Capítulo 3. Interpolação Polinomial

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Capítulo 3. Interpolação Polinomial"

Transcrição

1 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo 3 Iterpolação Polomal Teorema de Weerstrass: se f( é uma fução cotíua em um tervalo fechado [a, b], etão para cada >, este um polômo de grau ( tal que: f( p ( < [a, b] Embora seja um teorema motvador para usar polômos, o valor de ( geralmete ão é cohecdo, prcpalmete quado f( ão é dada eplctamete. Outro motvo para usar polômos a apromação de fuções é que suas dervadas e tegras são fáces de determar e também são polômos. Como o polômo de Taylor, descrto o capítulo ateror, cocetra a sua precsão próma ao poto, ele ão é adequado para a maora das aplcações prátcas ode, geralmete, se deseja uma boa apromação em todo o tervalo de defção da fução f(. Cotudo, o polômo de Taylor é de grade utldade a aálse umérca para estmatvas de erros de téccas umércas. Portato, este capítulo são abordados polômos que utlzam dados em város potos do tervalo, chamados de polômos terpoladores. Dados + pares de valores {, f( }, =,,,...,, este um e somete um polômo p ( de grau o qual f( = p (, =,,,...,. Portato, embora estam váras fórmulas de terpolação polomal, se elas utlzarem as mesmas formações os potos odas {,,,..., }, etão os polômos obtdos serão os mesmos. Naturalmete, se f( for um polômo de grau, etão a apromação também será eata. Epressado o polômo terpolador a forma: p( c os coefcetes c são soluções do sstema abao de + equações algébrcas leares:

2 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL cujo determate da matrz dos coefcetes: c c c c f( c cc c f( c c c c f( V é chamado de determate de Vadermode, sedo ão-ulo se j j. O problema desta técca de determação dos coefcetes é a sua tedêca de propagar os erros de arredodameto à medda que os potos odas se apromam us dos outros, pos o determate de Vadermode tede a zero estas stuações, gerado um sstema de equações mal codcoado. Eercíco: mplemetar o códgo abao o MATLAB ou SCILAB para terpolar a fução y seh( f( seh( que é a solução aalítca do problema de reação com dfusão em um partícula catalítca esférca sotérmca com reação de prmera ordem ( é o rao admesoal e y é a cocetração admesoal. Utlzar como potos odas, potos gualmete espaçados etre, e,9, com espaçameto uforme de, para o caso (a e de,4 para o caso (b. Após obter o polômo, terpolar a fução os valores de a em tervalos de,. Note que etre e, e etre,9 e os valores serão etrapolados. Comparar os dos casos. d=.; % para o caso (a d=.4; % para o caso (b =[.:d:.9]'; % potos odas ph=5; y=sh(ph*./(*sh(ph; % valor da fução os potos odas =legth(; % úmero de potos c=[:.:]'; % potos para terpolação m=legth(c; yc(=ph/sh(ph; yc(:m=sh(ph*c(:m./(c(:m*sh(ph; % formação da matrz de Vadermode Um=oes(,; % vetor de tamaho com todos elemetos guas a M=Um; for =:- M=[M.^]; ed C=v(M*y; % coefcetes polomas (versão sem pvotameto % C=M\y; % coefcetes polomas (versão com pvotameto parcal

3 3. TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 3 p=c'*(um*c'.^([:-]'*oes(,m; % valores terpolados % % forma alteratva calcular os valores terpolados % %for =:m % p(=c(; % for j=-:-: % p(=p(*c(+c(j; % ed %ed codm=cod(m % úmero de codcoameto da matrz dos coefcetes plot(c,yc,'b:',c,p,'r',,y,'o'; leged('eato','polômo','potos'; O resultado do eercíco acma é mostrado a fgura abao, ode se observa o caso (b o efeto dos erros de arredodameto devdo à versão matrcal sem pvotameto do sstema de Vadermode que este caso é mal codcoado. Este problema ão ocorrera se fosse realzada a versão matrcal com pvotameto (parcal ou total..9.8 eato polômo potos.9.8 eato polômo potos Caso (a Caso (b Outro aspecto sobre a formulação p ( c é a sua forma efcete de cálculo de terpolação. A forma alteratva (ahada: p ( c ( c ( c ( c c requer um úmero bem meor de operações de multplcação ( cotra (+/ e pode ser mplemetada coforme o algortmo: p c Para =,,...,,,, faça p p + c

4 4 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Este algortmo está mplemetado de forma cometada o códgo acma. As fórmulas de terpolação mas comumete usadas e que ão fazem uso do determate de Vadermode são a fórmula terpoladora das dfereças dvddas de Newto e os polômos terpoladores de Lagrage. 3. Tabela de dfereças de Newto Partdo do coceto de dervada: df f ( f( f( lm d f( f( a apromação f [, ] para é chamada de prmera dfereça dvdda ou dfereça dvdda de ordem com relação a e. Aplcado o teorema do valor médo dferecal: f ( b f( a f ( para f( C [a, b] e algum [a, b], etão: b a f[, ] f( para algum [, ], ou seja, f[, ] está relacoada com a dervada prmera de f(. Cosderado o problema da terpolação lear passado pelos potos {, f( } e {, f( }, temos: f ( p ( a f( como f ( p ( a a ( f ( p ( f( f( a ( a f( f( e f[, ], ou seja, p( f( f[, ] (. Usado a defção de erro (ou resíduo da apromação: f ( p ( R ( e sabedo que R ( deve se aular em e : R ( g( ( ( f( f( ou ada R( f( f( f[, ] ( ( f[, ] ( f[, ] f[, ] R ( f[, ] f[, ] ( ( ( f[, ] f[, ] ode f [,, ].

5 3. TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 5 Defdo a fução: Q( t f( t p ( t ( t ( t g( ela se aula pelo meos em t =, t = e t =, logo Q ( t deve se aular pelo meos duas vezes o tervalo [, ] e Q ( t deve se aular pelo meos uma vez em um poto t = [, ]: Q( f( p(! g( como p( (polômo de grau temos: f ( g (! Agora, se mas um poto {, f( } for cluído o cojuto de potos odas: f ( p ( a a ( a ( ( fca evdete pelo eposto acma que a = f[,, ] podedo também ser tomado como uma boa apromação para R ( se f ( for uma fução suave (que ão muda bruscamete para dferetes valores de. Isto mostra que as fórmulas das dfereças dvddas de Newto podem ser usadas para determar o grau aproprado do polômo terpolador em fução da qualdade desejada da apromação. f [, ] f[, ] Retomado a epressão: f[,, ] f[,, ] f( f( f( f( ( f( f( ( f( f( ( ( ( ( f( ( f( ( f( f[,, ] ( ( ( ou ada ( f( ( f( ( f( ( f( f[,, ] ( ( ( ( f( f( ( f( f( f[,, ] ( ( ( f( f( f( f( f[, ] f[, ] f[,, ] ou seja, f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ], a ordem dos argumetos das fórmulas das dfereças dvddas é dferete. Das epressões acma, podemos observar também que: f[,, ] f( f( f( ( ( ( ( ( (

6 6 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Geeralzado para potos odas, com a clusão da dfereça dvdda de ordem zero: f[ ] f( temos para a dfereça dvdda de ordem k: f [ k, k,,, ] f[ k, k,,, ] f[,,,,, ] k k, k =,, 3,..., k e ( k f ( f[, k,,,, ], [, ]. k! O erro da terpolação por um polômo de grau é: ou R ( f[,,,,,, ] ( ( f ( R( (, [, ] (! sedo que a seguda forma é útl somete quado a fução f( for dada eplctamete. Eemplo: obter o polômo terpolador de grau 3 usado as fórmulas das dfereças dvddas de Newto para os dados abao: y p ( f[ ] f[, ]( f[,, ]( ( f[,,, ]( ( ( 3 3 p 3 3 ( 5 6 ( ( ( ( 3( ( 7 5

7 3. TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 7 A tabela das dfereças dvddas de Newto é costruída da segute maera: y f[ ] f[, ] f[ ] f[,, ] f[ ] - f[ - ] f[, -, - ] f[, - ] f[ ] f[ 3,,, ] f[, -, -, -3 ] f[, -,...,, ] Para um qualquer etre e, a terpolação polomal de grau é obtda através das epressões: f f f, f f f,, mas:,, f f f,, f, f, f,,, mas:,,,, f f f,,, f,, f,, f,,, f,,,,,,,,,, f f,,,,,,,,,, f f f e, falmete: f,,,,,,,,,,,,, f f,,,,,,,,,,,,, f f f ode o últmo termo: f [,,,,, ] ( é o erro da terpolação, que pode ser estmado com o uso de um poto adcoal { +, f( + } prómo a. Eemplos:

8 8 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL a A tabela abao cotém os valores da vscosdade (em cetpose de uma solução cotedo 6% de sacarose a váras temperaturas. Costrua a Tabela de Dfereças destes dados. T ( o C (cetpose 3 3,9-5,7 56,7,755 -,69 -, ,,499 -,7 4,3 b Refaça a Tabela de Dfereças adotado l( o lugar de : T ( o C l( 3 4,7353 -, ,37774,93 -,5 -,4 3 3,56655,6 -, ,5877 Algortmo: Iterpolação polomal de Newto Dados + potos {, y }, deseja-se terpolar a fução em = * Para =,,,...,, faça A, y Para =,,...,, faça Para j =,,,...,, faça A j, A A j, - j, - j j p y * A, Para =,,...,, faça p ( * - p y * y * + p A, y - - A, A, A, A,- A,- A, A, A, A, A,- A,- A, A, A, A,- 3 3 A 3, A 3, A 3, - A -, A -, A -, - A -, A -, A,

9 3. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE 9 Ao fal do algortmo y * cotém o valor terpolado de f( em = *. 3. Iterpolação de Lagrage Na dervação das fórmulas das dfereças dvddas fo adotada a forma polomal: p ( a a ( a ( ( a ( para a determação dos coefcetes a, =,,,...,. No caso da terpolação de Lagrage, a forma polomal adotada é a segute: p ( b ( ( ( b ( ( ( b ( ( ( ( ( b ( ( ( cujos coefcetes b, =,,,..., são determados dretamete pelas codções p ( = f(, =,,,...,, resultado em: f( b ( ( ( ( (, =,,,...,. Defdo os terpoladores de Lagrage: que são polômos de grau, temos: j (, =,,,..., j j j p ( ( f(. Pela defção de (, podemos observar que:, j ( j, j, j ou seja,,,,..., -, +,..., são as raízes de (. Se f( = k, etão k k ( para k =,,,...,, pos a apromação é eata se f( for um polômo de grau. Desta relação resulta para k = : (. Defdo o polômo odal, que tem como raízes =, =,,,...,, logo de grau + :

10 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL P ( a ( ( ( ( a ( j j e chamado de q( ( j o umerador de (, =,,,...,, resulta que: j j q ( P ( ( e a q( q (. P ( Aplcado o lmte para a seguda epressão: lm P (, temos: a q( P ( e P ( ( ( P (, =,,,...,. Sabedo que f( = p ( + R ( e que R ( deve se aular em, =,,,...,, etão R ( = P + ( G(, que procededo de maera aáloga à seção ateror, a fução: Qt ( f( t p( t P ( t G ( deve se aular em t =, =,,,..., e em t =, ou seja, em o mímo + vezes detro do tervalo [, ]. Portato, Q (+ (t deve se aular em pelo meos um poto este tervalo, t = : Q ( f ( p ( P ( G( ( ( ( ( como ( p ( (polômo de grau e P ( a (!, temos: ( f G ( a ( (! ( e ( f ( R( ( com [, ]. (! Eemplo: obter o polômo terpolador de Lagrage de grau para os segutes dados: y = f( ( ( ( ( 3 43 ( ( ( ( ( 3 3 ( ( ( ( 3 3 ( ( ( ((3 ( ( ( ( ( ( ( (3(3 6

11 3.3 ANÁLISE DE ERROS ( ( ( 5 ( ( 5 ( 4 5 p f Comparado com as dfereças dvddas de Newto, a terpolação de Lagrage tem como desvatages a sua dfculdade em obter uma estmatva do erro e a ecessdade de recostrur todos os terpoladores de Lagrage com a adção de ovos potos. Ou seja, ão é um método adequado quado o grau do polômo ão é cohecdo a pror. Além dsto, demada uma quatdade maor de cálculos quado váras terpolações precsam ser obtdas com o mesmo cojuto de potos odas. Uma maera de costrur os polômos de Lagrage de maera recursva para a clusão gradual de ovos potos até uma precsão desejada é através do uso do método de Nevlle (ão abordado aqu, mas pode ser ecotrado em Burde e Fares, 3. Algortmo: Iterpolação polomal de Lagrage Dados + potos {, y }, deseja-se terpolar a fução em = * Para =,,,...,, faça p Para j =,,,...,, faça Se j: p y * Para =,,,...,, faça y * y * + p y * j j p Ao fal do algortmo y * cotém o valor terpolado de f( em = *. 3.3 Aálse de erros Ao apromarmos uma fução f( pelo polômo de Taylor de grau, vmos que o erro de trucameto da apromação é dado por: ( f [ ( ] R ( ( (!, com [, ]. Cotudo, como o valor de ( f [ ( ] ão pode, geralmete, ser calculado por ão cohecermos a fução (, podemos apeas estabelecer um lmte superor para o erro da ( apromação, tomado o valor mámo de f ( o tervalo [a, b]. No caso da terpolação polomal, vmos que o erro da apromação é dado por: ( f [ ( ] R( ( com [, ] (!

12 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL e os mesmos cometáros acma se aplcam, com o agravate que este caso, geralmete, a ( fução f( ão é cohecda para podermos ecotrar o valor mámo de f (. Neste caso podemos recorrer ao uso da tabela de dfereças dvddas de Newto para ecotrarmos uma estmatva para o erro usado a relação: ( f [ ( ] (! e um valor adcoal de f( em um ovo poto +. f [,,,,,, ] de: Naturalmete, se f( for cohecda, etão R ( também pode ser obtda dretamete R ( = f( p ( Neste caso, uma formação útl é o erro médo quadrátco (MSE, Mea Square Error da apromação o tervalo [a, b]: MSE R ( d b a b a ou ormalzado para o tervalo [, ]: a y d = (b a dy, resulta em: b a MSE R ( y dy que pode ser usado para determar a melhor apromação para f( detre váras alteratvas. Eemplo: costrur os gráfcos das apromações de f( usado terpolações 5 polomas de ª, 3ª e ª graus com potos gualmete espaçados o tervalo [-, ], os gráfcos dos erros da terpolação e calcular o MSE.

13 3.3 ANÁLISE DE ERROS 3 Iterpolação Comparação da Fução Real com a Iterpolada Iterpolação Polomal de Y k Segudo Grau com Z k.5 Potos Igualmete Espaçados.38 Iterpolação Polomal de Y k Tercero Grau com Potos Igualmete Espaçados Z k.38.5 Iterpolação.846 Polomal de Y k Décmo Grau com Z k Potos Igualmete.55 Espaçados Iterpolação Polomal de Décmo Grau como Potos as Raízes do o Polômo de Chebyshev Y k Z k z k z k Erro da Iterpolação R ( d.5,7,595 z k z k,337 3,3-3 Neste eemplo foram usados potos gualmete espaçados para costrur os polômos terpoladores. Porém, é possível determar os potos odas que geram um polômo terpolador com o meor resíduo possível etre polômos de mesmo grau. Para determar estes potos odas ótmos, partmos da epressão do erro: ( ( f [ ( ] f [ ( ] (! (! R ( ( P ( ode P + ( é o polômo odal com a + =. Reescrevedo P + ( a forma: P ( c os + coefcetes c podem ser determados de maera a mmzar o MSE: sedo c arg m MSE( c c, c,..., c ( f [ ( ; c] MSE( c R(; c d c d (! Aplcado o teorema do valor médo da tegral:

14 4 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ( f [ ( c] MSE( c c d (! Como o mímo do MSE(c ocorre quado cmse, temos: ( ( ( c c c k k MSE( c f [ ( ] df ( ( f [ ( ] P ( d ck [(!] d c (! P ( d, k =,,..., Se cosderarmos depedete de c [váldo quado f (+ ( for costate], etão, k P ( d, k =,,,..., O que permte coclur que P + ( é um polômo ortogoal o tervalo [, ] em relação à fução peso w( =. O polômo que satsfaz essa codção de ortogoaldade é o (, polômo de Jacob, P (, com = e =. Portato, uma boa apromação para os (, potos odas que mmzam o MSE são as raízes do polômo de Jacob P (. Se o tervalo utlzado fosse [-, ], etão teríamos o polômo de Legedre. 3.4 Crtéro de mmzação do erro mámo Até o mometo utlzamos as codções: f( = p (, =,,,..., para determarmos os coefcetes de p (. Outro crtéro que pode ser utlzado é a mmzação do erro absoluto mámo da apromação os potos dados: m ma f ( p ( c, c,, c ou para o caso de f( ser cohecda: m ma f ( p ( c, c,, c ab Este crtéro é cohecdo como prcípo mma de Chebyshev e o polômo obtdo é chamado de polômo ótmo ou mma. Normalzado z [a, b] para o tervalo [-, ]: z b a b a é possível observar que os moômos,,,..., de p ( c possuem magtude máma em = e míma em =, ão havedo uma dstrbução uforme dos erros. Logo, se for possível ecotrar um polômo que dstrbua os erros de forma mas uforme, a mmzação do erro mámo resultará a melhor apromação possível. Os polômos que apresetam esta propredade são os polômos de Chebyshev:

15 3.4 CRITÉRIO DE MINIMIZAÇÃO DO ERRO MÁXIMO 5 T ( = T ( = T ( = T 3 ( = T 4 ( = T 5 ( = T 6 ( = T 7 ( = T 8 ( = T 9 ( = Fórmula de Recorrêca: T ( T ( T ( para,, com T ( e T( Gráfco dos 5 prmeros polômos de Chebyshev T, T,.5 T, T 3, T 4, peso Os polômos de Chebyshev são ortogoas em [-, ] com respeto a fução w (, ou seja:, m (, T( Tm( d T m T m (,

16 6 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Estes polômos orgaram das fuções trgoométrcas cos(, cos(, cos(3,..., cos( que dstrbuem seus mámos e mímos de maera uforme o tervalo [, ]. Ao aplcar a mudaça de varável: = cos( [-, ] e a propredade: cos( = cos( cos[( ] cos[( ], resulta os polômos de Chebyshev. Pela codção de ortogoaldade, os coefcetes da apromação: f ( at( podem ser determados por: a f d e ( a k f ( T k ( d, k =,,...,. Como d d, etão a f(cos d e ak f(cos cos( k d, k =,,...,. As raízes de T ( são reas (característca de um polômo ortogoal, ocorrem o tervalo [-, ] e são dadas por: (k rk cos, k =,,...,. Usado as + raízes de T + ( como potos odas da terpolação de Lagrage, a apromação da fução também pode ser realzada por: f ( p ( ( f(, com = r +. Represetado os moômos k por: k k at (, é possível costrur a tabela: Potêcas de em fução dos polômos de Chebyshev: = T ( = T ( = [T (+T (]/ 3 = [T 3 (+3T (]/4 4 = [T 4 (+4T (+3T (]/8 5 = [T 5 (+5T 3 (+T (]/6 6 = [T 6 (+6T 4 (+5T (+T (]/3 7 = [T 7 (+7T 5 (+T 3 (+35T (]/64 8 = [T 8 (+8T 6 (+8T 4 (+56T (+35T (]/8 9 = [T 9 (+9T 7 (+36T 5 (+84T 3 (+6T (]/56

17 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 7 que tem utldade a telescopagem de séres. Normalzado os polômos de Chebyshev de tal forma que o coefcete de maor grau seja gual, obtém-se os polômos de Chebyshev môcos: T ( T ( Que possu a propredade de um polômo mma: ma T ( ma P( P( [,] [,] E se ma P ( ma T (, etão P ( T (. [,] [,] 3.5 Telescopagem de séres A telescopagem de séres de potêcas ou ecooma de Chebyshev cosste em epressar os moômos da sére em termos dos polômos de Chebyshev, coletar os coefcetes de cada polômo T ( e trucar a sére os moômos de Chebyshev de alta ordem sabedo que seu coefcete represeta o erro mámo da apromação, pos T (. A sére trucada pode etão ser re-epressa em termos dos moômos de. Este procedmeto é equvalete a fazer sucessvas reduções de grau do polômo até a precsão desejada usado o polômo Chebyshev môco: a p ( p( at(, com p( p ( at( ode a é o coefcete de de p (. Eemplo: reduzr o grau do segute polômo que aproma a fução f( = e : 3 4 p4( e [-, ] 6 4 Matedo um erro mámo feror a,5. (5 5 f ( e O erro da apromação por p 4 ( é: R4 ( R4(,3 5! 5! Reduzdo o grau da apromação para p 3 (: 3 Caso Sem telescopagem: p3(, temos: 6 (4 4 f ( e R3 ( R3(,3, que está acma de,5. 4! 4! Caso Com telescopagem:

18 8 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL T( T( T3( 3 T( T4( 4 T( 3 T( p4( T( Que após coletar os termos comus de T (, resulta em: T3( T4( p4( T( T( T( Trucado o termo de grau 3: T ( p T T T ( ( ( (, o erro etre as duas apromações é: T4 ( p4( p3(,5 9 9 Portato, o erro mámo ao apromar f( por p 3 ( é:,3 +,5 =,8 <,5. Reescrevedo o polômo em termos das potêcas de : p3( ( com R (, Ou de maera smlar: p3( p4( a4t4(, sto é: p3( , pos a 4 = /4, que após rearrajo dos termos resulta em: p3( Reduzdo mas um grau a apromação: p( p3( a3t3(, temos: p(, levado a: p( , com p3 p T ( ( (, Portato, o erro mámo ao apromar f( por p ( é:,8 +,4 =,7 >,5.

19 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 9

20 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

21 3.5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES

22 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

23 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Nas fguras a segur são comparados os valores dos polômos odas com potos gualmete espaçados com os polômos odas costruídos a T partr do polômo de Chebyshev ormalzados [ t para ]. Note que: t para.

24 4

25 EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Lsta de eercícos. Busque uma epressão de segudo grau e outra de tercero grau que melhor apromam a fução 4 o tervalo 8. Aalse e dscuta seus resultados cofrotado-os grafcamete.. Aprome a fução e o tervalo: + por um polômo de meor grau em, em que se assegura que o módulo do erro seja meor do que Houge & Watso sugerem a epressão empírca abao para o cálculo do calor específco molar do gás trogêo: 3 6 p ode: C p : cal/gmol/k e C,, T, T T: Kelv. Na faa de 3 a K, o erro mámo do calor específco calculado por esta epressão é de, %. a determe a apromação lear de C P que mmza o mámo do erro adcoal a faa de a K; b Calcule o erro percetual mámo da apromação proposta em a. 4. A varação do coefcete de epasão térmca do alumío a faa de a o C é dada por: 4 6 o 9 com : k T, T, T T C. a aprome k(t por uma costate, a mesma faa de a o C, de modo que o valor do erro mámo seja mímo; b Calcule o valor médo de k(t k k( T dt e sua méda artmétca (a mesma faa de temperatura e compare e dscuta todos estes valores sugerdo que valor é o mas adequado! 5. Nas Tabelas abao, apresetam-se os valores da codutvdade térmca do CO e da vscosdade do etleo glcol líqudo a váras temperaturas: T ( o F k (BTU/hr/ft/ o F T ( o F (lb/ft/hr 3,85 4,,33 5 8, 39,8 3,5 57,8 5,6 5,57 Determe, em cada caso, o polômo terpolador de meor grau possível que assegure um erro relatvo feror a, % a faa tabelada de T.

26 6 3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Observação: a depedêca polomal de com T é mas adequadamete epressa por l(. 6. A tabela abao mostra a depedêca da pressão parcal do vapor de amôa com a temperatura a dferetes cocetrações: Cocetração percetual molal da amôa Temperatura ( o F 6,6,4 3,5 5,55 8,65 3, 8,5,43 5,85 9,6 3,86,6,95 4,5 9,34 4,,3 3,6 4,89 9,98,49 3,54 45,73 64,78 8 7,5,65 44, 6,68 88,7,68 7,9 4,47 8,9 3,8 56,4,4 5 9,83 66,67 4,8 69,48 9,6 35,6 por terpolação lear as duas varáves depedetes [temperatura e cocetração] calcule as pressões parcas da amôa os segutes casos: T [ o C] 6,5 6,5 6,5 6, 37,5 37,5 Cocetração Molal [%] 8,8 6,7 5,, 7,6 35,

Interpolação. Exemplo de Interpolação Linear. Exemplo de Interpolação Polinomial de grau superior a 1.

Interpolação. Exemplo de Interpolação Linear. Exemplo de Interpolação Polinomial de grau superior a 1. Iterpolação Iterpolação é um método que permte costrur um ovo cojuto de dados a partr de um cojuto dscreto de dados potuas cohecdos. Em egehara e cêcas, dspõese habtualmete de dados potuas, obtdos a partr

Leia mais

Apostila de Introdução Aos Métodos Numéricos

Apostila de Introdução Aos Métodos Numéricos Apostla de Itrodução Aos Métodos Numércos PARTE III o Semestre - Pro a. Salete Souza de Olvera Buo Ídce INTERPOAÇÃO POINOMIA...3 INTRODUÇÃO...3 FORMA DE AGRANGE... 4 Iterpolação para potos (+) - ajuste

Leia mais

Capítulo 2. Aproximações de Funções

Capítulo 2. Aproximações de Funções EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo Aproações de Fuções Há bascaete dos tpos de probleas de aproações: ) ecotrar ua fução as sples, coo u polôo, para aproar

Leia mais

Professor Mauricio Lutz REGRESSÃO LINEAR SIMPLES. Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das formulas: ö ; ø.

Professor Mauricio Lutz REGRESSÃO LINEAR SIMPLES. Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das formulas: ö ; ø. Professor Maurco Lutz 1 EGESSÃO LINEA SIMPLES A correlação lear é uma correlação etre duas varáves, cujo gráfco aproma-se de uma lha. O gráfco cartesao que represeta essa lha é deomado dagrama de dspersão.

Leia mais

MEDIDAS DE POSIÇÃO: X = soma dos valores observados. Onde: i 72 X = 12

MEDIDAS DE POSIÇÃO: X = soma dos valores observados. Onde: i 72 X = 12 MEDIDAS DE POSIÇÃO: São meddas que possbltam represetar resumdamete um cojuto de dados relatvos à observação de um determado feômeo, pos oretam quato à posção da dstrbução o exo dos, permtdo a comparação

Leia mais

CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérico: Elementos de Cálculo Numérico Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática Rev.

CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérico: Elementos de Cálculo Numérico Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática Rev. uesp CAMUS DE GUARATINGUETÁ Computação e Cálculo Numérco: Elemetos de Cálculo Numérco ro. G.J. de Sea - Depto. de Matemátca Rev. 5 CAÍTUO 4 INTEROAÇÃO 4. INTRODUÇÃO Cosdere a segute tabela relacoado calor

Leia mais

Econometria: 3 - Regressão Múltipla

Econometria: 3 - Regressão Múltipla Ecoometra: 3 - Regressão Múltpla Prof. Marcelo C. Mederos mcm@eco.puc-ro.br Prof. Marco A.F.H. Cavalcat cavalcat@pea.gov.br Potfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero PUC-Ro Sumáro O modelo de regressão

Leia mais

Métodos tipo quadratura de Gauss

Métodos tipo quadratura de Gauss COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas Métodos to quadratura de Gauss Cosderado a tegração: Método de quadratura de Gauss com otos teros I f d a ser comutada com a maor recsão ossível

Leia mais

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL I

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL I Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, edca Veterára, uscoterapa, Odotologa, Pscologa EDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL I 7 7. EDIDAS DE

Leia mais

Faculdade de Tecnologia de Catanduva CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL

Faculdade de Tecnologia de Catanduva CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL Faculdade de Tecologa de Cataduva CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5. Meddas de Posção cetral ou Meddas de Tedêca Cetral Meddas de posção cetral preocupam-se com a caracterzação e a

Leia mais

Construção e Análise de Gráficos

Construção e Análise de Gráficos Costrução e Aálse de Gráfcos Por que fazer gráfcos? Facldade de vsualzação de cojutos de dados Faclta a terpretação de dados Exemplos: Egehara Físca Ecooma Bologa Estatístca Y(udade y) 5 15 1 5 Tabela

Leia mais

MEDIDAS DE DISPERSÃO:

MEDIDAS DE DISPERSÃO: MEDID DE DIPERÃO: fução dessas meddas é avalar o quato estão dspersos os valores observados uma dstrbução de freqüêca ou de probabldades, ou seja, o grau de afastameto ou de cocetração etre os valores.

Leia mais

Média. Mediana. Ponto Médio. Moda. Itabira MEDIDAS DE CENTRO. Prof. Msc. Emerson José de Paiva 1 BAC011 - ESTATÍSTICA. BAC Estatística

Média. Mediana. Ponto Médio. Moda. Itabira MEDIDAS DE CENTRO. Prof. Msc. Emerson José de Paiva 1 BAC011 - ESTATÍSTICA. BAC Estatística BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra BAC0 - ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA MEDIDAS DE CENTRO Méda Medda de cetro ecotrada pela somatóra de todos os valores de um cojuto,

Leia mais

CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA

CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA Polômos de Jacob e CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA III--)INTRODUÇÃO Para um melhor etedmeto do método da colocação ortogoal e sua relação com o método dos resíduos poderados (MRP),

Leia mais

Apêndice 1-Tratamento de dados

Apêndice 1-Tratamento de dados Apêdce 1-Tratameto de dados A faldade deste apêdce é formar algus procedmetos que serão adotados ao logo do curso o que dz respeto ao tratameto de dados epermetas. erão abordados suctamete a propagação

Leia mais

Estatística Descritiva. Medidas estatísticas: Localização, Dispersão

Estatística Descritiva. Medidas estatísticas: Localização, Dispersão Estatístca Descrtva Meddas estatístcas: Localzação, Dspersão Meddas estatístcas Localzação Dspersão Meddas estatístcas - localzação Méda artmétca Dados ão agrupados x x Dados dscretos agrupados x f r x

Leia mais

Distribuições Amostrais. Estatística. 8 - Distribuições Amostrais UNESP FEG DPD

Distribuições Amostrais. Estatística. 8 - Distribuições Amostrais UNESP FEG DPD Dstrbuções Amostras Estatístca 8 - Dstrbuções Amostras 08- Dstrbuções Amostras Dstrbução Amostral de Objetvo: Estudar a dstrbução da população costtuída de todos os valores que se pode obter para, em fução

Leia mais

Revisão de Estatística X = X n

Revisão de Estatística X = X n Revsão de Estatístca MÉDIA É medda de tedêca cetral mas comumete usada ara descrever resumdamete uma dstrbução de freqüêca. MÉDIA ARIMÉTICA SIMPLES São utlzados os valores do cojuto com esos guas. + +...

Leia mais

CÁLCULO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

CÁLCULO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES CÁLCULO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Itrodução Em dversos camos da Egehara é comum a ecessdade da determação de raízes de equações ão leares. Em algus casos artculares, como o caso de olômo, que

Leia mais

CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS No caítulo IV, Iterolação Polomal, estudamos uma forma de ldar com fuções matemátcas defdas or taelas de valores. Frequetemete, estas taelas são

Leia mais

CAPÍTULO 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE PPGEP Medidas de Tendência Central Média Aritmética para Dados Agrupados

CAPÍTULO 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE PPGEP Medidas de Tendência Central Média Aritmética para Dados Agrupados 3.1. Meddas de Tedêca Cetral CAPÍTULO 3 MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL E VARIABILIDADE UFRG 1 Há váras meddas de tedêca cetral. Etre elas ctamos a méda artmétca, a medaa, a méda harmôca, etc. Cada uma dessas

Leia mais

Em muitas situações duas ou mais variáveis estão relacionadas e surge então a necessidade de determinar a natureza deste relacionamento.

Em muitas situações duas ou mais variáveis estão relacionadas e surge então a necessidade de determinar a natureza deste relacionamento. Prof. Lorí Val, Dr. val@pucrs.r http://www.pucrs.r/famat/val/ Em mutas stuações duas ou mas varáves estão relacoadas e surge etão a ecessdade de determar a atureza deste relacoameto. A aálse de regressão

Leia mais

CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS No caítulo ateror estudamos uma forma de ldar com fuções matemátcas defdas or taelas de valores. Frequetemete, estas taelas são otdas com ase em

Leia mais

Números Complexos. 2. (IME) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z 2n 1, onde n é um número inteiro positivo.

Números Complexos. 2. (IME) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z 2n 1, onde n é um número inteiro positivo. Números Complexos. (IME) Cosdere os úmeros complexos Z se α cos α e Z cos α se α ode α é um úmero real. Mostre que se Z Z Z etão R e (Z) e I m (Z) ode R e (Z) e I m (Z) dcam respectvamete as partes real

Leia mais

Capítulo 1: Erros em cálculo numérico

Capítulo 1: Erros em cálculo numérico Capítulo : Erros em cálculo umérco. Itrodução Um método umérco é um método ão aalítco, que tem como objectvo determar um ou mas valores umércos, que são soluções de um certo problema. Ao cotráro das metodologas

Leia mais

Como CD = DC CD + DC = 0

Como CD = DC CD + DC = 0 (9-0 www.eltecampas.com.br O ELITE RESOLVE IME 008 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO Determe o cojuto-solução da equação se +cos = -se.cos se + cos = se cos ( se cos ( se se.cos cos + + = = (

Leia mais

( x) Método Implícito. No método implícito as diferenças são tomadas no tempo n+1 ao invés de tomá-las no tempo n, como no método explícito.

( x) Método Implícito. No método implícito as diferenças são tomadas no tempo n+1 ao invés de tomá-las no tempo n, como no método explícito. PMR 40 Mecâca Computacoal Método Implícto No método mplícto as dfereças são tomadas o tempo ao vés de tomá-las o tempo, como o método explícto. O método mplícto ão apreseta restrção em relação ao valor

Leia mais

Estatística - exestatmeddisper.doc 25/02/09

Estatística - exestatmeddisper.doc 25/02/09 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Meddas de Dspersão Itrodução ão meddas estatístcas utlzadas para avalar o grau de varabldade, ou dspersão, dos valores em toro da méda. ervem para medr a represetatvdade

Leia mais

Fundamentos de Matemática I FUNÇÕES POLINOMIAIS4. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I FUNÇÕES POLINOMIAIS4. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques FUNÇÕES POLINOMIAIS4 Gl da Costa Marques Fudametos de Matemátca I 4.1 Potecação de epoete atural 4. Fuções polomas de grau 4. Fução polomal do segudo grau ou fução quadrátca 4.4 Aálse do gráfco de uma

Leia mais

MÓDULO 8 REVISÃO REVISÃO MÓDULO 1

MÓDULO 8 REVISÃO REVISÃO MÓDULO 1 MÓDULO 8 REVISÃO REVISÃO MÓDULO A Estatístca é uma técca que egloba os métodos cetícos para a coleta, orgazação, apresetação, tratameto e aálse de dados. O objetvo da Estatístca é azer com que dados dspersos

Leia mais

CAPÍTULO 5. Ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados

CAPÍTULO 5. Ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados CAPÍTULO Ajuste de curvas pelo Método dos Mímos Quadrados Ajuste Lear Smples (ou Regressão Lear); Ajuste Lear Múltplo (ou Regressão Lear Múltpla); Ajuste Polomal; Regressão Não Lear Iterpolação polomal

Leia mais

Métodos iterativos. Capítulo O Método de Jacobi

Métodos iterativos. Capítulo O Método de Jacobi Capítulo 4 Métodos teratvos 41 O Método de Jacob O Método de Jacob é um procedmeto teratvo para a resolução de sstemas leares Tem a vatagem de ser mas smples de se mplemetar o computador do que o Método

Leia mais

Adotando-se as seguintes variáveis e parâmetro adimensionais: i 1 i i i i i 1

Adotando-se as seguintes variáveis e parâmetro adimensionais: i 1 i i i i i 1 Lsta de eercícos (Capítulo 4) ) Em dos reatores taque de mstura perfeta é coduzda a reação em fase líquda: A+BC+D de forma sotérmca. Os balaços estacoáros de massa do reagete A este sstema são descrtos

Leia mais

Econometria: 4 - Regressão Múltipla em Notação Matricial

Econometria: 4 - Regressão Múltipla em Notação Matricial Ecoometra: 4 - Regressão últpla em Notação atrcal Prof. arcelo C. ederos mcm@eco.puc-ro.br Prof. arco A.F.H. Cavalcat cavalcat@pea.gov.br Potfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero PUC-Ro Sumáro O modelo

Leia mais

UERJ CTC IME Departamento de Informática e Ciência da Computação 2 Cálculo Numérico Professora Mariluci Ferreira Portes

UERJ CTC IME Departamento de Informática e Ciência da Computação 2 Cálculo Numérico Professora Mariluci Ferreira Portes UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação Udade I - Erros as apromações umércas. I. - Cosderações geras. Há váras stuações em dversos campos da cêca em que operações umércas são utlzadas

Leia mais

( ) ( IV ) n ( ) Escolha a alternativa correta: A. III, II, I, IV. B. II, III, I, IV. C. IV, III, I, II. D. IV, II, I, III. E. Nenhuma das anteriores.

( ) ( IV ) n ( ) Escolha a alternativa correta: A. III, II, I, IV. B. II, III, I, IV. C. IV, III, I, II. D. IV, II, I, III. E. Nenhuma das anteriores. Prova de Estatístca Epermetal Istruções geras. Esta prova é composta de 0 questões de múltpla escolha a respeto dos cocetos báscos de estatístca epermetal, baseada os lvros BANZATTO, A.D. e KRONKA, S.N.

Leia mais

Forma padrão do modelo de Programação Linear

Forma padrão do modelo de Programação Linear POGAMAÇÃO LINEA. Forma Padrão do Modelo de Programação Lear 2. elações de Equvalêca 3. Suposções da Programação Lear 4. Eemplos de Modelos de PPL 5. Suposções da Programação Lear 6. Solução Gráfca e Iterpretação

Leia mais

Teoria Elementar da Probabilidade. a) Cada experiência poderá ser repetida indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas.

Teoria Elementar da Probabilidade. a) Cada experiência poderá ser repetida indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Estatístca 47 Estatístca 48 Teora Elemetar da Probabldade SPECTOS PERTINENTES À CRCTERIZÇÃO DE UM EXPERIÊNCI LETÓRI MODELOS MTEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS PROBBILÍSTICOS PROCESSO (FENÓMENO) LETÓRIO - Quado

Leia mais

Noções Básicas de Medidas e Algarismos Significativos

Noções Básicas de Medidas e Algarismos Significativos Noções Báscas de Meddas e Algarsmos Sgfcatvos Prof. Theo Z. Pava Departameto de Físca - Faculdade de Flosofa, Cêcas e Letras de Rberão Preto-USP Físca Acústca Motvações Quas são os padrões de meddas? Podemos

Leia mais

Ajuste de dados experimentais

Ajuste de dados experimentais Capítulo 8 8. Itrodução Uma forma de trabalhar com uma fução defda por uma tabela de valores é a terpolação polomal. Etretato esta ão é acoselhável quado:. é precso obter um valor aproxmado da fução em

Leia mais

Grande Conjuntos de Dados. Organização; Resumo; Apresentação. Amostra ou População. Defeitos em uma linha de produção

Grande Conjuntos de Dados. Organização; Resumo; Apresentação. Amostra ou População. Defeitos em uma linha de produção Prof. Lorí Val, Dr. val@pucr.br http://www.pucr.br/~val/ Grade Cojuto de Dado Orgazação; Reumo; Apreetação. Amotra ou População Defeto em uma lha de produção Lacado Deeho Torto Deeho Torto Lacado Torto

Leia mais

Conceitos básicos de metrologia. Prof. Dr. Evandro Leonardo Silva Teixeira Faculdade UnB Gama

Conceitos básicos de metrologia. Prof. Dr. Evandro Leonardo Silva Teixeira Faculdade UnB Gama Prof. Dr. Evadro Leoardo Slva Teera Faculdade UB Gama Metrologa: Cêca que abrage os aspectos teórcos e prátcos relatvos a medção; Descreve os procedmetos e métodos para determar as certezas de medções;

Leia mais

Sobre aproximações polinomiais de raízes reais de cúbicas

Sobre aproximações polinomiais de raízes reais de cúbicas Notas de Aula Sobre aproxmações polomas de raízes reas de cúbcas Edgar Rechtschaffe UNIFESO O problema de se obter as raízes de uma equação do tercero grau abrevadamete uma cúbca fo resolvdo o século XVI

Leia mais

Sumário. Mecânica. Sistemas de partículas

Sumário. Mecânica. Sistemas de partículas umáro Udade I MECÂNICA 2- Cetro de massa e mometo lear de um sstema de partículas - stemas de partículas e corpo rígdo. - Cetro de massa. - Como determar o cetro de massa dum sstema de partículas. - Vetor

Leia mais

Estatística Básica - Continuação

Estatística Básica - Continuação Professora Adraa Borsso http://www.cp.utfpr.edu.br/borsso adraaborsso@utfpr.edu.br COEME - Grupo de Matemátca Meddas de Varabldade ou Dspersão Estatístca Básca - Cotuação As meddas de tedêca cetral, descrtas

Leia mais

Estatística: uma definição

Estatística: uma definição Prof. Lorí Val, Dr. val@ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~val/ Estatístca: uma defção Coleção de úmeros estatístcas O úmero de carros veddos o país aumetou em 30%. A taa de desemprego atge, este mês, 7,5%.

Leia mais

Diferenciais Ordinárias. Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais

Diferenciais Ordinárias. Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais Exstêca e Ucdade de Soluções de Equações Dferecas Ordáras Regaldo J Satos Departameto de Matemátca-ICEx Uversdade Federal de Mas Geras http://wwwmatufmgbr/ reg 10 de ulho de 2010 2 1 INTRODUÇÃO Sumáro

Leia mais

? Isso é, d i= ( x i. . Percebeu que

? Isso é, d i= ( x i. . Percebeu que Estatístca - Desvo Padrão e Varâca Preparado pelo Prof. Atoo Sales,00 Supoha que tehamos acompahado as otas de quatro aluos, com méda 6,0. Aluo A: 4,0; 6,0; 8,0; méda 6,0 Aluo B:,0; 8,0; 8,0; méda 6,0

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática 1. Revsão Matemátca Dervadas Seja a fução f : R R, fxe x R, e cosdere a expressão : f ( x+ αe ) lmα 0 α f, ode e é o vector utáro. Se o lmte acma exstr, chama-se a dervada parcal de f o poto x e é represetado

Leia mais

NÚMEROS COMPLEXOS. z = a + bi,

NÚMEROS COMPLEXOS. z = a + bi, NÚMEROS COMPLEXOS. DEFINIÇÃO No cojuto dos úmeros reas R, temos que a = a. a é sempre um úmero ão egatvo para todo a. Ou seja, ão é possível extrar a ra quadrada de um úmero egatvo em R. Dessa mpossbldade

Leia mais

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental.

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação etre duas ou mas varáves. Pode ser: correlacoal ou expermetal. Numa relação expermetal os valores de uma das varáves

Leia mais

RESUMO E EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS ( )

RESUMO E EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS ( ) NÚMEROS COMPLEXOS Forma algébrca e geométrca Um úmero complexo é um úmero da forma a + b, com a e b reas e = 1 (ou, = -1), chamaremos: a parte real; b parte magára; e udade magára. Fxado um sstema de coordeadas

Leia mais

15/03/2012. Capítulo 2 Cálculo Financeiro e Aplicações. Capítulo 2 Cálculo Financeiro e Aplicações. Capítulo 2 Cálculo Financeiro e Aplicações

15/03/2012. Capítulo 2 Cálculo Financeiro e Aplicações. Capítulo 2 Cálculo Financeiro e Aplicações. Capítulo 2 Cálculo Financeiro e Aplicações Itrodução.1 Juros Smples Juro: recompesa pelo sacrfíco de poupar o presete, postergado o cosumo para o futuro Maora das taxas de uros aplcadas o mercado facero são referecadas pelo crtéro smples Determa

Leia mais

Caracterização de Partículas. Prof. Gerônimo

Caracterização de Partículas. Prof. Gerônimo Caracterzação de Partículas Prof. Gerômo Aálse Graulométrca de partículas Tabela: Sére Padrão Tyler Mesh Abertura Lvre (cm) âmetro do fo () 2 ½ 0,7925 0,088 0,6680 0,070 ½ 0,56 0,065 4 0,4699 0,065

Leia mais

CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts fuções são cohecds es um cojuto fto e dscreto de otos de um tervlo [,b]. Eemlo: A tbel segute relco clor esecífco d águ e temertur: temertur (ºC 5 3 35 clor

Leia mais

13 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL

13 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL 3 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Como vto em amotragem o prmero bmetre, etem fatore que fazem com que a obervação de toda uma população em uma pequa eja mpratcável, muta veze em vrtude

Leia mais

Estatística: uma definição

Estatística: uma definição Coleção de úmeros estatístcas Estatístca: uma defção O úmero de carros veddos o país aumetou em 30%. A taa de desemprego atge, este mês, 7,5%. As ações da Telebrás subram R$,5, hoje. Resultados do Caraval

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO / ESTATÍSTICA LISTA 2 RESUMO TEÓRICO

RACIOCÍNIO LÓGICO / ESTATÍSTICA LISTA 2 RESUMO TEÓRICO RACIOCÍIO LÓGICO - Zé Carlos RACIOCÍIO LÓGICO / ESTATÍSTICA LISTA RESUMO TEÓRICO I. Cocetos Icas. O desvo médo (DM), é a méda artmétca dos desvos de cada dado da amostra em toro do valor médo, sto é x

Leia mais

16/03/2014. IV. Juros: taxa efetiva, equivalente e proporcional. IV.1 Taxa efetiva. IV.2 Taxas proporcionais. Definição:

16/03/2014. IV. Juros: taxa efetiva, equivalente e proporcional. IV.1 Taxa efetiva. IV.2 Taxas proporcionais. Definição: 6// IV. Juros: taxa efetva, equvalete e proporcoal Matemátca Facera Aplcada ao Mercado Facero e de Captas Professor Roaldo Távora IV. Taxa efetva Defção: É a taxa de juros em que a udade referecal de seu

Leia mais

TEORIA DE ERROS MEDIDAS E GRÁFICOS

TEORIA DE ERROS MEDIDAS E GRÁFICOS Uversdade Federal de Juz de Fora Isttuto de Cêcas Eatas Departameto de Físca TEORIA DE ERROS MEDIDAS E GRÁFICOS Prof. Carlos R. A. Lma Edção Março de 010 ÌNDICE CAPÍTULO 1 - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA

Leia mais

ESTATÍSTICA MÓDULO 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

ESTATÍSTICA MÓDULO 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ESTATÍSTICA MÓDULO 3 MEDIDAS DE TEDÊCIA CETRAL Ídce. Meddas de Tedêca Cetral...3 2. A Méda Artmétca Smles ( μ, )...3 3. A Méda Artmétca Poderada...6 Estatístca Módulo 3: Meddas de Tedêca Cetral 2 . MEDIDAS

Leia mais

Matemática Aula 1. Decomposição Matricial

Matemática Aula 1. Decomposição Matricial CURSO DE NIVELAMENO 0 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. ARGIMIRO DECOMPOSIÇÃO MARICIAL Matemátca Aula Decomposção Matrcal A decomposção matrcal é uma fatoração de uma matrz em alguma forma caôca ou padrão. Exstem

Leia mais

MA12 - Unidade 4 Somatórios e Binômio de Newton Semana de 11/04 a 17/04

MA12 - Unidade 4 Somatórios e Binômio de Newton Semana de 11/04 a 17/04 MA1 - Udade 4 Somatóros e Bômo de Newto Semaa de 11/04 a 17/04 Nesta udade troduzremos a otação de somatóro, mostrado como a sua mapulação pode sstematzar e facltar o cálculo de somas Dada a mportâca de

Leia mais

REGESD Prolic Matemática e Realidade- Profª Suzi Samá Pinto e Profº Alessandro da Silva Saadi

REGESD Prolic Matemática e Realidade- Profª Suzi Samá Pinto e Profº Alessandro da Silva Saadi REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Meddas de Posção ou Tedêca Cetral As meddas de posção ou meddas de tedêca cetral dcam um valor que melhor represeta

Leia mais

ÍNDICE DE THEIL Referência Obrigatória: Hoffman cap 4 pags 99 a 116 e cap 3 pgs (seção 3.4).

ÍNDICE DE THEIL Referência Obrigatória: Hoffman cap 4 pags 99 a 116 e cap 3 pgs (seção 3.4). Cetro de Polítcas Socas - Marcelo Ner ÍNDICE DE HEIL Referêca Obrgatóra: Hoffma cap 4 pags 99 a 6 e cap 3 pgs 42-44 (seção 3.4).. Coteúdo Iformatvo de uma mesagem Baseado a teora da formação, que aalsa

Leia mais

ESTATÍSTICA Exame Final 1ª Época 3 de Junho de 2002 às 14 horas Duração : 3 horas

ESTATÍSTICA Exame Final 1ª Época 3 de Junho de 2002 às 14 horas Duração : 3 horas Faculdade de cooma Uversdade Nova de Lsboa STTÍSTIC xame Fal ª Época de Juho de 00 às horas Duração : horas teção:. Respoda a cada grupo em folhas separadas. Idetfque todas as folhas.. Todas as respostas

Leia mais

ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO Quado se cosderam oservações de ou mas varáves surge um poto ovo: O estudo das relações porvetura estetes etre as varáves. A aálse de regressão e correlação compreedem

Leia mais

Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 6 (montgomery)

Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 6 (montgomery) Cotrole Estatístco de Qualdade Capítulo 6 (motgomery) Gráfcos de Cotrole para Atrbutos Itrodução Mutas característcas da qualdade ão podem ser represetadas umercamete. Nestes casos, classfcamos cada tem

Leia mais

n. A densidade de corrente associada a esta espécie iônica é J n. O modelo está ilustrado na figura abaixo.

n. A densidade de corrente associada a esta espécie iônica é J n. O modelo está ilustrado na figura abaixo. Equlíbro e o Potecal de Nerst 5910187 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 11 Nesta aula, vamos utlzar a equação para o modelo de eletrodfusão o equlíbro obtda a aula passada para estudar o trasporte

Leia mais

7 Análise de covariância (ANCOVA)

7 Análise de covariância (ANCOVA) Plejameto de Expermetos II - Adlso dos Ajos 74 7 Aálse de covarâca (ANCOVA) 7.1 Itrodução Em algus expermetos, pode ser muto dfícl e até mpossível obter udades expermetas semelhtes. Por exemplo, pode-se

Leia mais

MODELOS DE REGRESSÃO NÃO LINEARES

MODELOS DE REGRESSÃO NÃO LINEARES M. Mede de Olvera Excerto da ota peoa obre: MODELOS DE REGRESSÃO NÃO LINEARES Obervação No modelo de regreão dto leare, a varável depedete é exprea como fução lear do coefcete de regreão. É rrelevate,

Leia mais

Exercícios de Cálculo Numérico Interpolação Polinomial e Método dos Mínimos Quadrados

Exercícios de Cálculo Numérico Interpolação Polinomial e Método dos Mínimos Quadrados Eercícos e Cálculo Numérco Iterpolação Polomal e Métoo os Mímos Quaraos Para a ução aa, seja,, 6 e, 9 Costrua polômos e grau, para apromar, 5, e ecotre o valor o erro veraero a cos b c l Use o Teorema

Leia mais

Exercícios - Sequências de Números Reais (Solução) Prof Carlos Alberto S Soares

Exercícios - Sequências de Números Reais (Solução) Prof Carlos Alberto S Soares Exercícos - Sequêcas de Números Reas (Solução Prof Carlos Alberto S Soares 1 Dscuta a covergêca da sequẽca se(2. Calcule, se exstr, lm se(2. Solução 1 Observe que se( 2 é lmtada e 1/ 0, portato lm se(2

Leia mais

ESTATÍSTICA MÓDULO 2 OS RAMOS DA ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA MÓDULO 2 OS RAMOS DA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA MÓDULO OS RAMOS DA ESTATÍSTICA Ídce. Os Ramos da Estatístca...3.. Dados Estatístcos...3.. Formas Icas de Tratameto dos Dados....3. Notação por Ídces...5.. Notação Sgma ()...5 Estatístca Módulo

Leia mais

IND 1115 Inferência Estatística Aula 9

IND 1115 Inferência Estatística Aula 9 Coteúdo IND 5 Iferêca Estatístca Aula 9 Outubro 2004 Môca Barros Dfereça etre Probabldade e Estatístca Amostra Aleatóra Objetvos da Estatístca Dstrbução Amostral Estmação Potual Estmação Bayesaa Clássca

Leia mais

Oitava Lista de Exercícios

Oitava Lista de Exercícios Uversdade Federal Rural de Perambuco Dscpla: Matemátca Dscreta I Professor: Pablo Azevedo Sampao Semestre: 07 Otava Lsta de Exercícos Lsta sobre defções dutvas (recursvas) e prova por dução Esta lsta fo

Leia mais

Centro de massa, momento linear de sistemas de partículas e colisões

Centro de massa, momento linear de sistemas de partículas e colisões Cetro de massa, mometo lear de sstemas de partículas e colsões Prof. Luís C. Pera stemas de partículas No estudo que temos vdo a fazer tratámos os objectos, como, por exemplo, blocos de madera, automóves,

Leia mais

Algoritmos de Interseções de Curvas de Bézier com Uma Aplicação à Localização de Raízes de Equações

Algoritmos de Interseções de Curvas de Bézier com Uma Aplicação à Localização de Raízes de Equações Algortmos de Iterseções de Curvas de Bézer com Uma Aplcação à Localzação de Raízes de Equações Rodrgo L.R. Madurera Programa de Pós-Graduação em Iformátca, PPGI, UFRJ 21941-59, Cdade Uverstára, Ilha do

Leia mais

Inferência Estatística e Aplicações I. Edson Zangiacomi Martinez Departamento de Medicina Social FMRP/USP

Inferência Estatística e Aplicações I. Edson Zangiacomi Martinez Departamento de Medicina Social FMRP/USP Iferêca Estatístca e Aplcações I Edso Zagacom Martez Departameto de Medca Socal FMRP/USP edso@fmrp.usp.br Rotero Parte I Escola frequetsta Defções: parâmetros, estmatvas Dstrbuções de probabldade Estmação

Leia mais

1. Conceitos básicos de estatística descritiva 1.3. Noção de extracção aleatória e de probabilidade

1. Conceitos básicos de estatística descritiva 1.3. Noção de extracção aleatória e de probabilidade Sumáro (3ª aula). Cocetos báscos de estatístca descrtva.3. Noção de etracção aleatóra e de probabldade.4 Meddas de tedêca cetral.4. Méda artmétca smples.4. Méda artmétca poderada.4.3 Méda artmétca calculada

Leia mais

Física Básica. Experimental. André Luis Lapolli João Batista Garcia Canelle José Roberto Marinho

Física Básica. Experimental. André Luis Lapolli João Batista Garcia Canelle José Roberto Marinho Físca Básca Epermetal Adré Lus Lapoll João Batsta Garca Caelle José Roberto arho Físca Básca Epermetal Adré Lus Lapoll João Batsta Garca Caelle José Roberto arho APRESENTAÇÃO SUÁRIO Lsta de Fguras... Lsta

Leia mais

Estimação pontual, estimação intervalar e tamanho de amostras

Estimação pontual, estimação intervalar e tamanho de amostras Estmação potual, estmação tervalar e tamaho de amostras Iferêca: por meo das amostras, cohecer formações geras da população. Problemas de ferêca, em geral, se dvdem em estmação de parâmetros e testes de

Leia mais

Matemática C Semiextensivo V. 2

Matemática C Semiextensivo V. 2 Matemátca C Semetesvo V. Eercícos 0) Através da observação dreta do gráfco, podemos coclur que: a) País. b) País. c) 00 habtates. d) 00 habtates. e) 00 0 0 habtates. 0) C Através do gráfco, podemos costrur

Leia mais

CAPÍTULO III. Aproximação de funções pelo método dos Mínimos Quadrados

CAPÍTULO III. Aproximação de funções pelo método dos Mínimos Quadrados Métodos Nuércos CAPÍULO III C. Balsa & A. Satos Aproxação de fuções pelo étodo dos Míos Quadrados. Algus cocetos fudaetas de Álgebra Lear Relebraos esta secção algus cocetos portates da álgebra Lear que

Leia mais

Parte 3 - Regressão linear simples

Parte 3 - Regressão linear simples Parte 3 - Regressão lear smples Defção do modelo Modelo de regressão empregado para eplcar a relação lear etre duas varáves (ajuste de uma reta). O modelo de regressão lear smples pode ser epresso a forma:

Leia mais

Teoria das Comunicações

Teoria das Comunicações Teora das Comucações.6ª Revsão de robabldade rof. dré Noll arreto rcíos de Comucação robabldade Cocetos áscos Eermeto aleatóro com dversos resultados ossíves Eemlo: rolar um dado Evetos são cojutos de

Leia mais

MEDIDAS DE DISPERSÃO 9. MEDIDAS DE DISPERSÃO

MEDIDAS DE DISPERSÃO 9. MEDIDAS DE DISPERSÃO Núcleo das Cêcas Bológcas e da Saúde Cursos de Bomedca, Ed. Físca, Efermagem, Farmáca, Fsoterapa, Fooaudologa, Medca Veterára, Muscoterapa, Odotologa, Pscologa MEDIDAS DE DISPERSÃO 9 9. MEDIDAS DE DISPERSÃO

Leia mais

PLANO PROBABILIDADES Professora Rosana Relva DOS. Números Inteiros e Racionais COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS

PLANO PROBABILIDADES Professora Rosana Relva DOS. Números Inteiros e Racionais COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS Professor Luz Atoo de Carvalho PLANO PROBABILIDADES Professora Rosaa Relva DOS Números Iteros e Racoas COMPLEXOS rrelva@globo.com Número s 6 O Número Por volta de 00 d.c a mpressão que se tha é que, com

Leia mais

3- Autovalores e Autovetores.

3- Autovalores e Autovetores. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 3- Autovalores e Autovetores. 3.- Autovetores e Autovalores de ua Matrz. 3.- Métodos para ecotrar os Autovalores e Autovetores de ua Matrz. 3.- Autovetores

Leia mais

CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts uções são cohecds pes um cojuto to e dscreto de potos de um tervlo [,b]. Eemplo: A tbel segute relco clor especíco d águ e tempertur: tempertur (ºC 5 5 clor

Leia mais

Análise de Regressão

Análise de Regressão Aálse de Regressão Prof. Paulo Rcardo B. Gumarães. Itrodução Os modelos de regressão são largamete utlzados em dversas áreas do cohecmeto, tas como: computação, admstração, egeharas, bologa, agrooma, saúde,

Leia mais

INTERPOLAÇÃO DE EFEMÉRIDES GPS

INTERPOLAÇÃO DE EFEMÉRIDES GPS INTERPOLAÇÃO DE EFEMÉRIDES GPS GPS ephemerdes terpolato ANGELA CRISTINA CARARO LUIZ DANILO DAMASCENO FERREIRA 2 Potfíca Uversdade Católca do Paraá PUCPR Cetro de Cêcas Eatas e de Tecologa CCET Rua Imaculada

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso Superor de tecnólogo em Gestão Ambental Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos

Leia mais

ÌNDICE APÊNDICE A - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA

ÌNDICE APÊNDICE A - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA ÌNDICE APÊNDICE A - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA ------------------------------------------------------------------------------- 03 A.- Itrodução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

Disciplina: Análise Multivariada I Prof. Dr. Admir Antonio Betarelli Junior AULA 6.1

Disciplina: Análise Multivariada I Prof. Dr. Admir Antonio Betarelli Junior AULA 6.1 Dscpla: álse Multvaraa I Prof. Dr. mr too Betarell Juor UL 6. MÉTODO DE ESCLONMENTO MULTIDIMENSIONL (MDS) Proposto por Youg (987) esse métoo poe ser utlzao para agrupameto. É uma técca para represetar

Leia mais

9 Medidas Descritivas

9 Medidas Descritivas 1 9 Meddas Descrtvas Vmos aterormete que um cojuto de dados pode ser resumdo através de uma dstrbução de freqüêcas, e que esta pode ser represetada através de uma tabela ou de um gráfco. Se o cojuto refere-se

Leia mais

2 Procedimentos para Ajuste e Tratamento Estatístico de Dados Experimentais

2 Procedimentos para Ajuste e Tratamento Estatístico de Dados Experimentais 48 Procedmetos para Ajuste e Tratameto Estatístco de Dados Expermetas. Itrodução Modelos matemátcos desevolvdos para descrever eômeos íscos a partr de observações expermetas devem ser baseados em dados

Leia mais

Prof. Eugênio Carlos Stieler

Prof. Eugênio Carlos Stieler UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera http://www2.uemat.br/eugeo SÉRIE DE PAGAMENTOS 1. NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo

Leia mais

Estudo das relações entre peso e altura de estudantes de estatística através da análise de regressão simples.

Estudo das relações entre peso e altura de estudantes de estatística através da análise de regressão simples. Estudo das relações etre peso e altura de estudates de estatístca através da aálse de regressão smples. Waessa Luaa de Brto COSTA 1, Adraa de Souza COSTA 1. Tago Almeda de OLIVEIRA 1 1 Departameto de Estatístca,

Leia mais

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( k) ( k ) ( ) ( ) Questões tipo exame

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( k) ( k ) ( ) ( ) Questões tipo exame Questões tpo eame Pá O poto U tem coordeadas (6, 6, 6) e o poto S pertece ao eo Oz, pelo que as suas coordeadas são (,, 6) Um vetor dretor da reta US é, por eemplo, US Determemos as suas coordeadas: US

Leia mais