Problemas fundamentais da teoria da aproximação func/onal

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1 18 GAZETA DE MA TEM ATIÇA 2 5 ) ( A - se) l + (T _ y) * + ( Z - z) K=O p 1 1 " 1 d p 1 df-j pl - p ds T d íj (A'~ «)> -f (Y - y) ft + (2-z)v = e resolve-se rapdamete. X x + Aa + B\ r = y + Aß + Bp, Z = z + Ay+Bv sto é, mas explctamete v 1 P 1 T 1 X ar = «H - A p 2 A p A V 1 P K, 1 T Y Y ~ - -J [5 - J - FI P" P A o determate se- Represete-se por A, gute 26) e pohamos A e í 1 1 A =» 9 T dt dp ás T L T ds p ds J ds pa P TA Etão, o sstema 25) pode escrever-se (A' - m)m + {Y-y)t + {Z-z)y = A (X - X) l + ( r - y ) + (2 zjx = 0 (A - Ä) X + ( r - JF)f + (Z - S) V - B r A P A que são as equaçoes da aresta de reversão desta plafcável, a plafcável rectfcate. A dstâca do poto da curva ao correspodete poto da aresta de reversão é dada por p.jaj Se A = O a aresta de reversão desloca-se para o fto, e a plafcável rectfcate será um cldro. Isso sucede com as curvas r para as quas A = 0, ou p o que tegrado: = C 1 '. São as hélces. T Problemas fudametas da teora da aproxmação fuc/oal por Luís G. M, de Albuquerque (Cotuação do úmero ateror) 8. Aproxmação lear os espaços de Hlbert. Cosdere-se o espaço de HILBERT H, seja Fc l uma varedade lear gerada pelos vectores learmete depedetes e yeff V. Pelo teorema demostrado o 7, o em vrtude da orma do espaço de HILBERT ser sempre forte ( 5), exste em V um e um só vector ar0 2 x * que ó projecção de y em T. Ora, TEOREMA A. Se X0 é a projecção de y \

2 GAZETA DE MATEM ATI CA 19 em V, y x0 è octogoal com cada um dos vectores de V (y x0,x) = 0, qualquer que seja xev. Demostração, Se houvesse em V um vector x^o que ão fosse ortogoal com V ~ x o (y» «) = a 0 > cosderado o vector B = + -ar 6 F (a: de ser sempre compatível e determado; por sso é sempre dferete de zero o determate de Q-BAMM : <?(«!,. (a?!,*,) ( «2, ( «,»! ) (x1,x2)(x2,xs)..-(xm,x2) (a-!,ar*,).. (xm,xm) Obtda, com as compoetes dadas por (8. 1), a projecção x0 de y em F, o erro de se tomar x0 em lugar de y será teríamos (dexamos ao letor o cudado estabelecer esta relação): \y - e ]2 = \\y x0 dode, e vrtude de ser (;f,;c)>0 (pos x^=0) \\y z II <!l? ^o I!! assm, x0 ão sera a projecção de y em V como admtmos, A partr deste teorema podemos costrur as compoetes do vector a?0 e, ao mesmo tempo, calcular o erro cometdo quado se toma, em lugar de y, o seu polómo de melhor aproxmação em V, x0, Com efeto : sedo y x0 ortogoal com cada um dos vectores de V, é em partcular ortogoal com cada um dos vectores da base (a?t de Vt (y - x0, xk) = 0 (k = 1,. -, m) de mas 53 = II v ^o II 2 = y ^o > V ~ «ò) = = (y ^o y) (v ^o > e como pelo teorema ateror se tem fca ou (8. 2) {y x o ) x o) 0 P or ser x o e a elmação dos «2(4 =» 1,, m) etre (8. 2) e as m equações (8. 1), coduz a y,y) <í 2 (* í y) -0, ou seja m (8. 1) (y,xk) ^ «?(»(,«*) = 0-1 1, -, m, dode (y,xm) (a?, aw) (xm, xm) que ó um sstema de m equações leares as m cógtas Assm, a solução de (8. 1) coduz ao polómo melhor aproxmação de y em F; e como esta aproxmação exste e é úca, aquele sstema terá (8. 3) 3 =., V <?(«!» *,) As equações (8. 1) que determam as compoetes do polómo xq, melhor aproxmação de y em V, e a expressão do erro

3 20 GAZETA DE MA TEM ATIÇA 3, tomam um aspecto mas smples quado a base de V é ortoormada : (a\, òü (,k = l,,m). Neste caso as equações (8. 1) eacrevem-se r? (;y, = 2 ( k 1 J ' m ) «-1 e dão logo as compoetes de x0: (y (A 1, *, ), fcado a projecção de y em V defda por th (8. 4) a?0 = 2 (y,»*) «; a expressão do erro escreve-se agora : ha ò 2 = (g, y) - 2 í y» > y ) = tem-se 3M» - l z<»> P = (y, y) - 2 fe, ft) dode se obtém a desgualdade ÁE BESSEL : (9-2) 2 ty,ek)\*^{y,y). ] Formado a sucessão de varedades leares Vx c F2e... c F, e sedo yell ^J podemos costrur a sucessão das projecções de y os que são dadas por relações do tpo (9. 1); cada uma delas, a-o +lí > obtém-se da precedete, j jutado-lhe o termo Vk ou (8 5) a - y ^. o - (y, ea+1)e + (k = 1, 2,, 1). Se para certo valor Á r de se tem y e VN, etão y cocde com a sua projecção em Vs (9. 3) y = = 2 ' e >ò e " 9. Equação de Parseval-Lapuov. Supohamos agora II dotado de uma base ortoormada B = «K «2 > " ' A, -*! Qualquer sstema fto de vectores { e(,e2, eb j gera uma varedade lear FCl/; e tomado um vector y e // F a projecção de y em V é dada por (9. í) 4 B) = 2 CM) * determado y com um erro 3 ( > defdo por (8. 5); sto ó, se y = 4 S) + caso cotráro, ísto é, quado por maor que seja ó sempre ye H V,, somos leva a passar da soma que tervém em (9. 3) para a sére 2 vector y e JC y~ 2 (y,ek)ek, I correspodete ao teressado-os etão estabelecer as crcustâcas em que se possa escrever» (9. 4) y = 2

4 GAZETA DE MATE M ATIÇA 21 Deve-se otar que, por (*), OB erros das sucessvas projecções de y as varedades Vk formam sucessão decrescete, e assm procurar as codções para que (9. 4) teha lugar equvale a ecotrar em que casos é lm 3 = 0. T Ora, em vrtude da desgualdade de Bessel, a sére de termo geral (y, e*) j 2 é covergete e tal qe (9.5) SlCy.^M^.y); o teorema C do 6 garate-os etão a covergêca da sére CD 2 fe > «*) %; portato a gualdade (9. 4) será válda desde que lm 3, = 0 ou seja, quado se tem l-l (9. 6) (j,y) = I fc- 1 que se desga por equação de PAKSEVAL- -LIAPUNOV. Deste modo, podemos coclur : TEOREMA. Num espaço de HILBERT com base orto-ormada umerável, todo o vector y que satsfaça á equação de PAKSEVAL-LIAPUNOV pode ser escrto a forma : (9. 7) y= 2 (y,e*)ek. k-\ Os coefcetes (y,et) de (9. 7) são chamados os coefcetes de FOUBIEB de yell', e (9. 7) é a sére de FOLTRIER (geeralzada) de y. 10. Bases completas. Resta-os agora ver em que codções a equação de PARSEVAL-LIAPUXOV tem lugar para todos os vectores do espaço de HILBEBT (que ão perteçam a qualquer varedade lear FA) Dremos que a base orto-ormada do espaço, B, é completa, quado ão exsta em II qualquer vector dstto do vector ulo que seja ortogoal com todos os vectores da base. TEOREMA A. Num espaço de HILBERT completo, para que a base orto-ormada B = j et,, e, - seja completa, é ecessáro e sufcete que seja verfcada a equação de PARSEVAL-LIAPDNOV Demostração. Supohamos que a equação de PARSEVAL-LIAFUNOV, (9.Ü), tem lugar qualquer que seja y e II, sem que a base orto-ormada B seja completa. Nesse caso exste pelo meos um vector ão ulo, se II, tal que (z, z) =- j z 2 = a 2 > 0, ortogoal com todos os vectores de B tem-se (»,**) = 0 \k - 1,2, ); 0= 2 1(2»«01 3 <(s,z) = «2, relação mpossível porque está em cotradção com (9. 6). Assm, ão exste em II qualquer vector z=f=0 ortogoal com todos os eu, e a base ê completa. Mas a codção também é ecessára. Admtamos que a base orto-ormada B é composta, mas que ão é verfcada a equação de PARSEVAL-LIAPUXOV; pelo meos para um vector xell ter-se-a etão (o. í) 2 kó*>«*) a <(*,») *=

5 2 2 GAZETA DE MA TEM ATIÇA Cosderada a sucessão de vectores dode tem-se 2 (», «* ) ( = l,2, ), xm = 2 t j e *) m+1 «)-(«,4) (fc = 1,3,< ). Cosdere-se agora o vector y=x' x e II, que é ortogoal com todos os vectores de B, pos (y, ek) = (tf', ek) (a:, eu) = 0 ; e, vsto ser e* = 1 para todo o k: Ijak *» < 2 l(* > «0l 2 N H 2 I (* f «*> l 2 ; WL + 1 (10, 1) garate a covergôca da sére oc 2 l ' "*) I a > e p r ss 2 \(x,ek)p=\s-s \<è «-t- as mesmas co- desde que > m > N(S), dções II» a*»h< *» " s* < e j a?! a?, - } é uma sucessão fudametal de vectores de II; como este espaço ó completo, exste um vector x e H tal que Umx x' ou lm íca a' =0. Ora a desgualdade (5. 2) dá K«1 l l ^ - a w l l e portato lm (ar' x, ek) j = 0; mas s edo(a?' x,ek) = /ar' 2 (ís,^,^ = = («', e») 2 0» J e j) h* = (»' 1 **) ) «0 J-\ vem (a:', e*) (ar, e*) =lm (#', e*) = 0 em vrtude de B ser completa, terá de ser y = 0. Mas por outro lado, verfcado-se (10. em lugar da. equação de PARSEVAI-- LIAPUNOV, tem-se dode II 2 = lm 3 = lm 2 I (tf, eh) p = IVll = d «- «' ll> 2l(*^)l a <ln 8 > relação mpossível por ser y = 0. O teorema fca, pos, demostrado. TEOREMA B. Um espaço de HILBEKT completo (e defdo sobre o corpo complexo) cotém uma base orto-ormada completa quado é separável. Demostração. Cosderemos o espaço de IIILBIÍRT separável H, e seja N D H uma sucessão umerável de vectores desa em H:N H, Excluamos de N os vectores que sejam combações leares dos precedetes, e ortogoalzemos a sub-sucessão B c Aí* assm obtda. B é uma base completa de II', pos se yeh fosse ortogooal com todos os vectores de B, ora também ortogoal com todos os vectores de N, pos os vectores de N estão em B ou são combações leares de vectores de B; mas sedo N deso em H, qualquer que seja e>0 exste um xen tal que IIV ~ tf II < E > com {y, ar) = 0 ;

6 ü GAZETA DE MA TEMÁTICA ora y p - (y,y) = {y - x,y) e, em cosequêca de (5. 2), Para o vector á dode j y j < t; assm, por ser e arbtráro, coclu-se que = 0, ou seja y 0. B é uma base completa, e a codção do teorema é sufcete. Cosdere-se agora a base completa de II orto-ormada B = jet, e2,, ea, \ e seja Jt/c II o cojuto costtuído pelos vectores «í r, «l + 4 r) + (««=1,2,.-.) combações leares dos vectores de B com coefcetes complexos racoas. Sedo B completa verfca-se a equação de PAIÍSEVAL- -LIAVUNOV em II, e qualquer que seja y e II tem lugar a relação (9. 4): ao y = 2 0/» e *ò s assm, fxado e>0, é possível determar um tero para o qual se tem : (10. 2) y 2 O > ] por outro lado, sedo o cojuto dos úmeros complexos racoas deso o cojuto dos úmeros complexos, ó possível determar os úmeros = í 12 > * > ) de tal modo quo ou seja (10. 3) j (y,ek)~«p\<s/2, vem : 1 y - x = y 2 {y, «*) ek + t fz + 2 (y > e *) e * 2 6í 1 2 e, em vrtude das desgualdades (10, 2) e (10. 3): y af < e qualquer que seja yeh, Portato, o cojuto dos vectores M, umerável, ó deso em H, e este espaço é separável. Como queríamos provar. Dos teoremas agora demostrados verfca-se que sedo II um espaço de HÍLBEIÍT completo e separável, o problema que os ocupa pode ser posto do segute modo: Seja B = \e,e2, j uma base orto-ormada e completa de II, e desge F! a varedade lear gerada por «j t «s,. Dado um vector y e II e fxado um úmero real s > 0, é possível determar um tero N(b) de tal modo que, para todo o «0>JV(S) o vector y pode ser dado pela combação (polómo de ordem Q) rt t 2 y > e *' j com um erro feror a s : y /II <e. (Cotua o próxmo úmero!