Sobre aproximações polinomiais de raízes reais de cúbicas

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1 Notas de Aula Sobre aproxmações polomas de raízes reas de cúbcas Edgar Rechtschaffe UNIFESO O problema de se obter as raízes de uma equação do tercero grau abrevadamete uma cúbca fo resolvdo o século XVI da era atual. Uma abordagem detalhada do problema precedda de fascate apahado hstórco dos desevolvmetos pertetes está apresetada por Elo L. Lma em []. Esses desevolvmetos culmam com as cohecdas fórmulas de Cardao-Tartagla. Ocorre que estas fórmulas ão são de cuho prátco para o caso das cúbcas com três raízes reas pos elas depedem do cálculo de fuções trgoométrcas versas tas como o arcocosseo ou a arcotagete que requerem o emprego de métodos teratvos como efatzado em [] e [5]. Em recete artgo ([4]) a partr de uma forma caôca comum às cúbcas apresete duas fórmulas polomas explíctas que determam com extraordára precsão (módulo do erro relatvo feror a 6 ) a raz termedára ou a raz feror de uma cúbca com três raízes reas. São as quase-soluções. O objetvo desta ota é apresetar e justfcar essas fórmulas polomas com o uso do cálculo dferecal. Se os polômos forem trucados para apeas ordem sacrfca-se um pouco da precsão mas gaha-se com a smplcdade permtdo a obteção de quase-soluções de cúbcas com o uso de dos polômos cúbcos. Essas quase-soluções podem ser usadas como codção cal para algum método de aproxmação umérca como o Método de Newto ou o Método de Newto Esteddo resultado em excelete aproxmação já a prmera teração. Forma caôca Estamos teressados a cúbca Ay + By + Cy + D com A = que após dvsão dos dos lados por A passa à forma y + ay + by + c () que tem as mesmas raízes. Se em () aplcarmos a traslação y = x a obteremos um ovo polômo h(x) =x + px + q () cohecdo como forma deprmda em que p = b s q = c + s(p + s ) para s = a. A forma deprmda tem a propredade de que o úco poto de flexão da cúbca se localza a orgem. Para se obterem as raízes de () basta subtrar a das raízes de (). Sedo h (x) = x + p h ão tem poto crítco se p > tem um poto crítco (em x = ) se p = e se p < tem dos potos crítcos em x M e x m = + p = p que são respectvamete máxmo e mímo locas de h. Se p etão h só tem uma raz. Se p < etão h pode ter ou raízes depededo se q p f (x M ) f (x m )=4 + é postvo ulo ou egatvo respectvamete. Em todos os casos em que o chamado dscrmate = q + p é maor ou gual a zero (que clu automatcamete o caso p ) pode-se empregar a fórmula de Cardao-Tartagla para as raízes de h q + + q () apeas usado-se algortmos para o cálculo de raízes quadradas e cúbcas de úmeros reas postvos (se m < etão toma-se m = m ). No caso em que p < e = em que se tem duas raízes reas a fórmula dá a raz smples equato a raz dupla é o poto crítco de sal cotráro. O maor problema o uso da fórmula de Cardao- Tartagla ocorre quado < (casus rreducbls) em Matemátca Uverstára º46

2 que é um úmero magáro e ecessta-se calcular raízes cúbcas de úmeros complexos. Na prátca sso requer escrever o úmero complexo a sua forma polar Re θ = R(cos(θ)+se(θ)) em que θ só se determa com o uso de fuções trgoométrcas versas o que lmta seu uso e pode ter um custo computacoal muto grade para um grade volume de cálculos desse tpo (ver [] e [5]). Aqu proporemos fórmulas polomas para o cálculo das três raízes reas de h(x) (e portato do polômo cúbco orgal) quado < de forma aproxmada mas dreta sem passagem aos úmeros complexos. Para tato faremos a mudaça de coordeadas w = x x m que força a que o máxmo e o mímo locas se stuem em e+ respectvamete. Dessa mudaça de coordeadas seguda da dvsão da fução por xm resulta a equação cúbca em que f (w) =w w + α = (4) α = q p / que em [4] cuhamos como forma caôca. A forma caôca pode ser defda também para p = (este caso basta tomar α = q) ou para p > defdo-se x m = p (mesmo que x m ão seja poto crítco). Neste caso obtém-se f (w) =w + w + α =. Quado < tem-se p < (logo p = p ) que mplca α <. Como cosequêca o caso de três raízes reas fca ão só reduzdo a apeas um parâmetro como esse parâmetro vara detro de um tervalo lmtado. É sso que permtrá a costrução de fórmulas uversas de aproxmação das raízes. Geometra da forma caôca Como exposto acma teceremos algumas observações sobre a forma caôca dada em (4) para α < (de fato α pos a aálse se estede aos extremos). A equação (4) pode ser reescrta como α = w + w F(w). A fução F tem a segute terpretação: se qusermos que um determado w seja uma raz basta fxarmos α = F(w). Por outro lado dado um α as raízes da forma caôca são os valores w tas que F(w) =α. O gráfco de F está mostrado a fgura o tervalo [ +]. A fução F tem raízes em e + potos crítcos e + com valores crítcos e + respectvamete e vale + e em e + respectvamete. Ela ão tem versa em [ +] mas tem os três ramos versos r : [ +] [ ] r : [ +] [ +] r : [ +] [+ +]. Para cada α [ +] as três raízes da forma caôca são dadas por r (α) r (α) e r (α) e satsfazem r (α) r (α) + r (α). + α + Gráfco de α = w + w em [ +] + Note também que se w é solução da forma caôca para um determado α etão w é solução da forma caôca para α. Portato caso α seja egatvo podese trocar seu sal para que fque postvo resolver a equação achado suas raízes e falmete trocar o sal das raízes para se obter as soluções orgas. Em outras palavras basta saber resolver a forma caôca para α etre e. w Matemátca Uverstára º46

3 Uma raz determa as outras Será útl também aplcar o prcípo de que basta determar uma das raízes da forma caôca para que as outras fquem determadas apeas com o uso de raízes quadradas sem que se recorra à dvsão explícta de polômos. Supohamos que r seja uma raz da forma caôca e reescrevamos a fórmula caôca expaddo o polômo de Taylor de f de tercero grau em toro de r que este caso é exato. Isso dá f (r + d) = f (r)+ f (r)d + f (r) d + f (r) d 6. Se r + d também for uma raz etão = f (r)d + f (r) d + f (r) d 6 = (r )d + rd + d = d (r )+rd + d. As soluções da equação são d = evdetemete e as soluções da equação quadrátca (r )+rd + d =. Calculado D = r d + = r + D (5) resulta que se r é uma raz da forma caôca as demas raízes r + e r são dadas por r + = r + d + = D r r = r + D. (6) Os superescrtos + e são apeas para ressaltar que r + > r ada tedo a ver com o sal das raízes. Estmatvas da raz termedára e da raz feror: quase-soluções As fórmulas de aproxmação que apresetaremos aqu são trucametos das expasões de Taylor dos ramos r (α) e r (α) com graus de trucameto prevamete escolhdos (daremos duas sugestões para esses graus). O ramo r é expaddo em toro de α = equato o ramo r é expaddo em toro de α =. Depededo do valor de α um ou outro é mas coveete pelo tamaho do erro obtdo pelo trucameto. Usado um ou outro as outras raízes são obtdas como exposto acma. Para o uso combado das expasões de r (α) e r (α) defremos o valor de trasção α T : para α α T usa-se a expasão de r (α) em toro de α = e para α > α T usa-se a expasão de r (α) em toro de α =. A escolha de α T pode varar com a escolha dos graus das duas expasões de forma que seja mmzado o erro de trucameto. Neste caso flueca a escolha de α T o erro de trucameto ser absoluto ou relatvo ao tamaho de α. Chamaremos de quase-soluções aos resultados obtdos por combação dessas expasões. A prmera sugestão é expadr r até ordem 6 e r até ordem 9 (como as potêcas pares a expasão de r são ulas pode-se chegar a um grau maor com meos termos) usado α T =.45 como valor de trasção. Mas abaxo oretaremos o letor para a obteção das expasões. Por equato restrgremo-os a eucálas. Apresetaremos as fórmulas com mudaças de varáves que smplfcarão as expressões. Defdo-se γ = ( α) 9 a expasão ψ (α) de r (α) em toro de α = até grau 6 é dada por + γ + γ γ + 9 γ γ γ5 e defdo-se β = α a expasão ψ (α) de r (α) em toro de α = até grau 9 é dada por β + β + β β β8. (8) Pode-se costatar emprcamete por meo de smulações computacoas que esses trucametos são de extraordára qualdade: tato r (α) ψ (α) r (α) para α (.45] quato r (α) ψ (α) r (α) para α [.45 ] são meores do que 6. Se estvéssemos a era pré-computador as fórmulas de ψ (α) e ψ (α) poderam ser o recetuáro para a cofecção de uma tabela com poucas págas que forecera as raízes reas de qualquer cúbca com três raízes reas. (7) 4 Matemátca Uverstára º46

4 Raízes de cúbcas por meo de cúbcas Para uma boa parte das stuações a determação das raízes da forma caôca com precsão melhor do que 5 4 talvez seja bastate acetável. Nestes casos podemos usar as expasões de r e r apeas até grau : r + γ + γ γ (9) r β + β () em que β = α e γ = 9 ( α). Pode-se dzer etão que dos polômos cúbcos determam com boa precsão as raízes das cúbcas (o caso em que são três as raízes reas). O valor de trasção e a precsão obtda serão mostrados adate. Expasões de Taylor dos ramos versos Para cada = r é a versa de um ramo moótoo de F que é uma fução cúbca. A dea é obter aproxmações das fuções r trucado-se suas expasões de Taylor em potos aproprados. Para as expasões de Taylor é precso ter expressões para as dervadas (de ordes varadas) das r s. A regra da cadea aplcada a F(r (α)) = α mplca r (α) = F (r (α)). Daí se obtêm as dervadas de r de ordem mas alta por dução. É fácl mostrar que r (k) = X k r (F r ) k em que X k é uma expressão polomal as dervadas de F que pode ser calculada pela recorrêca X k+ = X k F (k )X k F. () Como F é cúbca todas as suas dervadas de ordem maor do que são ulas. Etão a expressão polomal de X k todos os termos que evolvem essas dervadas podem ser gorados. Chamemos de X k a expressão de X k sem os termos evolvedo dervadas de ordem maor do que. Os prmeros termos dessa recorrêca são X = X = F X = (F ) F F X 4 = 5 (F ) F F F. Também por dução pode-se detalhar mas um pouco a forma dos X k s. Se é par etão X e X têm termos e são da forma X = σ () (F F ) (F ) = X = F τ () (F F ) (F ) = em que σ () e τ () =... são teros. Usado-se () pode-se deduzr a trasformação lear a forma matrcal que leva o vetor de coefcetes (σ () σ ()...σ () ) o outro vetor de coefcetes (τ () τ ()...τ () ) e também este últmo o vetor segute (σ (+) σ (+)...σ (+) ). Dexamos para o letor completar os detalhes que levam às expasões apresetadas em (7) e (8). Iformações téccas Depededo das fórmulas utlzadas e se o objetvo é cotrolar o erro absoluto ou relatvo pode varar o valor de trasção que mmza o erro. A tabela mostra para os pares de fuções cosderados esse texto (sto é prmero ψ e ψ que são trucametos de graus 6 e 9 das séres de Taylor de r e r e os trucametos de grau dessas mesmas séres) o valor de trasção e uma lmtação para o erro cometdo obtda umercamete. graus rel/abs trasção erro 6e9 absoluto e9 relatvo e absoluto e relatvo Matemátca Uverstára º46 5

5 Sedo ecessára uma maor precsão esses valores podem ser utlzados como semete para uma teração de algum método de aproxmação de raízes como o Método de Newto ou o Método de Newto Esteddo. Como as semetes já são bastate próxmas da raz basta fazer uma teração desses métodos para se ter uma aproxmação melhor ada. Por exemplo o Método de Newto é a teração de φ(w) =w f (w) f (w) se f é a fução da qual se procura a raz. Neste caso sedo f a forma caôca a teração fca φ(w) = (w α) (w ). Pode-se etão combar as fórmulas (9) e () em que se obtém r (a aproxmação da raz que essas fórmulas dão) e depos calcular φ(r). Cada uma dessas composções é uma fução racoal de α. Usado.8 como valor de trasção para o uso de (9) ou () sso dá um erro relatvo meor do que.6 7. Melhor ada é aplcar uma teração do Método de Newto Esteddo dada por φ(w) =w f (w) f f (w) f (w) / (w) f (w). Para a forma caôca sso dá a fórmula φ(w) =w w w + α (w ) / 6w(w w + α 9(w ). Neste caso usado.5 como valor de trasção da composção com (9) ou () obtém-se um erro relatvo meor do que.5. Um exemplo A título de exemplo estudemos as raízes da cúbca y 6y 6y +. A dvsão por dos para dexar o coefcete do maor grau gual a ão altera o cojuto de raízes portato basta-os estudar a cúbca y y y +. Dervado duas vezes e gualado a zero ecotramos o poto de flexão y =. Fazemos etão a mudaça de coordeadas x = y que leva à forma deprmda x 6x 4 = (exemplo que aparece em [] de forma detalhada). O dscrmate egatvo mostra que a equação tem três raízes reas. Para passar à forma caôca calculamos o mímo local x m = e fazemos a mudaça de coordeadas w = x/x m que leva à forma caôca w w + = sto é α = / (o sal egatvo a mudaça de coordeadas escolhdo a posteror é coveete para se obter α postvo a forma caôca). Usaremos (7) ou (8) com valor de trasção α T =.45. Como α > α T usamos a prmera delas. Como esse método de acordo com a tabela tem precsão máxma da ordem de 6 usaremos 8 casas decmas (este caso α =.77678). Com (7) obtemos r = Com as fórmulas (5) e (6) cosegumos as outras duas raízes: r =.5768 e r = Para chegarmos às raízes de x 6x 4 basta multplcar esses três úmeros por x m = do que resultam e.7584 que estão respectvamete a meos de e. 8 das raízes exatas e+. Para obtermos as raízes da cúbca orgal basta somarmos a esses valores em vsta da mudaça de coordeadas y = x +. Agradecmeto. O autor é mutíssmo grato aos edtores pelos dversos cometáros e sugestões propostas para a versão fal destas otas. Referêcas [] KUROSCH A. M. Curso de álgebra superor. Moscou: Mr 968. [] LIMA E. L. Equação do tercero grau. Matemátca Uverstára. 5 p [] OSTROWSKY A. M. Soluto of equatos ad systems of equatos. New York: Academc Press 96. [4] RECHTSCHAFFEN E. E. M. Real roots of cubcs: explct formula for quas-solutos. Mathematcal Gazette v p [5] USPENSKY J. V. Theory of equatos. New York: McGraw- Hll 948. Edgar E.M. Rechtschaffe - edgarxrecht@terra.com.br Cetro Uverstáro Serra dos Órgãos UNIFESO 6 Matemátca Uverstára º46