MODELOS DE REGRESSÃO NÃO LINEARES

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1 M. Mede de Olvera Excerto da ota peoa obre: MODELOS DE REGRESSÃO NÃO LINEARES Obervação No modelo de regreão dto leare, a varável depedete é exprea como fução lear do coefcete de regreão. É rrelevate, ea clafcação, o facto de a forma fucoal da relação etre a varável depedete e a depedete er ão lear eta, embora, frequetemete, o modelo leare (quato ao coefcete de regreão) eam também leare quato à varáve depedete. Há uma eguda clae de modelo que é poível ecrever, medate uma traformação adequada da varáve, como fução lear do coefcete. Dz-e, dee modelo, que ão learzáve. Um exemplo é da fução de produção de Cobb-Dougla. O modelo orgal é Q = α L β K δ e u e, ele, Q ão é uma fução lear do coefcete α, β e δ. No etato, e forem potvo Q, α, L e K, o modelo logartmzado lq = γ + β ll + δ lk + u é tal que a varável depedete, lq, é lear em γ, β e δ. Não é mportate que a ova varável depedete ão ea lear em α: uma vez que γ = lα, há uma traformação buívoca que permte determar α a partr de γ. Numa tercera clae de modelo, por veze chamado trecamete ão leare, ão exte ehuma traformação fta exacta que permta exprear a relação uma forma lear quato ao coefcete de teree. Sera ee o cao, por exemplo, e, a fução de Cobb- Dougla a perturbaçõe aleatóra foem de atureza adtva: Q = α L β K δ + u. Outro exemplo de modelo ão leare ão a fução de produção CES (de elatcdade de ubttução cotate) Q = β [β L β3 + ( β ) K β3 β4 e u (Judge et al. (985), p. 95) e a fução-coumo C = β + β Y β3 + u

2 (Greee (993), p. 38). Notem-e, a lutraçõe apreetada, do apecto tereate: a ão leardade do modelo pode decorrer da forma como a perturbaçõe aleatóra ão ele tegrada, por um lado, e, por outro, ão ão ecearamete dêtco o úmero de coefcete de regreão e o úmero de regreore, ao cotráro do que acotece o modelo lear de regreão. Defção (Modelo de regreão ão lear) Chamar-e-á ão lear um modelo de regreão da forma Y = f(,β) + u, em que Y dega um vector ( ) de obervaçõe de uma varável aleatóra Y, é uma matrz ( p) de obervaçõe de p varáve ão aleatóra (que clu, povelmete, uma varável detcamete gual a ), β é um vector (k ) de parâmetro decohecdo, u é um vector ( ) de perturbaçõe aleatóra e f(,β) é um vector ( ) de fuçõe ão leare de β, cotíua e dferecáve o epaço do parâmetro, B. Defção (Etmador ão lear de mímo quadrado) Sea a fução S(β) = [Y,β)' [Y,β). O etmador ão lear de mímo quadrado (NLS, abrevadamete) é a fução β (,Y) tal que S( β ) S(β), β B. Propoção Se o mímo de S(β) ocorrer um poto teror de B, o etmador NLS verfca a codção em β em que Z' [Y,β) = 0, Z =... k.... k k Modelo de Regreão Não Leare M. Mede de Olvera,

3 3 Z dega uma matrx ( k) de elemeto geérco, edo, β ) a ª lha do vector f(,β) e β a ª compoete do vector β, =,,...,, =,,..., k. Para verfcar o reultado acma, ote-e que é S(β) = [Y,β)' [Y,β) = = Y' Y [f(,β)' Y + [f(,β)' [f(,β). A codção de ª ordem para mmzação de S(β) requer o aulameto do vector (k ) de dervada parca S( β) = f ( Y + ' f ( f(,β) = ' = ' f ( [Y,β). Etão, S( β) = 0 Z' [Y,β) = 0. Obervação Note-e que o tema de equaçõe orma do modelo de regreão lear, 'β 'Y = 0, é um cao partcular da codção da propoção ateror. No modelo lear, f(,β) = β e Z = f ( = e, portato, Z' [Y,β) = 0 é equvalete a ' (Y β) = 0. Obervação 3 Como e abe, a codção Z' [Y,β) = 0 ão é ufcete para a detfcação do mímo de S(β). Para vetgar a codção de ª ordem para mmzação, comece-e por recordar que o º elemeto do vector S( β) é = A matrz de dervada parca de ª ordem de S(β) é a matrz (k k) S( β), cuo elemeto geérco S( β) e pode calcular como { = } =. Modelo de Regreão Não Leare M. Mede de Olvera,

4 4 = = =. Portato, S( β) = = = =, para, =,,..., k. Avalada para o vector β que mmza S(β), deverá er defda potva a matrz S( β). Para alguma amotra e para algum β B, pode acotecer que ea matrz, cuo elemeto geérco e acaba de calcular, ão ea defda potva. A propoção egute etabelece a codçõe em que tal ão ucederá com o verdadero vector de parâmetro. Propoção Se for β* o vector de coefcete do modelo Y = f(,β) + u, em que é ão aleatóra e E(u) = 0, e e a caracterítca da matrz Z, avalada para β = β*, for gual a k <, etão, para β = β*, e E S( β) = 0 E S( β) = Z' Z é uma matrz defda potva. Demotração: Motrou-e atrá que o elemeto geérco do vector gradete de S(β) é S( β ) =. = Se for β = β*,, β ) = u e, portato, E, ) β = 0, para todo. É medato terem valor eperado ulo toda a compoete de S( β). Quato à matrz Heaa de S(β), o eu elemeto geérco fo detfcado acma como Modelo de Regreão Não Leare M. Mede de Olvera,

5 5 S( β) = = = Por er E, ) β = 0, o egudo omatóro a expreão tem valor eperado ulo. Reulta, etão, que =, E S( β) = = e, para a matrz E S( β), E S( β) = Z' Z. Utlzado o reultado de Álgebra Lear egudo o qual, e Z é uma matrz ( k) de caracterítca k <, Z' Z é defda potva (Johto (984), p. 53), fca provado que o verdadero vector de coefcete, β*, é tal que, em méda, verfca a codçõe de ª e ª ordem para mmzação de S(β). Obervação 4 Não é poível reolver aaltcamete a codção Z' [Y,β) = 0 para determar a olução, β NLS, e há que recorrer a técca de optmzação umérca para ecotrar o mímo de S(β). Cohecem-e váro algortmo para audar ea buca. Um dele, o de Gau- Newto, baea-e a aproxmação chamada regreão learzada. Defção 3 (Aproxmação de ª ordem do modelo ão lear) Numa vzhaça de β 0 B, o modelo ão lear Y = f(,β) + u pode er aproxmado pelo modelo lear (em β) Y 0 = Z 0 β + u, em que Z 0 é a matrz Z, avalada para β = β 0, e Y 0 = Y,β 0 ) + Z 0 β 0. Obervação 5 De acordo com o deevolvmeto em ére de Taylor, uma vzhaça de um poto β 0 B, é f(,β) f(,β 0 ) + Z 0 (β β 0 ), Modelo de Regreão Não Leare M. Mede de Olvera,

6 6 em que e degou por Z 0 a matrz ( k) Z, avalada para β = β 0. Etão, e, como Y = f(,β) + u, vem f(,β) [f(,β 0 ) Z 0 β 0 + Z 0 β ou Y [f(,β 0 ) Z 0 β 0 + Z 0 β + u Y,β 0 ) + Z 0 β 0 Z 0 β + u. Na últma expreão, fgura o prmero membro um vector ( ) que é obervável, uma vez defdo o poto β 0. Sob o memo preupoto, também é obervável a matrz de regreore Z 0 o egudo membro. No modelo learzado β pode er etmado por Y 0 = Z 0 β + u, β OLS = (Z 0 ' Z 0 ) - Z 0 ' Y 0. No algortmo de Gau-Newto, para a teração egute o modelo era learzado uma vzhaça de β = (Z 0 ' Z 0 ) - Z 0 ' Y 0. (...) Modelo de Regreão Não Leare M. Mede de Olvera,