NÚMEROS COMPLEXOS. z = a + bi,

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1 NÚMEROS COMPLEXOS. DEFINIÇÃO No cojuto dos úmeros reas R, temos que a = a. a é sempre um úmero ão egatvo para todo a. Ou seja, ão é possível extrar a ra quadrada de um úmero egatvo em R. Dessa mpossbldade surge o cojuto dos úmeros complexos C. Para defrmos tal cojuto calmete, assummos a exstêca de um úmero complexo tal que = -. Assummos também que as operações de adção (+) e multplcação estão defdas em C, e que essas operações satsfaem as mesmas propredades fudametas o cojuto dos úmeros reas (falaremos sobre essas operações mas adate). Podemos agora defr o cojuto dos úmeros complexos como sedo o cojuto dos úmeros escrtos a forma: = a + b, ode a e b são reas, sedo a chamado de parte real e b de parte magára. Smbolamos as partes real e a magára com a segute otação: a = () e b = (). Desta forma: = ( ) + ( ) Defmos ada que dos úmeros complexos = a + b e = c + d, serão guas quado a = c e b = d.. OPERAÇÕES ELEMENTARES As operações de adção, subtração e multplcação são fetas de maera atural, cosderado-se o úmero complexo como um bômo. Exemplo. Sejam = + e = + 5. Etão, + = ( + ) + ( + 5) = = ( + ) - ( + 5) =. = ( + ). ( + 5) = = = Chamamos de cojugado de um úmero complexo = a + b ao úmero = a b. Desta forma, para efetuar a dvsão basta multplcarmos os membros da fração pelo cojugado do deomador. Por exemplo, usado e dados acma, temos: + ( 5) = = = + 5 ( 5) 6. PLANO DE ARGAND-GAUSS Gauss assocou a cada úmero complexo a+b um par ordeado (a,b) com a,b R e represetou cada úmero como um poto o plao. Essa represetação recebe o ome de Plao de Argad- Gauss ou Plao Complexo : b P(a,b) a

2 Exercíco. Utlado as déas de Gauss represete os segutes úmeros o plao: a) P = + b) P = 4- c) P = --4 P 4 = -+ e) P 5 = - Obs.: Smbolamos por o exo dos reas, por o exo dos magáros e chamamos de afxo o poto que represeta o úmero. Chamamos de módulo do complexo a dstâca do afxo de até a orgem e o represetamos por ou ρ. Chamamos de argumeto do úmero complexo = a + b, com 0, ao âgulo θ, 0 θ < π, que o exo real forma uma sem-reta de orgem O e que cotém P. O ρ θ P Exercíco. Determe o módulo e o argumeto dos segutes complexos: a) 4+ b) - c) + e) f) a+b 4. POTENCIAÇÃO cordemos as fórmulas de adção e subtração de arcos trgoométrcos: cos( a ± b) = cosa cosb se a seb se( a ± b) = se a cosb ± seb cosa Tedo em mãos estas fórmulas, as operações de multplcação, dvsão, potecação e radcação de úmeros complexos a forma trgoométrca são faclmete efetuadas. Em prmero lugar, cosderemos os úmeros complexos = r (cos a + se a) e = r (cos b + se b) Calcule., colocado r.r em evdêca e agrupado os termos semelhates (lembre-se que = ). Agora, utlado as fórmulas de soma e subtração de arcos dadas acma, observe que podemos escrever. de uma forma mas sucta:

3 . = r r [cos(a+b) + se(a+b)] Note que o módulo do produto é o produto dos módulos dos fatores e o argumeto é a soma dos argumetos dos fatores. Utlado um processo chamado Idução Matemátca podemos provar que, se = r(cosθ + se θ ), etão, para todo Ν, [ cos ( θ ) +. se( θ )] = ρ, ode 0 θ < π Esta fórmula é cohecda como Fórmula de Movre. 5. RADICIAÇÃO Chamamos de ra -ésma de um úmero complexo o úmero complexo k Por exemplo, é ra quadrada de pos =. é ra cúbca de pos =. é ra quarta de 6 pos ( ) 4 = 6. tal que ( ) k =. A operação de radcação é uma forma de potecação, ode os expoetes são úmeros racoas ão teros. Desta forma, podemos utlar a fórmula de Movre para calcular também as raíes eésmas de um úmero complexo: = r θ + kπ θ + kπ θ + kπ cos +. se, ode 0 < π e 0 k < Exemplo. Ecotre as raíes quadradas de = º. Passo: calcular o módulo de : 4 ( 4 ) 8 = + = 4 seθ = = π º. Passo: determar o argumeto de : 8 θ = + kπ 4 cosθ = = 8 º. Passo: usar a Fórmula de Movre: π π + kπ + kπ = 8 cos +. se π π = 8 cos + kπ +. se + kπ 6 6 π π Ou seja, para k = 0, = cos + se = π π e para k =, = cos + se = 6 6 6

4 6. EXERCÍCIOS. Obteha o produto w =.. ode a) = (cos45 + se 45 ) = (cos5 + se 5 ) c) = 6(cos60 + se 60 ) = 5(cos5 + se 5 ) = cos08 + se 08 b) = (cos4 = 4(cos + se ) = 6(cos 4 + se4 + se 4 ) ) R. a) w= (cos60 + se 60 ) b) w = 7(cos88 + se88 ) c) w = 80(cos7º + se7º) π π. Sedo = (cos + se ) e utlado a multplcação defda acma, deteme, e Determe o módulo e o argumeto do úmero 4 para os complexos a) = (cos5 +se5 ) b) = (cos00º + se00º) R. a) ρ = 8 e θ = 40 b) ρ = 6 e θ = 0 4. Calcule as potêcas, dado a resposta a forma algébrca a) ( ) 8 6 b) ( + ) R. a) -8-8 b) Dado o úmero complexo = cos 45 + se 45, calcule w = R. w = (- - ) + 6. Escreva as expressões abaxo a forma a + b : a) ( 4 ) + (6 + ) b) ( ) c) ( 4 ).( 4) ( + ) R. a) 7 6 b) c) Calcule,,, e observe que as potêcas começam a se repetr depos de 4. Comprove 4+ r r este fato, mostrado que = e aplque este resultado para calcular: 0 a) 0 b) ( + ) + 99 c) R. a) b) -64 c) - 8. Sedo um tero, que valores podem ter +? R. 0, ou - 9. Determe a real para que R. ± a + + a seja real. 4

5 + a 0. Determe a real para que seja um magáro puro. R.. solva em C as segutes equações: a) = b) = + c) = = + + ± R. a) { +, } b) {, } c). presetar a forma trgoométrca: a) + b) + c) 5 seθ cosθ ± 7 R.a) π π cos + s b) π π cos + s 4 4 c) ( cos0 s 0). Para que valores de tero postvo ( + ) é real? R. múltplo de 4. + π π cos θ + + s θ + 4. Qual é a forma algébrca do úmero complexo represetado a fgura abaxo? R A fgura abaxo represeta um octógoo regular scrto uma crcuferêca. Sabedo-se que BF = 8, determe as formas algébrca e trgooétrca dos úmeros complexos cujos afxos são os potos B e D. R. B : + ; D : + 6. Calcule, dado a resposta a forma algébrca: a) ( + ) 6 b) ( + ) c) + R. a) 8 b) 56 c) Ecotre as raíes sextas de 8. presete seus afxos o plao. Qual a medda de cada um dos arcos determados pelos afxos? Qual é a coclusão? 5