UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE BAURU. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE BAURU Programa e Pós-Grauação em Engenhara Elétrca Métoo Prevsor-Corretor Prmal-Dual e Pontos Interores em Problemas Multobjetvo e Despacho Econômco e Ambental Aluno: Améla e Lorena Stanzan Orentaor: Prof. Dr. Antono Roberto Balbo Dssertação e Mestrao apresentao ao Programa e Pós Grauação em Engenhara Elétrca, FEB, UNESP, Campus e Bauru, como parte os requstos para a obtenção o título e mestre em Engenhara Elétrca Bauru - SP

2 Stanzan, Améla e Lorena. Métoo prevsor-corretor prmal-ual e pontos nterores em problemas multobjetvo e espacho econômco e ambental / Améla e Lorena Stanzan, 95 f. Orentaor: Antono Roberto Balbo Dssertação (Mestrao) Unversae Estaual Paulsta. Faculae e Engenhara, Bauru,. Métoos e Pontos Interores.. Métoos Prma- Dual Prevsor-Corretor.. Problemas Multobjetvo e Despacho Econômco e Ambental. Montagem. I. Unversae Estaual Paulsta. Faculae e Engenhara e Bauru. II. Título.

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4 A mente que se abre a uma nova ea jamas voltará ao seu tamanho orgnal. Albert Ensten Há escolhas que, se fossem eequíves, traram-nos o aperto. Poeram até ser ótmas, mas não são escolhas possíves. Otmzar é seleconar algo melhor. Mas, quase sempre, fcamos restrtos a escolhê-lo entre um conjunto lmtao e alternatvas. Jocelyn Fretas Bennaton

5 A meu pa, pelo eemplo, amor e ncentvo nconconal. Sempre estará presente. v

6 Agraecmentos Ao meu orentaor, Prof. Dr. Antono Roberto Balbo pela amzae, orentação e partcpação efetva no esenvolvmento o trabalho, cujo êto fo consequênca e sua eperênca e e sua ecação. As professoras Helence e Olvera Florentno Slva, Eméa Cássa Baptsta e Elane Martns Soler, pelas contrbuções pertnentes e mprecníves, que enrqueceram, e muto, este trabalho. Aos amgos e companheros e trabalho o Labore, Rcaro, Camla e Larssa, que tveram partcpação atva na realzação este trabalho, obrgaa pela parcera e força. Aos scentes e ocentes o programa e mestrao em engenhara elétrca, que e alguma forma contrburam urante esse períoo e crescmento. Aos amgos, pelos momentos e escontração, sem os quas não vencera essa etapa, em especal as granes amgas Danele e Dense, que ese sempre estão ao meu lao e nessa fase não sera ferente, a amzae e vocês sgnfca muto pra mm. A mnha famíla pelo ncentvo e créto na concretzação o mestrao. As pessoas que mas amo e que confam em mm, meus rmãos, Eno e Bruno, pelo total apoo e mnha mãe, por too amor, ecação e pacênca nos momentos e anseae, por toa mnha va. A Deus pelas oportunaes que se apresentaram e se apresentam em mnha va e pela coragem concea a mm para aprovetá-las. Muto Obrgaa! v

7 RESUMO O presente trabalho apresenta o métoo prmal-ual prevsor-corretor e pontos nterores para programação quarátca, com restrções lneares e quarátcas e varáves canalzaas, e a aplcação este métoo na resolução e problemas multobjetvo e espacho econômco e ambental, encontraos na engenhara elétrca. Pretene-se etermnar soluções que sejam efcentes em relação ao custo os combustíves empregaos na geração termoelétrca e energa e ao controle a emssão e poluentes, nvestgano-se uas estratégas: a prmera estratéga consera na função objetvo a soma poneraa entre as funções objetvo econômca e objetvo ambental; a seguna estratéga consera o problema e espacho econômco conconao à restrção ambental, lmtaa superormente para níves permssíves e emssão. Para a resolução estes, uma mplementação computaconal o métoo prmal-ual fo realzaa em lnguagem e programação C++, conserano o procemento prevsor-corretor com uma estratéga e barrera mofcaa para as restrções quarátcas e esgualae, quano conseramos a seguna estratéga. Os resultaos obtos emonstram a efcênca o métoo em estaque em comparação a outros métoos como algortmos genétcos co-evolutvo, atávco híbro e cultural, bem como ao métoo prmal-ual e pontos nterores, com procemento e busca unmensonal, que estão vulgaos na lteratura. Palavras-chave: Métoo Prmal-Dual e Pontos Interores, Procemento Prevsor-Corretor, Problemas e Despacho Econômco, Problema e Despacho Ambental, Aplcações a Engenhara. v

8 ABSTRACT Ths paper presents the prmal-ual prector-corrector nteror pont metho for quaratc programmng wth lnear an quaratc constrants an boune varables, an ts applcaton n multobjectve problems of economc an envronmental spatch, foun n electrcal engneerng. It s ntene to etermne effectve solutons to the fuel cost use n thermal power generaton an emssons control, by nvestgatng two strategy: the frst strategy consers the objectve functon as weghte sum of economc an envronmental objectve functons; the secon strategy consers the economc spatch problem subject to envronmental constrant, upper boune for allowable emsson levels. To solve them, a computatonal mplementaton of prmal-ual methos was performe n C++ programmng language, conserng the prector-corrector proceure wth a strategy of mofe barrer for the quaratc nequalty constrants, when we conser the secon strategy. The results obtane emonstrate the effcency of the metho hghlghte n comparson wth the coevolutve genetc algorthms, hybr an atavstc cultural, as well the prmal-ual nteror pont metho wth one-mensonal search proceure, whch are foun n the lterature. Keywors: Prmal-Dual Interor Pont Methos, Prector-Corrector Proceure, Economc Dspatch Problems, Envronmental Dspatch Problems, Electrc Engneerng an Applcatons. v

9 SUMÁRIO RESUMO... v ABSTRACT... v LISTA DE TABELAS E FIGURAS... LISTA DE ABREVIATURAS E UNIDADES... Capítulo INTRODUÇÃO, HISTÓRICO E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO.... Introução.... Hstórco.... Organzação o trabalho... 6 Capítulo OTIMIZAÇÃO Multplcaores e Lagrange.... Problemas e Otmzação com Restrções e Desgualae.... Métoos Determnístcos e Otmzação..... Métoo os Graentes..... Métoos e Newton....4 O Métoo e Barrera Métoo e Barrera Clássca Métoo e Barrera Logarítmca Métoo e Barrera Mofcaa Dfculaes Computaconas... 7 Capítulo MÉTODO PRIMAL-DUAL PONTOS INTERIORES Conserações para o Algortmo PDPCBL Geral Dreções e Busca Procemento Prevsor-Corretor..... Comprmento o Passo Atualzação o Parâmetro e Barrera Crtéro e Paraa Algortmo PDPCBL Conserações para o Algortmo PDPCBL Smplfcao.... Conserações para o Algortmo PDPCBLM Atualzação o Parâmetro e Barrera... 8 Capítulo 4 PROBLEMAS DE DESPACHO Geração Termoelétrca... 9 v

10 4. Problemas e Despacho Problema e Despacho Econômco Problema e Despacho Ambental Moelo Multobjetvo e Despacho Econômco e Ambental e Métoos e Resolução Métoo a Soma Poneraa Problema I Métoo ε-restrto Problema II Restrção e Emssão Máma Total o Sstema Problema III Restrção e Emssão Máma por Unae Geraora Problemas IV e V PDA com restrção econômca... 5 Capítulo 5 APLICAÇÃO E RESULTADOS NUMÉRICOS Aaptações o Métoo aos Problemas I, II e III Problema teste com 6 unaes geraoras Daos Numércos Problema I 6 Unaes Geraoras Problema II e III 6 Unaes Geraoras Problema II - Emssão Máma Total o Sstema Problema III - Emssão Máma por Unae Geraora Análse os resultaos Problema teste com 4 unaes geraoras Daos Numércos Problema I 4 Unaes Geraoras Problema II e III 4 Unaes Geraoras Problema II - Emssão Máma Total o Sstema Problema III - Emssão Máma por Unae Geraora Análse os resultaos Capítulo 6 CONCLUSÕES Capítulo 7 TRABALHOS PUBLICADOS... 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 8

11 LISTA DE TABELAS E FIGURAS Tabela 4. Geração e Energa Elétrca no Brasl... 9 Tabela 4. Dez maores termoelétrcas atualmente em operação no Brasl... 4 Fgura 4. Curva e Entraa-Saía Típca e uma Unae Térmca... 4 Fgura 4. Curva e Pareto Ótma Tabela 5. Coefcentes as funções econômca e ambental, 6 unaes geraoras Tabela 5. Lmtes operaconas para caa uma as 6 unaes geraoras Tabela 5. Métoo a Soma Poneraa Problema I (4.) Valores as funções econômca e ambental para ferentes valores e β, 6 unaes geraoras Fgura 5. Curva e Pareto o Problema I (4.), 6 unaes geraoras Tabela 5.4 Métoo ε-restrto Problema II (4.) Potênca geraa por unae conserano um lmtante superor para a emssão total o sstema e geração, 6 unaes geraoras Fgura 5. Curva e Pareto o Problema II (4.), 6 unaes geraoras Tabela 5.5 Solução Incal X Lmtantes Ambentas Tabela 5.6 Métoo ε-restrto Problema III (4.) Potênca geraa por unae conserano lmtes superores para caa uma as 6 unaes geraoras... 6 Tabela 5.7 Comparação os resultaos o AGHCOE, AC, PDPCBU e PDPCBL para as funções F e e F a... 6 Tabela 5.8 Resultaos para a função objetvo poneraa... 6 Tabela 5.9 Comparação os Resultaos para os Problemas I, II e III... 6 Tabela 5. Coefcentes a função econômca e lmtantes operaconas, 4 unaes geraoras Tabela 5. Valores pré-efnos pelos procemento. a v. para etermnar os coefcentes a função ambental no caso e 4 unaes geraoras Tabela 5. Coefcentes a função ambental, 4 unaes geraoras Tabela 5. Métoo a Soma Poneraa Problema I (4.) Valores as funções econômca e ambental para ferentes valores e β, 4 unaes geraoras Fgura 5. Curva e Pareto o Problema I (4.), 4 unaes geraoras... 7

12 Tabela 5.4 Métoo ε-restrto Problema II (4.) Potênca geraa por unae conserano um lmtante superor para a emssão total o sstema e geração, 4 unaes geraoras... 7 Fgura 5.4 Curva e pareto o Problema II (4.), 4 unaes geraoras... 7 Tabela 5.5. Restrções Ambentas Volaas. Caso I, parâmetro e barrera mofcaa ncal μ =... 7 Tabela 5.5. Restrções Ambentas Volaas. Caso II, parâmetro e barrera mofcaa ncal μ = Tabela 5.6 Métoo ε-restrto Problema III (4.) Potênca geraa por unae conserano lmtes superores para caa uma as 4 unaes geraoras... 7 Tabela 5.7 Comparação os resultaos, 4 unaes geraoras... 75

13 LISTA DE ABREVIATURAS E UNIDADES AC - Algortmo Cultural AG - Algortmo Genétco AGHCOE - Algortmo Genétco Hbro Co-Evolutvo ANEEL - Agênca Naconal e Energa Elétrca BL - Barrera Logarítmca BM - Barrera Mofcaa Btu/h - Unae Térmca Brtânca por Hora CO - Gás Carbônco ED - Evolução Dferencal EEQN - Estratéga Evolutva e Métoo Quase-Newton FPO - Fluo e Potênca Ótmo KKT - Karush Kuhn Tucer MW - Megawatts NO - Óo e Ntrogêno PC - Prevsor-Corretor PDA - Problema e Despacho Ambental PDE - Problema e Despacho Econômco PDEA - Problema Multobjetvo e Despacho Econômco e Ambental PDPCBL - Prmal-Dual Prevsor-Corretor Barrera Logarítmca PDPCBLM - Prmal-Dual Prevsor-Corretor Barrera Logarítmca Mofcaa PDPCBU - Prmal-Dual Prevsor-Corretor Busca Unmensonal PDPI - Prmal-Dual e Pontos Interores PPNL - Problema e Programação Não Lnear SO - Dóo e Enofre

14 Capítulo INTRODUÇÃO, HISTÓRICO E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO. Introução Problemas e otmzação não-lnear ocorrem em mutas áreas o conhecmento tas como, matemátca, engenhara, agronoma, entre outras. Devo à sua não-lnearae e quantae e varáves, estes problemas apresentam fculaes quanto à sua resolução, assm é e nteresse utlzar métoos numércos efcentes para a etermnação e soluções estes, efnno crtéros e convergênca para tas etermnações. Dentre os problemas e otmzação restrtos não-lneares estacam-se os problemas e espacho econômco (PDE) e ambental (PDA), que são encontraos na área e sstemas e geração e energa, em engenhara elétrca. Estes analsam a geração termoelétrca baseanose não somente em seus aspectos econômcos, mas também preocupano-se com a reução a emssão e poluentes, pela energa prouza ou pelo combustível consumo. Desta forma o PDE e o PDA são problemas e otmzação não-lnear, seno que o prmero busca otmzar o processo e alocação ótma a emana e energa elétrca entre as unaes geraoras sponíves mnmzano o custo e combustíves empregaos na geração termoelétrca, e o seguno busca mnmzar a emssão e poluentes resultantes a geração termoelétrca, e tal forma que, em ambos os problemas, as restrções operaconas e e emana sejam satsfetas. No presente trabalho o PDE e o PDA serão trataos ao mesmo tempo, ou seja, será apresentao um problema e otmzação multobjetvo, em que eseja-se otmzar os custos e geração e energa e concomtantemente reuzr a emssão e poluentes, os quas são objetvos confltantes. Uma vez que não é possível soluconar este problema retamente, evo ao conflto entre as funções objetvo, algumas estratégas encontraas na lteratura permtem etermnar problemas mono-objetvo, as quas estacamos o métoo a soma poneraa e o métoo ε-restrto, encontraos em Mettnen (999). Esses métoos possbltam a etermnação e soluções efcentes para o problema multobjetvo a partr e os problemas mono-objetvo: o prmero problema, obto através o métoo a soma poneraa, consera na função objetvo a soma balanceaa entre as funções objetvo o PDE e o PDA; o seguno problema, obto através o métoo ε-restrto, consera o PDE

15 conconao a uma restrção ambental, que correspone a função objetvo o PDA, lmtaa superormente para níves permssíves e emssão e poluentes. Os problemas e espacho econômco e ambental, assm como as aboragens multobjetvo envolveno as estratégas a soma poneraa e o ε-restrto, serão trataos mas etalhaamente no capítulo 4, one serão apresentaos caa um os problemas e suas característcas. A análse e técncas e solução os PDE e PDA possblta a nvestgação e métoos utlzaos na resolução e problemas e programação quarátca. Dentre estes métoos, poemos ctar o métoo prmal-ual e pontos nterores, que utlza a estratéga e barrera logarítmca e que na prátca, tem se mostrao efcente para a resolução e problemas e programação não-lnear. Este métoo é varante o algortmo e transformação projetva e Karmarar (984) e fo analsao e apresentao em Montero et al. (99) e Kojma et al. (989). A emonstração teórca a compleae e tempo polnomal fo feta com sucesso por esses autores. O algortmo relatvo a este métoo eplora uma função prmal-ual varante a função barrera logarítmca, enomnaa e função potencal. Os métoos nseros na metoologa prmal-ual e pontos nterores, foram amplamente nvestgaos em Fang e Puthenpura (99). O algortmo prmal-ual e pontos nterores fo esenvolvo utlzano-se e procementos baseaos na função barrera logarítmca, que fo efna em Frsch (955) e computaconalmente eploraa e vulgaa por Facco (968). Neste trabalho propõe-se uma etensão e aplcação o métoo prmal-ual e pontos nterores para problemas e programação quarátca, o qual baseou-se nos trabalhos e Wrght (997) e Wu e Debs (994), utlzano-se o procemento prevsor-corretor, apresentao por Mehrotra e Sun (99), que procura atenuar o esforço computaconal requero pelo métoo prmal-ual e pontos nterores na etermnação e reções e busca. O procemento prevsor-corretor, uma vez nsero no métoo e resolução, a caa teração, na fase prevsor etermna uma reção e busca baseaa em uma apromação e prmera orem o sstema. Em segua, na fase corretor, conserano apromações e seguna orem a partr as reções obta pelo procemento prevsor, etermnano novas reções e busca numa mesma teração. Tal métoo assm como seu algortmo serão apresentaos etalhaamente no capítulo. Em Perera (7) é relatao que os métoos e pontos nterores que eploram a função barrera logarítmca geralmente apresentam bom esempenho computaconal em

16 problemas e grane porte e otmzação lnear. Em contraparta, e acoro com Murray (97) e Wrght (997), tas métoos poem apresentar fculaes computaconas em problemas e otmzação não-lnear e grane porte evo ao mal conconamento as matrzes hessanas a função barrera quano o métoo se aproma a solução ótma o problema. A ntroução a teora o métoo e barrera mofcaa, esenvolvo por Polya (99), aula o esempenho o métoo nesse aspecto. Em contraste com a função barrera logarítmca, a função barrera mofcaa é convea na vznhança o ponto ótmo, uma vez que aumenta a regão factível tratano esse ponto como um ponto nteror essa regão. O problema ual é sempre côncavo, nepenentemente o problema prmal ser ou não ser conveo, e tem mportantes propreaes locas prómas à solução. O procemento e barrera mofcaa será acrescentao ao métoo e resolução os problemas multobjetvo moelaos através a estratéga ε-restrto, para város níves e lmtes superores a função ambental, evo a fculae e encontrar uma solução ncal que satsfaça a restrção ambental, a qual é uma função quarátca, para toos os lmtes e emssão conseraos. Dessa forma as soluções ncas mpostas ao problema poerão ser nfactíves ou muto prómas a frontera a regão factível e mesmo assm o procemento teratvo o métoo busca suavemente a solução ótma. Encontramos na lteratura, versos trabalhos que basearam seus estuos na metoologa e pontos nterores com estratéga e barrera logarítmca e barrera mofcaa, entre os quas alguns são relataos a segur.. Hstórco Através o métoo e barrera mofcaa, Bretfel e Shanno (996), esenvolveram métoos para tratar um possível mau conconamento a matrz hessana, e ntrouzram uma nova estratéga, na qual os termos logarítmcos eram etrapolaos por apromações quarátcas. Esse métoo troue avanços sgnfcatvos na resolução e problemas e otmzação lnear e não-lnear rrestrta. Yan e Quntana (997), apresentaram um efcente métoo e pontos nterores prevsor-corretor aplcao a problemas e espacho econômco com restrção e segurança. Esses autores melhoraram o esempenho o métoo prevsor-corretor prmal-ual barrera logarítmca, aborano questões como o efeto o parâmetro e barrera, escolha o ponto ncal e tolerânca e convergênca, funamentas para o esempenho o algortmo.

17 Shanno e Vanerbe (999) ntensfcaram esses estuos esenvolveno um algortmo varante o algortmo prevsor-corretor para problemas e otmzação não-lnear e nãoconvea, fazeno uma perturbação na matrz hessana a função lagrangana, caso esta não seja efna postva. Devo ao fato e que os problemas trataos neste trabalho são baseaos sempre em funções conveas que operam em regões conveas, a estratéga e etrapolação, assm como a perturbação na matrz hessana, que neste caso é sempre efna postva, não serão eploraos. Utlzano métoos e barrera mofcaa e função lagrangana aumentaa, Sousa et al. (6) e Baptsta et al. (6) apresentaram um métoo e pontos nterores para resolução e problemas não-lneares aplcao a problemas e fluo e potênca ótmo (FPO), no qual obtveram conclusões a respeto o número e terações e sobre os parâmetros e barrera. Coelho e Maran (6) propuseram um algortmo hbro entre a estratéga evolutva e o métoo quase-newton (EEQN) o tpo BFGS (Broyen-Fletcher-Golfarb-Shanno) para busca local. Esta proposta e metoologa fo valaa em três problemas e espacho econômco e energa elétrca conserano os pontos e válvula. Os sstemas testaos consstem e, e 4 unaes geraoras. Arantes et al. (6) resolveram o mesmo sstema e 4 unaes geraoras para um problema e espacho econômco com pontos e válvula conserao em Coelho e Maran (6) através a evolução ferencal (ED), que é uma estratéga evolutva que tem a vantagem e trabalhar com um número pequeno e nvíuos, reuzno assm o tempo computaconal. Perera (7) aborou um métoo e barrera mofcaa/penalae para a resolução e problemas restrtos e otmzação geras, one as restrções e esgualae canalzaas são trataas pela função barrera mofcaa ou por etrapolação quarátca e as restrções e gualae através a função lagrangana, também aplcao a problemas e FPO. Slva (7) propôs um esquema para a tomaa e ecsões na operação e sstemas e potênca, baseao em um espacho econômco ambental nebuloso, utlzano um moelo e FPO nebuloso DC e este consste e os cenáros, o ambental versus o econômco e o econômco versus a ncerteza. Os problemas e sobrecarga em ree e o corte e carga são também levaos em conta. As smulações foram realzaas em sstemas teste e real para avalar o esquema proposto. 4

18 Souza () esenvolveu um métoo prmal-ual prevsor-corretor e pontos nterores para tratar o problema clássco e espacho econômco (sem ponto e válvula), baseao no trabalho e Wu e Debs (994) e Mehrotra e Sun (99). Bshe et al. () propuseram um métoo prmal-ual e pontos nterores para resolução e problemas e espacho econômco e ambental, utlzano a teora e conjuntos fuzzy para obter um conjunto e soluções não omnantes. Uma vez que no trabalho proposto remos comparar os resultaos obtos pelo métoo PDPI, com procemento prevsor corretor, com a metoologa meta-heurístca e bonspraa (algortmos genétcos, genétco híbro co-evolutvo e cultural) encontraos em Same (4) e Rorgues (7), no que segue apresentaremos alguns trabalhos recentes, nseros nessa metoologa, que foram utlzaos para resolver problemas e espacho econômco e ambental. Same (4) utlzou um algortmo Genétco Híbro Co-Evolutvo (AGHCOE) para resolver um problema multobjetvo e espacho econômco e ambental. O AGHCOE consste em uas sub-rotnas stntas: a prncpal, o algortmo genétco híbro, que gera nvíuos aleatoramente e a e controle, o algortmo co-evolutvo, que fornece parâmetros ncas para serem utlzaos pelo AGH. Tal algortmo fo testao em um sstema teste e ses geraores. Chang e Cha (7) utlzaram o algortmo genétco (AG) ntegrao a uma técnca e multplcaor e atualzação, ntrouzo para evtar a eformação a função lagrangana aumentaa. O métoo fo aplcao a problemas e espacho econômco conserano a emssão e obteve-se bons resultaos e tempo computaconal reuzo. Bharath et al. (7), fzeram uma combnação o AG com a heurstca ant colony, nspraa pela observação os comportamentos e colônas e formgas, este métoo fo esenvolvo para fornecer um meo e comparação com o AG. Os métoos propostos foram testaos e aplcaos em uma ree e sstema e energa e um problema e espacho econômco e ambental e os resultaos epermentas e ambos os métoos são comparaos com as soluções encontraas na lteratura. Rorgues (7) mplementou um algortmo híbro utlzano o algortmo cultural, baseaos no processo e evolução cultural a humanae, e o algortmo genétco para resolver problemas e espacho econômco e ambental, utlzano problemas testes e ses e treze unaes geraoras. 5

19 Alsumat et al. (9) apresentaram um algortmo híbro para a resolução e problemas e espacho econômco com ponto e válvula, composto pelo algortmo genétco como otmzaor prncpal, enquanto utlza a busca parão e a programação sequencal quarátca para refnar os resultaos, mostrano a efcênca e tal aboragem através e sstemas testes. Sonmez () apresentou um algortmo enomnao artfcal bee colony, nsprao pelos processos e va e comportamentos e abelhas em uma colôna. O problema e otmzação multobjetvo e espacho econômco e ambental fo tratao neste trabalho usano o fator e penalae e custo.. Organzação o trabalho Neste trabalho apresentamos um métoo prmal-ual e pontos nterores com procemento prevsor corretor para resolver problemas e programação quarátca, com restrções lneares, e varáves canalzaas, baseao nos trabalhos e Souza (), Kojma et al. (989), Mehrotra e Sun (99), Wrght (997) e Wu e Debs (994), para aplcação ao problema resolvo através o métoo a soma poneraa, a ser etalhao na seção 4... Desenvolvemos uma etensão o métoo prmal-ual e pontos nterores para resolver problemas e programação quarátca, com restrções lneares e restrções quarátcas, com varáves canalzaas, para aplcação ao problema ε-restrto com uma únca restrção ambental, a ser vsto na seção 4..., bem como eplorar a função barrera logarítmca mofcaa baseano-se em Polya (99), Perera (7), Baptsta et al.(6) e Sousa et al.(6), para a resolução o problema ε-restrto com uma restrção ambental para caa unae geraora, a ser vsto na seção 4... Utlzamos o métoo prevsor-corretor, apresentao por Mehrotra e Sun (99) e Wu e Debs (994), procurano mnur o esforço computaconal na etermnação e reções e busca e realzano apenas a busca unmensonal relatva à não-negatvae as varáves, com o objetvo e garantr a convergênca o métoo e pontos nterores, etermnano o comprmento o passo na reção obta a caa teração. Esses métoos, com toas as suas partcularaes, foram testaos e mplementaos em lnguagem computaconal utlzano o software Borlan C++ Buler 6. e aplcaos ao problema a soma poneraa e problema ε-restrto, relaconaos ao problema multobjetvo e espacho econômco e ambental, esconserano os pontos e válvula o sstema, 6

20 etermnano resultaos efcentes para o custo os combustíves empregaos na geração termoelétrca e energa, e para a emssão e poluentes. Os métoos foram aplcaos em um problema teste e ses unaes geraores, cujos aos poem ser encontraos em Same (4), Rorgues (7) e Souza (), bem como para o problema e espacho econômco e ambental, relatvo ao caso e 4 geraores, encontrao em Arantes et al. (6) e Coelho e Maran (6). Ressalta-se que, para este problema os aos utlzaos para a função e emssão foram obtos ranomcamente, já que, estes não são apresentaos na ampla bblografa sobre problemas e espacho econômco e ambental. O trabalho esenvolvo é apresentao e acoro com o que segue. No capítulo, é apresentaa uma ntroução a respeto os métoos e os problemas, a serem nvestgaos, através e uma análse o estao a arte esses temas e a apresentação a metoologa e trabalho, através os objetvos que motvaram essa pesqusa, além a presente organzação o trabalho. No capítulo, a formulação os problemas e mnmzação restrtos e as teoras e otmzação necessáras para o esenvolvmento e métoos e pontos nterores são apresentaas. No capítulo, apresentamos o métoo prmal-ual e pontos nterores assm como seu algortmo, os procementos prevsor-corretor utlzaos na etermnação e reções e busca e comprmento e passo nessa reção, respectvamente. Um algortmo geral é esenvolvo na seção. para aplcação ao problema gerao através o métoo ε-restrto com uma únca restrção ambental para too o sstema e geração, e na seção., um algortmo smplfcao é esenvolvo para a aplcação ao problema gerao através o métoo a soma poneraa, que não apresenta restrções quarátcas. Uma estratéga e barrera mofcaa é apresentaa na seção. para aplcação o métoo prmal-ual prevsor-corretor barrera logarítmca mofcaa (PDPCBLM) ao problema gerao através o métoo ε-restrto com uma restrção ambental para caa unae geraora o sstema e geração. No captulo 4 ntrouzmos os moelos e espacho econômco e ambental, efnmos o moelo multobjetvo e espacho econômco e ambental e apresentamos as estratégas utlzaas para a etermnação e soluções efcentes este, baseaas em problemas mono-objetvos varantes os métoos a soma poneraa e ε-restrto. 7

21 No capítulo 5 apresentamos os resultaos a aplcação o métoo prmal-ual e pontos nterores nos problemas estuaos no capítulo anteror para um problema teste e 6 unaes geraoras e para um outro problema teste, e maor mensão, com 4 unaes geraoras. A análse os resultaos obtos é feta comparano-os com outros algortmos encontraos na lteratura. No capítulo 6 fazemos a conclusão o trabalho esenvolvo apontano as possblaes e contnuae em trabalhos futuros. As referêncas bblográfcas nas quas nos baseamos para a realzação este trabalho encontram-se no capítulo 7. 8

22 Capítulo OTIMIZAÇÃO Equaton Chapter Secton Os problemas e otmzação são problemas e programação matemátca que buscam a melhor solução possível para uma etermnaa função, enomnaa e função objetvo, através a escolha sstemátca os valores e varáves entro e um conjunto e soluções factíves. Tas problemas são encontraos em versas áreas o conhecmento, mutos eles poem ser moelaos como problemas e mamzação ou mnmzação e uma função cujas varáves evem obeecer a certas restrções e gualae ou esgualae, representaas abao pelo conjunto X e soluções factíves formao através estas restrções: Mnmzar ( Mamzar) f ( ) X (.) Os moelos matemátcos este tpo são enomnaos problemas e otmzação restrtos. De acoro com as característcas a função objetvo e as restrções, os problemas e otmzação poem ser classfcaos como problemas e programação lnear, quano a função objetvo assm como as restrções são funções lneares, ou problemas e programação não-lnear, quano pelo menos uma as funções envolvas no problema (função objetvo ou restrções) é uma função não lnear. Consegur soluções para estes problemas, sejam elas ótmas ou apromaas, mutas vezes ege grane esforço computaconal que poe ser amenzao com a utlzação e bons métoos e resolução, sobretuo os que possam resolver problemas e grane porte, nepenente a quantae e restrções ou e varáves e emas característcas as funções. A maora os métoos etermnístcos clásscos baseam-se em regões factíves conveas. Caso a regão elmtaa pelas restrções o problema seja não-convea tas métoos poem convergr para uma solução ótma local ou um ponto e sela, e essa forma a solução ótma global o problema não é asseguraa. Os estuos relaconaos aos métoos para otmzação numérca e mutas varáves ncaram-se na écaa e 4, após a seguna grane guerra munal, evo à fculae encontraa na ocasão em alocar recursos escassos. Desenvolveu-se o métoo smple para problemas e programação lnear. O métoo smple se mostrou efcente e passou a ser aplcao em empresas que pela necessae e crescmento econômco eparavam-se com 9

23 problemas e ecsão bastante compleos. A partr e então, os métoos e programação não lnear foram esenvolvos, a prncpo, lmtao a pequenas mensões. Apenas no fnal a écaa e 5 surgram métoos e maor efcênca capazes e resolver problemas não lneares e mutas varáves. Uma as classes e métoos e otmzação é enomnaa e métoos e pontos nterores. Estes métoos etermnam a solução ótma global o problema, através e pontos nterores à regão factível. Os métoos e pontos nterores têm so amplamente nvestgaos e utlzaos na resolução e problemas e programação lnear, quarátca e nãolnear, com bom esempenho em problemas e grane mensão. A estratéga e pontos nterores, ntrouza por Frsch (955) e por Carrol (96), fo ntensfcaa por Karmarar (984) quano este publcou o métoo projetvo para programação lnear. A partr o esenvolvmento o métoo e Karmarar, foram apresentaos versos métoos varantes, entre os quas poemos ctar o métoo prmal-afm, utlzao em programação lnear com restrções e gualae, proposto por Barnes (984) e por Vanerbe et al. (984); o algortmo ual-afm proposto por Aler et al. (989) para programação lnear com restrções e esgualae. O aperfeçoamento o métoo com a ncorporação a função barrera logarítmca ao problema e programação lnear, orgnaram os métoos e trajetóra central, bem como ao algortmo prmal-ual e pontos nterores proposto por Montero et al.(99) e também por Kojma et al. (989), os quas eploram uma função potencal prmal-ual varante a função barrera logarítmca e o métoo a barrera logarítmca prmal-ual prevsor-corretor. Destaca-se ana a teora e métoos a função barrera mofcaa esenvolva por Polya (99). Estes métoos combnam as melhores propreaes a função lagrangana clássca e a função barrera clássca, evtano os problemas que ambas enfrentam.. Multplcaores e Lagrange Consere o segunte problema geral e mnmzação com m restrções e gualae: Mnmzar f ( ) Sujeto a h ( ),,,..., m (.) em que: n e m < n O objetvo o problema é encontrar o ponto ótmo * que mnmze a função f( )

24 conconaa às restrções e gualae o problema. A estratéga os multplcaores e Lagrange consste em etermnar um problema equvalente ao problema (.), assocano a caa uma as restrções um multplcaor e lagrange que rá penalzar a restrção na função objetvo, obteno-se um novo problema, rrestrto e epenente esses multplcaores. Caa restrção h ( ) será assocaa, portanto, a um multplcaor,,,..., m. O problema agora está em mnmzar essa nova função objetvo L (, ) enomnaa e função Lagrangana e efna por: Mnmzar L(, ) f ( ) h ( ) (.) A solução o problema (.), agora rrestrto, poe ser obta aplcano as conções necessáras e otmalae. * * m m L f h (.4) L h ( ),,,..., m (.5) O sstema gerao através essas equações nos permtrá encontrar o ponto ótmo (, ). Uma vez que trata-se e um sstema quarao e m+n equações e m+n ncógntas o métoo e Newton poe ser utlzao para a resolução, o qual será apresentao no prómo capítulo. A seguna conção correspone as restrções e gualae o problema orgnal, que uma vez satsfetas tornam o problema (.) equvalente ao problema (.), ou seja, o ponto * que mnmza a função L (, ) também mnmza a função f( ).. Problemas e Otmzação com Restrções e Desgualae O teorema e Karush-Kuhn-Tucer (KKT) fornece um conjunto e conções necessáras para tratar as restrções e esgualae. em que: Consere o segunte problema e mnmzação com m restrções e esgualae: Mnmzar f ( ) (.6) Sujeto a g ( ),,,..., m n n e m < n. Analogamente a seção., assocaremos às restrções g ( ) os multplcaores e Lagrange,,,..., m, obteno assm a função objetvo L (, ). As conções

25 necessáras e otmalae e KKT são as que seguem: * * L (, ) * * L (, ) * T * ( ) g ( ) * (.7) em que: m. Consere o segunte problema e mnmzação com m restrções e gualae e r restrções e esgualae: Mnmzar f ( ) Sujeto a h ( ), j,,..., r j g ( ),,,..., m (.8) em que: n e m+r< n. Temos o segunte problema rrestrto equvalente: r m j j j Mnmzar L(,, ) f ( ) h ( ) g ( ) (.9) As conções e otmalae para um ponto * * * * são aas por: L (,, ) (.) * * * L (,, ) (.) * * * L (,, ) (.) * jgj( ) * j (.) em que: r e m m.. Métoos Determnístcos e Otmzação Um métoo e resolução e problemas e otmzação é enomnao etermnístco quano é possível prever toos os passos este a partr e um ponto e ncal conheco, através as ervaas parcas (graente) a função objetvo, quano consera-se que esta é contínua e ferencável para ϵ X.

26 .. Métoo os Graentes O métoo os graentes é baseao na ervaa e prmera orem a função objetvo. O procemento teratvo camnha na reção contrára o vetor graente a função objetvo e um problema e mnmzação. O novo ponto é calculao pela epressão: K f( ) (.4) Este métoo é smples e constantemente eplorao na lteratura, apesar a apresentar problemas computaconas, como o efeto zgue-zague, que faz aumentar emasaamente o tempo computaconal para obtenção a solução ótma (Bazzaraa et al. (99)). Na prátca, um métoo mas efcaz o que o métoo os graentes, para a resolução e problemas e programação não lnear, é o métoo e Newton, que é apresentao a segur, bem como métoos varantes este, enomnaos e Quas-Newton, que não serão eploraos neste trabalho... Métoos e Newton O métoo e Newton busca os pontos etremos e funções contínuas com as uas prmeras ervaas contínuas. O novo ponto é calculao pela epressão: f( ) f( ),,, (.5) A equação (.5) poe ser reescrta utlzano a notação a matrz hessana H( ): H( ) f( ),,, em que H( ) armazena os valores as ervaas parcas e seguna orem e f( ). (.6) Este métoo será eplorao no capítulo, quano apresentaremos o métoo prmalual e pontos nterores, mas não em sua forma clássca, ou seja, ele é utlzao eploranose a esparsae a matrz hessana obta pelo sstema Newton gerao para a busca e reções o métoo aborao no capítulo..4 O Métoo e Barrera Dao um problema e otmzação com r restrções e esgualae: Mnmzar f ( ) Sujeto a g ( ) ;,,...,r (.7)

27 Os métoos e barrera nos levam a um problema equvalente ao problema (.7), porém rrestrto, one as restrções e esgualae são ncorporaas a função objetvo através e uma função e barrera B( ), penalzaas por um fator e barrera assocao a caa uma as restrções. Obtêm-se, esta forma, o segunte problema rrestrto: Mnmzar f ( ) B( ) (.8) em que: é enomnao fator e barrera, e B( ) é uma função barrera não-negatva e contínua no nteror a regão vável{;g() } e que tene ao nfnto à mea que a solução se aproma a frontera, a partr o nteror. Esse métoo mpee que os pontos nterores a regão factível apromem-se a frontera e também mpeem a obtenção e pontos nfactíves, a mea que a conção e complementarae B() seja respetaa. Dessa forma, caso não seja possível encontrar uma solução ótma para o problema, sempre teremos uma solução factível. A função barrera poe assumr váras formas, como, veremos a segur..4. Métoo e Barrera Clássca A função a barrera, apresentaa em (.9), é enomnaa barrera clássca ou nversa e fo estuaa por Carrol (96). Quano e B() c r B() c (.9) g(), temos que B() se aproma a função barrera eal, escrta anterormente, e a solução o problema e barrera (.8) converge para a solução o problema (.7). Para ncalzação o métoo e barrera é necessáro a seleção e um ponto ncal factível, o que poe ser trabalhoso em alguns casos. Estem técncas para a etermnação e pontos factíves ncas. Além essa fculae, poe haver um mau conconamento o sstema e reções e busca e erros e arreonamento na vznhança o ponto ótmo, evo a escolha e fatores e barrera muto pequenos. c 4

28 .4. Métoo e Barrera Logarítmca Uma mportante função utlzaa como função barrera é a barrera logarítmca apresentaa por Frsch (955), que penalza as restrções e esgualae g (), o problema (.7), ncorporano-as à função objetvo através e um termo logarítmco: l r (.) B() ln g() Uma vez que temos uma solução ncal nteror à regão factível e o métoo trabalha com pontos nterores a essa regão, ao penalzar os pontos que se apromam a frontera mpemos que eles saam a regão e as restrções poem ser gnoraas. O algortmo o métoo e barrera logarítmca poe ser encontrao em Souza ()..4. Métoo e Barrera Mofcaa A teora os métoos a função barrera mofcaa esenvolva por Polya (99) transforma o problema restrto (.7) em um problema equvalente rrestrto, baseano-se em uma função Lagrangana barrera mofcaa. Para um melhor entenmento o métoo e e suas propreaes escreve-se um métoo e barrera mofcaa em sua forma geral, para o problema (.7). Seja o segunte problema e otmzação não-lnear cujas varáves e folga z as restrções e esgualaes foram perturbaas em μ: Mnmzar f ( ) Sujeto a h ( ) z ;,,...,r (.) z Incalmente observa-se que a restrção relaaa z segunte manera: poe ser reescrta a z z z z (.) O métoo e barrera mofcaa é transformao o problema (.) no segunte problema e otmzação não-lnear rrestrto (.): em que: Mnmzar f ( ) B ( ) (.) B() m é a função barrera mofcaa efna por: r m m B () (z ()) (.4) 5

29 em que: é enomnao estmaor o multplcaor e Lagrange referente à varável z relaaa; (z ()) é uma função estrtamente convea tal que, eve satsfazer as seguntes conções: ( z ( )), se z lm ( z ( )) z (.5) A função barrera utlzaa nesse trabalho fo sugera por Polya (99) e é enomnaa por função barrera logarítmca mofcaa, efna em (.6): r ( z ( )) ln( z ( )) (.6) A função barrera mofcaa e suas ervaas estem na solução * para qualquer μ>. Se δ* é o vetor os multplcaores e Lagrange corresponente a * com a função barrera apresentaa em (.6), então o problema (.) tem as seguntes conções necessáras e sufcentes e otmalae para qualquer > : ) f(*) B m(*) f(*) ; ) f(*) B (*) ; m ) f(*) B m(*) é efna postva. A atualzação os parâmetros e barrera segue a conção necessára e otmalae aa por: r r f ' z h ' f z h (.7) Assm, se * entro e uma regão convea evemos ter também, pela conção e ualae, que *, portanto, caa componente o vetor estmaor os multplcaores e Lagrange eve ser atualzao conforme a regra abao: ' z (.8) O problema e otmzação não-lnear barrera logarítmca mofcaa é ao por: Mnmzar f ( ) ln z r (.9) 6

30 Para a atualzação os estmaores e e suas respectvas reções, Polya (99) efnu uma equação efna a segur em (.): que será eploraa na seção. o capítulo. z (.).4.4 Dfculaes Computaconas O esenvolvmento os métoos e barrera epene o tamanho o passo para a atualzação as varáves. Se o crtéro e paraa não for bem funamentao o processo teratvo poe consumr maor tempo computaconal. A escolha o parâmetro e barrera ncal e a forma e atualzação também nterfere no procemento teratvo. A etermnação este parâmetro e a forma e atualzação este serão vstas na seção.. o capítulo, para os os casos aboraos, o e barrera logarítmca e o e barrera mofcaa. Através os concetos vstos no presente capítulo, no capítulo são esenvolvos os métoos prevsor-corretor prmal-ual e pontos nterores, conserano um problema e programação quarátca convea com varáves canalzaas, em uma aboragem geral para restrções quarátcas e lneares, em uma aboragem smplfcaa apenas com restrções lneares, e ana, uma formulação conserano restrções quarátcas e lneares com a utlzação a estratéga e barrera mofcaa. 7

31 Capítulo MÉTODO PRIMAL-DUAL PONTOS INTERIORES Equaton Chapter Secton Neste capítulo ntrouzremos o métoo prmal-ual e pontos nterores,sua teora, algortmo e mplementação computaconal. O algortmo prmal-ual e pontos nterores fo esenvolvo utlzano-se e procementos baseaos na função barrera logarítmca e Frsch (955). Mego (989) forneceu uma análse teórca para o métoo e barrera logarítmca e propôs uma estrutura prmal-ual, através a qual Kojma et al. (989) apresentaram um algortmo prmal-ual e tempo polnomal para problemas e programação lnear. Estes mostraram que seu algortmo converga em O(nL) terações egno O( n ) operações artmétcas por teração. Montero e Aler (989) melhoraram o algortmo prmal-ual para convergr em O ( nl) terações com.5 O( n ) operações artmétcas, egas por teração, resultano num total e O( n L) operações artmétcas, apresentao a segur. No que segue, apresentaremos um métoo prmal-ual prevsor-corretor barrera logarítmca (PDPCBL), para um problema geral e programação e não-lnear convea e partcularzao para o caso e programação quarátca convea, que será aplcao a um problema e espacho econômco e ambental, resolvo através a estratéga ε-restrto (4.), o qual será apresentao na seção 4... o capítulo 4.. Conserações para o Algortmo PDPCBL Geral Conserano um problema e mnmzação em uma formulação geral, com restrções e gualae e esgualae e varáves canalzaas, epresso por: Mnmzar f ( ) Sujeto a g( ) ; (.) h ( ) u; em que: n m, g, h r. l l ; 8

32 No problema (.) aconamos as varáves e folga e ecesso, r n n z, z, z, e representamos a postvae as mesmas na função objetvo através o métoo e barrera logarítmca: em que: Mnnmzar f ( ) ln( z ) ln( z ) ln( z ) Sujeto a g( ) ; h ( ) z u; z l ; l z ; r n n j j j j j j é um parâmetro e barrera ou e centragem. (.) O métoo prmal-ual é efno para uma função rrestrta, portanto transformamos o problema (.) em um problema rrestrto através os multplcaores e Lagrange,,,, relaconaos às restrções e gualae este problema, obteno um problema equvalente ao pela mnmzação a função L a segur: Mnmzar L f ( ) ln( z ) [ln( z ) ln( z ) ] m j j j j j ( ) [ g ( )] ( ) [ h ( ) ( u) ( z ) ] j j j j j j j j n ( ) [( ) ( l ) ( z ) ] ( ) [ ( ) ( l ) ( z ) ] j r r j j j j j j j j n (.) A função L fo formulaa através e procementos e barrera logarítmca e multplcaores e Lagrange e recebe o nome e lagrangana barrera logarítmca. Ao problema rrestrto (.) aplcamos as conções necessáras e otmalae e Karush-Kuhn- Tucer (KKT): L, z, z, z,,,, ) (.4) ( As componentes o vetorl são ervaas parcas e prmera orem sobre toas as varáves a função L. t L f ( ) g ( ) h ( ) (.5) t L Z z e I (.6) L Z z e I (.7) L Z z e I (.8) 9

33 L g( ) (.9) Lh( ) z u (.) Lz l (.) Lz l (.) em que: r r Z, Z n n e Z são matrzes agonas, cujos elementos agonas são,, z z z, respectvamente; I r r, n n I são matrzes entae; e r n [,,...,], e [,,...,] ]. em que: Dessa forma a conção (.4) é representaa pelo segunte sstema não-lnear: r r n n t f( ) g( ) h( ) (.) t g ( ) (.4) h ( ) zu (.5) zl (.6) zl (.7) Z e e (.8) Z e e (.9) Z e e (.), e são matrzes agonas, cujos elementos agonas são:,..., r,,,, respectvamente. j,..., n j j Suponhamos que em uma teração o ponto r ( ) (, z, z, z,,,, ) satsfaça o sstema anteror. A efnção o novo ponto r (+) epene retamente as reções e movmento e comprmento e passo nesta reção, etermnao por: (.) P z z (.) P z P z z z (.)

34 z z (.4) P z D (.5) D (.6) D (.7) D (.8) As reções e busca, z,,,,,, z z, com os respectvos comprmentos e passo,, são epressos a segur. P D.. Dreções e Busca Procemento Prevsor-Corretor O passo prevsor usa uma apromação lnear por Sére e Taylor para avalar L (, z, z, z,,,, ), obteno-se a segunte apromação: em que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lr ( ) Lr ( ) Jr ( ) (.9) ( ) r (, z, z, z,,,, ),, z, z, z,,,, ) e ( ) Jr ( ) é a matrz Jacobana, cujo, j ( -ésmo elemento é ao por: L () r rj rr (.) Supono em uma teração que as conções e otmalae satsfaçam a vablae prmal e ual, em uma prmera análse, necessta-se etermnar a reção e movmento ( ) para obter-se o novo ponto r. Seguno-se os passos o métoo e Newton e mpono-se que L(r () ) =, a reção ( ) poe ser obta resolveno-se o segunte sstema: () Lr Jr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jr Lr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) A apromação e prmera orem a sére por Taylor gera o segunte vetor, ( ) enomnao e vetor e resíuos, para Lr ( ):

35 t t t t t t m e e Z e e Z e e Z l z l z u z h g h g f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (.) A matrz Jacobana o sstema efno pelas equações e (.) a (.) é aa por: ( ) ( ) ( ) ( ) t t L g h I I g h I I I I I Z Z Z (.) em que: ) ( ) ( ) ( h g f L t t Assm o sstema e reções e busca a ser resolvo é ao por: z z z t t t t t t m Z Z Z I I I I I h g I I h g L ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (.4) A manera como foram efnos os resíuos em (.) é o que evenca, no algortmo proposto neste trabalho, a ferencação entre o passo prevsor e o passo corretor o métoo. Para etermnar as reções, no passo prevsor, estem uas formas stntas na lteratura:

36 ) O sstema é resolvo retamente pelo métoo e Newton, a qual é a estratéga usual nos métoos e pontos nterores clásscos; ) Resolver o sstema lnear utlzano a sua estrutura esparsa e e blocos a matrz, a qual é a estratéga os métoos e pontos nterores varantes e Karmarar (984). Baseano-se em ), calculam-se, as reções separaamente, através as seguntes equações o sstema: t t L g( ) h( ) m (.5) g ( ) t (.6) h ( ) t (.7) z z t (.8) t (.9) z Z z (.4) Z z (.4) Z z (.4) A estratéga usaa na etermnação as reções nca-se escreveno as reções através e (.7), z através e (.8), z através e (.9), através e (.4), através e (.4) e através e (.4), em função e, como segue: z t h( ) (.4) t (.44) z t (.45) z Z [ ( t h( ) )] (.46) Z [ ( t )] (.47) Z [ ( t )] (.48) z A reção resíuo m como seno: também será etermnaa através e, em (.5) escrevemos o

37 m L g( ) h( ) t t g ( ) m h ( ) L t t g ( ) m h ( ) ( Z [ ( t h ( ) )]) t t ( Z [ ( t )]) ( Z [ ( t )]) L (.49) t g ( ) [ h ( ) Z h ( ) Z Z L ] t t t ( ) ( ) m h Z h Z t Z Z t Z Z t postva: A matrz aplcaa em será enomnaa e θ -, a qual é smétrca e efna h () Z h () Z Z L (.5) t Os emas termos serão armazenaos no resíuo p : p h() Z h() Z t Z Z t Z Z t (.5) t t Uma vez efnos θ - e p, a equação (.49) poe ser reescrta como: g m p (.5) ( ) t Aplcano a matrz θ à esquera os termos a equação (.5) tem-se: g ( ) t m p (.5) Também à esquera os termos, se aplca a matrz g ( ), obteno assm a matrz smétrca efna postva g ( ) g ( ) t o lao esquero a equação, o que possblta solar a reção : g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) m g ( ) p t g g g g m g p t ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) (.54) Em (.6) temos que g ( ) t, então a equação (.54) poe ser escrta como: g g t g m g p (.55) t ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) Temos enfm a reção equação (.5) temos: etermnaa, através a qual etermnaremos, na g ( ) mp t m p g( ) t (.56) 4

38 5 As emas reções z, z, z,, e, poem ser etermnaas através e, vsto nas equações e (.4) a (.48). Através as reções etermnaas no passo prevsor, na teração corrente, o métoo eve calcular as reções o passo corretor, baseaas nos termos e seguna orem esprezaos no passo prevsor para as equações e complementarae efnas em (.4), (.4) e (.4). O procemento e busca e reções o passo corretor é análogo ao realzao no passo corretor e etermna o vetor as reções e busca o passo corretor, enomnao e ) ( ~, resolve-se o segunte sstema lnear: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jr Lr ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) (.57) em que: ( ) ( ) Lr é obta conserano-se apromações e ª orem no sstema etermnao pelas equações (.) a (.), a partr o passo prevsor, tal que (.57) é equvalente a: z z z t t t t t t m Z Z Z I I I I I h g I I h g L ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (.58) em que: z z z t t t t t t m e D D e e Z e D D e e Z e D D e e Z l z l z u z h g h g f ~ ~ ~ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (.59) em que: z D, z D, z D, D, D e D são matrzes agonas, cujos elementos agonas são:

39 z, z, z,, e j j j,,r r, respectvamente. j j,,nn Note que, as reções z, z,, z, e efnas no passo prevsor são utlzaas para a reefnção os resíuos ~, ~ e ~, o passo corretor Seguno-se os mesmos passos realzaos para a etermnação as reções o passo prevsor, calculam-se as componentes o vetor reção ( ) ) através as seguntes equações: ( g( g t g m g p t ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( t m p g( ) (.6) (.6) t z h ( ) (.6) t (.6) z t t z (.64) t h Z [ ( ( ) )] (.65) t Z [ ( )] (.66) t Z [ ( )] (.67) em que: ~ ~ ~ ~ t t p h( ) Z h( ) Z t Z Z t Z Z t (.68).. Comprmento o Passo Uma vez etermnaas as reções, o comprmento e passo a ser percorro nessa reção, na busca e um novo ponto, garantno a não negatvae e z, z, z,,,, é ao por: P (.69) P z z z (.7) P z z z (.7) P z z z (.7) D (.7) 6

40 D (.74) D (.75) D (.76) Seguno estratéga apresentaa por Granvlle (994), para P e D : ) pela conção e factblae prmal, o comprmento o passo prevsor, para as varáves prmas, é obto por: mn mn ( z ) mn ( z ) mn,,,(.77) ( z ) j j P ( z ) e ( ) ( ) ( z ) e ( ) ( ) ( z ) e ( z j z j j z ) j z z j ( z ) j ) pela conção e factblae ual, para as varáves uas: mn mn ( ) mn ( ) mn,,,(.78) ( ) j j D ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( j j j ) j j ( ) j.. Atualzação o Parâmetro e Barrera A regra e Armjo é utlzaa para a etermnação o parâmetro e barrera logarítmca, a qual é efna por: /,, e tal forma que a reução e L seja garanta. A escolha ncal e não eve ser muto grane, evtano comportamento osclatóro o métoo, nem muto pequena, evtano uma paraa prematura o métoo. Desta forma, ajusta-se =,68 (razão áurea) para o métoo PDPCBL, quano consera-se a função barrera logarítmca, valor que possbltou com que o métoo fcasse bem conconao na eecução computaconal...4 Crtéro e Paraa Os algortmos e pontos nterores não encontram soluções eatas para os problemas e programação lnear, ou quarátca ou não-lnear nvestgaos. Por sso, necessta-se e um crtéro e paraa para ecr quano, em uma teração corrente, a solução obta está próma o sufcente e uma solução ótma. Neste trabalho o crtéro e paraa é etermnao baseao em Wrght (997). 7

41 Os algortmos conseram uma boa solução apromaa àquela que possu os resíuos sufcentemente pequenos. Testes típcos para garantr que uma solução (, z, z, z,,,, ) é uma solução ótma local, para o passo prevsor são etermnaos por: ) Factblae Prmal: t ;,,,; ) Factblae Dual: m ; ) Folgas Complementares: ;,,. (.79) (.8) (.8) em que:, e são tolerâncas pré-efnas. Naturalmente outros crtéros poem ser aotaos em concorânca com a aplcação a um problema específco, como poe ser vsto em Fang e Puthenpura (99) e Wrght (997)...5 Algortmo PDPCBL PASSO (Incalzação o algortmo): Ajuste. Escolha valores ncas para:,,,,, escolha o parâmetro e barrera μ, e os erros relatvos, e números postvos sufcentemente pequenos. Calcule as emas varáves z,z, z, como segue: z uh( ) z l z l PASSO (Resíuos - Passo Prevsor): Calcule: 8

42 m f( ) g( ) h( ) ; t t t g( ); t h( ) z u; t z l t z l ; Z ee; Z ee; Z ee; t t ; p h( ) Z h( ) Z t Z Z t Z Z t ; t h ( ) Z h ( ) Z Z L. PASSO (Dreções e movmento Passo Prevsor) g g t g m g p t ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ); t m p g( ) ; t h( ) ; z t z t z ; ; Z [ ( t h( ) )]; Z [ ( t )]; Z [ ( t )]. PASSO 4 (Resíuos Passo Corretor) D D e z z z D D e D D e PASSO 5 (Teste e otmalae): Crtéros e Paraa: )Factblae Prmal: t ;,,,; ; ) Factblae Dual: m ; 9