Noções de cálculo vetorial e tensorial

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1 1 Noções de cálculo vetoral e tesoral Varáves escalares, vetoras e tesoras Os meos cotíuos (sóldos, líqudos, gases) (MC) ocupam parte do espaço físco, sto é os MCs ocupam um certo domío que pode ser um volume, uma superfíce ou uma lha e que são domíos respectvamete a 3, 2 e 1 dmesão (3D, 2D, 1D), ou seja estão cotdos em R 3, R 2 ou R respectvamete. Assm a sua caracterzação poto a poto é represetada por uma fução real de varável real f: R p ode R P é o cotradomío real a p dmesões. Chama se a esta fução um campo real de varável real. A cada poto P do meo cotíuo correspode uma partícula de meo cotíuo que é em s um sstema caracterzado por váras gradezas físcas tas como a pressão p, a temperatura T (escalares), a velocdade v (vetor), o tesor das tesões ˆ (tesor de 2ª ordem), que rá ser explcado mas tarde. Os escalares são caracterzados por um úmero real, os vetores são caracterzados por: poto de aplcação (o caso de vetores aplcados cotraramete a vetores lvres), drecção, setdo e módulo (ampltude ou comprmeto). Os tesores são geeralzações dos vetores. Os tesores de 2ª ordem podem ser ecarados como um agrupameto de p vetores de dmesão p. Vetores Um vetor o espaço vetoral R pode ser represetado pela segute combação lear. v ve 1 ode e1, e2,..., e costtuem uma base (cojuto de vetores learmete depedetes). Cosderemos o caso mas smples em que e1, e2,..., e são ormados (vetores de orma utára ou seja versores) e ortogoas etre s. Os versores costtuem assm uma base ortoormada (bo): e e j 0, se 1, se j j ode represeta o produto tero. A orma quadrátca vem: e 2 1 Neste caso (de uma bo), as compoetes do vetor v exprmem se de forma mas smples: v ve ( 1,..., ) Dem. Cosderemos v v e j1 j j e tomemos o produto tero com Obtem se assm cada compoete a forma: e. Graças à ortogoaldade e ormaldade, Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

2 2 v e v e e v e e v e e 0 v v j j j j j1 j qed (quod erat demostradum) cqd (como queramos demostrar) A oção de expasão de um vetor uma bo pode geeralzar se para fuções, sto é fuções podem ser expressas como combações leares de fuções de orma utára e ortogoas etre s. Este tema é assuto da Aálse Fucoal. Tesores de 2ª ordem Os escalares ão têm compoetes (zero compoetes), são por sso tesores de ordem zero. Os vetores são expressos por compoetes que fazem percorrer um ídce, são por sso tesores de ordem 1. Os tesores de 2ª ordem são expressos em termos de compoetes caracterzadas por de 2 ídces,j=1,,. Da mesma forma que para os vetores, um tesor  (usou se o aceto crcuflexo sobre A para dferecar do símbolo de vetor), é represetado a forma: Aˆ Aee j j ode A j é a (,j) ésma compoete que multplca a díada ee j, j1 A díada é obtda pelo produto exteror de como a assocação de 2 versores e por e j ou seja ee j e ej.a díada é smplesmete vsto O produto exteror é ão comutatvo sto é: ee j e je. O produto exteror de 2 versores pertece a ( 2 ), desse modo a operação bára de produto exteror é ão fechada, sto é o produto exteror produz um resultado que ão está o mesmo espaço dos vetores sto é R, por sso o produto se dz exteror. Um tesor de 2ª ordem é formalmete represetado por uma matrz quadrada de 2 =x compoetes. Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

3 3 Noção tutva de tesor de 2ª ordem Um tesor de 2ª ordem é represetado por vetores de compoetes ou seja, pertecetes a R. Para exemplfcar cosderemos =3. A11 A12 A13 A1 Aˆ A21 A22 A 23 a1 a2 a3 ode os vetores colua a A 2 ( 1,2,3) formam a matrz assocada A. A31 A32 A 33 A 3 Os tesores de 2ª ordem são útes para represetar gradezas físcas que depedem da oretação. Por exemplo a temperatura um poto P ão depede da oretação do termómetro e por sso ão é um vetor. Já por exemplo a resstêca eléctrca de um materal depede da oretação do fluxo de cargas eléctrcas. A caracterzação completa da resstêca eléctrca é dada pelo tesor de resstvdade. Cosderarmos um poto P um meo cotíuo em toro do qual está cetrado um cubo ftesmal. Este cubo tem 3 pares de faces opostas etre s (ver fgura) e ortogoas a cada versor e 1, e 2, e da bo. Assm 3 a face de cma é ortogoal a e 1, a face da dreta é ortogoal a e 2 e a face de cma é ortogoal a e 3. Geeralzado para um hpercubo em R 4, teríamos 4 pares de hperfaces opostas (cubos em R 3 ), ortogoas aos 4 versores da base. Tem se assm =3 faces, cada uma correspodete a um versor vetor a correspodete. e da bo. Sobre cada face é aplcado o Tesor Delta de Kroecker ˆ O tesor ˆ é um tesor de 2ª ordem que correspode à matrz detdade de x compoetes, sto é: ˆ 0, se j j 1 se j Formalmete tem se: ˆ Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

4 4 Trasposto de tesor de 2ª ordem (Para smplfcar a otação elmemos o símbolo ^ de tesor a meos que seja extrtamete ecessáro) Defção: Seja A um tesor de 2ª ordem expresso em termos de díadas uma bo. Defe se o seu trasposto A T T a partr da defção operacoal: Aj Aj(, j 1,... ), ou a partr da troca de ídces. O trasposto de um tesor é represetado pela matrz trasposta. Tesor de 2ª ordem smétrco e at smétrco Um tesor de 2ª ordem A é smétrco se A T =A ou seja A j =A j (tal exge que a matrz tragular feror guale a matrz tragular superor) Um tesor de 2ª ordem A é at smétrco se A T = A ou seja A j = A j (tal exge que os elemetos da dagoal sejam ulos e que a matrz tragular feror seja smétrca da matrz tragular superor). Teorema: Para qualquer tesor de 2ª ordem A tem se a decomposção úca uma soma de um tesor smétrco com um tesor at smétrco: 1 As AA A A 2 s Aa ode 1 As AA 2 Exemplo: T T parte smétrca parte at-smétrca T A ; A ; As ; A a Vetor axal assocado a um tesor de 2ª ordem em R 3 Seja A um tesor at smétrco de ordem 2 e dmesão 3. A é represetado por 3 2 =9 compoetes das quas apeas 3 são ão trvas, ou seja o tesor fca totalmete caracterzado por 3 compoetes que são também as compoetes do vetor axal assocado a. escreve se etão: a ax Aˆ Assm A e a represetam formalmete o mesmo objecto matemátco. A compoete a (=1,2,3) do vetor assocado é dada por: a A jk Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

5 ode,j,k costtuem uma permutação cíclca da sequêca (1,2,3). Uma permutação cíclca é obtda do segute modo. Image se que (1,2,3) estão dspostos regularmete ao logo de uma crcuferêca. Image se que os ídces rodam todos de uma posção o mesmo setdo (empurram se todos de uma posção o mesmo setdo). Tal é uma permutação cíclca smples. Uma permutação cíclca é uma sequêca de permutações cíclcas smples. Assm as permutações cíclcas de (1,2,3) são: (3,1,2) e (2,3,1) tal como dcado a fgura aexa. 5 Assm tem se etão: a1 A2,3 A3,2 ; a2 A3,1 A1,3 ; a3 A1,2 A2,1. O tesor A e o seu vetor axal a fcam etão arrajados a forma: 0 a3 a2 a1 A a 0 a ; a a a2 a1 0 a 3 Ode se assume que a é um vetor colua. Tesor de 3ª ordem e superores Um tesor de 3ª ordem ecessta de 3 ídces para ser explctado. Por exemplo: C Cjkee je k ode C é represetado por uma combação lear de tríadas (produto exteror de um, j, k1 versor por uma díada ou etre 3 versores). Um tesor de ordem p ecessta de p ídces sedo represetado por uma combação lear de p tuplos (produtos exterores de p versores). Um tesor de ordem p e dmesão é um objeto pertecete a Produto exteror de dos tesores p ( ) ou seja tem p compoetes. Seja C e D tesores de ordem a e b respectvamete. Assm uma bo têm se as expasões: C C e... e ; D D e... e... j... j j j 1 a 1 a 1 b 1 b 1,..., a j1,..., jb Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

6 O produto de C por D é um tesor de ordem a+b e cujas compoetes são todos os possíves produtos (etre escalares) das compoetes de C pelas compoetes de D. Assm o respectvo produto exteror vem dado por: 6 E CDCD C D e... e e... e,..., j,..., j 1 a 1 a... j... j j j 1 a 1 b 1 a 1 b. Em termos de compoetes tem se: Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres E CD C D... j... j aj1... jb a 1 b 1 aj1 jb O produto exteror aplca R a R b em R (a+b). O produto exteror é ão comutatvo ou seja CDDC vsto que o arrajo dos ídces em CD é dferete do arrajo dos ídces em DC. Exemplo 1 Produto exteror de 2 vetores (tesores de ordem 1): É trval verfcar que o trasposto de ab E ab ab ab F ba ba ba ; j j j j j j j j é ba. O vetor axal assocado à parte at smétrca do tesor ab otação tem se: a b ax ab ba ax ab 2 a é o produto extero de a por b. Em termos de A demostração é fácl de obter. De facto a compoete ( a b) k ab j ba j ( ab ba) (, j) 2 ( ab) a(, j) ode (,j,k) é uma permutação cíclca de (1,2,3) tedo os valores possíves de (=1,j=2,k=3); (=2,j=3,k=1); (=3,j=1,k=3). Exemplo 2 Produto exteror de vetor a por tesor de 2ª ordem B: ˆ ˆ E ab ab ab jk jk jk jk Produto teror ou cotraído de dos tesores Seja C e D tesores de ordem a e b respectvamete. O produto exteror CD é dado por: CD C D 1 a aj1... jb... j... j b. O produto exteror é um tesor de ordem a+b ou seja recorre a a+b ídces. O produto teror recorre à oção de cotracção de ídces. Escolhe se assm um par de ídces. Estes

7 podem pertecer ambos a C ou a D ou ser um deles de C e o outro de D. Depos toma se a soma ao logo de todos os valores possíves dos ídces cotraídos ou repetdos ou seja para os valores 1,2,,N=dmesão do espaço. Chama se a essa operação de cotracção de ídces, uma vez que o objecto fal será um tesor com uma ordem subtraída de 2 por cada cotracção. Por cada escolha de par tem se um possível produto teror. Se os ídces cotraídos forem adjacetes (últmo de C com prmero de D), etão o produto teror dz se produto tero e represeta se por C D. Deste modo é possível geeralzar a oção de produto tero para objectos para lá de vetores. Podem executar se mas de uma cotracção de ídces. A ordem tesoral do produto teror de C por D com r cotracções é a+b 2r. Vamos dar exemplos de produtos terores etre um vetor c (tesor de 1ª ordem, a=1) por uma matrz D (tesor de 2ª ordem, b=2). Exstem 3 possíves produtos terores com uma cotracção. Todos esses produtos terores tem ordem a+b 2r=1+2 2x1=1 ou seja o resultado fal é um vetor (tesor com um só ídce). Assm: T c D c D D c w ( cotracção do 1º ídce dec com o1º ídce de D) j j j j T c D c D D c u ( cotracção do 1º ídce dec com o 2º ídce de D) j j j j c D ctr( D) v c ( cotracção do 1º ídce de D com o 2º ídce de D) j j j j ode Tr(B) é o traço de B ou seja o somatóro das compoetes da dagoal da matrz B. O produto algébrco de uma matrz B por um vetor a é um produto teror. Na otação algébrca, a represetação DC do produto de matrz D por vetor c, represeta a otação tesoral o produto terord c. A álgebra tesoral permte represetar objectos mas rcos que a álgebra de matrzes e vetores. Mostremos um exemplo com 2 cotracções., j1 T C D C D ( cotracções : 1º íd. dec com 1º de D e2º de C com 2º de D) j j O produto cotraído tem 2+2 2x2=0 ídces ou seja trata se de um escalar. Coveção de Este (CE) ou dos ídces mudos Sempre que há cotracção de ídces há que represetar o símbolo de somatóro que está mplícto. Ora Este vetou uma coveção que omte o símbolo de somatóro ecoomzado assm a escrta. Essa coveção dz: Sempre que haja ídces represetados pela mesma letra (ex. ), admte se (a meos que se dga o cotráro) que esses ídces cotraem tomado se portato o somatóro para todos os valores possíves desses ídces (de 1 a ). O símbolo de somatóro é omtdo uma vez que é redudate quado se admte a coveção de Este. Exemplo 1 Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres ab a B ab a B j p pj j p pj 1 p1 7

8 Na expressão ateror, e p são ídces mudos uma vez que estes são ídces de somatóro equato que j é um ídce fxo. 8 Exemplo 2 A B A B C p j p j pj 1 Neste caso é ídce mudo, (p,j) são ídces fxos. Exemplo 3 ab ab ab ab p pp p pp 1 p1 ou p costtuem um ídce mudo. Aqulação do tesor Delta de Kroecker Quado se toma o produto teror de um tesor A com o tesor Delta de Kroecker, este deve desaparecer sedo o ídce cotraído de A, substtuído pelo ídce de que ão cotra. Por exemplo: A A ; T T T T p pq q jk jq kq qk kq qq kk Produto tero etre dos vetores O produto tero de a por b é dado por ab ab (somatóro dos produtos das compoetes duma bo). Este é o chamado produto tero caóco ou cartesao. Tal permte defr a orma, comprmeto ou ampltude de um vetor a forma: a aa aa. O âgulo etre dos vetores pode gualmete a b ser obtdo através do seu co seo: cos ab, 1,1. a b Outros produtos terores Seja a um vetor e T, R tesores de 2ª ordem em R. Um dos possíves produtos terores é atˆ Rˆ. Este tesor cotraído tem ordem p dada pela soma das ordes dos tesores (1+2+2), subtraída de duas vezes o úmero de cotracções (duas este caso). Assm p= x2=1, tratado se portato atˆ Rˆ de um vetor. Assm, usado a coveção de Este, a sua ésma compoete é: atˆrˆ a T R a T R at R at R a T R j jp p j jp p s sk k s sk k k ks s j1 p1 s1 k1 Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres ode há duas cotracções de ídces uma vez que há o par de ídces j (ou s) e o par de ídces p (ou k). Os ídces cotraídos são mudos e podem ser represetados por letras dferetes, desde que ão usem,

9 outras letras já usadas a expressão. Tome se ateção que quado há város pares de ídces cotraídos se tem de usar uma letra dferete para cada um deles. Por exemplo at j jjrjrefere se à soma corredo todos os valores de j. Esse produto cotraído é dferete de atˆrˆ. Duplos produtos terores etre tesores de 2ª ordem Tem se os dos possíves duplos produtos terores etre tesores com a segute coveção de escrta: T T T : R T R ; T R T R T : R T : R j j j j No prmera expressão a cotracção é executada os ídces at homólogos (1º com 2º, 2º com1º); a seguda é executada os ídces homólogos (1º com 1º, 2º com 2º). Usado essa coveção pode exprmr se o traço de um tesor (soma dos elemetos da dagoal) a forma: Tr( R) : R R Rjj R R11... R. Em partcular o traço do tesor Delta de Kroecker é Tr()==dmesão do espaço R. Tesor alterate ou de Lev Cvta O tesor de Lev Cvta ou alterate é um tesor de 3ª ordem (p=3) em R 3 (=3). Podem formalmete defr se geeralzações do tesor de Lev Cvta com p= (ex. tesor de 2ª ordem em R 2, tesor de 4ª ordem em R 4 ). O tesor tem a segute forma: 1 se (, j, k) são dferetes e costtuem uma permutação par de (1,2,3) jk 1 se (, j, k) são dferetes e costtuem uma permutação ímpar de (1,2,3) 0 se 2ou mas ídces são guas (, j, k 1,2,3) Defamos permutação par e ímpar. Admtamos que se tem ídces dspostos cclcamete. Explquemos o caso com =5 a fgura. Uma permutação smples cosste uma troca de ídces adjacetes. Assm P1 resulta de uma permutação smples a partr de P0 e P2 resulta de duas permutações smples a partr de P0. É possível chegar a qualquer permutação dos ídces através de permutações smples (troca de lugares adjacetes). Seja m() esse úmero, a permutação dz se par se m() é par e ímpar se m é ímpar, o que caracterza a pardade da permutação. O valor de ( 1) m() é desgado por assatura da permutação valedo 1 ou 1 coforme seja par ou ímpar. 9 Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

10 Mostra se que as permutações cíclcas (todos os ídces avaçam de uma posção) são pares. No caso =3, as permutações pares de (1,2,3) são: (1,2,3), (2,3,1) e (3,1,2), dode 1,2,3 = 2,3,1 = 3,2,1 = 1. As permutações ímpares de (1,2,3) são: (2,1,3), (1,3,2) e (3,2,1) e portato 2,1,3 = 1,3,2 = 3,2,1 = 1. Todas as outras 21= p 6=27 6 compoetes do tesor de Lev Cvta são ulas. As propredades do tesor de Lev Cvta são as segutes: 1) jk jk kj kj jk kj sto é uma permutação par dos ídces dexa varate ; uma permutação ímpar produz o smétrco de. 2) A cotracção de 2 de qualquer dos seus 3 ídces é ula ou seja k k k 0. Esta propredade é trval porque os termos da soma que está mplícta a cotracção são todos ulos. 3) Regra Épslo Delta. Trata se de uma fórmula que exprme o produto teror de dos tesores alterates com uma cotracção. Tem se pos 2 ídces mudos e 4 ídces fxos: qrp stp pqr pst qpr spt qs rt qt rs O resultado é uma soma de produtos de Deltas de Kroecker. No prmero produto de Deltas temse (q,s) e (r,t) ou sejam respectvamete os prmeros e os segudos ídces de cada. No segudo produto de Deltas tem se (q,t) e (r,s) ou sejam respectvamete (o prmero e segudo) e (o segudo e o prmero) ídces de cada. O tesor alterate é muto mportate a defção de produto extero ou vetoral etre vetores, de produto msto e trplo de vetores e ada a defção de determate de uma matrz ou tesor de 2ª ordem. 10 Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

11 11 Produto extero ou vetoral etre vetores Sejam 2 vetores a e b de R 3. O seu produto extero ou vetoral é uma operação bára fechada, sto é cujo resultado está também o espaço de partda (R 3 ) e é represetado por: a b e que possu as segutes propredades: 1) a b é ortogoal (perpedcular) a a e b. 2) Tem setdo dado pela regra do parafuso ou do saca rolhas (setdo que o parafuso de rosca dreta executa ao progredr o setdo de a (prmero vetor do produto) para b (segudo vetor do produto). Como cosequêca ab ba. ab a b s a, b ode é área do paralelogramo de arestas defdas por a e b. 3) Módulo Recorredo ao tesor alterate, o produto extero é dado pelo produto teror de com a e b com duas cotracções de ídces a forma: ab pqapbq As propredades 1 e 2 vêm trvas. Na verdade o produto de a b com a é ulo sedo dado por: a b a pqapbqa pqapbqa (pela prop. 1 de ε) pqab qap (por,p serem ídces mudos) pqaba p q (prop. comutatva da multplcação)=0 (porque vem gual ao smétrco) O produto extero de dos vetores pode ser obtdo através da otação de determate: ex ey ez ab ax ay az aybz azbyexazbx axbzey axby aybxez b b b x y z Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

12 12 Produtos etre vetores e tesores de 2ª ordem Seja a um vetor e bc o produto exteror de dos vetores (ex. díada). Os produtos tero e extero etre a e bc vêm defdos de forma coerete como: abc abc ab c abc ab c Produto msto etre 3 vetores de R 3 ; O produto msto etre 3 vetores a, b e c é um escalar obtdo pelo produto tero de um desses vetores pelo produto extero dos dos restates. Assm tem se o produto msto: a bc b ca c ab ab c pq p q Este produto é varate para uma permutação cíclca dos três vetores mudado de sal para uma permutação a bc V que é o volume V do paralelogramo rectâgulo defdo pelos três vetores (vde ímpar. Tem se fgura). Produto trplo O produto trplo de 3 vetores é o produto extero de um deles com o produto extero dos dos restates. O produto trplo pode exprmr se através de produtos teros graças às propredade Épslo Delta de. Tem se assm o produto trplo: Dem. A compoete do produto trplo é: Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres a b c ac b ab c a b c ad (def. de d) klakdl klak lpqbpcq abc abc abc (prop. ε-δ) kl lpq k p q lk lpq k p q p kq q kp k p q pkqabc k p q qkpabc k p q (prop. dstrbutva) abc q q abc p b (aqulação de δ) acb a bc acb abc dode sa o resultado.

13 13 Determate de tesor de 2ª ordem Um tesor A em R 3 é represetado por matrz 3x3 que é formalmete dêtco à lha de 3 vetores colua a 1, a 2 e A a, a, a a a a e represeta (a meos de a ou seja. O determate da matrz A é o produto msto um sal) o volume do paralelogramo defdo pelos três vetores. Tem se assm o determate: det( A) A A A A det( A ) A A A T jk 1 j2 k3 jk 1 2j 3k O determate do tesor trasposto é dêtco devdo às propredades de. Pode obter se o determate de um tesor de 2ª ordem em R recorredo ao tesor de Lev Cvta de ésma ordem em R e que forece a assatura de uma permutação geérca de ídces tal como o caso em =3. Tem se assm: det( A) A A... A,...,1, 1 1 No caso =2 o tesor alterate é dado por uma matrz 2x2: dode o determate de A é: A A A A A A A A A A A A A det j 1 j A21 A22 A A A A Vetor axal assocado Seja um tesor A de 2ª ordem em R 3. Das 9 compoetes, 3 são ulas sobre a dagoal, e das restates 6 apeas 3 são depedetes sedo as outras smétrcas das prmeras. Desse modo o tesor A fca totalmete caracterzado por um vetor a=ax(a) que é o vetor axal assocado cujas compoetes são dadas pela fórmula: 1 a A axa 2 pq pq Se A é smétrco etão o vetor formado pela operação ateror é ulo devdo às propredades do tesor alterate. A fórmula ateror é equvalete a: A a a ; (, p, q) permutação cíclca de (1,2,3) pq pq pq a qual permte obter o tesor orgal a partr do vetor axal em termos dcas. Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

14 14 Cálculo dferecal e tegral de campos tesoras cartesaos em R (Usa se a coveção de Este a meos que se dga o cotráro) Qualquer poto Q do espaço R pode ser descrto de forma uívoca pelas coordeadas cartesaas x,..., 1 x. A base de versores ortoormados (bo) é : e 1,..., e, sedo cada versor e tagete à ésma lha coordeada, a qual apeas x vara dexado varates todas as outras coordeadas x ( j ). Desse modo, qualquer deslocameto j vetoral ftesmal dr é expresso a forma: dr dx e Poderemos defr sobre um domío arbtráro de R um campo tesoral de ordem p ou seja a uma p ( ) aplcação: T : R R em que a cada poto Q faz correspoder um tesor de ordem p. São exemplos em mecâca dos meos cotíuos. Os campos escalares da pressão, temperatura, desdade (p=0); os campos vetoras da velocdade, aceleração (p=1), campos tesoras das tesões, da taxa de deformação (p=2). O campo T admte se cotíuo e com dervadas cotíuas até uma certa ordem, sto é a ordem ecessára para as aplcações. Estas propredades permtem a aplcação do cálculo dferecal sobre campos de tesores. A tegração do campo T em subdomíos de R é também ecessára e útl em certas aplcações. Por exemplo o comportameto mecâco tegrado de um fludo exge a tegração de campos tesoras. Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

15 15 Noção de Gradete e Dferecal Cosderemos um campo tesoral de uma certa ordem p, TQ ( ) Tr ( ), aplcado o poto Q de vetor posção r em relação à orgem do sstema de coordeadas. Os versores os quas se exprme T são os versores fxos da base cartesaa. Vamos exprmr a varação ftesmal dt um pequeo deslocameto dr : T T dt dx dx x x A varação dt pode exprmr se recorredo ao operador gradete. Um operador é uma aplcação que coverte uma fução outra fução. Por exemplo a dervada é um operador porque coverte uma fução a sua fução dervada. O operador gradete é um operador tesoral de ordem 1 ou seja tem a mesma estrutura que um vetor. Assm, em coordeadas cartesaas defmos o operador gradete a forma: 1 grad e e x 1 x operador gradete ou NABLA O produto tero do deslocameto ftesmal dr com o operador gradete forece o operador dferecal d : d dr dxe e dx e e x xj j j j j xj x 1 x dx dx dx A dervada drgda segudo uma certa drecção l, oretada segudo o versor l é dada pelo produto tero de l com o operador gradete ou seja: d l l l x d dl ode dl é o deslocameto meddo ao logo da drecção oretada l. Em partcular, se aplcarmos esse operador a T vem: dt l dt dl ou seja a taxa de varação de T ao logo da drecção oretada l. Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

16 16 Gradete de um campo escalar Cosderemos um campo escalar dferecável T( r ). O lugar geométrco T dos potos ode T =T 0 =costate é um domío (varedade) com dmesão 1, sedo a dmesão do espaço total. Chamemos a esse domío T de so domío T (o prefxo so sgfca costate). Por exemplo em R 3 os so domíos são sosuperfíces (duas dmesões). Em R 2, os so domíos são so lhas (uma dmesão). Ao logo dos sodomíos T ão há varação do campo T. Calculemos a varação dt ao logo de um deslocameto dr dr vers( dr ) dr l comprmeto desse deslocameto e l o seu versor. dt dr l T Esta expressão permte mostrar as segutes propredades do gradete de um campo escalar. ode dr 0 é o 1) O gradete de T é perpedcular aos so domíos de T. Na verdade se o versor l for tagete aos sodomíos de T, a varação dt=0 ou seja o produto tero l T 0 o que sgfca que o so domío de T é ortogoal a T. 2) A máxma dervada drgda postva de T (máxma taxa de varação espacal postva de T verfca se a l vers T tem se: dt dr T 0. Assm drecção e setdo do gradete. Na verdade tomado T ~ T / rode r é a dstâca, medda a perpedcular etre so domíos em que dfra de T 0. Deste modo quato meor a dstâca etre so domíos (so superfíces, solhas), maor o módulo do gradete de T. O campo escalar T fca totalmete caracterzado pelo gráfco dos sodomíos. Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

17 17 Gradete de um campo tesoral cartesao Seja T um campo tesoral de ordem p1 em R (exemplos: um campo vetoral, um campo de tesores de 2ª ordem). Um campo tesoral é composto de p campos escalares e portato poderemos calcular o gradete e os sodomíos de cada uma das p compoetes. O gradete do tesor T de ordem p é assm um tesor de ordem p+1 que é formado pelo gradete (vetoral) de cada uma das p compoetes escalares. Tedo em cota que os versores da base em que se exprme T são cartesaos e fxos (cotraramete ao que sucede em coordeadas curvlíeas em geral), tem se: Note se a aplcação da Coveção de Este. T e T e ee j j j j x Para um tesor T de 2ª ordem, o seu gradete é um tesor de 3ª ordem: T e T e e ee e T x jk jk j k j k x A varação ftesmal dt de um tesor de ordem p é dada, tal como para o caso escalar por: dt dr T T x Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

18 18 Operador dvergêca de tesores cartesaos O produto tero etre tesores permte costrur o operador de dvergêca, muto útl em cálculo dferecal e tegral em R. Assm, em coordeadas cartesaas, defe se o operador dvergêca aplcado a um tesor T cartesao de ordem p1 a forma: T dv T e... e T 2 p 2... x ode se executa a cotracção do ídce da dervada com o prmero ídce da esquerda de T. O resultado é um tesor de ordem p 1. Assm a dvergêca de um campo vetoral é um campo escalar, a dvergêca de um campo tesoral de 2ª ordem é um campo vetoral etc. Por exemplo em R 3 com coordeadas cartesaas (x,y,z), a dvergêca de um campo vetoral vem: p ode e, e, e x y z u v w dv v v ue ve we x y z com x y z são os versores assocados às drecções oretadas x,y,z respectvamete. Um campo tesoral de dvergêca ula dz se soleodal ou seja em que dv T 0 Operador Laplacao O operador Laplacao defe se como a orma quadrada do operador gradete ou seja o produto tero do operador gradete por ele própro. Tem se etão o Laplacao de um tesor T ordem p0 (escalar, vetor, tesor): 2 Lap p p 2 T T T e e e T xx Por exemplo os Laplacaos de um escalar e de um vetor v ue x ve y we em R 3 z vêm respectvamete: v v v Lap ; Lap v x y z x y z Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

19 19 Operador Laplacao terado Em algumas aplcações omeadamete para a modelação do atrto em mecâca de fludos, usa se o laplacao terado (ex. laplacao do laplacao). Assm tem se o operador b harmóco para a duplcação do laplacao: 2 2 T Lap Lap T e e... e T p xjxj xx Em coordeadas (x,y,z) e para o caso de um escalar tem se: Lap Lap x y z x y z Operador rotacoal de tesores cartesaos O rotacoal (rot ou curl em alguma lteratura glesa) de um tesor T de ordem p1 em R recorre ao produto extero em R e portato ao tesor alterate de ordem em R e à operação de produto extero. O rotacoal de T é também um tesor de ordem T. Rotacoal em R 3 p Usa se o tesor alterate em R 3 ou o tesor de Lev Cvta. T rot T e e... e T k 2 p kjs s2... x j p Pode assm defr se o rotacoal de um campo vetoral e o rotacoal de um campo tesoral. Um campo tesoral de rotacoal ulo dz se rrotacoal ou seja rott 0. Em partcular o rotacoal é de um campo vetoral em coordeadas cartesaas (x,y,z) é: ex ey ez w v u w v u rot v ex ey ez x y z y z z x x y u v w com v ue ve we x y z Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

20 20 Rotacoal em R 2 O equvalete ao rotacoal em R 2 é um operador vetoral aplcado ao campo escalar a forma: ex ey e e e y x y Idetdades etre operadores dferecas z x y Usado as propredades dos operadores dvergêca, rotacoal, do produto extero, tero, trplo e msto, é possível obter váras etdades etre operadores que são útes em cálculo dferecal tegral em R 3 omeadamete em mecâca dos meos cotíuos. Tem se etão para um campo escalar arbtráro e campos vetoras AB, : 1: rot ( grad ) 0 2: Adv ( rot A) 0 r 4: r 0 5: 2 3 3: (=2 em R, =3 em R ) 6: 7: 8: 9: 10 : 11: x AAA AAA ABBAAB ABABBA ABB A AB ABBABAAB AAA ABAB ABAB 1 AA AA A A 12 : (decomposção de Weber) 2 Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

21 21 Demostrações de algumas Idetdades etre operadores dferecas (Recurso ao cálculo tesoral) A B A B B A B A A B. Demostração de: O produto trplo AB pode expadr se como: B AA B ( aplca-se aos dos vectores) Usado a dervada do produto em que se derva um dos vetores de cada vez tem se: dode se obtem o resultado. B A A B B A A B B A A B ; A A A Demostração de: rot( rot( A)) Grad( Dv( A)) Lap( A) ou Desevolvamos a compoete de A : A A A s pq pq qrs x q p xp xr As As As (Regra Épslo-Delta) x x x x x x pqqrs qpqrs r ps s pr p r p r p r 2 2 Ap A A p (Aqulação de Deltas) xpx xrxr x x p A A, Como a gualdade se verfca para cada compoete etão obtem se a gualdade para a totaldade do vetor. A Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

22 22 Cálculo Itegral de tesores cartesaos No cálculo tegral em R são ecessáros calcular város tpos de tegras tas como o fluxo de um campo tesoral através de uma superfíce oretada e a crculação ao logo de uma curva fechada. Fluxo de um campo tesoral através de uma superfíce oretada Cosderemos uma superfíce oretada o espaço R 3 (superfíce curva) ou o espaço R 2 (superfíce plaa) lmtada pela curva frotera. Em R 3, uma superfíce oretada é aquela que tem dos lados bem defdos e ão é possível através de um percurso ao logo da superfíce passar de um lado para o outro da superfíce. Exstem superfíces ão oretadas tas como a fta de Möbus, sto é que têm apeas um lado como mostra a fgura. A curva frotera de é em geral uma lha torsa se R 3 e plaa se R 2. Tedo essa superfíce dos lados bem defdos, poderemos defr um lado de detro e o correspodete lado de fora. O elemeto de superfíce oretada defe se como: d d ode d é a área ftesmal (postva) e é o versor ormal que apota do lado (covecoado) de detro para o lado de fora. O versor tagete t é o versor com o setdo drecto, tagete à curva oretada. O elemeto de arco ao logo de é dl. O setdo drecto (at horáro) é aquele que dexa a superfíce à sua esquerda. O versor u é tagete à superfíce e perpedcular à curva frotera. Têm se as relações: u t ; t u Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

23 O fluxo de um campo tesoral T em R 3 (ou R 2 ), de ordem p1 através da superfíce oretada (curva ou plaa) é o tegral: T T d 23 Em partcular a superfíce pode ser a frotera de um certo domío trdmesoal R 3. Nesse caso a superfíce = é uma superfíce fechada e o seu bordo é o cojuto vazo (ão tem bordo). Aplcação: Cálculo da quatdade de massa total (ou parcal) escoada por udade de tempo e que atravessa a superfíce oretada. O campo T e o respectvo fluxo são este caso: T v ; v dv ode é a desdade do fludo (ou desdade parcal de um certo tpo de massa específco, ex: sal, vapor) v tem dmesões físcas de kg/s (massa/tempo) e a e v é a velocdade do fludo. A quatdade termologa dos fludos chama se débto de massa. Se a velocdade v for tagete em cada poto à superfíce, etão v 0 e o débto é ulo ou seja a massa ão atravessa, verfcado se a codção de fluxo ulo ou de mpermeabldade total (ou parcal a um certo tpo de massa ou espéce químca). Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

24 24 Fluxo o bordo de uma superfíce oretada A superfíce oretada (curva ou plaa) tem como frotera a curva oretada. Esta curva tem como versor tagete t, versor ormal exteror u e elemeto de arco dl. Defe se o fluxo de um campo tesoral T (de ordem p1) através da curva como: T l ut d Aplcação: Cosderemos o escoameto bdmesoal sobre uma superfíce (ex. escoameto de água sobre uma bolha de água e detergete (saboára)). A massa está dstrbuída por udade de superfíce sedo o seu valor (desdade areolar ou por área) de dmesões kg/m 2. O débto (quatdade de massa que atravessa é dado por: T v ; v dl uv A curva que lmta é fechada, o etato pode gualmete calcular se o fluxo ao logo de uma curva ão fechada C com extremdades (íco e fm). Crculação de um campo tesoral T ao logo de uma curva oretada fechada Cosderemos um campo tesoral T de ordem p1 em R 3 (ou R 2 ). A crculação de T ao logo de uma curva fechada oretada C é o tegral de lha: C d C T l t T Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

25 Aplcação: Cosderemos um fludo crculado em crcuto fechado em setdo úco ao logo da curva fechada C (célula de crculação) com massa por udade de comprmeto ou desdade lear l (em kg/m). A eerga cétca 1 do fludo em crculação é dada pela crculação ao logo de C do vetor vv 2 l ode t é o versor de v. Teoremas Itegras em R 2 e R 3 vol O cálculo de tegras trdmesoas 3D um domío R 3 pode em certos casos ser obtdo pelo tegral a sua frotera de ormal exteror (apotado para fora) de compoetes. Tem se etão o teorema de Stockes geeralzado em volumes (TSG vol): Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres dv d x Ode ( ) é um campo tesoral arbtráro evolvedo produtos terores ou exterores com o ídce e ode x são as dervadas em relação às coordeadas cartesaas. Algus coroláros deste teorema muto geral são o teorema do fluxo dvergêca. Teorema do fluxo dvergêca em R 3, de Gauss ou de Ostrogradsky Tome se o TSG vol as compoetes cartesaas A do campo vetoral A e faça se a cotracção em. Obtem se: A dv dv dv A d A A x ou seja o tegral de volume da dvergêca guala o fluxo através da frotera. Tal permte defr a dvergêca de um campo vetoral como o lmte quado 0 do Fluxo/Volume. Outras aplcações do TSG vol... escalar dv grad d (tegral de volume de gradete)... A ( produto exterocom A) dv rot A d A (tegral de volume de rotacoal) 25

26 26 Teoremas Itegras em R 2 e R 3 sup O teorema de Stockes geeralzado pode aplcar se também sobre uma superfíce oretada de ormal com lha frotera ou bordo oretado com versor tagete t e ormal exteror u t. Tem se etão o teorema TSG sup: d dl u dl t Aplcações do teorema TSG sup em 3D... d dlt... A d A d A Fluxo do Rotacoalde A dlt A Crculação de A o bordo= A (Teorema de Stockes ) Este teorema permte defr rotacoal como o lmte quado 0 do quocete crculação/área.... A d A dlt A Aplcação: vetor área tomado A r vector posção 1 d r dr 2 Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres

27 27 Teorema de Gree No caso de ser uma superfíce plaa com ormal costate tem se:... dlu... d Tomado um campo vetoral A bdmesoal (com compoetes apeas sobre ) e fazedo a cotracção dos ídces tem se: d A dlua A 2D Fluxo de A através da lha oretada Ou seja, o tegral de superfíce da dvergêca guala o fluxo através do bordo. Este teorema é uma versão 2D do teorema fluxo dvergêca. Outra aplcação em 2D é a do tegral do gradete 2D: 2D d dlu Mecâca de Fludos FCUL DEGGE Prof. Carlos Pres