UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO. Trabalho de Conclusão de Curso. Curso de Graduação em Física FORMAS DIFERENCIAIS

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1 UIERIDADE EADUAL AULIA JULIO DE MEQUIA FILHO IIUO DE GEOCIÊCIA E CIÊCIA EXAA rabalho e Conclusão e Curso Curso e Grauação em Físca FORMA DIFERECIAI Mateus avarro erucch rof.dr. Rcaro auptz (orentaor Ro Claro ( 0

2 UIERIDADE EADUAL AULIA Insttuto e Geocêncas e Cêncas Eatas Câmpus e Ro Claro MAEU AARRO ERUCCHI FORMA DIFERECIAI rabalho e Conclusão e Curso apresentao ao Insttuto e Geocêncas e Cêncas Eatas - Câmpus e Ro Claro a Unversae Estaual aulsta Júlo e Mesquta Flho para obtenção o grau e Bacharel em Físca. Ro Claro - 0

3 MAEU AARRO ERUCCHI FORMA DIFERECIAI rabalho e Conclusão e Curso apresentao ao Insttuto e Geocêncas e Cêncas Eatas - Câmpus e Ro Claro a Unversae Estaual aulsta Júlo e Mesquta Flho para obtenção o grau e Bacharel em Físca. Comssão Eamnaora rof.dr. (orentaor Rcaro auptz Barbosa os antos rof.dr. Roberto Eugeno Lagos Monaco rof.dr. Francsco José os antos Ro Claro 06 e EEMBRO e 0. Assnatura o aluno Assnatura o orentaor

4 AGRADECIMEO Gostara e agraecer prmeramente a meus pas Carmen e Fél pos sem eles eu jamas chegara one estou e com certeza também não sabera one estara no. Eles são meus herós partculares! ou especalmente grato por toos os ensnamentos que receb e que hoje formam meu caráter. Apren com eles a erguer a cabeça e jamas esstr ante as fculaes; que poemos ser melhores toos os as e que errar não é vergonhoso. ão há palavras que possam escrever o sentmento e gratão que tenho pelos meus pas. Carnho e amração nconconal que leve ao longo e toa a mnha grauação e levare para sempre. Agraeço também em especal mnha avó que apesar e não estar mas hoje presente fo capaz e me ensnar tuo o que eu se sobre respeto ao prómo. Obrgao mesmo que jamas tenha to a possblae e zer sso! Uma parte e mm será sempre sauae. Um menso sentmento e gratão à pessoa que mas me ensna sobre a va e que com certeza possu a ngenuae e amor ao prómo que sonho um a ver as pessoas terem uns pelos outros: mnha rmã Débora. Mesmo que ela nunca saba o que está escrto aqu ou nas págnas aante ela me ensna toos os as o que jamas nenhum lvro será capaz e me ensnar: amar nconconalmente! Ela é e sempre será o meu orgulho e a "mnha pequena". À mnha namoraa anara que tem so também mnha fonte e nspração para consegur alcançar meus objetvos e que sempre não mporta a crcunstânca me apóa com meus projetos pessoas. Obrgao por me ouvr e ser pacente e mas ana enaltecer mnhas vontaes e somar felcae em mnha va. À meus amgos que ao longo a mnha grauação foram rmãos! Fo a famíla que tve a possblae e escolher e fu acolho por eles. oos sem eceção são mportantes nesta conqusta. Ao longo a grauação apren a cultvar boas amzaes que representarão granes lembranças e momentos ncríves. Um muto obrgao pelos abraços palavras em momentos oportunos conversas flosófcas e prncpalmente por sempre me ouvrem mesmo que não concorassem com o que eu estava zeno. ocês são ncríves e serão lembraos para sempre. Gostara e agraecer também aos bons professores que tve urante a grauação pos estes me ensnaram muto o que se. Em especal gostara e agraecer ao meu orentaor Rcaro auptz pela maravlhosa oportunae e trabalho e confança concea. uas sugestões funamentas conversas e prncpalmente seu amplo conhecmento na área me permtram o esenvolvmento este trabalho. ovamente um muto obrgao a toos aqueles que e alguma forma contrbuíram para esta conqusta pessoal.

5 REUMO este trabalho os estuos vsaram avalar a unfcação e concetos e teoremas e análse vetoral que contrbuíram na compreensão e problemas físcos e manera mas abrangente e muto mas concsa o que usano o cálculo vetoral. Estuamos a eletronâmca com formas ferencas. Foram também apresentaas as relações e Mawell com o formalsmo as formas ferencas permtno além a formulação aomátca a ermonâmca uma mas geométrca e generalzaa. Outra característca observaa urante o estuo o formalsmo apresentao fo a possblae ele servr como substtuto ao formalsmo tensoral. alavras-chave: formas ferencas equações e Mawell Relações e Mawell ermonâmca. ABRAC In ths work stues ame at evaluatng the unfcaton of concepts an theorems of vector analss that contrbute to the unerstanng of phscal problems n a more comprehensve an more concse than usng vector calculus. We stu the electronamcs wth fferental forms. Were also presente Mawell's relatons wth formalsm of fferental forms n aton allowng formulaton one more geometrc an generalze. Another feature observe urng the stu of formalsm presente was the possblt of t servng as a substtute to the tensor formalsm. Kewors: fferental forms Mawell s equatons Mawell s thermonamcs relatons thermonamc.

6 UMÁRIO Introução.0 Formas Dferencas. Conteto. Formas Dferencas 4.. -formas 4.. -formas 4.. -formas formas 5. routo eteror cunha 6.4 Dervaa eteror 6.5 Lema e oncaré 7.6 Integração e formas ferencas 9.7 eorema e tokes 0.8 Operaor estrela e Hoge.0 Aplcações em Físca 4. Introução. Eletromagnetsmo 4.. Equações e Mawell 5.. ensor e Faraa 6. ermonâmca 7 Relações e Mawell 7.. Função energa nterna U( 8.. Função energa nterna U( μ 9.. Função energa nterna U( μ 0..4 Função energa nterna U( μ 0..5 Função energa lvre e Hemholtz F(..6 Função entalpa H(..7 Função entalpa lvre (Função e Gbbs.0 Eemplos 4. -forma constante 4. Fluo magnétco através e uma superfíce orentaa 4. Energa potencal 5.4 eorema e tokes 5.5 eorema e Gauss 7.6 Campo elétrco e uma carga pontual Conclusão 9 Bblografa 0

7 Introução a físca no cálculo multvarável e também no tensoral as formas ferencas são objetos matemátcos pertencentes a um espaço vetoral. De manera nformal uma forma ferencal é uma soma e termos a forma f j ou g jk. O conceto e formas ferencas torna possível generalzar eas o cálculo vetoral como graente vergênca e rotaconal. Um os prmeros responsáves pelo estuo essa moerna notação utlzaa as formas ferencas fo Éle Cartan matemátco francês que contrbuu trabalhos funamentas em teoras e grupo e Le geometra e formas ferencas. Embora o conceto e vetor como um segmento e reta não seja geral para um espaço-tempo as formas ferencas e Cartan são naturas em espaço-tempo curvao. O cálculo e Cartan leva a uma notável unfcação e concetos e teoremas e análse vetoral. Essa noção proposta por ele é baseaa na corresponênca um-para-um entre os espaços lneares e vetores e eslocamento e operaores ferencas reconas (componentes o graente formam uma base. Éle Cartan esenvolveu também um mportante estuo a álgebra e Grassmann que é comumente chamao e prouto eteror (ou prouto cunha cujo sgnfcao que eplcaremos mas aante. eu estuo em álgebra e Grassmann fez com que ele aplcasse a sua teora as formas ferencas eterores a uma grane vareae e problemas em geometra ferencal nâmca e até mesmo em relatvae. Em partcular os métoos matemátcos e Grassmann foram aotaos emasaamente tares mas tveram nfluenca reta nos estuos a geometra ferencal propostos por Cartan que utlzara a álgebra eteror. O uso as formas ferencas consttu a manera rgorosa e tratar os ferencas as funções reas sobre uma vareae. O compleo estuo as formas ferencas leva a uma compreensão mas profuna as funções e estao lagrangano e hamltonano sobre os respectvos espaços e confguração ou espaços e fase o sstema físco. O mportante estuo as formas leva a compreensão e que matematcamente as formas ferencáves e grau k poem ser ntegraas sobre caeas k mensonas ou conjuntos e mensões topológcas k. Este estuo nos leva a um resultao mportante que generalza versos teoremas o cálculo vetoral chamao e eorema e tokes. O eorema e tokes generalzao (scuto na seção.7 mostra a relação entre a ntegral e uma forma ferencal ω e a e sua ervaa eteror ω. Este teorema tem como casos especas no conteto o cálculo vetoral usual o eorema e Gauss e tokes clássco e também o eorema e Green. ara esclarecer a notação utlzaa mostramos abao como poem ser representaas em termos e formas ferencas a ntegral e lnha e superfíce e e volume: eja f = [ f f f] uma função vetoral ferencável contínua numa regão R o espaço trmensonal e seja f f fz a forma corresponente. Então comparano

8 C f f f z * b a C [ f * ( t ' ( t f [ a b] * ( t ' ( t f * ( t z' ( t] t One ω * é a comparação a -forma à ntegral e lnha corresponente. Então: E obtemos C f r ( f f f z C f r C Assm a ntegral e uma -forma sobre uma curva é nterpretaa como uma ntegral e lnha. e f z fz f é a forma corresponeno a f cuja ntegral e superfíce poe ser epressa como f então f s C C ortanto a ntegral a -forma sobre uma superfíce é também nterpretaa como uma ntegral e superfíce. e f zé uma forma corresponente à função escalar f f então cuja ntegral e volume é R R R f Em conseqüênca a ntegral e uma forma sobre uma regão R correspone a uma ntegral e volume. aturalmente as formas ferencas fazem parte o cálculo vetoral possuno aplcações em város ramos a cênca seno alguns estuos fetos em termonâmca eletromagnetsmo torção geometra smetras em equações ferencas entre outros. Em termonâmca a aplcação a geometra realzaa por Mawell fo logo estena pelo físco norte-amercano Josah Wllar Gbbs ao representar as propreaes termonâmcas as substâncas por nterméo e superfíces entropa-volume-temperatura e os respectvos agramas tpo claperanos : entropa X temperatura (- entropa-volume (- e volumetemperatura (-. O estuo analítco as superfíces feto pelo matemátco francês Aren Legenre por nterméo e uma transformação matemátca conheca a partr

9 aí como transformaa e Legenre bem como o estuo as ervaas parcas permtu a emonstração as relações e Mawell conhecas hoje. O teorema emonstrao pelo matemátco Constantn Carathéoor sobre formas ferencas acresco a pesqusa sstemátca sobre tas formas realzaa pelo matemátco francês Éle Cartan permtram estuos posterores sobre esses entes matemátcos que levaram à formulação aomátca a ermonâmca nclusve as relações e Mawell. ara as equações e Mawell no vácuo one ε e μ são constantes em toa parte elas smplfcam-se conseravelmente uma vez que se as ferramentas as formas ferencas e a geometra ferencal. Com sso os campos elétrco e magnétco são conjuntamente escrtos por uma -forma em um espaço-tempo quarmensonal a qual é usualmente chamaa F. F 0 One é a ervaa eteror. As equações não-homegêneas e Mawell tomam a forma elegante: F J One o astersco como veremos mas aante é chamao e operaor estrela e Hoge. Os campos são apresentaos em unaes naturas one ε é ; J é a -forma chamaa e corrente elétrca que satsfaz a equação a contnuae: J A estrutura e forma ferencal troue conserável unfcação à álgebra vetoral e e forma mas geral à análse tensoral vareaes. Da mesma forma a unão os teoremas e tokes e Gauss que serão amplamente scutos mas aante fornecerá uma reformulação elegante as equações e Mawell..0 Formas Dferencas. Conteto O conceto e forma ferencal se estene a uma generalzação e ferramentas tas como o graente vergênca e rotaconal. al conceto moerno e notação utlzaa em aplcações físcas atuas se evem a Ele Cartan. O cálculo e Cartan leva a uma notável unfcação e concetos e teoremas e análse vetoral; mostrano que a utlzação as formas ferencas está amplamente ssemnaa em geometra ferencal e análse avançaa. ara Cartan a noção é e que o vetor se basea na corresponênca e um-para-um entre os espaços lneares e vetores e eslocamento e operaores ferencas reconas. [] 0

10 A análse vetoral oferece uma manera mas convenente para tratar os problemas em físca e o cálculo tensoral tornam ana mas concsas e geras as equações empregaas nestes problemas. Uma grane vantagem o tratamento os problemas físcos com formas ferencas é que elas generalzam como tensores porém com a smplcae os vetores.. Formas ferencas A forma ferencal eteror no espaço trmensonal com coorenaas z é uma epressão obta somano e multplcano funções reas e as ferencas z as coorenaas. As operações e ação e multplcação obeecem às les assocatva e strbutva comuns; entretanto no caso a multplcação ela obeece à le antcomutatva já que não é comutatva. or esta razão representamos esta multplcação e formas por uma cunha. e caa parcela e uma forma ferencal contém p one o p = 0 etc. a forma é chamaa uma forma ferencal e grau p ou resumamente forma p. Com sso: 0-forma é uma função ferencável f ( z ; -forma é uma epressão f g hz; -forma é uma epressão f g z hz ; -forma é uma epressão f z.[] O eemplo não trval mas notável e uma forma ferencável é consttuío pelas -formas ou também chamaas e formas pfaffanas. De manera mas abrangente:.. -formas Defnno z em espaço euclano trmensonal como funções que atrbuem a um segmento e reta o ponto ao ponto Q a muança corresponente em z. O símbolo representa comprmento orentao a projeção e uma curva sobre o eo e assm vale para e z. É possível observar também que z poem ser nfntesmalmente pequenos e não evem ser confunos com as ferencas ornáras que assocamos com ntegras e quocentes ferencas. Uma função o tpo A B Cz A B C números reas é efna como -forma constante... -formas Conserano uma unae e fluo e massa na reção e z sto é um fluo na reção e z crescente e moo que uma unae e massa 4

11 atravesse um quarao untáro no plano em tempo untáro. A orentação smbolzaa pela seqüênca e pontos na Fgura..: Fgura..: retângulo orentao em sento ant-horáro. ( 000 (00 (0 (00 (000 será enomnaa ant-horára como e costume. Uma unae e fluo na reção z é efna pela função que atrbu a retângulos orentaos no espaço a área orentaa e suas projeções no plano. De moo semelhante um fluo untáro na reção é escrto por = e um fluo untáro na reção por z. eno assm essa orem nversa é taa pela convenção e orentação e z z por efnção. Essa ant-smetra é consstente com o prouto cruzao e os vetores que representam áreas orentaas em espaço euclano. Essa noção é generalzaa para polígonos e superfíces ferencáves curvaas apromaas por polígonos e volumes... -formas Uma -forma z representa um volume orentao. or eemplo o etermnante e três vetores em espaço euclano mua e snal se nverter a orem e os vetores. ó que esse etermnante mee o volume orentao abrango pelos três vetores; em partcular ( z z representa a carga total entro o volume se ρ for a ensae e carga. Formas ferencas e mensões mas altas em espaços e mensões mas altas são efnas e manera semelhante e enomnaas formas k com k = n-formas 5

12 ara tratar e n-formas o enfoque eve ser em que as -formas - formas e -formas são trataas smultaneamente como nstâncas ferentes e um mesmo tpo e objeto.. routo eteror cunha O prouto eteror ou smplesmente o prouto cunha é uma antsmetrzação ou alternação o prouto tensoral. Essa ant-smetrzação a álgebra e Grassmann prevê que se {e j } for uma base no espaço vetoral então: e e e e j e 0 j e j j Com sto vamos supor que α e β são respectvamente p e q-formas. Então o prouto eteror entre elas assoca uma (p+q-forma γ enotaa por. As propreaes báscas o prouto eteror cunha são:. a b a b. pq. eno α uma p-forma β e γ q-formas respectvamente e a e b seno escalares. O espaço as -formas ferencáves é o espaço gerao pelo conjunto n... n em que o elemento é ual o vetor e a base canônca o R one supomos n. A partr a base as -formas poemos construr as bases e toas as outras p-formas bastano para sto tomar o prouto eteror entre os elementos a base as -formas. ote que se (p+q>n então 0..4 Dervaa Eteror A ervaa eteror e uma forma pω é uma forma (p+ω obta aplcano um operaor para transformar ω ω. As efnções e ω para formas no espaço trmensonal são as que estão abao. e a função ferencável f é uma 0-forma então f é a -forma pela notação e Ensten teremos: f f f f z z f 6

13 e ω é uma -forma f f fz cujos coefcentes f são funções ferencáves então ω é a -forma. f f f z eno ω uma -forma cujos coefcentes f são funções ferencáves então ω é a -forma. f z f z f De manera resuma teríamos: (0-forma = -forma (-forma = -forma (-forma = -forma As regras que governam as formas ferencas com forma k são: k enotano uma 0 zz 0 j j j... k é totalmente ant-smétrca na... k f f k k k k 0 lnearae lema e oncaré k Essa operação smples e ferencação no sstema e formas ferencas correspone às operações e obter o graente e uma função escalar e o rotaconal e a vergênca e uma função vetoral. Isto poe ser observao e manera esquemátca na tabela abao. função vetoral Formas Dferencas -forma -forma -forma Calculo etoral função escalar f(z f f v ( z v ( z v v oemos observar que as ervaas eterores e formas geras satsfazem à propreae e lnearae: 7

14 a b a b seno que α β são formas arbtráras e a b são números..5 Lema e oncaré o caso o Lema e oncaré ctao acma ele estabelece que se ω é qualquer forma ferencal e funções ferencáves contínuas seu resultao é nulo. Conserano que uma 0-forma é uma função escalar façamos: f ( z one f ( z é qualquer função uas vezes contnuamente ferencável. Com sso teremos: ortanto f f f f z z ( ( f f ( f ( f ( f z f f z f z z f z zz z ( f f z ( f z z z f z f f z ( f z z f f z z 0 Já que toos os coefcentes são nulos pos f f etc. É nteressante ressaltar que o Lema e oncaré vale também para qualquer função contnuamente ferencável e n varáves. Utlzano os cálculos anterores e empregano o fluograma acma observa-se que a relação ( 0 para uma 0-forma ω correspone à fórmula vetoral: 0 f Da mesma manera a -forma ω correspone à fórmula vetoral: 0 f Fo scuto até então que se α é uma -forma ferencal efna em uma regão U e R n então α é fechaa se α=0 e também que é eata se este f (U tal que f. orém como vmos anterormente ( f 0 ; sto é toa forma eata é fechaa. A questão é se a recíproca é veraera: toa forma fechaa é eata? E a resposta para esta questão epene e que a regão U o R n seja convea; sto é aos pontos quasquer e em U o segmento e reta que 8

15 va e a está totalmente conto em U toa forma fechaa sobre uma regão aberta convea é eata. Eemplo e forma fechaa que não é eata [8]: Conserano o campo magnétco e um fo nfnto esteno ao longo o eo z. Como o campo é constante ao longo e qualquer clnro cujo eo é o fo basta conserar o que acontece em um plano perpencular a z gamos. Restrngno o campo a este plano: B( ( 0 ( erá escolha a ntensae a corrente e moo que os quocentes os termos constantes seja com o ntuto e facltar a notação. Este campo está efno na regão U R \{(00} e B Um cálculo reto mostra que 0. Logo a forma é fechaa. Consere agora a curva C :[0 ] U que correspone à crcunferênca e rao parametrzaa por: C( t (cos( t sen( t Como sen ( t cos ( t C *( sen( t (cos( t cos( t ( sen( t ( sen ( t cos ( t t t Mas sto sgnfca que t C 0 9

16 o entanto como vmos anterormente se fosse uma forma eata a ntegral evera ter ao zero porque o camnho é fechao. Contuo não poe ser eata..6 Integração e Formas Dferencas amos magnar uma ntegral e lnha: f ( g( g( z z E então vamos assocar ao argumento a ntegral uma -forma ω: f ( g( g( z z Com sto ao ntegrarmos a forma ω em um camnho tal ntegral será efna por: f ( g( g( z z o entanto no caso e uma -forma -forma etc. elas são granezas que assocamos as ntegras e superfíce volume etc. or eemplo: F r F r F r F r F F z Fz F Assocamos a -forma ao ntegrano: F z F z F F z Fz F Da mesma manera se tvermos uma ntegral e volume remos assocar a ela uma -forma: r 0 0

17 0 z De moo que: 0 r.7 eorema e tokes eja ω uma -forma ferencal efna em uma regão U e um encaeamento e superfíces conto em U então: n R. e E é ara o caso mas smples em que a -forma gsé ntegraa no retângulo [ 0] a emonstração o teorema e tokes para no plano fcará: Como: g s g s t t temos que 0 0 g s g st t Isto é 0 0 g st s 0 0 g st t abemos pelo teorema funamental o cálculo Analogamente 0 0 g st s 0 g t g(0 t ( t

18 0 0 g st t 0 g s g( s0 ( s Assm 0 g t g(0 t t g( s g( s0 ( s Que poemos por comoae reescrever assm: Entretanto R tem laos: arametrzano L na forma L 0 g s0 s g( t t g( s g(0 t gs ( t 0 L L L L [0] {0} {} [0] [0] {} {0} [0] (00 s(0 vemos que: g((00 s(0 s 0 g( s0 s Que é semelhante a equação que reescrevemos acma. Cálculos semelhantes mostram que: L n L n gs correspone à n-ésma parcela aquela soma. ortanto L L L L4 orém sabemos que a frontera e é: L E sto nos permte conclur que: L L L4

19 Que epressa o chamao eorema e tokes..8 Operaor Estrela e Hoge O operaor estrela e Hoge é uma transformação lnear na verae um somorfsmo entre os espaços as p e (p+q-formas. eno assm as ferencas... m formam uma base e um espaço vetoral que é conserao em relação às ervaas ; estas são -formas báscas. Como eemplo temos que o espaço vetoral a aa é ual ao espaço vetoral e planos (funções lneares e f em espaço euclano trmensonal f a a a 0. Então o graente f f f f aa a nos fornece um mapa um-para-um ferencável e para. Essas relações uas são generalzaas pelo operaor estrela e Hoge baseao no tensor ϵ e Lev-Cvta. Este tensor ϵ é um símbolo partcular o cálculo tensoral também conheco como símbolo e permutação. Que poe ser epresso a segunte manera: One as permutações pares e ímpares são escrtas respectvamente como um prouto e um número par ou ímpar e transposções (grupo e permutação. amos supor que os vetores untáros é uma base ortonormal orentaa o espaço euclano trmensonal. Então o operaor estrela e Hoge e escalares é efno pelo elemento e base jk j k! Corresponente a em notação vetoral parão. Aqu j k é o prouto eterno totalmente ant-smétrco os vetores untáros que corresponem a j k em notação vetoral parão. ara vetores o operaor estrela e Hoge é efno para a base e vetores untáros como:

20 4 k j jk! eno que para o caso acma em partcular temos: O operaor estrela e Hoge para áreas orentaas é efno sobre elementos e área e base como: k j k j ortanto Então o operaor estrela e Hoge para volumes é efno como: É nteressante notar que o operaor estrela e Hoge é responsável por operações que levam aos seguntes resultaos: ( f f ( v ( v. Aplcações em físca. Introução

21 Com o esenvolvmento matemátco o níco o século XX foram escobertos e estuaos novos formalsmos que se mostraram etremamente aequaos ao estuo e ferentes aplcações em físca. As formas ferencas análse vetoral e também o cálculo tensoral como vsto anterormente nos oferecem maneras mas abrangentes convenentes e também mas concsas com o custo é claro e ser um pouco mas abstrata e compreener concetos físcos envolvos nestas aplcações.. Eletromagnetsmo.. Equações e Mawell a forma ntegral as equações e Mawell são epressas a segunte forma: D 4 B 0 4 H l J c c E l c t t B seno c a velocae a luz no meo. Além sso temos a equação e contnuae: D J t A partr o eorema e tokes e assocano aos ntegranos as ntegras e lnha superfíce e volume às -forma -formas e -formas as equações anterores se tornam respectvamente: D 4 B 0 H 4 J c c D t 5

22 E c B t J t Equações estas que representam as equações e Mawell em suas formas ferencas no sento usual. Como vmos no capítulo anteror 0 segue que se ω e α são respectvamente 0-forma e -forma então: E E B B eno que E e B são respectvamente e -formas. Aplcano o operaor a uma 0-forma ω ou a uma -forma α é equvalente a tomar o graente e ω ou o rotaconal e α. eno assm 0 0 Ambas as equações anterores nos zem que o campo ω é rrotaconal e o campo α é solenoal. De posse estas equações as relações consttutvas entre os campos elétrcos e eslocamento elétrco assm como o campo nução magnétca e magnétco são: D E B H one * enota como eplcao anterormente o operaor estrela e Hoge ou também chamao e ual e Hoge... ensor e Faraa amos conserar baseao em [9] a -forma F: F E t B c eno que: 6

23 E E B B r r t Er t Er t Er tz t B r t z B r tz B r t o caso ambas as equações enotam respectvamente a -forma campo elétrco e a -forma campo nução magnétca. e aplcarmos o operaor na equação F: F E t B c B E t B z t c c t B E t 0 c t O que nos leva a conclusão e que: F 0 A equação F é equvalente as equações e Mawell em formas ferencas vstas anterormente que são homogêneas. amos conserar que -forma G ual e F num meo sotrópco tal que μ = ϵ = seja: G F E z E z E Hz t H t H t Aplcano o operaor na equação anteror obtemos: G E z E H H t t E H H z t t z E H H z t t z Defnno como quarcorrente J' z J t egue que: 7

24 G J ' eno a quarcorrente J é efna e moo a se ter que: J ' E z E H H t t E H H z t t z E H H z t t z A equação G é equvalente às equações e Mawell não-homogêneas vstas em.... ermonâmca O tratamento as relações e Mawell a segur será baseao no trabalho o rof. Bassalo [5] Relações e Mawell James Clerk Mawell (8-879 matemátco escocês publcou um lvro nttulao heor of Heat em que euzu relações entre as varáves termonâmcas: pressão ( volume ( entropa ( temperatura ( números e moles ( potencal eletroquímco (μ e suas ervaas parcas. Relações estas que foram euzas utlzano e argumentos geométrcos baseao no agrama e eos ortogonas pressão-volume (. Essa aplcação a geometra à termonâmca fo logo estena pelo físco norte-amercano Josah Wllar Gbbs (89-90 em 87 ao representar as propreaes termonâmcas as substâncas por nterméo e superfíces entropa-volume-temperatura e os respectvos agramas: entropa-temperatura ( entropa-volume ( e volume-temperatura (. O estuo analítco as superfíces por meo a transformaa e Legenre feto pelo matemátco francês Aren Mare Legenre (75-8 e o estuo as ervaas parcas permtu a emonstração as relações e Mawell. As formas ferencas permtram estuos posterores que levaram à formulação aomátca a ermonâmca nclusve as própras relações e Mawell... Função Energa Interna U( por: ara este caso a transformaa e Legenre corresponente será aa 8

25 U ara o par e varáves nepenentes teremos para = constante: Calculano a ferencação eteror a epressão U por nterméo a p epressão a b a b ( a be também utlzano o Lema e oncaré vsto anterormente lembrano que os potencas e as varáves termonâmcas são 0-formas e que = 0 resultará: U 0 Utlzano as epressões referentes as formas ferencas e aplcano a ferencação eteror as relações e Mawell:.. Função Energa Interna U( μ ara este caso vamos conserar que a transformaa e Legenre corresponente será aa por: U E as relações e Mawell corresponentes ao par ( conserano que para este par e varáves nepenentes teremos μ seno uma constante será: 9

26 0 Calculano a ferencação eterna e U para energa nterna por nterméo a mesma epressão utlzaa em.. junto ao Lema e oncaré resultará (lembrar que μ = 0: 0 U Com sso: s v.. Função Energa Interna U( μ este caso a transformaa e Legenre será: U E para o caso as relações e Mawell corresponentes ao par e varáves nepenentes (μ teremos para um constante: ( ( (

27 Utlzano a epressão para ferencação eteror vsta tanto em.. quanto em.. e usano o Lema e oncaré lembrano que = 0 resultará: 0 U A partr as relações e Mawell e conserano as formas ferencas chegaremos que:..4 Função Energa Interna U( μ A transformaa e Legenre para este caso em específco será aa por: U E para o par ( e varáves nepenentes teremos para o caso e μ constante as seguntes relações e Mawell: ( ( ( Calculano a ferencação eteror a transformaa e Legenre por nterméo a epressão utlzaa no tem.. (e subseqüentes e o Lema e oncaré lembrano que μ = 0 resultará: 0 U

28 Com sso:..5 Função Energa Lvre e Helmholtz F( ara este caso a transformaa e Legenre será aa pela epressão: F E para o par ( e varáves nepenentes as relações e Mawell serão aas (conserano = constante por: ( ( ( Calculano a ferencação eteror a transformaa e Legenre por nterméo a epressão e utlzano o Lema e oncaré lembrano que = 0 resultará: 0 F Com sso:

29 ..6 Função Entalpa H( este caso a transformaa e Legenre corresponente será aa por: H ara o par ( e varáves nepenentes as relações e Mawell serão aas ( = constante por: ( ( ( Calculano a ferencação eteror por nterméo a epressão vsta anterormente e utlzano o Lema e oncaré e lembrano que = 0 resultará: 0 H Com sto e seguno as formas ferencas:..7 Função Entalpa Lvre (Função e Gbbs A transformaa e Legenre para este caso será aa por:

30 G ara o par ( e varáves nepenentes teremos para o caso e =constante: ( ( ( Utlzano as epressões anterores para calcular a ferencação eterna e também o Lema e oncaré resultará (lembrar que = 0: G 0 Com as relações e Mawell e aplcano elas na epressão anteror teremos:.0 Eemplos. -forma Constante [] ara uma força constante F = (A B C o trabalho realzao ao longo o eslocamento = ( a Q = (4 5 6 é ao por: W A( 4 B(5 C(6 A B 5C e F é um campo e força então suas componentes retangulares A( z B( z e C( z epenerão a localzação e a -forma (não-constante W F r corresponerá ao conceto e trabalho realzao contra o campo e 4

31 força F(r ao longo e r sobre uma curva o espaço. Uma quantae fnta e trabalho z B z C z W A C Envolve a famlar ntegral e lnha ao longo e uma curva orentaa C em que a -forma W escreve a quantae e trabalho para pequenos eslocamentos (segmentos na trajetóra C. ob essa perspectva o ntegral b f ( e uma ntegral f ( consstno na função f e na mea como o a comprmento orentao aqu é conserao uma -forma. O valor esta ntegral é obto a ntegral e lnha ornára. z []. Fluo Magnétco Através e uma uperfíce Orentaa e B=(A B C é uma nução magnétca constante então a constante -forma Az Bz C escreve o fluo magnétco através e um retângulo orentao. e B é um campo e nução magnétca que vara através e uma superfíce então o fluo B ( r z B ( r z B ( r através a superfíce orentaa envolve a famlar ntegração e Remann sobre ângulos orentaos apromaamente pequenos a partr os quas é montaa. A efnção e epene a ecomposção e em que caa uma as formas ferencas é não nula apenas em um pequeno trecho a superfíce que cobre a superfíce. Então poe-se emonstrar que converge porque os trechos fcam caa vez menores e mas numerosos até o lmte que é nepenente essas ecomposções.. Energa otencal [] Como aplcação em uas mensões (por smplcae consere o potencal (r numa 0-forma e sua ervaa eteror. Integrano ao longo e uma trajetóra orentaa C e r até r temos z 5

32 6 C C C r r r ( ( Em que a últma ntegral é a fórmula-parão para a ferença e potencal e energa que faz parte o teorema e conservação e energa. A trajetóra e a nepenênca e parametrzação são eventes nesses casos especas..4 eorema e tokes [] amos esboçar prmeramente a ervação-parão a versão mas smples o teorema e tokes para um retângulo c b a orentao em sento ant-horáro seno sua frontera: A B A B c A A a B b B a B A b B c A B A b a c c b a b a c b a c a b c ( ( ( ( ( ( ( ( Que vale para qualquer superfíce smplesmente conectaa a que possa ser reuna por retângulos. Este mesmo teorema poe ser emonstrao utlzano as formas ferencas em uas mensões: A B B B A A B A B A Integrano sobre uma superfíce e sua frontera respectvamente obtemos: A B B A B A ( (

33 Aqu as contrbuções à esquera a ntegral avnas e fronteras nternas se cancelam como e hábto porque são orentaas em reções opostas sobre retângulos ajacentes. ara caa retângulo nterno orentao que compõe a superfíce smplesmente conectaa usamos: 0 É nteressante notar que a ervaa eteror gera automatcamente a componente z o rotaconal. Em três mensões o teorema e tokes erva a entae e forma ferencal que envolve o potencal vetor A e a nução magnétca B A ( A A A z A A A z A Az z A A z... z A A A A z z z z z z A gerano toos os componentes o rotaconal em espaço trmensonal. Essa entae é ntegraa sobre caa retângulo orentao que compõe a superfíce smplesmente conectaa (que não tem buracos sto é one caa curva se contra até um ponto a superfíce e então é somaa sobre toos os retângulos ajacentes para resultar o fluo magnétco através e B z Bz Bz A A Azz o caso e utlzar a notação-parão e análse vetoral: B a.5 eorema e Gauss A a A r Consere a le e Gauss []. Integramos a ensae elétrca E a b c e z f 0 orentao por z (para o lao reto o lao =b e orentao por z (sento ant-horáro como vemos por >b e assm por ante. Usano sobre o volume o paralelepípeo 7

34 b E E ( b z E ( a z a emos na notação e formas ferencas somano sobre toos os paralelepípeos que compõe o volume : E z E z E Integrano a entae (-forma o fluo elétrco ( E z E z E E z E E E z z z z z E z sobre a superfíce smplesmente conectaa temos o teorema e Gauss E z E z E z E E E z z z Em notação-parão e análse vetoral: E a E r q 0.6 Campo elétrco e uma carga pontual Calcularemos o fluo o campo elétrco corresponente a uma carga pontual q>0 através e uma esfera [8]. ela le e Coulomb este campo é ao por: ( kq E z ( z / ( z one k é uma constante que não precsamos eplctar. ara calcular o fluo usamos a -forma corresponente que neste caso será: E kq ( z z z / ( z 8

35 Como o campo é central e a ntegração será sobre a superfíce e uma esfera é melhor utlzar coorenaas esfércas: ( z ( r cos( sen( rsen( sen( r cos( one r é o rao (constante! a esfera. Com sso *( r *( z r *( z r sen( cos( sen( sen ortanto após os evos cancelamentos ( cos( sen( *( E kqcos ( sen( Com sso o fluo total através a esfera será: E R *( kqcos ( sen( E 00 E kq cos ( 0 4kq 4.0 Conclusão Fo possível observar urante a realzação o trabalho que as formas ferencas levam a uma unfcação e concetos e teoremas e análse vetoral. Esta unfcação contrbu para a compreensão e versos problemas físcos e uma manera muto mas concsa o que ocorre com o uso o cálculo vetoral às custas e egr uma abstração um pouco maor. a físca teórca essa ferramenta matemátca poe ser muto útl pos ela nos revela uma estrutura geométrca presente em operações o cálculo vetoral que é fícl e perceber com as técncas usuas o cálculo vetoral. Um grane eemplo fca para o estuo as relações e Mawell em ermonâmca que são compactaas e moo bastante epressvo quano estuaas com o formalsmo apresentao. Um benefíco aconal é que as relações e Mawell poem ser nterpretaas e uma nova manera; permtno não só uma formulação aomátca a ermonâmca mas também apresentano um moo mas geométrco e generalzao. Outra característca muto mportante este formalsmo é que ele se presta em alguns casos a servr como substtuto o formalsmo tensoral. Mutas vezes o uso o cálculo eteror assocao aos tensores permte obter resultaos que seram nváves utlzano somente cálculo tensoral. 9

36 Uma mportante contrbução as formas ferencas fca também para a generalzação a éa e um potencal; que é a recíproca o Lema e oncaré. Bblografa [] ARFKE G; WEBER H. Métoos Matemátcos para Engenhara e Físca.. e. Campus Elsever p. [] FLADER H. Dfferental Forms wth Applcatons on hscal cences. ew York ew York: Dover 96. [] FLEMMIG H. Formas Dferencas. Dsponível em: Acesso em: 0 e ago. 0. [4] HU H.. Análse etoral Coleção écnca 97. [5] J. M. F. Bassalo Revsta Braslera e Ensno e Físca [6] IAK M. Calculus on manfols Benjamn/Cummngs ew York (965. [7] J.R. lesle (97. An ntroucton to ensor Analss: For Engneers an Apple centsts. Longman. [8] COUIHO. C. Cálculo vetoral com formas ferencas. [9] FREIRE Igor L. Formas ferencas em eletronâmca. e ezembro e

37 Bblografa [] ARFKE G; WEBER H. Métoos Matemátcos para Engenhara e Físca.. e. Campus Elsever p. [] FLADER H. Dfferental Forms wth Applcatons on hscal cences. ew York ew York: Dover 96. [] FLEMMIG H. Formas Dferencas. Dsponível em: Acesso em: 0 e ago. 0. [4] HU H.. Análse etoral Coleção écnca 97. [5] J. M. F. Bassalo Revsta Braslera e Ensno e Físca [6] IAK M. Calculus on manfols Benjamn/Cummngs ew York (965. [7] J.R. lesle (97. An ntroucton to ensor Analss: For Engneers an Apple centsts. Longman. [8] COUIHO. C. Cálculo vetoral com formas ferencas.