KEYWORDS. Predictor-Corrector Primal-Dual Method, Modified Barrier, Environmental and Economic Dispatch. Main area (PM - Mathematical Programming)

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1 September 4-8 Ro e Jaero Brazl MÉTODO PROCEDIMENTO PREVISOR-CORRETOR PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES COM PROCEDIMENTO BARREIRA MODIFICADA EM PROBLEMAS MULTIOBJETIVO DE DESPACHO ECONÔMICO E AMBIENTAL Améla e Lorea Staza Atoo R. Balbo PPG Egehara Elétrca Faculae e Egehara Uesp Bauru SP Brasl mel.staza@hotmal.com.br Depto e Matemátca Faculae e Cêcas Uesp Bauru arbalbo@fc.uesp.br RESUMO Este trabalho apreseta um métoo prevsor-corretor prmal-ual e potos terores com a estratéga e barrera logarítmca mofcaa que vsa tratar o problema com relaxação e aumeto a regão factível orgal este possbltao a calzação o métoo com potos factíves. O métoo esevolvo será aplcao a um problema multobjetvo e espacho ecoômco e ambetal aalsao pela estratéga ε-restrto que trasforma este problema em um moo-objetvo coserao uma as fuções objetvo como restrção o problema lmtaa superormete por uma costate. O problema vsa otmzar o processo e alocação ótma e eerga etre as uaes geraoras e um sstema termoelétrco buscao mmzar o custo os combustíves empregaos cocoao à lmtação a emssão e poluetes proveetes essa geração respetao as restrções operacoas e e emaa e eerga. Os resultaos obtos emostram a efcêca o métoo em relação a escolha e uma solução calmete factível. PALAVARAS CHAVE. Métoo Prevsor-Corretor Prmal-Dual Barrera Mofcaa Problemas e Despacho Ecoômco e Ambetal. Área prcpal (PM Programação Matemátca) ABSTRACT Ths paper presets a prector-corrector prmal-ual teror pot metho wth mofe logarthmc barrer strategy whch ams to crease a relax feasble rego of the orgal problem allowg the startup metho wth feasble pots. The evelope metho s apple a multobjectve problem of evrometal a ecoomc spatch aalyse by the strategy ε- costrae whch trasform ths problem to a moo-objectve coserg oe of the objectve fucto as a restrcto of the problem upperly boue by a costat. Ths problem ams to optmze the optmal allocato of power betwee geerator uts of a thermoelectrc system orer to mmze the cost of use fuel subject to the lmtato of pollutats emsso from ths geerato whle respectg the operatoal costras a eergy ema. The results emostrate the effcet of the metho respect of the choce of a tal ufeasble soluto. KEYWORDS. Prector-Corrector Prmal-Dual Metho Mofe Barrer Evrometal a Ecoomc Dspatch. Ma area (PM - Mathematcal Programmg) 85

2 September 4-8 Ro e Jaero Brazl. Itroução Neste trabalho será esevolvo um métoo prmal-ual e potos terores para um problema e otmzação quarátca covexa com restrções e gualae e esgualae e varáves caalzaas que será aplcao em problemas e espacho ecoômco (PDE) e ambetal (PDA). Estes são ecotraos a área e sstemas e geração e eerga em egehara elétrca os quas aalsam a geração termoelétrca baseao-se em seus aspectos ecoômcos (PDE) e a preocupação a reução a emssão e poluetes (PDA). O PDE é um problema e otmzação ãolear que busca otmzar o processo e alocação ótma a emaa e eerga elétrca etre as uaes geraoras spoíves mmzao o custo e combustíves empregaos a geração termoelétrca e tal forma que as restrções operacoas sejam satsfetas. O PDA é um problema e otmzação ão-lear que busca mmzar a emssão e poluetes proveetes a geração termoelétrca através a quema e combustíves fósses respetao também as restrções e emaa e eerga e e lmtates operacoas os geraores. Apresetaremos um moelo baseao o PDE e o PDA efo como um problema e otmzação multobjetvo em que eseja-se otmzar os custos e geração e eerga e cocomtatemete reuzr a emssão e poluetes os quas são objetvos cofltates. Para a aálse este problema utlzamos a estratéga e resolução e problemas multobjetvo eomaa e métoo ε-restrto que trasforma o problema mult-objetvo em um moo-objetvo coserao esta aboragem que a mmzação o problema ecoômco será cocoaa à restrções e máxma emssão e poluetes permssível para caa uae geraora relatvas à fução ambetal. O moelo vestgao e espacho ecoômco com restrções ambetas possblta a aálse e téccas e solução para a resolução e problemas e otmzação ão lear com restrções ão leares. Baseao-se em métoos prevsor-corretor prmal-ual e potos terores aplcaos à resolução e problemas e otmzação ão-lear apresetaos em Wu e Debs (994) e Mehrotra e Su (99) esevolvemos um métoo prmal-ual e potos terores explorao a estratéga a fução barrera logarítmca mofcaa efa em Polya (99) a qual possblta calzar o problema com potos factíves e o procemeto teratvo o métoo opera com potos terores à regão relaxaa e exterores à regão orgal equato busca ateer a vablae a sequeca e potos obtos e tal forma que a otmalae a solução é factível e teror à regão orgal. A etermação as reções e busca o métoo é realzaa através o procemeto prevsor-corretor apresetao em Mehrotra e Su (99) que ateua o esforço computacoal requero pelo métoo prmal-ual e potos terores. 86

3 September 4-8 Ro e Jaero Brazl O algortmo o métoo prmal-ual prevsor-corretor barrera logarítmca mofcaa (MPDPCBLM) fo mplemetao em lguagem computacoal C++ para a etermação e soluções aproxmaas o problema e espacho ecoômco com restrções ambetas. Esta vestgação emostra a efcêca o MPDPCBLM em relação ao tempo computacoal umero e terações e comoae a escolha e uma solução cal já que esta poe ser factível.. Métoo Prmal-Dual Prevsor-Corretor Barrera Logarítmca Mofcaa O algortmo prmal-ual e potos terores será esevolvo utlzao-se e procemetos baseaos a fução barrera logarítmca apresetao por Motero et al.(99) e Kojma et al. (989). O métoo é efo para o problema geral e programação quarátca covexa com restrções leares e quarátcas e varáves caalzaas em sua forma geral efo em (a) que é equvalete ao problema efo em (b) quao acoaas as varáves e folga e excesso z z e z o qual poe ser tratao através a estratéga e barrera logarítmca efa em (c): M f ( x) Sujeto a: gx ( ) ; h( x) u; (a) l x l ; r M f ( x) M f ( x) l( z) j l( z) j l( z) j j j j Sujeto a gx ( ) ; Sujeto a gx ( ) ; h( x) z u ; z h( x) z u ; x z l ; z (b) x z l ; (c) l x z ; z l x z ; oe: é o parâmetro e barrera ou e cetragem. O procemeto e barrera mofcaa corporao ao métoo cosera calmete o problema (c) expresso em sua forma parão e acoa um parâmetro e barrera μ a varável z trasformao-a em z e maera que a restrção h( x) z u fque relaxaa aumetao a regão factível orgal o problema possbltao etão car o métoo com potos factíves. A varável z será represetaa o problema por z oe: z z obteo assm o segute problema equvalete a (c): () 87

4 September 4-8 Ro e Jaero Brazl r j j j j j j j M f ( x) l( z ) l( z ) l( z ) Sujeto a gx ( ) ; h( x) z u ; x z l ; l x z ; oe: δ é eomao e estmaor o multplcaor e Lagrage referete à restrção relaxaa h( x) z u. O problema () é reefo por um problema rrestrto efo em (4) através a fução lagragaa barrera mofcaa L a qual os vetores relacoaos as restrções e gualae este problema são os vetores uas ou multplcaores e Lagrage esta fução: r m M L( x z z z ) f ( x) l z [l( z ) l( z ) ] ( ) [ g ( x)] r j j j j j j j j j ( ) [ h ( x) ( u) z ) ] ( ) [( x) ( l ) ( z ) ] ( ) [ ( x) ( l ) ( z ) ] (4) j j j j j j j j j j j j j j Ao problema rrestrto (4) aplcamos as coções ecessáras e ª. orem cohecas como coções e otmalae Karush- Kuh-Tucer (KKT): L( x z z z ) (5) As compoetes o vetorl são ervaas parcas e prmera orem sobre toas as varáves a fução L. O Métoo prmal-ual e potos terores com procemeto prevsor-corretor e estratéga e barrera mofcaa é efo explorao-se as coções e ª. orem e ª. orem etermaas a partr e (5). (). Dreções e Busca Procemeto Prevsor-Corretor.. Passo Prevsor O passo prevsor usa uma aproxmação e ª. orem e Taylor para avalar (5) sobre o poto r r r obteo-se a segute aproxmação: ( ) ( ) ( ) J( r ) L( r ) (6) oe: r ( x z z z ) T r ( x z z z ) ( ) T ( ) Jr ( ) é a matrz Jacobaa cujo j ( ) e ( ) T x z z z -ésmo elemeto é ao por: L () r rj rr (7) 88

5 September 4-8 Ro e Jaero Brazl Em (6) os termos e ª. orem que ocorrem as equações e complemetarae são esprezaos o passo prevsor e reutlzaos o passo corretor o métoo a ser vsto a seção... O sstema (6) é expresso e forma explícta através o segute sstema lear: x t t m xxl( x) g( x) h( x) I I gx ( ) t h( x) I t I I t I I (8) t Z z Z z Z z em que: L f ( x) g( x) h( x) ; e xx e a expressão t t L r m t t t t está relacoaa aos resíuos e ª. ( ) T ( ) ( ) orem a aproxmação feta efos por: m f ( x) g( x) h( x) ; t g( x); t h( x) z u; (9) t t t x z l ; t x z l ; Z e ; Z e e; Z e e. ( ) A etermação as reções e busca o passo prevsor é feta a partr a resolução esse sstema lear utlzao a sua estrutura esparsa e e blocos a matrz Jacobaa a qual é a estratéga os métoos e potos terores varates e Karmarar (984) obteo assm as reções: m p g x h x Z t x ( ) ( ( ) ); z x z x z x x ( g( x) g( x) ) t g( x) ( m p ( h( x) Z )); t t h( x) ; t t ; ; Z [ ( t h( x) )]; Z [ ( t x )]; Z [ ( t x )]. () oe: ( ) t ( ) xx h x Z h x Z Z L p h( x) Z h( x) Z t Z Z t Z Z t t t.. Passo Corretor 89

6 September 4-8 Ro e Jaero Brazl Através as reções etermaas o passo prevsor eve calcular as reções o passo corretor ~ ( ) esprezaos o passo prevsor para as equações e complemetarae. ( ) a teração correte o métoo baseaas os termos e segua orem O procemeto e busca e reções o passo corretor é aálogo ao realzao o passo corretor e eterma as reções e busca este passo resolveo-se o sstema lear: ( ) ( ) ( ) J( r ) L( r ) () ( ) oe: Lr ( ) é obta coserao-se os termos e ª orem o sstema esprezaos o passo prevsor tal que () é equvalete a: oe: x t t m xxl( x) g( x) h( x) I I gx ( ) t h( x) I t I I I I t t Z z Z z Z z D D e; D D e; D D e. z z z As matrzes agoas são Dz z z Dz Dz D D z e e () D são matrzes agoas cujos elemetos respectvamete. Note que as reções z z z e efas o passo prevsor são utlzaas para a reefção os resíuos ~ ~ e ~ o passo corretor. As reções o passo corretor ( ) ( ) são x z z z etermaas e maera aáloga às reções o passo prevsor coserao os resíuos o passo corretor e p.. Comprmeto o Passo Uma vez etermaas as reções o comprmeto e passo a ser percorro essa reção a busca e um ovo poto garato a ão egatvae e ao por: z z z é ) pela coção e factblae prmal o comprmeto o passo prevsor é obto por: 9

7 September 4-8 Ro e Jaero Brazl m m m ( z ) m ( z) ( z) j P ( z ) e ( ) ( ) ( z ) e ( ) ( ) ( z ) e ( ) z ( ) z z z z z j () ) pela coção e factblae ual: m m m ( ) m ( ) ( ) j D ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) j (4). Crtéro e Paraa Os algortmos e potos terores ão ecotram soluções exatas para os problemas e programação lear ou quarátca ou ão-lear vestgaos. Por sso ecessta-se e um crtéro e paraa para ecr quao em uma teração correte a solução obta está próxma o sufcete e uma solução ótma. Neste trabalho o crtéro e paraa é etermao baseao em Wrght (997). Os algortmos coseram uma boa solução aproxmaa àquela que possu os resíuos sufcetemete pequeos para a vablae prmal ual e e folgas complemetares. Para esse fm poe-se usar meas relatvas muo os problemas e escala os apresetaos em Wrght T ( x z z z ) é (997). Testes típcos para garatr que uma solução correte uma solução ótma são etermaos por: ) Factblae Prmal: t ; ; (5) ) Factblae Dual: m ; (6) ) Folgas Complemetares: ;. (7) Oe e são tolerâcas postvas pré-efas. Naturalmete outros crtéros poem ser aotaos em cocorâca com a aplcação a um problema específco como poe ser vsto em Fag e Puthepura (99) e Wrght (997)..4 Atualzação as varáves A efção o ovo poto r (+) epee retamete as reções e movmeto e comprmeto e passo esta reção etermaas em () e (4) efo por: P x P z P z P z x x ; z z ; z z ; z z ; D D D D ; ; ;. A regra e Armjo será utlzaa para a atualzação o parâmetro e barrera: / (9) (8) 9

8 September 4-8 Ro e Jaero Brazl A escolha cal e ão eve ser muto grae evtao comportameto osclatóro o métoo em muto pequea evtao uma paraa prematura o métoo. Nesta aboragem ajustase = 68 (razão áurea).. Moelo Multobjetvo e Despacho Ecoômco e Ambetal O moelo multobjetvo e espacho ecoômco e ambetal busca cocomtatemete mmzar o custo e geração e a emssão e poluetes respetao as restrções e emaa e e lmtes operacoas as uaes geraoras: Mmzar {F F } Sujeto a : P P e a M Max P P P () oe: F e : fução custo total o sstema e geração moelao por através a fução: e e e e e ; F ( F )( P ) ( a ) P (b ) P ( c ) ( F ) ( P ) : represeta os custos e caa geraor escoserao os potos e válvula; e ( ae ) ( be ) e ( c e) : os coefcetes a fução custo; F a : fução emssão total o sstema e geração moelaa por através a fução: a ( a) ( ) ( a) ( a) ( a) ; F F P a P b P c ( Fa ) ( P ) : represeta a emssão e caa geraor ; ( aa ) ( ba ) e ( c a) : coefcetes a fução emssão; P s : correspoem às potêcas as quas os geraores evem operar; : úmero total e geraores o sstema. M Max P e P : lmtes operacoas ferores e superores e saía as uaes e geração termoelétrca respectvamete. P : potêca emaaa. Exstem város métoos e resolução e problemas e otmzação multobjetvo etre os quas ctamos o métoo ε-restrto que trasforma o problema () em um problema moo-objetvo coserao uma as fuções objetvo ecoômca ou ambetal como restrção o problema lmtaa superormete por uma costate e máxmo custo ou máxma emssão.. Métoo ε-restrto 9

9 September 4-8 Ro e Jaero Brazl O métoo ε-restrto fo sugero por Deb (4) e Mette (999) cosera uma as fuções objetvo ambetal ou ecoômca como restrção acoal o problema e espacho ecoômco ou ambetal lmtaa por um valor especfcao que represete a máxma emssão e poluetes ou o custo máxmo permssível. O presete trabalho coserará uma restrção ambetal para caa uae geraora lmtaa superormete para íves permssíves e emssão o problema e espacho ecoômco moelaa a segur: e e e e Mmzar F ( a ) P ( b ) P ( c ) Sujeto a : P P M Max P P P Max a a a a a ( F ) ( P ) ( a ) P ( b ) P ( c ) F () oe: Max a F : é a máxma emssão e poluetes permssível por uae geraora ; Ao mesmo tempo que tal formulação ressalta as característcas vuas os geraores a escolha e um valor cal para as potêcas geraas P s que satsfaça a toas as restrções tato e lmtes operacoas quato e máxma emssão seo que está últma é uma restrção quarátca tora-se complexa.para tato a corporação a fução barrera mofcaa o métoo prmal-ual esevolvo possblta a escolha e valores cas factíves o que faclta a calzação o métoo como costataremos os resultaos a aplcação umérca vsta a próxma seção. 4.Aplcação e Resultaos 4. Daos Numércos Para a aplcação ompdpcblm é ecessáro prmeramete cohecer os valores e: (a e ) (b e ) (c e ) : que são os coefcetes a fução ecoômca F e ; (a a ) (b a ) (c a ) : que são os coefcetes a fução ambetal F a ; P Max : o valor a potêca máxma que poe ser atga por caa uae geraora ; P M : o valor a potêca míma que poe ser atga por caa uae geraora ; P : o valor a emaa e eerga a ser atea pelo sstema e geração coserao; Na tabela temos os coefcetes as fuções objetvo ecoômca e ambetal e os lmtates operacoas máxmos e mímos e caa uae geraora coserao um sstema teste e ses uaes geraoras. Uae Geraora Tabela Daos Numércos Ses Uaes Geraoras Fução Ecoômca Fução Ambetal P Max P M (MW) (MW) (a e ) (b e ) (c e ) (a a ) (b a ) (c a )

10 September 4-8 Ro e Jaero Brazl 5MW A emaa e eerga P para o sstema e ses geraores coserao este trabalho é e A aplcaçãocomputacoal fo realzaa utlzao os valores e erros relatvos ε = ;ε = ;ε = e os segutes valores cas para as varáves evolvas o problema: P = (69; 69; 8685; 8685; ; 54);μ = 5;λ =;λ = ( );λ =();λ = ( ). Os valores e (F a Max ) serão apresetaos a tabela que mostra os resultaos para o moelo e espacho ecoômco com restrções ambetas para caa uae geraora. 4.. Resultaos O algortmo o MPDPCBLM fo aplcao a um problema teste e ses uaes geraoras coserao o moelo (). Foram coseraos vetores e lmtates feretes apresetaos a tabela as lhas (F a Max ). Para caa um os casos estão scrmaos os valores as potêcas geraas P assm como a emssão (F a ) e caa uae geraora. Tabela - Resultaos I II III IV V v v F e P (F a ) (F Max a ) P (F a ) (F Max a ) P (F a ) (F Max a ) P (F a ) (F Max a ) P (F a ) (F Max a )

11 September 4-8 Ro e Jaero Brazl P VI (F a ) (F Max a ) P VII (F a ) (F Max a ) P VIII (F a ) (F Max a ) P IX (F a ) (F Max a ) P X (F a ) (F Max a ) Em relação à tabela é possível costrur a curva e soluções efcetes ou e Pareto-Ótma (trae-off curve) a qual ão fo apresetaa este trabalho. O algortmo o MPDPCBLM coserao essa aplcação utlza a estratéga a barrera mofcaa apresetaa em Polya (99) as restrções quarátcas e emssão máxma para caa uae geraora. Tal estratéga auxla a escolha e soluções cas P que ão ecessaramete evem respetar a restrção e emssão máxma para toas as uaes geraoras as terações cas operao com potos factíves como poemos costatar a tabela. A atualzação o parâmetro e barrera mofcaa μ baseaa em Polya (99) mu a relaxação a restrção até que os valores passem a pertecer a regão factível cal. Tabela Valor cal (F a ) X Lmtates (F Max a ) ΣF a (F a ) I (F Max a ) II (F Max a ) III (F Max a ) IV (F Max a ) V (F Max a ) VI (F Max a ) VII (F Max a ) VIII (F Max a )

12 September 4-8 Ro e Jaero Brazl IX (F a Max ) X (F a Max ) Coclusões Neste trabalho apresetamos o MPDPCBLM para a aplcação em um problema multobjetvo e espacho ecoômco e ambetal. Este fo solucoao por este métoo utlzao a estratéga ε- restrto que possbltou a formulação e um problema moo-objetvo expresso pelo PDE com restrções ambetas coseraas para caa uma as uaes geraoras o sstema e geração. O MPDPCBLM etermou a curva e soluções efcetes para o problema (soluções ótmas para caa ível e emssão coserao) e mostrou-se robusto quao comparaos a resultaos ecotraos a lteratura com tempo e execução computacoal e úmero e terações pequeos. Através a estratéga e barrera mofcaa que relaxa e aumeta a regão factível orgal o problema fo possível calzar o métoo mesmo que algumas as emssões utáras ultrapassassem o valor e seu respectvo lmtate máxmo e emssão facltao a escolha os valores (P ) e potêca geraa cal para caa uae geraora. Isto mostra que a estratéga utlzaa é teressate e poe ser aplcaa em outros problemas mult-objetvos e espacho ecoômco e ambetal e mesão maor os quas são objetos e trabalhos futuros. Referêcas Deb (4) - Deb K. Mult-objectve optmzato usg evolutoary algorthms. Joh-Wlley & Sos 4. Fag e Puthepura (99) Fag S. C. Puthepura S. Lear Optmzato a Extesos: Theory a Algorthms Pretce-Hall Eglewoo Clffs New Jersey 99. Frsch (955) Frsch K. R. The Logarthmc Potetal Metho of Covex Programmg. Uversty Isttute of Ecoomcs (mauscrpt). Oslo Norway 955. Karmarar (984) Karmaar N. A ew polyomal tme algorthm for lear programmg. Combatóra Kojma et al. (989) Kojma M.; Mzuo S.; Yoshse A. A prmal ual - teror pot metho for lear programmg t Progress Mathematcal Programmg: Iteror-Pot a Relate Methos E. N. Mego Sprger-Verlag New Yor Mehrotra e Su (99) Mehrotra S.; Su J. A algorthm for covex quaratc programmg that requres (.5 L) arthmetc operatos Mathematcs of Operatos Research Mette (999) Mette K. Nolear Multobjectve Optmzato. Bosto: Kluwer Motero et al. (99) Motero R. C.; Aler I.; Resee M. C. A polyomal-tme prmal-ual affe scalg algorthm for lear a covex quaratc programmg a ts power séres exteso Mathematcs of Operatos Research

13 September 4-8 Ro e Jaero Brazl Polya (99) Polya R. A. Mofe barrer fuctos. Mathematcal Programmg v. 54. p Wrght (997) Wrght S. J. Prmal-Dual Iteror Pot Methos SIAM Joural Wu e Debs (994) Wu Y. C.; Debs A. S.; Marste R. E. A rect olear Prector-Corrector Prmal-Dual Iteror Pot Algorthm for Optmal Power Flows IEEE Trasactos o Power Systems 9 No