CAPITULO VII. DERIVAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO EM R n. = h 1. , fx 1

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1 CAPITULO VII DERIVAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO EM R Dervadas parcas de fuções reas de varáves reas Sea f ( ) f ( ) uma fução de A R em R e cosdere-se um poto a (a a a ) A Fado a 3 a 3 a cosdere-se a fução parcal ϕ ( ) f ( a a ) e admta-se que é defda em certa vzaça ] a - ε a + ε [ Caso esta fta a dervada da fução parcal ϕ ( ) em a ϕ ( a+ ) ϕ ( a) ϕ (a ) lm 0 lm f ( a + a L a ) f ( a a L a ) 0 o respectvo valor é a dervada parcal de f ( ) em relação a o poto a e represeta-se por qualquer dos símbolos f ( a ) f a [ ] ( ) ou f ( a ) D podedo evdetemete a smbologa sempre que sea coveete evdecar as coordeadas substtur-se a por (a a a ) Se evetualmete a fução parcal ϕ ( ) apeas for defda em certa sem-vzaça de a só pode defr-se uma das dervadas lateras desta fução (dreta ou esquerda coforme os casos) e etão é este o valor que se toma para dervada parcal de f ( ) em relação a o poto a A defção de dervada parcal de f ( ) em relação a qualquer outra varável o poto a é aáloga : f lm f ( a L a + L a ) f ( a L a L a ) ( a ) 0 caso este lmte esta fto ; claro que tal como a dervada parcal em relação a também agora são utlzadas as segutes smbologas alteratvas f f a ( ) a ( ) ou [ D f ] ( a ) 9

2 Se a fução f ( ) tver dervada parcal em relação a em todos os potos do couto X A cama-se fução dervada parcal de f ( ) em relação a à fução que a cada X assoca f ( ); esta fução é usualmete represetada por f f ou D f Como a defção de cada f ( L ) são matdas costates as varáves com (ou sea o acréscmo tem ulas todas as suas coordeadas à ecepção de ) as dervadas parcas podem ser obtdas pelas regras usuas de dervação das fuções reas de varável real Assm por eemplo f 3 y + zy f ( y z) 3 y + z y - y f y 3 + z fz y Caso a fução f ( L ) admta por sua vez dervadas parcas em relação a os potos do couto X X A etão f ( ) será a seguda dervada parcal de f ( ) em relação às varáves e (por esta ordem) Para a segudas dervadas parcas usam-se os símbolos f f ou D f com a partculardade de para serem usados f em vez de f D f f em vez de D em vez de f f A partr das segudas dervadas parcas podem defr-se as dervadas parcas de tercera ordem f 3 f 3 ou D f sedo a otação smplfcada - medate o uso de epoetes smbólcos para as varáves de dervação - quado duas ou mas dervações cosecutvas seam fetas em relação à mesma varável como se eemplfca: 3 f em vez de 3 f 9

3 3 f 3 em vez de 3 f Etc A partr das terceras dervadas parcas podem defr-se as quartas dervadas parcas e assm por date coquato vão sedo possíves as sucessvas dervações Deve otar-se que em prcípo a dervada parcal de certa ordem em relação a certas varáves depede da ordeação destas Ou sea tem-se por eemplo 3 f 3 f porque o prmero símbolo represeta a tercera dervada da fução f ( ) prmero em relação a depos em relação a e falmete em relação de ovo a equato que o segudo símbolo represeta a tercera dervada de f ( ) duas vezes segudas em relação a e depos em relação a Ou sea as duas terceras dervadas em cofroto etram as mesmas varáves de dervação o mesmo úmero de vezes mas por ordem dversa; e em tas casos as dervadas em causa ão são ecessaramete guas questão que adate será retomada Dervadas segudo vectores para fuções reas de varáves reas Sea f ( ) f ( ) uma fução de A R em R e cosdere-se um poto a (a a a ) INT A Sedo u (u u u ) um vector ão ulo de R cama-se dervada de f ( ) o poto a segudo o vector u ao lmte (caso esta): f u ( a) lm f ( a + t u ) f ( a ) t 0 t f( a+ tu a + tu L a + tu ) f( a a L a ) lm t t 0 Quado em partcular u ( 0 0 ) tem-se que f u u ( a) f ( a) ; para o vector u (0 0 ) tem-se f ( a) f ( a); e assm sucessvamete para os restates vectores da segute base de R : {( 0 0 ) (0 0 ) (0 0 )} Note-se que tal como é possível a estêca de dervada parcal em relação a algumas das varáves sem que esta em relação a outras também mas geralmete podem estr dervadas um poto segudo certos vectores e ão estrem segudo outros 93

4 Veamos por eemplo o caso da fução f ( y) y 3 y 0 0 ; tem-se para o poto (0 0) e segudo um vector ão ulo u ( u u ) f u ( 00 ) lm f ( t u t u ) f ( 00 ) f ( t u t u lm ) t t t 0 t 0 lm tu tu 0 u 0 t 0 t 3 lm tu ao ~ este u u 0 0 t 0 t assm se cocludo que f u ( 0 0 ) só este (e é ula) segudo vectores u ( u u ) tas que u 0 Dado o vector ão ulo u ao vector vers u u cama-se versor de u e é u óbvo que vers u A dervada de f ( ) o poto a segudo o vector vers u ou sea fvers u ( a ) caso esta cama-se dervada em a drgda segudo a drecção do vector u Tem-se f vers u ( a ) f ( a + f ( a + t vers u) f ( a) lm lm t 0 t t 0 f ( a + t u ) f ( a) u lm t 0 u t u t u t u ) f ( a) f ( a + t * u) f ( a) lm u t* 0 t * fu ( a ) u ou sea: a dervada em a drgda segudo a drecção do vector u é gual ao produto do verso da orma do vector u pela dervada da fução em a segudo o vector u 3 Dferecabldade de fuções reas de varáves reas 94

5 Sea f ( ) f ( ) uma fução de A R em R e cosdere-se um poto a (a a a ) INT A (poto teror do domío da fução) Dz-se que f ( )é dferecável o poto a se e só se este um δ > 0 tal que com < δ f ( a + ) f ( a) k + ε ( ) em que k R ( ) e lm ε ( ) 0 0 Caso f ( ) sea dferecável em a (a a a ) INT A duas coclusões são medatas: a) A fução é cotíua em a porque fazedo 0 o segudo membro da gualdade que eprme a dferecabldade se obtém de medato lm f ( a + ) f ( a) 0 gualdade que traduz a cotudade de f ( ) em a ; b) As costates k que fguram o segudo membro da gualdade podem faclmete ser terpretados como as dervadas parcas f ( a) cua estêca fca portato assegurada em caso de dferecabldade : com efeto tomado por eemplo ( 0 0 ) a gualdade que eprme a dferecabldade obtém-se f (a + a a ) - f (a a a ) k + ε ( ) dode resulta para 0 ou ada f ( a+ a L a ) f ( a a L a ) k + ε ( ) f ( a ) lm 0 lm 0 [ k f ( a+ a L a ) f ( a a L a ) + ε ( )] k + 0 k assm se cocludo que k f ( a) como se preteda mostrar ; e do mesmo modo se pode coclur quato às restates dervadas parcas da fução o poto a 95

6 Note-se que o etato a cotudade da fução o poto em causa em couto com a estêca das suas dervadas parcas esse mesmo poto ão é sufcete para garatr a dferecabldade como mostra o segute eemplo A fução f ( y) y 0 0 é cotíua e admte dervadas parcas o poto (0 0) : f ( 00 ) lm f ( 0) f ( 0 0) 0 f y ( 00 ) lm f ( 0 k ) f ( 0 0) k k 0 lm 0 lm k k k 0 ; o etato a fução ão é dferecável a orgem porque de f ( k) - f (0 0) + k + + k ε ( k) tra-se ε ( k) f ( k) k + k k + k + k e vê-se com facldade que lm ε ( k) ão é ulo 0 k 0 Sedo f ( ) dferecável em a (poto teror do domío da fução) tem-se f ( a + ) f ( a) f ( a) + ε ( ) e a epressão f ( a) o vector ou sea com lm ε ( ) 0 0 recebe o ome de dferecal de f ( )em a segudo [ df] ( a ) f a ( ) f ( a ) costtudo uma apromação - a meos de um ftésmo de ordem superor a - da dfereça f ( a + ) f ( a) 96

7 Quado f ( ) sea dferecável em todos os potos de um aberto A a dferecal da fução um poto geérco A segudo o vector represeta--se por [ df] ( ) f ( ) f ( ) podedo ada usar-se a segute represetação matrcal [ df] ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) ] T L L [ ] f ( ) H T em que H [ L ] represeta uma matrz colua (trasposta de uma matrz la) cuos elemetos são as coordeadas do vector A matrz la f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) ] L desga-se por gradete da fução f ( ) Para uma fução dferecável um poto teror do respectvo domío tem-se o segute Teorema : Sedo f ( ) dferecável em a (poto teror do domío da fução) e sedo u 0 tem-se f u ( a) f ( a) u [ df] ( a ) u ou sea a dervada em a segudo o vector u cocde com a dferecal da fução o mesmo poto a segudo o mesmo vector u Demostração : Pela dferecabldade de f ( ) em a tem-se com certo δ > 0 e para < δ f ( a + ) f ( a) f ( a) + ε ( ) com ε ( 0 ) lm ε ( ) 0 0 Tomado t u com t < δ / u obtém-se f ( a + t u) f ( a) t f ( a) u + t u ε ( t u) com lm ε ( t u) 0 Etão com 0 < t < δ / u resulta t 0 97

8 f ( a + t u) f ( a) t f ( a) u + t u ε ( t u ) t e passado ao lmte quado t 0 em ambos os membros resulta medatamete f u ( a) f ( a) u [ df] ( a ) u como se quera provar Como cometáro ao teorema que acaba de ser demostrado covrá referr que pode estr f u ( a) sem que a fução sea dferecável e esse caso esta dervada pode ser dstta do valor dado pela epressão do eucado do teorema É o que acotece com a fução y + y 0 3/ f ( y) ( + y ) 0 y 0 o poto (0 0) Para u ( ) tem-se por outro lado f u ( 0 0 ) lm f ( t t ) t t 0 0 lm t 0 t 4 3/ ( t ) t 4 ; sedo portato f ( 0 0 ) lm f ( 0) 0 0 f y ( 0 0 ) lm f ( 0 k ) 0 k f u ( 0 0 ) k f ( 0 0 ) + f y ( 0 0 ) 0 4 Codção sufcete de dferecabldade O teorema segute dá uma codção sufcete de dferecabldade de uma fução um poto teror do respectvo domío Teorema : Sedo f ( ) uma fução de A R em R e a INT A se estem ftas as dervadas parcas f em a e além dsso se - dessas dervadas parcas estem ftas em certa V δ ( a ) e são cotíuas o poto a etão f ( ) é dferecável esse poto 98

9 Demostração : Admta-se para facltar a otação que as - dervadas a que se refere o eucado são f f 3 f Esta suposção em ada dmu a geeraldade da demostração porque caso as - dervadas em causa ão seam as relatvas às vará-ves 3 podemos sempre por reordeação coveete das varáves recoduzr tal caso à stuação suposta Notemos em prmero lugar que sedo a (a a a ) ( ) e < δ etão com pertecete ao tervalo de etremdades a a + tem-se que uma vez que (a + a + a a + a ) V δ ( a ) + - a + + L + + ( a ) L L L 0 < δ E ote-se ada que o resultado ateror é váldo para 3 Passe-se agora propramete à demostração do teorema Devdo à estêca em V δ ( a ) das dervadas parcas f f 3 f recorredo ao resultado supra e supodo que < δ tem-se ϕ ( ) f (a + a 3 a ) é regular o tervalo de etremdades a e a + ; ϕ 3 ( 3 ) f (a + a + 3 a ) é regular o tervalo de etremdades a 3 e a ; ϕ ( ) f (a + a + a ) é regular o tervalo de etremdades a e a + Da estêca de dervada parcal f ( a) obtém-se a gualdade ) f (a + a a 3 a ) - f (a a a 3 a ) [ f ( a) + ε ( )] com lm 0 ε ( ) 0 Aplcado a segur o teorema de Lagrage às fuções reas de varável real ϕ ( ) ϕ 3 ( 3 ) ϕ ( ) que vmos serem regulares os tervalos dcados e atededo ada à cotudade em a das dervadas f f 3 f obtêm-se as segutes - gualdades : 99

10 ) f (a + a + a 3 a ) - f (a + a a 3 a ) 3 f ( a + a + θ a L a ) (0 < θ < ) [ f ( a) ( ) ] + ε com lm ε ( ) 0 ; 0 0 3) f (a + a + a a ) - f (a + a + a 3 a ) f ( a + a + a + θ L a ) (0 < θ 3 < ) 3 [ f 3 ( a) 3( 3) ] + ε com lm ε 3 ( 3 ) 0 ; ) f (a + a + a + ) - f (a + a + a a ) 3 3 f ( a + a + a + L a + a + θ ) (0 < θ < ) [ f ( a) ( ) ] + ε com lm 0 ε ( ) 0 Somado membro a membro as gualdades ) ) ) obtém-se após as smplfcações a efectuar o prmero membro f (a + a + a + ) - f (a a a ) f ( a) + [ ε ( ) + ε ( ) + + ε ( )] com f ( a) + ε ( ) L L ε ( ) ε ( ) + ε ( ) + L + ε ( L ) ( 0 ) Atededo à gualdade obtda bastará provar que lm ε ( ) 0 para fcar demostrado que f ( ) é dferecável o poto a Ora tedo em cota que obtém-se 0 00

11 ε ( ) ε ( ) + ε ( ) + + ε ( ) ou ada lm [ ε ( ) + ε ( ) + + ε ( ) ] 0 lm ε ( ) 0 lm ε ( ) 0 0 O teorema que acaba de ser demostrado admte os segutes coroláros os quas evolvem a oção de fução de classe C r um aberto Dz-se que f ( ) é de classe C r o aberto A se e só se admte dervadas parcas cotíuas até à ordem r em todos os potos do couto aberto A Posto sto tem-se : Coroláro : Qualquer fução de classe C o aberto A é dferecável em todos os potos de A Demostração : Dado qualquer a A INT A (A é aberto) este uma vzaça V δ ( a ) A em cuos potos as dervadas parcas da fução são cotíuas Verfcam-se assm por maora de razão as póteses do teorema relatvamete ao poto a cosderado e assm a fução é dferecável esse poto Coroláro : Qualquer fução de classe C r o aberto A é dferecável e tem dervadas parcas até à ordem r - dferecáves em todos os potos do couto A Demostração : Quer a fução quer as suas dervadas parcas até à ordem r - admtem prmeras dervadas parcas cotíuas o aberto A ou sea são de classe C esse aberto Logo pelo coroláro são dferecáves em todos os potos de A 5 Dervação parcal e dferecabldade de fuções de A R em R m O eposto aterormete pode geeralzar-se sem dfculdade ao caso das fuções vectoras de varável vectoral ou sea fuções de A R em R m Em prmero lugar veamos o coceto de dervada parcal Sedo T f f ( ) f ( ) L f ( ) ( ) [ m ] uma fução de A R em R m (que como se sabe pode ser represetada por uma matrz colua de fuções de A R em R ) defe-se 0

12 f ( a) lm f ( a L a + L a ) f ( a L a L a ) 0 caso o lmte esta fto Note-se que agora o umerador da razão cremetal é a dfereça de dos vectores de R m e que portato o lmte em causa este se e só se estrem os m lmtes f ( a) lm f ( a L a + L a ) f ( a L a L a ) 0 m cada um correspodete a uma das coordeadas de f ( ) em R m Por outras palavras estrá f ( a) se e só se estrem as m dervadas parcas f ( a) das m fuções reas de varáves reas f ( ) e em caso de estêca f ( a) será um vector de R m cuas coordeadas são precsamete as dervadas parcas (em relação à varável em causa) das coordeadas f ( ) em a Matrcalmete se represetarmos os vectores de R m pelas matrzes coluas das respectvas coordeadas podemos etão represetar f ( a) do segute modo: f T ( a) [ f ( a) f a fm a ( ) L ( ) ] A oção de dervada um poto a R segudo um vector ão ulo u R pode também geeralzar-se sem qualquer dfculdade para o caso das fuções de A R em R m : f u ( a ) lm f ( a + t u ) f ( a ) t t 0 e tal como o caso das dervadas parcas coclu-se que f u ( a) este se e só se estrem as m dervadas em a segudo o vector u das m fuções reas de varáves reas f ( ) e em caso de estêca f u ( a) será um vector de R m cuas coordeadas são precsamete as dervadas em a segudo o vector u das coordeadas f ( ): f u ( a) [ T fu( a) f u( a) L fm u( a) ] Veamos falmete a geeralzação da oção de fução dferecável ( ) [ ] Sedo f f( ) f( ) L fm ( ) uma fução de A R em R m e a um poto teror do domío A da fução dz-se que f ( ) é dferecável o poto a T 0

13 se e só se este uma trasformação lear T de R em R m tal que para certo δ > 0) f ( a + ) f ( a) T( ) + ε ( ) com lm ε ( ) 0 0 < δ (com A T( ) cama-se dferecal da fução f ( ) em a segudo o vector ou sea [ df] ( a e sedo ) T( ) Sedo T [ k ] a matrz m que represeta a trasformação T T H [ ] L e E [ ε ( ) ε ( ) ε m ( )] T L as matrzes coluas que represetam respectvamete os vectores e ε ( ) a gualdade vectoral que traduz a dferecabldade de f ( ) em a pode escrever-se do segute modo: [ f( a + ) f( a) f( a + ) f( a) fm( a + ) fm( a) ] T H + E L T k k L k k k L k L k k L k m m m M + ε ( ) ε ( ) M ε m ( ) equvaledo por sua vez a codção lm ε ( ) 0 a ser 0 lm ε ( ) lm ε ( ) lm ε ( ) A otação matrcal permte medatamete coclur que a dferecabldade de f ( ) em a equvale à verfcação couta das segutes m codções: m f ( a + ) f ( a) k + ε ( ) com lm ε ( ) 0 0 m ; 03

14 ou sea equvale à dferecabldade couta em a das m fuções reas de varáves reas f ( ) coordeadas de f ( ) Esta coclusão permte por sua vez detfcar os elemetos k da matrz T : sedo portato k f ( a) ( m ; ) f ( a) f ( a) L f ( a) f ( a) f ( a) L f ( a) T L fm ( a) fm ( a) L fm ( a) matrz que se desga por Matrz Jacobaa de f ( ) - ou do sstema de m fuções f ( ) - o poto a Por outro lado em otação matrcal a dferecal de f ( ) em a pode represetar-se como segue: [ df] ( a ) f ( a) f ( a) L f ( a) f ( a) f ( a) L f ( a) L fm ( a) fm ( a) L fm ( a) M [ df] [ df] [ df ] ( a) ( a) M ( a) m [ df ( a) df ( a) df a m ( ) ] [ ] [ ] [ ] L T Falmete tedo em ateção o dsposto o teorema coclu-se que em caso de dferecabldade de f ( ) em a f u ( a) [ T fu( a) f u( a) L fm u( a) ] [ ] T [ d f] ( a) [ d f ] ( a) L [ d f m ] ( a) [ f ] (a) u u u d u 6 Dferecabldade de uma fução composta Vamos agora estudar um teorema que dá a regra de dferecação da fução composta e como coroláro a regra de dervação parcal da fução composta Este teorema geeralza a regra de dervação á coecda para a composção de fuções reas de varável real caso á estudado aterormete 04

15 Teorema 3 : Sedo y g( ) [ g ( ) g ( ) g m ( ) ] T fução de A R em R m e w f ( y ) uma fução de B R m em R admta-se que g( ) é dferecável em certo poto a INT A e que f ( y ) é também dferecável o poto correspodete b g( a )que se supõe ser poto teror do domío B da fução f ( y ) Etão a é também poto teror do domío da fução composta f o g esta fução é dfere-cável esse poto e tem-se m [ d ( f og) ] ( a) f y ( b ) g ( a) Demostração : Devdo à cotudade de g( ) em a (por se tratar de fução dferecável esse poto) tem-se: δ > 0 ε ε (δ ) : V ε ( a ) A g( ) V δ (b ) Como por pótese b é poto teror do domío B da fução f ( y ) e a é poto teror do domío A de g( ) pode tomar-se δ sufcetemete pequeo de forma que V δ (b ) B e o ε ε (δ ) cua estêca é assegurada pela codção de cotudade também sufcetemete pequeo de forma que V ε ( a ) A ; e etão para tas δ e ε a codção que defe a cotudade de g( )em a permte escrever V ε ( a ) g( ) V δ (b ) B ou sea a fução composta [ fog] ( ) f[ g( ) ] é defda para todo o V ε ( a ) o que prova ser a poto teror do domío de [ fog] ( ) Em tudo o que se segue cosderaremos sempre (sem ecessdade de qualquer meção eplícta) que o acréscmo verfca a codção < ε com o valor ε referdo aterormete Tal garatrá que a + pertece ao domío da fução g( ) e da fução composta [ fog] ( ) f[ g( ) ] ou sea g( a + ) pertece ao domío da fução f ( y ) Veamos etão que [ fog] ( ) é dferecável o poto a e ao mesmo tempo que a respectva dferecal é dada pela epressão do eucado Sedo k [k k k m ] T g( a + ) g( a) [ g a + ) g ( ) g a + ) g ( ) g ( a + ) g ( a) ) ] T ( a ( a tem-se atededo à dferecabldade de w f ( y ) em b [ ( + )] [ ( )] f[ g( a) k ] f[ g( a) ] f g a f g a m y m + f ( b + k ) f ( b ) f ( b ) k + k ε ( k ) m 05

16 com lm ε ( k k 0 ) 0 Mas a dferecabldade de g( ) em a equvale à dferecabldade de cada uma das fuções y g () esse mesmo poto ou sea k g ( a + ) g ( a) g ( a) + ε ( ) com lm ε ( ) 0 Substtudo os k o segudo membro da gualdade que dá a 0 dferecabldade de w f ( y ) em b tem-se: [ ( )] [ ( )] f g a + f g a m f y ( b ) g ( a) ε ( ) k ε ( k ) + + m m f y ( b ) g ( a) + f y ( b ) ε ( ) k ε ( k ) + m f y ( b ) g ( a) + ε ( ) com ε ( ) m f y * k ( b ) ε ( ) + ε ( k ) ( 0 ) devedo otar-se que a epressão que defe ε ( ) k g( a + ) g( a) ou sea ε ( ) é efectvamete fução apeas de Se se provar que lm ε ( ) 0 fcará provado que a fução composta w f[ g( ) ] é dferecável em a e ao mesmo tempo que Vsvelmete m ( ) ( ) [ ] d f og a lm m 0 pelo que bastará provar que y f y ( b ) g ( a) f ( b ) ε ( ) 0 0 lm 0 k ε ( k ) 0 Tem-se para m 06

17 07 ) ( ) ( ) ( ) ( + + a g a g a g k k ε ) ( ) ( + a g ε dode resulta k ) ( ) ( + a g ε ) ( ) ( + a g ε porque L Etão + m m a g k k ) ( ) ( ε ou ada ) ( ) ( ) ( ) ( k a g k k m ε ε ε + e como 0 k g a g a ( ) ( ) + 0 (devdo à cotudade de g ( ) em a ) a maoração obtda permte faclmete coclur que ) ( 0 k k lm ε 0 como se preteda provar O teorema 3 admte dos coroláros mportates O prmero é medato e dá a regra de dervação da fução composta O segudo geeralza o teorema ao caso em que f ( y ) é uma fução w f y ( ) de B R m em R p Coroláro : Supostas as póteses do teorema 3 tem-se a g o f ) ( m a b y g y f ( ) Demostração : Resulta medatamete da epressão obtda o teorema 3 para [ ] d f og a ( ) ( ) Ates de passarmos ao segudo coroláro veamos algumas observações ao coroláro :

18 (a) Se as póteses do teorema 3 forem verfcadas relatvamete a todos os potos de certo aberto cotdo o domío A da fução g( ) a gualdade ateror pode escreverse um poto geérco desse aberto: ( f o g) m f y y g( ) g ( ) (b) Por outro lado se as póteses do teorema 3 forem verfcadas pelas prmeras dervadas parcas f e por g( ) relatvamete a todos os potos de certo aberto y cotdo o domío A da fução g( ) e além dsso esta últma fução admtr segudas dervadas parcas as segudas dervadas parcas da fução composta podem obter-se por dervação da epressão que dá as respectvas prmeras dervadas Com efeto cada parcela dessa epressão f y y g( ) g pode etão dervar-se pela regra do produto utlzado o cálculo da dervada do prmero factor de ovo a regra de dervação de uma fução composta E do mesmo modo se pode argumetar quato ao cálculo das dervadas parcas de ordem superor (c) Se em partcular y g( ) é fução de A R em R e w f (y) é fução de B R em R e supostas verfcadas as póteses do teorema 3 tem-se w d w y d y y g( ) Ada mas em partcular se y g() é fução de A R em R e w f (y) é fução de B R em R e supostas verfcadas as póteses do teorema 3 tem-se d w d w d y d d y d y g( ) (d) Voltado ao caso geral covrá observar para termar que para ser possível calcular as dervadas parcas da fução composta f o g pela regra apresetada a pótese da dferecabldade de g ão é essecal bastado supor a estêca das respectvas dervadas parcas (e evdetemete admtr a dferecabldade de f ) Com efeto se g for apeas fução de uma varável - ou sea fução de A R em R m - a estêca de dervada desta fução em a equvale à sua dferecabldade e portato o teorema 3 é drectamete aplcável este caso ; caso g sea fução das varáves o cálculo de cada dervada parcal de f o g está evolvda apeas uma das varáves depedetes da fução g e portato pelo argumeto ateror a regra decorrete do teorema 3 é gualmete aplcável (cotudo este caso ão fca assegurada a dferecabldade da fução composta mas apeas a estêca de dervadas parcas) Veamos falmete o coroláro 08

19 Coroláro : Sedo y g( ) [ g ( ) g ( ) g m ( ) ] T uma fução de A R em R m e w f ( y ) [ f ( y ) f ( y ) f p ( y ) ] T uma fução de B R m em R p admta-se que g( ) é dferecável em certo poto a INT A e que f ( y ) é dferecável o poto b g( a )que se supõe ser poto teror do domío B da fução f ( y ) Etão a é também poto teror do domío da fução composta f o g esta fução é dferecável esse poto e tem-se [ d ( f og) ] ( a) ( T f T g ) H em que T f é matrz Jacobaa de w f ( y ) tomada em y b T g é matrz Jacobaa de y g( ) tomada em a e H [ ] T Demostração : Verfcadas as póteses do coroláro cada uma das coordeadas f [ g ( )] ( p) da fução composta f [ g( )] [ f [ g( )] f [ g( )] f p [ g( )] ] T resulta da composção de w f ( y ) com y g( ) e ecotra-se as codções do teorema 3 Coclu-se portato que a é poto teror do domío das fuções compostas f [ g( )] e assm esse poto é também poto teror do domío da fução composta f [ g( )] ; além dsso e ada de acordo com o teorema 3 cada uma das fuções compostas coordeadas f [ g( )] é dferecável o poto a logo o mesmo se passa com a fução composta f [ g( )] De acordo com o coroláro tem-se para p [ g( ] f ) a m f y g y b a ( ) Ora esta dervada parcal é o elemeto da la e colua da matrz Jacobaa de f [ g( )] e o coroláro fca demostrado se se provar que tal dervada é produto da la da matrz T f pela colua da matrz T g Atededo a que as matrzes T f e T g são f y ( b ) f ( ) ( ) y b L f y m b g ( a) L g ( ) a K f ( b ) f ( b ) f ( b ) g ( a) L g ( ) a y y L ym L L f ( b ) f ( b ) f ( b ) g ( a) g ( a) p y p y L m L m p y m ( Matrz T f ) ( Matrz T g ) L L L g g g m ( a) ( a) ( a) a coclusão é medata 09

20 7 Fuções omogéeas Sea f ( ) uma fução de A R em R e cosdere-se um subcouto B A tal que B λ > 0 λ B Nessas codções a fução f ( )dz-se postvamete omogéea de grau o couto B se e só se B λ > 0 f ( λ ) f ( λ λ L λ ) λ f ( ) λ f ( L ) O epoete desga-se por grau de omogeedade podedo ser postvo egatvo ou ulo Se as codções precedetes quato ao couto B e à fução f ( ) forem verfcadas para todos os valores λ 0 e ão apeas para λ > 0 fala-se etão de omogeedade em setdo restrto Face às defções apresetadas é evdete que uma fução omogéea em setdo restrto é também postvamete omogéea o mesmo couto (com o mesmo grau de omogeedade) mas a versa ão é verdadera Eemplos: ) A fução f ( y) ( y) 4 + y é omogéea de grau 3 em setdo restrto o couto B {( y) : y} dado que com λ 0 e ( y) B f (λ λ y) ( λ λ ) 4 + y λ 3 4 ( + y) λ 3 f ( y) λ λ y y ) A fução f ( y z) + + y + z é postvamete omogéea de grau (mas ão omogéea em setdo restrto) em R 3 deado-se a verfcação como eercíco Apresetam-se segudamete quatro propredades elemetares das fuções omogéeas deado-se as demostrações como eercíco Nos eucados fala-se apeas de fuções omogéeas porque tas eucados são váldos (com a mesma demostração) para os dos cocetos de omogeedade apresetados P : A soma de fuções omogéeas do mesmo grau um couto é ada uma fução omogéea do mesmo grau o mesmo couto 0

21 P : O produto de fuções omogéeas um couto é ada uma fução omogéea o mesmo couto sedo o respectvo grau de omogeedade gual à soma dos graus de omogeedade dos factores P3 : Sedo f ( ) e g( ) fuções omogéeas o couto B e ão se aulado em B a fução g( ) etão f ( )/ g( ) é também omogéea em B sedo o respectvo grau de omogeedade gual à dfereça dos graus de omogeedade de f ( ) e g( ) P4 : Sedo f a fução f grau de omogeedade ( ) omogéea de grau o couto B e sedo defda esse couto β ( ) etão esta últma é também omogéea em B sedo β o respectvo Duas propredades adcoas são estudadas segudamete As respectvas demostrações são apresetadas para o caso das fuções omogéeas em setdo restrto mas adaptamse sem qualquer dfculdade para o caso das fuções postvamete omogéeas P5 : Sedo f ( ) omogéea de grau o couto aberto B e estdo a dervada parcal f em todos os potos do couto B etão tal dervada parcal é omogéea de grau - o mesmo couto ( ) uma fução as codções do eucado e fe-se um Demostração : Sea f qualquer valor λ 0 Por força da omogeedade admtda para f todos os potos ( ) B f (λ λ λ ) λ f ( ) Dervado ambos os membros em relação a obtém-se ( ) tem-se para f ( λ λ L λ ) λ f ( L ) Notado agora que a fução f (λ λ λ λ ) cosderada como fução de se pode obter fazedo a composção da fução real de varável real ϕ (y) f (λ λ λ - y λ + λ ) com a fução real de varável real y λ tem-se pela regra de dervação de uma fução composta (relatva ao caso da composção de duas fuções reas de varável real) f ( λ λ L λ ) ϕ (λ ) λ λ f ( λ λ L λ L λ )

22 devedo otar-se que f ( λ λ L λ L λ ) ão represeta a dervada de f (λ λ λ λ ) em relação a mas sm a dervada de f ( ) relatvamete a o poto (λ λ λ λ ) Etão deverá ser dode resulta falmete λ f ( λ λ L λ ) λ f ( L ) f ( λ λ L λ ) λ - f ( L ) para todos os potos ( ) B qualquer que sea o valor λ 0 o que traduz a omogeedade de grau - da fução f ( L ) o couto B P6 : Sedo f ( ) omogéea de grau e dferecável o couto aberto B verfcase esse couto a detdade (Idetdade de Euler) f ( ) + f ( ) + L + f ( ) f ( ) Demostração : Por pótese tem-se para B e λ 0 f (λ λ λ ) λ f ( ) Etão para cada B dervado em relação a λ as fuções de ambos os membros (utlzado o prmero membro a regra de dervação de uma fução composta) temos f ( λ ) + f ( λ ) + L + f ( λ ) λ - f ( ) e fazedo esta gualdade λ sa a detdade do eucado A propredade segute mostra que a verfcação da detdade de Euler um aberto B tal que B λ > 0 λ B coutamete com a dferecabldade da fução em B garatem que a fução é postvamete omogéea esse couto ( ) fução dferecável o aberto B couto a verfcar a codção P7 : Sedo f B λ > 0 λ B se f fução é postvamete omogéea esse couto ( )verfca a detdade de Euler em B etão a Demostração: Sea B e defa-se a segute fução de λ para λ > 0 :

23 g(λ) f ( λ ) - λ f ( ) em que é o parâmetro real do segudo membro da detdade de Euler que por pótese se verfca Dervado obtém-se usado a regra de dervação de uma fução composta g (λ) f ( λ ) λ f ( ) e etão λ g (λ) λ f ( λ ) λ f ( ) Dado verfcar-se a detdade de Euler em B tem-se λ g (λ) f ( λ ) λ f ( ) g(λ) [ f ( λ ) λ f ( ) ] Fazedo agora θ (λ) g(λ)/λ com λ > 0 e dervado obtém-se θ (λ) g( λ ) λ λ g( λ ) g( λ ) λ g( λ ) 0 λ λ + sedo portato θ (λ) costate o tervalo ] 0 + [ E como θ () g() 0 coclu-se que θ (λ) 0 o tervalo ] 0 + [ Da decorre que com λ > 0 g(λ) 0 ; atededo à defção de g(λ) resulta falmete g(λ) f ( λ ) - λ f ( ) 0 ou sea f ( λ ) λ f ( ) para λ > 0 Fca assm provado que f ( ) é postvamete omogéea o couto B 8 Teorema dos acréscmos ftos 3

24 Apresetam-se segudamete duas geeralzações do teorema dos acréscmos ftos (teorema de Lagrage) á estudado para o caso das fuções reas de varável real Teorema 4 : Sedo f ( ) uma fução de A R em R estdo as respectvas dervadas parcas em todos os potos V ε ( a ) e sedo um vector tal que < ε tem-se : f ( a + ) f ( a) f ( a + θ a L a ) + + f ( a+ a + θ a3 L a ) + + f ( a+ a + L a + a + θ ) com 0 < θ < 0 < θ < 0 < θ < (ª Versão do teorema de Lagrage) Demostração : Devdo à estêca a vzaça V ε ( a ) das dervadas parcas f f f e supodo que < ε uma argumetação semelate à utlzada a parte cal da demostração do teorema permte coclur que : ϕ ( ) f ( a a ) é regular o tervalo de etremdades a e a + ϕ ( ) f (a + a ) é regular o tervalo de etremdades a e a + ϕ ( ) f (a + a ) é regular o tervalo de etremdades a e a + Aplcado o teorema de Lagrage às fuções ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) os tervalos dcados tem-se: f (a + a a ) - f (a a a ) f ( a + θ a L a ) f (a + a + a ) - f (a + a a ) f ( a+ a + θ a3 L a ) f (a + a + ) - f (a + a a ) f ( a + a + L a + a + θ ) com 0 < θ < 0 < θ < 0 < θ < Somado membro a membro as gualdades obtdas resulta logo após as smplfcações a efectuar o prmero membro a gualdade do eucado 4

25 O teorema precedete admte como coroláro a segute codção sufcete de cotudade de uma fução f ( ) de A R em R : Coroláro : Sedo f ( ) uma fução de A R em R e a INT A se estem ftas e são lmtadas em V ε ( a ) as dervadas parcas ( ) etão f ( ) é cotíua em a Demostração : Sedo M um maorate de ( ) em V ε ( a ) a gualdade tese do teorema 4 permte escrever para < ε f f f ( a + ) f ( a) M + M + L + M e esta desgualdade permte logo coclur que l m f ( a + ) f ( a) ou sea a fução f ( ) é cotíua em a 0 Covém otar que as póteses do coroláro precedete podem ser algeradas sem que a cotudade de f ( ) em a sea afectada: Coroláro * : Sedo f ( ) uma fução de A R em R e a INT A se - das dervadas parcas f ( ) estem ftas e são lmtadas em V ε ( a ) e a outra dervada parcal este fta o poto a etão f ( ) é cotíua em a Demostração: Admta-se sem perda de geeraldade e apeas para facltar a otação que as dervadas parcas ( ) ( 3 ) são lmtadas em V ε ( a ) e que f f ( a) este fta Se a prmera das gualdades que se somam ordeadamete para demostrar o teorema 4 for substtuída por f (a + a a ) - f (a a a ) f ( a) + ( ) com l m ( ) 0 obtém-se após soma ordeada uma gualdade cuo segudo 0 membro pode ser maorado de forma aáloga ao que se fez a demostração do coroláro ateror cocludo-se tal como etão que f ( ) é cotíua em a 5

26 Teorema 5 : Sedo f ( ) uma fução de A R em R dferecável em todos os potos V ε ( a ) e sedo um vector tal que < ε tem-se : f ( a + ) f ( a) f ( a + θ ) (ª Versão do teorema de Lagrage) com 0 < θ < Demostração : Com < ε defa-se a fução aular g(t) f ( a + t ) para 0 t Claro que este g (t) o tervalo [0 ] podedo esta dervada calcular-se pela regra de dervação de uma fução composta: g (t) f ( a + t ) Aplcado o teorema de Lagrage à fução real de varável real g(t) o tervalo [0 ] tem-se g() - g(0) g (θ ) com 0 < θ < ou sea como se quera provar f ( a + ) f ( a) f ( a + θ ) com 0 < θ < Note-se que a seguda versão do teorema de Lagrage (teorema 5) tem póteses mas egetes - ege-se a dferecabldade de f ( ) em certa vzaça V ε ( a ) equato que a prmera versão (teorema 4) basta a estêca das dervadas parcas da fução essa vzaça - mas em cotrapartda a gualdade obtda é mas smples evolvedo apeas um úco valor de θ e sedo as dervadas parcas tomadas todas o mesmo poto 9 Igualdade das dervadas mstas Estudam-se segudamete codções que garatem a gualdade de duas dervadas parcas da mesma ordem que apeas dfram pela ordeação das varáves de dervação Começa-se pelo caso de uma fução f ( y) de A R em R estudado codções que garatam a gualdade f " y ( a b ) f " y( a b ) ; passa-se depos ao caso geral de uma fução f ( ) de A R em R cosderado dervadas parcas de qualquer ordem superor ou gual à seguda O segute teorema é fudametal : Teorema 6 : Sedo f ( y) uma fução de A R em R e (a b) INT A admta-se que as dervadas parcas f ( y ) e f y ( y ) estem em certa V ε (a b) A e que são ambas dferecáves em (a b) Tem-se etão que f " y ( a b ) f " y( a b ) (Heffter - Youg) 6

27 Demostração : Repare-se em prmero lugar que a estêca de f " y ( a b )e f " y( a b ) fca assegurada pelo facto de f ( y) e f y ( y) serem por pótese dferecáves o poto (a b) Passemos etão a demostrar a gualdade do teorema Devdo à estêca de f ( y)e f y ( y)em V ε (a b) cosderado um vector ão u-lo ( ) R tal que < ε a fução ϕ () f ( b + ) - f ( b) é regular o tervalo de etremdades a e a + e a fução ψ (y) f (a + y) - f (a y) é regular o tervalo de etremdades b e b + Tem-se etão pelo teorema da Lagrage relatvo a fuções de uma varável ( ) [ f (a + b + ) - f (a + b )] - [ f (a b + ) - f (a b)] ϕ (a + ) - ϕ (a) ϕ (a + θ ) [ f ( a + b + ) f ( a + b) ] θ θ { [ f ( a + b + ) f ( a b) ] [ f ( a + b) f ( a b) ] } θ θ com 0 < θ < A dferecabldade de f ( y) em (a b) permte cotuar a smplfcar a epressão obtda para ( ) : " " ( ) {[ θ f ( a b) f a b y( ) ( θ ) ε ( θ )] " y + + " [ θ f ( a b) ( θ ) ε*( θ )]} f ( a b) + ε ( θ ) θ ε*( θ 0) com 0 < θ < e lm ε ( θ ) lm ε *( θ 0) 0 Tem-se etão ( ) 0 0 ε ( θ ) θ ε*( θ 0 ) f " a b [ ] y( ) + gualdade a partr da qual se obtém passado ao lmte quado 0 lm 0 ( ) f " y( a b ) + 0 f " y( a b) Retomado de ovo () mas usado agora a fução ψ (y) para smplfcar a respectva epressão obtém-se: 7

28 ( ) [ f (a + b + ) - f (a + b )] - [ f (a b + ) - f (a b)] [ f (a + b + ) - f (a b + )] - [ f (a + b ) - f (a b)] ψ (b + ) - ψ (b) ψ (b + θ ) [ f y( a + b + ) f y( a b + ) ] θ θ { [ f y( a + b + ) fy( a b) ] [ fy( a b + ) f y( a b) ] } θ θ com 0 < θ < A dferecabldade de f y y ( ) em (a b) permte cotuar a smplfcar a epressão obtda para ( ) cegado-se a : " y ( ) f ( a b) + ε ( θ ) θ ε*( 0 θ ) com 0 < θ < e lm ε ( θ ) lm ε *( 0 θ ) 0 E a partr desta gualdade 0 coclu-se sem dfculdade que 0 lm 0 ( ) f " y( a b ) + 0 f " y( a b) Tem-se etão lm 0 ( ) f " y( a b ) e lm 0 ( ) f " y( a b ) dode se tra a gualdade f " y( a b) f " y( a b) que se preteda estabelecer O teorema precedete admte o segute coroláro: Coroláro : Sedo f ( ) uma fução de A R em R e sedo a (a a a ) INT A admta-se que estem as dervadas parcas f ( ) em certa V ε ( a ) A e que são dferecáves em a Tem-se etão f " β " ( a) f ( a) β ( β ) β Demostração : Sem perda de geeraldade pode assumr-se que < β Cosdere-se etão a fução que se obtém de f ( ) fazedo a para β deado portato lvres como varáves apeas e β ; obtém-se assm a fução 8

29 g( β ) f (a β a ) defda o couto A 0 {( β ) : (a β a ) A } R Faclmete se costata que g( β ) verfca as póteses do teorema 6 relatvamete ao poto (a a β ) : a) Em prmero lugar (a a β ) é poto teror de A 0 Com efeto V ε (a a β ) A 0 com o mesmo ε que faz V ε ( a ) A : ( β ) V ε (a a β ) ( a ) + ( β aβ ) < ε (a β a ) V ε ( a ) (a β a ) A ( β ) A 0 b) Em segudo lugar as dervadas parcas g ( β ) f a a ( L L β L ) g ( β ) f a a β ( L L β L ) β estem em V ε (a a β ) porque como vmos ( β ) V ε (a a β ) (a β a ) V ε ( a ) c) Falmete g ( β ) e g ( β ) são dferecáves em (a a β ) devdo à β suposta dferecabldade de f ( ) em a : g ( a + a + ) g ( a a ) β β β β β β f ( a L a + L a + L a ) f ( a L a L a L a ) " " β β β f ( a) + f ( a) + ( 0 L L L 0) ε ( ) β g" ( a a ) + g" ( a) + ( ) ε ( ) β β β β β 9

30 com lm ( ) 0 ; e do mesmo modo quato à dferecabldade da fução ε β 0 0 β g ( ) β β Etão por serem verfcadas pela fução g( β ) de A 0 R em R as póteses do teorema 6 relatvamete ao poto (a a β ) INT A 0 tem-se ou sea f " β " g" ( a a ) β β g" ( a a ) β β ( a) f ( a) como se preteda provar β A partr do coroláro prova-se com facldade que: Coroláro : Sedo f ( ) uma fução de A R em R de classe C em " " certo aberto B A tem-se esse aberto f( ) f ( ) quasquer que seam ( ) Demostração : Nos termos do coroláro do teorema as prmeras dervadas parcas de f ( ) são dferecáves em todos os potos do couto aberto B Verfcam-se pos relatvamete a todos os potos desse aberto as póteses do coroláro o que ustfca a tese a demostrar Coroláro 3 : Sedo f ( ) uma fução de A R em R de classe C r em certo aberto B A (r ) cocdem esse aberto todas as dervadas da mesma ordem m { 3 r} que apeas dfram pela ordeação das varáves de dervação Demostração : Veamos em prmero lugar que o aberto B é possível trocar duas varáves de dervação cosecutvas quado a ordem m de dervação sea m r Dada a dervada ( m) f λ s β δ t ( m r ) admta-se que ates de se dervar em relação a se efectuam p dervações : ( m p ) ( m) " f λ s β δ t β δ t ( p) Por ser p m - r - tem-se que f λ é de classe C o aberto B (admte s dervadas parcas cotíuas até à seguda ordem) e portato pelo coroláro tem-se esse aberto ( p) [ f ] λ s 0

31 ( m) f λ s β δ t ( p ) [ f ] λ s " β ( m p ) δ t ( p) [ f ] λ s " β ( m p ) δ t ( m) f λ s β δ t A partr do resultado que acaba de estabelecer-se (possbldade de trocar duas varáves de dervação cosecutvas) pode coclur-se que qualquer dervada que se obtea de ( m) f λ s β δ t ( m r ) por permutação das varáves de dervação cocde com esta o aberto B Com efeto qualquer permutação de λ s β δ t se pode obter medate um úmero fto de trocas de varáves cosecutvas e como vmos qualquer destas trocas matém alterada a dervada em B O coroláro está completamete demostrado Os resultados dos coroláro e 3 podem obter-se como coroláros de um teorema alteratvo ao teorema 6 Trata-se do teorema de Scwartz que dspesa a dferecabldade das prmeras dervadas parcas de f ( y) mas em cotrapartda ege a estêca de uma das segudas dervadas mstas em certa vzaça do poto (a b) e a cotudade desta esse poto A demostração do teorema de Scwartz vem facltada provado prmero um teorema aular devdo a LLorete : Teorema 7 : Sedo f ( y) uma fução de A R em R e (a b) INT A admta-se que as dervadas parcas f ( y ) e f y ( y ) estem em certa vzaça V η (a b) A Sedo por outro lado ( k) [ f (a + b + k) - f (a b + k )] - [ f (a + b) - f (a b)] admta-se que este fto lm 0 k 0 ( k ) k λ Tem-se etão que f " ( a b ) f " ( a b ) λ (LLorete) y y

32 Demostração : Tem-se que ( k) é defdo para valores ão ulos e k tas que ( ) k < η Dado δ > 0 este um ε* ε*(δ ) < η tal que ( k) ( k ) + k < ε* λ - δ / < < λ + δ / k ( k ) em vrtude de ser por pótese lm λ Com ε ε* / tem-se etão k 0 k 0 0 < < ε 0 < k < ε ( k ) + k < ε ε* ( k) λ - δ / < < λ + δ / k Matedo k fo (0 < k < ε ) e fazedo 0 obtém-se lm 0 ( k ) k lm f ( a + b + k ) f ( a b + k ) k 0 0 lm f ( a + b ) f ( a b ) k f ( a b + k ) f ( a b ) k em vrtude de f y ( )estr em V η (a b) Mas para cada k tal que 0 < k < ε λ - δ / < ( k ) k < λ + δ / λ - δ / lm 0 ( k) k λ + δ / ou sea λ - δ < f ( a b+ k) f ( a b) k < λ + δ assm se cocludo por defção de lmte que este f " y( a b) lm k 0 f ( a b+ k) f ( a b) k λ Se em alteratva matvermos fo (0 < < ε ) e fazedo k 0 obtém-se lm k 0 ( k) k lm f ( a + b + k ) f ( a + b ) k k 0 k 0 lm f ( a b + k ) f ( a b ) k

33 y f ( a+ b) f ( a b) y e também agora para cada tal que 0 < < ε λ - δ < λ - δ / y f ( a+ b) f ( a b) y λ + δ / < λ + δ assm se cocludo por defção de lmte que este f " y( a b) lm 0 y f ( a+ b) f ( a b) y λ Tem-se etão f " y( a b) f " y( a b) λ como se quera provar Passemos agora à demostração do teorema de Scwartz Teorema 8 : Sedo f ( y) uma fução de A R em R e (a b) INT A admta-se que as dervadas parcas f ( y )f y ( y) e f " y( y ) estem em certa vzaça V η (a b) A e que além dsso f " y ( y )é cotíua em (a b) Etão este f " y( a b) f " y( a b) (Scwartz) Demostração : De < η / e k < η / resulta ( k ) < η Cosderado etão < η / e k < η / a fução ϕ () f ( b + k) - f ( b) é regular o tervalo de etremdades a e a + e portato ( k) [ f (a + b + k) - f (a b + k )] - [ f (a + b) - f (a b)] [ f (a + b + k) - f (a + b) ] - [ f (a b + k ) - f (a b)] ϕ (a + ) - ϕ (a) ϕ (a + θ ) [ f ( a + θ b + k) f ( a + θ b) ] com 0 < θ < Notado agora que com < η / e k < η / a fução ψ (y) f ( a + θ y) é regular o tervalo de etremdades b e b + k porque por pótese f " y( y) este em V η (a b) obtém-se aplcado de ovo o teorema de Lagrage " y ( k) k f ( a + θ b + θ k) 3

34 com 0 < θ < e 0 < θ < ; daqu resulta com e k ão ulos ( k) k f " ( a + θ b + θ k ) y e devdo à cotudade de f " y( y) em (a b) lm 0 k 0 ( k) k lm 0 k 0 f " y ( a + θ b + θ k ) f " y( a b) pelo que os termos do teorema 7 estem e são guas as segudas dervadas f " y( a b) e f " y( a b) O teorema de Scwartz está demostrado Covrá observar que o eucado do teorema de Swartz as póteses relatvas a f " y( y) - estêca em certa V η (a b) e cotudade em (a b) - podem ser substtuídas por dêtcas póteses relatvas a f " y( y) garatdo etão o teorema a estêca de f " y( a b) f " y( a b) A demostração adapta-se com facldade a este caso o que se dea como eercíco O coroláro (e a partr dele o coroláro 3) do teorema 6 pode com facldade ser deduzdo do teorema de Scwartz Dada a fução f ( ) de A R em R supoa-se que é de classe C em certo aberto B A Nessas codções dado um qualquer a (a a a ) B INT B este uma V η ( a ) a qual as prmeras e segudas dervadas parcas de f ( ) são fuções cotíuas Etão a fução ϕ ( β ) f (a β a ) admte dervadas parcas de prmera e seguda ordes cotíuas em V η (a a β ) o que à luz do teorema 8 é mas que sufcete para garatr que ϕ " β ( a a β ) " " ϕ " β ( a a β ) ou sea f ( a) f a β β ( ) Como o poto a cosderado é " " um poto arbtráro de B INT B pode coclur-se que f ( ) f β β ( )o aberto B 4

35 0 Eercícos - Dada a fução g( y) y y + y 0 + y 0 y 0 calcule as suas dervadas parcas de prmera ordem a orgem - Calcule as fuções dervadas parcas de prmera ordem para as segutes fuções dcado os respectvos domíos: a) f ( y) ( / ) se ( y) 0 y y 0 ; b) f ( y) y y + y y ; c) f ( y) y y y 3 - Verfque que a fução f ( y) y + y 0 + y 0 y 0 tem dervadas parcas em todo o seu domío mas ão é cotíua a orgem 4 - Cosdere a fução f ( y) ( - - y ) 3/ com domío D {( y) : + y } Estude a estêca das dervadas parcas de prmera ordem os potos froteros de D dcado em que potos de D ão se pode defr alguma daquelas dervadas 5 - Calcule as fuções dervadas parcas de prmera e seguda ordes para cada uma das segutes fuções: a) z e e y se ( y) ; b) z ( + y + u) log ( u) m + y 6 - Determe m e por forma que as dervadas de ambas as fuções z e e z y e m + y verfquem a relação z y z z + z 0 y 7 - Determe as dervadas parcas de prmera e seguda ordes para as segutes fuções : a) u y y ; b) v e y z 5

36 8 - Dada a fução f ( y) y + y 0 + y 0 y 0 dque segudo que vectores este dervada a orgem e calcule o respectvo valor 9 - O mesmo que o eercíco ateror para a fução 0 - Mostre que a fução f ( y) y + y 0 + y 0 y 0 f ( y) y y 0 0 admte dervada a orgem segudo qualquer vector (em partcular tem dervadas parcas) e calcule-a Mostre que o etato ão é cotíua a orgem Que poderá coclur sobre a dferecabldade da fução a orgem? Justfque - O mesmo que o eercíco ateror para a fução f ( y) 5 ( y) ( 0 0) 8 ( y ) + 0 y 0 - Usado a defção estude a dferecabldade a orgem para as segutes fuções: a) f ( y) π ( + y) se y + y 0 y ; b) f ( y) / y y 0 0 y 0 ; c) f ( y) y + y 0 y 0 + y 0 6

37 3 - Mostre que a fução da alíea a) do eercíco ateror tem dervadas parcas ão cotíuas a orgem e o etato é aí dferecável Este eemplo mostra que a codção sufcete de dferecabldade estudada ão é codção ecessára 4 - Escreva as epressões da dferecal das segutes fuções os potos dcados: a) f ( y) + y em ( ) ; y + b) f ( y z) y + z em ( y z) com z > ; z c) f ( y) y em ( y) com y > Utlze a codção sufcete de dferecabldade para provar que a fução f ( y) ( ) ( y ) > 0 é dferecável em qualquer ( y) Escreva a epressão da dferecal 6 - Cosdere a segute fução de R em R 3 f ( y) + y y y a) Determe a matrz Jacobaa de f ( y) ; b) Escreva a forma matrcal a epressão da dferecal da fução um poto geérco ( y) 7 - O mesmo que o eercíco ateror para a fução f (t) t t + t suposta defda o tervalo aberto ] 0 [ 8 - Utlze a regra de dervação de uma fução composta para calcular a dz / dt supodo que z y + y e que cos t y se t 9 - Utlze a regra de dervação de uma fução composta para calcular 7

38 w u w v e w s supodo que w e + y e y + z e que u + v + s y s - v e z s 0 - Se a fução f (u v w) é dferecável o poto (-y y-z z-) prove que com F( y z) f (-y y-z z-) se verfca a gualdade F F F y z - Sedo f ( y) + y y y + y e g(u v w) u + v + w u + v + w calcule através de um produto matrcal a matrz Jacobaa da fução composta f o g - O mesmo que o eercíco ateror cosderado + y + z f ( y z) y z e g(u v) u + v u v u v 3 - Cosdere a fução f ( y) 53 / y 4/ 3 + y ( + y ) 0 y 0 0 Tomado t e y t costrua a fução F(t) f (t t) e calcule F (0) drectamete e por termédo da regra de dervação de uma fução composta Que pode coclur dos dferetes resultados obtdos? 4 - Cosdere a fução se 0 f ( y) se y 0 Tomado t e y t costrua a fução F(t) f (t t ) e calcule F (0) drectamete e por termédo da regra de dervação de uma fução composta Verfque que os resultados são guas e que apesar dsso ão se cumprem as codções em que se frma a aplcação da regra de dervação de uma fução composta Que coclusão pode daí trar? 8

39 5 - Mostre que as fuções segutes são omogéeas determe o respectvo grau de omogeedade e verfque a detdade de Euler: a) f ( y) + y y ; b) f ( y) log ( + y) y c) f ( y) k / y / + y + z ; d) f ( y z) y z Em cada um dos casos dque se a fução é apeas postvamete omogéea ou omogéea em setdo restrto 6 - Estude a omogeedade de ; f ( y z) + y β z 3 y β em A {( y z) : > 0 y > 0 z > 0} fazedo a dscussão em fução dos parâmetros e β : - Recorredo drectamete à defção ; e - Cofrmado as coclusões pela utlzação da detdade de Euler 7 - Sedo g(u v) dferecável em (/y z/) com y 0 prove que a fução f ( y z) g(/y z/) verfca a detdade f + y fy + z fz f Iterprete este resultado em termos de omogeedade 8* - Sea f ( ) uma fução dferecável em certo poto a teror do respectvo domío Sea T o couto dos valores de t que verfcam a gualdade f (ta ta ta ) t f (a a a ) com depedete de t Prove que se T admte como poto de acumulação etão a f ( a a L a ) f(a a a ) 9 - Sedo f ( y) cos y t e y t determe pela regra de dervação de uma fução composta as seguda e tercera dervadas da fução F(t) f (t t) 30 - Supodo que f (u v) admte dervadas parcas dferecáves calcule para a fução F( y) f (se se y) as respectvas dervadas parcas de prmera e seguda ordes 3 - Cosderado os potos ( ) e ( + + k) escreva a fórmula dos acréscmos ftos para a fução z + y em cada uma das duas versões estudadas (com um só θ 9

40 e com valores θ e θ ) Em cada uma das versões determe o valor θ ou os valores θ e θ em fução de e k 3 - O mesmo que o eercíco ateror cosderado a fução z log + log y e os potos ( ) e ( + + ) 33 - Utlze a fórmula dos acréscmos ftos para mostrar que para valores grades de ( se ) π π ( ) π cos SUGESTÃO : Aplque a fórmula dos acréscmos ftos a f ( y) se y o poto (π π ) e faça k -π / 34* - Sea f ( ) uma fução de A R em R e admta que A é aberto e coveo Admta que f ( )é dferecável em A e que as dervadas parcas da fução são globalmete lmtadas esse couto: A f ( ) M em que cada M é uma costate Mostre que em tas codções a fução f ( ) satsfaz a codção de Lpsctz o aberto A Aplque a fórmula dos acréscmos ftos a z + y com os potos (3 ) e (3 + + k) e tomado e k coveetes calcule um valor apromado para O mesmo que o eercíco ateror cosderado z e + e y e os potos (00) e ( k) calculado um valor apromado para e 00 + e Dada a fução f ( y) se y ( y ) ( 00 ) + y 0 y 0 calcule f " y ( 00 ) e mostre que f y ( y) este fta para qualquer ( y) Mostre que o etato f " y ( 0 0 ) ão este e vestgue quas das póteses do teorema de Heffter-Youg ão se verfcam 38 - Dada a fução 30

41 f ( y) y + log > 0 y 0 mostre que f " y( y) é cotíua em R e que o etato ão este f " y ( 00 ) Ivestgue quas das póteses do teorema de Scwartz ão se verfcam 39 - Calcule e verfque que são dsttas as dervadas f " y ( 00 ) e f " y ( 0 0 ) da fução f ( y) 3 ( y ) se y ( y ) ( 00 ) + y 0 y 0 Ivestgue quas das póteses do teorema de Heffter-Youg ão se verfcam 40 - Sedo o aberto A f f ( y) + y f y e admtdo que f ( y) é de classe C em A prove que y f f f y 4 - Com f ( y) f ( y) f ( y) e admtdo a detdade das dervadas mstas de seguda ordem mostre que y f f y f f f ( y) y 4 - Sedo f ( y) omogéea de grau e sedo dferecáves as respectvas dervadas parcas mostre que " " " y y f + y f + y f ( - ) f 43* - Se f ( y) é omogéea de grau m - ( m tero postvo) e se a fução for de classe C m mostre que m 0 C m m f m y m y 0 3

42 44 - Dado um aberto A cosdere as segutes defções : ) A fução f dz-se de classe C 0 em A se e só se é cotíua em todos os potos do couto ; ) A fução f dz-se de classe C r ( r ) em A se e só se admte dervadas parcas cotíuas até à ordem r em todos os potos do couto ; 3) A fução f dz-se de classe C em A se e só se admte dervadas parcas cotíuas de todas as ordes em todos os potos do couto ; 4) A fução f dz-se de classe D 0 em A se e só se é dferecável em todos os potos do couto ; 5) A fução f dz-se de classe D r ( r ) em A se e só se admte dervadas parcas até à ordem r dferecáves em todos os potos do couto ; 6) A fução f dz-se de classe D em A se e só se admte dervadas parcas de todas as ordes dferecáves em todos os potos do couto Posto sto prove que : a) C 0 C C C e D 0 D D D ; b) C r D r C r + ; c) C D RESPOSTAS : - g ( 0 0) g ( 0 0) 0 y 3

43 y cos ( y) se ( y) - a) f 0 ( y) 0 ( y) ( 0 0) ; ( 0 ) cos y f y ( ) 0 ( y) y 0 { } Domío de f Domío de f y {( y ) : 0 } {( 0 0 ) ; ( 0 ) } R ; b) f ( y) y y 0 y 0 y y ( ± 5)/ y fy ( y) 0 y 0 y ( ± 5)/ Domío de f f y {( y ) : y } {( y ) : y ( ± 5)/ } {(0 0)} ; y y c) f ( y) 0 y 0 y f y ( y) 0 y 0 Domío de f Domío de f y {( y ) : y } {(0 0)} 4 - Se (a b) FRONT D ão pertecer ao eo dos ou dos yy f ( a b) e fy ( a b) são dervadas lateras de f ( b) e f (a y) respectvamete em a e b como se dca: f ( a b) fy ( a b) (a b) do º Quadrate Dervada à esquerda Dervada à esquerda (a b) do º Quadrate Dervada à dreta Dervada à esquerda (a b) do 3º Quadrate Dervada à dreta Dervada à dreta (a b) do 4º Quadrate Dervada à esquerda Dervada à dreta As epressões de f ( a b) e fy ( a b) são em qualquer dos casos f ( a b) - 3 a ( - a - b ) / e fy ( a b) - 3 b ( - a - b ) / Se (a b) FRONT D pertecer ao eo dos ou dos yy tem-se: - Em ( 0) só este f ( 0 ) 0 (dervada lateral esquerda) ; - Em (0 ) só este f y ( 0 ) 0 (dervada lateral esquerda) ; 33

44 - Em (- 0) só este f ( 0 ) 0 (dervada lateral dreta) ; - Em (0 -) só este f y ( 0 ) 0 (dervada lateral dreta) y 5 - a) z e e [ y cos ( y) + se ( y) ] y z y e e [ cos ( y) + se ( y) ] [ ] [ ] y z" e e y cos ( y) + ( y ) se ( y) y z" y e e cos ( y) + ( ) se ( y) y z" y z" y e e ( + y + ) cos ( y) + ( y) se ( y) ; [ ] + y + u + y + u b) z + log ( u) z y log ( u) z u + log ( u) u y u z" z" z y " y + u z" u z" u z" u y 0 z" yu z" uy u y z" u u u 6 - m 7 - a) u y y u y y y 3 u" y + 6 y 3 u" y u" y 6 y + 6 y u" y + 6y ; yz yz yz yz b) v yz e v y z e v z y e v" y z e yz yz v" y v" y ( z + yz ) e v" z v" z ( y + z y ) e yz yz yz v" y z e v" yz v" zy ( + yz ) e v" z y e 8 - f u ( 0 0 ) só este e é ula quado as coordeadas de u ( k ) seam guas em valor absoluto ( k ) 9 - f u ( 00 ) só este e é ula quado uma das coordeadas de u ( k ) sea ula 0 - f u ( 0 0 ) k / se u ( k ) com 0 f u ( 0 0 ) 0 se u ( 0 k ) e k 0 ; a fução ão pode ser dferecável a orgem caso cotráro sera aí cotíua - f u ( 0 0 ) 0 se u ( k ) com k 0 f u ( 0 0 ) se u ( 0 ) e 0 ; a fução ão pode ser dferecável a orgem caso cotráro sera aí cotíua - a) Dferecável ; b) Não dferecável ; c) Não dferecável 4 - a) k com acréscmo da varável e k acréscmo da varável y ; y + z b) k + θ com k e θ respectvamete z z acréscmos de y e z ; c) y [ ( log y ) ( / y ) k] varável y + com acréscmo da varável e k acréscmo da 34