e represente as no plano Argand-Gauss.

Transcrição

1 PROFESSOR: Cládo Das BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA ª SÉRIE ENSINO MÉDIO ============================================================================================== - Determe o módlo dos segtes úmeros compleos: a) = b) = c) d) = - Determe o argmeto prcpal dos compleos: a) b) c) d) - Sedo e, calcle: a) b) c) - Calcle o valor de - Sejam e os úmeros compleos da eqação Determe o valor de - Escreva o compleo a forma trgoométrca - Sejam os compleos e v Dê a forma algébrca de: v a) v b) c) - Calcle as raíes qartas de 9- Calcle as raíes qtas de e reprete as o plao Argad-Gass - Determe o meor valor de para qe o compleo seja magáro pro - Dado o úmero compleo, se P, P e P são as respectvas mages de, compleo, calcle a medda do maor âglo tero do trâglo P, P e P e o plao - A fgra repreta, o plao compleo, m semcírclo de cetro a orgem e rao Idqe por Re), Im) e a parte real, magára e o módlo do úmero compleo = + y, respectvamete Marqe a alteratva qe cotém as codções qe descrevem o sbcojto do plao qe repreta a regão sombreada, cldo sa frotera A) Re), Im) e B) Re), Im) e C) Re) e D) Im) e E) Re) e Pága de 9 //9:

2 - Cosdere, o plao compleo, m polígoo reglar cjos vértces são as solções da eqação Qal a área deste polígoo, em dades de área? - Cosdere os úmeros compleos e a) Calcle, apretado o resltado a forma algébrca 9 b) Resolva, em C, a eqação - Em C, cosdere os compleos cs ; ; cs Sabedo qe e são das raíes cosectvas de ídce de m úmero compleo, calcle e determa a forma algébrca - Idetfqe as epressões abao qe são polômos: A) + B) + 9 C) D) + + E) - Dado o polômo P) = m ) + m + ) + m ) + 9 Determe m de modo qe P) seja: a) do º gra b) do º gra c) do º gra - Ecotre os valores de a, b e c de modo qe o polômo P) = a + ) + a b) + c seja detcamete lo 9- Sejam os polômos f) = a + ) + e g) = a a + os qas a é ma costate Calcle a codção para qe o polômo fg teha gra - Dado o polômo P) = + Calcle: a) P) b) P - Dados os polômos P ) = +, P ) = + e P ) = + Calcle: a) P ) + P ) P ) b) P )P ) - Determar a, b e c de modo qe a + b) + ) + c ) + ) = + - Calcle m e sabedo qe + ) m ) = + - Se A) = +, B) = ) e C) =, calcle [A) + B)C)] - Calclar A e B de qe A + B = - Determe o resto da dvsão de: a) + por b) + por - Na dvsão do polômo P) = + + por D) = ) + ) ecotro-se como resto o polômo R) Calcle R) Pága de 9 //9:

3 - Dvddo-se o polômo p) por + +, obtém-se + como qocete e como resto Qal o coefcete do termo de gra? 9- Determe o valor de a sabedo qe é ra de P) = a + - Qal o valor de m para qe o polômo + + m ao ser dvddo por +, dee resto? - Parte do gráfco da fção polomal f) = a + b + c + d, com a, b, c, d, reas, é mostrada a fgra Calcle o valor do coefcete b - Determe a, b, c, d reas o polômo P) = a + b + c + d para qe: P ) P) d - Na dvsão de P) por D) ecotra-se o qocete Q) Determe as solções da eqação Q) = GABARITO - Aplcado a fórmla do módlo em cada caso, temos: a) ) ) b) ) ) c) ) d) ) - Os argmetos serão calclados ecotrado a forma trgoométrca de cada compleo a) ) ) º o rad ) b) º o rad c) ) ) 9º o rad d) ) º o rad - Efetado as operações em cada caso, temos: a) ) ) b) ) 9 Pága de 9 //9:

4 Pága de 9 //9: c) ) - A operação fcará mas prátca escrevedo o compleo a forma trgoométrca ) ) ) ) ) ) ) rad o º ) - Resolvedo a eqação e posterormete o módlo, temos: ) )) - Escrevedo o merador e deomador a forma trgoométrca e dvddo os compleos temos: ) ) ) rad o º ) ) ) ) rad o º ) Logo, temos: Aplcado as fórmlas de prodto, qocete e potêca a forma trgoométrca, temos: a) v v

5 Pága de 9 //9: b) v v c) - Aplcado a fórmla da radcação dos compleos, temos: ) 9- A repretação será m petágoo reglar Como os argmetos dferem etre s de, formado ma PA, basta ecotrarmos o prmero argmeto 9 9 ) A ª ra ca de m arco de º e as otras estão dstates ar de º - Para qe seja magáro pro, a parte real deve ser la Escrevedo a potêca a forma trgoométrca, temos: Re) )

6 O merador + ) deve ser múltplo de O prmero valor de qe satsfa a codção é = Logo, ) - O módlo dos compleos vale Os argmetos são: ; e O âglo scrto em P vale º metade de º determado pelo arco P P ) O mesmo acotece com o âglo scrto em P Vale º Logo, o maor âglo vale º - º + º) = º - E) O rao mede Logo, o eo real, a varação va de até Isto é, tdo postvo No eo magáro os valores varam etre - e A regão ptada é teror ao semcírclo cldo a frotera - O polígoo é m heágoo reglar de lado gal a módlo = rao da crcferêca) A área é o sêtplo da área de m trâglo eqlátero de lado Temos: A heágoo - a) Ecotrado a potêca e efetado o prodto, temos: ) ) ) b) Resolvedo as potêcas e tlado as fórmlas de radcação, temos: 9 ) ) 9 9 ) ) Logo, - Como e são cosectvas, etão sa dfereça etre ses argmetos é a raão O valor de pode ser detfcado como, pos hove m fechameto do cclo após hove o retoro a ) De qalqer forma temos: 9 Como são raíes cúbcas, basta elevar qalqer m dos compleos o ) ao cbo e ecotramos Pága de 9 //9:

7 Logo, OBS: O compleo ão é a tercera ra Repare qe se módlo dfere dos demas - De acordo com a defção de polômos, temos: a) É polômo completo de gra b) Não é polômo, pos os epoetes ão são atras c) É polômo completo de gra d) É polômo completo de gra e) Não é polômo, pos a varável ão poss epoete atral - O coefcete do termo de maor gra deve ser ão lo Temos: a) m Logo, m Etão o polômo será do º gra se m e m - b) Neste caso m + ) e m ) = Udo as codções, temos qe m = Assm ala o termo de º gra e matém o gra c) Para qe os termos de gras e sejam los basta qe m = - Assm o coefcete de gra será -), dferete de ero - Para qe o polômo seja detcamete lo, todos os coefcetes devem ser los a a a a b ) b b c c 9- O termo de gra será obtdo a mltplcação dos termos de gra de cada polômo Portato basta estdar esse prodto: a a a )a) a a - Sbsttdo os valores e ecotrado os valores mér, vem: a) P) ) ) ) b) P - Aplcado a dstrbtvdade e redção de termos semelhates, temos: a) - + ) ) + ) = = + 9 b) - + )- + ) = = Dos polômos são gas se ses coefcetes forem gas a b) ) c ) ) a a b b c c b a b c ) a c b a ) c a c a b c c) c c a ) a c a c a c Logo, a b ; c - Igalado os coefcetes após a mltplcação o º membro, temos: )m ) m m m m m) m ) m m Logo, m ; Pága de 9 //9:

8 - Aplcado a dstrbtvdade e redção de termos semelhates, temos: + ) + + )-) = = Reddo a epressão ao mesmo deomador e galado os coefcetes do º e º membros, temos: A B A ) B ) A A B B A B A B A A A A B A B B - a) b) / + + / Resto -> / Resto -> - Devolvedo o dvsor e efetado a dvsão, temos: D) = ) + ) = ) = Logo, R) = ) ) = = = R) -> - Aplcado a relação P) = d) q) + r), temos: P) = + + ) + ) + ) = = O coefcete do termo de gra dos é 9- Se é ra de P), etão P) = Sbsttdo, temos: P) ) a) ) a a a P) - Efetado a dvsão, temos: + + m m + m + Resto -> m + A codção pedda é qe o resto seja Logo, m + =, mplcado m = = Pága de 9 //9:

9 - O gráfco detfca três potos:,), -,) e,) Sbsttdo esses valores em f), temos: a) b) c) d d a b c a ) b ) c ) b b a b c a) b) c) - Devolvedo a epressão e galado os coefcetes, temos: ) P + ) = ) P + ) = d ) P + ) = b = ) = 9 c = [ a + b + ) + c + ) + d + ) ] + P) + d = d + d + c + b + a ) = + P) + d + c + d) + b + c + d) + a + b + c + d) a = a = c + d = d c = a = ; b = 9; c = - e d = = a + b d b + c + d = c b a + b + c + d = b + d + b + c + c + c + d + d + d + d = d + d = d b = d d + d = d = 9d d = - Efetado a dvsão, temos: O qocete é Q) = Fatorado temos Q) = ) + ) As raíes de Q) são: e Otra forma é aplcado a fórmla da eqação do º gra ) S {, } ) ) ) ) MCS//BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA aserie ENSINO MEDIO a ETAPA CLAUDIO DIAS PARTE DOC Pága 9 de 9 //9: