Adotando-se as seguintes variáveis e parâmetro adimensionais: i 1 i i i i i 1

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1 Lsta de eercícos (Capítulo 4) ) Em dos reatores taque de mstura perfeta é coduzda a reação em fase líquda: A+BC+D de forma sotérmca. Os balaços estacoáros de massa do reagete A este sstema são descrtos pelas equações algébrcas: q Prmero reator: kc C C V q Segudo reator: kc CC V Ode k: costate de velocdade da reação =,75 L/mol/m; q: vazão volumétrca de almetação do sstema = 3 L/m; V: volume dos reatores (L) C : cocetração de A a almetação do sstema =,6 mol/l; C : cocetração de A a saída do prmero reator [mol/l]; C : cocetração de A a saída do segudo reator [mol/l]. Calcule o volume dos reatores sabedo-se que a coversão global de A é gual a 8%. Geeralze seus resultados para reatores guas em sére e compare o volume de um PFR que coduz à mesma coversão. Adotado-se as segutes varáves e parâmetro admesoas: C kc V y para =,, e C q [ote que : Tem-se: y C C X C ] X, 8, e C C C Prmero reator: y y y y y y Segudo reator: y y y y y y... -ésmo reator: y y y y y y... -ésmo reator: y y y y y y Para epressar y em fução de y - resolve-se: y y y y y y y 4y Assm, a úca raz com sgfcado físco é: y, para evtar a determação que ocorre quado, multplcam-se o umerador e deomador da epressão por: 4, resultado em: y

2 y y 4 y para =,,..., com y =. Deseja-se calcular o valor de que coduz a: y,, assm, deve-se calcular a raz da fução: f y,. Com, tem-se y... y y f, 8 Com =, ter-se-a: para,, (apeas reator!), com > seguramete, f. tem-se uma coversão maor que 8%, sto é: Deste modo, procura-se o valor de o tervalo: y. Na fgura abao, plota-se a fução f cotra para =5..8 Fução Plotada etre a= e b=/ f().6 fucao k.4. 5 Para calcular a dervada de 3 4 dy f defe-se a varável: v d y y y y y y v dy d Resumdo: de y e Com v, sedo df dy d, f y e k, da equação: v y v v v v para =,..., com d de forma recursva segudo: v. df v d, calculado-se os valores y y 4y v y v y para,,, com y e v, tem-se y... y y f, 8, assm:

3 df v v e com v v. Deste modo o valor de após a prmera d,8 teração de Newto-Raphso com será: que será o valor adotado para a (valor de a etremdade feror o prmero tervalo de busca!). Solução: V (L) V total (L), 5, 5, 4,46,6 3, 4, ,9 483,6,4689 7,3 7,3,66 54,5 83,,46,5 5, Para o reator PFR, voltado à equação de balaço o reator (em forma admesoal): kc V -ésmo reator: y y y, sedo. Cosderado o volume total dos q reatores: V e defdo o ovo parâmetro admesoal: Vtotal kcvtotal kcv, substtudo essa ova forma de o balaço q q do -ésmo reator, resulta: y y y ou: y y y Para um valor muto elevado de, cosdera-se: z e y y y yz yz, sedo z z para,,,. Deste modo a equação y y y pode ser dy z terpretada como a forma dscretzada da equação dferecal: y z, ou seja: dz yz para < z < e com a codção de etrada: yz z dy z dz cocetração de saída: saída z y y z A solução dessa equação dferecal é: Como V total, assm: ysaída yz z y z ysaída, 4 (para um PFR), logo: 5 43 L/ m 75 L mol m 6 mol L q 3 L= m. kc, / /, / z, sedo a 3

4 Que é o meor volume total do sstema para uma coversão de 8%. Observe que lm lm 4, como mostra a tabela abao.,, 4,46 8,84 4,4836 5,9343,4689 4,6888,66 4,335,46 4,648 ) A equação de estado de Va der Waals é descrta por: ode P é a pressão (atm); é o volume específco molar (L/mol); T é a temperatura absoluta (K); a P b RT R é a costate uversal dos gases =,854 L.atm/mol/K; a é uma costate depedete do gás (L.atm/mol ) b é uma costate depedete do gás (L/mol).. Os valores das costates a e b para dferetes gases são tabelados abao: Gás a (L.atm/mole ) b (L/mol) Gás carbôco 3,59,467 Ala dmetílca 37,49,97 Hélo,34,37 Ódo ítrco,34,789 Sabedo-se que a temperatura crítca do gás (temperatura acma da qual o gás ão pode se 8 a lquefazer) é dada por: Tc, resolva o problema adotado T > T c e este caso mostre 7 R b que para qualquer pressão há apeas uma solução da equação. Adotado T < T c adote valores de P em que há apeas solução e valores de P em que a equação apreseta três soluções, este últmo caso: < < 3 sedo o volume específco molar da fase líquda, 3 o volume específco molar da fase gás e ão apreseta sgfcado físco. Mostre também como calcular a faa de pressão detro da qual o sstema apreseta três soluções. Reescrevedo a equação de Va der Waals em termos das varáves admesoas: T (temperatura admesoal); v= (volume específco molar admesoal) e T b c 4

5 b p P a 7 8 v (pressão admesoal), resulta: v p v Note que a(s) solução(ões) do problema estão cotdas obrgatoramete etre v e 8 8 v ( v ), sto é todas as soluções se stuam o domío: v 7 p 7 p Em que se cosdera como uma fução de v e a varável p como um parâmetro da curva, otado-se que para cada valor de que aumeta com o aumeto de p. v d v 7 7 Obtém-se: p 3 p 3 d 8 v v 8 v v v v d v e d 8 v. v v v 4v Etão, como para d 3 v v dv, tem-se para esse valor de v um poto de fleão da curva depedete do valor do parâmetro p. Como o poto de fleão se tem o valor etremo da dervada prmera, esse caso valor mímo pos 3 d v d v 4, v v mpodo-se v v3 v3 v3 d 7 7 p p d p é garatdo que a v 7 d v dervada será sempre postva para todo p e v. Além dsso, como o poto de dv 7 fleão da curva com p tem-se v 3 3 3, os valores de em que um mámo local pode ocorrer (o que só ocorre se p </7 e para v etre e 3) serão obrgatoramete meores que ( com p ). Essa característca garate que se T Tc a curva de cotra v só terceptada em um poto por retas horzotas, coforme esquematzado os dos casos abao: v k v k Curva de cotra v com p 7 v k 7.6 v k Curvas de cotra v () p (curva 7 vermelha) e () p (curva azul) 7 v k 5

6 Para lustrar a solução do problema o caso em que há apeas (uma) raz real, adota-se 7, ou seja p v e uma valor qualquer de p. Por eemplo, e p 8 v 7 resultado a equação: v7v v6v 8 v 3 ou seja: 7v 43v 7 v7, com esses coefcetes as raízes são determadas: Pela regra de Descartes coclu-se que pode estr 3 ou raz real postva e ehuma raz real egatva. Usado o método de Newto-Raphso com v obtém-se v,396 ; Para se certfcar que essa é a úca solução, utlza-se como chute cal o maor valor possível de 8 6 v, sto é: v,596 e ovamete se obtém: v, p 7 Para lustrar a solução do problema o caso em que há 3 (três) raízes reas, cosdera-se p e o valor de 7 v 3 p 3 7p 3, sto é o valor de correspodete ao poto de fleão que ocorre em v 3, assm: p v p pv 3p v v. Mas: 8 v p 3 p 3 p v v v v v v, ou seja, as duas outras soluções p são as raízes de p v v v=, adotado-se p =, e p 7 3, 3,885 tem-se: a prmera solução: 8 9 7, v =,7876 (fase líquda), a seguda solução: v 3 (fase stável) e a 9, tercera solução 7, v 3 = 9,335 (fase vapor). 9, 3) Em problemas de trasferêca de calor é mportate calcular as raízes reas postvas da tg equação: K, ode K é uma costate cohecda, ote que, eceto o caso em que K =, = ão é raz desta equação. Para evtar as descotudades da fução tagete reescreve-se a equação orgal a forma: f sekcos. Apresete o procedmeto teratvo que traduz o método de Newto-Raphso aplcado a esta equação e aplque-o para determar a prmera raz postva, com uma precsão até a quarta casa decmal, da equação com K =, mostrado claramete em seu procedmeto como evtou o valor =. Sugra uma metodologa para determar as prmeras raízes desta equação. Plotado-se a fução: K se f se y( ) Kcos se K cos se 6

7 .8 3 y 3 Da fgura verfca-se que há uma solução as promdades de =, sedo em o valor da fução gual a K =. Ecludo-se a possbldade de = ser solução do problema, f se Kcos e adota-se ovamete df cos K cos K se K cos K se d. Etão o procedmeto teratvo correspodete ao método de Newto-Raphso sera: k k sek cos KcosKse k ` com que coverge ao valor,656 após terações. Para determar a seguda raz se adota:,656 4,37, covergdo-se ao valor 4,64 após 6 terações. Para determar a tercera raz se adota: 4,64 7,7458, covergdo-se ao valor 7,7899 após 4 terações. E assm sucessvamete: Raz 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a Valor Covergdo,9499 4,7 7,498,3958 3,547 6,6848 9,884 4) F moles por hora de gás atural são almetados cotuamete em um vaso de flash, em acordo com o esquema abao: V (vapor) F (almetação) L (líqudo) A operação estacoára deste vaso é descrta pelos balaços: Balaço global: F = L + V Balaço do compoete : Fz V y L para,,, 7

8 Relação de equlíbro: y K para,,,. Além destas equações as restrções algébrcas, decorretes da defção de fração molar, devem também ser respetadas: e y Mostre como mapulado estas equações se obtém a equação ão-lear: K z, em que = V / F. K Sabedo-se que as composções de almetação e costates de equlíbro, à temperatura do vaso, são cohecdas e tabeladas abao, determe os valores de, e y, =,,...,. Compoete z K Gás carbôco,46,65 Metao,8345 3,9 Etao,38,7 Propao,63,39 Isobutao,5, -Butao,74,75 Petaos,87,93 Heaoss,,65 Heptaos +,434,36 =, Resolução: Utlzado a defção de = V / F o balaço global: F = L + V, resulta: = L / F + L / F =. Utlzado essa equação e a relação de equlíbro o balaço do compoete z y L = K para,,,, ou seja: F z K z e y= K K K. Mas : e y, logo: z K z e. K K Ou seja, para determar há duas alteratvas equvaletes:. Determar a raz de F. Determar a raz de F y z = K K z = K 8

9 Note que: (a): F z =, sto é = (estêca da fase vapor) é raz da K z prmera equação; (b): F y z = K, sto é = (estêca da fase líquda) é raz da seguda equação. Para elmar essas duas soluções K z trvas, subtra-se () de (), sto é: F FyF = K, ote F F F K z agora que: e y F F y F z K As três alteratvas de fuções capazes de resolver o problema são plotadas a segur. F F u k.5.5 z K u k F y F y u k.5.5 K z K u k F Fu k K z K Nas três formas, vê-se que há uma raz próma de,9. Outro bom chute para o valor de é,8345, que é a fração molar do metao a almetação do vaso de flash (o metao por ser o compoete mas abudate e ao mesmo tempo mas volátl a carga do vaso deve sar a maor parte do vaso a fase vapor, sedo o metao o compoete mas presete o vapor). Utlzado o chute cal,8345 e a fução F() o método de Newto-Rapsho coverge para o valor,8867 de. Os valores das composções a fase líquda e vapor são z K z calculadas, respectvamete, por: e y= K K K. Resultado em: Compoete z y Gás carbôco,46,9,48 Metao,8345,95,938 Etao,38,57,365 Propao,63,355,38 Isobutao,5,67,35 -Butao,74,76,48 Petaos,87,466,36 Heaoss,,87,84 Heptaos +,434,989,8 u k 9

10 5) Uma reação químca de prmera ordem, rreversível e em fase líquda é coduzda em um reator taque operado de forma cíclca. Assm, coduz-se uma batelada por um tempo t e, depos de trascorrdo este tempo, esvaza-se e se lmpa o reator, levado esta últma operação um tempo gual a t c. Após passar pela etapa de esvazameto/lmpeza coduz-se ovamete uma batelada por um tempo t, e assm sucessvamete. Pode-se demostrar que o tempo ótmo da fase batelada que mamza a taa de produção do processo é obtdo através da equação ão-lear: k tt kt c e ou a forma logarítmca: ktl k tt c () Sedo k: costate de velocdade da reação =,5 h - t c : tempo da operação de esvazameto/lmpeza =,5 h. Para calcular t tetam-se dos procedmetos teratvos: kt e (a) de () tem-se: t tc sugerdo a segute forma recursva: k ( j ) kt ( j) e () c para =,, com t t j t t k l k tt (b) de () tem-se: t k t k c c, sugerdo a segute forma recursva: ( j) l k t t ( j) c () para j=,, com t t O procedmeto (a) ão coverge, equato que o procedmeto (b) coverge à solução do problema (para o cojuto de parâmetros utlzados) t =,555 h após 6 terações. Eplque porque sto ocorre. c () Resolução: kt e dg t kt No caso (a) a fução teração é: g t tc e para todo t, dessa k dt forma o procedmeto será sempre ão-covergete para qualquer chute cal t () >. No caso (b) a fução teração é: g t ( j) c l k t t dg t dg t para todo t, dessa ( j) k dt k t t dt c forma o procedmeto será sempre covergete para qualquer chute cal t () >. 6) Os balaços de massa de reagete e de eerga em um reator de mstura perfeta ode é coduzda uma reação de seguda ordem, rreversível e eotérmca são epressos pelas segutes equações (em forma admesoal):

11 Balaço de massa do reagete: Da ep Balaço de Eerga: Da ep Ode é a cocetração admesoal do reagete e é a temperatura admesoal da mstura reacoal o teror do reator; Da, e são parâmetros admesoas que tem os segutes valores umércos: Da =,38, =,65 e =. Multplcado a Eq. () por e subtrado esta ova equação de (), chega-se a:, substtudo esta últma epressão em (), chega-se falmete a: Da Da g Esta fução g() é plotada a fgura abao assm como a bssetrz do prmero quadrate, y =. ep ou ep ( ) () () Poto 3 Poto.5 Poto.5 os três potos de terseções destas curvas são:,849 [poto ];,75667 [poto ] e,96563 [poto 3]. a) Mostre porque quado se utlza o procedmeto teratvo: ( k) ( k) g k ( ) para =,,,, apeas o poto 3 é obtdo. Resolução: como a fução teração empregada é: g ( ) Da ep, tem-se: dg Da ep d

12 Para o poto : =,849 Para o poto : =,75667 Para o poto 3: =,96563 dg d dg d dg d 4,44: solução osclatóra e stável.,86: solução ão osclatóra e stável.,356: solução ão osclatóra e estável. b) Sugra um procedmeto teratvo que assegure a covergêca do processo de busca das três raízes do problema. Mostre claramete em seu procedmeto a codção cal a ser adotada a determação de cada solução. Resolução: empregado o método de Newto-Raphso dretamete a: f Da ep g( ), resulta: df Da ep d Dado orgem ao procedmeto teratvo: k k k f. k f Para o poto : () =, obtém-se a solução,849 após 4 terações. Para o poto : () =,5 obtém-se a solução,75667 após 5 terações. Para o poto 3: () = obtém-se a solução,96563 após 3 terações. 7) Sugere-se o segute procedmeto para determar teratvamete as raízes de uma smples fução ão-lear, f() = : Busca-se o mímo de g() = [f()] sto é os valores de que aulam a dervada de g(): dg( ) df ( ) f( ), ou seja, buscam-se as raízes de uma ova fução: d d dg( ) df ( ) F( ) f( ) d d. Aplque o método de Newto-Raphso a esta ova fução F() e mostre o algortmo recursvo correspodete e compare-o com o obtdo aplcado-se dretamete o método de Newto-Raphso à fução orgal. Ilustre o processo teratvo, em ambos os casos, aplcado-o a uma fução smples de sua escolha, por eemplo: f() = ou f() = e -. Aalse e comete os resultados obtdos.

13 Resolução: A aplcação dreta do método de Newto-Raphso à fução f() dá orgem ao procedmeto teratvo: k k k f. A aplcação do método de Newto-Raphso à k f df( ) df ( ) f ( ) d f ( ) fução F(), em vsta de:, dá orgem ao d d df ( ) d d k f k k procedmeto teratvo: k k f f. d f( ) df ( ) d k d k Note que à medda que o últmo procedmeto coverge à solução, sto é: f k, os dos métodos se assemelham. Eemplos lustratvos: () f() =, df d. df F d 4 e 4 3 Método de Newto-Raphso aplcado a f(): Método de Newto-Raphso aplcado a F(): k k k k k k k k 3 Com () = obtém-se a solução,44 após 4 terações o prmero procedmeto e após 5 terações o segudo procedmeto. () f() = e - df, e. d df Fe e e e e e d k k k k e Método de Newto-Raphso aplcado a f(): k e 3

14 Método de Newto-Raphso aplcado a F(): e e k k e e e k Com () = obtém-se a solução,5674 após 3 terações o prmero procedmeto e após 5 terações o segudo procedmeto. Os dos eemplos lustratvos demostram a baa efcêca do ovo procedmeto, pos demada mas terações e cada teração ege mas cálculos. 8) Determar todas as raízes dos segutes polômos: (a) P ( ) y k Y.5 r k r P (b) 6( ) y k r k 4

15 4 y k P 4 3 (c) 4( ) k y r P (d) 7 ( ) y 5 5 r ) Sedo ASC o úmero de Algarsmos Sgfcatvos Corretos, (a) Resolva = cos por substtuções sucessvas, cosderado () =. (6 ASC) 5

16 k k k (b) Mostre que = cos pode ser trasformado em = - (se ) / ( + ), verfcado em quatos passos obtém-se a mesma solução do problema ateror. Elevado membro a membro de: Como cos se se cos ao quadrado, resulta: cos, ou seja: se se se chegado-se falmete a: k k k (c) Mostre que = cos pode ser trasformado em = ( cos ) ½, verfcado em quatos passos obtém-se a mesma solução do problema ateror. Multplcado membro a membro de: cos cos cos por, resulta: 6

17 k k k (d) Esboce o gráfco da fução se = cotg e resolva pelo método de Newto, cosderado () =. (6 ASC) y k u k k k k k (e) Formule as terações de Newto para calcular raízes cúbcas e calcule 3 7, cosderado () =. (6 ASC), logo a fução teração do método de Newto será: 3 f f 3 F

18 3 k k k (f) Resolva o problema (d) usado o método da secate, cosderado como potos de partda () =,5 e () =, e compare os resultados. (6 ASC) k k k (g) Resolva e = pelo método da bsseção o tervalo [, ]. (4 ASC) 8

19 fucao() e 3 Bseção( ab M ) flag k b a f a f b fucao( a) fucao ( b) whle flag k k a b F f fucao() f a F a f a F otherwse b f b F flag f F flag f b a flag f k M R a R b R f a R f 3 b 9 9 M R Bseção( M ) R R k 4 R (h) Ecotre a solução real da equação 3 = pelos métodos da regula fals e da regula fals modfcado. (4 ASC) com: a= e b=5 9

20 Wegste ( ab M ) flag k b a f a f b whle fucao( a) fucao ( b) flag k k a f a f a f b F crt f fucao () f a F crt a f a F otherwse b f b F flag f F b a flag f flag f k M R a R Wegste ab 9 9 R R b R f a R f 3 b R k 4 R fucao k k ) No desevolvmeto de uma modfcação do método de Wegste se utlza uma ova parametrzação do tervalo de busca de acordo com a epressão:

21 ab ba com Nessa ova forma se verfca: () com a (etremdade feror do tervalo de busca); () com a b (poto médo do tervalo de busca); () com b (etremdade superor do tervalo de busca). Para determar o valor de em cada teração se utlza uma terpolação quadrátca versa fudametada os 3 potos: a a b b y = f() f a y a b f a f b yb ym - + Essa terpolação quadrátca versa é descrta por: y yby ym y ya y y p y m y y y y y y y y, calculado o valor de a teração por: teração b a a m b a b m y y y y p y y y y y y y y b m a m b a a m b a b m Este ovo procedmeto é traduzdo através do algortmo: Dados: a, b b a,, e k MAX, calcule: ya f a e yb f b, caso y ENTÃO ayb etrar com ovos valores de a e b. k FAÇA a b y y y y ym f e a b b a y f SE yy a ENTÃO ya y e a SENÃO y y e b b b m a m y y y y y y y y b a a m b a b m ba ; k k ENQUANTO y ou > e k k MAX (a) Este alguma lmtação à aplcação deste ovo procedmeto? Qual? Justfque sua resposta. Resposta: p y m b y y y y y ya y y y y y y b a a m b m Para que seja possível a terpolação versa a cada valor de y só pode correspoder um valor de e vce-versa. Desse modo, a curva de f versus ão pode apresetar um mámo ou a mímo o teror do tervalo [a,b], ou seja deve ser moótoa crescete ou decrescete em todo o tervalo. Isso também garate que y y e y y m b m

22 (b) Aplque o procedmeto a determação da raz real postva da f e, cosderado o prmero tervalo de busca:. fução: Compare a velocdade de covergêca do método com a obtda o método da bsseção. (Cosdere em sua eplaação apeas as cco prmeras terações). Resposta: Na Tabela abao, apreseta-se o procedmeto teratvo resultate da aplcação do método proposto: k a y a b,55,54,544,54,5399,5398 y B -,63 -, -,6 -,5 -,4 -, -, m,5,74,7,7,7,699,699 y m,,6,6,67,676,677,677,97,98,994,9985,9996,9999,55,54,544,54,5399,5398,5398 y -, -,6 -,5 -,4 -, -, -, Covergdo a seta teração. Na Tabela abao mostramos o processo teratvo resultate da aplcação do método da bsseção. k a,5,5,5,5,533,533,539,539,539 y a,65,65,65,65,34,34,,, b,75,65,565,565,5469,5469,543,54 y B -,63 -,63 -,656 -,46 -,63 -,63 -,94 -,94 -,86 -,3 m,5,75,65,565,533,5459,539,543,54,54 y m,65 -,656 -,46 -,63,34 -,94, -,86 -,3 -,6 Na décma quta teração coverge para a solução:,5398 Verfca-se assm a maor velocdade de covergêca do procedmeto, etretato deve-se efatzar que cada passo do ovo procedmeto evolve mas cálculos do que a do método da bsseção!