MATRIZES E VETORES 1) CONCEITOS BÁSICOS

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1 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO MARIZES E VEORES ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL ) CONCEIOS BÁSICOS Os cálclos/operações assm como cocetos eoledo matrzes e etores costtem a base dos métodos mércos qe tratam da solção de sstemas leares e ão leares de eqações algébrcas o dferecas. A represetação destes sstemas em termos matrcas/etoras é extremamete mas compacta e é correte a lteratra técca. Como sa-se este crso apresetar os cocetos báscos deste assto especalmete relacoados com aplcações em Egehara Qímca os elemetos de matrzes e etores serão em prcípo úmeros o aráes reas a ão ser qado explctamete especfcados como complexos. Uma matrz é m arrajo retaglar de úmeros em m lhas e colas m x sedo represetada como A (letras maúsclas em egrto) pertecete a m x sto é: mx A. O elemeto da lha e cola j de A é represetado por a j (correspodete letra múscla com o sb-ídce j ) o (A) j. A matrz completa é geralmete escrta a a a a forma: a a a A o am am a m em forma mas compactapor: A a j com =... m e j=... Se das matrzes A e B apresetam o mesmo úmero de lhas e o mesmo úmero de colas são dtas do mesmo tpo. Se A a j é tal qe a j = para todo e j etão a matrz A é dta la e é represetada por. Se =m a matrz A é dta qadrada. Se =m e a a para j =... a matrz qadrada A é dta smétrca. j j Se = tem-se m etor cola o smplesmete etor desgado por (letra múscla em m egrto) e represetado por: m Se m= tem-se m etor lha desgado por (letra múscla em egrto com o sobreídce de trasposto) e represetada por: Se m== tem-se m escalar (real) (letra múscla grega) o seja:. A matrz A mx pode ser partcoada por: x a) Colas a forma:

2 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL A a a a ode colas da matrz A; a j a a a j j mj m para j =... são os etores b) Lhas a forma: a a A ode a am lhas da matrz A. a a a x para =... m são os m etores ) OPERAÇÕES ENRE MARIZES As operações de adção o sbtração são defdas apeas para matrzes do mesmo tpo assm se A e B são matrzes (m x ) etão a matrz C também (m x ) soma o sbtração de A com B represetada por C = A B tem como termo geral : c j = a j b j para =... m e j =.... Se é m escalar qalqer a matrz A é ma matrz cjo termo geral é a j. A operação de mltplcação de matrzes está tmamete relacoada a trasformações de coordeadas. Assm sejam as segtes trasformações leares: p z ajyj para =... m e y j bjk xk para j =... m. j k expressado z em temos de x k por sbsttção tem-se: p p z aj bjk xk aj bjk xk j k k j defdo: C AB c k aj j c a b k j jk j tem-se: m z c x o qe dz à defção da matrz: k k k ode A é (m) B é (p) e C é (mp) qe apreseta como termo geral: b jk para =... m e k =... p. Verfcado-se assm qe a operação AB só é defda se o úmero de colas de A (prmera parcela do prodto) for gal ao úmero de lhas de B (segda parcela do prodto). É mportate ressaltar qe a le de comtatdade ão é satsfeta pelo prodto etre matrzes mesmo qe B A seja defda sto é m=p e mesmo qe B A seja do mesmo tpo qe AB o qe só ocorrerá se m=p= (sto é ambas as matrzes são qadradas e de mesma dmesão) assm de ma forma geral tem-se: AB BA.

3 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL Se a prmera parcela do prodto é m etor lha () e a segda parcela é m etor cola () etão o prodto é m escalar: qe é comtáel sto é. Este prodto é chamado de prodto escalar de dos etores. Se A é ma matrz (m) e m etor () etão o prodto A é m etor (m) cjo termo geral é: ajj para =... m. Este prodto pode ser efetado de j das formas dsttas: a (a) por lhas (método j) cosderado a partção por lhas da matrz A sto é: a A am a etão: a A sto é o elemeto de é dado por a para =... m qe é am o prodto escalar do etor composto pelos elemetos da lha da matrz A com o etor. (b) por colas (método j): cosderado a partção por colas de A sto é: A a a a etão: A a a a a a a a sto é o etor é ma combação lear dos etores cola de A sedo os coefcetes desta combação os elemetos do etor. 7 Exemplo Ilstrato A (a)método j: 7 8 ; 7 8 e logo: 8 8 j j j

4 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL (b) método j: A desgação dos métodos como j e como j dee-se à forma como os loops de programação são efetados assm o prmero método tem-se o segte flxograma: Especfcação de m e a e j j = para =... m e j=... = = + a j j loop tero j = j + loop extero j < _ j : j > = + PARE > m : m < _ m j =

5 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL Note qe este caso o loop extero é em (lha)e o loop tero é em j (cola). O segdo método é descrto pelo flxograma: Especfcação de m e a e j j = para =... m e j=... j= = + a j j loop tero = + loop extero < _ m : m > m j = j + PARE j > j : j < _ = Note qe este caso o loop extero é em j (cola) e o loop tero é em (lha).

6 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL Estes métodos podem também ser lstrados acompahado passo a passo o Exemplo Ilstrato ateror segdo cada m dos algortmos. Método j j 7 8 Método j j A operação de trasposção de ma matrz A (m) cosste em trocar as lhas pelas colas de A esta oa matrz é chamada de matrz trasposta de A represetada por A e é ma matrz (m) cjo termo da lha j e cola é aj aj para j =... e =... m. Se a matrz A é smétrca etão: A = A. As propredades qe serão descrtas a segr aplcam-se exclsamete a matrz qadradas () e a etores cola () e a etores lha (). Defe-se como matrz detdade a matrz I cjo elemeto geral é: apeas se =j I ode j é chamado de delta de Kroecker deste modo a j j sempre qe j matrz detdade é ma matrz dagoal cjos termos da dagoal são todos táros assm: I etededo-se como matrz dagoal ma matrz qadrada em qe apeas os elemetos da dagoal (também chamada de dagoal prcpal) são ão d los geralmete ma matrz dagoal d D é represetada a forma d mas compacta: D dag d d d. Note qe toda matrz dagoal é smétrca. Uma propredade mto mportate da matrz detdade é: I AAIA sto é a matrz detdade pré-mltplcada o pós-mltplcada por qalqer matrz qadrada de mesma dmesão ão altera o alor de elemeto algm desta matrz. 6

7 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL Uma matrz dagoal é m caso partclar de matrzes dta esparsas qe são matrzes qe apresetam m grade úmero de elemetos los sedo os elemetos ão los mas a exceção do qe a regra. Algmas destas matrzes são apresetadas abaxo: ) matrzes trdagoas são matrzes qe apresetam apeas os elemetos da dagoal os elemetos sobre a dagoal e os elemetos sob a dagoal ão los sedo os demas los assm se A é ma matrz trdagoal etão: se = j - dagoal se = j+ (para =...)-sob a dagoal a j se = j - (para =...-)- sobre a dagoal = em qalqer otro caso ) matrzes bdagoas são matrzes qe apresetam apeas os elemetos da dagoal e os elemetos sobre a dagoal o sob a dagoal ão los o prmero caso dz-se qe a matrz é bdagoal speror e o segdo caso bdagoal feror. ) matrzes traglares são matrzes qe apresetam todos os elemetos sob (o sobre) a dagoal los sedo este caso chamada de matrz traglar speror o matrz U (o traglar feror o matrz L) assm: j U se > j e L se j >. j Algmas ezes para etar ambgüdades represeta-se a matrz detdade de dmesão por I. O traço de ma matrz qadrada A é a soma dos elemetos de sa dagoal sto é: tr A a. Uma matrz qadrada A é dta posta defda se x Ax para todo etor x (sto é ão lo) caso x Ax a matrz A é dta posta sem-defda e se x Ax para algs etores x e se x Ax para algm etor x a matrz A é dta ão-defda. Além dsto A é dta egata defda se x Ax para todo etor x e é dta egata sem-defda caso x Ax. O determate de ma matrz A é m escalar obtdo atraés da soma de todos os prodtos possíes eoledo m elemeto de cada lha e cada cola da matrz com o sal posto o egato coforme o úmero de permtações dos ídces seja par o ímpar. Sa obteção e sa represetação apesar de ser m dos cocetos mas prelmares eoledo matrzes ão são tarefas tras e o coceto de determate será tlzado estas otas apeas como base de otras propredades de matrzes qadradas. Assm o determate de A desgado por det(a) pode ser represetado por: det A a a a o etão atraés do coceto de cofator do elemeto j da matrz A (represetado por A j )qe é o determate da matrz obtda cacelado a lha e a cola j da matrz A com o sal mas o meos coforme +j seja par o ímpar assm: ( ) j A j det j ode j é matrz qadrada (--) obtda pela elmação da lha e a cola j de A.. em-se etão: 7

8 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL det (expasão do determate pela lha ) det (expasão do determate pela cola j). Além dsto: j a j A se k lhas gas o caso as lhas e k); e kj A A j a a j j A j A j (pos eqalera a dzer qe a matrz A apreseta das aj Ak se k j (pos eqalera a dzer qe a matrz A apreseta das colas gas o caso as colas j e k). Na prátca etretato é pratcamete mpossíel calclar o determate de matrzes atraés destas regras geras por eoler m úmero mto grade de termos [a realdade! assm mesmo com matrzes relatamete peqeas como com = tem-se mlhões de termos]. Felzmete para os ossos propóstos apeas as regras a segr serão sfcetes: O determate de ma matrz A matém-se alterado se somarem-se a todos os elemetos de qalqer lha (o cola) os correspodetes elemetos de ma otra lha (o cola) mltplcados pela mesma costate ; se a j é o úco elemeto ão lo da lha o da cola j etão: A a A ; a b a b se A etão : det( A ) a d b c c d c d. det j j Da regra erfca-se qe se det(a) = etão A apreseta das lhas (o colas) proporcoas etre s o ada de ma forma mas geral pode-se afrmar qe ma lha (o cola) de A pode ser escrta como combação lear de algma o algmas lhas (o colas) da mesma matrz. Da regra demostra-se qe se A for ma matrz traglar etão det(a) é smplesmete o prodto dos elemetos de sa dagoal (ote qe o mesmo ale para matrzes bdagoas qe são também matrzes traglares). Se det(a) = dz-se qe a matrz A é sglar e caso det(a) etão A é dta reglar. Se CAB etão det(c) = det(a). det (B). Se B = A etão det(b) = det(a) sto é det(a ) = det(a) A matrz adjta de ma matrz A é a matrz trasposta da matrz obtda sbsttdo cada elemeto da matrz A pelo se correspodete cofator sto é se à é a matrz adjta de A etão o elemeto da lha e cola j de à é A j. A propredade mas mportate da matrz adjta dz respeto aos prodtos: P=A à e Q=à A o prmero prodto tem com termo geral: p a a a A det( ) j k kj k jk j k k 8

9 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL e o segdo prodto: q a a A a det( ) j k kj k kj j k k assm: AA A Adet( A) I. Deste modo se det(a) (A é reglar) defe-se: A A a chamada ersa de A qe tem como propredade: det( A) AA A AI qe exste apeas se det(a). Note qe det A det A Exemplo Ilstrato: Cosdere a segte matrz (x): A a b c d assm ses cofatores são: A d ; A c permtdo determar a A b ; A a d b matrz adjta: A ote qe: c a d b AA A A( ad bc) det( A) IA sto é para ( ad bc) c a determar a ersa de ma matrz (x) basta trocar os elemetos da dagoal prcpal trocar o sal dos elemetos da dagoal secdára e ddr a matrz resltate pelo determate da matrz orgal. Se A A sto é a ersa da matrz é gal a sa trasposta etão a matrz A é chamada de matrz ortogoal. e este caso o det(a) = + o -. Exemplo Ilstrato - Cosdere a mdaça de coordeadas em resltate da smples rotação dos exos coforme mostrado abaxo: y x y r P O x ê-se da fgra acma qe o sstema orgal (x x ) : = r cos() e : = r se() o etor OP faz m âglo gal a - com o exo y e projeta-se a porção egata do exo rcosrcos cos rsese y assm: o seja: rsersecosr cosse 9

10 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL cos se cos se o em termos matrcas: secos se cos cos cos detfcado a matrz da trasformação : se se se cos se cos tem-se: cos se cos sesecos e secos cosse se cos cos se cos sesecos. secoscos se se cos Verfcado-se assm qe a matrz é ma matrz ortogoal. É teressate erfcar qe os etores cola da matrz são exatamete os compoetes dos etores e e e o oo sstema de coordeadas em acordo com a fgra abaxo: y x y y x y O cos( ) e r x cos( ) e se( ) O x -se( ) ) ALGUMAS PROPRIEDADES FUNDAMENAIS DE OPERAÇÕES ENRE MARIZES As les de assocação e de comtação são áldas para as operações de adção/sbtração assm: (A+B)+C = A+(B+C) e A+B = B+A. São áldas também as les de assocação e de dstrbção para a mltplcação assm: (AB)C = A(BC) ; A(B+C) = AB + AC e (A+B)C = AC + BC Para a matrz trasposta tem-se as segtes propredades:(a+b) = A + B e (AB) = B A e para a matrz ersa: (AB) - = B - A - e (A - ) = (A ) - Um meor de ordem p de ma matrz A () é o alor do determate da matrz obtda elmado-se -p lhas e -p colas da matrz A. Se ma matrz A apreseta a propredade de todos os meores de ordem (r + ) serem los e de pelo meos m meor de ordem r ser ão lo etão dz-se

11 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL qe a matrz A é de posto (rak) r. Note qe todo matrz qadrade () reglar ( o ão sglar) apreseta o posto gal a. Um cojto de etores... com elemetos é dto learmete depedete se os úcos alores de c c...c tas qe: c +c +...+c = são:c =c =...=c =. Neste caso os etores... formam ma base de e todo etor deste espaço de dmesão (qe é o mero máxmo de etores learmete depedetes qe pode exstr este espaço qe também é gal ao úmero de elemetos destes etores) pode ser expresso como ma combação lear dos etores da base os coefcetes desta combação lear são os compoetes do etor esta base. Os compoetes de m etor qalqer do apeas cofdem-se com ses elemetos qado adota-se a base caôca do qe é a base composta pelos etores táros e cjo úco elemeto ão lo é o ésmo sto é : e j = j desta forma os etores cola o os etores lha da matrz detdade I são os etores da base caôca do. Em ma matrz de posto r todos ses etores lha (o cola) podem ser escrtos como ma combação lear de r etores lha (o cola) desta forma o posto de ma matrz é também o úmero máxmo de etores lha (o cola) learmete depedetes. Uma forma de determar o posto de ma matrz é atraés do processo de ortogoalzação de Gram-Schmdt aplcado aos etores lha o aos etores cola da matrz este processo pode ser resmdo a forma sejam:... os etores cola (o lha) de A etão adota-se: =... j j k j j k k para j =... com = k ode p p p p (módlo de p) Ecotrado-se drate este processo algm etor k com módlo lo ( o meor qe m alor peqeo preestabelecdo) abadoa-se este etor e prossege-se o procedmeto remerado-se os etores sbseqüetes ao fal do processo o úmero de etores k ão los é gal ao posto da matrz. Este procedmeto pode ser também aplcado a matrzes ão-qadradas. Exemplos Ilstratos :Calclar atraés do processo de ortogoalzação de Garm-Schmdt o posto de cada ma das matrzes abaxo:

12 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL 7 (a) 6 ; (b) ; (c) (a) tlzado os etores cola da matrz sto é: 6 ; e tem-se: 6 ; ; como os etores e são ão los o posto da matrz é gal a. tlzado os etores lha da matrz sto é: ; 6 e 7 tem-se: 6 ; ; ; oamete tem-se os etores e ão los e o posto da matrz é gal a. (b) tlzado os etores cola da matrz sto é: ; e 6 ; 6;

13 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL 6 oo: como há apeas etores cola learmete depedete o posto desta matrz é gal a ; tlzado os etores lha da matrz sto é : 6 ; ; e tem-se: 7 7 ; e ; e oo: : desta forma a matrz apreseta apeas etores lha learmete depedetes recofrmado qe a matrz tem posto = ; (c) tlzado os etores cola da matrz sto é: 6 ; ; e 6 9 ; e ; 6

14 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL oo: ;como há apeas etores cola learmete depedete o posto desta matrz é gal a sto pode ser recofrmado com os etores lha da matrz. ) FUNÇÕES DE MARIZES De forma aáloga a fções aalítcas de aráes escalares qe podem em m certo domío ser expaddas em séres de potêcas da forma: dfx ( ) f( x) c x ode : c tem-se as fções de matrzes qe é m matrz! dx da forma: x f( A) c A. Como exemplo tem-se a fção expoecal de ma matrz A defda em aaloga à fção e x = x! pela sére: A expae A ote qe esta fção apreseta as propredades:! -) exp() = I ode é a matrz la; At t -) expat e A ode t é m escalar assm:! dexpat t t A A A Aexp( At) o seja se t expa t tem-se: dt!! d t I e A t o seja a matrz t é solção da eqação dferecal dt d t ordára matrcal A t sjeta à codção cal I. dt Uma forma mas smples para determar fções de matrzes pode ser deseolda atraés da aplcação do eorema de Cayley-Hamlto qe estabelece qe todo a matrz qadrada A é raz de se polômo característco sto é se p c c c c é o polômo característco de A etão:

15 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL p A A c A c A c A c I. A demostração deste teorema pode ser feta defdo-se a matrz adjta da matrz I- A sto é: C = adj(i- A) qe pode ser expressa a forma: C C C C C ode C k k=... são matrzes do mesmo tpo de A mas : (I- A)[adj(I- A)]=det(I- A)I = p()i o seja: I A C C C C c c c c I galado os termos eqüpotetes de tem-se: C IA A C A C AC cia A C A C ca C AC cia A C A C ca somado todos os termos C AC ciaac A C ca AC cia IAC ci após tem-se: A c A A c c Ac I pa. Uma coseqüêca do teorema de Cayley-Hamlto é qe: A c A c A c Ac I mltplcado membro a membro por A: A c A c A c A c A sbsttdo a expressão de A tem-se: A c c A cc c A cc c Acc I e assm scessamete o qe permte coclr qe : m A d A d A d A d I para m =... Além dsto se A é reglar mltplca-se membro a membro de p(a) por A - resltado em : A c A c A c Ic A o seja: A - A c A c A c I { ote qe c =(-) det(a) pos c A é reglar o ão-sglar) assm sedo se A é reglar: m A d A d A d A d I para m =... A aplcação do eorema de Cayley-Hamlto à sére de potêcas permte reescreê-la a forma: f ( A) A f ( A) c A pos potêcas sperores à (-) da matrz A pode pelo teorema de Cayley-Hamlto serem expressas em termos das (-) prmeras potêcas da matrz A além dsto de acordo com a propredade aterormete apresetada de qe se é m alor característco e o correspodete etor característco de A etão q() é alor característco e o correspodete etor característco de m m m q( A) A a A a A a A a I tem-se qe os alores característcos de f(a) satsfazem a: procede-se: m m f( ) etão para determar os coefcetes assm

16 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL () se os alores característcos de A são todos dsttos resole-se o sstema lear de eqações: k f( k ) para k =...; Se A é ma matrz () é solção de : f( ) f( ) f ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) lm f( ) f( ) caso = tem-se: f( ) f( ) lm f ( ) o mesmo resltado podera ser obtdo derado-se a segda eqação do sstema em relação a e em segda fazer assm: f ( ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) Exemplos Ilstratos: (a) para (a) A (b) para A calcle calcle A - e l(a); A. p( ) 7 e assm: f( ) f( ) 8 ; para f(x)=x - tem-se: f() f() logo: 8 9 A e l( ) l( ) 887 para f(x)=l(x) tem-se etão: l( ) l( ) B A l( ) esta últma fção matrcal está correta se a fção ersa também é erdadera sto é : A = exp(b) para sto dee-se calmete determar os alores característcos de B qe são 6

17 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL 69 =697 e =698 determa-se a segr: e etão: 77 exp( B) A (b) p( ) e etão como f( x) x temse: f e f logo: 8 e 6 A 8 ote qe: A A 8 8 () se a matrz A apreseta alores característcos múltplos por exemplo m m este caso para leatar a determação o cálclo dos coefcetes dera-se em relação a m ezes a eqação correspodete a assm: f ( ) ; f( ) ; ( ) f( );...; m m d f( ) ( ) ( m) m d m k f( k ) para k = m+ m+... Exemplo Ilstrato: para sedo as demas eqações: 7 A 7 calcle exp(a); 7 p( ) det 7 e assm: exp( ) 879 exp( ) tem-se assm: 68 logo: exp( ) 7

18 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL 7 7 exp A = Caso desejar-se determar ma sére de potêcas ode a aráel t é ma aráel escalar real esta fção pode ser rescrta a forma: ( t) t A ode t é ma fção escalar de t determada atraés da solção de: () t k f( kt) dsttos; () t f( t) ; t df t ( ) d ( ) t t f( At) c t A t para k =... se os alores característcos de A são todos t ; df( ) d ( ) ( ) m t m t t sedo as demas eqações: t k f( kt) m m Exemplos Ilstratos: (a) para (a) m m ; m d f( ) m d t para k = m+ m+... se A calcle exp(at); (b) para A calcle. exp(at). p( ) 7 e assm: 8

19 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL t t e e e e e e t t ; logo: exp( At) e e d[exp( t e t A )] e t e t e t dt e t t t t e t e t e t e t A[exp( At)] 7 t t t t e e e e d[exp( A t)] e dt exp(a)=i comproado qe esta matrz expoecal está correta. etão: (b) p( ) dee-se assm resoler o sstema: d t t t t e e te te dt assm: t t t te te te d t te dt t t exp( At) te te ; exp( At) t e d exp( At) t te ( t) e dt t t t A[exp( At)] te te comproado qe a matrz expoecal está correta. e d[exp( At)] dt ) FORMAS QUADRÁICAS Em a expressão geral das formas qadrátcas é: a a f( x x) c b x b x x a xx x cjas deradas parcas são: f( x x) b ax a x e f( x x) b a x a x x x f( x x) f( x a ; x) f( x x) a e f( x x) x xx xx a. x Esta forma qadrada pode ser rescrta em forma matrcal segdo: 9

20 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL x a a x f( x x ) c b b x x x a a o seja defdo: x x b A x b a x e = a [ matrz smétrca] tem-se: x b a a fx cb x x Ax x defdo o operador dferecal etoral : = (operador gradete) tem-se: x f( x x) x f(x) = bax (etor gradete de ma fção escalar f) e f( x x) x x x f( x x) x f( x x) x f( x x ) f( x x ) f(x) = a a tra x Defe-se também a matrz Hessaa por: Hx x f( x x) f( x x) x x x x (Laplacao de ma fção escalar). f( x x) f( x x) x xx A. f( x x) f( x x) x x x Estas defções podem ser geeralzadas para segdo: x b a a a x x b b A a a a x e = [ matrz smétrca] x b a a a tem-se: fx cb x x Ax c b x aj x x j j

21 f( x) x f( x) f(x) = x f( x) x ba x x x x f( x) x f( x) x f( x) x PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO f(x) = a a a tra Hx H j x x x ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL f( x) f( x) f( x) x xx xx x x x x x x f( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) x x x x x x x x A f( x) f( x) f( x) x x x x x f( x) f( x) ( x) H x x x x j j smétrca redefem-se ses elemetos a forma: aj elha a j elha a jelha j ( x) [matrz smétrca]. Note qe caso a matrz A ão seja o em termos matrcas Aoa Aelha Aelha A forma qadrátca acma pode ser smplfcada atraés de m traslação do exo tal qe o termo b x desapareçam assm sejam as oas coordeadas (y y... y ) tas qe: x=y+d assm: b x b yb d e x Ax y d AyAd y Ayy Add Ayd Ad y Ay d Ayd Ad pos : y Ad d Ay [ A é smétrca] logo: fy cb yb d y Ayd Ay d Ad detfcado : fd cb d d Ad c e defdo b b A d

22 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL fy c b y y Ay adotado d tal qe : b bad d A b o qe só será possíel se A for reglar assm chega-se a: fy c y Ay ode : x=y+d d A b e c fd cb d d Ad este oo sstema de coordeadas tem-se: f( y) y f( y) f(y) = y A y este oo sstema de coordeadas o alor da aráel f( y) y depedete y qe ala o etor gradete é o alor lo sto é a orgem : y= e este poto o alor da fção f(y) é gal a : c. Esta codção f(y) = é ma codção ecessára para o poto ser m extremo da fção (máxmo o mímo) e é chamado de poto crítco este poto será m poto de mímo se para qalqer zhaça de y = sto é : y a fção é f(y) > f() = c o seja : y Ay e este caso a matrz A é chamada de posta defda e caso em toda zhaça de y= a é f(y) < f() = c o seja : y Ay e este caso a matrz A é chamada de egata defda e o poto é m poto de máxmo. Em qalqer otra stação o poto ão é em de máxmo em de mímo e o caso da matrz ser ão defda tem-se o chamado poto de sela. A forma qadrátca pode também ser rescrta em sa forma caôca de forma aáloga à apresetada o processo de dagoalzação de matrzes assm cosderado y P z ode P é a matrz cjos etores cola são os etores característcos ormalzados de A (por eqato cosderados etores característcos learmete depedetes e ortogoas etre s sto é os alores característcos são todos reas e dsttos - matrz A é smétrca ) tem-se assm: fz c z P APz c z Dz c z como à orgem y= correspodete também a z= tem-se z= como poto de mímo se todo o domío em qe z se para todo = z para z= é m poto de máxmo se z para todo o domío em qe z se para todo = e z= é m poto de sela se ão há zhaça de z= a

23 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL qal z ão mda de sal o qe ocorre se algs e os demas são. No a forma caôca assme a forma: f( z z) c z z este caso a forma das cras de íel caracterzam as segte côcas de acordo com o sal de = det (A) = a a a asssm com > : elpse; < : hpérbole e = : parábola. (a) Elpse: este caso os alores característcos têm o mesmo sal sedo z= m poto de mímo se ambos forem postos e m poto de máxmo se ambos forem postos. O K c K c ode K=f(z z ) [ erfcado tamaho do exo z é e do exo z é qe se z= é m poto de mímo Kc e e se z= é m poto de máxmo Kc e deste modo em ambos os casos: Kc e K c ]. A segr represetam-se s sperfíce f(z z ) e as correspodetes cras de cotoro: M M z ) z.. f ( z z (b) Hpérbole: este caso os alores característcos têm os sas dsttos sedo z= m poto de sela Abaxo represetam-se a sperfíce f(z z ) e as correspodetes cras de cotoro

24 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL M M z ) z.. f ( z z (c) Parábola: este caso m dos alores característcos é lo e portato a matrz A é sglar desta forma ão é possíel fazer a traslação de exo qe elma o termo b x. Etão este caso a rotação dos exos é aplcada dretamete às aráes (x x ) sto é : x P z obtedo-se : ~ ~ f( z z) cbz b z z se = o:

25 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL ~ ~ ~ ~ f( z z) cbz b z z se = ode b Pbb Pb. Verfca-se assm qe a codção ecessára ão é obtda em ehm dos casos pos o prmero caso f( z z) ~ z b z tem-se: f(z) = f( z z ) ~ segdo compoete ão lo b z f( z z) ~ z b e o segdo caso tem-se: f(z) = f( z z ) ~ prmero compoete ão b z z lo. Deste modo em ambos os casos m dos compoetes do etor gradete é costate ão podedo ser alado atraés da escolha de z o z este caso ão se tem em máxmo em mímo. Abaxo represeta-se cras de íel para cada m dos casos M cras de íel (m dos al. caract. =) M cras de íel (m dos al. caract. =) f z z z. z. z f z z z. z. z

26 PARE DO CURSO DE NIVELAMENO 9 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. EVARISO ÁLGEBRA VEORIAL E MARICIAL Lsta de Exercícos ) Mostre qe todo matrz ortogoal apreseta o determate + o -. Sgestão: parta dos prcípos qe det(a)=det(a ) e qe det(a - )=/det(a). ) Mostre qe (A.B) =B.A ) Mostre qe (A.B) - =B -.A - ) Mostre qe (A - ) =( A ) -

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