3 ε, 5, 75, 6 QUADRO 6 PROPRIEDADES MATERIAIS E PARÂMETROS EMPREGADOS NO EXEMPLO 3 FONTE: O autor (9) No programa esenvolvo a parte central o corpo e prova fo scretzaa utlzano elementos soparamétrcos e oto nós. As conções e contorno o problema e a scretzação espacal em elementos fntos são apresentaas na fgura

85 74. A malha e elementos fntos possu 4 elementos com 745 nós, o carregamento fo mposto em 5 ncrementos e carga guas. FIGURA ONDIÇÔES DE ONTORNO E DISRETIZAÇÃO ESPAIAL EM ELEMENTOS FINITOS PARA O EXEMPLO 3 FONTE: O autor (9) A fgura apresenta o gráfco e tensão ( σ xx ) versus eformação ( ε xx ) conteno os resultaos expermentas e uas amostras obtos por Franco (8) e os resultaos numércos obtos com o programa esenvolvo no presente trabalho. FIGURA GRÁFIO OMPARATIVO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS POR FRANO (8) E PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO FONTE: O autor (9) Os resultaos numércos geraos pelo programa esenvolvo são conzentes com os resultaos expermentas obtos por Franco (8). Destaca-se

86 75 o trecho fnal a curva relatva ao moelo numérco, one se observa uma reposta global pratcamente elástca. Inúmeras tentatvas foram realzaas em torno o valor a constante, a fm e acentuar a pera e rgez no trecho fnal a curva. ontuo, o aumento o valor essa constante levava ao rompmento prematuro o moelo, evo à falha e uma faxa e elementos próxmos a aplcação o carregamento. Tal fato poe ser explcao através o fenômeno e localzação e eformações, partcularae essa observaa em smulações e materas plástcos e fráges, e que vem seno bastante scuta na lteratura ese os trabalhos poneros e Rce (976) e Mayer & Huecel (979), passano pelo trabalho e Dremeer (999). Toa va, uma vez que esse estuo foge ao escopo o presente trabalho, será sugero como assunto e trabalhos futuros. A fgura 3 apresenta ana a comparação entre o gráfco e tensões ( σ xx ) versus eformações ( ε xx ) e um ponto e Gauss a malha e elementos fntos com as curvas obtas o ensao expermental realzao por Franco (8). Nota-se que apesar e alguns pontos e Gauss pererem rgez ao longo e toa a smulação, a resposta global o moelo não necessaramente apresenta o mesmo comportamento consttutvo. FIGURA 3 GRÁFIO OMPARATIVO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS POR FRANO (8) E PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO EM UM PONTO DE GAUSS FONTE: O autor (9)

87 EXEMPLO 4 Uma vez calbraos os parâmetros o moelo e ano esenvolvo por Tao & Phllps (5) para o cmento resnoso ement-post poe-se utlzar esses mesmos parâmetros para smular o processo e anfcação em outras aplcações. Neste exemplo pretene-se verfcar a nfluênca a pera e rgez no cmento resnoso e em suas nterfaces urante a aplcação e carga em um sco e entna tratao enoontcamente. No trabalho esenvolvo por Franco (8) entes pré-molares foram trataos enoontcamente e logo após cortaos formano scos e entna, como poe se vsto esquematcamente na fgura 4, esses scos e entna foram então submetos a um teste e compressão com uma carga e N a uma velocae e, mm/mn. FIGURA 4 ESQUEMA DE ORTE DOS DISOS DE DENTINA FONTE: Franco (8) No programa esenvolvo o sco e entna fo smulao através e um moelo axssmétrco, ou seja, uma fata o sólo é rotaconaa em torno e exo prouzno o sólo e revolução como poe ser observao na fgura 5. FIGURA 5 MODELO AXISSIMETRIO DO DISO DE DENTINA FONTE: O autor (9)

88 77 Esse moelo fo scretzao utlzano elementos soparamétrcos e oto nós e elementos e nterface conteno ses nós. As conções e contorno o problema, a scretzação espacal em elemento fntos e os materas envolvos na smulação são apresentaos na fgura 6. A malha e elementos fntos possu elementos com 343 nós, o carregamento fo mposto em 5 ncrementos e carga guas. FIGURA 6 ONDIÇÔES DE ONTORNO, DISRETIZAÇÃO ESPAIAL EM ELEMENTOS FINITOS E MATERIAIS SIMULADOS NO EXEMPLO 4 FONTE: O autor (9) Em um prmero momento toos os materas (pno ntra-racular, cmento, entna e nterfaces) foram smulaos sob um regme perfetamente elástco. A segur, em uma nova smulação, foram ntrouzos os parâmetros o moelo e ano e Tao & Phllps (5), a fm e smular a pera e rgez no cmento oontológco e nas nterfaces ajacentes. As propreaes materas e os parâmetros o moelo numérco, retraos e Marson (3) e Franco (8), são apresentaos no quaro 6. MATERIAL VARIÁVEL VALOR Pno ntra-racular Interface pno-cmento Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) Móulo e csalhamento 85 MPa ν, 33 MPa ν, 3,33 MPa

89 78 MATERIAL VARIÁVEL VALOR Interface pno-cmento mento Interface cmento-entna Dentna ϑ, ϑ, 99 ϑ, 3 ε, 5, 75, 6 Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) MPa ν, 3 ε, 5, 75, 6 Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) Móulo e csalhamento MPa ν, 3 6,8 ϑ, ϑ, ϑ, 99 3 ε, 5, 75, 6 Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) 86 ν, 3 MPa MPa QUADRO 6 PROPRIEDADES MATERIAIS E PARÂMETROS EMPREGADOS NO EXEMPLO 4 FONTE: O autor (9) Os resultaos obtos com o programa esenvolvo nesse trabalho para as strbuções e tensões e eformações são apresentaos nas fguras 7 a 4, comparano os resultaos a smulação com toos os materas sob um regme perfetamente elástco com os resultaos a smulação conteno o moelo e ano. Para esse exemplo, as tensões são apresentaas em mega Pascas ( MPa ).

90 79 FIGURA 7 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xx DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 8 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xx DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

91 8 FIGURA 9 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ yy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ yy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

92 8 FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

93 8 FIGURA 33 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ zz DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 34 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ zz DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

94 83 FIGURA 35 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE ε xx DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 36 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE xx ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

95 84 FIGURA 37 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE ε yy DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 38 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE yy ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

96 85 FIGURA 39 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE ε xy DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 4 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE xy ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

97 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ FELIPE REA DE ALMEIDA FORMULAÇÃO ONSTITUTIVA DA PERDA DE RIGIDEZ EM INTERFAES UTILIZANDO POTENIAIS TERMODINÂMIOS GENERALIZADOS URITIBA 9

98 FELIPE REA DE ALMEIDA FORMULAÇÃO ONSTITUTIVA DA PERDA DE RIGIDEZ EM INTERFAES UTILIZANDO POTENIAIS TERMODINÂMIOS GENERALIZADOS Dssertação apresentaa ao Programa e Pós-Grauação em Métoos Numércos em Engenhara, Setor e Tecnologa, Unversae Feeral o Paraná como requsto parcal à obtenção o título e Mestre em êncas. Hece Professor orentaor: Mlre Balln URITIBA 9

99 EPÍGRAFE orpus omne perseverare n status quo quescen vel moven unformter n rectum, ns quatenus a vrbus mpresss cogtur statum llum mutare. Sr Isaac Newton

100 3 Obrgao a toos, sem exceção. AGRADEIMENTOS

101 4 RESUMO Lesões carosas extensas, amplas restaurações e fraturas entas poem levar à necessae e tratamento enoôntco. Dentes trataos enoontcamente tornam-se mas fráges evo à pera e estrutura após a remoção a lesão carosa ou a regularzação a fratura e a nstrumentação o canal racular. Além sso, suas estruturas se apresentam esrataas evo à falta e rrgação sanguínea, que antes era promova pelo órgão pulpar. A esntegração essas estruturas entas poe tornar os entes mas suscetíves à fratura. Por esses motvos, foram esenvolvos retentores ntra-raculares com o ntuto e reter o materal restauraor. A função os cmentos é selar a nterface entre o pno e a entna racular, além e auxlar em sua retenção. Neste trabalho é apresentao um moelo numérco-computaconal capaz e smular o processo e pera e rgez as nterfaces pno-cmento-entna por meo a Mecânca o Dano e a efnção e os potencas termonâmcos com o auxílo e técncas a análse convexa. O procemento e solução o equlíbro global se á através o métoo Quase- Newton, a scretzação espacal é obta aplcano o Métoo os Elementos Fntos e a scretzação temporal fo ntrouza nepenentemente a espacal. A aboragem escolha permte conhecer o comportamento consttutvo através e os potencas: um potencal e energa e um potencal e sspação. Tal aboragem apresenta vantagens sobre a traconal, entre as quas se estaca a obtenção e resultaos que seguramente não volam as Les a Termonâmca. As equações e fluxo são ervaas a partr e potencas termonâmcos, one o conceto e materas stanar generalzaos é aplcao. Ao fnal são apresentaos e scutos alguns exemplos átcos e, na seqüênca, são scutos também resultaos obtos a partr e smulações realzaas com o programa esenvolvo. Palavras-chave: Mecânca o ano. Potencas termonâmcos. Métoo os Elementos Fntos. Interface. Bomecânca.

102 5 ABSTRAT Extensve carous lesons, large ental restoratons an fractures can lea to the nee for enoontc treatment. Enoontcally treate teeth become more fragle ue to loss of structure after removal of the carous leson or the regularzaton of the fracture an the nstrumentaton of the root canal. Moreover, ther structures have been ehyrate ue to lac of bloo, whch was once promote by the pulp. The sntegraton of ental structures can mae the teeth more susceptble to fracture. For these reasons, root posts were evelope n orer to retan the restoratve materal. The role of the cement s to seal the nterface between the post an root entn, an help n ther retenton. The purpose of ths wor s to present non-lnear mathematcal programmng algorthm capable of smulatng the loss of stffness process n post-cement-entn nterfaces through the ontnuum Damage Mechancs an the efnton of two thermoynamc potentals wth help of convex analyss. The proceure for solvng the global balance occurs through the quas-newton metho, the spatal scretzaton s performe by means of the Fnte Element Metho an temporal scretzaton was ntrouce nepenently of the spatal scretzaton. In the chosen approach, the consttutve behavor s etermne from two thermoynamc potentals: a potental energy an a potental of sspaton. One of the avantages of the present approach s that the results obtane satsfy the funamental laws of thermoynamcs. The flow equatons are erve from thermoynamc potental, where the concept of generalze stanar materals s apple. At the en are presente an scusse a few actcal examples, an n sequence, are also scusse results from smulatons performe wth the program evelope. ey wors: ontnuum Damage Mechancs. Thermoynamc Potentals. Fnte Element Metho. Interface. Bomechancs.

103 6 LISTA DE SÍMBOLOS Pext - potênca mecânca ou externa Β - volume Β - superfíce e um volume a r - força strbuía por unae e superfíce b r - força strbuía por unae e massa v r - velocae o ponto materal x - abscssa e um ponto no espaço ρ - ensae e massa - taxa e calor Qe q r n r U & e E & c E & σ D ε& S s θ ψ T α - calor gerao por unae e massa - fluxo e calor - versor untáro - taxa e energa nterna - energa nterna por unae e massa - taxa e energa cnétca - taxa e energa total e um sstema - tensor e tensões - tensor taxa e eformações - tensor taxa e eformações para pequenas eformações - entropa - entropa por unae e massa - temperatura absoluta - energa lvre - varável e estao nterna A - força termonâmca P - regão amssível Ω - nteror a regão amssível Ω - frontera a regão amssível f - função e escoamento α& - taxa e varação a varável e estao nterna λ - multplcaor e Lagrange M n r δ S δ S DX α δ S D σ E - ponto e um corpo - vetor - área e um plano que corta o volume representatvo - área e nterseção e toas as mcrofssuras e mcrocavaes em δ S - varável e estao nterna relatva ao ano - área e nterseção mas anfcaa em δ S - tensor e tensões efetvas - móulo e elastcae longtunal

104 7 E ε A ψ ψ InP χ σ& A & j σ&, A& ε& α& ( ) ( ε &, & ) j α σ A ε j α A ε Z Ω B (, A ) e ( B ) T N ( N ) T Uˆ Ψ L F nt F nt F nt Fext F ext Fext - móulo e elastcae efetvo - tensor e eformações efetvas - força termonâmca relatva ao ano - potencal termonâmco complementar - energa lvre relatva - ncatrz o conjunto P - função e sspação - taxa e tensões - taxa a força termonâmca relatva ao ano - potencal termonâmco as taxas temporas e tensões e as taxas temporas a força termonâmca relatva ao ano - taxa e eformações - taxa a varável nterna relatva ao ano - potencal termonâmco as taxas temporas e eformações e as taxas temporas a varável nterna relatva ao ano - ncremento e tensões - ncremento e força termonâmca relatva ao ano - ncremento e eformações - ncremento a varável nterna relatva ao ano σ - potencal termonâmco os ncrementos e eformações e os ncrementos a varável nterna relatva ao ano - força termonâmca a partr a qual se nca o processo e anfcação - eformação a partr a qual o processo e anfcação é ncao - parâmetro responsável pelo enurecmento/amolecmento no moelo e ano - constante responsável pela magntue a regão as forças termonâmcas amssíves - constante responsável pela superfíce a regão as forças termonâmcas amssíves - elemento a malha e elementos fntos - operaor o Métoo os Elementos Fntos - matrz transposta o operao o Métoo os Elementos Fntos - matrz e funções e forma - matrz transposta a matrz e funções e forma - vetor com os componentes x e y os eslocamentos noas - função e forma o Métoo os Elementos Fntos - operaor - esforços nternos - ncremento e esforços nternos - esforços nternos e um elemento a malha e elementos fntos - esforços externos - ncremento e esforços externo - esforços externos e um elemento a malha e elementos fntos

105 8 ( U ) R IQ4 h b IQ4 jl I e ϑ ϕ EN - resíuo a equação e equlíbro - elemento soparamétrco e quatro nós - altura o elemento - comprmento o elemento - matrz e rgez o elemento soparamétrco e quatro nós - coefcente a matrz e rgez - matrz consttutva o estao plano e eformações - componente a matrz consttutva - componente normal a matrz consttutva - componente csalhante a matrz consttutva - componente o efeto acoplao (normal e csalhante) a matrz consttutva - matrz consttutva o elemento e nterface - pesos atrbuíos a componente normal os materas que compõe a regão e nterface - parâmetro a ser ateno para a utlzação o elemento e nterface - móulo e elastcae longtunal a nterface GN - móulo e elastcae transversal a nterface B - operaor lnear e eformações - reção ao longo a qual se busca mnur o valor e uma função o métoo e otmzação na teração p - passo o métoo e otmzação na nteração G - matrz smétrca não sngular o métoo e otmzação na nteração H - Aproxmação o Hessano na teração y - ferença entre os valores os resíuos na teração + e na teração no métoo Quase-Newton s - ferença entre os valores os eslocamentos na teração + e na teração no métoo Quase-Newton ϖ - termo empregao na atualzação o Hessano pelo métoo BFGS

106 9 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO..... OBJETIVOS Objetvo geral Objetvos específcos ESTRUTURA DO TRABALHO...4. REVISÃO BIBLIOGRÁFIA FUNDAMENTOS TEÓRIOS MODELOS TERMODINAMIAMENTE ADMISSÍVEIS onserações e efnções geras Prmera Le a Termonâmca Seguna Le a Termonâmca A esgualae e lausus-duhem Potencal termonâmco Regão amssível Potencal e sspação MEÂNIA DO DANO Varável nterna e ano Deformação equvalente Tensão equvalente MODELO ONSTITUTIVO Potencal termonâmco e Les e estao Potencal e sspação Equação consttutva e ano em taxas Equação consttutva e ano em ncrementos fntos Relação entre função sspação e função escoamento UM MODELO DE DANO SEGUNDO ENFOQUE TERMODINÂMIO IMPLEMENTAÇÃO OMPUTAIONAL E ALGORITMOS PROGRAMA DESENVOLVIDO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Elemento e nterface ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE EQUILÍBRIO ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ONSTITUTIVA Aplcação o algortmo e Newton Raphson para o moelo e ano EXEMPLOS EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO ONLUSÕES...93 REFERÊNIAS...95

107

108 . INTRODUÇÃO O tratamento enoôntco é uma técnca preconzaa quano exstem lesões carosas extensas, amplas restaurações ou fraturas entas. Seguno Assf & Gorfl (994), a pera e estrutura após remover a lesão carosa ou regularzar a fratura e fazer a nstrumentação o canal racular torna a estrutura entnára mas frágl. om a remoção o órgão pulpar a rrgação essa estrutura ental é nterrompa, tornano-a esrataa. Essa esratação poe tornar os entes mas propensos a fraturas. Na fgura é mostraa a preparação o canal racular, etapa o tratamento enoôntco. FIGURA TRATAMENTO ENDODÔNTIO FONTE: Franco (8) A fm e contornar tas problemas foram esenvolvos pnos ntraraculares com a função e evolver certa rgez à estrutura, propcano uma strbução mas aequaa as tensões pelas quas essa estrutura venha a ser solctaa. Esses pnos são fxaos à entna por meo e cmentos resnosos oontológcos, que selam a nterface entre pno e a entna racular. omo too processo aesvo, o sucesso a fxação esses pnos está sujeto à qualae a unão pno-cmento-entna, proporconaa pelos agentes aesvos ntermeáros. Na lteratura é vasta a preocupação com a concentração e tensões e conseqüente falha a unão entre cmento-entna e cmento-pno. Poem ser estacaos os trabalhos e Ferrar et al. (), Lanza et al. (5), Tay et al. (5) e Franco (8).

109 A realzação e estuos sobre o comportamento os cmentos resnosos e as nterfaces aesvas entre pno-cmento-entna é funamental para se obter uma aesão segura e para o esenvolvmento e futuros materas. Seno assm, o presente estuo esenvolve, teno por base a Mecânca o Dano para Meos ontínuos, uma formulação para escrever o processo e pera e rgez e sua conseqüente aplcação em nterfaces. Na fgura a nterface entre o cmento resnoso e a entna poe ser entfcaa. Stuações e nteração entre ferentes materas são comumente encontraas na engenhara. O comportamento a regão e frontera entre esses materas tem so representao em moelos e elementos fntos por meo e elementos e nterface. Seno assm, com o objetvo e permtr a análse a strbução e tensões e eformações, smulano ferentes conções e seqüêncas e carregamento, too o comportamento consttutvo os materas envolvos fo escrto através o Métoo os Elementos Fntos. FIGURA FOTO DE MIROSOPIA ELETRÔNIA ONDE PODEM SER OBSERVADOS: (a) IMENTO RESINOSO, (b) INTERFADE E A (c) DENTINA FONTE: Franco (8) A teora o ano escreve localmente a evolução os fenômenos que se esenvolvem entre um estao ncal, relatvo a uma stuação e materal íntegro, e um estao fnal, representao pela pera total a resstênca. No caso os cmentos resnosos, um materal em que a fssuração é o fenômeno omnante no comportamento não-lnear, a Mecânca o Dano é capaz e formular moelos realstas. O ano não é uma graneza físca mensurável retamente, mas no âmbto e uma moelagem matemátca é possível quantfcá-lo através e uma reução

110 3 progressva e uma propreae mecânca global como, por exemplo, a rgez o materal. O moelo e ano mplementao neste trabalho fo o moelo esenvolvo por Tao & Phllps (5), one somente o efeto sotrópco o ano é conserao. Esse moelo apresenta bons resultaos mesmo seno bastante smples e tem como vrtue sua fácl mplementação. A termonâmca esempenha um mportante papel na formulação e esenvolvmento e moelos consttutvos. Para evtar resultaos termonamcamente nconsstentes, a prmera e a seguna les a termonâmca formam a base a aboragem presente neste trabalho, que tem como prncpal gua o trabalho esenvolvo por Houlsby & Puzrn (). Mutos trabalhos sobre a aplcação os concetos termonâmcos na mecânca o ano já foram esenvolvos, seno que a maora esses se concentrou no estuo e estruturas e concreto. No presente trabalho, propõe-se o estuo e um moelo consttutvo aplcao às nterfaces entre um cmento resnoso, um pno polmérco e a entna. O esenvolvmento e moelos capazes e fornecer prevsões mas realstas o comportamento a nterface passa a ser mportante para amplar os conhecmentos e crurgões-entstas, proporconano a melhora as técncas e os materas envolvos no tratamento enoôntco, além e mnur a necessae e ensaos n vvo e n vtro... OBJETIVOS... Objetvo geral Desenvolver um moelo numérco-computaconal que permta smular o processo e anfcação e conseqüente pera e rgez as nterfaces entre o cmento resnoso, o pno ntra-racular e a entna a partr a efnção e os potencas termonâmcos com o auxílo e técncas a análse convexa.

111 4... Objetvos específcos a) Aplcar a teora termonâmca com varáves nternas e técncas a análse convexa à moelagem o comportamento mecânco e um cmento resnoso; b) Apresentar a formulação e um moelo consttutvo e ano seguno enfoque termonâmco; c) Implementar algortmos aequaos à resolução o problema consttutvo; ) Aplcar o Métoo os Elementos Fntos à scretzação espacal o problema e pera e rgez; e) Implementar um elemento aequao à smulação a regão e nterface; f) Realzar algumas smulações com o programa esenvolvo e comparar com resultaos obtos em ensaos expermentas... ESTRUTURA DO TRABALHO A segur está escrto, e forma sucnta, o conteúo e caa capítulo este trabalho. No prmero capítulo fo feta uma ntroução a respeto a técnca e tratar os entes enoontcamente, o valor a unão o cmento resnoso à entna e ao pno ntra-racular no sucesso o tratamento e a mportânca e moelos mas realstas para prever o comportamento as nterfaces entre esses materas. No seguno capítulo é apresentaa uma breve revsão bblográfca o esenvolvmento a Mecânca o Dano para Meos ontínuos, enfatzano-se aspectos relatvos aos trabalhos realzaos na área e moelagem consttutva e materas fráges, além a escrção e alguns elementos e nterface encontraos na lteratura. No tercero capítulo concetos a teora a termonâmca com varáves nternas são apresentaos. A Mecânca o Dano para Meos ontínuos é revsta seguno a aboragem termonâmca, a segur, uma aboragem utlzano concetos a análse convexa é ntrouza e por fm o moelo consttutvo é apresentao.

112 5 No quarto capítulo o moelo e ano com o crtéro e anfcação e Tao & Phllps (5) é escrto seguno enfoque termonâmco. No qunto capítulo é escrto a forma na qual o programa esenvolvo fo estruturao, bem como se apresentam o elemento e nterface e os algortmos empregaos para a resolução o problema e equlíbro e consttutvo. O sexto capítulo apresenta os exemplos átcos o problema consttutvo e resultaos numércos obtos através o programa esenvolvo. Esses resultaos são então comparaos a resultaos obtos em ensaos expermentas. No últmo capítulo, são apresentaas as conclusões este trabalho.

113 6. REVISÃO BIBLIOGRÁFIA A moelagem consttutva e materas fráges tem so objeto e estuo já há algumas écaas. O comportamento físco não-lnear e sólos, observao macroscopcamente, é uma manfestação e muanças rreversíves que ocorrem em sua mcroestrutura. Algumas essas muanças têm orgem em mcroefetos consttuíos por nclusões ou mesmo vazos, os quas, pelas suas característcas, favorecem a concentração e mcrotensões. Esses mcroefetos consttuem o que se entene por ano ncal o materal. Depeneno as conções ambentas e evo à exstênca e solctações mecâncas, mesmo que a resposta global o materal se mantenha entro os lmtes o regme elástco, o ano ncal poe evolur em conseqüênca o rompmento as lgações entre átomos ou por rupturas na nterface entre componentes stntos. Macroscopcamente, esse processo e evolução o ano ncal, ou anfcação, acaba por nfluencar retamente as propreaes elástcas, conforme evencam as reuções e resstênca e e rgez. Já em um estágo mas avançao e solctação, a anfcação leva à formação e ao crescmento e mcrofssuras. omo essa fssuração ocorre e forma strbuía, a Mecânca o Dano é capaz e formular moelos muto realstas para os cmentos. om o ntuto e estuar a ruptura, precocemente observaa em relação ao esperao em metas em regme e eformação lenta, como uma conseqüênca a exstênca e efetos no materal, achanov ntrouzu, em 958, as prmeras éas sobre anfcação e meos contínuos. A partr e então, város outros estuos sobre a Mecânca o Dano têm so realzaos tornano-a uma as mas populares teoras utlzaas para a smulação esse processo. A termnologa Mecânca o Dano para Meos ontínuos ( contnuum amage mechancs, DM) fo usaa por Janson & Hult (977) para esgnar moelos a mecânca o contínuo que tratam as respostas consttutvas, conserano os efetos e egraação em moo fuso e progressvo, por meo e reução as propreaes mecâncas, como resstênca e rgez o materal. É mportante notar a ferença em relação à Mecânca a Fratura. Enquanto a Mecânca a Fratura la com as conções e propagação e uma fssura macroscópca mersa em um meo contínuo íntegro, a Mecânca o Dano se ocupa

114 7 o efeto e um processo e mcrofssuração strbuía que se esenvolve em uma etapa prelmnar a formação a fssura screta. Dese então númeras aboragens bem suceas utlzano o ano para moelar materas versos, como polímeros ou mesmo materas fráges, estão presentes na lteratura como rajcnovc (983) e Ortz (985). Enquanto algumas elas têm como base apenas o comportamento fenomenológco, outras aboragens, baseaas na formulação a DM, levam em conta prncípos termonâmcos. Em 985, Lematre esenvolveu bases teórcas e acoro com a formulação termonâmca os processos rreversíves, propono o uso e varáves nternas escalares, mplcano na hpótese e eteroração sotrópca a rgez. No entanto, a partcularae essa nova aboragem está no conjunto e hpóteses funamentas amtas. São elas: os processos rreversíves poem ser aproxmaos por uma seqüênca e estaos e equlíbro aos quas corresponem valores nstantâneos e um número fnto e varáves nternas; as varáves nternas a serem escolhas evem representar os processos sspatvos omnantes e a resposta o meo epene exclusvamente e seu estao atual. Novos moelos então foram esenvolvos. Entre os moelos puramente e ano poem ser estacaos attan & Voyajs (99), Maugn (99) e Lematre (99). Exstem ana outros moelos e ano com propreaes especfcas, entre esse trabalhos estacam-se Muraam (98) e achanov (984) moelano a eteroração lenta o materal; Mazars (984) estuano o ano em estruturas e concreto armao; Lematre & haboche (985) e Margo (985) na smulação a nteração ano-faga; e Smo & Ju (987) e Ta (99) tratano sobre ano em materas úctes. Esses moelos e ano poem ser classfcaos como sotrópcos ou ansotrópcos, seguno a natureza a varável e ano utlzaa. Os moelos sotrópcos, one são empregaas varáves escalares, são concetualmente smples e têm a vantagem e necesstarem e um número reuzo e parâmetros a se entfcar. Por outro lao, eles poem ter sua aplcação restrta a algumas stuações. Alguns moelos, como o apresentao em Mazars & Pzauer-abot (989), chegam a empregar os escalares para quantfcar o ano, um para a tração outro para a compressão. Os moelos ansotrópcos, one a varável e ano é uma graneza tensoral apresentam uma gama e aplcação maor, porém com maor complexae na entfcação os parâmetros o moelo.

115 8 Já na écaa e 9 uma sére e trabalhos envolveno a aplcação a termonâmca para a moelagem consttutva e materas fráges, como solos e o concreto, foram então esenvolvos, poe-se estacar Maugn (99), Hansen & Schreyer (994) e ollns & Houlsby (997). A maora esses trabalhos une efetos a pera e rgez às eformações plástcas e ao ano. Esses moelos vem-se em os granes grupos. O prmero grupo é composto pelos moelos chamaos esacoplaos, one o ano e a plastcae são processos nepenentes, embora possam, sob algumas conções, acontecer smultaneamente. O seguno grupo é formao pelos moelos tos acoplaos, one o ano e a plastcae sempre ocorrem smultaneamente. No presente trabalho, a DM fo expressa através a aboragem utlzaa nos materas stanar generalzaos e usano as éas apresentaas por Houlsby & Puzrn () quano trataram e moelos elastoplástcos. A prncpal característca esse tpo e aboragem é o fato o comportamento consttutvo e um materal ser conheco a partr a efnção e somente os potencas termonâmcos: uma função e energa (energa lvre e Helmholtz, energa lvre e Gbbs, entalpa ou energa nterna) e uma função e sspação. A ntroução e um potencal termonâmco, como a energa lvre e Helmholtz, conuz às les e estao a partr as quas é possível relaconar varáves e estao com suas varáves assocaas. A eformação total e um conjunto e varáves nternas assocaas à pera e rgez são aotaos como as varáves e estao. As varáves assocaas são as tensões e as forças termonâmcas generalzaas. Toa formulação basea-se no uso e varáves nternas para representar o programa e cargas sofro pelo materal. O potencal e sspação ntrouzo fornece as les e fluxo permtno avalar a evolução as varáves nternas. A efnção e uma regão e forças termonâmcas amssíves completa o moelo. A le a Normalae estabelece que os ncrementos a varável nterna são perpenculares a uma superfíce no espaço as forças termonâmcas efna a partr e uma função potencal. Mutos moelos assumem que a função potencal possu a mesma forma a função e anfcação, sto é, fluxo assocao. No entanto essa conseração não é necessára e exstem evêncas e que a função e

116 9 escoamento/anfcação e a função potencal não são êntcas em materas fráges, ou seja, poe ocorrer fluxo não assocao. Motvaos pelo problema e smular o fenômeno e pull out nas armauras e peças e concreto armao, one problemas e convergênca são bastante comuns, Tao & Phllps (5) esenvolveram um moelo e ano sotrópco b-axal bastante smples, porém com ótmos resultaos. Desse moelo fo retraa a regão e forças termonâmcas amssíves e efna assm a superfíce e ano. No ano e 7, Enav, Houlsby e Nguyen emonstraram que essa aboragem termonâmca é capaz e escrever o comportamento consttutvo e materas sujetos a pera e rgez sem conserar a plastcae, tornano-se assm a base para esse estuo. A ferença entre o moelo apresentao pelos autores e os emas moelos para a plastcae reca sobre o papel físco as varáves nternas. A preocupação com as muanças o comportamento consttutvo e materas que nteragem entre s formano uma nterface é e longa ata na lteratura. Em moelos e elementos fntos essa regão é smulaa através os elementos e nterface. Um os prmeros trabalhos empregano esse tpo e elemento fo proposto por Ngo & Scorels (967). Ele fo utlzao na análse o comportamento e vgas e concreto armao. Nessa análse os autores conseraram uma vga trmensonal composta pelo materal concreto e pelo materal aço. O parão as fssuras prncpas encontraas em ensaos expermentas fo reprouzo pela nserção e elementos e nterface. As muanças estruturas evo à fssuração o concreto foram obtas através o emprego e um crtéro e resstênca máxma a tração. Gooman, Taylor e Bree (968) propuseram um elemento e nterface e o empregaram para a análse e establae e macços rochosos e escavações. Especfcamente, estuaram o comportamento e moelos e túnes em formato trapezoal e semcrcular construíos através a remoção e blocos até consttuírem a cavae. Os elementos e nterface foram empregaos como meo e lgação entre esses blocos. Também com o propósto e analsar problemas em escavações e establae e encostas rochosas, Zenewcz et. al (97) propuseram um elemento e nterface composto por quatro nós, porém geometrcamente esse elemento não possu espessura, seno que esta é conseraa apenas como um

117 parâmetro na moelagem. Os autores empregaram o comportamento não lnear elástco e o moelo plástco representao pelo crtéro e Mohr-oulomb para escrever o materal utlzao nos elementos e nterface. Esse elemento se emonstrou aequao a scretzação e moelos com elementos trangulares. Para a análse as escontnuaes representaas por lgações e rochas, falhas e nterfaces, Ghabouss, Wlson e Isenberg (973) propuseram um elemento e nterface com espessura não nula. Os autores empregaram um moelo elástco, perfetamente plástco com crtéro e escoamento e Mohr-oulomb na análse e funações e formato crcular e no problema e cunha, esenvolveno assm a formulação para um elemento e nterface com smetra axal. Em 978 Herrmann utlzou a mesma geometra e graus e lberae propostos por Ghabouss, Wlson e Isenber (973), porém com a possblae e amtr o escorregamento e a pera e contato entre os elementos. Isso fo feto através a nclusão e um conjunto e molas scretas que conectam as faces o elemento. A lmtação o efeto e escorregamento é ntrouza pelo autor através o crtéro e Mohr-oulomb. Esse moelo fo utlzao para smular peças e concreto armao e estacas sujetas a forças e empuxo evo ao assentamento e solo ajacente. Também nspraos pelas éas e Ghabouss, Wlson e Isenber (973), Pane & Sharma (979) esenvolveram um elemento e nterface soparamétrco e oto nós formulao em termos e eslocamentos relatvos. A etermnação os eslocamentos é feta e manera gual à empregaa no métoo os elementos fntos para os elementos soparamétrcos. Depos e computaa a matrz e rgez global são calculaos os eslocamentos. ontuo, esses ana são eslocamentos globas e relatvos, seno necessára uma transformação para que os eslocamentos absolutos sejam obtos. Só então é feto o procemento parão os elementos soparamétrcos para computar as eformações e tensões. Resultaos obtos por Vega () mostram a equvalênca entre o elemento e nterface proposto por Pane & Sharma (979) e o elemento utlzao no presente trabalho proposto por Desa et al. (984). Porém o elemento proposto por Pane & Sharma (979) exge um esforço computaconal maor, uma vez que necessta a transformação os eslocamentos relatvos em globas. O elemento e nterface proposto por Desa et al. (984) fo utlzao orgnalmente na moelagem e solos e sua grane vantagem recae no esembaraço o emprego e sua formulação, posto que tanto a formulação o

118 contínuo quano o elemento em s são realzaas através e elementos quarlateras planos. Dessa forma torna-se fácl a mplementação esse elemento em um programa computaconal. Mas uma vez o elemento esenvolvo por Ghabouss, Wlson e Isenber (973) fo usao como base para uma nova formulação. As ferenças propostas por Beer (985) foram: uma formulação soparamétrca e a espessura nula o elemento e nterface. Para moelos bmensonas foram empregaos elementos e lnhas entre elementos e casca, enquanto que, para moelos trmensonas foram utlzaos elementos e nterface planos entre elementos sólos. Essa formulação fo vantajosa para moelar juntas e fraturas e rochas. Em 3, outnho et al. propuseram uma extensão o elemento proposto por Herrmann (978), uma vez que apenas acrescentou uma mola central ao elemento em questão. O cálculo as tensões e eformações ocorre a mesma forma. Além essas, outras contrbuções foram fetas por outros autores como Grffths (987) que se preocupou com a escolha os elementos e nterface, Fran, Guenot e Humbert (98) que empregaram elementos e nterface para a moelagem e contato ou Day & Potts (994) que estuaram as fculaes numércas em smulações com a presença e elementos e nterface. om a cração e evolução e versas lnhas e pesqusa lgaas à boengenhara város trabalhos vêm estuano as nterfaces entre materas nertes (cmentos, hastes, pnos, etc.) e tecos vvos (osso, entna, etc.). A preocupação com essas nterfaces rese no fato e váras técncas oontológcas (enoonta, mplantoonta, etc.) epenerem o sucesso a fxação entre os materas envolvos. Na ultma écaa város trabalhos avalaram a resstênca e aesão entre pno, cmento e entna. Dentre esses, poem ser estacaos: Ferrar et al. (), avalano a nfluênca os túbulos entnáros no nteror os canas raculares, aumentano a área superfcal e aesão e seno assm responsáves por uma melhor aesão; Sants et al. (), verfcano a resstênca e aesão entre pno e fbra e cmentos resnosos através o ensao e pull-out; Boullaguet et al. (3), averguano a resstênca e aesão por meo e ensaos e mcro-tração, Goracc et al. (5) testano a aesão e pnos ntra-raculares através e três tpos ensaos expermentas e resstênca aesva (mcro-tração com espécmes em forma e ampulheta, mcro-tração com espécmes em forma e paltos e pull-out);

119 Lanza et al. (5) utlzano o Métoo o Elementos Fntos com o ntuto e avalar a unão entre pno-cmento-entna; Perez et al. (6) verfcano a nfluênca a espessura a camaa e cmento resnoso na resstênca aesva em entes trataos enoontcamente; e Bonfante (7) examnano a contnuae a nterface entre cmento e entna por meo e mcroscopa eletrônca e varreura. om essa breve revsão bblográfca procurou-se emonstrar que a aboragem utlzaa no presente trabalho está em concorânca com os recentes trabalhos na área e Mecânca o Dano, que a escolha o elemento e nterface objetvou elementos versátes, mas que conservassem a smplcae, e que essas ferramentas são necessáras a um melhor entenmento, e conseqüente esenvolvmento, e técncas enoontcas.

120 3 3. FUNDAMENTOS TEÓRIOS 3.. MODELOS TERMODINAMIAMENTE ADMISSÍVEIS Este tem tem por objetvo apresentar, ncalmente, alguns aspectos a Termonâmca aplcaos aos meos contínuos vsano garantr que o moelo consttutvo seja fscamente amssível. A segur, tal formalsmo termonâmco fo empregao em conjunto com a Mecânca o Dano. O esenvolvmento apresentao nesse tem poe ser encontrao nos textos e Proença & Ptuba () onserações e efnções geras Para os propóstos a Mecânca os Meos ontínuos Sólos, um sstema termonâmco fechao é uma quantae e matéra contínua e nvarante. A noção e contnuae permte conserar subsstemas que ocupam volumes muto pequenos. Se for possível efnr em tas volumes quantaes méas representatvas o fluxo e calor, a temperatura e o graente e eformação em qualquer um os seus pontos, então as les relaconaas ao balanço e energa poem ser expressas por formas ferencas e conseraas válas em um ponto. A quantae e energa em um sstema termonâmco referencaa por unae e massa é chamaa energa nterna. Quano é possível avalar toas as nformações necessáras para a caracterzação o problema, z-se que o estao o sstema é conheco. Uma graneza físca, mensurável reta ou nretamente, necessára para etermnar a energa nterna o sstema, em qualquer nstante, é enomnaa varável e estao. As varáves e estao observáves são aquelas que poem ser meas. Elas, geralmente, são a temperatura e o tensor e eformações Postula-se que um número fnto e varáves e estao seja sufcente para a etermnação unívoca a energa nterna. De manera mas geral a escolha sobre o número e varáves é arbtrára, até certo ponto, estano epenente os fenômenos que se pretene levar em conta em caa problema.

121 4 Um sstema está em equlíbro termonâmco quano as varáves e estao não são alteraas com o tempo. Se exste uma muança ao longo o tempo, z-se que o sstema esta sofreno um processo. Além a energa nterna, poe-se assocar ao sstema quantaes e energa cnétca, lgaas ao seu movmento, e energa potencal, relaconaa á sua posção ou cota, ambas epenentes o referencal aotao, em relação ao qual se meem a velocae e a posção o corpo. Nas análses que seguem, consera-se que as muanças na energa total o sstema mplcam em muanças nas parcelas referentes à sua energa cnétca e energa nterna. Amte-se, por smplfcação, que as transformações que o sstema poerá sofrer não levem em alterações sgnfcatvas e sua cota, e moo que muanças na energa potencal não serão conseraas. A energa total o sstema poe varar se houver trabalho mecânco realzao em relação ao sstema por forças nternas e/ou transferêncas e calor. Normalmente, para ar generalae ao estuo essa varação e energa é analsaa conserano-se as taxas e trabalho mecânco (potênca) e e transferênca e calor Prmera Le a Termonâmca A prmera le a termonâmca estabelece justamente o balanço e energa entre a potênca mecânca e a taxa e calor transferas para entro o sstema com a taxa e varação a sua energa total. A potênca mecânca poe ser prouza por forças a r strbuías por unae e superfíce e por forças b r por unae e massa. O calor poe ser transmto por conução através a superfíce e corpo e/ou nuzo retamente na massa por rraação ou então por alguma fonte nterna. A relação que efne a potênca mecânca, ou externa P ext, ntrouza sobre uma quantae e massa que ocupa certo nstante o volume Β, lmtao pela superfíce Β, é expressa na segunte forma: v r r r = a v Β + ρ b v Β (3.) P ext Β Β

122 5 one v r é vetor velocae o ponto materal que na confguração atual o corpo ocupa a posção x o espaço e pontos. Ana na relação anteror aparece a ensae ρ, que multplcaa pela força b r é enomnaa força e corpo. Por sua vez, a taxa e calor Q e ntrouza no sstema provém a conução através a superfíce Β e o calor gerao por unae e massa r. Então, por efnção: Q e r r = q n Β + ρ r Β Β Β (3.) one q r é o vetor fluxo e calor e o snal negatvo nca o fluxo e fora para entro o sstema, uma vez que n r é um versor que, em caa ponto o contorno, aponta para o exteror o corpo. A prmera le a termonâmca z respeto à conservação e energa o sstema, poeno-se enuncá-la a segunte manera: a taxa e trabalho mecânco ou potênca as cargas externas mas a taxa e calor ntrouza no sstema é gual à taxa e energa cnétca mas a taxa e varação a energa nterna. A relação que a exprme é a segunte: one, P ext + Q = E& + U& (3.3) e = U& ρ e t Β Β c (3.3a) é a taxa e energa nterna ( e é a ensae e energa nterna por unae e massa), e: é a taxa e energa cnétca. & E c r r = ρ v v Β t Β (3.3b) O seguno membro a equação (3.3) compõe a taxa e energa total o sstema ( E & ), e moo que: T E & = P + Q (3.4) T ext Substtuno-se (3.3) nas expressões as energas envolvas, obtém-se: Β r r a v Β + Β r r ρb vβ Β r r q n Β + Β e ρ r Β = t Β r r ρ v v + ρ e Β (3.5)

123 6 A parcela referente à potênca mecânca poe ser esenvolva conserano-se os teoremas e auchy e a vergênca. r r Do teorema e auchy segue que a= σ n em Β, one n r é o versor normal ao contorno no ponto e σ é o tensor e tensões. Fazeno-se uso o teorema a vergênca, a ntegral e contorno, corresponente ao carregamento strbuío na superfíce, poe ser transformaa em uma ntegral no volume. Dessa forma, a potênca mecânca resulta: P ext Β T r ( v) Β + r v = v σ ρb Β (3.6) Lembrano-se a análse tensoral que: v( σ v ) vσ. v+ σ. gra v Β T r r r =, a expressão anteror passa a ser aa por: r r r = vσ + ρb v + σ gra v Β (3.7) P ext [ ( ) ] Β Fnalmente, levano-se em conta a equação e balanço a quantae e movmento lnear e o prncípo a conservação a massa, obtém-se: e, portanto Β v v v ρ + σ gra Β = t Β t Β r r ρ v vβ + v r P ext = ρ vβ + σ. D Β t Β Β σ D Β (3.8) (3.9) A prmera parcela é a taxa e energa cnétca o sstema e a seguna é enomnaa potênca as tensões, seno D o tensor taxa e eformação, gual à parte smétrca o tensor graente e velocae ( ε& no caso e pequenas eformações). Assm a potênca ntrouza poe ser avalaa va taxa e trabalho realzao pelas forças externas ou e forma equvalente, pela varação a energa cnétca mas a potênca as tensões. Utlzano-se e (3.9), a expressão (3.5) assume a segunte forma: t Β r r ρ v v Β + Β σ D Β Β r r q n Β + Β ρ r Β = t Β r r ρ v v + ρ e Β (3.) Amtno-se, por um lao, um regme e pequenas eformações ( D = ε& ) e, por outro lao, aplcano-se o teorema a vergênca à parcela e fluxo e calor no contorno, valem as relações:

124 7 Β σ D = σ ε& (3.) r r q n Β = Β r v q Β (3.) Assm seno, conserano-se que a expressão (3.) eve valer para qualquer porção o volume ocupao pelo sstema, uma forma local para a prmera le poe ser escrta a segunte forma: r ρ e& = σ ε& v q + ρ r (3.3) Seguna Le a Termonâmca A prmera le permte a transformação as ferentes formas e energa entre s, ese que haja um balanço entre elas, sem qualquer restrção sobre o sento em que a conversão possa se processar. Nos processos reversíves esse fato realmente não tem mportânca; entretanto nos processos rreversíves, ou sspatvos, a ausênca e restrção é relevante. A seguna le a termonâmca ntrouz o conceto e entropa o sstema. Além sso, na ocorrênca e um processo sspatvo, essa le mpõe a varação não-negatva essa graneza, restrngno as possblaes e conversão entre as formas e energa. Amte-se, e níco, que ao volume Β ocupao pelo sstema em caa nstante t, se possa assocar um número S chamao entropa e Β, ao por: Β S = ρ s Β (3.4) one s= s( x, t) é a entropa específca por unae e massa a partícula que ocupa na confguração atual o corpo a posção x. Nos processos reversíves, a varação e entropa tem corresponênca com a quantae e calor transfera. Em um sento bastante smples, a entropa relacona-se com o grau e esorem assumo pelo sstema em função a quantae e calor transfera. A seguna le mpõe que, em processos quasquer e transformação que ncluem os processos rreversíves, a varação total e entropa e um sstema eve ser gual ou superar a varação provocaa pela transferênca e calor. A gualae vale para processos reversíves e a esgualae para processos rreversíves.

125 8 Nesse últmo caso, z-se que exste proução nterna e entropa. Em forma geral, a le se exprme por: t Β r r q r s ρ Β ρ Β + n Β (3.5) θ θ Β Β Na expressão (3.5) θ representa a temperatura absoluta, efna como um campo escalar e valores postvos em caa ponto o omíno Β conserao. O seguno membro a nequação (3.5) é a taxa ou fluxo e entropa corresponente à transferênca externa e calor. A mposção a seguna le mplca que, ao contráro os processos reversíves, nos processos rreversíves a energa nterna não fca totalmente armazenaa no sstema, mas parte ela acaba seno empregaa na evolução os fenômenos nternos que geram maor esorem no sstema. Normalmente, faz-se referênca a essa parte a energa nterna como energa sspaa. Retornano a expressão (3.5) e empregano-se o teorema a vergênca, aquela relação assume a segunte forma: r s q ρ r ρ + v Β t θ θ Β (3.6) omo essa esgualae eve ser vála para qualquer volume Β o corpo, torna-se vála a segunte forma local: r q ρ r ρ s& + v (3.7) θ θ A esgualae e lausus-duhem A prmera e a seguna le poem ser combnaas conuzno a uma esgualae que eve ser observaa para que um processo seja termonamcamente amssível. onserano as relações que exprmem localmente a prmera e a seguna le: r ρ e& = σ ε& v q + ρ r (3.8) r q ρ r ρ s& + v θ θ Da análse tensoral sabe-se que: (3.9)

126 9 r q r r v = v q gra θ q θ θ θ (3.) Substtuno-se essa relação na expressão a seguna le e combnano-se com a prmera resultam, sucessvamente: r ρ s& + v q θ θ r r gra θ q ρ θ r r ρ s& + ( σ ε& + ρ r ρ e& ) gra θ q ρ (3.) θ θ θ Fnalmente, multplcano-se a últma expressão por θ e cancelano-se ρ r obtém-se a esgualae e lausus-duhem: r ρ θ s& + σ ε& ρ e& gra θ q (3.) θ Processos nos quas a esgualae e lausus-duhem é verfcaa localmente a caa nstante são enomnaos termonamcamente amssíves Potencal termonâmco Poe-se ana trabalhar com uma nova varável ψ enomnaa energa lvre: ψ = ρ e ρ θ s (3.3) Dervano essa energa em relação ao tempo, tem-se: ψ & = ρ e& ρ θ s& ρ θ& s ρ ( θ s& e& ) = ( ψ& + ρ θ& s) (3.4) Substtuno na esgualae e lausus-duhem (3.), obtém-se: ( ψ& + ρ θ& s) gra θ q σ ε& (3.5) θ Defnas as varáves e estao que se julgam serem relevantes ao moelo, efne-se um potencal termonâmco a partr o qual se ervam as les e estao. Utlzano-se o potencal a energa lvre ψ, escrto como função o tensor e eformações ε, a temperatura θ e as varáves e estao nternas a processos rreversíves, tem-se: α assocaas ψ= ψ ε, θ, α ) (3.6) ( Nessa conção, a taxa e energa lvre fca expressa por:

127 ψ & ψ & ψ & ψ & = ε + θ + α (3.7) ε θ α reversíves. ombnano-se as relações (3.5) e (3.7), resulta que: ψ ψ s + & ψ r σ ε& ρ θ α& graθ q (3.8) ε θ α θ A esgualae (3.8) eve valer para qualquer processo, em especal os Em um caso partcular, consere um processo reversível, aabátco e com temperatura unforme. Nesse caso, a únca varável é o tensor e eformações elástcas (reversível) e a esgualae (3.8) fca atena se: ψ = σ ε (3.9) Em um seguno caso, consere um processo puramente térmco a temperatura constante, então a únca varável e estao é a entropa e a esgualae (3.4) fca atena se: ψ ρ s = (3.3) θ Voltano aos processos geras e mpono a valae as expressões (3.9) e (3.3), o que mplca em que as varáves e estao possam ser agrupaas entre aquelas e natureza reversível e rreversível, a esgualae (3.8) assume a forma: ψ α α& r gra θ q θ (3.3) onserano-se, novamente, uma transformação a temperatura constante, a relação (3.3) fornece a segunte conção, chamaa esgualae e sspação: ψ α & α (3.3) Por analoga as expressões (3.9) e (3.3) poe-se efnr uma varável chamaa força termonâmca A. Assm como a tensão é uma quantae conjugaa a eformação, as forças termonâmcas são conjugaas às varáves nternas: ψ α = A e forma que a expressão (3.3) passa a ser escrta como: (3.33)

128 A α& (3.34) Lembrano-se que o snal negatvo a relação (3.3) ecorreu e uma correção o fluxo para que passasse a ser conserao postvo quano fosse para o nteror o corpo, então a relação (3.34) nca que os processos rreversíves efnem a quantae e energa sspaa. O potencal termonâmco escreve a relação entre as varáves e estao e suas varáves assocaas. Observa-se que, na equação (3.3), estão presentes as taxas e varação as varáves nternas. Para materas que sofrem o processo e anfcação, nos quas as tensões e eformações atuas epenem a hstóra e carregamento, as equações consttutvas apresentaas não são sufcentes para escrever o comportamento o materal. Fazem-se necessáras equações e evolução que etermnem as taxas e varação e caa uma as varáves nternas. Enquanto em moelos elástcos apenas um potencal termonâmco é sufcente para escrever o comportamento consttutvo o materal, em moelos e ano pelo menos os potencas termonâmcos são utlzaos. Esses são a energa lvre e um potencal e sspação. A ntroução e um potencal termonâmco, como a energa lvre, conuz às les e estao a partr as quas é possível relaconar varáves e estao com as suas varáves assocaas, conforme já apresentao. Já a ntroução e um potencal e sspação fornece as les e fluxo que permtem avalar a evolução as varáves nternas. A efnção e uma regão e forças termonâmcas amssíves completa o moelo Regão amssível A regão amssível P é efna como o conjunto e forças termonâmcas possíves para um ao materal. A função e anfcação ( A ) f (análoga a função e escoamento em moelos elásto-plástcos) elmta uma regão no espaço as forças termonâmcas que se mofca conforme o processo e anfcação ocorre. Dessa forma, enquanto se á esse processo e anfcação, a varável nterna e ano é alteraa e a regão amssível no espaço as forças termonâmcas se mofca. Assm, a regão P poe ser representaa através e uma função f, enomnaa função e anfcação:

129 { A / f ( A ) } P = (3.35) A frontera Ω a regão amssível, ou superfíce e ano, é efna por: Ω = { / f ( A ) = } Já o nteror Ω a regão amssível é escrto por: Ω = A (3.36) { / f ( A ) < } A (3.37) Pontos nternos à regão amssível representam estaos a partr os quas ocorrem processos elástcos sem a pera e rgez. Forças termonâmcas stuaas na frontera a regão amssível são aquelas assocaas a processos puramente elástcos, sem anfcação, caso sejam seguas e um escarregamento ou e níco e processos e anfcação, também elástcos, meante aplcação e carga efetva. Forças termonâmcas exterores a essa regão são namssíves. As taxas e varação as varáves nternas assumem valores seguno o segunte conjunto e equações: f ( A ) < f ( A ) = e f ( A ) e f& α & = se & < &α se f = (3.38) A anfcação sotrópca caracterza-se por uma mofcação gual em toas as suas reções a superfíce e ano no espaço a forças termonâmcas. A alteração a superfíce poe ser efna por uma únca varável escalar. O processo e anfcação ansotrópco, por sua vez, costuma ser escrto por uma varável tensoral Potencal e sspação Nesta seção são ntrouzos os últmos concetos necessáros à moelagem o comportamento consttutvo e materas através e moelos termonamcamente amssíves. A le a normalae e convexae a regão amssível são scutas. Voltano-se à equação (3.34), assume-se que a força termonâmca A = sempre pertence à regão amssível. Dessa forma tem-se: aa uma força

130 3 termonâmca one se nca o processo e anfcação varável nterna α&, a esgualae: ( A ) é vála para qualquer valor e forças termonâmcas A P e uma taxa a A α& (3.39) A P. Observa-se que a equação (3.39), está e acoro com a forma local a esgualae e sspação escrta na equação (3.34) e satsfaz o postulao e establae e Drucer no espaço as forças termonâmcas. A esgualae (3.39) possu uma nterpretação geométrca que estabelece que o vetor ( A A ) pontos forma um ângulo aguo com α&, mplcano que toos os A evem estar e um os laos plano perpencular a α& no ponto A que toca a superfíce e ano. Assm, a superfíce e ano eve ser convexa, conforme lustrao na fgura 3. FIGURA 3 ONVEXIDADE DA SUPERFÍIE DE DANO: (a) SUPERFÍIE DE DANO ONVEXA (b) SUPERFÍIE DE DANO NÃO-ONVEXA FONTE: O autor (9) too Se a superfíce e ano for regular em A esteja em um os laos o plano perpencular a seja normal a superfíce e ano em e anfcação no ponto: A, uma manera e assegurar que α& no ponto A é que α& A e, portanto, paralelo ao graente a função ( A ) α& = λ f (3.4) A equação (3.4) escreve a Le a Normalae. O multplcaor e Langrange λ é um escalar com valor não negatvo. As restrções referentes a esse escalar são etermnaas pela conção e complementarae: ( A ) λ f ( A ) λ f = (3.4)

131 4 a últma conção a expressão (3.4) mplca que λ possu valor postvo apenas quano a função e anfcação é nula, sto é, quano ocorre anfcação. Por sua vez quano a função e anfcação assume valor negatvo, λ assume valor nulo, caso em que a o processo e anfcação não evolu. f ( A ( t) ) = Fnalmente, assumno que em um ao nstante e tempo t, a conção é satsfeta e, para qualquer nstante e tempo, as forças termonâmcas amssíves são tas que ( ) f, tem-se f A ( t) &. Se f & <, as forças termonâmcas movem-se em reção ao nteror a regão amssível, sto é, tem-se escarregamento elástco e λ =. Logo, o ano, para os quas λ >, ocorrem quano f & =. Poe-se resumr essa conção em: Quano f = entãoλ, f& eλ f& = (3.4) O formalsmo escrto até aqu apresenta, portanto, três aspectos funamentas, a escolha as varáves nternas, a escolha a forma a energa lvre e as equações que exprmem as les e evolução as varáves nternas. Atenos os três aspectos é possível que sejam formulaos moelos consttutvos fenomenológcos, termonamcamente consstentes e que refletem, através o conjunto e varáves nternas, os prncpas fenômenos físcos observaos na estrutura. 3.. MEÂNIA DO DANO As éas e representar o processo e anfcação em meos contínuos foram esenvolvas por ashanov & Rabotnov em 958. Entretanto, maores avanços na Mecânca o Dano para meos contínuos se eram somente nas écaas e 7 e 8 com bases teórcas mas rgorosas, seguno concetos termonâmcos. Dese então números moelos a Mecânca o ontínuo foram propostos a fm e moelar a resposta consttutva e versos tpos e materas. Este tem tem por objetvo apresentar essas éas para que, em conjunto com a teora termonâmca, o moelo consttutvo seja escrto.

132 Varável nterna e ano As granezas a Mecânca o ontínuo são efnas em um ponto. No entanto, o ponto e vsta geométrco, e levano-se em conta a heterogeneae e um materal, essas granezas precsam ser conseraas apenas como valores méos entro o que é chamao elemento e volume representatvo. Entene-se como representatvo um elemento com mensões sufcentemente granes para conserar a strbução e mcroefetos contínua e, ao mesmo tempo, um elemento sufcentemente pequeno para ser conserao como um ponto materal. omo conseqüênca, as tensões e eformações a Mecânca o ontínuo evem ser nterpretaas fscamente como granezas que atuam sobre esse elemento. De forma smlar, para efnr o ano em um ponto M, é conserao um elemento e volume representatvo orentao por um plano efno por sua normal α M, n r x em um ponto M n r e pela abscssa x na reção e n r. O valor e ano ( ) na reção n r com abscssa x é efno por: one, δ S D α ( M n x) X, r (3.43), = δ S δ S é a área e nterseção o plano conserao e o elemento e volume representatvo, e δ S DX é área e nterseção e toas as mcrofssuras e mcrocavaes em δ S. Neste trabalho, a varável e ano será enotaa como em vez o comum D. Isso fo feto a fm e enfatzar que essa é uma varável nterna e será utlzaa em conjunto com a aboragem anterormente escrta. Na fgura 4 são apresentaos o elemento e volume representatvo e as áreas e nteresse. α FIGURA 4 ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO FONTE: Nguyen (5)

133 6 A varável e ano assume valores no ntervalo α, seno que α = representa o materal ntegro e α = nca um estao e total eteroração. A falha o elemento e volume representatvo na reção n r é efna na área mas anfcaa: one r r δ S (3.44) D α ( M, n) = maxα ( M, n, x) = x δ S δ SD é a área e nterseção mas anfcaa. Uma vez que o ano no elemento e volume representatvo epene a reção n r, a natureza ansotrópca o ano está contemplaa nessa efnção e α passa a ter caráter tensoral. A teora e ano proporcona um meo e caracterzar a eteroração e um materal em um nível mcroscópco através e valores em um nível macroscópco. Se as mcrofssuras e mcrocavaes são unformemente strbuías no elemento e volume representatvo, é aequao assumr o ano e forma sotrópca, afnal a varável e ano α, nesse caso, não epene a reção n r. No presente trabalho o estuo será restrto a casos com varável e ano escalar, ou seja, caso sotrópco Deformação equvalente O conceto e tensão efetva é resultao reto a efnção e varável nterna e ano. onsere o caso e tração unaxal com uma varável e ano escalar. Devo ao processo e anfcação a área a seção transversal é reuza e se torna uma área efetva, S S D, na qual S é a seção transversal orgnal e S D é a área total e mcrofssuras. A tensão não mas poe ser representaa por: eveno ser substtuía pela tensão efetva: σ = F σ = = F S σ α ( S ) ( ) S D σ (3.45) (3.46) A tensão efetva é efna como a tensão calculaa utlzano-se a área a seção transversal que efetvamente resste às forças aplcaas.

134 7 A extensão esse conceto ao caso e tensões multaxas com uma varável escalar e ano não exge muanças uma vez que esse caso não epene a reção n r. Assm: σ (3.47) σ = ( ) α one σ e σ são o tensor e tensões e o tensor e tensões efetvas respectvamente. No escarregamento, quano a muança e tensões e tração para tensões e compressão, evo ao fenômeno e fechamento as mcrofssuras, a seção transversal efetva é maor que S S D. Em um caso partcular one toos os mcroefetos se fecham S = essa seção será gual a S e a tensão σ e a tensão D efetva σ serão guas. Esse comportamento unlateral tem sua mportânca urante smulação e materas fráges, porém não fo ntrouzo no presente trabalho. O prncípo e eformações equvalentes apresentao por Lematre (97) segue a efnção e tensão efetva e auxla a evtar análses mcromecâncas para caa tpo e efeto e caa tpo e mecansmo e ano. Esse prncípo poe ser enuncao a segunte forma: Qualquer equação consttutva empregaa a fm e se obter as eformações e um materal anfcao eve ser trataa a mesma forma como se aplcaa a um materal íntegro exceto que a tensão eve ser substtuía pela tensão efetva. A fgura 5 lustra o prncípo e eformações equvalentes. FIGURA 5 PRINÍPIO DAS DEFORMAÇÕES EQUIVALENTES FONTE: O autor (9)

135 8 Ana seguno Lematre (99), a aplcação a hpótese e eformações equvalentes resulta em um estao e junção entre ano e elastcae. Essa junção vem a observação o fenômeno físco one o processo e anfcação resulta em uma muança nas propreaes mecâncas e um materal. Na moelagem consttutva sso poe ser escrto para o caso unaxal através a segunte expressão: σ ( α ) Eε = (3.48) Essa expressão está e acoro com observações expermentas realzaas por Lematre (99), one o móulo e elastcae efetvo E epene o valor a varável e ano: E = ( α )E (3.49) Em formulações baseaas em eformações, o ano é caracterzao através a tensão efetva em conjunto com a hpótese e eformações equvalentes Tensão equvalente Um conceto ual à hpótese e eformações equvalentes é a formulação baseaa em tensões. A hpótese e tensão equvalente é proposta e o ano é apresentao através o conceto e eformação efetva, no qual o tensor e eformações efetvas para o caso e ano sotrópco é escrto por: ε = ( α )ε (3.5) A hpótese e tensão equvalente fo enuncaa por Smo & Ju (987) na segunte forma: a tensão assocaa a um estao e anfcação obto através a mposção e uma eformação é equvalente a tensão obta em um materal não anfcao através a mposção a eformação efetva. A fgura 6 lustra a hpótese e tensões equvalentes.

136 9 FIGURA 6 HIPÓTESE DAS TENSÕES EQUIVALENTES FONTE: O autor (9) 3.3. MODELO ONSTITUTIVO Nesta seção, será apresentao o moelo consttutvo para a smulação o processo e anfcação. A teora anterormente apresentaa será escrta através e concetos a análse convexa. A nova aboragem permtrá obter os mesmos resultaos e uma manera mas rgorosa, além e elmnar algumas restrções como, por exemplo, a necessae e utlzar apenas funções suaves. No níco a seção é efno um potencal termonâmco, em segua, as les e estao apresentaas anterormente, equações (3.9) e (3.33), são reescrtas utlzano outra formulação. Em segua o potencal termonâmco complementar a energa lvre e Helmotz é obto. Por fm, resultaos a análse convexa são apresentaos, o potencal e sspação e as les e evolução são etermnaos, completano o moelo. As emonstrações os resultaos a análse convexa encontram-se nos trabalhos e Rocafellar (97) e Lemaréchal & Hrart-Urruty (99) Potencal termonâmco e Les e estao omo mostrao anterormente o estao e um materal, sofreno um processo e anfcação sotérmco, poe ser completamente efno através o conhecmento o tensor e eformações ε e a varável nterna e ano α.

137 3 A prmera le a termonâmca estabelece uma função e estao, chamaa energa nterna. Em conções sotérmcas, essa função poe ser substtuía pela energa lvre e Helmholtz: ( ε ) ψ = ψ, (3.5) α Se a energa lvre e Helmholtz ψ for aotaa, poe-se efnr assm as les e estao: A ( ε ) σ = ε ψ, (3.5) α ( ε α ) = α ψ, (3.53) Alternatvamente, uma transformaa e Legenre-Fenchel poe ser efetuaa obteno-se a função ual ou conjugaa e ψ : ( σ, A ) One σ é tensor e tensões e auchy e Essas uas funções são relaconaas por: ψ = ψ (3.54) ( ε, A ) sup, [ σ ε + A α ψ ( ε α )] A são as forças termonâmcas. ψ = ε α, (3.55) Por hpótese, assume-se que a função energa lvre e Helmholtz ψ é estrtamente convexa e ferencável. Uma vez que ψ é estrtamente convexa, o potencal conjugao ser assm efnas: ψ é ferencável. Assm as varáves e estao ε e α poem α ( σ, A ) ( σ A ) ε = σ ψ (3.56) = (3.57) ψ A, Usano ana a hpótese e eformação equvalente e conserano a energa lvre e Helmholtz como: ψ ( ε α ) = ψ ( ε )( ), (3.58) α A varável e estao σ é efna como: ( ε )( ) σ = εψ (3.59) efnção essa corresponente a formulação e Lematre (97) se for entfcaa a tensão efetva como: σ ε ψ ( ε ) α = (3.6)

138 3 É mportante notar que a força termonâmca, assocaa à pera e rgez, tem a mesma mensão e energa: [ ψ ( ε )( α )] ψ ( ε ) = α = A (3.6) Potencal e sspação A le a normalae e a convexae a superfíce e ano foram apresentaas, anterormente, como conseqüêncas o prncípo a potênca máxma e Hll. Nesta seção, esses resultaos são obtos a partr a aplcação o teorema apresentao a segur. Teorema: Seja X um espaço reflexvo e Banach e seja função própra, convexa e fraca sem-contínua (l.s.c.). Daos one x g g é uma função conjugaa e g. ( x) x g ( x ) x X e g : X R uma x X, então: Na aplcação o teorema apresentao, assume-se que o espaço vetoral X correspone ao espaço as taxas a varável nterna e ano e o espaço correspone ao espaço as forças termonâmcas assocaas ao processo e anfcação. Defne-se a função suporte a regão convexa e forças termonâmcas amssíves P como: χ ( α& ) = { A α& / A P} = A α& sup (3.6) A * X one A é o ponto one o supremo é atngo. Nesse contexto, χ é a função e sspação. Essa função é a função conjugaa à função ncatrz a regão amssível P e possu as seguntes propreaes: convexa, postva homogênea, fraca sem-contínua (l.s.c.), não negatva e contém a orgem. Portanto o teorema apresentao no níco essa seção, tem-se: α & one a função ncatrz e P, ( α& ) InP A χ (3.63) In P, nca se um valor e A pertence a regão P. Para valores e A P, In =. P

139 3 A equação acma é uma generalzação a Le a Normalae, amtno o caso e funções e escoamento não suaves. A formulação apresentaa nessa seção permte escrever a Le a Normalae e uas formas equvalentes, conforme apresentao no quaro a segur: FORMULAÇÃO Tpo I Tpo II DESRIÇÃO χ - função convexa, postva homogênea, não negatva e conteno a orgem. A χ a& ( ) P - conjunto fechao, convexo e conteno a orgem. χ= In P - função ncatrz e P α& In P ( A ) QUADRO FORMULAÇÕES EQUIVALENTES DA LEI DE FLUXO FONTE: FREITAS (8) Seguno Han & Rey (999) conserações prátcas etermnam qual as formulações é mas apropraa para a resolução e um etermnao problema. A formulação o tpo II é comumente mas utlzaa e é a formulação aotaa no presente trabalho. Seguno essa formulação, one P representa a regão amssível, Ω o nteror essa regão e Ω sua frontera, entfcam-se três stuações stntas: a) P In ( A ) = { } A e, portanto, essa regão é nacessível; b) Ω In ( A ) = { } P A e, por essa razão, o nteror e P é P conheco como regão elástca; c) A Ω In ( A ) = { α /( A A ) α& A P} P & representano o, cone as normas externas a P em A Equação consttutva e ano em taxas Nessa seção, as relações consttutvas são enuncaas em termos e taxas temporas e tensão e eformação. A fm e obter as les e estao em taxas, as equações (3.56) e (3.57) são ervaas em relação ao tempo. omo resultao, obtém-se as seguntes expressões:

140 33 ε& ψ ( ) ( ) σ, A σ& σ, A A& σσ + σ A α ψ ( σ )& &, A A + ψ ( σ )σ & A A Aσ, A Introuzno o potencal j ( σ &, A& ): j = (3.64) = (3.65) ( A& σ&, ) = ψ ( σ, A ) σ& σ& + ψ ( σ A ) σ& A& + σσ σa, + ψ A A, ( σ A ) A& A& poe-se obter as les e estao em taxas: O potencal j (&, A& ) ( σ& A& ) ( σ& A& ) (3.66) ε& = & j, (3.67) σ α& = & j, (3.68) A σ é um funconal quarátco, estrtamente convexo, ferencável, coercvo e com mínmo em zero. Por efnção, o funconal complementar a esse potencal é também ferencável e possu a forma: j ( ε&, α& ) sup [ σ& ε& + A α& j ( σ&, A& )] = (3.69) σ, A Assm como as taxas e eformações e a varável nterna e ano estão relaconaas ao potencal ntrouzo na equação (3.66), as taxas e tensões e as forças termonâmcas poem ser obtas o potencal ( ε & ) A& ( ε& ) j &, α : σ& = ε & j, α& (3.7) ( ε& α ) = &, (3.7) α j & Para exprmr a relação consttutva em taxas é necessáro, ana, encontrar uma relação e consstênca que vnculará as taxas e forças termonâmcas com as taxas a varável nterna e ano. Essa relação e consstênca é apresentaa por: A& α& = (3.7) Faz-se necessáro, também, efnr a regão convexa as taxas as forças termonâmcas amssíves. omo em Fretas (8) e Hece (99) aota-se, para essa regão, o cone polar negatvo e In P ( A ) [ In ( )] P A, ou seja: P& = (3.73)

141 34 Salenta-se que P & é um cone convexo com vértce na orgem e efno por: e esquematzao na fgura 7. [ In ( A )] A& α & α& In ( A ) A& P P (3.74) FIGURA 7 ONE POLAR NEGATIVO DE In P ( A ) FONTE: O autor (9) Daos os vetores polar negatvo e In & ( ) P A A e A, o vetor ( A A ). Fazeno A& = lm t A A encontra-se na regão o cone = At + t e A At A t A = t =, obtém-se: Assm as taxas e forças termonâmcas amssíves encontram na regão o cone polar negatvo e In P ( A ). (3.75) A &, também se onserano que a regão as taxas as forças termonâmcas amssíves é o cone polar negatvo e In P ( A ) A& P&, então α& é tal que: a) α& In ( A ) P, é possível emonstrar que ao b) A & α & = se, e somente se, α& In ( ) P A& & É possível obter uma nterpretação físca para o fato e & In ( A& & ) analsano as seguntes stuações partculares: a) A Ω α,, nesse caso, não ocorre anfcação, pos a força termonâmca nesse nstante pertence ao nteror a regão P

142 35 amssível, α& = e qualquer taxa e força termonâmca é amssível; b) A Ω, nesse caso, one a força termonâmca pertence à superfíce a regão amssível, entfcam-se três stuações:. A& Ω{ P& }. Seno a taxa e forças termonâmcas pertencente ao nteror o cone polar negatvo e In P ( A ), o conjunto ( In & ) & possu somente o elemento nulo, nterpreta-se que não ocorre anfcação, sto é, α& = escarregamento elástco local;. A& Ω{ P& }. P A. Esse é o caso em que ocorre. Quano a taxa e forças termonâmcas pertence à superfíce o cone polar negatvo e In P ( A ) poe ocorrer anfcação ou ana um processo neutro. Nesse caso, P& ( A& ) α & In. A& P&. Quano a taxa as forças termonâmcas não pertence ao cone polar negatvo e In P ( A ) o conjunto In ( & ) & é vazo. P A Equação consttutva e ano em ncrementos fntos Processos evolutvos poem ser aproxmaos através a escrção o comportamento o materal em certos nstantes obtos em ntervalos e tempo seleconaos. O problema e evolução consste em avalar as varáves no fm o ntervalo e tempo a partr e seus valores no níco o ntervalo e os valores os ncrementos sofros pelas varáves ao longo o ntervalo. Dessa forma, o estao e um corpo no nstante t + t é obto a partr o estao o corpo em um nstante t : σ t + t = σ t + σ (3.76) α A t+ t = At + A (3.77) ε t + t = ε t + ε (3.78) t+ t = α t + α (3.79) As les e estao, aas pelas equações (3.56) e (3.57), são reescrtas na forma ncremental:

143 36 ( σ + σ, A + A ) ψ ( σ, A ) ε = ψ (3.8) σ A ( σ + σ, A + A ) ψ ( σ A ) α = ψ, (3.8) Introuzno o potencal j ( σ, A ) : σ A ( σ + σ, A + A ) σ ψ ( A ) ψ ( σ, A ) ψ ( σ A ) σ σ j (, A ) = ψ σ, A, A (3.8) É possível obter os ncrementos e eformação e os ncrementos a varável nterna relatva ao ano: ε = σ j ( σ, A ) (3.83) α = j ( σ, A ) (3.84) Aotano para potencal e sspação a função: E para o potencal conjugao: Obtêm-se as expressões: χ A ( α ) = ( A α ) A * * sup (3.85) ( A + A ) = In ( A + A ) P χ (3.86) ( A A ) χ ( α ) + (3.87) P ( A + A ) Salenta-se que o funconal j (, A ) α = In (3.88) σ é análogo ao funconal j (&, A& ) σ, seno que a ferença entre esses rese em os pontos. Prmeramente, enquanto j (&, A& ) σ é uma função quarátca as taxas temporas as tensões e as taxas temporas as forças termonâmcas relatvas ao ano, j ( σ, A ) é uma função convexa e ferencável epenente apenas e ψ ( σ, A ) formulação em taxas,. Além sso, na A & eve pertencer ao cone convexo as taxas amssíves e P &, enquanto no problema em ncrementos fntos as forças termonâmcas relatvas ao ano no fnal o passo regão P. A + A evem ser amssíves, sto é, contas na

144 37 O funconal j (, A ) conjugao resulta ferencável. A partr a relação: σ é estrtamente convexo, e forma que seu ( ε, α ) = sup [ σ ε j ( σ, A )] j σ A, (3.89) E as propreaes o funconal conjugao, é possível obter a relação consttutva nversa: ( ε, α ) ε j ( σ A ) σ ε j σ, (3.9) Relação entre função sspação e função escoamento Nessa seção a relação entre as funções e sspação e e escoamento é apresentaa, utlzano-se para sso o conceto e funções polares. A função gauge ou função e Mnows para um conjunto P é efna pela expressão a segur: g ( A ) = { µ > / A P} nf (3.9) P µ onforme poe se observar, essa função assume o menor valor postvo pelo qual um conjunto P poe ser multplcao, e forma que um elemento conjunto contnue a fazer parte o mesmo. A o Em conjuntos que contém a orgem, a função gauge assume valor para elementos na frontera o conjunto e valor menor que para elementos nternos. Dessa forma como a função e anfcação assume valor nulo para valores e forças termonâmcas na frontera a regão amssível e valor menor que zero para forças termonâmcas nternas à regão amssível, é possível efnr a regão amssível como: Na equação (3.9), a função { A / g ( A ) } P = (3.9) P g P a partr a qual a regão amssível fo efna é enomnaa, por alguns autores, função e ano canônca. A função g P também poe ser efna a segunte forma: g P { } ( A ) = µ > / A α& µχ( α& ) nf (3.93) Nessa equação χ representa a função e sspação, sto é, a função suporte a regão amssível P.

145 38 Assumno que ( ) = χ &, se e somente se, α& =, então a função gauge e α a função e sspação poem ser relaconaas pela expressão: g P ( A ) = sup A omχ A χ α& ( α& ) (3.94) A função (3.94) estabelece que as funções gauge e a função e anfcação são funções conjugaas polares. O Lema apresentao a segur permtrá obter a Le a normalae a partr as efnções apresentaas. Lema: Seja g uma função convexa não-negatva, com g ( = ) e seja A um ponto no nteror o omíno e g, tal que g ( A) >. Seja P { X g( X ) g( A) } α& N P, se e somente se, exstr Então ( A) λ, tal que λ g( A) α&. = /. Para funções ferencáves, obtém-se a forma clássca a Le a Normalae a partr o lema apresentao, sto é: ( A ) α& = λ g (3.95) Da efnção e subferencal, etermna-se o multplcaor λ. Fazeno X = e epos X= A, na equação: ( X ) λg( A ) α.( X A ) λ g & (3.96) E usano a propreaes e g, obtém-se a relação: ( & ) λ = χ (3.97) α Para uma função e anfcação f escrta sob uma forma qualquer, os vetores normas externos a P, em um ponto A a superfíce e ano, também são proporconas ao vetor graente a função f nesse ponto, e forma que: A ( A ) α& = λ f (3.98) A conção e que somente pontos a superfíce e ano poem apresentar anfcação efetva, sto é λ, é conensaa na conção e complementarae: ( A ) λ f ( A ) λ f = (3.99) om o auxílo a conção e consstênca apresentaa na equação (3.7) e a efnção e cone polar negatvo, a regão as taxas e forças termonâmcas amssíves poe ser efna por: { A& / λ f ( A ) A&, } P& = λ (3.) A

146 39 A relação e consstênca e a regão efna na equação (3.) permtem estabelecer a relações a segur: se f ( A ) =, então f& ( A ) λ f& ( A ) = λ (3.) one f& A ( A ) A& = f (3.) aso a função e anfcação não seja ferencável, poe-se amtr que a regão P é efna pela nserção e um número fnto e regões convexas, entfcaas por funções f j, sufcentemente regulares, chamaas moos e anfcação. onvencona-se que f é o vetor cujo componente j é o valor a função f j no ponto. Além sso, caa moo e anfcação possu um multplcaor assocao, ou seja, λ também é um vetor.

147 4 4. UM MODELO DE DANO SEGUNDO ENFOQUE TERMODINÂMIO No presente capítulo o moelo e ano esenvolvo por Tao & Phllps (5) é formulao seguno enfoque termonâmco. Para a energa lvre, aota-se a segunte função: ( ) ( ) ε ε α α ε ψ = D I, (4.) one D I é a matrz elástca apresentaa na equação (4.) em termos o móulo e elastcae E e o coefcente e Posson ν. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν E E E E E E E E E E E E D I (4.) Na equação a segur, a matrz elástca é apresentaa para o caso e estao plano e eformações: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = ν ν ν ν ν ν ν ν ν E D I (4.3) O potencal termonâmco complementar possu a segunte forma: ( ) ( ) > + = A A se A A ID A A se ID A, σ σ σ σ σ ψ (4.4) one A é a força termonâmca a partr a qual se nca o processo e anfcação calculaa através a expressão (4.5), e são constantes o moelo responsáves pela mofcação a regão amssível.

148 4 A = IDε ε (4.5) Na expressão (4.5) ε correspone a eformação a partr a qual os processos não-lneares, como a anfcação, ocorrem. Esse parâmetro é obto através e ensaos e tração unaxal, como poe ser vsto na fgura 8. FIGURA 8 ENSAIO DE TRAÇÃO UNIAXIAL: DEFINIÇÃO DE ε FONTE: Guello () A força termonâmca relatva ao ano, por sua vez, se confune com a energa lvre, como poe ser observao na fgura 9. Essa força termonâmca poe ser nterpretaa como a energa lvre o sstema se esse fosse perfetamente elástco: A = ψ ( ε, α ) = IDε ε (4.6) α FIGURA 9 OMPARAÇÃO ENTRE A ENERGIA LIVRE E A FORÇA TERMODINÂMIA FONTE: O autor (9)

149 4 A regão as forças termonâmcas amssíves poe ser efna e forma smlar a La Borere et al. (99): { A A } P = Z (4.7) Seguno Tao & Phllps (5), conforme o processo e anfcação ocorre, a superfíce ncal e anfcação se altera em função o parâmetro e enurecmento/amolecmento Z. Esse parâmetro poe ser efno matematcamente e ferentes formas, através e polnômos, potencas, funções exponencas, etc. Seguno os autores ana, potencas e funções exponencas representam e manera mas acuraa as curvas e carregamento e materas cmentícos. Assm, Tao & Phllps (5) efnem o parâmetro Z como: Z = α α (4.8) one e são uas constantes a serem calbraas através e ensaos unaxas e tração e compressão. Os efetos a varação essas constantes sobre o parâmetro Z poem ser observaos na fgura. FIGURA EFEITO DE E EM Z FONTE: Tao & Phllps (5)

150 43 Especfcamente, é responsável pela magntue a regão amssível e, por sua vez, é responsável pela superfíce essa regão, nfluencano a característca e enurecmento/amolecmento o materal a ser smulao, como poe ser vsto na fgura. A escolha apropraa e e conuzrá a um parâmetro Z mas aequao aos ferentes tpos e cmentos e suas resstêncas a esforços e tração e compressão. FIGURA SIGNIFIADO FÍSIO DE E FONTE: O autor (9) Por efnção, a função sspação é o suporte a regão amssível P, seno etermnaa por: χ ( α& ) = { A α& } sup (4.9) A P Assm a função e sspação assume a forma: χ ( α ) IDε ε α&, se α& > & = (4.), se α& O potencal termonâmco complementar é então obto a partr e: P ( A ) χ = In (4.)

151 44 5. IMPLEMENTAÇÃO OMPUTAIONAL E ALGORITMOS Este capítulo tem por objetvo escrever a estrutura o programa esenvolvo, etalhar o elemento e nterface mplementao, além e apresentar os métoos numércos e algortmos para resolver o problema e ano. O procemento e solução combna um métoo Quase-Newton para a resolução o equlíbro global e um algortmo e programação matemátca (Newton- Raphson) para a resolução a equação consttutva. A scretzação espacal é obta aplcano-se o métoo os elementos fntos e a scretzação temporal fo ntrouza nepenentemente a espacal. 5.. PROGRAMA DESENVOLVIDO om o ntuto e smular a pera e rgez em nterfaces fo esenvolvo um programa numérco computaconal. Esse programa fo mplementao em lnguagem FORTRAN 9, utlzano o software ompaq Vsual Fortran, opyrght, ompaq omputer orporaton, baseano-se no programa esenvolvo por Fretas (8) e com o auxílo e éas contas no Sstema e Desenvolvmento e Programas no Métoo os Elementos Fntos (SDP) escrto por Fejóo & Gouvea (985). O cógo está estruturao em móulos, algumas sub-rotnas o programa e Fretas (8) foram utlzaas a fm e possbltar não só a smulação o processo e anfcação, mas que também fosse capaz e realzar smulações e problemas elasto-ealmente-plástcos, com um crtéro e escoamento e Drucer-Prager, e smulações e problemas elastoplástcos, com um crtéro e escoamento efno a partr e um moelo cap. O programa aceta como conções e contorno a mposção e cargas strbuías, cargas concentraas e eslocamentos prescrtos em etermnaos nós a malha e elementos fntos. onsera-se que os materas em análse são sotrópcos, não haveno restrção quanto ao número e materas que poem compor a estrutura analsaa. No programa esenvolvo para este estuo, o móulo enomnao ODE contém o programa prncpal o qual realza as chamaas os móulos PREP,

152 45 responsável pela entraa e aos, e PRO, móulo que realza a montagem e resolução o problema e equlíbro para caa ncremento e carga. Esses processos são realzaos através a chamaa e sub-rotnas contas nesses os móulos. Para caa ncremento e carga, a sub-rotna SOLVE resolve um problema e equlíbro global, no qual são balanceaas as forças externas e as forças nternas, calculaas ponto a ponto, seguno a scretzação espacal o Métoo os Elementos Fntos. A sub-rotna FORMF é responsável pela montagem a equação e equlíbro. Essa por sua vez chama a sub-rotna ELEM responsável pela etermnação as forças nternas (tensões) a partr a resolução a equação consttutva, em caa ponto e Gauss, a scretzação temporal fo ntrouza nepenentemente a espacal. As rotnas e ntegração numérca estão contas no móulo INTEGRA. A fgura lustra a estrutura o programa esenvolvo. FIGURA ESTRUTURA DO PROGRAMA DESENVOLVIDO FONTE: O autor (9) Incalmente, o programa fo esenvolvo para resolver problemas e estao plano e tensões, e eformações e e sólos axssmétrcos, a extensão para análses trmensonas poerá ser realzaa com a mplementação e elementos aequaos.

153 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS A solução e um problema elástco plano é uma função que escreve os eslocamentos os pontos o omíno. Essa função pertence a um espaço e mensão nfnta, poeno ser obta a partr a combnação lnear as nfntas funções que formam a base o espaço vetoral que faz parte. O métoo e Galern propõe construr uma solução aproxmaa para o problema, tomano um número fnto e funções que formam a base o espaço ao qual pertence a solução exata. Assm, a solução aproxmaa é formaa a partr a combnação lnear e um número fnto e termos. omo Oen (98) estacou, o métoo e Galern torna-se uma ferramenta útl a partr o momento em que se spõe e uma técnca sstemátca para a construção as funções que formam a base o espaço vetoral, enomnaas funções base. O Métoo os Elementos Fntos é uma técnca que permte etermnar as funções que formam a base o espaço vetoral aproxmao. Seguno esse métoo, as funções base são construías a partr e funções efnas em caa um os elementos (subomínos) no qual o omíno fo vo. As funções efnas em caa elemento são enomnaas funções e forma. É possível efnr um elemento máster com um sstema e coorenaas local com base no qual as funções e forma são efnas. A segur, toos os cálculos o métoo são efetuaos sobre esse elemento máster que se relacona com os elementos a malha a partr e uma transformação (muança e coorenaas). Por fm, as contrbuções e caa elemento a malha são somaas com o ntuto e se obter a solução aproxmaa o problema. O problema e ano elástco poe ser efno para um elemento a malha Ω e, pela segunte equação: Ωe T T T ( B ) ( σ σ ) Ω = ( N ) ( b + b) Ω + ( N ) ( t + t) Γ + Ωe Γq (5.) Na equação (5.), σ está relaconao com ( B U α ) Uˆ pela relação consttutva: σ = ε j ˆ, (5.) O vetor local e ncrementos e eslocamentos é formao a partr a combnação lnear as funções e forma o elemento, ou seja:

154 47 U T [ ] Uˆ ( x, y) ( x y) = N ( x, y), T ( U ˆ ) = [ U U U U... U U ] x y x y T Ψ Ψ Ψ... n ( N ) = U ( x, y) Ψ U = U x y Ψ Ψ + U + U Ψ x y Ψ Ψ U U xn xn yn Ψ n Ψ n Ψn yn (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) Nas equações (5.3) a (5.6), Ψ representa as funções e forma, representa a matrz conteno as funções e forma, N Uˆ representa o vetor conteno as componentes x e y os eslocamentos noas e n representa o número e nós o elemento. aa por: one: aa por: A matrz B para campos e eslocamentos aproxmaos e eformação é L U = L T ( N ) Uˆ = B Uˆ x L = y y x (5.7) (5.8) Fnalmente, a equação e equlíbro, forneca pelo ferencal e Π( u) é R One os termos ( U ) = ( F + F ) ( + ) F nt, Fnt, contrbuções e toos os elementos: F nt nt F ext F ext (5.9) nt F ext e Fext = ( B ) σ Ω Ωe T são obtos a partr a soma as (5.) F nt = Ωe T ( B ) σ Ω (5.) F ext T T ( N ) bω + ( N ) tγ = Ωe Γe (5.)

155 48 F ext = Ωe T T ( N ) bω + ( N ) tγ Γe (5.3) 5.. Elemento e nterface O elemento aqu escrto fo ncalmente utlzao em problemas a mecânca os solos, one são comuns aproxmações bmensonas com o emprego as hpóteses smplfcaoras o estao plano e eformações. omo os problemas axssmétrcos são smlares aos problemas e estao plano e eformações em coorenaas clínrcas, o esenvolvmento utlzao por Desa et al. (984) poe ser seguo sem maores problemas. Os autores partram essas hpóteses para chegar ao elemento e nterface passano por um estao e transção. Esse estao e transção é caracterzao pela mofcação o componente o estao plano e eformações. Essa alteração aveo e análses numércas realzaas. Após esta prmera mofcação, Desa e seus colaboraores, resolveram alguns problemas numércos utlzano elementos soparamétrcos. Ao fm esse processo efnram as propreaes o elemento e nterface propramente to. A esse estao e transção tem-se assocao um elemento e transção, assm enomnao o elemento que contém característcas o estao plano e eformações e a própra nterface. Para a análse o elemento e nterface faz-se necessára a avalação o comportamento o elemento em função a nfluênca e sua espessura. Essa avalação é realzaa por nterméo e um elemento soparamétrco e quatro nós IQ 4, poeno ser estena para o elemento com ses nós, empregao nesse trabalho para smular a regão e nterface. A geometra o IQ 4 é regular, sua altura tem mensão h, comprmento b e sua matrz e rgez fo calculaa e ntegraa para uma mensão untára na reção X 3, essa matrz e rgez poe ser escrta como:

156 49 = IQ (5.4) one: ( ) 3 b h bh + = ( ) 3 b h bh + = ( ) = ( ) 4 4 = ( ) 5 6 b h bh = ( ) 6 6 b h bh = (5.5) ( ) 7 6 b h bh = ( ) 8 6 b h bh = e: = (5.6) Na equação (5.6), a matrz representa a matrz consttutva o estao plano e eformações e um elemento conto no plano X OX. Se for conserao que o comprmento b é muto menor que sua altura h, como poe ser observao na fgura 3, as equações anterores poem ser aproxmaas como: 3 b h = 3 b h =

157 = ( ) = ( ) h = 3b h = 3b = = 4 4 6= = 6bh h 8= = 6b (5.7) Observa-se que o termo está ausente na equação (5.7). Também se poe notar que a matrz e rgez poe ser escrta apenas em função os termos a 4, one os coefcentes e são epenentes, e 3 e 4 nepenentes a relação b h. FIGURA 3 ESBOÇO DO ELEMENTO DE INTERFAE FONTE: O autor (9) A partr a constatação que o termo contrbu muto pouco quano o comprmento o elemento tene a um valor muto baxo e o efeto a latânca está presente é que Sharma & Desa (99) propuseram que as propreaes a regão sejam representaas por: One I = e (5.8) I e é a matrz consttutva elástca a nterface, é a componente normal, é a componente csalhante e a componente acoplaa os os efetos (normal e csalhante). Porém, e acoro com os própros autores, os efetos

158 5 acoplaos são fíces e serem etermnaos por nterméo e testes, por sso neste trabalho, assm como em Lázaro (4), foram neglgencaos. omo essa regão e nterface é fortemente nfluencaa pela presença os materas que estão em contato e seno suas propreaes corretas fíces e serem precsamente etermnaas, Sharma e Desa (99) propõem que a componente normal a regão e nterface seja uma função lnear as propreaes os materas envolvos e a própra nterface, mutas vezes conseraa com propreaes êntcas as e um os os materas envolvos. Dessa forma, a componente normal poe ser escrta como uma combnação lnear as propreaes normas a nterface ou seja: I e os materas envolvos I a b ϑ + ϑ+ ϑ3 a e = (5.9) b, one os termos ϑ são pesos atrbuíos a caa componente envolvo na estrutura. A componente csalhante, seguno Sharma e Desa (99), poe ser obta por ensaos e csalhamento reto. Sharma & Desa (99) apresentam os parâmetros amensonas que evem ser satsfetos concomtantemente para que o elemento e nterface comporte-se e acoro com as aproxmações e conserações fetas. Esses parâmetros foram retraos a partr a análse e város conjuntos e smulações numércas e ensaos laboratoras e são utlzaos como orentação para o emprego os elementos e nterface. Um os parâmetros é ao por: One h ( EN GN ) 4 ϕ = (5.) b ( ) E N e G N são, respectvamente, o móulo longtunal e o móulo csalhante os materas envolvos. Uma aaptação é proposta para se etermnar esses valores, posto que, exstem materas com móulos ferentes em contato com a nterface. Essa aaptação consste em empregar uma méa artmétca para se encontrar os respectvos valores e partr e: E N e G N Dessa forma eles poem ser obtos a

159 5 E N = E a + E b (5.) G N G = a + G b (5.) one E e G corresponem aos móulos os materas que estão retamente em contato com a regão e nterface. O outro parâmetro a ser respetao, também obto por Sharma & Desa (99) através as análses numércas e testes laboratoras, correspone à relação entre a altura e o comprmento o elemento e nterface ao por: b h, (5.3) Uma grane vantagem esse elemento funamenta-se no esembaraço o emprego e sua formulação, posto que tanto a formulação o contínuo quanto o elemento e nterface são realzaas através e elementos quarlateras planos. Dessa forma, torna-se fácl a mplementação esse elemento em um programa computaconal ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE EQUILÍBRIO Esta seção escreve os procementos aotaos para a solução o problema e equlíbro. A forma varaconal cnemátca o problema e equlíbro consste em encontrar ncrementos e eslocamentos cnematcamente amssíves tas que a Equação (5.4) seja satsfeta: consttutva: Na equação (5.4), ( u ) = L ( u ), u U σ + σ, B (5.4) t+ t σ está relaconao com ( B( u) α ) u através a equação σ = ε j, (5.5) om o uso a propreae e convexae e ( ε, ) j α segunte prncípo e mínmo equvalente à forma varaconal apresentaa: ( B( u), ) L ( u) + σ B( u), chegou-se ao nf j α u U t+ t, (5.6) Reconhece-se no prncípo e mínmo apresentao, um problema e otmzação. Nesse tpo e problema, pretene-se mnmzar uma função objetvo

160 53 f ( x), one n x R. Os algortmos e otmzação que permtem resolver o problema escrto geram, a partr e um ponto ncal x, uma seqüênca e terações { x } = que termna quano não se poe fazer mas progresso ou quano se obteve um ponto sufcentemente próxmo a solução (Noceal & Wrght, 999). Para gerar o próxmo ponto a seqüênca e terações a partr e um ponto x, os algortmos utlzam nformações a respeto a função f em x e, possvelmente, nformações as terações anterores x, x,..., x. Essas nformações são utlzaas para encontrar um ponto x +, no qual o valor a função f seja menor o que o valor e f em x. Alguns métoos escolhem uma reção e procuram ao longo essa reção um novo ponto x +, no qual o valor e f seja menor o que o valor e f em x. A teração é aa por: x = x + p + (5.7) O sucesso o métoo epene e escolhas efcentes a reção e o tamanho o passo p. A maora os métoos requer que seja uma reção escenente, já que essa propreae garante que o valor a função f mnua ao longo essa reção. Assm, a reção costuma ter a forma apresentaa a segunte forma: = G f (5.8) Newton, Na Equação (5.8), G é o Hessano f ( ) G é uma matrz smétrca não-sngular. No métoo e. Nos métoos e Quase-Newton, aproxmação o Hessano atualzaa a caa teração. x G é uma Fazeno G = H, obtém-se: x = H f (5.9) + = x p H f (5.3) Para o problema e equlíbro em análse, a função objetvo f é aa por: ( B( u), ) L ( u) + σ B( u) f = j α t+ t, (5.3)

161 54 No presente trabalho, a função objetvo será mnmzaa utlzano um Métoo e Quase-Newton. A aplcação esse métoo exge que se etermne Assm como nos trabalhos e Fretas (8) e Hece (99) o funconal a ser mnmzao é apenas uma vez ferencável e a anulação e seu ferencal fornece a equação e equlíbro. Por efnção, um funconal em u U, se exste um operaor Df efno por: Se U R n Df, tem-se: ( u)( v) Df = [ f ( u + θv) f ( u) ] f f : U R é to ferencável lm θ (5.3) θ n f u ( u)( v) = v = f v = (5.33) Seno a ervaa e uma soma gual à soma as ervaas e aplcano as efnções apresentaas em (5.3) e (5.33) a caa uma as parcelas o seguno membro a equação (5.3), tem-se: D DL t+ t ( B( u) α )( B( v) ) = j B( v) = j D( v) Γ, ε ε Γ Dj. ( u)( v) ( B( u) )( v) = lm σ θ θ ( v) = B( v) = j, B σ, ε [ L ( u + θ v) L ( u) ] t+ t θ t+ t [ σ, B( u + θ v) σ, B( u) ] = L t+ t, = lm = σ, B θ ( v) ( v) (5.34) (5.35) (5.36) Dessa forma, a anulação o ferencal o funconal a ser mnmzao fornece a equação e equlíbro: ( v) + σ, B( v) σ, B = (5.37) R L t+ t ( v) L ( ) = t+ t t+ t v σ, B = (5.38) ( v) = L ( v) σ B (5.39) t+ t, t+ t A função R, aa pela ferença entre as forças nternas e as forças externas, é enomnaa resíuo e correspone ao ferencal o funconal que se pretene mnmzar. Assm, para o problema em análse a equação (5.3) assume a forma: ( U ) U + = U H R (5.4)

162 55 Nesse trabalho, a atualzação e H fo realzaa a partr o métoo BFGS. A teora envolva na ervação o métoo poe ser encontraa em Noceal & Wrght (999). A fórmula e atualzação e segunte forma: one ( H. y ) ( H. y ) H proposta pelo métoo é escrta a s s H + = H + + ( y. H. y ) ϖ ϖ (5.4) s. y y. H. y y ( U ) R( U ) = R + (5.4) s s ϖ = s. y = U + U (5.43) H. y y. H. y (5.44) A aoção e uma aproxmação a matrz nversa o Hessano possu uma vantagem, além o fato e não ser necessáro etermnar as ervaas segunas a função objetvo. Sabe-se que o Hessano eve ser uma matrz postvo-efna. Seguno Press et al (99), em geral, longe o mínmo, não há garanta e que o Hessano seja postvo efno, e forma que ncrementos e eslocamento na reção calculaa pelo Métoo e Newton utlzano o Hessano poem levar a pontos one o valor a função está aumentano. A estratéga o métoo e Quase- Newton consste em aotar uma matrz smétrca, postvo-efna como aproxmação ncal o Hessano e construr as emas aproxmações H e forma que essa matrz permaneça smétrca e postvo-efna. Longe o mínmo, esse procemento assegura que os ncrementos e eslocamento ocorram ao longo a reção e ecréscmo a função objetvo. Próxmo ao mínmo, a fórmula e atualzação e o Métoo e Newton. H aproxma-se o Hessano, obteno-se a convergênca quarátca Ana seguno Press et al. (99), quano não se está sufcentemente próxmo o mínmo, acrescentar ao eslocamento ncal too o ncremento calculao, H f, poe não levar a um ecrescmento a função objetvo, mesmo que a aproxmação o Hessano seja uma matrz postvo-efna. O únco aspecto que se poe garantr é que ncalmente a função objetvo ecresce na reção o ncremento calculao. No entanto, após um ecréscmo ncal, a função poe passar a crescer. Por essa razão, aotam-se métoos e cálculo e passo como, por

163 56 exemplo, o métoo secante para calcular o tamanho o passo a ser ao na reção etermnaa. Descrções o Métoo Secante poem ser encontraas em Press et al. (99) e Aay (994). Nos quaros e 3, são apresentaos os algortmos utlzaos para resolver o problema e equlíbro. Esses algortmos poem ser encontraos em Fretas (8) e Press et al. (99). Determnar U Determnar H (em geral, Determnar f = R( ) U Determnar = R( ) U H = I ) Fazer para =, ITMAX (número máxmo e terações amto) Determnar p, tal que [ R( U + p )] TOL{ [ R( U )]} TOL é um valor e tolerânca. Fazer Fazer + s U = U + p = U + alcular R ( U ) TEST =. TEMP =. + U Fazer TEST = ( U ). R( ) U Fazer TEMP ( U ) R( U ) Se = +. + TEMP GTOLTEST Fazer y R( U ) R( U ) = +, fnalzar a rotna, crtéro e convergênca satsfeto Fazer hy = H. y Fazer Fazer Fazer Fazer fac = y. s fae = y. hy sumy = y. y sums = s. s

164 57 Se fac menor que EPS. sumy. sums, fazer fac=. fac fa =. fae Fm y = fac. s fa. hy + = fac. s. s fa. hy. hy + H fae. y. y Fazer H R( U ) + = +. + Fm QUADRO ALGORITMO DO MÉTODO QUASE-NEWTON OM EQUAÇÃO DE ATUALIZAÇÃO BFGS FONTE: FREITAS (8) Fazer p = Fazer p = Fazer p = Fazer MAXIT = número máxmo e terações permto Fazer TOLX= tolerânca Fazer = R( ) Fazer TOL= U Fazer + U = U + alcular R ( U ) + p Fazer R( U ) = + Se <, fazer p = p L = p p SWAP= = = SWAP

165 58 Se não p L = p = p p Fm Fazer j =, MAXIT δ p = p L= p ( pl p ) ( ) = p = p + δp + U = U + p alcular R ( U ) + ( U ) =. R + Se δp< TOLX ou < TOL fnalzar a rotna, crtéro e convergênca Fm satsfeto. QUADRO 3 MÉTODO SEANTE UTILIZADO PARA DETERMINAR O TAMANHO DO PASSO p FONTE: FREITAS (8) 5.4. ALGORITMO PARA A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ONSTITUTIVA Nessa seção, é apresentao o algortmo que poe ser utlzao para resolver a equação consttutva o processo e anfcação. Por meo a equação consttutva, α está relaconao com one: σ e A, conforme: A ( σ A ) α = j, (5.45) ( σ + σ, A + A ) σ ψ ( A ) ψ ( σ, A ) ψ ( σ A ) σ σ j (, A ) = ψ σ, A, A (5.46)

166 59 onforme se poe observar nas equações (5.45) e (5.46), pretene-se encontrar os ncrementos a varável nterna, ncrementos e tensões e forças termonâmcas (, A ) α, relaconaos com os σ. A conção necessára e sufcente para que o vetor problema proposta nas equações (5.45) e (5.46) é: ( ) In ( A + A ) α seja solução o α P (5.47) Uma vez que a regão P as forças termonâmcas é efna através e uma únca função e anfcação, o problema e programação matemátca obto é resolvo e forma smples. Seno conheco o estao atual e forças termonâmcas amssíves não ocorre a anfcação e: Logo: A e ao um ncremento f A ε, se: ID ε ε, α (5.48) + λ = (5.49) ( α ) ε σ = ID (5.5) α = (5.5) A stuação em que ocorre a anfcação, entfcaa através e: f A ID ε ε, α > (5.5) + reca em um problema e encontrar a menor raz postva a equação: ( λ) = f (5.53) O métoo e Newton-Raphson poe ser utlzao para resolver o problema. No quaro 4, apresenta-se o algortmo empregao na solução e problemas envolveno materas que poem sofrem o processo e anfcação e crtéro e escoamento efno por uma únca função. alcular At + t = A + ID ε ε alcular f ( A t + t, α ) alcular f ( A, α ) A t+ t

167 6 Se f A + ID ε ε, α > Fm Fm =, λ = f ( λ ) Enquanto f ( λ ) Fm λ + = λ = + > e f f alcular α ( λ ) alcular f ( λ ) alcular f ( λ ) ( λ ) ( λ ) QUADRO 4 ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON PARA PROBLEMAS ENVOLVENDO MATERIAIS OM RITÉRIO DE DANIFIAÇÃO FONTE: O autor (9) 5.3. Aplcação o algortmo e Newton Raphson para o moelo e ano Nesta seção o moelo e ano é escrto e forma a ser mplementao no algortmo e Newton-Raphson. Uma vez estabeleco o ncremento amssível é representaa por: f ( ) ε a regão α + λ λ = A + ID ε ε A (5.54) ( α + λ) A varável nterna e ano poerá ser obta através a equação: α = A ( A + A ) λ f (5.55) Note que como a varável e ano possu natureza escalar sua evolução se ará seguno a reção a reta que elmta seu omíno, assm: A ( A + A ) = f (5.56)

168 6 Logo: α = λ (5.57) ( α ) = α + λ (5.58) t+ t As equações (5.54), (5.56), e (5.58) são aplcaas retamente no algortmo utlzao neste trabalho, para smular o processo e anfcação com crtéro e anfcação efno por uma únca função.

169 6 6. EXEMPLOS Exstem versos problemas em engenhara que, apesar e sua natureza físca e geométrca ferentes, recaem em problemas matemátcos semelhantes urante sua resolução. Pretene-se, neste capítulo, exemplfcar a teora proposta anterormente através e aplcações. Além a moelagem matemátca, o ntuto é também exemplfcar o procemento necessáro quano a resolução e problemas prátcos. Incalmente são apresentaas uas aplcações a moelos unmensonas. Entene-se por moelos unmensonas aqueles nos quas o omíno elástco no espaço as tensões é unmensonal, sto é, o valor e apenas uma as componentes e tensões não é nulo, contnuano assm em too o processo. O objetvo essas aplcações é explcar e manera smples o procemento proposto. A segur são apresentaos os resultaos e uas smulações e tensões e eformações em moelos bmensonas realzaas utlzano o programa esenvolvo no presente trabalho. A prmera smulação objetvou reprouzr um ensao e tração realzao em um cmento oontológco. A seguna smulação teve por objetvo reprouzr ensao realzao em um sco e entna após ter so tratao enoontcamente. Nessas smulações os efetos térmcos foram esprezaos, a hpótese e pequenas eformações fo aotaa e amtu-se que a eformação resultante e uma hstóra e tensões não epene a velocae com que o programa e carga se realza. 6.. EXEMPLO Este exemplo apresenta uma barra, composta e um materal elástco com a possblae e sofrer o processo e anfcação, sujeta a um carregamento axal. Além e mostrar a moelagem o materal, o ntuto é exemplfcar o procemento necessáro quano a solução e problemas prátcos. Também procura-se esclarecer alguns pontos como a escolha o potencal termonâmco, os parâmetros e ano, a representação a regão P as forças termonâmcas amssíves.

170 63 A fgura 4 mostra a curva tensão-eformação para esse moelo evo a um programa e carga -- e a regão P. FIGURA 4 PROGRAMA DE ARGA E REGIÃO ADMISSÍVEL FONTE: O autor (9) Para a energa lvre propõe-se a segunte função quarátca: ψ = E (5.) ( ε, α ) ( α ) ε One E é o móulo e elastcae, α é a varável nterna relatva ao ano e ε é a eformação total. O potencal termonâmco complementar tem a forma: σ se A < A ψ ( σ, ) A = E (5.) + ( ) A A σ se A > A E one σ é a tensão, A é a força termonâmca relatva ao ano, A é a força termonâmca one se nca o processo e anfcação. A segur efne-se a função e anfcação: f ( A ) = A A α α (5.3) Dessa forma a regão P, as forças termonamcamente amssíves, será: P α = A A A α (5.4)

171 64 escrta como: one A le a normalae, representaa pela expressão (3.4), poe então ser ( A ) λ α & = λ f = (5.5) A α& é a taxa e varação a varável nterna relatva ao ano, f ( A ) representa o graente a função e anfcação e λ é o multplcaor e Lagrange assocao à função e anfcação. Note-se que o multplcaor é epenente o processo e não o materal. omo α é proporconal a normal externa a f no ponto A, tem-se: λ (5.6) A conção e consstênca, apresentaa na equação (3.7), partcularzaa para essa stuação é escrta como: termonâmcas α & A & = λ A& = (5.7) Dessa relação serão efnas as taxas e evolução as forças A e forma consstente. Para esse caso, a varável nterna relatva ao ano α resulta netermnaa, pos, para uma mesma varação as forças termonâmcas, númeras taxas e varação a varável nterna relatva ao ano atenem a conção e consstênca. A fgura 5 lustra algumas essas possblaes. A FIGURA 5 POSSIBILIDADES QUE ATENDEM A ONDIÇÃO DE ONSISTÊNIA FONTE: O autor (9)

172 EXEMPLO Esse exemplo apresenta cnco barras, compostas e um materal elástco com a possblae e sofrer o processo e anfcação, que estão sujetas a um carregamento axal. Reca-se na solução o segunte problema: resolver um sstema composto por equações (equlíbro, complementarae lnear entre a função e anfcação e parâmetros e ano) e nequações (amssblae, postvae os parâmetros e ano, ncano que as taxas esses parâmetros concem com a normal externa à regão as forças termonâmcas amssíves). omo será mostrao a segur, a resolução e tas sstemas e equações e nequações é equvalente a encontrar a solução e um problema e programação matemátca não lnear ou otmzação não lnear (encontrar extremos e uma função ou funconal cujas varáves estão restrtas a certo omíno). Estas equações e nequações consttuem-se nas conções e otmalae ou e uhn-tucer e tal problema e maxmzação ou mnmzação. nco barras, como na fgura 6 estão conectaas na extremae B por um bloco rígo e sujetas a uma carga axal seguno um programa e cargas que está esquematzao na fgura 7. FIGURA 6 ESTRUTURA PROPOSTA FONTE: O autor (9) Suponha que as barras têm comprmento L= mm, que as áreas as seções transversas ( A, A, A 3, A 4 e A 5 ) são guas a mm, que são compostas e materas com móulo e elastcae ( E, E, E 3, E 4 e E 5 ) guas a MPa, e a eformação one se nca a anfcação o materal, ε, para as barras,, 4 e 5 é gual a,5 mm, e para a barra 3, ε 3 é gual a, mm. Além sso, as constantes e recebem, respectvamente, os valores e.

173 66 FIGURA 7 PROGRAMA DE ARGA FONTE: O autor (9) As varáves cnemátcas para esse problema são: os eslocamentos, as eformações, as taxas e eslocamentos e a relação entre as taxas e eformações e as taxas e eslocamentos. As eformações, ou alongamentos, poem ser calculaos através e: L ε x = ε x = ε x3 = ε x4 = ε x5 = = u B (5.8) L L A relação entre as taxas e eformações e as taxas e eslocamentos é obta através e B : B= [ ] T = [ ] T (5.9) L No quaro 4 são apresentaas as varáves cnemátcas. VARIÁVEL REPRESENTAÇÃO Deslocamentos u= [ B ] u x ε x ε x3 ε x4 ε x5 Deformações [ ] T ε= Taxas e eslocamentos v = u&= [& ] ε &= Taxas e eformações [ ] T ε ε& & & u B x ε x ε x3 ε x4 ε x5 & & Relação entre taxas e eformações e as taxas e eslocamentos ε &=B& u QUADRO 5 VARIÁVEIS INEMÁTIAS FONTE: O autor (9)

174 67 As varáves estátcas para esse problema são: as cargas aplcaas, os esforços nternos, as taxas e cargas aplcaas, as taxas e esforços nternos, o equlíbro, a energa lvre e Helmoltz e as forças termonâmcas. na barra por: Os esforços nternos são as forças normas Seno P a carga aplcaa, o equlíbro é ao por: N x = A σ x A N x nas barras e são calculaas (5.) N x + N x+ N x3+ N x4+ N x5= P (5.) O quaro 5 resume as varáves estátcas. VARIÁVEL REPRESENTAÇÃO argas aplcaas F ext = [ P] Fnt= N x N x N x3 N x4 N x5 Esforços nternos [ ] T Taxas e cargas aplcaas & = [ P& ] & = Taxas e esforços nternos [ ] T & & F ext Fnt N x N x N x3 N x4 N x5 & & & Equlíbro Energa lvre e Helmoltz Força termonâmca ψ A B T F& = F& nt ext x ( ε x, α ) = E ( α ) ε x ε x ψ = x ( ε, α α x ) = Eε x ε x QUADRO 5 VARIÁVEIS ESTÁTIAS FONTE: O autor (9) one: A relação consttutva será então escrta a segunte forma: ε x= x E σ σ x= ε x E (5.) σ x σ x = (5.3) α ) (

175 68 Em termos e varáves generalzaas, a seguna relação (5.) fca: x x A E N ε = (5.4) e conseqüentemente: ) ( x x N N α = (5.5) Reescreveno a equação (5.4) em termos e taxas: x x A E N ε& & = (5.6) a mesma forma a relação (5.5) é reescrta: ) ( x x N N α = & & (5.7) resultano matrcalmente em: = x x x x x x x x x x EA EA EA EA EA N N N N N ε ε ε ε ε & & & & & & & & & & (5.8) ou ana: ε& & ID F = nt (5.9) one: = EA EA EA EA EA ID (5.) Dessa forma: & Sε& ID F = nt (5.) one: = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( S α α α α α (5.)

176 69 O crtéro e ano, proposto por Tao & Phllps (5), é ao por: por: f ( A ) = A A α α (5.3) O crtéro e evolução a varável nterna relatva ao ano é representao α & = f. λ α& = λ A (5.4) one λ é obto e: λ ( f A ) λ f ( A ) = (5.5) Além sso, se a componente f = : j λ f & ( ) λ f & ( A ) (5.6) j j A Para a solução supõe-se que o estao o corpo para um etermnao nstante e tempo t é conheco, sto é, são conhecos os campos e eslocamentos u t, as eformações ε t, a varável nterna relatva ao ano ( α, a energa lvre e Helmholtz ) t ψ t, as forças termonâmcas j j ) t A t e os esforços nternos generalzaos ( F nt. Seno ao um ncremento e carga Fext, pretenese obter o estao o corpo em t + t, ou seja, com os valores e u, F nt corresponentes, serão obtos os seguntes valores: ut+ t = ut + u, ε + t = ε t + ε α t+ t = α t + α e t, ( ) ( ) ( Fnt ) = ( Fnt ) + Fnt t+ t Utlzano uma aproxmação e Euler a forma: u u& =, t ε& = ε, t t λ = λ e t ε, α e (5.7) F F& nt nt = (5.8) t e substtuno e forma aequaa nas relações anterormente escrtas, será obto o segunte problema a ser resolvo: ε = B u poeno ser reescrto como: F nt = ID ε F = F S λ f ( ) λ f ( ) = A t t nt nt A t t (5.9) T ( B IDB u). S = Fext (5.3)

177 7 λ f ( ) λ f ( ) = A t t Porém, quano o problema ao por (5.3) for soluconao, não A t t necessaramente a força termonâmca fnal At t + será amssível. Para resolver esse nconvenente, neste momento, será substtuío (5.3), resultano fnalmente em: A t por At t + nas expressões ( B T IDB u). S = F λ ( α ) t + λ E B ( u ) t+ t B ( u ) t+ t Eε ε ( α ) t λ λ EB ext ( α ) t + λ ( u ) t+ t B ( u ) t+ t Eε ε = ( α ) t λ (5.3 ) Utlzano os valores numércos propostos anterormente, o sstema (5.3) fornece a solução para caa trecho. a) Prmero passo e carga: ( N x ) t ( N x ) t = ( N x3) t = ( N x4 ) t = ( N x5 ) = = = = = t= = F ext =, A solução o sstema (5.3) fornece: u =,4 λ = λ = λ4 = λ5 = (5.3) N λ 3 =,8 x = N x = N x4 = N x5 =,4 (5.33) nesse caso: N x3 =,4 ( u ) t= =, 4 ( α ) ( α ) = ( α ) = ( α ) = 4 5 = t= t= t= t= ( ),8 α 3 t= = ( N ) ( N ) = ( N ) = ( N ), 4 x t= = x t= x4 t= x5 t = = (5.34)

178 7 ( N ),4 x3 t= = Observa-se que ocorreu a pera e rgez na barra 3, enquanto as outras barras permaneceram ntactas. Da análse a fgura 8, one é mostraa a evolução a relação força x eslocamento, observa-se que a barra 3 efetuou no passo, um trecho elástco e um trecho one ocorreu a anfcação. FIGURA 8 RELAÇÃO FORÇA X DESLOAMENTO APÓS O PRIMEIRO PASSO DE GARGA (a) NAS BARRAS,,4 E 5 E (b) NA BARRA 3 FONTE: O autor (9) b) Seguno passo e cargas: ( N ) ( N ) = ( N ) = ( N ), 4 x t= = x t= x4 t= x5 t = = ( ),4 N x 3 t= = (5.35) F ext =,5 A solução o sstema (5.3) nos fornece: u =, N λ = λ = λ3 = λ4 = λ5 = x = N x = N x4 = N x5 =, (5.36) N x 3 =, nesse caso: ( u ) =,4,, t= = ( α ) ( α ) = ( α ) = ( α ) = + = 4 5 = t= t= t= t= (5.37)

179 7 ( ) =,8+,8 α 3 t= = ( N ) ( N ) = ( N ) = ( N ) =,4,, x t= = x t= x4 t= x5 t = = ( N ) =,4,, x3 t= = É precso salentar que, se o trecho - tvesse so feto em apenas um passo e carga não sera possível etectar o processo e anfcação. A fgura 9 lustra a relação força x eslocamento após o seguno passo e carga. FIGURA 9 RELAÇÃO FORÇA X DESLOAMENTO APÓS O SEGUNDO PASSO DE GARGA (a) NAS BARRAS,,4 E 5 E (b) NA BARRA 3 FONTE: O autor (9) 6.3. EXEMPLO 3 Este exemplo tem como objetvo valar a metoologa proposta, bem como, calbrar as constantes e o moelo e ano comparano o resultao a smulação computaconal com o resultao e um ensao expermental e tração em um cmento resnoso realzao por Franco (8). Para os ensaos expermentas foram confecconaos cnco corpos-e-prova e cmento ement-post (Angelus ), com o formato e ampulheta e mensões: comprmento total 77, mm; comprmento a porção central 4, mm; largura as extremaes a ampulheta e 6, mm; largura o centro a ampulheta e, mm. A fgura lustra o corpo e prova.

180 73 FIGURA ORPO DE PROVA ENSAIO DE TRAÇÃO FONTE: Franco (8) O comportamento consttutvo esse cmento fo smulao através o moelo e ano e Tao & Phllps (5). O móulo e elastcae o materal ntacto E, o coefcente e Posson ( ν ) e a eformação a partr a qual se nca o processo e anfcação ε foram retraos prevamente os ensaos expermentas realzaos por Franco (8). As constantes e o moelo e ano foram alteraas ao longo as versas smulações realzaas e tal forma que a curva tensão versus eformação resultante o moelo numérco fosse análoga as curvas os ensaos expermentas. Os valores as constantes utlzaas são apresentaos no quaro 6. VARIÁVEL Móulo e elastcae ( E ) VALOR MPa oefcente e Posson (ν ), 3 ε, 5, 75, 6 QUADRO 6 PROPRIEDADES MATERIAIS E PARÂMETROS EMPREGADOS NO EXEMPLO 3 FONTE: O autor (9) No programa esenvolvo a parte central o corpo e prova fo scretzaa utlzano elementos soparamétrcos e oto nós. As conções e contorno o problema e a scretzação espacal em elementos fntos são apresentaas na fgura

181 74. A malha e elementos fntos possu 4 elementos com 745 nós, o carregamento fo mposto em 5 ncrementos e carga guas. FIGURA ONDIÇÔES DE ONTORNO E DISRETIZAÇÃO ESPAIAL EM ELEMENTOS FINITOS PARA O EXEMPLO 3 FONTE: O autor (9) A fgura apresenta o gráfco e tensão ( σ xx ) versus eformação ( ε xx ) conteno os resultaos expermentas e uas amostras obtos por Franco (8) e os resultaos numércos obtos com o programa esenvolvo no presente trabalho. FIGURA GRÁFIO OMPARATIVO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS POR FRANO (8) E PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO FONTE: O autor (9) Os resultaos numércos geraos pelo programa esenvolvo são conzentes com os resultaos expermentas obtos por Franco (8). Destaca-se

182 75 o trecho fnal a curva relatva ao moelo numérco, one se observa uma reposta global pratcamente elástca. Inúmeras tentatvas foram realzaas em torno o valor a constante, a fm e acentuar a pera e rgez no trecho fnal a curva. ontuo, o aumento o valor essa constante levava ao rompmento prematuro o moelo, evo à falha e uma faxa e elementos próxmos a aplcação o carregamento. Tal fato poe ser explcao através o fenômeno e localzação e eformações, partcularae essa observaa em smulações e materas plástcos e fráges, e que vem seno bastante scuta na lteratura ese os trabalhos poneros e Rce (976) e Mayer & Huecel (979), passano pelo trabalho e Dremeer (999). Toa va, uma vez que esse estuo foge ao escopo o presente trabalho, será sugero como assunto e trabalhos futuros. A fgura 3 apresenta ana a comparação entre o gráfco e tensões ( σ xx ) versus eformações ( ε xx ) e um ponto e Gauss a malha e elementos fntos com as curvas obtas o ensao expermental realzao por Franco (8). Nota-se que apesar e alguns pontos e Gauss pererem rgez ao longo e toa a smulação, a resposta global o moelo não necessaramente apresenta o mesmo comportamento consttutvo. FIGURA 3 GRÁFIO OMPARATIVO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS POR FRANO (8) E PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO EM UM PONTO DE GAUSS FONTE: O autor (9)

183 EXEMPLO 4 Uma vez calbraos os parâmetros o moelo e ano esenvolvo por Tao & Phllps (5) para o cmento resnoso ement-post poe-se utlzar esses mesmos parâmetros para smular o processo e anfcação em outras aplcações. Neste exemplo pretene-se verfcar a nfluênca a pera e rgez no cmento resnoso e em suas nterfaces urante a aplcação e carga em um sco e entna tratao enoontcamente. No trabalho esenvolvo por Franco (8) entes pré-molares foram trataos enoontcamente e logo após cortaos formano scos e entna, como poe se vsto esquematcamente na fgura 4, esses scos e entna foram então submetos a um teste e compressão com uma carga e N a uma velocae e, mm/mn. FIGURA 4 ESQUEMA DE ORTE DOS DISOS DE DENTINA FONTE: Franco (8) No programa esenvolvo o sco e entna fo smulao através e um moelo axssmétrco, ou seja, uma fata o sólo é rotaconaa em torno e exo prouzno o sólo e revolução como poe ser observao na fgura 5. FIGURA 5 MODELO AXISSIMETRIO DO DISO DE DENTINA FONTE: O autor (9)

184 77 Esse moelo fo scretzao utlzano elementos soparamétrcos e oto nós e elementos e nterface conteno ses nós. As conções e contorno o problema, a scretzação espacal em elemento fntos e os materas envolvos na smulação são apresentaos na fgura 6. A malha e elementos fntos possu elementos com 343 nós, o carregamento fo mposto em 5 ncrementos e carga guas. FIGURA 6 ONDIÇÔES DE ONTORNO, DISRETIZAÇÃO ESPAIAL EM ELEMENTOS FINITOS E MATERIAIS SIMULADOS NO EXEMPLO 4 FONTE: O autor (9) Em um prmero momento toos os materas (pno ntra-racular, cmento, entna e nterfaces) foram smulaos sob um regme perfetamente elástco. A segur, em uma nova smulação, foram ntrouzos os parâmetros o moelo e ano e Tao & Phllps (5), a fm e smular a pera e rgez no cmento oontológco e nas nterfaces ajacentes. As propreaes materas e os parâmetros o moelo numérco, retraos e Marson (3) e Franco (8), são apresentaos no quaro 6. MATERIAL VARIÁVEL VALOR Pno ntra-racular Interface pno-cmento Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) Móulo e csalhamento 85 MPa ν, 33 MPa ν, 3,33 MPa

185 78 MATERIAL VARIÁVEL VALOR Interface pno-cmento mento Interface cmento-entna Dentna ϑ, ϑ, 99 ϑ, 3 ε, 5, 75, 6 Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) MPa ν, 3 ε, 5, 75, 6 Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) Móulo e csalhamento MPa ν, 3 6,8 ϑ, ϑ, ϑ, 99 3 ε, 5, 75, 6 Móulo e elastcae ( E ) oefcente e Posson ( ) 86 ν, 3 MPa MPa QUADRO 6 PROPRIEDADES MATERIAIS E PARÂMETROS EMPREGADOS NO EXEMPLO 4 FONTE: O autor (9) Os resultaos obtos com o programa esenvolvo nesse trabalho para as strbuções e tensões e eformações são apresentaos nas fguras 7 a 4, comparano os resultaos a smulação com toos os materas sob um regme perfetamente elástco com os resultaos a smulação conteno o moelo e ano. Para esse exemplo, as tensões são apresentaas em mega Pascas ( MPa ).

186 79 FIGURA 7 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xx DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 8 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xx DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

187 8 FIGURA 9 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ yy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ yy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

188 8 FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 3 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xy DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

189 8 FIGURA 33 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ zz DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 34 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ zz DO TENSOR DE TENSÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

190 83 FIGURA 35 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE ε xx DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 36 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE xx ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

191 84 FIGURA 37 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE ε yy DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 38 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE yy ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

192 85 FIGURA 39 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE ε xy DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9) FIGURA 4 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE xy ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES (MODELO PURAMENTE ELÁSTIO) FONTE: O autor (9)

193 86 Observa-se que os materas com maor móulo e elastcae (pno ntraracular e entna), como esperao, ofereceram maor resstênca ao carregamento aplcao. Fato esse que fo acentuao na seguna smulação evo à anfcação o cmento resnoso e e suas nterfaces. É possível perceber que as regões próxmas as nterfaces se eformaram mas quano smulaas levano-se em conta o moelo e ano enquanto, as tensões mnuíram, esse fato emonstra que o moelo e ano é capaz e smular o processo e pera e rgez. Além sso, observa-se que a pera e rgez no cmento resnoso tem pouca nfluênca sobre a resposta global a geometra. Nas fguras 4 a 46, a regão conteno o cmento resnoso é estacaa a fm e melhorar a vsualzação as strbuções e tensões e eformações. Mas uma vez as tensões são apresentaas em mega Pascas. FIGURA 4 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xx DO TENSOR DE TENSÕES PARA O IMENTO RESINOSO NO (a) MODELO PURAMENTE ELÁSTIO E NO (b) MODELO DE DANO FONTE: O autor (9)

194 87 FIGURA 4 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ yy DO TENSOR DE TENSÕES PARA O IMENTO RESINOSO NO (a) MODELO PURAMENTE ELÁSTIO E NO (b) MODELO DE DANO FONTE: O autor (9) FIGURA 43 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ xy DO TENSOR DE TENSÕES PARA O IMENTO RESINOSO NO (a) MODELO PURAMENTE ELÁSTIO E NO (b) MODELO DE DANO FONTE: O autor (9)

195 88 FIGURA 44 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE σ zz DO TENSOR DE TENSÕES PARA O IMENTO RESINOSO NO (a) MODELO PURAMENTE ELÁSTIO E NO (b) MODELO DE DANO FONTE: O autor (9) FIGURA 45 DISTRIBUIÇÃO DA OMPONENTE xx ε DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES PARA O IMENTO RESINOSO NO (a) MODELO PURAMENTE ELÁSTIO E NO (b) MODELO DE DANO FONTE: O autor (9)