Métodos numéricos para solução de equações

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1 Escola Poltécca da Uversdade de São Paulo Departameto de Egehara Químca LSCP Laboratóro de Smulação e Cotrole de Processos Dscpla Optatva Modelagem e Métodos Matemátcos Aplcados à Egehara Químca AULA Revsão de Métodos Numércos Prof. Realdo Gudc (rgudc@usp.br) São Paulo, 009 Métodos umércos para solução de equações Depededo do modelo, podemos ter dferetes tpos de equações para resolver: algébrcas leares algébrcas ão-leares dferecas ordáras de valor cal dferecas ordáras de valor de cotoro dferecas parcas...

2 Métodos para solução de sstemas de equações algébrcas leares a + a + a a = b a + a + a a = b... a + a + a a = b j= a = b =,,..., A = b j j a a K a a a a K A = M M O M a a a K = M b b b = M b Métodos para sstemas de equações algébrcas leares Método de elmação de Gauss ( elmação para a frete e substtução para trás ) Fazer operações elemetares sobre as lhas da matrz amplada [A b], de modo a formar o lugar de A uma matrz tragular superor (todos os elemetos abao da dagoal prcpal são ulos) A M operaçoes elemetares sobre as lhas b U M y [ ] [ ] Resolver o sstema tragular superor por substtução para trás para =, -, -,...,, calcule =, j j j= + y u u

3 Método de Gauss para sstemas leares (a) Elmação para a frete [ A M operaçoes elemetares sobre as lhas b] [ U M b] (b) Substtução para trás para =, -, -,...,, calcule =, j j j= + y u u OBS. : operações elemetares aplcadas a um sstema lear covertem o sstema em um sstema equvalete. P.e. - mudar a ordem das equações (verter lhas) - multplcar uma equação por uma costate ão zero - trocar uma equação pela soma dela com um múltplo de outra equação OBS. : estratéga de mámo pvot OBS.. Se a matrz A é trdagoal algortmo de Thomas b c K 0 0 a b c 0 0 K a b c 0 K a4 b4 c4 K 0 0 M M M O O O M M M M a b c 0 M a b c M a b d d d = M M M M d () calcule w = b () calcule g = d /w () para j=,,..., calcule q j- = c j- /w j-.. w j = b j a j q j- g j = (d j a j g j- )/w j (4) calcule = g (5) para j = -, -, -,...,, calcule j = g j q j j+

4 Métodos para sstemas de equações algébrcas leares Método de Gauss-Jorda cosste em fazer operações elemetares sobre as lhas da matrz amplada [A b] de modo a fazer aparecer a matrz detdade I o lugar a matrz A. O vetor resultate que aparece o lugar de b é o vetor da solução [ A M operaçoes elemetares sobre as lhas b] [ I M ] OBS: versão de matrz [ A M operaçoes elemetares sobre as lhas I] [ I M A ] Métodos para sstemas de equações algébrcas leares Método de Fatoração Tragular ou Decomposção LU Cosste em fatorar a matrz A em um produto de duas matrzes L e U, sedo L uma tragular feror e U uma tragular superor. Etão resolvem-se dos sstemas tragulares (por substtução para trás) A= LU U y A = b LU = b = ( ) Ly = b resolve Ly = b obtedo y resolve U= y obtedo 4

5 Comparação etre os métodos, em termos de quatdade de operações matemátcas Sstema de equações Gauss Multplcações e dvsões Adções e subtrações + ( + ) ( )( + ) + ( + )( ) = Gauss-Jorda ( + ) ( )( + ) LU ( ) + + ( ) + = = = Gauss Gauss-Jorda LU =4 =0 MD AS MD AS Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares São métodos teratvos. Há duas grades classes: () métodos abertos partem de uma estmatva cal, e o algortmo procura apromar cada vez mas da raz e.: substtução dreta, substtução amortecda Wegste, Newto-Raphso, Secate, etc. () métodos fechados partem de um tervalo o qual a raz está cotda, e o algortmo procura reduzr o tervalo e.: bssecção, regula fals (falsa posção), etc. 5

6 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método da substtução dreta ou subst. smples equação deve estar a forma = g() algortmo: g( ) ( + ) = ( ) coverge se g () < Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos y y = y y = Coverge y = g() y = g() o 4 o y y = y y = g() y = Dverge y = g() o o 6

7 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de substtução amortecda ou parcal equação a forma = g() algortmo: ( + ) = ( ) + s[ g( ( ) ) ( ) ] Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Wegste equação a forma = g() algortmo: + = t g( ) + ( t) t = s g ( ( ) ) g ( ( ) ) s = ( ) ( ) ( ) com t ( ) ( ) ma = 0 ª teração substtução smples 7

8 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos y Método de Wegste y=g() y= Poto de tersecção Próma estmatva do método de Wegste + + Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Newto-Raphso F() = 0 Algortmo: + = ( ) ( ) F( ) ( ) F ( ) ( ) dedução: epaddo F() em sére de Taylor ao redor do poto () F( ) = 0 = F( + h) = F( ) + hf ( ) +... ( ) ( ) ( ) e desprezado os termos de ordem superor (o que equvale a learzar localmete F() ao redor do poto () ), chega-se a F( ( )) h = ( + ) = ( ) + h F ( ) ( ) 8

9 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Newto-Raphso f() f() + Reta Tagete Próma estmatva do método de Newto-Raphso Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Newto-Raphso para um sstema de equações algébrcas ão-leares F(,,..., ) = 0 ou F( ) = 0 =,,,..., F 0= F + = + ( ( ) h) F ( ( )) hj +... =,,,..., j= j F J h = F J { J } ( ) ( ) ode = matrz jacobaa =, j = j ( + ) = ( ) + h crtéro de parada: ( F ) = ( ( ) ε 9

10 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Broyde Trata-se de uma varate do método de Newto-Raphso multvarável, que clu (a) uma fórmula para atualzar a matrz H = J (versa da matrz jacobaa) (b) uma fórmula para atualzar o fator de amortecmeto s + = + s H F ( ) ( ) ( ) ( h) ( ) atualzação de H = ( J) (a matrz jacobaa é avalada uma úca vez, a prmera teração e as demas terações a matrz H é atualzada pelas fórmulas dadas a segur) H Y s P P H ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) H = H ( + ) ( ) P H Y P = H F ( ) ( ) ( ) Y = F F ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Broyde (cot.) o fator de amortecmeto deve satsfazer o crtéro F + s H F F < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = calmete s () = e se o crtéro acma ão for satsfeto etão s ( ) = + 6u u u = = F ( ) + s( ) H F = F ( ( )) ( ) ( ) 0

11 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método da secate F() = 0 Trata-se de uma varate do método de Newto-Raphso, a qual a dervada (tagete) é apromada pela secate pelos potos das duas terações mas recetes. Algortmo: ( + ) F( ) F( ) = F( ( )) F( ( ) ) F( ( )) = ( ) F( ( )) F( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método da Secate f() f() + + Poto de tersecção Lha reta Próma estmatva do método da secate

12 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Muller F() =0 Pode ser terpretado como uma varação do método da secate. - método da secate aproma a fução F() por uma reta secate que passa pelos dos ultmos potos - método de Muller aproma a fução F() por uma parábola que passa pelos três últmos potos Algortmo: Dados potos, 0,, Calcular f 0 = f( 0 ), f =f( ), f = f( ) Calcule h = e d, =(f f )/h Calcule h = 0 e d,0 =(f f 0 )/h Para =,,4,... repta Calcule g = (d,- d -,- )/(h + h - ) Calcule c =d,- + ( - ).g Calcule h+ = f / ( c ± c 4fg ) (escolha o sal que foreça o maor deomador) calcule + = + h + calcule f + = f( + ) e d +, = (f + f )/h + até que um dos segutes crtéros seja satsfeto: < ε f( ) < ε ma Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos abertos Método de Muller f() f() Parábola pelos potos 0 Próma estmatva do método de Muller

13 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos fechados Método da bssecção ou bpartção F() = 0 Dados dos potos =a e =b tas que F(a).F(b) < 0 e dada a tolerâca Δ, etão o úmero de terações N pode ser calculado a pror pela fórmula Δ = a b algortmo: calcule o úmero de terações N N N ( Δ a b) log / = log( / ) para =,,,..., N repta m = ( a+ b)/ se F( m ).F(a) 0 etão a = m seão b = m Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos fechados f() Método da Bssecção f(b) a Poto médo b f(a) Próma estmatva do método da bssecção

14 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos fechados Método da falsa posção (regula-fals) F() = 0 Dados dos potos =a e =b tas que F(a).F(b) < 0 afb bfa =. ( ). ( ) m F( b) F( a) se F( m ).F(a) 0 etão a = m seão b= m Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos fechados Método da Falsa Posção f() f(b) a Poto de terssecção b f(a) Próma estmatva do método da falsa posção 4

15 Métodos para solução de equações algébrcas ão-leares - Métodos fechados Nesta forma, o método da falsa posção se aproma da raz por apeas um dos lados do tervalo, para fuções mootôcas. Há algumas modfcações que procuram uma apromação por ambos os lados da raz. P.e. Modfcação (): Fb ( o) Fa ( o) a clação calculada o prmero tervalo α = é matda em todas as demas terações. b a Modfcação () Dados a o, b o tas que F(a o ).F(b o ) < 0 P = F(a o ) Q = F(b o ) Para =,,,... até covergr, faça aq bp w + = Q P se F(a ).F(w + ) < 0 etão Seão a + = a b + = w + Q = F(w + ) Se F(w ).F(w + ) > 0 etão P = P/ a + = w + b + = b P = F(w + ) Se F(w ).F(w + ) > 0 etão Q = Q/ o o Métodos para solução de sstemas de equações dferecas ordáras As equações dferecas ordáras de valor cal são comumete ecotradas os modelos dâmcos de processos. São represetadas geercamete por: dy = f (, t y) y( t = t ) = y o Métodos de passo smples Algortmos que usam a formação do poto atual (y ) para calcular o prómo poto (y + ) o Métodos de passo múltplo Algortmos que usam a formação do poto atual e de potos aterores (y -,.., y -, y -, y ) para avalar a solução o prómo poto (y + ) 5

16 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Euler eplícto y+ = y + hf ( t, y) + o( h ) Euler mplícto y = y + hf ( t, y ) + o( h ) Euler melhorado y y h f ( t y f t y, ) + ( +, + ) + = + + oh ( ) O método mplícto requer um processo teratvo para calcular y +, ou seja requer a solução de uma equação mplícta em y +. O método de Euler melhorado, também cohecdo por regra trapezodal, é mplícto, tem erro de trucameto meor, o(h ), e requer duas avalações da fução f por passo de tegração. Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras N otar que o(h ) deota o erro local de trucameto, sto é, o erro cometdo pelo fato de a fórmula ser uma apromação, baseada o trucameto da sére de Taylor. Por eemplo, a partr da epasão em sére de Taylor, o valor de y as vzhaças de t é dado por: y t h y t h dy ( + ) = ( ) + + o( h ) t que resulta o método de Euler eplícto. Se a epasão de Taylor de y é feta a vzhaças de t+h, resulta em: y t y t h h dy ( ) = ( + ) + o( h ) t+ h que, devdamete rearrajado, resulta a fórmula do método de Euler mplícto. 6

17 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Reescrevedo as duas epasões de Taylor: yt h yt h dy 4 4 h d y h d y h d y ( + ) = ( ) t!! 4! t t t yt h yt h dy 4 4 h d y h d y h d y ( + ) = ( ) t+ h!! 4! t+ h t+ h t+ h quado somadas membro a membro h dy dy h d y d y h d y d y h d y d y yt ( + h) = yt ( ) t.!.!.! t h + t t h t t h t t h os termos de epoetes pares de h tedem a se cacelar resultado, que o maor termo trucado é o(h ). Iterpretação t + y+ = y + f (, t y) t 44 ( t+ t) f ( t, y) ( t+ t) f ( t+, y+ ) f ( t, y) + f ( t+, y+ ) ( t+ t) 0 0 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Métodos de Ruge-Kutta Os métodos de Ruge-Kutta são uma famíla de métodos em passo smples e bao erro de trucameto, às custas de um maor úmero de avalações da fução f por passo. A fórmula geral dos métodos de Ruge-Kutta é y = y + w + j j j= v v j = h. f t + cjh, y + a jmm m= c = 0 Os parâmetros do método (w j, (j=,,.. v), c j (j=,,...v), a jm (j=,,,...v)(m=,,...v-), um total de v+(v-)+( v-) são determados detfcado a fórmula geral com a correspodete epasão de Taylor, sedo algus dos parâmetros arbtrados ou especfcados. 7

18 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Eemplos de métodos tpo Ruge-Kutta () Ruge-Kutta clássco = h. f t, y ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = h. f t +, h, y +, = h. f t +, h, y +, = h. f t + h, y + 4 y+ = y Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras () Ruge-Kutta-Gll = h. f t, y ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = h. f t + h, y + = h. f t + h, y + a + b = h. f t + h, y + c + d 4 y+ = y + + b + d + 6 a = 4 b = c = - d = + 8

19 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras () Ruge-Kutta-Merso = h. f ( t, y) = h. f ( t + h, y + ) = h. f ( t + h, y + + ) 9 4 = h. f ( t + h, y ) 9 5 = h. f ( t + h, y ) 5 y+ = y + [ ] + o( h ) 9 estmatva do erro de trucameto = 5 [ ] Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras (4) Ruge-Kutta-Fehlberg (RKF45) = h. f( t, y) = h. f( t + 4 h, y + 4 ) 9 = h. f( t + 8 h, y + + ) = h. f( t + h, y ) = h. f( t + h, y ) = h. f( t + h, y ) y+ = y o( h ) z+ = y o( h ) o passo otmo pode ser estmado por h tol h + = z y + + / ode tol = toleraca do cotrole do erro 9

20 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Métodos de passo múltplo Os métodos de passo múltplo utlzam os últmos potos -, y -+,..., y -, y -, y para calcular o p romo poto y + y = a y + h b f ( t, y ) + j j j j j j= 0 j= As costates a j e b j são determadas de modo que um polômo de grau (+) terpole a solução pelos últmos potos, arbtrado-se algumas delas. Notar que se b - = 0 leva a um método eplcíto e b - 0 leva a um método mplícto. Usualmete usa-se um método eplícto para prever um valor de p + (preor). Esta prevsão é etão corrgda por um procedmeto teratvo usado um método mplícto (corretor). Esta combação leva aos chamados métodos tpo preor-corretor. Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Eemplos: Adams-Bashforth-Moulto preor [ ] 5 y+ = y + 4 h 55 f 59 f + 7 f 9 f + o( h ) Adams-Bashforth-Moulto corretor [ ] 5 y = y + h 9f + 9f 5 f + f + o( h ) Mle preor [ ] 4 5 y+ = y + h f f + f + o( h ) Mle corretor [ ] 5 y = y + h f + 4 f + f + o( h ) + + Notar também que os métodos de passo múltplo ão são autocáves, requeredo portato o uso de métodos de passo smples para os prmeros passos de tegração. Outra dfculdade dos algortmos de passo múltplo é com relação à mudaça do tamaho do passo, que ão é trval (as fórmulas mostradas acma pressupõe passo h costate). 0

21 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Establdade A solução da equação dferecal (dy/) = f(t,y) = - λy, usado a epasão em sére de Taylor, sera dada por: h y"( ξ) yt ( + ) = yt ( ) + h f( t, yt ( )) + t < ξ < t+! A solução umérca apromada obtda por um método umérco, por eemplo o método de Euler eplícto, sera dada por: EM EM EM y + = y + h f ( t, y ) Subtrado as duas epressões aterores: h y EM EM EM "( ξ) yt ( + ) y+ = yt ( ) y + h[ f( t, yt ( )) f( t, y )] ! erro global em t + h y EM EM "( ξ) = yt ( ) y + hλ[ yt ( ) y ] +! h y EM "( ξ = [ yt ( ) y ][ h λ] + ) ! 4 erro global em t fator de amplfcaçao do erro erro local de trucameto Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Portato, se hλ > o erro cresce com. Ou seja, para a establdade do método de Euler eplícto, é ecessáro que hλ, ou equvaletemete, 0 hλ Se 0 hλ, etão o erro de arredodameto oscla. Repetdo esta aálse para outros métodos, temos Fator de Método Estável e sem Estável, com Istável amplfcação do erro osclação do sal do erro osclação do sal do erro ( hλ) Euler eplícto 0 < hλ < < hλ < < hλ + hλ hλ + hλ Trapézo 0 < hλ < < hλ Euler mplícto 0 < hλ

22 Rgdez ( stffess ) Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras O problema de rgdez umérca de sstemas de EDO s está relacoado com o fato de as varáves (ou suas compoetes) apresetarem dferetes dâmcas, sto é varações com escalas de tempo muto dferetes. Eemplfcaremos usado um eemplo de cétca químca. Cosdere a segute equação dferecal ordára: du = u u( t = 0) = 5, a qual λ =, portato a solução pelo método de Euler eplícto será estável e sem osclação se h <. Cosdere ada a equação dferecal ordára: du = 000u u( t = 0) = 0, 5 a qual λ=000, portato a solução pelo método de Euler será estável e sem osclação se h < 0,00 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Cosdere agora o sstema de EDO s: dy dy du du = + t = 5, e 500e t = 500, 5y + 499, 5y du du = t = 5, e + 500e t = + 499, 5y 500, 5y que pode ser escrto a forma: dy y = Ay= 500, , , 5 500, 5 y e cuja solução é t y = u + u = 5, e + 05, e t y = u u = 5, e 05, e 000t 000t yt= = ( 0)

23 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras O maor autovalor (em valor absoluto) da matrz A determa o passo de tegração mámo do sstema. Os autovalores da matrz A são obtdos por: 500, 5 λ + 499, 5 det + 499, 5 500, 5 λ = = 0 = λ 000 λ λ λ = A establdade da solução do sstema de EDO s é defdo pelo maor autovalor (em módulo) da matrz dos coefcetes do sstema h < / λ ma (o caso,para solução estável e sem osclação, h < /000 = 0,00). Se o sstema de EDO s for ão-lear, a aálse de establdade deve ser feta va learzação do sstema; este caso, os autovalores da matrz J (matrz jacobaa do sstema, cujos elemetos são J = ( f / y ) ) varam com t. j j Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Defe-se relação de rgdez ( stffess rato ) ma parte real de λ SR = m parte real de λ e valores típcos que defem a rgdez são: SR = 0 sstema ão-stff SR = 0 sstema stff SR = 0 6 sstema muto stff. Sstemas rígdos requerem métodos aproprados para sstemas stff, p. E. o método de Gear, os métodos BDF ( bacward dfferetato formulas ), que são mplíctos, ou métodos sem-mplíctos (p.e. o método Ruge-Kutta sem-mplícto de Mchelse).

24 Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras Método de Ruge-Kutta sem-mplícto dy Para uma equação dferecal autôoma, do tpo = f ( y) m + = y = y + w = h. f ( y + a ) j j j= ou seja y+ = y + w + w + w+... = h. f ( y + a) = h. f ( y + a + a) = h. f ( y + a + a + a)... Métodos para sstemas de equações dferecas ordáras epaddo em sére de Taylor a fução f com Δ=a f. =. = h f y + aj j h f y + aj j + h j= j= y e desprezado os termos de ordem superor, chega-se a f ha = h. f y + aj j y j= y + a j j j= resolvedo eplctamete para obtem-se h. f y + aj j j= = f h. a. y y + aj j j= y + aj j j= a

25 Aalogamete para um sstema de equações dferecas: [ I h. a J] = h. f ( y ) [ I h. a J] = h. f ( y + a ) [ I h. a J] = h. f ( y + a + a ) M y = y + w + w + w e usualmete, arbtra-se a = a = a =... = a Um eemplo é o método Ruge-Kutta sem-mplícto de Mchelse (mplemetado em FORTRAN a subrota STIFF, o lvro de Vlladse e Mchelse, 979).[ ] ( ).[ ] ( ) = h I haj f y = h I haj f y + b [ ] = h I haj ( c + d ) y = y + R R R a = 0, b = 0,75 c = -0, d = -0,45... R =,0758 R = 0,8494 R = 5